Generating Fast, Sorted Permutation

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1 Universidade Federal de Ouro Preto UFOP Instituto de Ciências Exatas e Biológicas ICEB Departamento de Computação DECOM Disciplina: Algoritmos e Programação Avançada Professores: Marco Antonio M. Carvalho Túlio Ângelo M. Toffolo Lista de Exercícios 07 Força Bruta, Permutações, Recursividade Instruções Todos os exercícios que envolvem programas devem ser resolvidos através de programas; Na solução dos exercícios, devem ser utilizados os conceitos listados no eçalho desta lista; Para cada exercício, deve ser criado um arquivo com nome Nome_ListaX_ExeY.c, em que Nome denota o nome do aluno, X denota o número da lista de exercícios e Y denota o número do exercício; Os códigos fonte deverão ser primeiramente submetidos ao Uva, e após serem aceitos, devem ser entregues através do Moodle, sem zipar; Códigos copiados ou tentativas de trapaça acarretam em perda total da lista de exercícios; Eventuais dúvidas podem ser sanadas com o professor; A data da entrega é até o início da próxima aula prática. ID:10098 Generating Fast, Sorted Permutation Gerar permutações sempre foi um problema importante na ciência da computação. Neste problema, você terá que gerar a permutação de uma dada string em ordem crescente. Lembre que seu algoritmo deve ser eficiente. A primeira linha da entrada contém um inteiro n, que indica quantas strings seguem. As próximas n linhas contém n strings. As strings conterão apenas caracteres alfanuméricos e nunca conterão espaços. O maior comprimento de uma string é 10. Para cada string de entrada, escreva todas as permutações possíveis em ordem crescente. Note que as strings devem ser tratadas como case-sensitive e nenhuma permutação deve ser repetida. Uma linha em branco segue cada conjunto de saída. Exemplo de Exemplo de ab ba 3 ab

2 Knuth s Permutation ID: Existem algumas técnicas de geração de permutação no livro The Art of Computer Programming de Knuth. Um dos processos é como segue: Cada permutação A1, A2,... An-1 formam n outras permutações, através da inserção do caractere n em todas as posições possíveis, obtendo n A1 A2... An-1, A1 n A2... An-1,..., A1 A2... n An-1, A1 A2... An-1 n Por exemplo, a partir da permutação 231, inserindo 4 em todas as posições possíveis temos Seguindo esta regra, você tem que gerar todas as permutações de um dado conjunto de caracteres. Todos os caracteres serão diferentes e em número menor que 10, todos alfanuméricos. Este processo é recursivo e você terá que fazer a chamada inicial com o primeiro caractere e continuar a inserir caracteres em ordem. A entrada e saída de exemplos clarearão isto. Sua saída deve casar perfeitamente a entrada de exemplo. A entrada contém várias linhas. Cada linha será uma sequência de caracteres. Haverá menor que dez caracteres alfanuméricos em cada linha. A entrada terminará por EOF. Para cada linha da entrada, gere a permutação dos caracteres. A ordenação da entrada é muito importante para a saída. Isto quer dizer que as permutações e não são a mesma coisa. Separe cada conjunto de permutações por uma linha em branco. Exemplo de Exemplo de d d d d bcda d d d cbda acdb cadb cdab cdba abdc badc bdac bdca adbc

3 d d d adcb d d d

4 Perfect Cubes ID: 386 Por centenas de anos, o Último Teorema de Fermat, que dizia simplesmente que para n > 2 não existem inteiros a, b, c > 1 tais que a n = b n + c n, permaneceu não provado. (acredita-se que uma prova recente é correta, mas ainda continua sob escrutínio) [Nota: o teorema foi demonstrado corretamente em 1994] É possível, porém, encontrar inteiros maiores que 1 que satisfaçam a equação de Cubos Perfeitos a 3 = b 3 + c 3 + d 3 (e. g., um cálculo rápido mostra que a equação 12 3 = é verdadeira). Este problema exige que você escreva um problema que encontre todos os conjuntos de números (a, b, c, d) que satisfaçam a equação para a <=200. A saída deve ser listada como apresentado abaixo, um cubo perfeito por linha, em ordem não crescente de a (i. e., as linhas devem ser ordenadas por seus valores). Os valores de b, c e d devem também ser listados em ordem não crescente na linha. Existem diversos valores os quais podem ser produzidos a partir de distintos conjuntos de triplas b, c e d. Nestes casos, as triplas com o menor valor de b devem ser listadas primeiro. A primeira parte da saída é mostrada aqui: Cube = 6, Triple = (3,4,5) Cube = 12, Triple = (6,8,10) Cube = 18, Triple = (2,12,16) Cube = 18, Triple = (9,12,15) Cube = 19, Triple = (3,10,18) Cube = 20, Triple = (7,14,17) Cube = 24, Triple = (12,16,20) Nota: O programador precisará se preocupar com eficiência. O limite de tempo oficial é de 2 minutos ou duas vezes o tempo gasto pela solução gerada pelo juiz, e é possível escrever uma solução para este problema que exceda este tempo.

5 Joseph ID: 305 O problema de Joseph é notoriamente conhecido. Para aqueles não familiares com o problema original: Entre n pessoas enumeradas 1, 2,..., n dispostas em um círculo, toda m-ésima pessoa será executada, poupando-se apenas a vida da última pessoa. Joseph foi uma pessoa esperta o suficiente para escolher a pessoa da última pessoa viva, logo, salvando sua própria vida para nos dar a notícia sobre o incidente. Por exemplo, quando n=6 e m=5, então as pessoas serão executadas na ordem 5, 4, 6, 2, 3 e o 1 será poupado. Suponha que existem k mocinhos e k vilões. No círculo, os primeiros k são os mocinhos e os últimos k são os vilões. Você tem que determinar o m mínimo tal que todos os vilões serão executados antes do primeiro mocinho. O arquivo de entrada consiste de linhas separadas contendo k. A última linha no arquivo de entrada contém 0. Você pode supor que 0 < k < 14. A saída consistirá de linhas separadas contendo o m correspondente ao k do arquivo de entrada. Exemplo de Exemplo de

6 Permalex ID: 153 Dada uma string, podemos permutar os caracteres individualmente para formar novas strings. Se pudermos impor uma ordem aos caracteres (digamos, ordem alfabética), então as strings por si próprias podem ser ordenadas e a qualquer permutação pode ser designada uma posição naquela ordenação. Por exemplo, a string a dá origem às 12 permutações distintas: a 1 a 5 a 9 a 2 a 6 caab 10 a 3 baac 7 a 11 a 4 a 8 a 12 Logo a string a pode ser caracterizada nesta sequência como 5. Escreva um programa que lerá uma string e determine sua posição na sequência ordenada das permutações de seus caracteres constituintes. Note que os números das permutações pode ser muito grande, porém, garantimos que nenhuma string terá posição maior que 2 31 = A entrada consistirá de uma série de linhas, cada uma contendo uma string. Cada string consistirá de até 30 letras minúsculas, não necessariamente distintas. O arquivo será terminado por uma linha contendo um único #. A saída consistirá de uma série de linhas, uma para cada linha da entrada. Cada linha consistirá da posição da string na sequência, justificada à direita em um campo de tamanho 10. Exemplo de Exemplo de aa #

7 2 the 9s ID: Um truque bem conhecido para saber se um inteiro N é múltiplo de 9 é computar a soma S de seus dígitos. Se S é um múltiplo de nove, então N também é. Este é um teste recursivo, e a profundidade da recursão necessária para obter a resposta sobre N é chamada de 9-degree de N. Seu trabalho é, dado um número positivo N, determinar se é um múlitplo de 9, e, se for, o seu 9-degree. A entrada é um arquivo tal que cada linha contém um número positivo. Uma linha contendo o número 0 é o final da entrada. Os números dados podem conter até 1000 dígitos. A saída do programa deve indicar, para cada número da entrada, se é um número múltiplo de 9 e caso seja, seu 9-degree. Veja o exemplo de saída para a formatação esperada da saída. Exemplo de Exemplo de is a multiple of 9 and has 9-degree 3. 9 is a multiple of 9 and has 9-degree is not a multiple of 9.