6º CONGRESSO BRASILEIRO DE PESQUISA E DESENVOLVIMENTO EM PETRÓLEO E GÁS

Transcrição

1 6º CONGRESSO BRASILEIRO DE PESQUISA E DESENVOLVIMENTO EM PETRÓLEO E GÁS TÍTULO DO TRABALHO: Um Algoritmo ara Estimação de Vazão de Gás em Poços de Petróleo roduzindo or Golfadas AUTORES: Fernando Cesar de Miranda (1) - fcesar@ccet.ufrn.br Francisco das Chagas Mota (1) mota@dca.ufrn.br Sérgio José Gonçalves e Silva () sergiojose@etrobras.com.br INSTITUIÇÃO: (1) Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica e de Comutação UFRN () Petrobrás, E&P, UN-RNCE Este Trabalho foi rearado ara aresentação no 6 Congresso Brasileiro de Pesquisa e Desenvolvimento em Petróleo e Gás- 6 PDPETRO, realizado ela a Associação Brasileira de P&D em Petróleo e Gás-ABPG, no eríodo de 09 a 13 de outubro de 011, em Florianóolis-SC. Esse Trabalho foi selecionado elo Comitê Científico do evento ara aresentação, seguindo as informações contidas no documento submetido elo(s) autor(es). O conteúdo do Trabalho, como aresentado, não foi revisado ela ABPG. Os organizadores não irão traduzir ou corrigir os textos recebidos. O material conforme, aresentado, não necessariamente reflete as oiniões da Associação Brasileira de P&D em Petróleo e Gás. O(s) autor(es) tem conhecimento e arovação de que este Trabalho seja ublicado nos Anais do 6 PDPETRO.

2 UM ALGORITMO PARA ESTIMAÇÃO DE VAZÃO DE GÁS EM POÇOS DE PETRÓLEO PRODUZINDO POR GOLFADAS Abstract In this article we resent a technique for estimation of the gas flow in lunger lift wells. The technique consists in using system identification methodology for develoing a maximum likehood estimator. In this way, it is ossible to estimate the gas flow by measuring the control signal of the ressure control valve, which can be easily measured from the CLP's. We show that an estimator with nine arameters is enough for calculating the gas flow with good recision. Introdução A indústria de etróleo tem desenvolvido ao longo do temo diversos mecanismos de elevação artificial de forma a comensar o efeito natural da deleção dos oços, dentre eles ode-se citar: bombeio mecânico, bombeio centrífugo submerso (BCS), bombeio de cavidades rogressivas (BCP), gas lift, lunger lift, dentre outros. O método lunger lift é caracterizado elo uso de um istão ou êmbolo que é instalado no interior da coluna de rodução e tem a função de criar uma interface entre o fluido que se encontra acima dele e o fluido que fica abaixo do mesmo (normalmente o gás). O istão ermanece se deslocando ara cima e ara baixo em movimentos cíclicos utilizando, ara isto, a energia de exansão do gás que fica acumulado no esaço anular entre o revestimento e a coluna de rodução. A rodução de um oço com lunger lift se dá através de golfadas na suerfície ocorridas quando o istão alcança a cabeça do oço, momento em que todo o fluido deverá escoar ela linha de rodução com grande velocidade, conforme aresentado em SILVA, 006. Em função desta característica de rodução or golfadas, a medição da vazão de gás de oços com lunger lift não é uma tarefa trivial, ocorrendo, normalmente, a ultraassagem da faixa de medição do equiamento. Na maioria dos casos, o tio de medidor mais utilizado ara medir a vazão de gás de um searador é a laca de orifício que, ao ser atravessada or um fluido, rovoca um equeno diferencial de ressão ( ) entre as duas faces da mesma. Com base neste valor de e utilizando-se um algoritmo definido ela norma API-MPMS é obtido o valor da vazão de gás através da laca. Uma das maiores limitações deste tio de medidor é a sua faixa de oeração (rangeabilidade), ou seja, a razão entre a vazão mínima e a vazão máxima onde a laca de orifício ode ser utilizada. Esta razão normalmente é da ordem de 1:3 ou 1:4 e durante o momento da golfada a vazão instantânea máxima na laca de orifício ode facilmente ultraassar dezenas de vezes o valor da vazão mínima, rovocando o fenômeno chamado overrange do medidor, acarretando erros elevados na medição. A solução roosta neste trabalho foi a de obter, com base no sistema de medição atual, uma estimativa da vazão de gás do searador utilizando-se sinais que são medidos de forma confiável. Numa lanta iloto, existente no Laboratório de Engenharia e Comutação e Automação da UFRN, foram feitas simulações a fim de se encontrar estimadores que medissem com recisão a vazão de gás. Para isso, foram usadas ferramentas de Séries Temorais, Inferência Estatística e o software R que ermitiram o desenvolvimento e testes de um modelo recursivo. Dessa forma, foi ossível se estimar o sinal de vazão de gás de saída do vaso searador a artir da medição sinal de atuação da válvula de controle de ressão (PCV) do vaso searador, sinal este lido diretamente da memória do CLP que controla o rocesso.

3 Metodologia Identificação de sistemas lida com o roblema de construir modelos matemáticos de sistemas dinâmicos com base em dados observados dos sistemas reais. Dentre os modelos de identificação aramétrica conhecidos na literatura, será dada maior ênfase ao modelo ARX que foi o que melhor se ajustou aos dados coletados do camo, como também ao método de estimação dos arâmetros através do método de máxima verossimilhança que coincide com o dos mínimos quadrados. Segundo LJUNG, 1987, o objetivo da identificação de sistemas é obter uma relação matemática que ossa rever, com razoável confiabilidade, o comortamento da saída de um sistema dinâmico, usando dados coletados da entrada e da saída do rocesso. Para um sistema linear e invariante no temo, LJUNG, 1987, descreve uma estrutura genérica ara um modelo de identificação aramétrica que ode ser reresentada na forma matemática. Considere um conjunto de n observações areadas de ( X (t ),Y (t )), t=1,,, n ara estimar +q+ (ver modelo abaixo) arâmetros de um sistema com sinal de entrada reresentada or X (t ) (sinal de controle da válvula) e saída (sinal de vazão de gás) reresentada or Y (t ). Assumindo-se que as séries x(t )=X (t+1) X (t ) e y(t )=Y (t+1 ) Y (t ) são estacionárias, tem-se a seguinte reresentação do modelo: q = ci y( t i) + d 0 x( t b) t= 1 i= 1 y( t) d ( t i) x( t i b) + a( t), t t i 0 (1) com t 0 =max {+1,b+q+1}. Para n t 0 observações, haverá n t 0 equações que odem ser combinadas dentro de uma matriz simles reresentada or: y(t) = Uθ + a(t) () Onde y é um vetor, U é uma matriz, θ = ( c1, c, d 0, d q )' é um vetor de arâmetros (a ser determinado) e a t um vetor ruídos. Escrevendo-se a função de verossimilhança sugerida or Box [8], em termos matriciais, vem: L( 1 ( y Uθ )'( y Uθ ) ex σ a θ, σ a y, x) n t0 (3) (πσ a ) Logaritmizando e derivando-se a função, obtem-se os seguintes estimadores: θ=(u'u ) 1 U'y (4) σ a = ( y Uθ)'( y Uθ) = a'a (5) n t 0 n t 0 A variância do estimador será: V (θ )=σ a (UU ') 1 (6)

4 Estimador da vazão com uma diferença. É necessário reescrever a equação do estimador numa exressão que envolva as variáveis originais (ao invés das diferenças no temo). O estimador encontrado, obtido a artir da equação do modelo (1) é: ŷ(t )= ĉ i y(t i )+ q d 0 x(t b ) i=1 i=1 d i x(t b i) (7) Desenvolvendo-se a exressão acima com as variáveis originais (X(t) e Y(t)), obtém-se: Critérios de análises. Ŷ (t )=(1+ĉ 1 )Y (t 1)+ i= q 1 ( d 0 + d 1 ) X (t b 1)+ i= ( ĉ i c i 1 )Y (t i) c Y (t )+ d 0 X (t b) ( d i 1 d i ) X (t b i) + d q X (t b q) Encontrado o estimador é necessário fazer uma análise estatística a fim de averiguar se o mesmo tem as roriedades adequadas ou não. Neste trabalho analisaremos os seguintes critérios: Intervalos de Confiança Os intervalos de confiança servem ara realizar os controles das estimativas. Suondo-se que as amostras de tamanho n são suficientemente grandes, de forma que se ermitam utilizar aroximações normais (BOX and JENKINS, 1970), os intervalos (1 α ) de confiança ara a média e desvio adrão da vazão de gás são dados elas exressões: (8) Onde z α [ Ŝ [Ŷ z α σ ( Ȳ ), Ŷ +z α σ ( Ȳ ) ] (9) n t0 1 χ n t 0 1, α Ŝ n t 0 1 ] χ (10) n t 0 1,1 α é abscissa na curva normal de média zero e variância igual a um cuja área à sua, direita é igual a α. Ŷ é o estimador da média da vazão de gás. σ ( Ŷ ) é o estimador do desvio adrão do estimador da média. χ n t 0 1 liberdade. é a distribuição qui-quadrado com n t 0 1graus de

5 Critérios ara a definição do número de arâmetros do modelo ARX Os critérios de Informação de Akaike e Bayesiano, encontrados em WEI, 006, ermitem a escolha do número de arâmetros que comorão o modelo. Fazendo-se um aralelo com o modelo de séries temorais univariado, tem-se: k = + q +1, l = 0. Daí, vem: AIC( +q+1)=ln σ +q+1 + ( +q+1)+(n t 0 ) n t 0 (11) BIC( +q+1)=ln σ +q+1 + ( +q+1)ln(n t 0 ) n t 0 (1) Os valores mínimos de AIC ou BIC indicarão as escolhas do modelo. Diagnóstico do modelo ARX Aós o modelo ter sido identificado e seus arâmetros estimados é necessário verificar a adequacidade do modelo antes que se ossa usar suas revisões, controles e outros roósitos. No modelo ARX, assume-se que os a t (s) são ruídos brancos e são indeendentes da série de entrada x t. Dois rocedimentos devem ser feitos: analisar a correlação cruzada e os erros do modelo. Correlação cruzada A correlação cruzada tem a função de verificar se a série de ruído a t e a série de entrada x t são indeendentes. Se a entrada for um ruído, ara um modelo adequado, a amostra CCF (função de correlação cruzada), ρ xa, entre a t e x t deve mostrar nenhum adrão e deve estar dentro do intervalo: ( n k, n k ) (13) Se a entrada não for um ruído branco e for um modelo ARMA, φ x ( B )x t =θ x (B )α t, onde α t é um ruído branco, a correlação cruzada deve ser feita entre â t e α t que é a série rewhitned (WEI, 006). Erros do modelo. Serão analisados, através da autocorrelação e autocorrelação arcial, ou do variograma, que serão vistos a seguir: Autocorrelação e Autocorrelação Parcial Aqui o objetivo é verificar se o modelo do ruído é adequado. O rocedimento é o mesmo que é feito em séries temorais univariados. Ambas as amostras ACF (função de autocorrelação) e PACF (função de autocorrelação arcial) de a t devem ser estatisticamente não significativos. Os coeficientes de autocorrelação ρ a t e autocorrelação arcial φ ât devem ficar dentro do intervalo: ( m, m ) (14)

6 Variograma O variograma adronizado mede a variância da diferença entre observações de m etaas comarandose com a diferença em uma etaa. O mesmo será reresentado or G m. Em exressões matemáticas, ara um rocesso estacionário, tem-se: Ĝ m = 1 ρ m 1 ρ 1 (15) Quando o rocesso é um ruído branco, tem-se que o variograma é igual a um. Pode-se então fazer um controle ara os variogramas observados. Se a maioria estiver dentro do intervalo construído, haverá indicação de que o rocesso é um ruído branco. O intervalo é dado abaixo: Onde (1 t α σ (Ĝ ), 1 +t σ k 1, k 1, α (Ĝ)) (16) σ (Ĝ)= k m=1 Ḡ= (Ĝ m Ḡ) k 1 k Ĝ i m=1 k (17) (18) t k 1 é a distribuição t-student com k-1 graus de liberdade. t k 1, α é a abscissa da curva de t-student, com k-1 graus de liberdade cuja área à sua direita é α. Resultados e Discussão Foram realizados exerimentos utilizando-se uma lanta iloto existente na UFRN (ALTOE, P., 009), onde se imlementou, em temo real, o estimador aresentado na equação (8) com Y (saída) reresentando a vazão de gás na saída do vaso searador e X (entrada) reresentando o sinal de controle da válvula que modula a ressão de gás no interior do vaso. Convém citar que foram utilizados nove arâmetros na equação do estimador ARX (8), onde quatro deles são relativas às saídas anteriores Y, outros quatro às entradas (X) e um corresondente ao desvio adrão do estimador. Os critérios de formação de Akaike e Baysiano (AIC e BIC) indicaram que esse número de arâmetros (nove) garantiram os melhores resultados ara o estimador (ver tabelas abaixo). O cálculo dos valores dos arâmetros foi realizado através de mínimos quadrados recursivos (FRANKLIN et al., 1990) e são recalculados a cada iteração realizada ara o estimador, i.e, semre que temos uma medição confiável da entrada (X) e da saída (Y). Convém citar que no instante da golfada, os arâmetros do estimador não são atualizados a fim de não se utilizar medições incorretas ara atualização desses arâmetros. A seguir aresentamos um gráfico dos resultados do desemenho do estimador em um dos exerimentos realizados:

7 Neste gráfico, a vazão de gás satura no valor 100, enquanto que a estimação ultraassa esse valor, como odemos notar. Abaixo aresentamos tabelas onde são mostrados os dados referentes aos critérios de análise estatística do modelo usado: Intervalos de confiança ara as médias das vazões de gás Limite inferior Média da vazão medida Limite suerior 1, ,951863,1884 0, , , Intervalos de confiança ara os desvios adrões das vazões. Limite inferior Desvio da vazão medida Limite suerior 0, , , , , , Conforme mostrado nas tabelas, tanto a média como o desvio adão da saída (vazão de gás) satisfazem os critérios do intervalo de confiança (equações (9) e (10)). Escolha do número de arâmetros AIC - =4, q+1=4 AIC - =5, q+1=5 BIC - =4, q+1=4 BIC - =5, q+1=5 -, , , , , , , ,07883 A tabela acima mostra que os indicadores de informação de Akaike e de Bayesiano indicam que o modelo de nove arâmetros é mais satisfatório que o de onze arâmetros. Os cálculos das auto-correlações, correlações cruzadas e variograma também indicaram que o estimador ARX de nove arâmetros se adequa satisfatoriamente ao modelo do rocesso.

8 Conclusões Os resultados aresentados nesse trabalho mostram que o modelo ARX comosto de nove arâmetros se adequa satisfatoriamente ao rocesso de estimação de vazão de gás em regime de golfadas. Verificou-se ainda que o aumento da quantidade de arâmetros não alterará significativamente os efeitos dos resultados. Esta constatação tem um efeito rático concreto, tendo em vista equeno número de arâmetros envolvidos diminui significativamente a comlexidade da imlementação comutacional ara o estimador. Por último temos a confirmação de que o rocesso de estimação ode ser uma alternativa viável ara a substituição de equiamentos de medição de vazão de gás em oços que roduzem em regime de golfadas. Agradecimentos Os autores agradecem a Petrobras elo financiamento dessa esquisa através de um rojeto de P&D. Referências Bibliográficas LJUNG, L., System Identification: theory for the user, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, BOX, G.E.P and JENKINS, G.M. Time SerieS Analysis, Forecasting and Control,. nd Ed., Holden- Day,SãoFrancisco,1970. ALTOÉ, P. Projeto de um Sistema Emulador de Escoamentos e Vaso de Searação Primária. Dissertação de Mestrado. Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica e de Comutação, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 009 FRANKLIN, G. et al. Digital Controlo f Dynamic Systems. Addison Wesley, MA, SILVA, S. Um Sistema ara Estimação da Vazão de Gás de Poços roduzido or Plunger Lift ara Vaso Searador de Teste em Plataformas de Petróleo. Dissertação de Mestrado, Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica e de Comutação, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 006. WEI, W.W.S., Time Series Analysis, nd Ed., Pearson Education, Addison Wesley, 006;