CADERNO DE RESOLUÇÕES CONCURSO AFA 2010 INGLÊS e MATEMÁTICA 15/AGO/2009

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1 CONCURSO AFA 00 5/AGO/009 O ELITE CURITIBA aprova mais porque tem qualidade, seriedade e profissionalismo como lemas. Confira nossos resultados e comprove porque temos mais a oferecer. AFA 009: 5 aprovados entre os 0 do Paraná (incluindo os primeiros lugares) Leonardo Augusto Seki: º lugar nacional e º do Paraná! 008: aprovados ºs lugares do Paraná em todas as opções de carreira 007: 0 dos 4 convocados do Paraná 006: dos 8 convocados do PR, incluindo: º Lugar do Paraná (6 do Brasil) em Aviação º Lugar do Paraná (9º do Brasil) em Intendência IME 009: Do SUL inteiro foram 8 aprovados, todos de Curitiba, e 6 são ELITE!!! 008: 0 aprovados ( primeiros da Ativa, 5º da Ativa e 6 entre os 0 ºs da Reserva) 007: dos 6 aprovados do Paraná, incluindo os 4 melhores da ativa e os 4 melhores da reserva 006: Os 4 únicos aprovados do Paraná 005: 7 aprovados e os únicos convocados do Paraná ITA Elite Curitiba: 5 anos de existência, 5 anos de aprovações no ITA!!! alunos aprovados! LEONARDO FRISSO MATTEDI (ITA 009) JULIANO A. DE BONFIM GRIPP (ITA 008) LUCAS BRIANEZ FONTOURA (ITA 008) MAURICIO FLAVIO D. DE MORAES (ITA 008) CAMILA SARDETO DEOLINDO (ITA 007) VITOR ALEXANDRE C. MARTINS (ITA 007) GABRIEL KENDJY KOIKE (ITA 006) RICARDO ITIRO SABOTA TOMINAGA (ITA 006) YVES CONSELVAN (ITA 006) EDUARDO HENRIQUE LEITNER (ITA 005) FELLIPE LEONARDO CARVALHO (ITA 005) ESPCEX 009: Dos 0 primeiros colocados de Curitiba, 5 são ELITE! E dos 6 aprovados em Curitiba, 0 são ELITE! 008: 9 aprovados GUILHERME PAPATOLO CONCEIÇÃO º do Paraná e 9º do Brasil BRUNO TRENTINI LOPES RIBEIRO º do Paraná e º do Brasil 007: 9 alunos convocados no Paraná 006: 9 alunos convocados no Paraná (turma de 0 alunos) 005: 00% de aprovação! EPCAr 007: dos 4 convocados do Paraná 006: convocados 005: º lugar do Paraná Escola Naval 009: Único a aprovar no PR e em SC! 008: 9 aprovados 007: 70% de aprovação na ª fase 005: 00% de aprovação! UFTPR Inverno 009: 6 aprovações nos cursos mais concorridos Inverno 008: º, º e 4º lugares em Eng. Ind. Mecânica º e º lugares em Eng. Eletrônica / Eletrotécnica º lugar em Eng. de Computação Verão 008: aprovados 007: aprovados em vários cursos 006: Lugar em Eng. Mecânica Lugar em Eng. Eletrônica 005: 85% de aprovação em Engenharia, com 5 dos 8 ºs colocados de Eng. Mecânica. UFPR 009: 7 aprovados 008: 9 aprovados 007: 70% de aprovação na ª fase 006: Lugar em Eng. Mecânica Lugar em Eng. Eletrônica 005: ºLugar Direito (matutino) ºLugar Relações Públicas Só no ELITE você encontra: Simulados semanais/quinzenais; A maior carga horária. Os melhores professores! Fone : EEAR 009: aprovações MURILO RODRIGUES MESQUITA ROMULO CORREA DA SILVA COSTA GUILHERME RODOLFO HALUCH CASAGRANDE 008: 4 aprovações (ºs lugares dos grupos e ) 006: convocados CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - - (4)

2 CONCURSO AFA 00 INGLÊS Read the text below to answer questions 0 to 05. Spectacular Northern Lights linked to suicidal depression Alaska s tragically high number of suicide may be related to cosmic storms and the Northern Lights (aurora borealis), according to an expert in the study of brainwaves. 05 Depression in the Far North has in general been attributed to the deep, dark and long winters. But Dr. Anita Bush, specializes in electroencephalography, has complicated matters by discovering a link between solar flames and brainwave 0 activity in two sets of Alaskans she has studied for the past five years. The microscopic electric impulses were concentrated in the area of the brain known also to cause seasonal affective depression (SAD), the 5 condition up to now blamed for dozens of suicides each year in the remote Alaskan coast. Suicide levels among the state s 5 to 4-year-olds have risen sharply in recent years, to six times the national average, says Dr. Bush. 0 She has not yet demonstrated a link between increased brainwaves and suicidal tendencies but she thinks existing data on supposed SAD cases may in fact include cases of suicide induced by geomagnetism. For now she has suggested that special dark glasses, 5 worn against solar flames and the Northern Lights, elevate morale among the suicidal. Some of her skeptical colleagues as Professor Tom Hallinan, one of a team studying the aurora, recently insisted that the most serious health risk in watching 0 the Alaskan night sky was a cricked neck. Adapted from Advance Your English - Cambridge University Press 0. The correct words to fill the gaps (lines 07 and 6) are a) That/may b) Who/might c) Which/could d) That/should SOLUÇÃO DA QUESTÃO 0: Alternativa B Na linha de número 7 completamos com o pronome WHO, pois estamos fazendo referência a Doutora Anita e, de acordo com a gramática, utilizamos WHO para fazermos referência à pessoa. A alternativa b é a única compatível com a norma. 0. One of the causes of the high number of suicides in the Far North may be the a) Microscopic electric impulses caused by brainwaves activities attributed to dark glasses. b) Absence of light resulting from a long season associated to geomagnetism. c) Northern lights that increase the morale among the Alaskans. d) Link between Aurora Borealis and serious health risks, such as backaches, discovered by Dr. Anita. SOLUÇÃO DA QUESTÃO 0: Alternativa B Segundo o autor uma das causas da depressão é a falta de luz associada a questões geomagnéticas da região. Na alternativa b e a alternativa d, podem ser discutíveis. Sendo assim, devido ao texto não fazer menção a problemas de saúde, elimina-se a questão de letra d. 0. The best word to describe Professor Hallinan s reaction to Dr. Bush s proposition is a) Doubt b) Surprise c) Belief d) Confidence SOLUÇÃO DA QUESTÃO 0: Alternativa A Na passagem, Some of her skeptical colleagues as Professor Tom Hallinan, o autor utilize a palavra, skeptical, que em inglês quer dizer cético. Assim, a melhor palavra que descreve a proposição do professor mencionado é letra a, com a palavra dúvida. 5/AGO/ Mark the option which contains the correct Question Tag of the following sentence. She has not yet demonstrated a link between increased brainwaves and suicidal tendencies a) Hasn t she? b) Has she? c) Does she? d) Doesn t she? SOLUÇÃO DA QUESTÃO 04: Alternativa B Segundo a regra grammatical, toda Tag Question deve ser escrita na forma contrária da oração principal, ou seja, se a oração principal vier na negativa, a tag question virá na afirmativa. Caso a oração principal vier na afirmativa, a tag question virá na negativa. Sempre obedecendo o auxiliar ou verbo modal da oração principal. Como na questão, a oração dada está no present perfect(have/hás+past participle of the main verb) na negativa, a tag question virá então na afirmativa seguindo a mesma forma verbal. Por essa razão a opção correta é a letra b. 05. Considering the Reported Speech, Dr. Bush said that a) Among the states, suicide levels are risen sharply to six times. b) Suicide levels rose sharply in recent years. c) In recent years, suicide levels had risen sharply to six times. d) Suicide among 5 to 4-year-olds rises in recent ten years. SOLUÇÃO DA QUESTÃO 05: Alternativa B Considerando que o assunto abordado na questão trata-se de forma de discurso, podemos afirmar que a forma compatível de discurso com o que foi dito, lembrando que o que foi dito já passou, é a letra b, pois segue a norma de adaptação do tempo verbal do texto ao tempo verbal da questão. Read the dialogue between Melanie and Sam and then choose the correct alternatives according to it Melanie: Hi, Sam. How was your interview? Hi, honey Well, I thought the interview itself went really well. Melanie: Then why the sad face? Sam: I think I failed. I was late getting there. Melanie: Oh, no. Really? What happened? Sam: I missed the train. The interview was supposed to start at 0. Well, I was at the train station by 8:0. I bought my ticket, and then I put my wallet down for a few seconds. When I turned around, it was gone. I spent ten or fifteen minutes trying to find it. But I never did. Melanie: What did you tell the interviewer? Sam: The truth. I said I d missed the train. And I said I was sorry for being late. Melanie: Didn t you tell him about your wallet? Sam: No. I was sure he d think I was just making an excuse. I don t think he even believed me about missing the train. Melanie: What did he say at the end of the interview? Sam: He said my qualifications were really good and he d be in touch. You know, Don t call us. We ll call you. Adapted from True Colors - Longman 06. he d be in touch. (line 4) means that he a) had already been in touch in the past. b) has already been in touch. c) will be in touch in the future. d) was going to be in touch. SOLUÇÃO DA QUESTÃO 06: Alternativa C Quando o Sam diz o trecho apresentado, ele está reportando uma fala do entrevistador. Como foi explicado na questão 05, quando passamos o will do discurso direto para o discurso indireto, devemos usar o would. Em...he d been in touch temos a forma contraída de would. Passando para o discurso direto, a frase ficaria: I will be in touch, dando a idéia de que ele entrará em contato no futuro. É exatamente isso que expressa a alternativa C. A alternativa A afirma que ele já havia entrado em contato no passado. A alternativa B, que ele já entrou em contato e a D que ele iria entrar em contato, mas por algum motivo não o fez. 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3 CONCURSO AFA The Direct Speech of the two sentences I d missed the train. and I was sorry (lines 6 and 7) is a) I missed the train and I am sorry. b) I miss the train and I was sorry. c) I have been missing the train and I was sorry. d) I would miss the train and I have been sorry. SOLUÇÃO DA QUESTÃO 07: Alternativa A Novamente nos reportaremos ao quadro da resolução da questão 05 para formar o Discurso Direto das duas frases apresentadas. A frase...i d missed the train está no Passado Perfeito (I had missed). A única alternativa que apresenta um tempo verbal passível de ser transformado em Passado Perfeito é a A, em que I missed the train está no Passado Simples. Da mesma forma, I am sorry é corretamente transposto para o Discurso Indireto como I was sorry, em que o to be passa do Presente para o Passado. 08. When the interviewer said, Don t call us (line 5) he a) suggested don t call us. b) told not to call him. c) advised not to call them. d) asked didn t call us. SOLUÇÃO DA QUESTÃO 08: Alternativa C Mais uma vez, temos um caso de Discurso Indireto. Aqui, entretanto, devemos transportar uma oração Imperativa Negativa. Para fazê-lo devemos acrescentar o NOT+Infinitivo. A alternativa A usa o don t ao invés de somente o not e não usa o infinitivo. A alternativa B usa corretamente o not+infinitivo, mas transporta incorretamente o pronome us (nós) para him (ele). A alternativa D usa o didn t ao invés do not e não usa o infinitivo. A alternativa correta é a C, pois usa corretamente Not+infinitivo e transporta o pronome us (nós) para them (eles). Lembrando que, no contexto, Don t call us significa Não ligue para nós. Assim, o que foi pedido, é que o candidato não ligasse para eles. That s my job 5/AGO/009 New York. To start with the immigration officer me where I was from and why I d come to the 05 States. That wasn t a problem. But then she wanted to know how much money I had. When I told her, she said $800 wasn t enough for three weeks. She wondered why I hadn t brought more. She then me if I intended to work. She wanted to know if I really planned to go 0 back to the UK after three weeks. English Grammar in Stepts Richmond. Mark the alternative that completes the gaps (lines 04 and 08) correctly. a) asked / asked c) said / tell b) told to / said d) tell / told to SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alternativa A As lacunas das linhas solicitadas devem ser preenchidas por verbos que estejam no Past Simple, pois trata-se de uma situação já ocorrida. Na verdade, o verbo a ser utilizado é to ask porque o turista é questionado sobre os motivos da sua ida aos Estados Unidos, bem como o valor levado.. The contraction d (line 04) means a) had c) did b) would d) do SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alternativa A A contração com apóstrofe, seguido da letra d, apresenta duas possibilidades: valor de condicional ou Past Perfect ( passado do passado ). Na situação do texto, teremos a segunda opção, pois sabemos que a pergunta feita pelo funcionário do aeroporto foi realizada, obviamente, depois da chegada do turista.. At the airport Nick a) met his American girlfriend. b) planned to go back to New York. c) answered some questions. d) talked to the policemen. This is a story about four people: Everybody, Somebody, Anybody, and Nobody. There was an important job to be done and Everybody was sure that Somebody would do it. Anybody could have done it, but 05 Nobody did. Somebody got angry about that because it was Everybody s job. Everybody thought Anybody could do it, but Nobody realized that Everybody wouldn t do it. It ended up that Everybody blamed Somebody when Nobody did what Anybody could have done. 09. According to the text above you ve just read, who in fact, performed the job was a) Everybody b) Nobody c) Anybody d) Somebody SOLUÇÃO DA QUESTÃO 09: Alternativa B O jogo de palavras utilizado ironicamente no texto pode induzir à alguma confusão. Entretanto, é preciso perceber que os pronomes indefinidos estão sendo utilizados como nomes próprios para quatro pessoas. Assim, na linha 05 percebemos a referência a qual sujeito teria realmente realizado a tarefa ( Nobody did ). Outra referência no texto pode ser encontrada na última linha do texto, onde consta: Everybody blamed Somebody when Nobody did what Anybody could have done. 0. The pronoun it (line 07) refers to a) the story b) someone c) the job d) Nobody SOLUÇÃO DA QUESTÃO 0: Alternativa C O pronome objeto it substitui o substantivo job que aparece na linha anterior. Essa substituição, utilizada principalmente para evitar a repetição do mesmo termo e atribuir maior fluidez à linguagem, pode ser verificada ao desfazermos o processo. Vejamos: Somebody got angry about that because it was Everybody s job. Everybody thought Anybody could do the job, but Nobody did. SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alternativa C A linha 0 do texto deixa bem clara a situação: the questions he was asked at Kennedy Airport. 4. The word enough (line 07) can be replaced in the text above by a) inadequate. c) efficient b) enormous d) sufficient SOLUÇÃO DA QUESTÃO 4: Alternativa D O vocábulo enough traz a idéia de algo que esteja em quantidade necessária. Portanto, seu cognato sufficient serve como sinônimo. Rosana Fisher works at an outdoor activities centre on the west coast of Scotland. She teaches mountain climbing, scuba diving and hang-gliding. She s talking to some young people who ve just arrived at the centre: I. You can t do any of the activities unless you re with an instructor. II. We won t let you start an activity if you don t have the correct equipment. III. You can t go scuba diving unless you ve done the training course. IV. Remember you can t leave the centre unless you say where you re going. English Grammar in Steps Richmond 5. Mark the option witch shows another way to rewrite the conditional sentences above, correctly. I. You can do none of the activities if you don t be with an instructor. II. We will not let you start an activity unless you have the correct equipment. III. You cannot going scuba diving if you haven t done the training course. IV. Remember you can t leave the centre if you don t say where you go. a) I, II and III. b) II and IV. c) I, II and IV. d) III and IV. Nick, a British tourist, is telling his American girlfriend about the questions he was asked at Kennedy Airport, CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - - (4)

4 CONCURSO AFA 00 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 5: Alternativa B I. Corrigir-se-ia...don t be por aren t. II. CORRETA III. Após verbos modais como can deve-se usar base-form, logo a IV. forma correta seria...cannot go... CORRETA 6. According to the text, Rosana Fisher is a) explaimimg the importance of sports. b) inviting the readers to practice her activities. c) teaching who have always attended her classes. d) establishing conditions. 0. According to the paragraph a) in the past people didn t appreciate arts. b) nowadays people spend less time visiting art galleries. c) only ten years ago people liked to visit art galleries. d) we only relax visiting interesting places. 5/AGO/009 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 0: Alternativa B Traduzindo o texto: Até mesmo quando relaxamos, nós fazemos tudo mais rapidamente. Dez anos atrás, quando as pessoas iam às galerias de arte, elas passavam dez segundos olhando para cada quadro. Hoje elas gastam apenas três segundos! SOLUÇÃO DA QUESTÃO 6: Alternativa D As frases dadas são condições para participar das aulas. Cabe destacar também que as estruturas if e unless deixam claro o caráter condicional das frases. All light on the night Our cities and towns are far from silent at night. As most of are going to bed, a lot of workers are just going to their jobs. It is estimated that up to a fifth of the working population carries 05 out its duties at night running hospitals and maintaining power stations, for example. There is one problem: They have the same biological clock as day workers. Night workers often have trouble sleeping through the day, and 0 sometimes find harder to stay awake, which means mistakes are more likely to happen. Dr Lawrence Smith, a psychologist, discovered that among people who do the same job, night workers suffered 0% more injuries than day workers. 5 He is now testing the theory that the light can be used to fool the human body clock. The body clock appears to be influenced by light, because one chemical at its disposal is sensitive to light. Adapted from Advance your English 7. Mark the correct pronouns to fill in the blanks (lines 0 and 0). a) us / it. b) them / they. c) you / him. d) me / ours. SOLUÇÃO DA QUESTÃO 7: Alternativa A Como há o uso da preposição of, é necessário usar o pronome objetivo. Logo usa-se us pelo sujeito da oração ser our cities. A segunda lacuna também é completada pelo pronome objetivo it para representar o objeto da oração, que indica o fato dos trabalhadores noturnos frequentemente terem problemas para dormir durante o dia. 8. The Passive Voice of the sentence He is now testing the theory (line 5) is a) Now the theory was testing by him. b) The theory was now tested. c) The theory is being tested now. d) He tested the theory. SOLUÇÃO DA QUESTÃO 8: Alternativa C A única alternativa que apresenta o present continuous para se fazer a mudança da voz ativa para a passiva, como no enunciado, é a letra C. 9. We can the pronoun who (line ) by a) that. b) whose. c) which. d) whom. SOLUÇÃO DA QUESTÃO 9: Alternativa A O pronome relativo who pode ser substituído por that, por se referir a people. No time to relax Even when we relax we do everything more quickly. Ten years ago when people went to art galleries they spend ten seconds looking at each picture. Today they spend just three seconds! Oxford, New English File A alternativa A afirma que no passado as pessoas não gostavam de arte, o que não é verdade. A alternativa C afirma que somente dez anos atrás as pessoas gostavam de visitar galerias de arte, o que também não se sustenta pelo texto. A alternativa D diz que nós somente relaxamos quando visitamos lugares interessantes, o que não está presente no texto. A alternativa B diz que hoje em dia as pessoas passam menos tempo visitando galerias de arte. Na verdade, o texto diz claramente que as pessoas hoje gastam menos tempo apreciando cada quadro, o que não necessariamente significa que as pessoas gastam menos tempo visitando as galerias. Deve-se observar, por exemplo, que as galerias de arte poderiam ter aumentado de tamanho neste período ou ainda que, com a mudança de hábitos que tem ocorrido, poder-se-ia considerar que as pessoas passaram a apreciar uma parcela maior do total de quadros das galerias do que 0 anos atrás. Em todo o caso, considerando o título do texto, que afirma que as pessoas atualmente não têm tempo para relaxar, a alternativa B torna-se a única alternativa válida. NOTA: no trecho when people went to art galleries they spend o verbo to spend deveria ser empregado no passado, ou seja, deveria ser utilizado spent ao invest de spend. MATEMÁTICA. Uma pequena fábrica de cintos paga a seus funcionários o salário, conforme tabela abaixo CARGO SALÁRIOS Nº DE (em reais) FUNCIONÁRIOS COSTUREIRO(A) SECRETÁRIO(A) CONSULTOR 000 GERENTE x Certo mês, houve um aumento de 0% sobre os salários da tabela acima para todos os cargos. Sabendo-se que a nova média salarial passou a ser de 650 reais, o novo salário do gerente é, em reais, igual a a) b) c) 00 d) 000 SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alternativa A A média dos salários é dada por: x. + = 000 x Aumentando-se todos os salários de 0%, a nova média salarial é também aumentada de 0%. Assim temos: 000+ x ,= x = = , x = = 5000 O novo salário do gerente é 5000.,= CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA (4)

5 CONCURSO AFA 00. Sejam z = x + yi (x IR*, y IR* e i a unidade imaginária), z o conjugado de Z e λ o lugar geométrico dos pontos P (x,y) do plano cartesiano para os quais. z. z = x+. Se A e B são os pontos de interseção de λ com o eixo O t x O t y e se A é o ponto de interseção de λ com o eixo que possui a menor abscissa, então a área do triângulo A AB é, em unidades de área, igual a a) b) c) d) 5/AGO/ Observe a função polinomial P esboçada no gráfico abaixo. SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alternativa C Cálculo do módulo do complexo z= Utilizando a relação x + z. z = z, vem: x + = x + y ( x ) + y = Logo, trata-se de uma circunferência de centro C: (;0) e raio R=. Como os pontos A e B são os pontos de interseção com o eixo sabemos que a abscissa desses pontos será x=0, assim: (0 ) + y = y = ± Como o ponto A é a interseção com a circunferência e o eixo sabemos que a ordenada vale y=0, assim: ( x ) + 0 = x = ou x =, como se trata da menor abscissa, x=- Com isso: A : (0; ), B : (0; ), A': ( ;0) Cálculo da áredo do triângulo AA B: 0 S AA ' B = 0 = S AA' B = 0. Sejam as funções f : N R e g : N R definidas por x x f(x) = e g(x) = Considere os números A e B, tais que A = f() + f() + K + f(50) B = + g() + g() + K + g(n) + K Se o produto de A por B tende para o número α, então, α é a) ímpar múltiplo de 9 b) par divisor de 0000 c) par múltiplo de 5 d) ímpar múltiplo de 5 y O t y, O t x, SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alternativa D 50 A = + + K+ B = K + n K O número A é dado pela soma de uma P.A. com 50 termos, primeiro termo igual a e razão igual a ½ a + a 5 5 = 50 = n A = n O valor de B é dado pela soma de uma P.G. com infinitos termos, primeiro termo igual a e razão igual a ½. a B = = = q Então, para o produto AB temos: 5 5 AB = = 5 5 = 75 O resultado é um número ímpar múltiplo de 5. Sabe-se que x = 0 ou x = são raízes de P e que o resto da divisão de P(x) por [(x-).(x-).x] é R(x) As raízes de R(x) são números a) inteiros pares. b) inteiros ímpares. c) fracionários opostos. d) irracionais opostos. SOLUÇÃO DA QUESTÃO 4: Alternativa A P(x) = [(x-).(x-).x].q(x) + R(x) Se o divisor de P(x) é de terceiro grau, então o resto R(x), é de grau. Assim: P(x) = [(x-).(x-).x].q(x) + (ax + bx + c) Pela inspeção do gráfico, é sabido os valores de P(0) = 0, P() = /, e P() =0. Portanto substituindo convenientemente os valores de x =0, x = e x = ( zeros do divisor) na equação anterior, ficamos com o sistema: P(0) = a.0 + b.0 + c = 0 c = 0 P() = a. + b. + c = ½ a + b + c = ½ Solução: a = -/ ; b = ; c =0 P() = a.4 + b. + c = 0 4a + b + c = 0 Assim, o resto R(x), fica: R(x) = -/ (x ) + x Cujas raízes são: (0,) 5. Numa sala de aula, estão presentes 5 alunos e 6 alunas. Para uma determinada atividade, o professor deverá escolher um grupo de dessas alunas e dos alunos. Em seguida, os escolhidos serão dispostos em círculo de tal forma que alunos do mesmo sexo não fiquem lado a lado. Isso poderá ocorrer de n maneiras distintas. O número n é igual a: a) 4000 b) 400 c) 400 d) 00 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 5: Alternativa B ª) Escolha dos alunos: ª) Disposição circular: C C 5 6 = = 00 Disposição dos homens =! Disposição das mulheres =! Para cada arrumação dos homens e cada arrumação das mulheres existem posições relativas Total = C C!! = CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA (4)

6 CONCURSO AFA Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. Os estudantes A e B têm a mesma probabilidade de vencer e cada um tem o dobro da probabilidade de vencer do que o estudante C. Admitindo-se que não haja empate na competição, é FALSO afirmar que a probabilidade de a) A ou B vencer é igual a 0,8 b) A vencer é igual a 0,4 c) C vencer é maior que 0, d) B ou C vencer é igual 0,6 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 6: Alternativa C Supondo que temos apenas os três estudantes competindo e indicando por P(A) a probabilidade de A vencer, por P(B) a probabilidade de B vencer e por P(C) a probabilidade de C vencer, temos: P(A) + P(B) + P(C) = P(A) = P(B) = 0,4 P(A) = P(B) P(C) = 0, P(C) = P(A) Ainda temos, como não há empate: P(A B) = P(A C) = P(B C) = 0 Analisando cada alternativa: a) Verdadeira: A probabilidade de A ou B vencer é indicada por: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A) + P(B) = 0, b) Verdadeira: A probabilidade de A vencer é P(A) = 0,4, obtida anteriormente. c) Falsa: A probabilidade de C vencer é P(C) = 0,, obtida anteriormente. d) Verdadeira: A probabilidade de B ou C vencer é indicada por: P(B C) = P(B) + P(C) P(B 44 C) = P(B) + P(C) = 0,6 0 Obs.: Vale comentar que a questão não indica que os três são os únicos participantes da competição. Caso existam outros competidores com chances de vitória, teríamos P(A) + P(B) + P(C) <, o que nos levaria aos seguintes resultados: P(A) = P(B) < 0,4 P(C) < 0, P(A) + P(B) < 0,8 P(B) + P(C) < 0,6 O que tornaria todas as alternativas falsas. 7. Seja o sistema S de equações nas incógnitas x, y e z e parâmetro real m x + y z = 0 S = x my z = 0 x + y + mz = m Analise as proposições a seguir e assinale a INCORRETA. a) Se m = -, então S é impossível. b) S é determinado se, e somente se, m 0 c) Se S é homogêneo, então x + y + z é sempre um número múltiplo de d) S admite solução para todo m - SOLUÇÃO DA QUESTÃO 7: Alternativas B ou C! x + y z = 0 x my z = 0 x + y + mz = m m = 0 m = 0 ou m = m x + y z = 0 x + y z = 0 m = : x + y z = 0 x + y z = 0 SISTEMA IMPOSSÍVEL x y z + = 0 = x + y z = 0 x + y z = 0 m = 0: x z = 0 y + z = 0 x y 0 + = y + z = 0 x + y z = 0 y + z = 0 SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO S = ( t, t,t ):t 0 = 0 m 0 e m SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO { } A opção b) é incorreta, pois S é determinado m 0 e m. A opção c) também está incorreta, pois, apesar de termos x + y + z = t, t não é necessariamente um número inteiro, logo não se pode afirmar que x + y + z seja múltiplo de. 5/AGO/ Para a fabricação de três modelos de avião, a Embraer precisa de alguns equipamentos, conforme a tabela abaixo Modelos A B C Equipamentos Poltronas Extintores Para o ano de 009, a Embraer recebeu encomendas dos três modelos, conforme a tabela abaixo Primeiro Segundo Semestre Modelo Semestre Ano de 009 A 0 50% a mais que no º semestre B Y 5 C 0 0% a menos que no º semestre Sabendo-se que a quantidade necessária de poltronas para a fabricação dos três modelos de aviões no ano de 009 é 80, então a soma dos algarismos de y é igual a a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 8: Alternativa B O total de encomendas do modelo A em 009 é 0 +,5.0 = 50. O total de encomendas do modelo B em 009 é y + 5. O total de encomendas do modelo C em 009 é 0 + (-0,).0 = 8. O total de poltronas para aviões modelo A em 009 é 0.50 = 000. O total de poltronas para aviões modelo B em 009 é 0.(y+5). O total de poltronas para aviões modelo C em 009 é 60.8 = 080. Assim (y+5) = 80, então y = 5 Sendo assim, a soma dos algarismos de y vale +5 = Pedro e Maria com seus filhos Gabriel e João foram a uma clínica médica para uma revisão de saúde. Fazia parte da avaliação aferir o peso de cada um. A balança da clínica era muito antiga e tinha um defeito, só indicava pesos maiores que 60 kg. Para resolver a pesagem, procedeu-se da seguinte maneira: Pesou-se - Pedro, Maria e Gabriel, totalizando 50 kg - Pedro, Gabriel e João, totalizando 7 kg - Maria, Gabriel e João, totalizando 97 kg - Pedro, Maria, Gabriel e João, totalizando 7 kg Com base nessas informações, é correto afirmar que a) com essa balança é possível pesar Gabriel e João juntos. b) a diferença entre os pesos de Pedro e Maria é o peso de João. c) Pedro é mais pesado que Maria e João juntos. d) não é possível pesar Maria sozinha nessa balança. SOLUÇÃO DA QUESTÃO 9: Alternativa D Com as quatro pesagens realizadas é possível calcular o peso P de Pedro, M de Maria, G de Gabriel e J de João. Temos quatro equações e quatro incógnitas: P + M + G = 50 (i) P + G + J = 7 (ii) M + G + J = 97 (iii) P + M + G + J = 7 (iv) Resolvendo o sistema acima, encontramos os pesos de cada pessoa: P = 75 kg M = 55 kg G = 0 kg J = kg Você pode, por exemplo, usar i e iv para encontrar J, depois usar J em iii para descobrir M + G, usar M + G em i para encontrar P, usar P e J em ii para descobrir G e finalmente usar G em M + G para descobrir M. Assim, como Maria pesa menos do que 60 kg, ela não pode ser pesada pela referida balança. (Alternativa D). Dando uma olhada nas alternativas falsas: a) Gabriel e João pesam juntos 44 kg, o que ainda é menor do que 60 kg. b) a diferença entre os pesos de Pedro e Maria é o peso de Gabriel, e não de João (75 55 = 0). c) Maria e João juntos pesam 77 kg, o que é maior do que os 75 kg de Pedro. 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7 CONCURSO AFA 00 5/AGO/ Considere as circunferências dadas pela equação x + y = /b (b N*). A circunferência que circunscreve um quadrado de área igual a 50 é tal que b pertence ao intervalo a) ]0, [ 0 b) ], [ 0 8 c) ], [ 8 6 d) ], [ 6 4 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 0: Alternativa D SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alternativa C a) h(0)=g(0)+=4 hοh(0)=g(4)+=0 hοhοh(0)=g(0)+=4 b) h()=g()+= h()=g()+= hοh()=g()+= hοh()=g()+=4 hοhοh()=g()+= hοhοh()=g(4)+=0 hοhοhο()=g(0)+=4 hοhοh()<hοhοhοh() FALSO c) h(/)=g(/)+ h(/)=t onde <t< hοh(/)=h(t)=g(t)+ hοh(/)=y onde <y< hοhοh(/)=h(y)=g(y)+ hοhοh(/)=k onde <k< VERDADEIRO d) h(/)=g(/)+ h(/)=t onde <t< hοh(/)=h(t)=g(t)+ hοh(/)=y onde <y< hοhοh(/)=h(y)=g(y)+ hοhοh(/)=k onde <k< FALSO Pela dado da área do quadrado podemos encontrar o valor de seus lados: Area = L L = L = Area 50 = 5 O raio da circunferência circunscrita é metade da diagonal desse quadrado, portanto: L R = 5 R = = 5 Da equação da circunferência temos: = R = R b = b b 5 Analisando as alternativas: /6 < /5 < /4. Considere a reta r simétrica da reta ( s)x + y = 0 em relação à reta () tx y = 0 Com base nisso, marque a alternativa verdadeira 0 a) Se < y < 0 então r t = b) Pxy (, ) r tal que x < 0 e y > 0 c) Na reta r, se x > 8 então y < 7 7 d) Pxy (, ) r tal que x > 0 e y < 0 SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alternativas B ou C! Podemos construir os gráficos das retas (s) e (t) como segue:. Analise o gráfico abaixo da função real g : IR IR Se h é uma função real tal que h(x) = g(x) +, então, marque alternativa verdadeira. a) (hοhοh... οh)(0) = 4 b) (hοhοh)() > (hοhοhοh)() c) Se y = h h h então y ],[ d) Se x = h h h então x ],[ Por hipótese, a reta (r) é a simétrica de (s) com relação à (t). Assim, a reta (t) funciona como um espelho e a reflexão da reta (s) por esse espelho é a reta (r). Isso significa que qualquer ponto da reta (t) é equidistante das retas (r) e (s). Escolhendo um ponto em particular, por exemplo, o ponto (,0) que pertence à (t), a distância de (r) à (,0) é igual à distância de (s) à (,0). Além disso, a reta (r) passa pela intersecção das retas (s) e (t), que é a solução do sistema formado pelas retas (s) e (t): 8 x0 = x0 + y0 = 0 7. x0 y0 = 0 y0 = 7 Portanto, a equação da reta (r) é dada por: 8 8m y+ = m x mx y + = Usando a hipótese das distâncias iguais ao ponto (,0) que pertence a (t), temos: CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA (4)

8 CONCURSO AFA 00 8m+ m 7 dr,(,0) = ds,(,0) = m + 5 6m m ( m ) = = = m + 7 m + 49(m + ) 5 49m + 49= 45m 0m+ 5 m + 5m+ = 0 m= ou m= Com isso, temos duas possibilidades para (r): - Para m= : (r) x + y = 0 (não convém, pois representa a própria reta (s)) - Para m = : (r) x + y = 0 Os gráficos contendo (r), (s) e (t) estão a seguir: 5/AGO/009. Na figura abaixo, tem-se representado as funções f, g e h que indicam os valores pagos, respectivamente, às locadoras de automóveis x ] m, + [, m IR para x quilômetros rodados por dia. Uma pessoa pretende alugar um carro e analisa as três opções. y (valor pago em reais) g h x (km rodados por dia) Após a análise, essa pessoa conclui que optar pela locadora α ao invés das outras duas locadoras, é mais vantajoso quando ] m, + [ m IR x, O menor valor possível para m é a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 SOLUÇÃO DA QUESTÃO : Alternativa A m é a abscissa da interseção do gráfico de f e g. f x = 50 f é a função constante ( ) f A função g é uma função afim determinada pelos pontos (0, 0) e (00,70), logo seu coeficiente angular é 70 0 = e seu coeficiente 00 0 linear é 0, e gx ( ) = x + 0. Assim, concluímos que: a) FALSA: Existe a intersecção entre (r) e (t), no mesmo ponto onde ocorre a 8 intersecção entre (s) e (t):, 7 7. Como 0 < < 0, podemos dizer que para < y < 0 temos r t =, 7 7. b) VERDADEIRA: Para a reta (r), temos que se x < 0 y > 6. Além disso, ela é uma função monotônica. Portanto para todo x < 0 temos y > 0. c) VERDADEIRA: 8 Como a reta é decrescente e passa pelo ponto, 7 7, temos que se x > 8 então y <. 7 7 d) FALSA: Para a reta (r), temos que se x > 0 y < 6. Além disso, ela é uma função monotônica. Portanto Pxy (, ) r tal que x > 0 e y < 0. Poderíamos testar um ponto, como por exemplo (, 5), que pertence a 0 (r) e apresenta x > 0 e y <. x + 0 = 50 x = 60 Portanto, o menor valor possível para m é Sobre a função real f: D IR dada por f( x) log ( x ) INCORRETO afirmar que é a) par b) sobrejetora x D c) crescente se x [,+ [ d) injetora x D SOLUÇÃO DA QUESTÃO 4: Alternativa D ( ) ( ) = +, é ( ) ( ) ( ) f x = + log x = + log x = f x f é par Seja y IR, então y y ( ) ( ) y = + log x y = log x x = x=±. Logo, todo real y é imagem de algum x e a função é sobrejetora. Entretanto y é imagem de mais de um valor de x, logo f não é injetora. As funções y = x e logo a função f( x) log ( x ) y= log x são crescentes em, +, = + é crescente em, +. Note que para chegarmos às conclusões acima foi necessário assumirmos * que D = IR, ou seja, o domínio mais abrangente possível, o que é indicado pela expressão função real no enunciado. Em um caso geral, dependendo do conjunto D, a função pode ser injetora D =,. e não sobrejetora, como no exemplo de [ ] CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA (4)

9 CONCURSO AFA 00 5/AGO/009 π f(x) = cos 4x sen 6x Marque a alternativa que possui a melhor representação, no ciclo trigonométrico, de todas as raízes da função f a) b) 5. Seja a função real f definida por ( ) c) d) SOLUÇÃO DA QUESTÃO 5: Alternativa A Sabemos que é válida a transformação π sen α = cos( α) para qualquer α real. Além disso, sabemos que cos( α) = cos( β) α = ± β + kπ, para algum k inteiro. Assim, as raízes de f são: π cos ( 4x) sen 6x = 0 cos ( 4x) cos( 6x) = 0 cos ( 6x) = cos( 4x) 6x = ± 4x + kπ x ± x = kπ π O resultado acima nos diz que x = kπ ou x = k, para algum k 5 inteiro, o que pode ser resumido em apenas π x = k, k Z 5 Para visualizar estes pontos no ciclo trigonométrico podemos, por exemplo, encontrar aqueles de -80 a 80 : 0, ± 6, ± 7, ± 08, ± 44 e ± Considere o esboço dos gráficos das funções reais f, g e h, tais que f é do grau e g e h são do grau. Sabe-se que V é o vértice da parábola. SOLUÇÃO DA QUESTÃO 6: Alternativa B A função f possui raízes e e pode ser escrita na forma: f ( x) = a( x )( x ) A coordenada x do vértice é a média aritmética das raízes, portanto V = ( ; 0,5). Substituindo o ponto V na equação de f temos: f ( x) = a( x )( x ) 0,5 = a( )( ) a = 0,5 f ( x) = 0,5( x )( x ) Nas condições do problema h(x) > g(x) > f(x), temos que h(x) é sempre maior g(x). Assim temos como solução os valores de x à esquerda da primeira interseção de f e g, e os valores de x a direita da segunda interseção de f e g. Os valores das interseções são: f ( x) = g( x) 0,5( x )( x ) = x + x x x = 4x + = x 6x + 5 = 0 x = 5 Portanto será solução o conjunto dos números reais exceto o intervalo [,5]. Solução = IR - ],5[. 7. Sejam as funções reais dadas por + f( x ) = x e gx ( ) = x tal que f =g(b) e p = log b, então sobre p é correto afirmar que a) não está definido. b) é positivo e menor que c) é negativo e menor que d) é positivo e maior que SOLUÇÃO DA QUESTÃO 7: Alternativa A f. + ( ) = f ( ) = +. Se b IR 4 g(b) =. b+ g(b) =. b+ Igualando: b+ = b + = log b = log Como p = log b p = log (log ) 0 < log <, logo log < 0 portanto p não está definido, pois o logaritimando deve se positivo. 8. Sobre a função real f definida por f( x) = + 6( senx)(cos x ), é INCORRETO afirmar que a) Im( f ) = [,] π π b) é decrescente para todo x, 4 4 c) possui 8 raízes no intervalo [0, π ] d) tem período igual ao período da função real g dada por g(x)=f(x) SOLUÇÃO DA QUESTÃO 8: Alternativa B Reescrevendo a função: sen( x) ( ) f( x) = + 6senxcosx = + senx 444 cosx = + sen x Construindo o gráfico de f(x): f( x) = sen x º) ( ) O conjunto de todos os valores de x para os quais h(x) > g(x) > f(x) é a) IR - ],5[ b) IR - [,5] c) IR - [,] d) IR - ],[ CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA (4)

10 º) f( x) = sen( x) CADERNO DE CONCURSO AFA 00 5/AGO/ A Revista Época publicou uma reportagem em fevereiro de 009 a respeito do impacto da crise financeira mundial no crescimento da economia. Desaceleração recorde Em 009, a economia mundial deverá ter o menor crescimento desde a ª Guerra Mundial em % ao ano. O gráfico abaixo indica o percentual de crescimento da economia mundial de alguns anos, no período de 980 a 009. º) f( x) = sen( x) Fonte: Revista Época 0/0/009/n.º 559 pág. 85 (Adaptado) 4º) f( x) = + sen( x) Sabendo-se que no ano de 009 o percentual foi estimado, analise o gráfico e marque a alternativa FALSA. a) Houve um aumento superior a 4% do percentual de crescimento do ano de 995 para o ano 000. b) A queda de crescimento do ano de 005 para o percentual estimado no ano de 009 é menor que 90%. c) O aumento do percentual de crescimento do ano de 985 em relação ao ano de 980 é aproximadamente 95% do percentual de crescimento do ano de 980. d) A taxa de crescimento do ano de 000 em relação ao ano de 985 é a mesma que a taxa de crescimento do ano de 990 em relação ao ano de 980. Analisando as alternativas: a) CORRETA: Do gráfico acima, temos que Im( f ) = [,] Obs.: A imagem da função f( x) a b sen( mx) = + é igual a Im = aa, + b. b) INCORRETA: Do gráfico acima, temos que f é decrescrente no π π intervalo, 4, porém f é crescente no intervalo π π, 4. c) CORRETA: Do gráfico, temos que a função f(x) intercepta o eixo Ox em 8 pontos no intervalo [ 0,π ], logo, f tem 8 raízes neste intervalo. d) CORRETA: Observando o gráfico de f(x), seu período é T = π. Observe agora o gráfico de g( x) = ( f x) = + 6 sen( x) : SOLUÇÃO DA QUESTÃO 9: Alternativa D A dificuldade desta questão está claramente na interpretação e na sobrecarga dada no enunciado a algumas palavras. Como se trata de uma questão de porcentagens, onde a própria função temporal é um percentual de alguma coisa (no caso, percentual de aumento da economia mundial ), o aluno pode facilmente se confundir ao analisar as alternativas. Outra atenção de interpretação deve ser dada ao termo taxa, que indica variação no tempo. Com estas ressalvas em mente, percebe-se que a alternativa D está equivocada: O aumento do percentual de crescimento da economia entre os anos de 985 e 000 foi de 4,7%,7% = %, o mesmo aumento da referida variável entre os anos de 980 e 990 (,9%,9% = %). Porém, temos 5 anos entre 985 e 000, enquanto temos apenas 0 anos entre 980 e 990. Ou seja, os aumentos absolutos foram iguais nos dois intervalos, mas suas taxas de crescimento no tempo foram diferentes. Vamos conferir as outras alternativas, verificando que elas são verdadeiras. Chamemos o percentual de aumento da economia mundial no ano x de p(x). Note que o período da função g(x) também será T = π. Obs.: O período da função y = a + bsen( mx) é igual a π p =. m p(000) p(995) 4,7%,% a) = = 4,4...% > 4% p(995),% p(005) p(009) 4,5% 0,5% b) = = 88,8...% < 90% p(005) 4,5% p(985) p(980),7%,9% c) = = 94, % 95% p(980),9% CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA (4)

11 CONCURSO AFA Considere uma chapa de aço circular de espessura desprezível e raio 5 cm. Recortando-se, dessa chapa, dois setores circulares de ângulo π rad cada, e juntando-se em cada um desses setores os lados de mesma medida, sem perda de material, obtém-se dois objetos em forma de cone. Unindo-se as bases desses cones, obtém-se um objeto A. Dentro desse objeto A foram inseridas esferas de ferro cuja área da superfície de cada uma, é 9π cm. Sabendo-se que foram inseridas a maior quantidade possível dessas esferas dentro do objeto A, o espaço vago dentro desse objeto, é tal que, seu volume é, em cm, igual a Dado: =,4 a) π b) π c) π/ d) π/4 5/AGO/009 SOLUÇÃO DA QUESTÃO 40: Alternativa B A pessoa que escreveu a questão certamente esperava que o aluno fizesse o seguinte: Comprimento do setor = comprimento da base do cone = 0π cm Então, o raio da base do cone = 5 cm Geratriz do cone = raio original = 5 cm Altura do cone = (5 5 ) = 0 cm Raio das esferas = (9 π/4 π) =,5 cm O que nos dá para o volume das esferas 9 π/ cm Com esses dados temos: Volume dos dois cones juntos = 5 π cm Razão entre o volume dos cones e das esferas = 5,... Volume de 5 esferas = 4 π cm Espaço vago = 5 π cm 4 π cm = π cm Obviamente não se levou em consideração neste problema nada a respeito dos encaixes e dos pontos de contato entre as esferas dentro dos cones. Fone : CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - - (4)