Notas de Aula Instituto de Ciência, Engenharia e Tecnologia. Álgebra Linear e Aplicações. Teólo Otoni, 02 de junho de 2019

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1 Notas de Aula Instituto de Ciência, Engenharia e Tecnologia Álgebra Linear e Aplicações Teólo Otoni, 0 de junho de 09

2 Sumário Conjuntos e Funções 8 Denição clássica de função 8 Conjuntos 3 O Produto Cartesiano 4 Relação 5 Função 4 6 Operação 7 7 Indução Matemática 8 8 Somatória 9 9 Números Reais 0 0 Números Complexos Matrizes 4 Matrizes 4 Operações com Matrizes 6 3 Matrizes Invertíveis 39 4 Aplicações 44 3 Sistemas Lineares 45 3 Sistemas Lineares 45 3 Sistemas Equivalentes Sistemas algébricos Determinação da Inversa Sistemas de Cramer 6 36 Matrizes Elementares 6 37 Aplicações 64 4 Espaços Vetoriais 74 4 Espaços Vetoriais 74 4 Propriedades Subespaços Vetoriais 8 44 Soma de Subespaços Combinação Linear Espaços Finitamente Gerados 90

3 47 Aplicações 9 5 Base e Dimensão 9 5 Dependência Linear 9 5 Base de Subespaço 53 Dimensão da soma de dois subespaços 3 54 Coordenadas 4 55 Mudança de Base 6 6 Transformação Linear 5 6 Transformação Linear 5 6 Núcleo e Imagem 9 63 Operações com Transformações Lineares 3 7 Matriz de uma Transformação Linear 44 7 Matriz de uma Transformação Linear 44 7 Matriz de uma Transformação Composta Espaço Dual 57 8 Espaço com Produto Interno 58 8 Produto Interno 58 8 Norma e Distância Processo de Gram-Schmidt 66 9 Determinantes 7 9 Permutações 7 9 Determinantes Cofatores Adjunta e Inversa Regra de Cramer 93 0 Diagonalização de Operadores Lineares 98 0 Matrizes Semelhantes 98 0 Autovalores e Autovetores 99 0 Operadores sem autovetores 0 03 Diagonalização de Operadores Operadores com autovetores mas sem base formada por autovetores Operadores com base não ortonormal formada por autovetores Operadores Auto-Adjuntos 0 04 Operadores com base ortonormal formada por autovetores 3

4 Organização Professor: Antônio Carlos Telau celular: (33) site: wwwtelaucombr Notas de Aula: wwwtelaucombr/ufvjm/ctt/napdf Livro texto: Álgebra Linear e Aplicações Autores: Carlos A Callioli, Hygino H Domingues e Roberto C F Costa Edição: 6ª Edição reformulada Cronograma do semestre 09/0 N Data Páginas 8/03/09 Início do Semestre letivo 09/ /07/09 Término do Semestre letivo 09/0 8 6/07 a 0/08 Exame Final 9 3/07 a 6/08 Período para reticação de notas referentes à 09/0 4

5 Moniorias / Tutoria Período: 8/03/09 a 3/07/09 Salas 0 03/9 0/0 Horário D S T Q Q S S 07:00-08:00 Máyra 08:00-09:00 Máyra 09:00-0:00 Máyra 0:00 - :00 Gilson :00 - :00 Gilson :00-3:00 3:00-4:00 4:00-5:00 Gilson 5:00-6:00 Gilson Telau Máyra 6:00-7:00 Gilson Máyra 7:00-8:00 Gilson Máyra 8:00-9:00 9:00-0:00 5

6 Forma de Avaliação MF = N + N + N3 + N4 + N5, onde N é a nota do Exercício, N é a nota da P, N3 é a nota da P, N4 é a nota do Trabalho e N5 é a nota da P3 M F 60 Aprovado 40 M F < 60 Exame Final M F < 40 Reprovado RF = MF + P F, onde P F é a nota do Exame Final { RF 60 Aprovado RF < 60 Reprovado CTT-A,B e C Prova Conteúdo Valor Data E Escalonamento 5 3/04/09 P Capítulos, 3 e /04/09 P Capítulos 5, 6 e /06/09 T Aplicação 5 8/06/09 P3 Capítulos 8, 9 e /07/09 PF Capítulos, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e /07/09 MF = E + P + P + T + P

7 Cronograma da Primeira Prova N Data Páginas Quantidade /04/ /04/ /04/ /05/ /05/ /05/ /05/ /05/ /05/09 Exercício 0 6/05/09 Revisão 30/05/09 Avaliação Cronograma da Segunda Prova N Data Páginas Quantidade 03/05/ /05/ /05/ /05/ /05/ /05/ /05/ /05/ /05/09 Revisão 0 04/06/09 Avaliação Cronograma da Terceira Prova N Data Páginas Quantidade 07/06/ /06/ /06/ /06/ /06/ /06/09 Trabalho 9 7 0/07/ /07/ /07/ /07/08 Revisão - 6/07/08 Avaliação - 7

8 Introdução Este material está em fase de desenvolvimento e tem como objetivos nais os seguintes pontos: Todas as demonstrações Conter todas as demonstrações (que foram) trabalhadas de forma minuciosa para serem facilmente compreendidas até mesmo por alunos iniciantes na matemática Uso de cores e grácos Destaca-se com cores pontos de suma importância na compreensão dos texto Autocontido Este material é autocontido no sentido que não há a necessidade de se buscar constantemente complementação em outros livros didáticos Conteúdos de auto nível da álgebra linear Transcrever conteúdos de auto nível da álgebra linear em linguagem simplicada com exemplos perfeitamente acessíveis Aplicações Algumas aplicações são expostas de forma bem simples, explícita e de fácil compreensão 8

9 Capítulo Conjuntos e Funções Denição clássica de função Denição Uma função é uma terna de um domínio(a), um contra-domínio(b) e uma regra que associa da cada elemento do domínio um, e somente um, elemento do contra-domínio Notação A notação usual para função é a seguinte: f : A B x f(x) Onde f é o nome da função, A é domínio, B é o conta-domínio, x é o argumento (ou variável muda) e f(x) a expressão da função em termos do argumento x Exemplo O seguinte diagrama não é de uma função pois A não está associado a nenhum elemento de B A f B 3 a b c 9

10 Exemplo O seguinte diagrama não é de uma função pois 3 A está associado a mais do que um elemento de B A g B 3 a b c d Exemplo 3 O seguinte diagrama é de uma função, pois satisfaz as condições da denição Não contraria a denição d B não está associado a nenhum elemento de A Também não contraria a denição c B está associado a mais do que um elementos de A A h B 3 a b c d Exemplo 4 Seja f : R R x x 0

11 6 y x D(f) = R CD(f) = R Im(f) = [0, ) = R + Exemplo 5 Para calcular o valor que se paga ao abastecer em um posto de gasolina utiliza-se a seguinte função Seja v : R + R + x px onde p é o preço por litro da gasolina e x é a quantidade abastecida em litros Exemplo 6 Para calcular o valor que se paga a um taxi em função da quilometragem percorrida utiliza-se a seguinte função Seja v : R + R + x ax + b

12 onde a é o preço por quilômetro rodado e x é a quantidade de quilômetros rodados Agora damos início a uma sequência de denições com o objetivo de redenir função e por meio dessa denir operação Conjuntos Na matemática costuma-se denir um conjunto como uma coleção de elementos A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A e indicamos com x A A relação entre dois conjunto é a relação de estar contido: quando todos os objetos de um conjunto A também compõem o conjunto B, dizemos que A etá contido em B e indicamos com A B 3 O Produto Cartesiano Denição 3 Dados dois conjuntos A e B denimos o produto cartesiano entre A e B como o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) em que x A e y B e denotamos por A B A B = {(x, y); x A, y B} () Exemplo 3 Sejam os conjuntos A = {r, t} e B = {3, 7, 9} Então A B = {(r, 3), (r, 7), (r, 9), (t, 3), (t, 7), (t, 9)} () A r t A B B 3 7 9

13 Exemplo 3 Um dos exemplos mais difundido de cartesiano é o plano cartesiano Sejam os conjuntos A = R e B = R Então A B = R R = {(x, y); x, y R} = R = Plano Cartesiano (3) R y (x, y) x R 4 Relação Denição 4 Uma relação R entre A e B é qualquer subconjunto do cartesiano R A B Exemplo 4 Sejam os conjuntos A = {, 0, } e B = {, 0, } Então o conjunto R = {(x, y); x A, y B {0}} A B, logo é uma relação entre A e B R = {(, ), (, ), (0, ), (0, ), (, ), (, )} (4) A R B

14 Exemplo 4 A relação de pertinência é uma relação no sentido denido acima Sejam os conjuntos A = {0,, } e B = {{, 3, 4}, {, 0, 3}, {, 4, 6}} Então o conjunto R = {(x, y); x A, y B} A B, logo é uma relação entre A e B R = {(0, {, 0, 3}), (, {, 3, 4}), (, {, 4, 6})} (5) A B 0 {, 3, 4} {, 0, 3} {, 4, 6} Exemplo 43 A relação de estar contido entre dois conjuntos é uma relação no sentido denido acima Sejam os conjuntos A = {{0, 3}, {4}, {4, 6}} e B = {{, 3, 4}, {, 0, 3}, {, 4, 6}} Então o conjunto R = {(x, y); x A, y B} A B, logo é uma relação entre A e B R = {({0, 3}, {, 0, 3}), ({4}, {, 3, 4}), ({4}, {, 4, 6}), ({4, 6}, {, 4, 6})} (6) A B {0, 3} {4} {4, 6} {, 3, 4} {, 0, 3} {, 4, 6} 4

15 Exemplo 44 (Ainda em Cosntrução) A relação de estar contido entre dois conjuntos é uma relação no sentido denido acima Sejam os conjuntos A = {{0, 3}, {4}, {4, 6}} e B = {{, 3, 4}, {, 0, 3}, {, 4, 6}} Então o conjunto R = {(x, y); x A, y B} A B, logo é uma relação entre A e B R = {({0, 3}, {, 0, 3}), ({4}, {, 3, 4}), ({4}, {, 4, 6}), ({4, 6}, {, 4, 6})} (7) A B { x y = x + y = 3 { x y = x + y = 3 { x y = x + y = 3 { x y = x + y = 3 { x y = x + y = 3 { x y = x + y = 3 5 Função Denição 5 Uma função F com domínio A e contra-domínio B é uma relação entre A e B que satisfaz as propriedades: i) x A existe y B tal que (x, y) F ; ii) Se (x, y), (x, z) F então y = z F : A B x F (x) Domínio Se a função F é uma relação entre A e B então seu domínio é A 5

16 Contra-Domínio Se a função F é uma relação entre A e B então seu contra-domínio é B Imagem O conjunto Imagem da função F é o conjunto de todos os elementos do contradomínio que estão relacionados a algum elemento do domínio Exemplo 5 Sejam A = {, 0, }, B = {, 0, } e F (x) = x A F (x) = x B Im(F) D(F ) = {, 0, } = A CD(F ) = {, 0, } = B Im(F ) = {0, } Imagem de um Subconjunto Se W é um subconjunto do domínio A da função F então F (W ) é o subconjunto do contra-domínio de F constituído por todos os elementos que estão relacionados a algum elemento do domínio de F Exemplo 5 Seja F (x) = [ x+ 6

17 A 0 W F (x) = [ x+ B 0 F(W) W = {, 3, 4, 5, 6} Im(W ) = F (W ) = {, 3, 4} Exemplo 53 Seja F (x) = x 4 + 7

18 A 0 W F (x) = x 4 + B 0 F(W) W = {, 3, 4, 5, 6} Im(W ) = F (W ) = {, 3, 4} Função Injetiva iii) Se (x, z), (y, z) F então x = y Função Sobrejetiva iv) y B existe x A tal que (x, y) F ; Função Bijetiva Uma função bijetora é uma função que simultaneamente injetiva e sobrejetiva Ou seja, é uma relação que satisfaz i), ii), iii) e iv) 6 Operação Denição 6 Uma operação binária em um conjunto E é uma função 8

19 : E E E (x, y) (x, y) = x y Vamos pensar um pouco no domínio e contra-domínio da função det det : M n (R) R A det(a) 7 Indução Matemática A Indução Matemática é uma forma de demonstrar que uma proposição que depende de uma variável natural n é verdadeira para todo n N Teorema Seja X um conjunto tal que: i) X ; ii) n X (n + ) X Então X = N Demonstração Suponhamos que X N Seja n 0 o menor elemento de N X Pela primeira hipótese i) temos que n 0 então n 0 N X Logo n 0 X, absurdo Portanto X = N Vamos provar por indução que P (n) : n k = k= n(n + ) (8) De fato P () é verdadeira pois k= k = = (+) Suponhamos agora P (n) verdadeira e provemos que P (n + ) é verdadeira 9

20 n k= k = n(n+) ( n k k= ) + (n + ) = n(n+) + (n + ) n+ k= n+ k= n+ 8 Somatória k= P (n + ) k = n(n+) + (n+) k = (n+)(n+) k = (n+)((n+)+) n k = n = k= n(n + ) (9) 5 k = = 5 = k= 5(5 + ) (0) n k = n = k= n(n + )(n + ) 6 () 5 k = = 45 = k= 5( 5 + )(5 + ) 6 () α x + α x + + α n x n = β (3) n α i b i = β (4) k= Outro exemplo em que o uso do somatório faz-se necessário é a soma S dos elementos de uma matriz Seja A M m n (R) Então a soma S dos seus elementos pode ser calculada de duas formas especiais 0

21 S = (α + + α n ) + (α + + α n ) + + (α m + + α mn ) = n α j + n α j + + n j= j= = m n α ij i= j= α mj j= Ou S = (α + + α m ) + (α + + α m ) + + (α n + + α mn ) = m α i + m α i + + m i= i= = n m α ij j= i= Portanto daí concluímos que S = m n α ij = n m i= j= α ij j= i= α in i= 9 Números Reais Propriedades dos números reais(r) Dados os números reais a, b e c, as seguintes propriedades operatórias são válidas: Associatividade: a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c Comutatividade:

22 a + b = b + a a b = b a 3 Existência de elemento neutro único para a soma e para a multiplicação: a + 0 = a a = a 4 Existência de elemento inverso único para a soma e para a multiplicação: a + ( a) = 0 a a = se a 0 5 Distributividade: a (b + c) = a b + a c Exemplo 9 A operação denida por a b := (a + )b não satisfaz ab = ba 0 Números Complexos Chama-se conjunto dos números complexos o conjunto C de todos os pares ordenados de números reais para os quais valem as seguintes denições: (a, b) = (c, d) a = c e b = d (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) Assim z C z = (a, b) com a, b R Propriedades dos números complexos(c): Associatividade:

23 (a, b) + [(c, d) + (e, f) = [(a, b) + (c, d) + (e, f) (a, b) [(c, d) (e, f) = [(a, b) (c, d) (e, f) Comutatividade: (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b) (a, b) (c, d) = (c, d) (a, b) 3 Existência de elemento neutro único para a soma e para a multiplicação: (a, b) + (0, 0) = (a, b) (a, b) (, 0) = (a, b) 4 Existência de elemento inverso único para a soma e para a multiplicação: (a, b) + ( a, b) = (0, 0) Se (a, b) (0, 0) então a (a, b) (, b ) = (a a b( b ), a( b ) + b a +b a +b a +b a +b a +b = (, 0) a ) a +b 5 Distributividade: (a, b) [(c, d) + (e, f) = (a, b) (c, d) + (a, b) (e, f) 6 Quadrado Negativo: i = (0, ) = (0, ) (0, ) = (0 0, 0 + 0) = (, 0) = Ou seja, a equação x + = 0 tem solução em C De forma geral o Teorema fundamental da Álgebra diz que todo polinômio de grau n com coecientes reais tem suas n raízes com suas multiplicidades em C Ou seja, o corpo dos complexos é o fecho algébrico de R Obs: Quando dizemos que a equação x + = 0 tem solução em C estamos nos referindo a um elemento que quando multiplicado por si mesmo e somado com o elemento neutro da multiplicação resulta no elemento neutro da soma 3

24 Exemplo 0 A operação denida por (a, b) (c, d) := (ac, bc) admite mais do que um elemento neutro 4

25 Capítulo Matrizes Matrizes Denição Sejam m e n dois números inteiros Uma matriz m n é uma tabela de números que se indica do seguinte modo A = a a a n a a a n () a m a m a mn m n Outra ) forma mais abreviada de denotar uma matriz genérica A é escrever A = ([A ij ou A = (a ij ) m n ou ainda A = (a ij ) quando no contexto estiver subentendido a dimensão Cada número que compõe a matriz A chama-se termo de A O termo geral de A é a ij ou [A ij O primeiro índice i indica a linha e o segundo índice j indica a coluna Denotaremos por M m n (R) o conjunto das matrizes reais m n Se m = n usa-se M n (R) Veremos agora um exemplo matriz com dimensão 3 com entradas reais, destacaremos seus elementos usando as notações estabelecidas até esse momento 0 Exemplo Se A = 3 então A é uma matriz real 3 Logo 4 A M 3 (R) Além disso [A =, [A = 0, [A =, [A = 3, [A 3 =, e 5

26 [A 3 = 4 Linhas e Colunas Usaremos um índice sobrescrito com parênteses para denotar as linhas de uma matriz, reservando a notação de índice sobrescrito simples para a potências que será denida nas próximas sessões E para as colunas usaremos um índice subscrito com parênteses Assim temos que dada a matriz A genérica() suas linhas são denotadas por A () = [ a a a n, A () = [ a a a n, A (m) = [ a m a m a mn E suas colunas são denotadas por A () = a a, A () = a a,, A (n) = a n a n a m a m a mn Exemplo Seja A = [ uma matriz 3 Então A () = [ 0, A () = [ são as linhas da matriz A A () = [, A 0 () = [ 0, A 6 (3) = Igualdade de Matrizes [ são as linhas da matriz A 5 A igualdade de objetos matemáticos tem como regra geral que dois objetos são igual quando todos os seus atributos coincidem No caso de matrizes esses atributos são sua dimensão e suas entradas ou elementos 6

27 Sejam A, B M m n (R), dizemos que A = B se, e somente se, [A ij = [B ij, (i, j) {,, m} {,, n} Note que ao considerarmos que A, B M m n (R) estamos armando que as dimensões de A e de B são iguais Exemplo 3 Calcule os valores das variáveis na equação matricial [ [ x + = 3x x x = + x + y 3x x + y = = y = y + z y y + z = z = 5 y + 5 = 4 Exemplo 4 Sejam A e B matrizes dadas pelas expressões [A ij = i e [B ij = 3i respectivamente Determine se A = B em cada caso a) A, B M (R); b) A, B M 3 3 (R) Operações com Matrizes O conjunto das matrizes admite uma operação de adição com as quatro propriedades básicas da adição de números reais que são comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro e existência do simétrico ou inverso aditivo Admite também uma operação de multiplicação por escalar com propriedades similares à propriedade de multiplicação de números reais, a saber, associatividade, distributividade e existência do elemento neutro Além dessas duas operações também é possível construir uma operação de produto entre duas matrizes que preserva parte das propriedades do produto entre dois números reais Estas semelhanças e diferenças serão explicitadas nesse capítulo Adição Iniciaremos com um exemplo do cálculo da soma de matrizes [ [ 0 Exemplo Sejam A = e B = A+B = A+B = [ 0 [ [ = [ ( )

28 [ 0 B+A = 4 7 A+B = [ [ + 0 = [ ( ) Observe que, denida dessa forma, a soma de matrizes é comutativa, ou seja, a soma satisfaz A+B = B+A Denimos a operação de soma de matrizes e utilizamos um símbolo especial + para representar a soma de matrizes em oposição à soma de números reais representada pelo símbolo + Denimos formalmente a soma de matrizes por: + : M m n (R) M m n (R) M m n (R) (A, B) A+B dada por [A+B ij := [A ij + [B ij Exemplo Por exemplo se A M (R) temos A+B = [A+B [A+B [A+B [A+B = [A + [B [A + [B [A + [B [A + [B Teorema Para a operação de adição de matrizes valem as seguinte propriedades: A ) A+B = B+A, A, B M m n (R)(Comutatividade); A ) A+(B+C) = (A+B)+C, A, B, C M m n (R)(Associatividade); A 3 ) 0 M m n (R) tal que A+0 = A, A M m n (R)(Existência do elemento neutro); A 4 ) A M m n (R), ( A) M m n (R)/ A+( A) = 0(Existência do inverso aditivo) Demonstração A ) 8

29 [A+B ij = [A ij + [B ij = [B ij + [A ij = [B+A ij [A+B ij = [B+A ij A+B = B+A A ) [A+(B+C) ij = [A ij + [(B+C) ij = [A ij + ([B ij + [C ij ) = ([A ij + [B ij ) + [C ij = [(A+B) ij + [C ij = [(A+B)+C ij [A+(B+C) ij = [(A+B)+C ij A+(B+C) = (A+B)+C A 3 ) Seja O M m n (R) dada por [O ij = 0, (i, j) {,, m} {,, n} Assim denida a matriz 0 é o elemento neutro da adição de matrizes A 4 ) Dada a matriz A M m n (R) considere ( A) M m n (R) dada por [ A ij = [A ij, (i, j) {,, m} {,, n} Assim denida a matriz ( A) é o inverso aditivo da matriz A [ [ 3 8 Exemplo 3 Sejam A =, B = 5 4 matrizes Note que a soma de matrizes é associativa e C = [ A+(B+C) = = = [ [ 3 3 [ ([ [ [ ) 9

30 (A+B)+C = = = ([ 3 [ 3 5 [ [ [ ) [ [ [ a b c Exemplo 4 Sejam A = e 0 = duas matrizes 3 d e f Então 0 é um elemento neutro da adição de matrizes com essa dimensão [ [ a b c A+0 = + d e f = = [ a + 0 b + 0 c + 0 d + 0 e + 0 f + 0 [ a b c d e f = A [ Exemplo 5 Seja A = a 0 [ a Então ( A) = 0 A+( A) = = = [ a 0 [ a + 0 [ + ( ) a + ( a) [ Note que A+( A) resultou no elemento neutro da operação de adição de matrizes com essa dimensão Exemplo 6 Nesse texto é dada uma atenção especial ao domínio e contradomínio das operações Esse exemplo de operação deixa claro que não é um fato 30

31 geral o contra-domínio coincidir com o conjunto onde se tomam os elementos a serem operados, como ocorre na denição usual de adição de matrizes + : M (R) M (R) M 3 (R) (A, B) A+B Dada por [ a a a a [ b b + b b = a a 0 a a + b b 0 b b Exemplo 7 Se denirmos a operação de soma de matrizes da seguinte forma [A + B ij = [A ij + [B ij +, prove que valem A ), A ), determine o elemento neutro dessa operação de matrizes 3 e o inverso aditivo para uma matriz genérica com dimensão 3 [ 0 = Exemplo 8 Se denirmos a operação de soma de matrizes da seguinte forma [A + B ij = [A ij + [B ij + (i j), prove que valem A ), A ), determine o elemento neutro dessa operação de matrizes 4 4 e o inverso aditivo para uma matriz genérica com dimensão = (0 (i j)) 4 4 = (j i)) 4 4 = Exemplo 9 Se denirmos a operação de soma de matrizes da seguinte forma [A + B ij = ( ) [A ij [B ij, prove que valem A ), A ), determine o elemento neutro dessa operação de matrizes 3 3 e o inverso aditivo para uma matriz genérica com dimensão = Se por exemplo 3

32 A = então A + 0 = A + 0 = A + 0 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( 4) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( 6) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( 8) ( ) ( ) 9 ( ) A + 0 = A Exemplo 0 Se denirmos a operação de soma de matrizes da seguinte forma [A + B ij = [A ij + [B ji, qual é o inverso aditivo(à direita) de uma matriz A M 3 3 (R)? ( A) = [A [A [A 3 [A [A [A 3 [A 3 [A 3 [A 33 Exemplo Se denirmos a operação de soma de matrizes da seguinte forma [A + B ij = [A ij + [B ij, qual é o inverso aditivo(à direita) de uma matriz A qualquer 3 3? Produto por escalar Assim como na adição iniciaremos com um exemplo do cálculo do produto de um número real por uma matriz [ 3 4 Exemplo Sejam A = uma matriz e λ = um número real Então 3

33 [ ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( 4) α A = ( ) A = ( ) 7 ( ) ( 5) ( ) 3 [ α A = Multiplicação de Matrizes Denimos a operação de produto por escalar e utilizamos um símbolo especial para representar o produto de um número real por uma matrizes em oposição ao símbolo usado para representar o produto de números reais Denimos formalmente o produto de um número real(escalar) por uma matrizes por: : R M m n (R) M m n (R) (λ, A) λ A dada por [λ A ij = λ [A ij Teorema Para a operação de produto por escalar valem as seguinte propriedades: M ) (α β) A = α (β A), α, β R, A M m n (R)(Associatividade); M ) (α + β) A = (α A)+(β A), α, β R, A M m n (R)(Distributiva do produto por escalar em reação à adição de números reais); M 3 ) α (A+B) = (α A)+(α B), α R, A, B M m n (R)(Distributiva do produto por escalar em reação à adição de matrizes); M 4 ) A = A, A M m n (R)(Existência do elemento neutro do produto por escalar) Demonstração M ) [(α β) A ij = (α β) [A ij = α (β [A ij ) = α [β A ij = [α (β A) ij [(α β) A ij = [α (β A) ij (α β) A = α (β A) M ) 33

34 [(α + β) A ij = (α + β) [A ij = α [A ij + β [A ij = [α A ij + [β A ij = [(α A)+(β A) ij [(α + β) A ij = [(α A)+(β A) ij (α + β) A = (α A)+(β A) M 3 ) [α (A+B) ij = α [A+B ij ) = α ([A ij + [B ij = α [A ij + α [B ij = [α A ij + [α B ij = [(α A)+(α B) ij [α (A+B) ij = [(α A)+(α B) ij α (A+B) = (α A)+(α B) M 4 ) [ A ij = [A ij = [A ij [ A ij = [A ij A = A Nesse momento em que concluímos que A = A somos compelidos a justicar tal questionamento Nesse sentido observamos que a denição de matriz consiste em uma generalização do número De fato o número x se confunde com a matriz [x Assim uma propriedade que vale para número é que o número é o elemento neutro da multiplicação e gostaríamos que isso continuasse sendo verdade para o produto por escalar O próximo exemplo foi elaborado justamente com o objetivo de explicitar o fato de que essa propriedade não é completamente natural e que depende da forma com que o produto foi denido Exemplo 3 Encontre o elemento neutro se denirmos o produto por escalar dado pela regra [λ A ij := λ [A ij 34

35 Exemplo 4 Se denirmos o produto por escalar dado pela seguinte regra [λ A ij := λ [A ij + existe um elemento neutro? λx + = x λ = e x = [ λ = e A = No entanto, isso só funciona para uma matriz e deveria ser verdade para toda matriz A Exemplo 5 Nesse texto é dada uma atenção especial ao domínio e contradomínio das operações Esse exemplo de operação deixa claro que não é um fato geral o contra-domínio coincidir com o conjunto onde se tomam os elementos a serem multiplicados por escalares, como ocorre na denição usual de produto por escalar : R M (R) M 3 (R) (λ, A) λ A Dada por [ a a λ a a = [ λa λa λa λa λ Multiplicação de Matrizes Assim como zemos na adição e no produto por escalar iniciaremos com um exemplo do cálculo do produto entre duas matrizes [ Exemplo 6 Sejam A = e B = A B = A B = A B = [ [ [

36 Denimos a operação de produto entre as matrizes A e B utilizamos a notação A B ou simplesmente a justaposição AB Denimos formalmente o produto entre duas matrizes por: Consideremos a matriz A M m p (R) e a matriz B M p n (R) C = A B é dado por a a a n A B = a i a i a in a m a m a mn b b j b n b b j b n b m b mj b mn O produto c ij = A (i) B (j) () ou c ij = a i b j + a i b j + + a ip b pj (3) ou c ij = p a ik b kj (4) k= ou [AB ij = p [A ik [B kj (5) k= ou [AB ij = A (i) B (j) (6) Exemplo 7 Dadas duas matrizes quaisquer A e B, nem sempre conseguimos multiplicar A por B ou B por A e quando conseguimos multiplicar nem sempre obtemos AB = BA a) Se A = AB nem BA [ 3 3 e B = [ então não é possível multiplicar

37 [ [ 3 b) Se A = e B = 3 não é possível multiplicar B A c) Se A = A B = e A B = [ 3 3 [ , B = 3 3 [ = = então [ então é possível multiplicar A B mas Ou seja, as matrizes A B e B A podem ser calculadas mas tem dimensões diferentes [ [ 0 3 d) Se A =, B = então AB BA 0 3 [ [ [ [ [ [ = = Ou seja, as matrizes A B e B A podem ser calculadas, tem as mesmas dimensões mas ainda assim são diferentes [ 4 e) Se A = 3 [ 4 3 [ 4 8, B = 6 [ = então AB = BA [ = [ [ 4 3 Ou seja, as matrizes A B e B A podem ser calculadas, tem as mesmas dimensões e além disso são iguais Exemplo 8 Nem todas as operações são associativas como a adição e multiplicação de números reais Dois exemplo simples são as operações de subtração e divisão de números reais Por exemplo: a) 8 (5 3) (8 5) 3 b) 8 (4 ) (8 4) 37

38 Os dois teoremas seguintes são propriedades do produto de matrizes análogas às propriedades que valem para números reais[ Teorema 3 Se A M m p (R), B M p q (R) e C M q n (R) então A(BC) = (AB)C Demonstração Inicialmente analisamos se cada uma das expressões A (B C) e (A B) C existem e se além disso suas dimensões são iguais (m p) [(p q) (q n) = [(m p) (p q) (q n) (m p) (p n) = (m q) (q n) (m n) = (m n) Vamos demonstrar que o termo geral de A (B C) é igual ao termo geral de (A B) C [A (B C) ij = p ) ([A ik [B C kj k= = p k= ( [A ik q ) ([B ) kr [C rj r= ( = p q ) ([A ) ik [B kr [C rj k= r= ( = q p ) ([A ) ik [B kr [C rj r= k= (( = q p ) ) ([A ik [B kr ) [C rj r= k= = q ) ([A B ir [C rj r= = [(A B) C ij Portanto como o elemento que está na linha i e coluna j da matriz A(BC) e da matriz (AB)C são iguais, então A(BC) = (AB)C Teorema 4 Se A M m p (R), B, C M p n (R) então A(B + C) = AB + AC Analogamente se A, B M m p (R), C M p n (R) então (A + B)C = AC + BC Demonstração Inicialmente analisamos se cada uma das expressões (A + B)C e AC + BC existem e se além disso suas dimensões são iguais (m p) [(p n) + (p n) = (m p) (p n) + (m p) (p n) (m p) (p n) = (m n) + (m n) (m n) = (m n) 38

39 Vamos demonstrar que o termo geral de A (B + C) é igual ao termo geral de A B + A C [A (B + C) ij = p ) ([A ik [B + C kj k= = p k= ( )) [A ik ([B kj + [C kj = p ) ([A ik [B kj + [A ik [C kj k= = p ) ([A ik [B kj + p ) ([A ik [C kj k= = [A B ij + [A C ij = [A B + A C ij Portanto como o elemento que está na linha i e coluna j da matriz A(B + C) e da matriz AB + AC são iguais, então A(B + C) = AB + AC A demonstração da igualdade (A + B)C = AC + BC é análoga k= Teorema 5 Sejam as matrizes A M m p (R), B M p n (R) e o número real λ R então A (λ B) = λ (A B) = (λ A) B Demonstração Inicialmente analisamos se cada uma das expressões A (λ B) e λ (A B) existem e se além disso suas dimensões são iguais (m p) [(p n) + (p n) = (m p) (p n) + (m p) (p n) (m p) (p n) = (m n) + (m n) (m n) = (m n) Vamos demonstrar que o termo geral de A (λ B) é igual ao termo geral de λ (A B) [A (λ B) ij = p ) ([A ik [λ B kj k= = λ p ) ([A ik [B kj k= = λ [A B ij = [λ (A B) ij Portanto como o elemento que está na linha i e coluna j da matriz A (λ B) e da matriz λ (A B) são iguais, então A(B + C) = AB + AC A demonstração da igualdade A (λ B) = λ (A B) é análoga 39

40 Exemplo 9 Dadas as matrizes A M m p (R) e B M p n (R) observe que: a) a linha do produto AB é o produto da linha de A pela a matriz B, ou seja, (A B) (i) = A (i) B b) a coluna do produto AB é o produto de A pela coluna da matriz B, ou seja, (A B) (j) = A B (j) [A B ij = A (i) B (j) (7) Exemplo 0 Observe que o produto de matrizes triangulares superiores é uma matriz triangular superior =???? 0??? 0 0?? 0 0 0? Demonstração Suponhamos A e B triangulares superiores i > j [AB ij = p [A ik [B kj k= = i k= = i k= [A ik [B kj + p [A ik [B kj = = 0 k=i 0 [B kj + p [A ik 0 k=i 3 Matrizes Invertíveis Denição 3 (Elemento neutro da multiplicação) Seja I n M n (R) tal que { 0, se i j [I n ij =, se i = j ou seja, 40

41 I n = 0 0 Essa matriz satisfaz I n A = A I n A M n (R) e recebe o nome de matriz identidade de ordem n Denição 3 Dizemos que A é uma matriz invertível se, e somente se, existe uma matriz B, também de ordem n, de modo que: A B = B A = I n Teorema 6 Seja A M n (R) uma matriz invertível Então sua inversa é única Demonstração Suponha que B e C sejam inversas de A Então valem, em particular, BA = I n e AC = I n Assim temos B = B I n = B (A C) = (B A) C = I n C = C (8) O que o Teorma acima armra é que caso a inversa da matriz A exista, é única e chama-se a inversa de A Portanto indicamos a única inversa de A por A Exemplo 3 A matriz A = [ [ 0 é invertível e sua inversa é B = 0 5 [ a b Exemplo 3 Se A = c d inversa de A Exemplo 33 A matriz A = [ 3 [ e ad bc 0 então ad bc d c [ é invertível e sua inversa é B = b é uma a 3 Exemplo 34 Se alguma linha de A é nula, digamos a i-ésima linha de A, A (i) = [ então A não é invertível De fato se fosse invertível existiria B tal que AB = I n, por outro lado (AB) (i) = A (i) B = [ B = [ (In ) (i) 4

42 Exemplo 35 Se A e B são matrizes de ordem n, ambas invertíveis, então AB também é invertível e (AB) = B A Vamos demonstrar que (AB) [B A = I n A igualdade [B A (AB) = I n se demonstra de forma análoga De fato (AB) [B A = [(AB) B A = [A (B B ) A = [A I n A = A A = I n (AB) [B A = I n (AB) = B A Portanto (AB) = B A Por exemplo, seja A é a seguinte matriz 3 3 com uma linha de zeros A = Se supormos que A é invertível então existe B tal que AB = I [ a b c d e f g h i a b c d e f g h i = [ = [ = [ 0 0 O que é uma contradição, ou seja, não existe uma matriz B tal que AB = I 3 Portanto A não é invertível Exemplo 36 Se A e B são matrizes de ordem n, e AB = I n, então BA = I n 4

43 Exemplo 37 Se A e B são matrizes de ordem n, e A não é invertível, então AB também não é invertível Exemplo 38 Se A é uma matriz de ordem n invertível, então A também é invertível e (A ) = A 43

44 { A A inversa de A é A A = I n A A a inversa de A = I é A n Portanto (A ) = A Exemplo 39 Prove que a transposta do produto de duas matrizes é o produto das transpostas na ordem trocada, ou seja, (A B) T = B T A T Demonstração Vamos demonstrar que o termo geral de (AB) T é igual ao termo geral de B T A T [ (AB) T ij = [AB ji = [A (j) [B (i) = [ A [ T (j) B T (i) = [ B T (i) [ A T (j) = [ B T A T ij Portanto como o elemento que está na linha i e coluna j da matriz (AB) T e da matriz B T A T são iguais, então (AB) T = B T A T Exemplo 30 Prove que a inversa da transposta é a transposta da inversa, ou seja, (A T ) = (A ) T Demonstração { (A T ) (A ) T = (A A ) T = (I) T = I (A ) T (A T ) = (A A) T = (I) T = I ( A T ) = (A ) T Exemplo 3 Resumo de algumas propriedades que valem para o produto de números reais mas falham para o produto de matrizes: ) A B = B A; ) A 0, B 0 A B 0; 3) M n (R) = M n (R) {0} ) A = [ 0 [ 0 3, B = 3 AB BA; 44

45 [ 0 ) A = 0 ) A = 3) A = [ 3 6 [ 3 6 [ 0 0, B = [, B = 4 AB = 0; AB = 0; AX I, X M (R) De fato AX = [ 3 6 [ x y z w = [ 0 0 x + z = y + w = 0 3x + 6z = 0 3y + 6w = 4 Aplicações Em computação o produto de matrizes tem a grande vantagem de poder ser executado em paralelo portanto sempre que possível devemos converter um processo em série para a multiplicação de matrizes Um bom exemplo disso é a replicação de um vetor nas colunas(ou linhas) de uma matriz como no exemplo seguinte Exemplo 4 Sejam A = por B a b c e B = [ Calcule o produto de A A B = a b c [ A B = a a a a b b b b c c c c 45

46 Capítulo 3 Sistemas Lineares 3 Sistemas Lineares Denição 3 Dados os números α, α,, α n, β (n ), à equação α x + α x + + α n x n = β (3) onde os x i são variáveis em R, damos o nome de equação linear sobre R nas incógnitas x, x,, x n A equação (3) pode ser escrita em termos de somatória n α i x i = β (3) i= Uma solução dessa equação é uma sequência de n números reais, indicados por (b, b,, b n ), tais que α b + α b + + α n b n = β (33) Exemplo 3 Vejamos alguns exemplos I) São exemplos de equações lineares a) 3x + 5y + z = ; b) 5x + 3x + x 3 = 9; c) ax + by + cz = d, onde a, b, c R; II) São exemplos de equações não lineares 46

47 a) ax + bx + c = 0; b) sen (x) + cos (x) = ; c) x y = Exemplo 3 Dada a equação x x + x 3 =, a terna ordenada (, 3, ) é uma solução dessa equação pois 3 + = é verdadeira Solução: Isolando uma das variáveis e atribuindo qualquer valor às demais obtém-se uma solução x = + x x 3 3 x = x + x 3 x 3 = x + x Portanto temos que ( ) + x x 3, x, x 3, (x, x + x 3, x 3 ), (x, x, x + x ) 3 são soluções da equação x x + x 3 = Denição 3 Dados m, nn (m, n ) um sistema linear é um conjunto de m equações lineares consideradas simultaneamente, cada uma delas com n incógnitas Um sistema linear se apresenta do seguinte modo: S : α x + α x + + α n x n = β α x + α x + + α n x n = β α m x + α m x + + α mn x n = β m (34) Uma solução do sistema (34) é uma solução de todas as equações, ou seja, uma solução do sistema (34) é uma n-upla (b, b,, b n ) de números reais que é solução de cada uma das equações do sistema, ou seja, uma n-upla (b, b,, b n ) de números reais tais que α b + α b + + α n b n = β α b + α b + + α n b n = β (35) α m b + α m b + + α mn b n = β m 47

48 { x y + z = Exemplo 33 Dado o sistema S : x + y = 6 A terna de números (,, ) é uma solução de S Essa solução não é única Por exemplo as ternas ( 8,, 0), (4,, 6) também são soluções de S 5 5 Denição 33 A classicação de um sistema linear quanto ao número de soluções é feita da seguinte forma Primeiro distinguimos um sistema com solução de uma sistema sem solução { Nenhuma Solução Impossível Pelo menos uma Solução Possível Segundo classicamos os sistemas com solução em Determinado e Indeterminado { Uma única Solução Determinado Mais do que uma solução Indeterminado E por m agrupamos essas informações da seguinte forma Nenhuma Solução Impossível Uma única Solução Possível e Determinado Mais do que uma solução Possível e Indeterminado Obs: Um sistema com mais do que uma solução tem innitas soluções Ou seja, não existe um sistema com por exemplo apenas soluções Em geral, não existe um sistema linear cujo número de soluções seja nito e maior do que 48

49 Exemplo 34 Classique cada um dos sistemas quanto ao número de soluções a) { x y = x + y = 3 { x = 0 y = x = y = { x = 0 y = 3 x = y = y P = (, ) x b) { x + y = 6x + 3y = { x = 0 y = x = y = 0 { x = 0 y = 4 x = y = 0 y x 49

50 c) { x + 3y = 6 4x + 6y = { x = 0 y = y = 0 x = 3 { x = 0 y = y = 0 x = 3 y x Exemplo 35 S : Solução: x = 6 y { x y + z = x + y = 6 (6 y) y + z = 4y y + z = 5y = + z y = + z 5 ( ) + z x = 6 x = 6 5 x = 8 z 5 + z 5 Portanto toda terna de números do tipo sistema dado x = ( 8 z 5 30 z 5, + z ), z é uma solução do 5 Denição 34 Um sistema linear homogêneo é um sistema linear cujos termos independente das equações, são todos nulos, ou seja, β = β = = β m = 0 α x + α x + + α n x n = 0 α x + α x + + α n x n = 0 H : α m x + α m x + + α mn x n = 0 50

51 Todo sistema homogêneo admite pelo menos a solução (b, b,, b m ) = (0, 0,, 0) Essa solução é chamada de solução trivial Portanto todo sistema homogêneo é possível Exemplo 36 Seguem-se dois exemplos de sistemas homogêneos, o primeiro é determinado e o segundo indeterminado { x + y = 0 a) x + y = 0 { x + y = 0 b) 3x + 6y = 0 Exemplo 37 Qualquer sistema do tipo α x + α x + + α n x n = β S : 0 x + 0 x x n = β i (β i 0) α m x + α m x + + α mn x n = β m é necessariamente impossível, pois a i-ésima equação não tem solução, visto que, dado (b, b,, b m ) temos (0 b + 0 b b m = 0) e β i 0 Exemplo 38 Um sistema do tipo S : x = β x = β x n = β n é possível e determinado e (β, β,, β n ) é a única solução 3 Sistemas Equivalentes Descrevemos a seguir três formas de modicar um sistema linear preservando o conjunto solução O objetivo é transformar o sistema até obter um sistema(com a mesma solução) cuja solução esteja explícita 5

52 (I) Permutar duas equações de um sistema não afeta seu conjunto solução Ou seja, se o sistema R é obtido a partir de S permutando duas equações então R e S tem o mesmo conjunto solução S: R: α x + + α n x n = β α i x + + α in x n = β i α j x + + α jn x n = β j α m x + + α mn x n = β m α x + + α n x n = β α j x + + α jn x n = β j α i x + + α in x n = β i α m x + + α mn x n = β m (II) Multiplicar uma equações de S por um número real λ 0 também não afeta o conjunto solução do sistema α x + + α n x n = β S: α i x + + α in x n = β i α m x + + α mn x n = β m α x + + α n x n = β R: λα i x + + λα in x n = λβ i α m x + + α mn x n = β m (III) Somar a uma das equações do sistema uma outra equação multiplicada por 5

53 um número real Essa modicação embora mais elabora também preserva o conjunto solução do sistema α x + + α n x n = β α i x + + α in x n = β i S: α j x + + α jn x n = β j α m x + + α mn x n = β m α x + + α n x n = β R: α i x + + α in x n = β i (α j + λα i )x + + (α jn + λα in )x n = β j + λβ i α m x + + α mn x n = β m Denição 3 Dado um sistema linear S qualquer uma das modicações (I), (II), (III) recebe o nome de Operação Elementar sobre linhas Se um Sistema linear R foi obtido de S por meio de um número nito de operações elementares dizemos que R está relacionado com S E escrevemos R S para representar essa relação É fácil vericar que a relação satisfaz as seguintes propriedades: a) S S (Reexiva); b) R S S R (Simetria); c) R S, T R T S (Transitiva) Uma relação que satisfaça as propriedades a), b) e c) é chamada de relação de equivalência[3, [ Denição 3 Diremos que os sistemas R e S são Sistemas Lineares Equivalentes se o sistema R for obtido de S por meio de um número nito de operações elementares Denição 33 Dados um sistema α x + α x + + α n x n = β α x + α x + + α n x n = β S: α m x + α m x + + α mn x n = β m 53

54 a matriz α α α n β α α α n β α m α m α mn β m é chamada de matriz aumentada do sistema S Ao manipular as equações de um sistema as variáveis permanecem intactas, assim podemos suprimi-las nesse processo e trabalhar apenas com os coecientes Esse processo recebe o nome de escalonamento Exemplo 3 Vejamos agora um exemplo de escalonamento de um sistemas com três equações e três incógnitas x + x x 3 = 3 x x + 3x 3 = 8 3x x 7x 3 = L + L L 3 + ( 3)L L + L 3 L + ( )L x = x = x 3 = 3 L + ( )L L 3 + 5L A única solução do sistema equivalente é (x, x, x 3 ) = (,, 3) Portanto a solução do sistema original também é única e é (x, x, x 3 ) = (,, 3) Escrevemos essa solução no formato vetorial como segue: 54

55 x x x 3 = 3 Exemplo 3 Mostre que o seguinte sistema é equivalente a um sistema impossível x y + z = x y + z = 4 x y + z = L + ( )L L 3 + ( )L 0 0 x y + z = y z = 0 x + 0 y + 0 z = L 3 + L A equação 0 x + 0 y + 0 z = não tem solução Portanto o sistema equivalente ao sistema original é impossível, logo o sistema original é impossível, ou seja, o conjunto solução é vazio Exemplo 33 Vejamos agora um exemplo de escalonamento de um sistemas 4 4 x + 3x + 4x 3 + x 4 = 8 3x + 0x + 4x 3 + 5x 4 = 4 5x x x 3 7x 4 = 48 4x + 9x + 0x 3 + x 4 = L + ( 3)L L 3 + 5L L 4 + ( 4)L L 3 + ( 4)L L 4 + 3L 55

56 x = 4 x = 4 x 3 = 4 x 4 = 4 L + ( )L 4 L + L 4 L 3 + 3L 4 L + ( 3)L x = 4 x = 4 x 3 = 4 x 4 = 4 L + ( 4)L 3 L + ( )L 3 x x x 3 x 4 = Exemplo 34 Resolva o sistema x y z = x + y 3z = 0 x 7y = L + ( )L L 3 + ( )L L / { x 7 z = 5 5 y z = 5 5 L 3 + L L + L { x = z y = z Portanto ( z, z, z) é uma solução de S z R 56

57 x y z = + 7z z 5 5 z = z 5 z 5 z = z Exemplo 35 Vejamos agora um exemplo de escalonamento de um sistemas com três equações e cinco incógnitas(mais equações do que incógnitas) x x + x 3 7x 4 = x x + 3x 3 9x 4 x 5 = 3x 3x + x 3 6x 4 + x 5 = L + ( )L L 3 + ( 3)L L + ( )L { x + ( ) x + 0 x 3 + ( ) x 4 + x 5 = 0 x + 0 x + x 3 + ( 5) x 4 + ( ) x 5 = L 3 + L { x = + x + x 4 + ( ) x 5 x 3 = + 0 x + 5 x 4 + x 5 x = x x 4 = x 4 x 5 = x 5 x x x 3 x 4 x 5 = x x x Exemplo 36 Verique que o seguinte sistema é possível e determinado e encontre a sua única solução 57

58 x y + z = x + y + z = 0 3x y + z = 0 3 L + ( )L L 3 + ( 3)L L L L / L 3 + ( 3)L x y z x = 0 y = 3 z = 3 = L 3 /3 L + L L + ( )L 3 L + L 3 L + ( )L 3 L + L 3 33 Sistemas algébricos Exemplo 33 Discutir o seguinte sistema linear: x ay z = x 3y az = ax 9y az = Solução: 58

59 a 3 a a 9 a a 0 a 3 a 0 0 a 9 0 a L + ( )L L 3 + ( a)l a 0 a 3 a a + a 3 a L 3 + ( (a + 3))L a + a 3 = 0 a = a = 3 Primeiro caso: a = Segundo caso: a = Terceiro caso: a = Quarto caso: a R { 3,, 3} a a 0 0 a a+3 [ Exemplo 33 Seja A = x x 0 Resolva a equação A T = A 59

60 34 Determinação da Inversa Um processo prático para determinação da inversa de uma matriz será apresentado nesse exemplo e demonstrado adiante no Teorema (33) Exemplo 34 Verique se a matriz A = A, caso esta matriz exista L + ( )L L 3 + ( 3)L L + ( )L 3 L + ( 3)L 3 Logo a matriz A é invertível e é invertível e determine L 3 + ( )L L + ( 3)L A = Para termos certeza de que as contas estão corretas devemos vericar se de fato A A = I A A = = Exemplo 34 Verique se a matriz A = A, caso esta matriz exista é invertível e determine 60

61 L 3 + ( )L L 3 /3 Logo a matriz A é invertível e A = L + ( )L A = L 3 + L L + ( )L 3 Para termos certeza de que as contas estão corretas devemos vericar se de fato A A = I A A = 0 = Exemplo 343 Vejamos o mesmo problema com A= L 3 + ( )L L 3 + L

62 Logo a matriz A não é invertível 35 Sistemas de Cramer Seja S : α x + α x + + α n x n = β α x + α x + + α n x n = β α m x + α m x + + α mn x n = β m (36) um sistema de m equações com n incógnitas (m, n ) sobre R Se tomarmos A = α α α n α α α n α m α m α mn, X = x x x n e b = β β β m, então S poderá ser escrito na forma matricial AX = b onde A recebe o nome de matriz dos coecientes dos sistema (36) Denição 35 Um Sistema de Cramer é um sistema linear n n cuja matriz dos coecientes é invertível Neste ambiente em que A M n (R) procedendo com as seguintes manipulações algébricas, cujas validades já foram demonstradas temos AX = b A (AX) = A b (A A)X = A b I n X = A b X = A b Portanto todo sistema de Cramer é possível e determinado Exemplo 35 A matriz dos coeciente do sistema 6

63 x + y = y + z = x + z = 0 A = 3 Portanto X = 3 é A = Além disso X = 0 = 36 Matrizes Elementares 0 0 que é invertível e x y z e b = x y z = Denição 36 Uma matriz elementar de ordem n é uma matriz E obtida de I n por meio de uma única operação elementar Exemplo 36 E = 0 0, E = 0 0, E 3 = 3 0, Teorema 3 Sejam E uma matriz elementar de ordem n Se aplicarmos, em uma matriz A, (também de ordem n) a mesma operação elementar que transforma I n em E obtemos a matriz EA Especialmente nesse Teorema não faremos demonstração, em vez disso, daremos um exemplo desse comportamento das matrizes elementares Exemplo 36 Sejam A = E = , E = e E 3 = Aplicando a operação que transformou I n em E obtemos: 63

64 L L Multiplicando E por A obtemos: E A = = Aplicando a operação que transformou I n em E obtemos: L = L Multiplicando E por A obtemos: E A = = Aplicando a operação que transformou I n em E 3 obtemos: L + 3L Multiplicando E 3 por A obtemos: E 3 A = = Teorema 3 Toda matriz elementar E de ordem n é invertível 64

65 Teorema 33 Uma matriz A de ordem n é invertível se, e somente se, I n A Neste caso, a mesma sucessão de operações que transforma A em I n, transforma I n em A Demonstração E t E t E E A = I n A = E t E t E E A = E t E t E E I n 37 Aplicações Interpolação Polinomial A interpolação polinomial é a substituição de uma função por um polinômio que coincida em um conjunto nito de pontos Caso o fenômeno possa ser representado por um polinômio então o resultado será uma solução exata como é o caso dos seguintes exemplos Exemplo 37 Suponha que f(x) = ax 3 +bx +cx+d Determine seus coecientes a, b, c e d resolvendo o seguinte sistema: f( ) = f(0) = f() = f() = 4 Exemplo 37 Suponha que f(n) = n k= k possa ser expressa por uma função polinomial de grau três, ou seja, f(n) = an + bn + c Determine seus coecientes a, b e c resolvendo o seguinte sistema: f(0) = 0 f() = f() = 3 a b c d = 0 Resolvendo o sistema acima obtemos 65

66 a b c = 0 Ou seja, f(n) = n n + 0 = n(n ) Desse fato concluímos que caso a função f possa ser expressa como polinômio de grau então é dada por n k = k= n(n ) (37) Exemplo 373 Suponha que f(n) = n k= k possa ser expressa por uma função polinomial de grau três, ou seja, f(n) = an 3 +bn +cn+d Determine seus coecientes a, b, c e d resolvendo o seguinte sistema: f(0) = 0 f() = f() = 5 f(3) = 4 a b c d Resolvendo o sistema acima obtemos = Ou seja, f(n) = 3 n3 + n + 6 n + 0 = n(n+)(n+) 6 Desse fato concluímos que caso a função f possa ser expressa como polinômio de grau 3 então é dada por n k = k= n(n + )(n + ) 6 (38) Exemplo 374 Suponha que f(n) = n k= k 3 possa ser expressa por uma função polinomial de grau três, ou seja, f(n) = an 4 + bn 3 + cn + dn + e Determine seus coecientes a, b, c, d e e resolvendo o seguinte sistema: 66

67 f(0) = 0 f() = f() = 9 f(3) = 36 f(4) = 00 a b c d e Resolvendo o sistema acima obtemos = Ou seja, f(n) = 4 n4 + n3 + 4 n + 0n + 0 = n (n +n+) Desse fato 4 concluímos que caso a função f possa ser expressa como polinômio de grau 4 então é dada por 4 = n (n+) n k= k 3 = n (n + ) 4 (39) Parametrização Planar A parmetrização planar consiste em determinar as posições de pontos satisfazendo um sistema linear por meio de um conecção entre tais pontos Exemplo 375 Dados os pontos D = (7, 6), E = (6, 0), F = (, ) e G = (3, ) resolva o seguinte sistema vetorial para calcular as coordenadas de A = (x, y ), B = (x, y ) e C = (x 3, y 3 ) 4A = B + C + D + E 4B = A + C + E + F 5C = A + B + D + F + G 67

68 y F G x Resposta: A = (3, 8), B = (0, 9) e C = (9, 7) C Exemplo 376 Dados os pontos D = (6, 5), E = (5, 9), F = (, 0) e G = (, 0) resolva o seguinte sistema vetorial para calcular as coordenadas de A = (x, y ), B = (x, y ) e C = (x 3, y 3 ) 4A = B + C + D + E 4B = A + C + E + F 5C = A + B + D + F + G B A E D 68

69 y F C 0 0 G x Resposta: A = (, 7), B = (9, 8) e C = (8, 6) B Exemplo 377 Dados os pontos D = (5, 5), E = (4, 9), F = (0, 0) e G = (, 0) resolva o seguinte sistema vetorial para calcular as coordenadas de A = (x, y ), B = (x, y ) e C = (x 3, y 3 ) 4A = B + C + D + E 4B = A + C + E + F 5C = A + B + D + F + G A E D 69

70 y 0 F 9 E 8 B 7 A 6 C 5 D G x Resposta: A = (, 7), B = (8, 8) e C = (7, 6) Exemplo 378 Dados os pontos D = (5, 5), E = (4, 9), F = (0, 0) e G = (, 0) resolva o seguinte sistema vetorial para calcular as coordenadas de A = (x, y ), B = (x, y ) e C = (x 3, y 3 ) 4A = B + C + D + E 4B = A + C + E + F 5C = A + B + D + F + G 70

71 y 0 F C 0 0 G x Resposta: A = (, 7), B = (8, 8) e C = (7, 6) B Exemplo 379 Dados os pontos D = (5, 5), E = (4, 9), F = (0, 0) e G = (, 0) resolva o seguinte sistema vetorial para calcular as coordenadas de A = (x, y ), B = (x, y ) e C = (x 3, y 3 ) 4A = B + C + D + E 4B = A + C + E + F 5C = A + B + D + F + G A E D 7

72 y 0 F C 0 0 G x Resposta: A = (, 7), B = (8, 8) e C = (7, 6) B Exemplo 370 Dados os pontos D = (5, 4), E = (4, 7), F = (0, 9) e G = (, 4) resolva o seguinte sistema vetorial para calcular as coordenadas de A = (x, y ), B = (x, y ) e C = (x 3, y 3 ) 4A = B + C + D + E 4B = A + C + E + F 5C = A + B + D + F + G A E D 7

73 y 0 F G C x Resposta: A = (, 6), B = (8, 7) e C = (7, 6) B Esse problema pode ser generalizado de modo que a solução é obtida por meio de resolução de um sistema linear [6 Segue o esquema generalizado aplicado a parametrização de superfícies triangulares A E D 73

74 Click aqui para ver mais detalhes dessa generalização Veja também um vídeo da resolução de um sistema por meio de método iterativo clicando aqui (Relaxamento Planar) Um problema análogo porém no espaço tridimensional também requer a solução de um sistema mas não um sistema linear Porém sua resolução é feita iterativamente e em cada iteração um sistema linear é resolvido Veja vídeo de processo clicando aqui(método de Newton e Instabilidade) (Método de Newton e Estabilidade mas não convergente) 74

75 Capítulo 4 Espaços Vetoriais 4 Espaços Vetoriais Nesse capítulo vamos formalizar um pouco mais a linguagem matemática de estruturas como o conjunto de matrizes para que não se tenha dupla ou múltiplas interpretações de uma mesma armação Para entender melhor esse fato clique aqui(romanos) para assistir esse vídeo Denição 4 Dizemos que um conjunto E é um espaço vetorial sobre R quando for possível denir duas operações satisfazendo uma lista de 8 propriedades que descreveremos a seguir I - Adição + : E E E (u, v) u+v tal que A ) u+v = v+u, u, v E(Comutatividade); A ) u+(v+w) = (u+v)+w, u, v, w E(Associatividade); A 3 ) 0 E tal que u+ 0 = u, u E(Existência do elemento neutro da soma); A 4 ) Dada a matriz u E, ( u) E tal que u+( u) = 0(Existência do inverso aditivo) II - Produto por Escalar : R E E (λ, v) λ v 75

76 tal que M ) (α β) u = α (β u), α, β R, u E(Associatividade); M ) (α + β) u = α u+β u, α, β R, u E(Distributiva do produto por escalar em relação à soma de números reias); M 3 ) α(u+v) = α u+α v, α R, u, v E(Distributiva do produto por escalar em relação à soma de vetores); M 4 ) u = u, u E(Elemento neutro) Exemplo 4 O conjunto R com as operações de adição e multiplicação é um espaço vetorial sobre R Exemplo 4 O conjunto C com as operações de soma e produto de números reais por complexos é um espaço vetorial(neste caso, em C está denido um produto de complexo por complexo que torna C um corpo algebricamente fechado) Exemplo 43 O conjunto dos vetores da geometria(denidos por meio de segmentos orientados) é um espaço vetorial Exemplo 44 O conjunto M m n (R) das matrizes m n com as operações de adição e produto por escalar denidas no anterior é um espaço vetorial sobre R Exemplo 45 Seja R n = {(x,, x n ) / x,, x n R} com as operações denimos a soma e o produto por escalar da se- + : R n R n R n (u, v) u + v u = (x,, x n ) Dados v = (y,, y n ) λ R guinte forma: : R R n R n (λ, u) λ u (x,, x n ) + (y,, y n ) := (x + y,, x n + y n ) e λ (x,, x n ) := (λ x,, λ x n ) (R n, +, ) é um espaço vetorial sobre R 76

77 Exemplo 46 (C n, +, ) é um espaço vetorial sobre R Exemplo 47 Seja P n o conjunto de todos os polinômios de grau n, ou seja, P n (R) = {(a 0 + a x + + a n x n ) / a 0,, a n R} com as operações + : P n (R) P n (R) P n (R) (f, g) f + g Dados escalar da seguinte forma: f(x) = a 0 + a x + + a n x n g(x) = b 0 + b x + + b n x n λ R : R P n (R) P n (R) (λ, f) λ f denimos a soma e o produto por (a a n x n ) + (b b n x n ) := (a 0 + b 0 ) + + (a n + b n ) x n e λ (a a n x n ) := λ a λ a n x n Prove que (P n (R), +, ) é um espaço vetorial sobre R Exemplo 48 O espaço P n (C) é um espaço vetorial sobre C Exemplo 49 O conjunto F (R) das funções f : R R é um espaço vetorial sobre R Exemplo 40 E = {u R /u > 0} com as operações u+v := u v e λ u := u λ é um espaço vetorial sobre R Exemplo 4 Seja E o conjunto dos pares ordenados de números reais Determine quais são as condições sobre a, b, c e d para que seja comutativa a operação de adição denida por (x, y )+(x, y ) := (ax + bx, cy + dy ) Demonstração u+v = (x, y )+(x, y ) = (ax + bx, cy + dy ) v+u = (x, y )+(x, y ) = (ax + bx, cy + dy ) Portanto para que + seja comutativa é necessário que { ax + bx = ax + bx, x, x R cy + dy = cy + dy, y, y R 77

78 Assim podemos inferir que valem as igualdades para quaisquer valores que atribuirmos a x, x, y, y R { x =, x = 0 a = b y =, y = 0 c = d Portanto as condições são : { a = b c = d Exemplo 4 Seja E o conjunto dos pares ordenados de números reais Determine quais são as condições sobre a e b para que seja associativa a operação de adição denida por (x, y )+(x, y ) := (ax + bx, 0) Demonstração u+ [v+w = (x, y )+ [(x, y )+(x 3, y 3 ) = (x, y )+(ax + bx 3, 0) = (ax + b(ax + bx 3 ), 0) = (ax + abx + b x 3, 0) [u+v +w = [(x, y )+(x, y ) +(x 3, y 3 ) = (ax + bx, 0)+(x 3, y 3 ) = (a(ax + bx ) + bx 3, 0) = (a x + abx + bx 3, 0) Portanto para que + seja associativa é necessário que ax + abx + b x 3 = a x + abx + bx 3, x, x, x 3 R ax + b x 3 = a x + bx 3, x, x 3 R Assim podemos inferir que valem as igualdades para quaisquer valores que atribuirmos a x, x 3 R { x =, x 3 = 0 a = a x = 0, x 3 = b = b Portanto as condições são : 78

79 (a, b) = (0, 0) (a, b) = (, 0) (a, b) = (0, ) (a, b) = (, ) Exemplo 43 Seja E o conjunto dos pares ordenados de números reais Determine quais são as condições sobre a, b, c e d para que seja comutativa a operação de adição denida por a) (x, y )+(x, y ) := (ax + bx x + cx, 0); b) (x, y )+(x, y ) := (ax x + bx x + cx y + dx y, 0) Exemplo 44 Seja E o conjunto dos pares ordenados de números reais Determine quais são as condições sobre a para que seja associativa a operação de produto por escalar denida por λ (x, y) = (a λ x, λ y) Demonstração (α β) u = (α β) (x, y) = (a (α β) x, (α β) y) α(β u) = α (β (x, y)) = α (a β x, β y) = (a α (a β x), α β y) = (a (α β) x, (α β) y) Portanto para que seja associativa é necessário que a (α β) x = a (α β) x Assim podemos inferir que vale a igualdade para quaisquer valores que atribuirmos a α, β e x Portanto a única condição é: a = a a a = 0 a(a ) = 0 a = 0 ou a = 79

80 4 Propriedades Seja um espaço vetorial E sobre R Então valem as seguintes propriedades: P Sejam E um espaço vetorial e u, v, w E Utilizando apenas as 8 propriedades de Espaço vetorial prove que vale a lei do cancelamento, ou seja, se u + v = u + w então v = w (Explicite cada propriedade utilizada) Demonstração u + v = u + w ( u) + [u + v = ( u) + [u + w [( u) + u + v = [( u) + u + w 0 + v = 0 + w v = w Exemplo 4 Observe que se denirmos a operação de adição entre pares de números dada por (x, y)+(a, b) = (x+a, y+a) então para os pares u = (5, 6), v(, 3) e w = (, 4) temos que u + v = (5, 6) + (, 3) = (6, 7) = (5, 6) + (, 4) = u + w e mesmo assim v w Ou seja, a lei do cancelamento não vale para toda operação Note que durante a demonstração usamos a recíproca da armação que queremos provar, ou seja, v = w u + v = u + w Se estamos questionando a implicação então porque podemos usar a recíproca? Isso pode ser usado pois a operação é uma função e uma função não pode ter duas imagens para um mesmo elemento do domínio assim v = w (u, v) = (u, w) pela denição de igualdade de vetores e pela unicidade da imagem pela função + temos u + v = +(u, v) = +(u, w) = u + w P Para todo α R, α 0 = 0 Demonstração α 0 = α (0 + 0) = α 0 + α 0 α 0 + α 0 = α 0 α 0 + α 0 = 0 + α 0 [α 0 + α 0 + ( (α 0)) = [0 + α 0 + ( (α 0)) α 0 + [α 0 + ( (α 0)) = 0 + [α 0 + ( (α 0)) α = α 0 = 0 P 3 Para todo u E, 0 u = 0 80

81 Demonstração 0 u = (0 + 0) u = 0 u + 0 u 0 u = 0 u + 0 u 0 u + 0 = 0 u + 0 u ( (0 u)) + [0 u + 0 = ( (0 u)) + [0 u + 0 u [( (0 u)) + 0 u + 0 = [( (0 u)) + 0 u + 0 u = u 0 = 0 u 0 u = 0 P 4 Uma igualdade α u = 0, com α R e u E só é possível se α = 0 ou u = 0 Demonstração Suponha α 0 Daí existe o número real α Multiplicando então ambos os lados da equação α u = 0 por α teremos α (α u) = α 0 (α α) u = 0 u = 0 u = 0 P 5 Para todo α R e todo u E, ( α) u = (αu) Demonstração αu + ( α) u = [α + ( α) u = 0 u = 0 αu + ( α) u = 0 Assim temos: { αu + ( α) u = 0 αu + ( (α u)) = 0 αu + ( α) u = αu + ( (α u)) ( (αu)) + [αu + ( α) u = ( (αu)) + [αu + ( (α u)) [( (αu)) + αu + ( α) u = [( (αu)) + αu + ( (α u)) 0 + ( α) u = 0 + ( (α u)) ( α) u = (α u) Em particular se α = temos ( ) u = ( u) donde ( ) u = u Ou seja, o inverso aditivo de u é igual a ( ) u assim como ocorria com números reais P 6 Para todo α R e todo u E, α( u) = (αu) Demonstração 8

82 αu + α ( u) = α [u + ( u) = α 0 = 0 αu + α ( u) = 0 Assim temos: { αu + α ( u) = 0 αu + ( (α u)) = 0 αu + α ( u) = αu + ( (α u)) ( (αu)) + [αu + α ( u) = ( (αu)) + [αu + ( (α u)) [( (αu)) + αu + α ( u) = [( (αu)) + αu + ( (α u)) 0 + α ( u) = 0 + ( (α u)) α ( u) = (α u) Denição 4 Dados dois vetores u, v do espaço E, dene-se a diferença entre u e v como segue: u v := u + ( v) (4) P 7 Para todo α, β R e u E, (α β) u = α u β u Demonstração (α β) u = (α + ( β)) u = α u + ( β) u = α u + ( (β u)) = α u (β u) = α u β u P 8 Para todo α R e todo u, v E, α (u v) = α u α v Demonstração α (u v) = α (u + ( v)) = α u + α ( v) = α u + ( (α v)) = α u (α v) = α u α v 8

83 P 9 Dados os números α, α,, α n, β R e u,, u n E, então: ( n ) n β α j u j = (βα j ) u j (4) j= Demonstração Faremos a demonstração por indução Seja a proposição P (n) denida como ( ) n P (n) : β α j u j = n (βα j ) u j j= j= Assim temos que ( ) P () : β α j u j = (βα j ) u j β(α u ) = (βα )u (por M ) j= j= Desenvolvendo P (n + ) temos: ( ) n+ β α j u j = n+ (βα j ) u j β β j= (( n j= ) ) j= α ju j + α n+ u n+ = n (βα j ) u j + (βα n+ ) u n+ j= ( n ) j= α ju j + β (α n+ u n+ ) = n j= j= (βα j ) u j + β (α n+ u n+ ) 43 Subespaços Vetoriais Denição 43 Seja E um espaço vetorial sobre R Um subespaço vetorial de E é um subconjunto F E, tal que: i) 0 F ; ii) u, v F u + v F ; iii) α R, u F αu F Usaremos a seguinte notação F E para indicar que F é subespaço vetorial de E 83

84 Exemplo 43 O círculo F = {(x, y) R ; x + y } não é um subespaço vetorial de R i) (0, 0) F, pois = 0 ; ii) u = (, 0) F, v = (0, ) F u + v = (, ) F pois + = > ; iii) u = ( 3, 3) F 3u = (, ) F pois + = > ; y y y u + v 3u (0, 0) x v u x u x Exemplo 43 O primeiro quandrante F = {(x, y) R ; x, y 0} não é um subespaço vetorial de R i) (0, 0) F, pois x = 0 0, y = 0 0; ii) u = (x +, y + ) F, v = (x +, y + ) F u + v = (x + + x +, y + + y + ) F x + + x + 0, y + + y + 0; pois iii) u = (, ) F ( )u = (, ) F pois < 0; y F u x ( ) u Exemplo 433 A união do primeiro e terceiro quandrantes F = {(x, y) R ; x y 0} não é um subespaço vetorial de R 84

85 i) (0, 0) F, pois 0 0 = 0 0; ii) u = (, ) F, v = (, ) F u + v = (, ) F pois ( ) < 0; iii) u = (x, y) F λu = (λx, λy) F pois λx λy 0; y F u x u + v v Teorema 4 Se F E é um subespaço vetorial de E, então F é um espaço vetorial sobre R(Exercício) Exemplo 434 Para todo espaço vetorial E é imediato que F = {0} e F = E são subespaços de E Esses subespaços são chamados subespaços triviais Exemplo 435 F = {(x, y, z) R 3 /x + y + z = 0} é um subespaço de R 3 (Exercício) Exemplo 436 F = {(x, y, z) R 3 /x + y + z = } não é um subespaço de R 3 (Exercício) Exemplo 437 F = {(x, y, z) R 3 /ax + by + cz = 0} é um subespaço de R 3 (Exercício) Exemplo 438 A interseção de dois subespaços do mesmo espaço vetorial E é também um subespaço vetorial de E(Exercício) (F, G E) F G E) Exemplo 439 P s (R) é um subespaço de P n (R) desde que 0 s n(exercício) 85

86 Exemplo 430 Uma matriz M M n (R) é dita simétrica quando vale [M ij = [M ji O conjunto S n (R) M n (R) das matrizes simétricas é um subespaços vetoriais de M n (R) Demonstração i) [0 ji = 0 = [0 ij i, j {,, n} 0 S n (R); ii) A, B S n (R) [A ji = [A ij e [B ji = [B ij i, j {,, n} [A+B ji = [A ji + [B ji = [A ij + [B ij = [A + B ij i, j {,, n} A + B S n (R); iii) A S n (R), α R [α A ji = α [A ji = α [A ij = [α A ij i, j {,, n} α A S n (R) Exemplo 43 Uma matriz M M n (R) é dita anti-simétrica quando vale [M ij = [M ji O conjunto A n (R) M n (R) das matrizes anti-simétricas é um subespaços vetoriais de M n (R) Demonstração i) [0 ji = 0 = 0 = [0 ij i, j {,, n} 0 A n (R); ii) A, B A n (R) [A ji = [A ij e [B ji = [B ij i, j {,, n} [A + B ji = [A ji + [B ji = ( [A ij ) + ( [B ij ) = ([A ij ) + [B ij ) = [A + B ij i, j {,, n} A + B A n (R); iii) A A n (R), α R [α A ji = α [A ji = α ( [A ij ) = [α A ij i, j {,, n} α A A n (R) Exemplo 43 Se E é um espaço vetorial e u E, o conjunto dos vetores da forma λu com λ R, é um subespaço de E Ou seja, dado u E a reta passando polo elemento nulo e por u, denotada por r u = {λu; λ R} é um subespaço vetorial de E 86

87 y λu u x u Demonstração i) 0 = 0 u F 0 F ; ii) v, w F v = λ u, w = λ u v + w = λ u + λ u = (λ + λ ) u F ; iii) v F, α R α v = α (λ u) = (α λ) u F Exemplo 433 O conjunto das matrizes triangulares superiores de dimensão n denido por T n (R) = {A M n (R); [A ij = 0 i > j} é um subespaço vetorial de M n (R) Exemplo 434 Seja um sistema linear homogênio sobre R: a x + a x + + a n x n = 0 a x + a x + + a n x n = 0 0 a m x + a m x + + a mn x n = 0 (43) Prove que o conjunto solução do sistema acima é um sub-espaço vetorial de R n Demonstração E = R n, F = {(x,, x n ) R n / (x,, x n ) é solução do sistema (43) } F E é um subespaço vetorial i) (0, 0,, 0) F ; ii) (x,, x n ), (y,, y n ) F (x,, x n ) + (y,, y n ) F ; iii) λ R, (x,, x n ) F λ(x,, x n ) F ; 87

88 Exemplo 435 O conjunto G F (R) das funções g : R R tais que g(0) = 0 é um subespaço vetorial de F (R) Demonstração i) 0(0) = 0 0 F (R) ii) f, g F (R) f(0) = g(0) = 0 (f + g)(0) = f(0) + g(0) = = 0 f + g F (R) iii) λ R, f F (R) f(0) = 0 (λf)(0) = λf(0) = λ0 λf F (R) Exemplo 436 Mostre que a) Dados v 0 uma solução de AX = B e v uma solução de AX = 0 então w = v 0 +v é solução de AX = B; b) Dados v 0, w soluções de AX = B então v = w v 0 é solução de AX = 0 Solução: a) De fato Aw = A(v + v 0 ) = Av + Av 0 = B + 0 = B Logo v + v 0 é uma solução de AX = B b) De fato Av = A(w v 0 ) = Aw A 0 = B B = 0 44 Soma de Subespaços Denição 44 Sejam F, G E subespaços vetoriais de E, denimos a soma de subespaços e denotamos por F + G o seguinte conjunto F + G = {u + v/u F e v G} Teorema 4 Sejam E é um espaço vetorial e F, G E subespaços vetoriais de E Então F + G também é um sub-espaço vetorial de E Demonstração i) 0 = F + G, pois 0 F, G; ii) w, t F + G w + t = (u + v ) + (u + v ) = (u + u ) + (v + v ) F + G; iii) w F + G, λ R λ w = λ (u + v) = λ u + λ v F + G; 88

89 Denição 44 Sejam F, G E subespaços vetoriais de um espaço vetorial E tais que F G = {0} Neste caso diz-se que F + G é a soma direta dos subespaços F e G e indicamos por F G Teorema 43 Sejam F, G E subespaços vetoriais de um espaço vetorial E Então E = F G se, e somente se, cada vetor u E admite uma única decomposição u = v + w, com v F e w G Demonstração Se E = F G então u E u = v + w, v F e w G Suponha que u = v + w, com v F e w G v + w = v + w v v = w w F G = {0} v = v e w = w Portanto a escrita é única Supondo agora que cada vetor de u E tem uma única escrita u = v + w, com v F e w G então E = F + G Se u F G então u = u + 0 = 0 + u logo u = 0 Portanto F G = {0} e consequentemente E = F G Exemplo 44 O espaço R 3 é a soma direta dos subespaços: F = {(x, 0, 0) R 3 /x R} G = {(0, y, z) R 3 /y, z R} É imediato que F G = {(0, 0, 0)} Para todo {(x, y, z) R 3 temos {(x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, z) F + G Logo R 3 = F G Exemplo 44 O espaço R 3 é claramente a soma direta dos subespaços: F = {(x, y, x + y) R 3 /x, y R} G = {(z, z, z) R 3 /y, z R} Também vale F G = {(0, 0, 0)} Para todo {(a, b, c) R 3 temos {(a, b, c) = (x, y, x + y) + (z, z, z) F + G basta tomar x = c b, y = c a e z = a + b c Logo R 3 = F G 89

90 45 Combinação Linear Denição 45 Seja E um espaço vetorial sobre R e S E um subconjunto não vazio de E, denimos o espaço gerado por S da seguinte forma [S = {α u + + α n u n / u,, u n E e α,, α n R} (44) Teorema 44 [S é um subespaço vetorial de E O subespaço [S que acabamos de construir recebo o nome de espaço gerado por S Cada elemento de [S é uma combinação linear de S Diz-se também que S geram [S, ou então que S é um sistema de geradores de [S Teorema 45 Decorre da denição que: a) S [S; b) S S E [S [S ; c) [S = [[S; d) Se S E e S E, então [S S = [S + [S Demonstração a) v S v = v [S b) v [S v = α v + + α n v n, v,, v n S S v = α v + + α n v n, v,, v n S v [S c) Pela parte a) temos que [S [[S Suponhamos agora v [[S Assim temos v = α v + + α n v n, v,, v n [S v = p v = p α i i= j= i= j= p β ij w ij, w ij S p α i β ij w ij, w ij S v = p λ k u k, u k S k= v [S d) v [S S 90

91 v = k γ i v i, v i S S i= v = m α i u i + n α j w j, u i S, w j S i= v [S + [S j= Exemplo 45 Se E = R 3, u = (, 0, 0), v = (,, 0) o que é [{u, v}? Demonstração [{u, v} = {αu + βv/ α, β R} = {(α + β, β, 0)/ α, β R} = {(x, y, 0)/ x, y R} uma vez que o sistema { α + β = x é possível e determinado β = y 46 Espaços Finitamente Gerados Denição 46 Dizemos que E é um espaço nitamente gerado quando E = [S onde S é um conjunto nito de vetores de E Exemplo 46 Seja S = {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, )} Verique que R 3 = [S (a, b, c) R 3 vale a igualdade (a, b, c) = x(, 0, 0) + y(0,, 0) + z(0, 0, ) 0 0 a 0 0 b 0 0 c x y z = R 3 = [S a b c 9

92 Exemplo 46 Seja S = {(,, ), (,, 3), (, 3, 6)} Verique que R 3 = [S (a, b, c) R 3 a equação a seguir tem solução (a, b, c) = x(,, ) + y(,, 3) + z(, 3, 6) a 3 b 3 6 c x y z = 3a 3b + c 5b 3a c a b + c Portanto R 3 = [S Exemplo 463 Cada um dos seguintes espaços vetoriais é nitamente gerado: ) E = R 3 ; ) E = {0}; 3) E = M (R); 4) E = R n ; 5) E = M m n (R); 6) E = P n (R) Exemplo 464 R = {(x,, x n, ); x i R i =,,, n } não é um espaço nitamente gerado 47 Aplicações Uma aplicação de base de um espaço vetorial é a conversão de imagens no formato bmp para o formato jpg Esta conversão consiste em (uma versão discreta) escrever as matrizes rgb do mapa de bits como uma combinação linear de matrizes de uma base especial das matrizes 9

93 Capítulo 5 Base e Dimensão 5 Dependência Linear Denição 5 Uma combinação linear dos vetores u, u,, u n é uma expressão da forma α u + α u + + α n u n Exemplo 5 Um exemplo de combinação linear dos vetores (5,, 0, ), (0,, 3, 5) e (, 0, 0, ) é v = (5,, 0, ) + ( ) (0,, 3, 5) + 3 (, 0, 0, ) = (0, 4, 0, ) + (0,, 3, 5) + ( 6, 0, 0, 3) = (4, 3, 3, 4) (5) Portanto v = (4, 3, 3, 4) é uma combinação linear dos vetores (5,, 0, ), (0,, 3, 5) e (, 0, 0, ) Exemplo 5 Os vetores u = (6, 5, ) é multiplo de v = (, 5, 7) Portanto não são linearmente independentes pois u = 3v Exemplo 53 Determine x de modo que os vetores u = ( 7 x, 40 x, 4 + x) seja multiplo de v = (9 x, 5 3x, x) Os vetores serão multiplos se ( 7 x, 40 x, 4 + x) = α(9 x, 5 3x, x), ou seja, α = 7 x 9 x α = 40 x 5 3x α = 4+x x 93

94 7 x = 40 x 9 x 5 3x 7 x 9 x = 4+x x 40 x 5 3x = 4+x x Continuando a resolver obteremos equações de segundo grau em x e a solução será a interseção entre as três soluções 94

95 Exemplo 54 Dados a = ( 6, 5), b = (, 6), c = (4, 3), u = (3, 6), v = (, ), w = (, 4) Determine λ de modo que os vetores a + λu, b + λv, c + λw seja colineares a u b v w c Denição 5 Uma combinação linear nula dos vetores u, u,, u n é qualquer combinação linear α u +α u + +α n u n tal que α u +α u + +α n u n = 0 Exemplo 55 Um exemplo de combinação linear nula dos vetores (5,, 0), (0,, 3), (, 0, 0) e (4, 3, 3) é (5,, 0) + ( )(0,, 3) + 3(, 0, 0) + ( )(4, 3, 3) Exemplo 56 Sejam os vetores u = (, 3) e v = (, 6) Observe que é possível obter uma combinação nula dos vetores u e v com coecientes não todos nulos e esse fato é consequência dos vetores serem múltiplos 95

96 y 6 v u 0 0 x Observe que 0 (, 3) + 0 (, 6) = (0, 0) + (0, 0) = (0, 0) = 0 No entanto existem outras combinações lineares nulas dos vetores u e v como por exemplo (, 3) + ( ) (, 6) = (, 6) + (, 6) = ( + ( ), 6 + ( 6)) = (0, 0) De modo geral podemos resolver a seguinte equação x (, 3) + y (, 6) = 0 (x, 3x) + (y, 6y) = 0 (x + y, 3x + 6y) = (0, 0) { [ x + y = 0 0 3x + 6y = [ x y [ = y [ [ x y = [ y y Portanto existem innitas combinações lineares nulas dos vetores u e v Exemplo 57 Sejam os vetores u = (, ) e v = (, 3) Note que não é possível obter uma combinação nula dos vetores u e v com coecientes não nulos 96

97 y 4 3 v u x x (, ) + y (, 3) = 0 (x, x) + (y, 3y) = 0 (x + y, x + 3y) = (0, 0) { [ x + y = 0 0 x + 3y = [ [ x y = [ 0 0 [ [ [ Portanto a única combinações linear nula dos vetores u e v é a combinação onde os coecientes são zero, ou seja, 0 u + 0 v = 0 Fazer um exemplo com 3 vetores Exemplo 58 Sejam os vetores u = (, ) e v = (, 3) Note que não é possível obter uma combinação nula dos vetores u e v com coecientes não nulos 97

98 y 8 7 w v 3 u x x (, ) + y (, 3) = 0 (x, x) + (y, 3y) = 0 (x + y, x + 3y) = (0, 0) { [ x + y = 0 0 x + 3y = [ [ x y = [ 0 0 [ [ [ Portanto a única combinações linear nula dos vetores u e v é a combinação onde os coecientes são zero, ou seja, 0 u + 0 v = 0 Denição 53 A combinação linear nula trivial dos vetores u, u,, u n é 0 u + 0 u u n = 0 98

99 Denição 54 Seja E um espaço vetorial Diz-se que um conjunto X E é linearmente independente(abreviadamente LI) quando nenhum vetor v X é combinação linear dos demais vetores de X E X = {v} é LI se v 0 Dizse que um conjunto X é linearmente dependente(ld) quando não é linearmente independente Obs: Um conjunto LI X não tem o elemento nulo pois 0 = 0 v +0 v + +0 v n seria uma combinação linear dos outros vetores de X Teorema 5 Sejam E um espaço vetorial e X E um subconjunto não vazio Então as armações seguintes são equivalentes: i) X é LI; ii) A única combinação linear nula de vetores de X é a trivial Demonstração Suponhamos que X seja LI e que α v +α v + +α n v n = 0 seja uma combinação linear nula não trivial, ou seja, algum α i 0 Então temos α u + + α (i ) u (i ) + α i u i + α (i+) u (i+) + + α k u k = 0 α i u i = ( α )u + + ( α (i ) )u (i ) + ( α (i+) )u (i+) + + ( α k )u k u i = ( ) ( ) ( ) ( ) α α i u + + αi α i u (i ) + αi+ α α i u (i+) + + k α i u k v i é uma combinação linear de outros vetores de X, ou seja, absurdo, pois X é LI, logo não existe uma combinação linear nula não trivial de vetores de X Reciprocamente suponhamos que a única combinação linear nula dos vetores de X seja a trivial e que X não seja LI, logo v n = α v + + α n v n α v + + α n v n + ( ) v n = 0 que é uma combinação linear nula de vetores em X, na qual pelo menos um coeciente não é zero, ou seja, uma combinação linear nula não trivial, absurdo, portanto a suposição de que X não é LI é falsa Corolário 5 Sejam vetores v,, v n Linearmente Independentes Se v = α v + + α n v n = β v + + β n v n então α = β,, α n = β n Demonstração α v + + α n v n = β v + + β n v n 99

100 (α β ) v + + (α n β n ) v n = 0 (α β ) = = (α n β n ) = 0 α = β,, α n = β n Exemplo 59 Seja B = {(, 0), (0, ), (, )} Assim B não é Linearmente Independente Dessa forma a escrita de um vetor em relação a B não é única Por exemplo, (4, ) = 5 (, 0) + 3 (0, ) + 9 (, ) (4, ) = 6 (, 0) + 4 (0, ) + 8 (, ) Exemplo 50 Seja X = {(, 3), (, 6)} Vimos no Exemplo 56 que X é linearmente dependente pois existe uma combinação linear nula não trivial de seus elementos Por esse motivo seus vetores não satisfazem as condições do Corolário 5 e portanto não temos a garantia de que cada combinação linear seja única como ilustram os seguintes exemplos: a) 3(, 3) + (, 6) = 5(, 3) + (, 6); b) x(, 3) + y(, 6) = (x + )(, 3) + (y )(, 6) Exemplo 5 De forma mais geral se X = {u, v, w} não é Linearmente independente então algum dos vetores de X é combinação linear dos demais, digamos, v = au + bw Essa condição é suciente para que possamos encontrar mais do que uma forma de escrever uma combinação dada t = xu + yv + zw = xu + [(y ) + v + zw = xu + [(y ) v + v + zw = xu + (y )v + v + zw = xu + (y )v + (au + bw) + zw = (xu + au) + (y )v + (zw + bw) = (x + a)u + (y )v + (z + b)w 00

101 Exemplo 5 Por outro lado X = {(, ), (, 3)} é Linearmente Independente e portanto cada combinação linear de seus vetores é única Por exemplo v = 5(, ) + (, 3) = (0, 5) + (, 3) = (, 8) só pode ser escrita com coecientes 5 e Para vericar isso basta resolver a equação abaixo e concluir que x = 5 e y = x(, ) + y(, 3) = (, 8) Exemplo 53 Os vetores canônicos e, e,, e n R n são LI e = (, 0,, 0), e = (0,,, 0),, e n = (0, 0,, ) R n Demonstração α e + α e + + α n e n = 0 α (, 0,, 0) + α (0,,, 0) + + α n (0, 0,, ) = 0 (α, 0,, 0) + (0, α,, 0) + + (0, 0,, α n ) = 0 (α, α,, α n ) = 0 α = α = = α n = 0 Exemplo 54 Os vetores u = (,, 3), v = (4, 5, 6), w = (7, 8, 9) R 3 são LD pois v u = (4, 5, 6) (,, 3) = (8, 0, ) (,, 3) = (7, 8, 9) = w Verique que a equação xu + yv + zw = 0 admite solução não trivial Exemplo 55 Os vetores u = (,, ), v = (,, ), w = (,, ) R 3 são Linearmente Independente Verique essa armação mostrando que a equação xu + yv + zw = 0 não admite solução além da trivial Teorema 5 Sejam v, v,, v n vetores não-nulos do espaço vetorial E Se nenhum deles é combinação linear dos anteriores então o conjunto X = {v, v,, v n } é LI Demonstração Suponhamos que X seja LD, logo existe uma combinação linear nula não trivial dos vetores de X Ou seja, α v + α v + + α n v n = 0 com algum α i 0 Suponha r o maior índice não nulo α v + + α r v r + α r v r = 0 α r v r = α v α r v r v r = α v α r v r α r α ( r v r = α ) ( v + + α ) r v r α r α r 0

102 v r é uma combinação linear dos anteriores, absurdo, logo X é LI Exemplo 56 Quando os vetores v,, v n são LD, isto não signica que qualquer um deles é combinação linear dos demais Por exemplo se u = (, ), v = (3, 4), w = (4, 8) então {u, v, w} é um conjunto LD pois w = 4 u + 0 v Porém v não é combinação linear de u e w 4 u + 0 v = 4(, ) + 0(3, 4) = (4, 8) + (00) = (4, 8) = w (3, 4) = a u + b v = a(, ) + b(4, 8) = (a, a) + (4b, 8b) = (a + b, 4a + 8b) { (3, 4) = (a + b, 4a + 8b) a + b = 3 [ 4 8 [ a b = [ 3 4 Portanto não tem solução 4a + 8b = 4 [ [ Exemplo 57 Para i {,, 3, 4} sejam f i : N N funções de uma variável inteira com imagem inteiras dadas por f (m) = [ m f (m) = [ m+ f 3 (m) = [ m+ f 4 (m) = [ m+3 Onde [ m n é a parte inteira da divisão de m por n Verique se X = {f, f, f 3, f 4 } é linearmente independente ou se é linearmente dependente Solução: a [ m + b [ m+ + c [ m+ [ + d m+3 = 0 0

103 m = a [ + b [ + + c [ + [ + d +3 = 0 m = a [ m = 3 a [ 3 m = 4 a [ 4 + b [ + + b [ 3+ + b [ 4+ + c [ + + c [ 3+ + c [ 4+ [ + d +3 = 0 [ + d 3+3 = 0 [ + d 4+3 = 0 m = a [ + b [ + c [ 3 + d [ 4 = 0 m = a [ + b [ 3 + c [ 4 + d [ 5 = 0 m = 3 a [ 3 + b [ 4 + c [ 5 + d [ 6 = 0 m = 4 a [ 4 + b [ 5 + c [ 6 + d [ 7 = 0 a 0 + b + c + d = 0 a + b + c + d = 0 a + b + c + d 3 = 0 a + b + c 3 + d 3 = 0 b + c + d = 0 a + b + c + d = 0 a + b + c + 3d = 0 a + b + 3c + 3d =

104 Portanto X é linearmente dependente Exemplo 58 Para i {,, 3, 4} sejam f i : N N funções de duas variáveis inteiras com imagem inteiras dadas por f (m, n) = m f (m, n) = n f 3 (m, n) = min{m, n} f 4 (m, n) = max{m, n} Prove que X = {f, f, f 3, f 4 } é linearmente dependente Solução: m + n min{m, n} max{m, n} = 0 De fato, 04

105 05

106 Exemplo 59 Para i {,, 3, 4} sejam f i : N N funções de duas variáveis inteiras com imagem inteiras dadas por f (m, n) = m f (m, n) = n f 3 (m, n) = div{m, n}, parte inteira da divisão de m por n f 4 (m, n) = mod{m, n}, resto da divisão de m por n Prove que X = {g, g, g 3 } é linearmente dependente onde g = f, g = f f 3 e g 3 = f 4 Solução: m n div(m, n) mod (m, n) = 0 Exemplo 50 Para i {,, 3, 4} sejam f i : N N funções de duas variáveis inteiras com imagem inteiras dadas por 06

107 f (m, n) = [ m n f (m, n) = [ m+ n f 3 (m, n) = [ m+ n f 4 (m, n) = [ m+3 n Onde [ m n é a parte inteira da divisão de m por n Verique se X = {f, f, f 3, f 4 } é linearmente independente ou se é linearmente dependente Solução: a [ m n + b [ m+ n + c [ m+ n Atribuindo valores a m e n temos: (m, n) = (, ) a [ [ + d m+3 n = 0 + b [ + + c [ + [ + d +3 = 0 (m, n) = (, ) a [ (m, n) = (, 3) a [ 3 (m, n) = (, 4) a [ 4 + b [ + + b [ b [ c [ + + c [ c [ + 4 [ + d +3 = 0 [ + d +3 3 = 0 [ + d +3 4 = 0 (m, n) = (, ) a [ + b [ + c [ 3 + d [ 4 = 0 (m, n) = (, ) a [ + b [ + c [ 3 + d [ 4 = 0 (m, n) = (, 3) a [ 3 + b [ 3 + c [ d [ 4 3 = 0 (m, n) = (, 4) a [ 4 + b [ 4 + c [ d [ 4 4 = 0 a + b + c 3 + d 4 = 0 a 0 + b + c + d = 0 a 0 + b 0 + c + d = 0 a 0 + b 0 + c 0 + d = 0 a + b + 3c + 4d = 0 b + c + d = 0 c + d = 0 d = 0 07

108 Cuja matriz aumentada é Escalonando essa matriz obtemos: Logo a única solução é: a b c d = Portanto X = {f, f, f 3, f 4 } é linearmente independente Exemplo 5 Para i {,, 3, 4} sejam f i : N N funções de duas variáveis inteiras com imagem inteiras dadas por f (m, n) = [ m n f (m, n) = [ m+ n f 3 (m, n) = [ m n+ Onde [ m n é a parte inteira da divisão de m por n Verique se X = {f, f, f 3 } é linearmente independente ou se é linearmente dependente Solução: a [ m n [ + b m+ [ n + c m n+ = 0 Atribuindo valores a m e n temos: 08

109 (m, n) = (, ) a [ [ + b + [ + c + = 0 (m, n) = (, ) a [ [ + b + [ + c + = 0 (m, n) = (, ) a [ [ + b + [ + c + = 0 (m, n) = (, ) a [ + b [ + c [ = 0 (m, n) = (, ) a [ + b [ + c [ 3 = 0 (m, n) = (, ) a [ + b [ 3 + c [ = 0 a + b + c 0 = 0 a 0 + b + c 0 = 0 a 0 + b 0 + c = 0 a + b 3 + c = 0 a + b = 0 b = 0 a + 3b + c = 0 Cuja matriz aumentada é Escalonando essa matriz obtemos: Portanto a única solução é: a b c = Portanto X = {f, f, f 3 } é linearmente independente Exemplo 5 A matriz F é denida como [F ij = f(i, j) Em cada uma das letras resolva um sistema para vericar se a função f pode ser escrita como combinação das funções dadas no domínio dado: 09

110 F = a) X = {f } onde f é dada por f (m, n) = D = {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5)} b) X = {f, f, f 3 } onde essas funções são dadas por f (m, n) = f (m, n) = n [ m n f 3 (m, n) = [ m+ n f(m, n) = af (m, n) + bf (m, n) + cf 3 (m, n) = a + bn [ m n f(m, n) = a + bn [ m n [ + c m+ n [ + c m+ n D = {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (3, ), (3, ), (3, 3), (3, 4)} c) X = {f } onde f é dada por f (m, n) = [ m n f (m, n) = [ m+ n f 3 (m, n) = mn D = {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (3, ), (3, ), (3, 3), (3, 4), (4, ), (4, ), (4, 3), (4, 4)} 0

111 Denição 55 Uma base de um espaço vetorial E é um subconjunto B E linearmente independente que gera E Isto signica que todo vetor v E se exprime de modo único como combinação linear v = α v + + α n v n de elementos da base B Exemplo 53 Os vetores canônicos e = (, 0,, 0), e = (0,,, 0),, e n = (0, 0,, ) R n constituem uma base de R n, chamada base canônica Os polinômios, x, x,, x n formam uma base para o espaço vetorial P n dos polinômios de grau n Lema 5 Todo sistema linear homogêneo cujo número de incógnitas é maior do que o número de equações admite uma solução não trivial A demonstração desse Lema é feita por indução matemática e a variável de indução é a quantidade m de linhas do sistema Exemplo 54 Sejam E um espaço vetorial e B = {u, u, u 3 } um conjunto de geradores de E Prove que C = {v, v, v 3, v 4 } E é linearmente dependentes Resolução: De fato se B = {u, u, u 3 } gera E então podemos escrever os vetores de C como combinação linear dos vetores de B como abaixo v = α u + α u + α 3 u 3 v = α u + α u + α 3 u 3 v 3 = α 3 u + α 3 u + α 33 u 3 v 4 = α 4 u + α 4 u + α 34 u 3 Dizer que C = {v, v, v 3, v 4 } é LD equivale a dizer que existe uma combinação linear nula não trivial dos vetores de C Ou seja, x v + x v + x 3 v 3 + x 4 v 4 = 0 admite solução não trivial Assim x v + x v + x 3 v 3 + x 4 v 4 = 0 x (α u + α u + α 3 u 3 ) + x (α u + α u + α 3 u 3 ) + x 3 (α 3 u + α 3 u + α 33 u 3 ) + x 4 (α 4 u + α 4 u + α 34 u 3 ) = 0

112 (x α u + x α u + x α 3 u 3 ) + (x α u + x α u + x α 3 u 3 ) + (x 3 α 3 u + x 3 α 3 u + x 3 α 33 u 3 ) + (x 4 α 4 u + x 4 α 4 u + x 4 α 34 u 3 ) = 0 (x α u + x α u + x 3 α 3 u + x 4 α 4 u ) + (x α u + x α u + x 3 α 3 u + x 4 α 4 u ) + (x α 3 u 3 + x α 3 u 3 + x 3 α 33 u 3 + x 4 α 34 u 3 ) = 0 (x α + x α + x 3 α 3 + x 4 α 4 )u + (x α + x α + x 3 α 3 + x 4 α 4 )u + (x α 3 + x α 3 + x 3 α 33 + x 4 α 34 )u 3 = 0 Claramente a equação acima é válida se cada um dos coecientes é nulo Assim procuramos por uma solução tal que x α + x α + x 3 α 3 + x 4 α 4 = 0 x α + x α + x 3 α 3 + x 4 α 4 = 0 x α 3 + x α 3 + x 3 α 33 + x 4 α 34 = 0 Como o sistema acima tem m = 3 equações e n = 4 incógnitas, pelo Lema 5 admite solução não trivial Portanto C é Linearmente Dependente Teorema 53 Se os vetores v,, v m geram o espaço E então qualquer conjunto com mais de m vetores em E é LD Demonstração Dados os vetores w,, w n em E, com n > m, para cada j =,, n temos w j = α j v + + α mj v m pois os vetores v,, v m geram E Para mostrar que os vetores w j são LD, devemos achar coecientes x,, x n, não todos iguais a zero, tais que x w + + x n w n = 0 Substituindo os w j por suas expressões em termos dos v i, esta igualdade signica ( m ) ( m ) ( m ) x α i v i + x α i v i + + x n α in v i = 0 (5) i= i= ( n ) ( n ) ( n ) x j α j v + x j α j v + + x j α mj v m = 0 (53) j= j= Certamente esta última condição será satisfeita desde que todos os somatórios dentro dos parâmetros sejam nulos, ou seja, que (x, x,, x n ) seja uma solução i= j=

113 não trivial do sistema homogêneo α x + α x + + α n x n = 0 α x + α x + + α n x n = 0 α m x + α m x + + α mn x n = 0 Uma tal solução existe pelo Lema (5), pois n > m Logo w,, w n são LD e o teorema está demonstrado Corolário 5 Se o espaço vetorial E admite uma base B = {u,, u n } com n elementos, qualquer outra base de E possui também n elementos Demonstração Seja B = {v,, v m } outra base de E Como B gera E e B é LI, temos que n m Como B gera E e B é LI, temos que m n Logo m = n Denição 56 Diz-se que o espaço vetorial E tem dimensão nita quando admite uma base B = {v,, v n } com um número nito n de elementos Este número chama-se a dimensão do espaço vetorial E Ou seja, n = dim E Por extensão, diz-se que o espaço vetorial E = {0} tem dimensão zero Corolário 53 Se a dimensão de E é n, um conjunto com n vetores gera E se, e somente se, é LI Teorema 54 Seja E um espaço vetorial de dimensão nita n Então: i) Todo conjunto X de geradores de E contém uma base ii) Todo conjunto LI {v,, v m } E está contido numa base iii) Todo subespaço vetorial F E tem dimensão nita, a qual é menor ou igual a n iv) Se a dimensão do subespaço vetorial F E é igual a n, então F = E 5 Base de Subespaço Observações: As operações elementares aplicadas nas linhas de uma matriz não afeta o espaço gerado pelos vetores linha dessa mesma matriz i) i, j =,, r 3

114 [u,, u i,, u j,, u r = [u,, u j,, u i,, u r ii) i, j =,, r e α R [u,, u i,, u r = [u,, αu i,, u r iii) i, j =,, r e α R [u,, u i,, u j,, u r = [u,, u i + αu j,, u j,, u r Exemplo 5 Sejam u, v, w E onde E é um espaço vetorial qualquer E seja F = [u, v, w o espaço gerado por u, v e w i) F = [v, u, w; t = y v + x u + z w; ii) F = [u, v, w; t = (u) + x v + z w; iii) F = [u + 3v, v, w; t = x (u + 3v) + (y 3x) v + z w; Exemplo 5 Seja F = [(,,, 0), (, 0,, ), (0,,, 4) L L L 3 + L L + ( )L F = [(,,, 0), (, 0,, ), (0,,, 4) = [(, 0,, ), (0,,, 4) 53 Dimensão da soma de dois subespaços Teorema 55 Seja E um espaço vetorial sobre R de dimensão nita Se F e G são subespaços de E, então: dim(f G) + dim(f + G) = dim F + dim G (54) 4

115 ou dim(f + G) = dim F + dim G dim(f G) (55) Exemplo 53 Por exemplo a interseção entre um plano e uma reta 54 Coordenadas Denição 54 Os escalares α,, α n que guram na equação v = α v + + α n v n, são chamados coordenadas do vetor v em relação à base ordenada B = {v,, v n } v = α α α n B = (α, α,, α n ) B = (α, α,, α n ) = α α α n (56) Exemplo 54 Ache as coordenadas de f(t) = + 4t + t em relação à base ordenada B = {, + t, + t } + 4t + t = α + α ( + t) + α 3 ( + t ) = (α + α + α 3 ) + α t + α 3 t α + α + α 3 = α = 4 α 3 = f(t) = 3 4 B = 3 4 Exemplo 54 Determine as coordenadas de (4, 8, 3) em relação à seguinte base B = {(,, ), (,, 0), (, 0, )} (4, 8, 3) = x(,, ) + y(,, 0) + z(, 0, ) x y + z = 4 x + y = 8 x z = x y z =

116 L + ( )L L 3 + ( )L L L L 3 + ( )L L 3 / L + ( )L 3 L + L L + L (4, 8, 3) = 5 (,, ) + 3 (,, 0) + (, 0, ) Exemplo 543 Determine as coordenadas de (, 0, 0) em relação à seguinte base B = {(,, ), (,, 0), (, 0, )} (, 0, 0) = x(,, ) + y(,, 0) + z(, 0, ) x y + z = x + y = 0 x z = x y z = 0 0 6

117 (, 0, 0) = (,, ) + ( )(,, 0) + (, 0, ) Mudança de Base Denição 55 Seja E um espaço vetorial de dimensão n e considere as bases B = {u,, u n } e C = {v,, v n } de E A matriz de mudança da base B para a base C, ou matriz de passagem, é denida pelos coecientes do seguinte sistema: v = α u + α u + + α n u n v = α u + α u + + α n u n v n = α n u + α n u + + α nn u n ou v j = n α ij u i, (j =,,, n) (57) i= 7

118 Ou seja, a matriz de mudança da base B para a base C é a matriz quadrada de ordem n dada pelos coecientes da equação (57) α α α n α α α n P = α n α n α nn (58) Seja B a matriz dada por B (i) = u i e C a matriz dada por C (j) = v j Segue da equação (57) que v j = BP (j) Assim temos que BP = [ BP () BP (n) = [v v n = [ C () C (n) = C Portanto as bases e a matriz de passagem se relacionam pela seguinte equação matricial: BP = C Para resolver esse sistema quando a incógnita é a matriz P basta seguir o seguinte esquema [ B C [I P Equivalentemente BP = C (BP ) T = C T P T B T = C T E portanto para resolver esse sistema seguimos o seguinte esquema [ P T C T [I B T Exemplo 55 Determine a matriz de mudança da base B = {(,, ), (3, 7, 4), (3, 7, 5)} do R 3 para a base C = {(,, ), (, 0, ), (,, )} desse mesmo espaço Solução: 8

119 (,, ) = α (,, ) + α (3, 7, 4) + α 3 (3, 7, 5) (, 0, ) = α (,, ) + α (3, 7, 4) + α 3 (3, 7, 5) (,, ) = α 3 (,, ) + α 3 (3, 7, 4) + α 33 (3, 7, 5) P = L + ( )L L 3 + ( )L L 3 + ( )L L + ( 3)L 3 L + ( )L 3 L + ( 3)L Exemplo 55 Por exemplo determine a base B sabendo que a matriz de passagem da base B para a base C é P = e C = {(,, ), (, 0, ), (,, )} desse mesmo espaço Solução: 9

120 (,, ) = 4 u + ( 7) u + u 3 (, 0, ) = ( ) u + 5 u + 0 u 3 (,, ) = u + ( 3) u + 0 u Donde obtemos a base B a partir das linhas da matriz B T B = {(,, ), (3, 7, 4), (3, 7, 5)} Exemplo 553 Qual a matriz de mudança da base B = {, + t} para a base C = {, t} no espaço P (R)? { = α + α ( + t) t = α + α ( + t) { + 0 t = (α + α ) + α t 0 + t = (α + α ) + α t { { α + α = α = 0 α = α = 0 { { α + α = 0 α = α = α = P = [ é a matriz procurada 0 Teorema 56 Sejam E um espaço vetorial, P = (α ij ) a matriz de passagem da base B = {u,, u n } para a base C = {v,, v n } de E e Q = (β jk ) a matriz de passagem da base C = {v,, v n } para a base D = {w,, w n } Então a matriz de passagem da base B para a base D é a matriz produto P Q Demonstração Pela denição de matriz de passagem temos v j = n α ij u i e w k = i= 0 n β jk v j j=

121 Logo w k = n j= β jk v j ( = n n ) β jk α ij u i j= = n = n j= i= i= j= i= i= n (α ij β jk u i ) n (α ij β jk u i ) ( ) = n n α ij β jk u i j= = n [P Q ik u i i= Portanto a matriz de passagem da base B para a base D é a matriz produto P Q Corolário 54 Toda matriz de passagem é uma matriz invertível Demonstração De fato, se considerarmos a matriz de passagem P da base B para a base C e a matriz de passagem Q da base C para a base B temos que a matriz de passagem da base B para a base B é por um lado a identidade e por outro o produto de P por Q P Q = I Portanto P é invertível Teorema 57 Seja E umespaço vetorial, Se a matriz das coordenadas de u E em relação à base B é X B = x x n e a matriz de mudança da base B = {u,, u n } B para a base C = {v,, v n } é P = (α ij ), então a matriz das coordenadas de u em relação à base C é X C = P X B

122 Demonstração Seja X C = base C Temos então u = n x i u i = n y j v j i= j= y y n Como cada v j = n α ij u i ( j =,,, n), então i= j= i= j= C i= a matriz das coordenadas de u em relação à ( u = n x i u i = n y j v j = n n ) ( ) y j α ij u i = n n α ij y j u i x i = ( ) n α ij y j j= i= α y + α y + + α n y n = x α y + α y + + α n y n = x α n y + α n y + + α nn y n = x n X B = x x x n = α α α n α α α n α n α n α nn y y y n j= = X C X B = P X C X C = P X B Exemplo 554 Sejam E um espaço vetorial e u, v e w vetores linearmente independentes em E Os vetores a = u v+w, b = u+w e c = u+v+w são linearmente independentes? Resolução: Dizer que C = {a, b, c} é LI equivale a dizer que a única combinação linear nula dos vetores de C é a trivial Ou seja, xa + yb + zc = 0 implica x = y = z = 0

123 Assim xa + yb + zc = 0 x(u v + w) + y(u + w) + z(u + v + w) = 0 (x + y + z)u + (x + z)v + (x + y + z)w = 0 x + y + z = 0 x + z = 0 x + y + z = 0 Como a única solução desse sistema é x = y = z = 0 então C é LI Exemplo 555 Sejam E um espaço vetorial e B = {u, u, u 3 } um conjunto Linearmente Independentes em E Prove que C = {v, v, v 3 } E é Linearmente Dependentes onde v = u + 3 u + u 3 v = u + 4 u + 4 u 3 v 3 = 3 u + 0 u + 8 u 3 Resolução: Dizer que C = {v, v, v 3 } é LD equivale a dizer que existe uma combinação linear nula não trivial dos vetores de C Ou seja, x v + x v + x 3 v 3 = 0 admite solução não trivial Assim x v + x v + x 3 v 3 = 0 x ( u + 3 u + u 3 ) + x ( u + 4 u + 4 u 3 ) + x 3 (3 u + 0 u + 8 u 3 ) = 0 (x u + 3x u + x u 3 ) + (x u + 4x u + 4x u 3 ) + (3x 3 u + 0x 3 u + 8x 3 u 3 ) = 0 (x u + x u + 3x 3 u ) 3

124 + (3x u + 4x u + 0x 3 u ) + (x u 3 + 4x u 3 + 8x 3 u 3 ) = 0 (x + x + 3x 3 )u + (3x + 4x + 0x 3 )u + (x + 4x + 8x 3 )u 3 = 0 Como os vetores u, u e u 3 são LI então a única solução da equação acima é a trivial, logo x + x + 3x 3 = 0 3x + 4x + 0x 3 = 0 x + 4x + 8x 3 = 0 Resolvendo o sistema acima concluímos que ele admite solução não trivial Portanto C = {v, v, v 3 } é Linearmente Dependente Exemplo 556 Sejam E um espaço vetorial e B = {u, u, u 3 } um conjunto Linearmente Independentes em E Prove que C = {v, v, v 3 } E é Linearmente Independentes onde v = u + 3 u + u 3 v = u + 4 u + 4 u 3 v 3 = u + 4 u + 5 u 3 Resolução: Dizer que C = {v, v, v 3 } é LI equivale a dizer que a única combinação linear nula dos vetores de C é a trivial Ou seja, x v + x v + x 3 v 3 = 0 não admite solução não trivial Assim x v + x v + x 3 v 3 = 0 x ( u + 3 u + u 3 ) + x ( u + 4 u + 4 u 3 ) + x 3 ( u + 4 u + 5 u 3 ) = 0 (x u + 3x u + x u 3 ) + (x u + 4x u + 4x u 3 ) + (x 3 u + 4x 3 u + 5x 3 u 3 ) = 0 (x u + x u + x 3 u ) 4

125 + (3x u + 4x u + 4x 3 u ) + (x u 3 + 4x u 3 + 5x 3 u 3 ) = 0 (x + x + x 3 )u + (3x + 4x + 4x 3 )u + (x + 4x + 5x 3 )u 3 = 0 Como os vetores u, u e u 3 são LI então a única solução da equação acima é a trivial, logo x + x + x 3 = 0 3x + 4x + 4x 3 = 0 x + 4x + 5x 3 = 0 Resolvendo o sistema acima temos x = x = x 3 = 0 Portanto C = {v, v, v 3 } é Linearmente Independente Turma A Teorema 58 Seja E um espaço vetorial sobre R Se B = {u,, u n } é uma base de E e P = (α ij ) é uma matriz invertível, então os n vetores v j = n i= α ij u i (j =,,, n) formam uma base de E, ou seja, C = {v,, v n } é uma base de E Demonstração ( n x j v j = 0 n n ) ( ) x j α ij u i = 0 n n α ij x j u i = 0 j= j= i= n α ij x j = 0 ( i =,,, n) j= i= j= α x + α x + + α n x n = 0 α x + α x + + α n x n = 0 α n x + α n x + + α nn x n = 0 α α α n α α α n α n α n α nn x x x n 0 = 0 0 x = x = = x n = 0 C = {v,, v n } é LI, portanto C = {v,, v n } também é uma base de E 5

126 Capítulo 6 Transformação Linear 6 Transformação Linear Denição 6 Sejam E e F espaços vetoriais sobre R Uma aplicação T : E F é chamada transformação linear de E em F, quando i) T (u + v) = T (u) + T (v), u, v E; ii) T (λu) = λt (u), u E, λ R No caso em que E = F, uma transformação linear T : E F é chamada também de operador linear em E Exemplo 6 Prove que as funções f : R R dada por f(x) = x, g : R + R dada por g(x) = x, h : R R dada por h(x) = cos(x) e p : R R dada por p(x) = 3x + não são transformações lineares E q : R R dada por q(x) = 3x é uma transformação linear Exemplo 6 Verique que a função T : R R 3 dada por T (x, y) = (x + y, x y, x + y) é uma transformação linear Demonstração T (u + v) = T ((x, y) + (z, w)) = T (x + z, y + w) = ((x + z) + (y + w), (x + z) (y + w), (x + z) + (y + w)) = ((x + y) + (z + w), (x y) + (z w), (x + y) + (z + w)) = (x + y, x y, x + y) + (z + w, z w, z + w) = T (x, y) + T (z, w) = T (u) + T (v) 6

127 T (λ u) = T (λ (x, y)) = T (λ x, λ y) = (λ x + λ y, λ x λ y, (λ x) + λ y) = (λ (x + y), λ (x y), λ (x + y)) = λ (x + y, x y, x + y) = λ T (x, y) = λ T (u) Portanto T é uma transformação linear Exemplo 63 Seja 0 : E F dada por u 0 transformação linear Verique que 0 é uma { 0(u + v) = 0 = = 0(u) + 0(v) 0(λ u) = 0 = λ 0 = λ 0(u) Exemplo 64 Seja I : E E dada por u u transformação linear Verique que I é uma { I(u + v) = u + v = I(u) + I(v) I(λ u) = λ u = λ I(u) Exemplo 65 Verique que a função T : R 3 R dada por T (x, y, z) = (y, x z) é uma transformação linear Demonstração T (u + v) = T ((x, y, z ) + (x, y, z )) = T (x + x, y + y, z + z ) = (y + y, (x + x ) (z + z )) = (y + y, x + x z z ) = (y, x z ) + (y, x z ) = T (x, y, z ) + T (x, y, z ) = T (u) + T (v) T (λ u) = T (λ (x, y, z )) = T (λ x, λ y, λ z ) = (λ y, (λ x ) (λ z )) = λ (y, x z ) = λ T (x, y, z ) = λ T (u) 7

128 Portanto F é uma transformação linear Exemplo 66 Verique que a função T : R n R m dada por T (x, x,, x n ) = (a x + + a n x n,, a m x + + a mn x n ) ou o que é o mesmo dada por: x a x + + a n x n x a x + + a n x n T x n a m x + + a mn x n é uma transformação linear Demonstração Basta observar que T é dada por T x x x n = a x + + a n x n a x + + a n x n a m x + + a mn x n T (X) = T x x x n = a a n a a n a m a mn x x x n = A X Portanto como o produto de matrizes é distributivo e "associativo"em relação à multiplicação por escalar valem: T (X +Y ) = A(X +Y ) = AX +AY = F (X)+T (Y ) e T (λx) = A(λX) = λ(ax) Logo F é uma transformação linear Exemplo 67 Verique que a função D : P n (R) P n (R) denida por D(f(t)) = f (t) para todo polinômio f(t) de P n (R)(f (t) indica a derivada de f(t)) é uma transformação linear Sejam E e F espaços vetoriais sobre R e consideremos uma transformação linear T : E F Valem as seguintes propriedades para T : 8

129 P T (0) = 0; Demonstração F (0) + 0 = T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0) 0 = T (0) T (0) = 0 P T ( u) = T (u) u U; Demonstração T (u) + ( T (u)) = 0 = T (0) = T (u + ( u)) = T (u) + T ( u) Logo T (u) + ( T (u)) = T (u) + T ( u) T (u) = T ( u) T ( u) = T (u) P 3 T (u v) = T (u) T (v) u, v E; Demonstração T (u v) = T (u + ( v)) = T (u) + T ( v) = T (u) + ( T (v)) = T (u) T (v) P 4 Se G é um subespaço de E, então a imagem de G por T é um subespaço vetorial de F Demonstração Lembremos que T (G) = {T (u)/u G} é a imagem direta de G por T i) Como 0 G e T (0) = 0, então 0 T (G); ii) u, v T (G) u = T (x), v = T (y), x, y G u + v = T (x) + T (y) = T (x + y) T (G) pois, x + y G, x, y G; iii) λ R, u T (G) u = T (x), x G λu = λt (x) = T (λx) T (G) pois, λx G, λ R, x G P 5 Sendo T : E F linear então 9

130 ( n ) T a i u i = i= Demonstração Se n = temos ( n ) ( ) T a i u i = T a i u i i= i= = T (a u ) = a F (u ) = a i T (u i ) i= = n a i T (u i ) i= n a i T (u i ) (6) i= Suponhamos agora a armação verdadeira par um n qualquer e provemos para n + ( n+ ) ( n ) T a i u i = T a i u i + a n+ u n+ i= i= ( n ) = T a i u i + T (a n+ u n+ ) i= = n a i T (u i ) + a n+ T (u n+ ) i= = n+ i= a i T (u i ) 6 Núcleo e Imagem Denição 6 Sejam E e F espaços vetoriais sobre R e T : E F uma transformação linear Indica-se por N(T ) e denomina-se núcleo de T o seguinte subconjunto de E: N(T ) = {u E/ T (u) = 0} (6) Denição 6 Sejam E e F espaços vetoriais sobre R e T : E F uma transformação linear Indica-se por Im(T ) e denomina-se imagem de T o seguinte subconjunto de E: 30

131 Im(T ) = {T (u) F ; u E} (63) Exemplo 6 Seja T : R 3 R dada por T (x, y, z) = (x y, y z) Então N(T ) é a solução do seguinte sistema T (x, y, z) = 0 { { x y = 0 x = y y z = 0 y = z x = y = z N(T ) = {(t, t, t); t R} = [(,, ) R 3 Teorema 6 Seja T : E F uma transformação linear Então: ) N(T ) é um sub-espaço vetorial de E; ) T é injetiva se, e somente se, N(T ) = {0} 3) Im(T ) é um sub-espaço vetorial de F ; Demonstração ) i) T (0) = 0 0 N(T ); ii) x, y N(T ) T (x + y) = T (x) + T (y) = = 0 x + y N(T ); iii) λ R, x N(T ) T (λx) = λt (x) = λ 0 = 0 λx N(T ) ) Se T é injetiva então T (v) = 0 = T (0) v = 0 N(T ) = {0} Se N(T ) = {0} então T (u) = T (v) T (u) T (v) = 0 T (u v) = 0 u v N(T ) u v = 0 u = v Portanto T é injetiva 3) i) 0 = T (0) Im(T ); 3

132 ii) u, v Im(T ) x, y E / u = T (x), v = T (y) u + v = T (x) + T (y) = T (x + y) Im(T ), pois x + y E; iii) λ R, u Im(T ) λ R, x E / u = T (x) λu = λt (x) = T (λx) Im(T ), pois λx E Teorema 6 (Teorema do Núcleo e da Imagem) Sejam E e F espaços vetoriais de dimensão nita e A : E F uma transformação linear Então vale a seguinte igualdade dim E = dim N(A) + dim Im(A) (64) Demonstração Sejam C = {v,, v q } uma base de N(A) e D = {Au,, Au p } uma base de Im(A) Então B = {u,, u p, v,, v q } é uma base de E Vamos demonstra que B é LI e que gera E Para demonstrar que B é LI basta mostrar que a única combinação linear nula de seus vetores é a trivial suponhamos que α u + + α p u p + β v + + β q v q = 0 (65) Aplicando A em ambos os lados da equação (65) obetemos A(α u + + α p u p + β v + + β q v q ) = A(0) α A(u ) + + α p A(u p ) + β A(v ) + + β q A(v q ) = A(0) α A(u ) + + α p A(u p ) = 0 α = = α p = 0 pois, D é uma base e portanto seus vetores são LI e consequentemente a única combinação linear de seus vetores é a trivial Substituindo esses valores na equação (65) obtemos β v + + β q v q = 0 β = = β q = 0 α = = α p = β = = β q = 0 Portanto B é LI, pois uma combinação linear nula de seus vetores é inevitavelmente a trivial Agora vamos demonstrar que dado um vetor qualquer w E podemos escreve-lo como combinação linear dos elementos de B 3

133 w E A(w) Im(A) A(w) = α A(u ) + + α p A(u p ) A(w) = A(α u + + α p u p ) A(w) A(α u + + α p u p ) = 0 A(w (α u + + α p u p )) = 0 w (α u + + α p u p ) N(A) w (α u + + α p u p ) = β v + + β q v q w = α u + + α p u p + β v + + β q v q Portanto B gera E Portanto B é uma base de E pois B é LI e gera E Corolário 6 Sejam E e F espaços vetoriais sobre R com a mesma dimensão nita n e suponhamos T : E F uma transformação linear Então são equivalentes as seguintes armações: i) N(T ) = {0}; ii) T é injetiva ; iii) T é sobrejetiva ; iv) T é bijetiva ; v) T transforma uma base de E em uma base de F (isto é, se B é uma base de E, então T (B) é uma base de T (E) 63 Operações com Transformações Lineares Denição 63 Sejam E e F espaços vetoriais sobre R Indiquemos por L(E, F ) o conjunto de todas as transformações lineares de E em F Se F = E, o conjunto dos operadores de E será donotado por L(E) Sejam R, S L(E, F ) transformações lineares de E em F Se denirmos T : E F dada por T (u) = R(u) + S(u) então T é também uma transformação linear De fato T (u + v) = R(u + v) + S(u + v) = [R(u) + R(v) + [S(u) + S(v) = [R(u) + S(u) + [R(v) + S(v) = T (u) + T (v) e T (λu) = R(λu) + S(λu) = λr(u) + λs(u) = λ[r(u) + S(u) = λt (u) Denimos a seguir a soma de transformações lineares Portanto T = R + S L(E, F ) e assim está bem denida a adição 33

134 Denição 63 Dados S, T L(E, F ), denimos a soma S + T de S com T da seguinte forma: S + T : E F dada por (S + T )(u) = S(u) + T (u) u E A ) S + T = T + S, S, T L(E, F ) (Comutatividade); A ) (R + S) + T = R + (S + T ), R, S, T L(E, F ) (Associatividade); A 3 ) T + 0 = T, T L(E, F ), onde 0(u) = 0, u E (Existência do elemento neutro da adição); A 4 ) T L(E, F ) ( T )/ T + ( T ) = 0, onde ( T )(u) = T (u), u E (Existência do inverso aditivo) Sejam S L(E, F ) transformação linear de E em F Se denirmos T : E F dada por T (u) = λs(u) então T é também uma transformação linear De fato T (u + v) = λs(u + v) = λ[s(u) + S(v) = λs(u) + λs(v) = T (u) + T (v) e T (αu) = λs(αu) = λ(αs(u)) = (λα)s(u) = (αλ)s(u) = α(λs(u)) = α(t (u)) Denimos a seguir o produto de transformações lineares por escalar Portanto λt assim denida é uma transformação linear Denição 633 Dados T L(E, F ) e λ R, denimos o produto λt de λ com T da seguinte forma: λt : E F dada por (λt )(u) = λt (u), u E M ) (α β) T = α (β T ), α, β R (Associatividade); M ) (α + β) T = α T + β T, T L(E, F ), α, β R (Distributividade da multiplicação em relação à soma de números reais); M 3 ) α (R + S) = α R + α S, R, S L(E, F ), α R (Distributividade da multiplicação em relação à soma de transformações); [α(r + S)(u) = α(r + S)(u) = α[r(u) + S(u) = αr(u) + αs(u) = (αr)(u) + (αs)(u) = [αr + αs(u) M 4 ) T = T, T L(E, F ) (Existência do elemento neutro da multiplicação) Essas operações fazem de L(E, F ) um espaço vetorial, ou seja, (L(E, F ), +, ) é um espaço vetorial real Denição 634 Sejam E, F e G espaços vetoriais sobre R Se T : E F e S : F G são transformações lineares, denota-se por S T a aplicação composta de T e S denida por: 34

135 S T : E G e (S T )(u) = S(T (u)), u E U F V G W u F (u) (G F )(u) G F a) (S T )(u + v) = S(T (u + v)) = S(T (u) + T (v)) = S(T (u)) + S(T (v)) = (S T )(u) + (S T )(v) u, v E; b) (S T )(λu) = S(T (λu)) = S(λT (u)) = λs(t (u)) = λ(s T )(u) λ R u E; Portanto (S T ) L(E, G) é uma transformação linear Propriedades: C ) (R S) T = R (S T ), R, S, T L(E)(Associatividade); C ) I T = T I = T, T L(E)(Elemento neutro da composição); C 3 ) R (S + T ) = R S + R T, R, S, T L(E)(Distributividade da composição em relação à soma de transformações lineares); Exemplo 63 Assim como o produto de matrizes a composição de transformações não é comutativa, ou seja, não vale S T = T S em geral Por exemplo, dados S : R R e T : R R dadas por S(x, y) = (x + y, 0) e T (x, y) = (x, y), então (S T )(x, y) = S(T (x, y)) = S(x + y, 0) = (x + y, 0) e (T S)(x, y) = T (S(x, y)) = T (x, y) = (x + y, 0) 35

136 Logo S T T S Denição 635 Seja T um operador linear em E Denimos a potência de T por indução da seguinte forma: T 0 = I T n+ = T n T Ou seja, T 0 = I T = T 0 T = I T = T T = T T = T T T 3 = T T = T T T T 4 = T 3 T = T T T T T n+ = T n T = (T T T ) T Operadores Nilpotentes T n = 0, T 0 Exemplo 63 T : R 3 R 3 dada por T (x, y, z) = (0, x, y) é nilpotente pois T 3 (x, y, z) = T (T (T (x, y, z))) = T (T (0, x, y)) = T (0, 0, x) = (0, 0, 0) = 0 T 3 = 0 Exemplo 633 D : P n (R) P n (R) dada por D(f(t)) = f (t) é nilpotente Operadores Idepotentes ou Projeções P = P, P 0 e P I ) é a projeção ortogo- Exemplo 634 P : R R dada por P (x, y) = ( x+y nal sobre a reta y = x e satisfaz P = P, x+y 36

137 y (x, y) a P (x, y) = ( x+y, ) x+y (0, 0) a x Exemplo 635 P : R 3 R 3 dada por P (x, y, z) = (x y + z, x + y + z, x + 3 y + z) é a projeção sobre o plano x + y z = 0 e satisfaz P = P Exemplo 636 Seja P : R R a projeção ortogonal do ponto (x, y) sobre a reta y = mx a) Determine uma expressão para P (x, y) = (a, ma) encontrando a em função de x, y e m [Dica: utilize o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de vértices (0, 0), (x, y), (a, ma); b) Depois mostre que P é uma transformação linear Solução: 37

138 y (x, y) ma P (x, y) (0, 0) a x x + y = a + (ma) + (x a) + (y ma) x + y = a + m a + x ax + a + y may + m a 0 = a + m a ax + a may + m a 0 = a + m a ax may 0 = a + m a ax may 0 = a + m a x my x + my = a + m a a + m a = x + my a( + m ) = x + my a = x + my + m P (x, y) = b) ( x + my + m, mx + ) m y + m u = (x, y) v = (z, w) 38

139 P (u + v) = P ((x, y) + (z, w)) = P (x + z, y + w) ( (x + z) + m(y + w) =, m(x + z) + ) m (y + w) + m + m ( (x + my) + (z + mw) =, (mx + ) m y) + (mz + m w) + m + m ( (x + my) (z + mw) = + + m + m, (mx + m y) + (mz + ) m w) + m + m ( x + my = + m, mx + ) ( m y z + mw + + m + m, mz + ) m w + m = P (x, y) + P (z, w) = P (u) + P (v) P (λu) = P (λ(x, y)) = P ((λx, λy)) ( (λx) + m(λy) =, m(λx) + ) m (λy) + m + m ( λ(x + my) =, λ(mx + ) m y) + m + m ( x + my = λ + m, mx + ) m y + m = λp (x, y) = λp (u) Exemplo 637 Sejam a, b R com a b e P : R R a projeção do ponto (x, y) sobre o vetor u = (, a)(ou seja, sobre a reta y = ax) paralela ao vetor v = (, b) Determine uma expressão para a projeção P (x, y) Solução: 39

140 y y = bx (x, y) = αu + βv βv b a v u (x, y) = αu + βv (x, y) = α(, a) + β(, b) { α + β = x α a + β b = y [ x a b y [ x 0 b a y ax x 0 y ax b a y = ax αu P (x, y) = αu c x bx y 0 b a 0 y ax b a α β = y bx a b y ax a b 40

141 α = y bx a b P (x, y) = ( ) y bx a(y bx), a b a b Exemplo 638 Sejam u = (, 3, ), u = (3, 0, 6), u 3 = (, 5, 8) R 3 e P : R 3 R 3 a projeção do ponto (x, y, z) sobre subespaço F = [u, u paralela ao subespaço G = [u 3 Determine uma expressão para a projeção P F (x, y, z) Solução: (x, y, z) = α u + α u + α 3 u 3 (x, y, z) = α (, 3, ) + α (3, 0, 6) + α 3 (, 5, 8) (x, y, z) = (α, 3α, α ) + (3α, 0α, 6α ) + (α 3, 5α 3, 8α 3 ) (x, y, z) = (α + 3α + α 3, 3α + 0α + 5α 3, α + 6α + 8α 3 ) α + 3α + α 3 = x 3α + 0α + 5α 3 = y α + 6α + 8α 3 = z 3 x y 6 8 z Escalonando essa matriz obtemos a seguinte matriz x 8y + 5z 0 0 7y 9x z 0 0 8x 3y + z Portanto a solução do sistema é dada por α α α 3 = 50x 8y + 5z 7y 9x z 8x 3y + z Assim podemos escrever a projeção da seguinte forma P F (x, y, z) = α u +α u = (50x 8y +5z)(, 3, )+(7y 9x z)(3, 0, 6) 4

142 P F (x, y, z) = (50x 8y + 5z)(, 3, ) + (7y 9x z)(3, 0, 6) P F (x, y, z) = (50x 8y + 5z, 50x 54y + 5z, 50x 8y + 5z) + (y 57x 6z, 70y 90x 0z, 4y 4x z) Depois de manipular as expressões obtemos uma fórmula para a projeção sobre F paralela a G P F (x, y, z) = ( 7x + 3y z, 40x + 6y 5z, 64x + 4y 7z) Exemplo 639 Sejam u = (,, ), u = (, 5, 5), u 3 = (, 3, 5) R 3 e P : R 3 R 3 a projeção do ponto (x, y, z) sobre subespaço F = [u, u paralela ao subespaço G = [u 3 Determine uma expressão para a projeção P F (x, y, z) α α α 3 = 0x 5y + z 4y 7x z 5x 3y + z 4

143 Exemplo 630 Sejam u = (,, ), u = (0,, 0), u 3 = (0,, ) R 3 e P : R 3 R 3 a projeção do ponto (x, y, z) sobre subespaço F = [u, u paralela ao subespaço G = [u 3 Determine uma expressão para a projeção P F (x, y, z) α α α 3 = x y z z x Teorema 63 Seja P : E E um operador linear Então são equivalentes as seguintes propriedades: i) P = P ; ii) E = N(P ) Im(P ) 43