ELITE RESOLVE A AFA 2010

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2 (9) 5- ELITE RESOLVE A AFA INGLÊS MATEMÁTICA Prova Prova Prova Prova Prova Prova B D A A B C B C A C A * A B D D C/B B 4 B A D 4 A B C 5 C D A 5 B D C 6 C A B 6 C C/D A 7 A D C 7 B/C C * 8 C A D 8 B * D 9 B C D 9 D B A C D A D C B A B D C D B A B C B/C A C/B C D B A C D 4 D A C 4 * A C 5 B C D 5 A * B 6 D B A 6 B D C 7 A D C 7 A B D 8 C B D 8 B A C 9 A D B 9 D C C/D B A D 4 * D A * Propomos anulação ELITE RESOLVE ELITE APROVA

3 (9) 5- O ELITE RESOLVE AFA INGLÊS E MATEMÁTICA INGLÊS TEXTO Read the text below to answer questions to Spectacular Northern Lights linked to suicidal depression Alaska s tragically high number of suicide may be related to cosmic storms and the Northern Lights (aurora borealis), according to an expert in the study of brainwaves. Depression in the Far North has in general been attributed to the deep, dark and long winters. But Dr Anita Bush, specialises in electroencephalography, has complicated matters by discovering a link between solar flames and brainwave activity in two sets of Alaskans she has studied for the past five years. The microscopic electric impulses were concentrated in an area of the brain known also to cause seasonal affective depression (SAD), the condition up to now blamed for dozens of suicides each year in the remote Alaskan coast. Suicide levels among the state s 5 to 4-year-olds have risen sharply in recent years, to six times the national average, says Dr Bush. She has not yet demonstrated a link between increased brainwaves and suicidal tendencies but she thinks existing data on supposed SAD cases may in fact include cases of suicide induced by geomagnetism. For now she has suggested that special dark glasses, worn against solar flames and the Northern Lights, elevate morale among the suicidal. Some of her skeptical colleagues as Professor Tom Hallinan, one of a team studying the aurora, recently insisted that the most serious health risk in watching the Alaskan night sky was a cricked neck. Adapted from Advance Your English Cambridge University Press QUESTÃO The correct words to fill the gaps (lines 7 and 6) are a) that / may b) who / might c) which / could d) that / should A lacuna I pede um pronome relativo, que só pode ser o who, pois a frase é explicativa, o que exclui o that. Além disso, o pronome referese a uma pessoa, excluindo o which. Quanto à lacuna II, poderíamos usar tanto o might quanto o may ou o could, pois todos dão a idéia de possibilidade. Portanto, é a lacuna I que define qual é a alternativa correta. NOTA: no trecho Alaska s tragically high number of suicide ( ) o substantivo suicide deveria estar no plural: suicides. QUESTÃO One of the causes of the high number of suicides in the Far North may be the a) microscopic electric impulses caused by brainwaves activities attributed to dark glasses. b) absence of light resulting from a long season associated to geomagnetism. c) Northern Lights that increase the morale among the Alaskans. d) link between Aurora Borealis and serious health risks, such as backaches, discovered by Dr Anita. Traduzindo os parágrafos e 4 temos: Os impulsos elétricos microscópicos estavam concentrados em uma área do cérebro conhecida também por causar a depressão afetiva sazonal (SAD), a condição até agora responsável por dúzias de suicídios todo ano na remota costa do Alasca. Os níveis de suicídio entre as pessoas de 5 a 4 anos nesse estado (Alasca) cresceram drasticamente nos últimos anos, até seis vezes a média nacional, diz Dra. Bush. Ela ainda não demonstrou uma ligação entre o aumento de ondas cerebrais e tendências suicidas, mas ela acha que dados existentes sobre supostos casos de SAD podem de fato incluir casos de suicídio induzidos por geomagnetismo. Portanto a alternativa correta é a B, que afirma que uma das causas do alto número de suicídios no extremo norte pode ser a falta de luz resultante de um longo período associada ao geomagnetismo. QUESTÃO The best word to describe Professor Hallinan s reaction to Dr Bush s proposition is a) doubt. b) surprise. c) belief. d) confidence. O último parágrafo descreve o professor Hallinan como um colega cético ( a skeptical colleague ) da Dra. Bush. A palavra que melhor expressa sua posição cética é dúvida ( doubt ). Portanto, devemos excluir a alternativa B, que indica surpresa ( surprise ), a C, que indica crença ( belief ) e a D, que indica confiança ( confidence ). QUESTÃO 4 Mark the option which contains the correct Question Tag of the following sentence. She has not yet demonstrated a link between increased brainwaves and suicidal tendencies a) hasn t she? b) has she? c) does she? d) doesn t she? Para formarmos uma question tag, devemos formular uma frase afirmativa ou negativa e adicionar uma pergunta composta de auxiliar mais pronome pessoal. No caso acima, temos uma frase negativa, então devemos formar a tag na afirmativa. Como o tempo verbal da frase apresentada é o Presente Perfeito e o sujeito é o she, a tag correta de She has not... é has she?. QUESTÃO 5 Considering the Reported Speech, Dr. Bush said that a) among the states, suicide levels are risen sharply to six times. b) suicide levels rose sharply in recent years. c) in recent years, suicide levels had risen sharply to six times. d) suicide among 5 to 4-year-olds rises in recent ten years. Em Inglês, toda vez que reportamos algo, devemos passar a informação para um tempo verbal anterior, como mostra a tabela simplificada a seguir. Discurso Direto Presente Simples Passado Simples Presente Perfeito Passado Perfeito Will Discurso Indireto Passado Simples Passado Perfeito Passado Perfeito Passado Perfeito Would A frase do texto a que as alternativas se referem é a seguinte: Suicide levels among the state s 5 to 4 year-olds have risen sharply in recent years, to six times the national average, says Dr. Bush. O tempo verbal de have risen é o Presente Perfeito. Para passá-lo para o discurso indireto, devemos usar o Passado Perfeito. A única alternativa que o faz é a C, com had risen. Entretanto, a alternativa não especifica em relação a que os números são seis vezes maiores. Desse modo, embora essa seja a única alternativa viável, a mesma apresenta uma falha semântica, podendo causar dúvida ao candidato.

4 (9) 5- O ELITE RESOLVE AFA INGLÊS E MATEMÁTICA TEXTO Read the dialogue between Melanie and Sam and then choose the correct alternatives according to it Melanie: Hi, Sam. How was your interview? Hi, honey Well, I thought the interview itself went really well. Melanie: Then why the sad face? Sam: I think I failed. I was late getting there. Melanie: Oh, no. Really? What happened? Sam: I missed the train. The interview was supposed to start at. Well, I was at the train station by 8:. I bought my ticket, and then I put my wallet down for a few seconds. When I turned around, it was gone. I spent ten or fifteen minutes trying to find it. But I never did. Melanie: What did you tell the interviewer? Sam: The truth. I said I d missed the train. And I said I was sorry for being late. Melanie: Didn t you tell him about your wallet? Sam: No. I was sure he d think I was just making an excuse. I don t think he even believed me about missing the train. Melanie: What did he say at the end of the interview? Sam: He said my qualifications were really good and he d be in touch. You know, Don t call us. We ll call you. Adapted from True Colors - Longman QUESTÃO 6 he d be in touch. (line 4) means that he a) had already been in touch in the past. b) has already been in touch. c) will be in touch in the future. d) was going to be in touch. Quando o Sam diz o trecho apresentado, ele está reportando uma fala do entrevistador. Como foi explicado na questão 5, quando passamos o will do discurso direto para o discurso indireto, devemos usar o would. Em...he d been in touch temos a forma contraída de would. Passando para o discurso direto, a frase ficaria: I will be in touch, dando a idéia de que ele entrará em contato no futuro. É exatamente isso que expressa a alternativa C. A alternativa A afirma que ele já havia entrado em contato no passado. A alternativa B, que ele já entrou em contato e a D que ele iria entrar em contato, mas por algum motivo não o fez. QUESTÃO 7 The Direct Speech of the two sentences I d missed the train. and I was sorry (lines 6 and 7) is a) I missed the train and I am sorry. b) I miss the train and I was sorry. c) I have been missing the train and I was sorry. d) I would miss the train and I have been sorry. Novamente nos reportaremos ao quadro da resolução da questão 5 para formar o Discurso Direto das duas frases apresentadas. A frase...i d missed the train está no Passado Perfeito (I had missed). A única alternativa que apresenta um tempo verbal passível de ser transformado em Passado Perfeito é a A, em que I missed the train está no Passado Simples. Da mesma forma, I am sorry é corretamente transposto para o Discurso Indireto como I was sorry, em que o to be passa do Presente para o Passado. QUESTÃO 8 When the interviewer said, Don t call us (line 5) he a) suggested don t call us. b) told not to call him. c) advised not to call them. d) asked didn t call us. Mais uma vez, temos um caso de Discurso Indireto. Aqui, entretanto, devemos transportar uma oração Imperativa Negativa. Para fazê-lo devemos acrescentar o NOT+Infinitivo. A alternativa A usa o don t ao invés de somente o not e não usa o infinitivo. A alternativa B usa corretamente o not+infinitivo, mas transporta incorretamente o pronome us (nós) para him (ele). A alternativa D usa o didn t ao invés do not e não usa o infinitivo. A alternativa correta é a C, pois usa corretamente Not+infinitivo e transporta o pronome us (nós) para them (eles). Lembrando que, no contexto, Don t call us significa Não ligue para nós. Assim, o que foi pedido, é que o candidato não ligasse para eles. 5 TEXTO That s my job This is a story about four people: Everybody, Somebody, Anybody, and Nobody. There was an important job to be done and Everybody was sure that Somebody would do it. Anybody could have done it, but Nobody did. Somebody got angry about that because it was Everybody s job. Everybody thought Anybody could do it, but Nobody realized that Everybody wouldn t do it. It ended up that Everybody blamed Somebody when Nobody did what Anybody could have done. Unknown author KEYS, Ed. Saraiva QUESTÃO 9 According to the text above you ve just read, who in fact, performed the job was a) Everybody b) Nobody c) Anybody d) Somebody Temos duas frases no texto que podem responder diretamente a questão 9. Anybody could have done it, but Nobody did. (Qualquer um poderia tê-lo feito, mas Ninguém o fez.) Nobody did what Anybody could have done. (Ninguém fez o que Qualquer um poderia ter feito.) Portanto Ninguém (Nobody) fez o trabalho (job). QUESTÃO The pronoun it (line 7) refers to a) the story. b) someone. c) the job. d) Nobody. A idéia central do texto é descobrir quem fez um importante trabalho que deveria ser feito. ( There was an important job to be done ). O it se refere a esse trabalho. Na frase: Everybody thought Anybody could do it... entende-se que Todos acharam que Qualquer um poderia fazê-lo (o trabalho). 5 TEXTO Nick, a British tourist, is telling his American girlfriend about the questions he was asked at Kennedy Airport, New York. To start with the immigration officer me where I was from and why I d come to the States. That wasn t a problem. But then she wanted to know how much money I had. When I told her, she said $8 wasn t enough for three weeks. She wondered why I hadn t brought more. She then me if I intended to work. She wanted to know if I really planned to go back to the UK after three weeks. English Grammar in Steps - Richmond

5 (9) 5- O ELITE RESOLVE AFA INGLÊS E MATEMÁTICA QUESTÃO Mark the alternative that completes the gaps (lines 4 and 8) correctly. a) asked / asked b) told to / said c) said / tell d) tell / told to A alternativa correta é a A, pois completa corretamente as frases dentro de seus contextos e tempos verbais (Passado Simples). O Passado Simples deve ser usado pois o trecho trata-se de uma narrativa de fatos passados. As frases ficariam: The immigration officer asked me where I was from (A oficial da imigração me perguntou de onde eu era) e She then asked me if I intended to work (Ela então me perguntou se eu pretendia trabalhar). A alternativa B apresenta os verbos corretamente no Passado Simples, mas não se encaixariam nas frases por seus significados (told, said = disse). As alternativas C e D estão incorretas tanto pelos significados quanto pela utilização do tell no Presente. QUESTÃO The contraction d (line 4) means a) had. b) would. c) did. d) do. A contração d poderia indicar tanto o had quanto o would. Isso se deve ao verbo come, que apresenta a mesma forma no Infinitivo e no Particípio Passado. Podemos definir a questão pelo contexto. I had come significa Eu tinha vindo. I would come significa Eu viria. Como já foi falado na resolução da questão, o trecho se trata de uma narrativa de fatos passados. Na frase The immigration officer asked me where I was from and why I d come to the States a oração why I d come to the states se refere a uma ação que aconteceu antes dos fatos principais da história que está sendo contada. Para esclarecermos a ordem de eventos passados, mostrando qual aconteceu antes, podemos usar o Passado Perfeito (had + particípio passado), contrastando com o Passado Simples. Assim, a frase ficaria: A oficial da imigração me perguntou de onde eu era e por que eu tinha vindo aos Estados Unidos. Portanto, a contração d vem de HAD. QUESTÃO At the airport Nick a) met his American girlfriend. b) planned to go back to New York. c) answered some questions. d) talked to the policemen. No início do texto temos: Nick, a British tourist, is telling his American girlfriend about the questions he was asked at Kennedy Airport, New York. To start with the immigration officer asked me Traduzindo temos: Nick, um turista britânico, está contando à sua namorada americana sobre as perguntas que lhe foram feitas no aeroporto Kennedy, Nova York. Para começar a oficial da imigração me perguntou.... A alternativa A está incorreta, porque afirma que ele encontrou sua namorada no aeroporto. A alternativa B está incorreta pois afirma que ele planejava voltar a Nova York quando, na verdade, o aeroporto em que ele estava era em N.Y. A alternativa C está correta pois afirma que ele respondeu algumas perguntas. A alternativa D está incorreta pois afirma que ele falou com os policiais, quando, na verdade, ele foi interrogado pela oficial da Imigração. QUESTÃO 4 The word enough (line 7) can be replaced in the text above by a) inadequate. b) enormous. c) efficient. d) sufficient. Resolução Alternativa D A palavra enough significa suficiente. Logo, a alternativa correta é a D. A alternativa A significa inadequado, a B significa enorme e a C significa eficiente. TEXTO Rosana Fisher works at an outdoor activities centre on the west coast of Scotland. She teaches mountain climbing, scuba diving and hanggliding. She s talking to some young people who ve just arrived at the centre: I You can t do any of the activities unless you re with an instructor. II - We won t let you start an activity if you don t have the correct equipment. III - You can t go scuba diving unless you ve done the training course. IV - Remember you can t leave the centre unless you say where you re going. English Grammar in Steps Richmond QUESTÃO 5 Mark the option which shows another way to rewrite the conditional sentences above, correctly. I You can do none of the activities if you don t be with an instructor. II We will not let you start an activity unless you have the correct equipment. III You cannot going scuba diving if you haven t done the training course. IV Remember you can t leave the centre if you don t say where you go. a) I, II and III. b) II and IV. c) I, II and IV. d) III and IV. A proposição I está incorreta porque utiliza o verbo to be na negativa incorretamente (...if you don t be... ). O correto seria (... if you aren t... ). A proposição II está correta, pois unless significa a menos que, assim unless you have the correct equipment. (ou seja, a menos que você tenha o equipamento correto) tem o mesmo efeito de proibir o início das atividades para quem estiver sem os equipamentos corretos que if you don t have the correct equipment. (que significa se você não tiver o equipamento correto). A proposição III está incorreta, pois apresenta um verbo Modal seguido de Gerúndio (... you cannot going... ). O correto seria usar o bare infinitive, ou seja, o infinitivo sem o to (... you cannot go... ). A proposição IV está correta, pois, conforme explicado na proposição II unless significa a menos que, assim if you don t say where you go (cuja tradução é se você não disser onde você vai) tem o mesmo efeito de unless you say where you re going (ou seja, a menos que você diga onde você está indo). Temos como correta a alternativa B, que julga como apropriadas as proposições II e IV. QUESTÃO 6 According to the text, Rosana Fisher is a) explaining the importance of sports. b) inviting the readers to practice her activities. c) teaching who have always attended her classes. d) establishing conditions. Resolução Alternativa D Traduzindo as informações dadas por Rosana Fisher, lê-se: I Você não pode fazer quaisquer atividades a não ser que esteja com um instrutor. II Nós não deixaremos você começar uma atividade se você não tiver o equipamento correto.

6 (9) 5- O ELITE RESOLVE AFA INGLÊS E MATEMÁTICA III Você não pode mergulhar a não ser que você tenha feito o curso de treinamento. IV Lembre-se que você não pode sair do centro a não ser que você diga aonde está indo. Pode-se perceber que está correta a alternativa D por indicar que Rosana está estabelecendo condições. A alternativa A está incorreta pois afirma que Rosana está explicando a importância dos esportes. A alternativa B está incorreta pois afirma que ela está convidando os leitores a praticar suas atividades. A alternativa C está incorreta pois afirma que ela está ensinando as pessoas que sempre assistiram suas aulas. TEXTO 5 5 All light on the night Our cities and towns are far from silent at night. As most of are going to bed, a lot of workers are just going to their jobs. It is estimated that up to a fifth of the working population carries out its duties at night running hospitals and maintaining power stations, for example. There is one problem: They have the same biological clock as day workers. Night workers often have trouble sleeping through the day, and sometimes find harder to stay awake, which means mistakes are more likely to happen. Dr Lawrence Smith, a psychologist, discovered that among people who do the same job, night workers suffered % more injuries than day workers. He is now testing the theory that the light can be used to fool the human body clock. The body clock appears to be influenced by light, because one chemical at its disposal is sensitive to light. Adapted from Advance your English QUESTÃO 7 Mark the correct pronouns to fill in the blanks (lines and ). a) us / it b) them / they c) you / him d) me / ours Traduzindo o início do texto, temos: Nossas cidades estão longe de serem silenciosas à noite. Enquanto a maioria de nós está indo para a cama, muitos trabalhadores estão indo para o trabalho. Portanto a única alternativa que completaria o sentido da frase corretamente é a A. Além disso, na segunda lacuna temos: Night workers...sometimes find it harder to stay awake, em que it se refere ao fato de ficar acordado ( stay awake ). QUESTÃO 8 The passive voice of the sentence He is now testing the theory (line 5) is a) Now the theory was testing by him. b) The theory was now tested. c) The theory is being tested now. d) He tested the theory. Pensando nas regras de passagem de voz ativa para voz passiva, devemos fazer as seguintes mudanças: O objeto da voz ativa (the theory) torna-se sujeito, adiciona-se o verbo to be no tempo verbal da frase original (present continuous is being), e o verbo principal da voz ativa vai para o particípio passado (tested). O sujeito pode aparecer como agente da passiva antecedido de by, ou pode também ser omitido, como neste caso. A tradução também nos auxilia na escolha da alternativa. Em português temos: Voz ativa: Ele está testando a teoria agora.... Na voz passiva seria: A teoria está sendo testada agora.... QUESTÃO 9 We can replace the pronoun who (line ) by a) that b) whose c) which d) whom Na frase among people who do the same job, o pronome relativo Who está no lugar de people (pessoas). Como se refere a pessoas, não podemos usar o which, que se refere a coisas. O whose também não pode ser usado pois significa cujo/a, idéia que não foi passada na frase. Por fim, o whom não pode ser usado porque só se aplica a objeto e o WHO, na frase, está no papel de sujeito. Assim, a única correta é a alternativa A. TEXTO No time to relax Even when we relax we do everything more quickly. Ten years ago when people went to art galleries they spend ten seconds looking at each picture. Today they spend just three seconds! Oxford, New English File QUESTÃO According to the paragraph a) in the past people didn t appreciate arts. b) nowadays people spend less time visiting art galleries. c) only ten years ago people liked to visit art galleries. d) we only relax visiting interesting places. Traduzindo o texto: Até mesmo quando relaxamos, nós fazemos tudo mais rapidamente. Dez anos atrás, quando as pessoas iam às galerias de arte, elas passavam dez segundos olhando para cada quadro. Hoje elas gastam apenas três segundos! A alternativa A afirma que no passado as pessoas não gostavam de arte, o que não é verdade. A alternativa C afirma que somente dez anos atrás as pessoas gostavam de visitar galerias de arte, o que também não se sustenta pelo texto. A alternativa D diz que nós somente relaxamos quando visitamos lugares interessantes, o que não está presente no texto. A alternativa B diz que hoje em dia as pessoas passam menos tempo visitando galerias de arte. Na verdade, o texto diz claramente que as pessoas hoje gastam menos tempo apreciando cada quadro, o que não necessariamente significa que as pessoas gastam menos tempo visitando as galerias. Deve-se observar, por exemplo, que as galerias de arte poderiam ter aumentado de tamanho neste período ou ainda que, com a mudança de hábitos que tem ocorrido, poder-se-ia considerar que as pessoas passaram a apreciar uma parcela maior do total de quadros das galerias do que anos atrás. Em todo o caso, considerando o título do texto, que afirma que as pessoas atualmente não têm tempo para relaxar, a alternativa B tornase a única alternativa válida. NOTA: no trecho when people went to art galleries they spend o verbo to spend deveria ser empregado no passado, ou seja, deveria ser utilizado spent ao invest de spend. 4

7 MATEMÁTICA QUESTÃO Uma pequena fábrica de cintos paga a seus funcionários o salário, conforme tabela abaixo CARGO SALÁRIOS Nº DE (em reais) FUNCIONÁRIOS COSTUREIRO(A) SECRETÁRIO(A) 5 4 CONSULTOR GERENTE x Certo mês, houve um aumento de % sobre os salários da tabela acima para todos os cargos. Sabendo-se que a nova média salarial passou a ser de 65 reais, o novo salário do gerente é, em reais, igual a a) 5 5 b) 5 c) d) A média dos salários é dada por: x. + = x Aumentando-se todos os salários de %, a nova média salarial é também aumentada de %. Assim temos: + x 65.8., = 65 + x = = 7 8, x = 7 = 5 O novo salário do gerente é 5., = 55. QUESTÃO Sejam z = x + yi ( x *, y * e i a unidade imaginária), z o conjugado de z e λ o lugar geométrico dos pontos Pxy (, ) do plano cartesiano para os quais z z = x + Se A e B são os pontos de interseção de λ com o eixo Oy e se A é o ponto de interseção de λ com o eixo Ox que possui a menor abscissa, então a área do triângulo A AB é, em unidades de área, igual a a) b) c) d) Partindo de z z = x + : ( ) ( ) z z = x + x + yi x yi = x + λ : x + y x = Cálculo de A e B: ( ) ( ) x = y = y = ± A e B,, Cálculo de A : y = x x = x = ou x = ; como A é o ponto que possui a menor abscissa, temos então que A' (,). Observe a figura: A` b h Temos então que A Δ A' AB= = = y A B x 5 QUESTÃO Sejam as funções gx ( ) = x (9) 5- O ELITE RESOLVE AFA INGLÊS E MATEMÁTICA Considere os números A e B, tais que A = f() + f() f (5) e B = + g() + g() g( n ) +... x f : e g : definidas por f( x ) = e Se o produto de A por B tende para o número α, então, α é a) ímpar múltiplo de 9 b) par divisor de. c) par múltiplo de 5 d) ímpar múltiplo de 5 Resolução Alternativa D 5 A = f() + f() f(5) = Temos então que A é igual a soma dos 5 primeiros termos de uma PA, onde a =, 5 r = e a 5 =. Assim: ( a+ a5) A = S5 = = + 5 = 5 B = + g() + g() g( n) +... = Temos que B 4 n é o limite da soma dos termos de uma PG quando n tende ao infinito, onde a = e q =. Assim, o número B é igual a: a B = S = = = = q Logo, o produto A B é igual ao número número impar múltiplo de = 5 5, que é um QUESTÃO 4 Observe a função polinomial P esboçada no gráfico abaixo. Sabe-se que x = ou x = são raízes de P e que o resto da divisão de ( ) ( x ) ( x ) x é Rx ( ) Px por [ ] As raízes de Rx ( ) são números a) inteiros pares. b) inteiros ímpares. c) fracionários opostos. d) irracionais opostos. Observando o gráfico de P(x), temos que: P () =, P () = e P () =. Ao dividirmos P(x) por Dx ( ) = ( x ) ( x ) x, obtemos um quociente Q(x) e um resto R(x), tal que Px ( ) = Dx ( ) Qx ( ) + Rx ( ). Como o divisor

8 Dx ( ) é de grau, o resto R(x) deve ser de grau menor que (ou identicamente nulo), isto é, deve ser da forma R( x) = ax + bx + c. Assim, temos que: Px ( ) = ( x ) ( x ) x Qx ( ) + Rx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P() = Q + R = R() = P() = ( ) ( ) Q( ) R( ) R() + = = ( ) ( ) ( ) ( ) P() = Q + R = R() = Como R(x) é da forma Rx ( ) ax bx c = + +, sendo R () = e R () =, temos então que x = e x = são raízes de R(x), isto é, podemos fatorar Rx ( ) = a ( x ) ( x ). Como R () =, vem que: a ( ) ( ) = a =. Assim, Rx ( ) = ( x ) ( x ), de modo que R(x) não é identicamente nulo, e suas duas únicas raízes são e, isto é, as raízes de R(x) são números inteiros pares. QUESTÃO 5 Numa sala de aula, estão presentes 5 alunos e 6 alunas. Para uma determinada atividade, o professor deverá escolher um grupo formado por dessas alunas e dos alunos. Em seguida, os escolhidos serão dispostos em círculo de tal forma que alunos do mesmo sexo não fiquem lado a lado. Isso poderá ocorrer de n maneiras distintas. O número n é igual a a) 4. b).4 c) 4 d) Escolha dos alunos: Tem-se 5 5! = = opções para a escolha de entre 5 meninas e!! 6 6! = = opções para a escolha de entre 6 meninos. Assim,!! forma-se. = grupos diferentes. Disposição em círculo: Alunos Alunas Para colocá-los em círculo, primeiro faz-se a permutação circular das meninas, ( )! = maneiras, e, depois, a permutação dos meninos nos três espaços entre as meninas,! = 6 maneiras. Resultando em.6 = maneiras de formar o círculo com o grupo escolhido. Cálculo do n: Com as informações acima, o número de maneiras diferentes que podemos formar o círculo é n =. = 4. QUESTÃO 6 Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. Os estudantes A e B têm a mesma probabilidade de vencer e cada um tem o dobro da probabilidade de vencer do que o estudante C. Admitindo-se que não haja empate na competição, é FALSO afirmar que a probabilidade de a) A ou B vencer é igual a,8 b) A vencer é igual a,4 c) C vencer é maior que, d) B ou C vencer é igual,6 6 (9) 5- O ELITE RESOLVE AFA INGLÊS E MATEMÁTICA Supondo que temos apenas os três estudantes competindo e indicando por P(A) a probabilidade de A vencer, por P(B) a probabilidade de B vencer e por P(C) a probabilidade de C vencer, temos: P(A) + P(B) + P(C) = P(A) = P(B) =,4 P(A) = P(B) P(C) =, P(C) = P(A) Ainda temos, como não há empate: P(A B) = P(A C) = P(B C) = Analisando cada alternativa: a) Verdadeira: A probabilidade de A ou B vencer é indicada por: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A) + P(B) =,8 b) Verdadeira: A probabilidade de A vencer é P(A) =,4, obtida anteriormente. c) Falsa: A probabilidade de C vencer é P(C) =,, obtida anteriormente. d) Verdadeira: A probabilidade de B ou C vencer é indicada por: P(B C) = P(B) + P(C) P(B C) = P(B) + P(C) =,6 Obs.: Vale comentar que a questão não indica que os três são os únicos participantes da competição. Caso existam outros competidores com chances de vitória, teríamos P(A) + P(B) + P(C) <, o que nos levaria aos seguintes resultados: P(A) = P(B) <,4 P(C) <, P(A) + P(B) <,8 P(B) + P(C) <,6 O que tornaria todas as alternativas falsas. QUESTÃO 7 Seja o sistema S de equações nas incógnitas x, y e z e parâmetro real m. x + y z = S = x my z = x + y + mz = m Analise as proposições a seguir e assinale a INCORRETA. a) Se m =, então S é impossível b) S é determinado se, e somente se, m c) Se S é homogêneo, então x + y + z é sempre um número múltiplo de d) S admite solução para todo m Resolução Alternativas B/C O determinante da matriz dos coeficientes é dado por: m = m m = m ( m+ ) m O sistema é possível e determinado se, e somente se, m m+, isto é, para m e m. ( ) Para m =, o sistema é homogêneo e, portanto, nesse caso, possível e indeterminado. Além disso, analisando o sistema resultante: x + y z = x z = x = z x + y + z = z z + z = z x + y = z + y = y = z Para m =, o sistema torna-se impossível, como podemos observar diretamente pela segunda e terceira linha do sistema resultante: x + y z = x + y z = x + y z =

9 (9) 5- O ELITE RESOLVE AFA INGLÊS E MATEMÁTICA Assim, analisando cada alternativa, temos: a) Correta. Como observado acima, para m =, o sistema é impossível. b) Incorreta. Como observado acima, o sistema é possível e determinado para m e m, ou seja, não basta exigir que m, também é necessário exigir que m. c) Incorreta. Como observado acima, quando m =, que é o caso do sistema ser homogêneo, do tipo possível e indeterminado, temos x + y + z = z, que só será necessariamente múltiplo de se assumirmos que z. Caso contrário, para z =, por exemplo, tem-se que x + y + z =, que não é múltiplo de. Assim, a inexistência dessa hipótese de que z é uma variável inteira invalida essa alternativa. d) Correta. Como observado acima, o caso em que m = é o único que resulta num sistema impossível. Para todos os outros casos, o sistema é possível, sendo do tipo possível e determinado para m e m, e possível e indeterminado para m =. QUESTÃO 8 Para a fabricação de três modelos de avião, a Embraer precisa de alguns equipamentos, conforme a tabela abaixo Para o ano de 9, a Embraer recebeu encomendas dos três modelos, conforme a tabela abaixo Sabendo-se que a quantidade necessária de poltronas para a fabricação dos três modelos de aviões no ano de 9 é de 8, então a soma dos algarismos de y é igual a a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 Em 9 foram encomendados: +.,5 = 5 aviões do modelo A, ( y + 5) aviões do modelo B e +.,8 = 8 do modelo C. Assim, considerando o número de poltronas dado, temos: 8 = 5. + ( y + 5 ) = y + 8. Logo: y + 8 = 8 y = 45 y = 5 A soma dos algarismos é + 5= 6. QUESTÃO 9 Pedro e Maria com seus filhos Gabriel e João foram a uma clínica médica para uma revisão de saúde. Fazia parte da avaliação aferir o peso de cada um. A balança da clínica era muito antiga e tinha um defeito, só indicava pesos maiores que 6 kg. Para resolver a pesagem, procedeu-se da seguinte maneira: Pesou-se Pedro, Maria e Gabriel, totalizando 5 kg Pedro, Gabriel e João, totalizando 7 kg Maria, Gabriel e João, totalizando 97 kg Pedro, Maria, Gabriel e João, totalizando 7 kg Com base nessas informações, é correto afirmar que a) com essa balança é possível pesar Gabriel e João juntos. b) a diferença entre os pesos de Pedro e Maria é o peso de João. c) Pedro é mais pesado que Maria e João juntos. d) não é possível pesar Maria sozinha nessa balança. Resolução Alternativa D Seja P, M, G e J os pesos de Pedro, Maria, Gabriel e João, respectivamente. Temos que: P + M + G = 5 P + G+ J = 7 M + G+ J = 97 P + M + G+ J = 7 Sejam L, L, L el4 as linhas do sistema acima. Temos que: L4 L: J = kg L4 L : M = 55kg L4 L : P = 75kg P + M + G + J = G + = 7 G = kg Verificando as alternativas, temos: a) G + J = + = 4 < 6 (INCORRETA) b) P M = = = J (INCORRETA) c) M + J = 55 + = 77 >75 = P (INCORRETA) d) M = 55 < 6 (CORRETA) QUESTÃO Considere as circunferências dadas pela equação x + y = b * ( b ). A circunferência que circunscreve um quadrado de área igual a 5 é tal que b pertence ao intervalo a), b), 8 c), 8 6 d), 6 4 Resolução Alternativa D Dada da área do quadrado podemos encontrar o valor de seus lados: Area = L L = Area L = 5 = 5 Agora, considere a seguinte figura: L R L L A diagonal do quadrado é igual ao dobro do raio da circunferência circunscrita e, portanto: R = L R = 5 = 5 Da equação da circunferência x + y = temos: b = R = R b = b b 5 Analisando as alternativas b =, * Nota: O enunciado impunha b, o que é incompatível com a equação da circunferência desejada. Além disso, nenhuma das alternativas apresentava um intervalo no qual existe um número natural. Dessa forma, a questão é passível de anulação, visto que essa incompatibilidade pode ter levado alguns candidatos a não confiarem em suas respostas, corretamente obtidas. R L 7

10 (9) 5- O ELITE RESOLVE AFA INGLÊS E MATEMÁTICA QUESTÃO Analise o gráfico abaixo da função real g : Se h é uma função real tal que hx ( ) = gx ( ) +, então marque a alternativa verdadeira a) ( h h h... h )() = 4 b) ( h h h)() > ( h h h h )() c) Se y = h h h então y ],[ d) Se x = h h h então x ],[ Como h(x) = g(x) +, temos abaixo o gráfico de h(x): h ],[ = c h h = h( c) = d ],[ x = h h h = h( d) ],[ Logo, x ],[. QUESTÃO Considere a reta r simétrica da reta ( s)x + y = em relação à reta () tx y = Com base nisso, marque a alternativa verdadeira a) Se < y < então r t = b) Pxy (, ) r tal que x < e y > c) Na reta r, se x > 8 então y < 7 7 d) Pxy (, ) r tal que x > e y < /C Podemos construir os gráficos das retas (s) e (t) como segue: Analisando as alternativas: a) INCORRETA: h() = 4 ( h h) () = h(4) = h h h () = h() = 4 h h h h () = h(4) = ( ) ( ) Temos então que ( h h h h) 4, se n é ímpar () =, se n é par n vezes Como não sabemos se n é ímpar ou não, não podemos garantir que esta alternativa esteja correta. b) INCORRETA: h() = h h () = h() = h h h () = h() = ( ) ( ) ( ) ( ) h() = h h () = h() = h h h () = h() = ( h h h h) () = h() = Assim: ( h h h) = < = ( h h h h) c) CORRETA: h ],[ = a h h = h( a) = b ],[ y = h h h = h( b) ],[ Logo, y ],[ d) INCORRETA: () () Por hipótese, a reta (r) é a simétrica de (s) com relação à (t). Assim, a reta (t) funciona como um espelho e a reflexão da reta (s) por esse espelho é a reta (r). Isso significa que qualquer ponto da reta (t) é equidistante das retas (r) e (s). Escolhendo um ponto em particular, por exemplo, o ponto (,) que pertence à (t), a distância de (r) à (,) é igual à distância de (s) à (,). Além disso, a reta (r) passa pela intersecção das retas (s) e (t), que é a solução do sistema formado pelas retas (s) e (t): 8 x = x + y = 7. x y = y = 7 Portanto, a equação da reta (r) é dada por: 8 8m y+ = m x mx y + = Usando a hipótese das distâncias iguais ao ponto (,) que pertence a (t), temos: 8m + m 7 dr,(,) = ds,(,) = m + 5 6m m ( m ) = = = m + 7 m + 49(m + ) 5 49m + 49 = 45m m + 5 m + 5m + = m= ou m= 8

11 (9) 5- O ELITE RESOLVE AFA INGLÊS E MATEMÁTICA Com isso, temos duas possibilidades para (r): - Para m= : (r) x + y = (não convém, pois representa a própria reta (s)) - Para m = : (r) x + y = Os gráficos contendo (r), (s) e (t) estão a seguir: Analisando o gráfico, temos que: Locadora α: f( x ) = 5 Locadora β: gx ( ) = ax ' + g() = 7 a' + = 7 a' = 5 a' =,5 g( x) =,5x + Locadora γ: hx ( ) = ax+ h() = 7 a+ = 7 a = 4 a =,4 h( x) =,4x + Assim, é mais vantajoso optar pela locadora α quando: f( x) g( x) 5,4x + x 5 x 6 f( x) h( x) 5,5x + x 6 Logo, o menor valor possível para m é m = 6. Assim, concluímos que: a) FALSA: Existe a intersecção entre (r) e (t), no mesmo ponto onde ocorre a intersecção entre (s) e (t): 8, 7 7. Como < <, podemos 7 8 dizer que para < y < temos r t =, 7 7. b) VERDADEIRA: Para a reta (r), temos que se x < y > 6. Além disso, ela é uma função monotônica. Portanto para todo x < temos y >. c) VERDADEIRA: 8 Como a reta é decrescente e passa pelo ponto,, temos que se 7 7 x > 8 então y <. 7 7 d) FALSA: Para a reta (r), temos que se x > y < 6. Além disso, ela é uma função monotônica. Portanto Pxy (, ) r tal que x > e y <. Poderíamos testar um ponto, como por exemplo (, 5), que pertence a (r) e apresenta x > e y <. QUESTÃO Na figura abaixo, tem-se representado as funções f, g e h que indicam os valores pagos, respectivamente, às locadoras de automóveis α, β e γ para x quilômetros rodados por dia. Uma pessoa pretende alugar um carro e analisa as três opções. Após a análise, essa pessoa conclui que optar pela locadora α ao invés das outras duas locadoras, é mais vantajoso quando x ] m, + [, m. O menor valor possível para m é a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 QUESTÃO 4 Sobre a função real f : D dada por f( x) = + log ( x ), é INCORRETO afirmar que é a) par b) sobrejetora x D c) crescente se x [, + [ d) injetora x D Resolução Sem resposta válida O conjunto D não foi dado na questão, portanto, poderia ser qualquer subconjunto de { }, pois, pela condição de existência do logaritmo temos, x > x. Assumindo D como o maior D = x x. subconjunto real possível, temos { } a) Correta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x = + log x = + log x = f x b) Correta: Dado y, y qualquer, encontramos x D f ( x) = y. y y ( x ) y x y x x y y + log = log = = = ±., tal que De fato, f = f = y e x D, pois a função exponencial é sempre diferente de zero. c) Correta: Se x x, então: x x log x log x ( ) ( ) + log( x ) + log( x ) f ( x) f ( x) Logo, a função é crescente para x [, + [. d) Incorreta: toda função par é não injetora. Porém, se considerarmos, por exemplo, D = { x x > } f ( x) = + log x e, neste caso: temos a) Incorreta: A função só está definida para valores positivos, portanto não pode ser dita par. b) Correta: Dado y, temos x tal que: y + log x = y x = > x D c) Correta: Se x x + logx + logx f ( x) < f ( x) d) Correta: f ( x ) = f ( x ) + log ( x ) = + log ( x ) x = x. Além destes domínios, o candidato poderia escolher vários outros, com outros resultados, portanto, propomos a anulação desta questão, pois não há no enunciado informação relevante para sua resolução, o que, além de levar a diferentes respostas corretas, de acordo com a suposição do candidato, certamente atrapalhou vários candidatos, que possivelmente ficaram tentando identificar informações que ajudassem a determinar o conjunto D. 9

12 (9) 5- O ELITE RESOLVE AFA INGLÊS E MATEMÁTICA QUESTÃO 5 π Seja a função real f definida por f( x) = cos(4 x) sen 6x. Marque a alternativa que possui a melhor representação, no ciclo trigonométrico, de todas as raízes da função f. a) b) c) d) π Sabendo que sen α = cosα, temos: π f(x) = cos4x sen 6x = cos4x cos6x Com isso, calculemos as raízes de f(x): f(x) = cos4x cos6x = cos4x = cos6x π k 6x + 4x = π k x = Logo, 5 com k inteiro. 6x 4x = π k x =π k kπ Ambas as soluções podem ser agrupadas como x =, com k inteiro 5 kπ Assim, x = e na primeira volta do ciclo, as soluções são dadas por 5 pontos distintos. QUESTÃO 6 Considere o esboço dos gráficos das funções reais f, g e h, tais que f é do º grau e g e h são do º grau. Sabe-se que V é o vértice da parábola. O conjunto de todos os valores de x para os quais hx ( ) > gx ( ) > f( x) é a) ], 5[ b) [, 5] c) [, ] d) ], [ Note que h( x) > g( x) para todo x. Assim, basta encontrar os valores de x para os quais g( x) > f ( x). A função g, tendo como gráfico uma reta não vertical, pode ser descrita por uma expressão do tipo g( x) = a x + b. g() = a + b = a = Pelo gráfico: gx ( ) = x+ g() = a + b = b = A função h pode ser escrita como f ( x) = a ( x r) ( x r), onde r e r são as raízes da função quadrática. Pelo gráfico, r = e r =. b b + Além disso, xv = = = ( r+ r) = =. a a Como a ordenada do vértice é y V =,5, temos: f( xv) = yv f ( ) = a ( ) ( ) = a = Assim: f ( x) = ( x ) ( x ) f ( x) = x + x. Igualando g e f, encontramos os pontos de intersecção: x + x = x + x 6x + 5 = x = ou x = 5 Pelo gráfico, g( x) = h( x) se x {, 5}, g( x) < f ( x) se x ], 5[ e g x > f x se x [, 5]. ( ) ( ) QUESTÃO 7 Sejam as funções reais dadas por f( x) x + = e gx ( ) x + =. Se b tal que f = g( b) e p = log b, então sobre p é correto afirmar que a) não está definido. b) é positivo e menor que. c) é negativo e menor que. d) é positivo e maior que. Como f = g( b), temos: + b+ b b = = = b = log Porém, como a função logarítmica de base ( y = log x ) é estritamente crescente, temos que: < log < log= b < Sabendo que o logaritmo exige como condição de existência que seu logaritmando seja positivo, segue que p = log b não está definido, já que b (o logaritmando, nesse caso) é negativo. QUESTÃO 8 Sobre a função real f definida por f ( x) = + 6( senx)(cos x ), é INCORRETO afirmar que a) Im( f ) = [,] π π b) é decrescente para todo x, 4 4 c) possui 8 raízes no intervalo [, π ] d) tem período igual ao período da função real g dada por g(x)=f(x) Reescrevendo a função: sen( x ) ( ) f ( x) = + 6senx cos x = + senx cos x = + sen x Construindo o gráfico de f(x): f( x) = sen x º) ( ) º) f( x) = sen( x)

13 (9) 5- O ELITE RESOLVE AFA INGLÊS E MATEMÁTICA º) f( x) = sen( x) π Note que o período da função g(x) também será T =. Obs.: O período da função y = a + bsen( mx) é igual a π p =. m QUESTÃO 9 A revista Época publicou uma reportagem em fevereiro de 9 a respeito do impacto da crise financeira mundial no crescimento da economia. Desaceleração recorde Em 9, a economia mundial deverá ter o menor crescimento desde a ª Guerra Mundial em % ao ano. O gráfico abaixo indica o percentual de crescimento da economia mundial de alguns anos, no período de 98 a 9 4º) f( x) = + sen( x) 4,7 4,5,7,,9 Crescimento (%),9,5 Analisando as alternativas: a) CORRETA: Do gráfico acima, temos que Im( f ) = [, ] Obs.: A imagem da função f( x) a b sen( mx) Im = aa, + b. = + é igual a b) INCORRETA: Do gráfico acima, temos que f é decrescrente no π π intervalo, 4, porém f é crescente no intervalo π π, 4. c) CORRETA: Do gráfico, temos que a função f(x) intercepta o eixo Ox em 8 pontos no intervalo [,π ], logo, f tem 8 raízes neste intervalo. π d) CORRETA: Observando o gráfico de f(x), seu período é T =. Observe agora o gráfico de gx ( ) = fx ( ) = + 6 sen( x) : Fonte: Revista Época //9/nº 559 pág. 85. (Adaptado) Sabendo-se que no ano de 9 o percentual foi estimado, analise o gráfico e marque a alternativa FALSA. a) Houve um aumento superior a 4% do percentual de crescimento do ano de 995 para o ano b) A queda do crescimento do ano de 5 para o percentual estimado no ano de 9 é menor que 9% c) O aumento do percentual de crescimento do ano de 985 em relação ao ano de 98 é aproximadamente 95% do percentual de crescimento do ano de 98 d) A taxa de crescimento do ano de em relação ao ano de 985 é a mesma que a taxa de crescimento do ano de 99 em relação ao ano de 98 Resolução Alternativa D Analisando o gráfico, podemos montar a seguinte tabela: ANO CRESCIMENTO (%) 98,9 985,7 99,9 995, 4,7 5 4,5 9,5 ano

14 (9) 5- O ELITE RESOLVE AFA INGLÊS E MATEMÁTICA Assim, analisando as alternativas, temos: a) Verdadeira, pois de 995 para, o aumento percentual foi de 4,7,,4 4 4 = = >.,, 99 b) Verdadeira, pois a variação percentual (em módulo) de 5 para 9 é de 4,5,5 = 4 = 8 < 9 = 9%. 4,5 4,5 9 c) Verdadeira, pois de 98 para 985 o aumento passou de,9 para,7, o que dá uma variação (absoluta) de,8. Fazendo, 8,947, 9, temos de fato um aumento, no percentual de crescimento, de aproximadamente 95% do percentual de crescimento de 98. 4,7,7 d) Falsa, pois de 985 a, a taxa foi de =, enquanto,7,7,9,9 que de 98 a 99 foi de =, que são duas taxas, 9, 9 diferentes. QUESTÃO 4 Considere uma chapa de aço circular de espessura desprezível e raio 5 cm. π Recortando-se, dessa chapa, dois setores circulares de ângulo rad cada, e juntando-se em cada um desses setores os lados de mesma medida, sem perda de material, obtém-se dois objetos em forma de cone. Unindo-se as bases desses cones, obtém-se um objeto A Dentro desse objeto A foram inseridas esferas de ferro cuja área da superfície, de cada uma, é de 9 π cm². Sabendo-se que foram inseridas a maior quantidade possível dessas esferas dentro do objeto A, o espaço vago dentro desse objeto, é tal que, seu volume é, em cm³, igual a Dado: =,4 π a) π b) π c) d) π 4 Resolução Sem Resposta A banca examinadora, ao elaborar a questão, subestimou sua complexidade, visto que a forma de empacotamento das esferas que serão introduzidas no sólido criado não pode ser ignorada para a resolução. Dessa forma, não seria possível a obtenção da resposta correta levando em consideração o escopo do ensino médio. Esse tipo de questão, conhecido como empacotamento de esferas, é um problema recente da matemática que, em vários casos, ainda não tem solução conhecida. Iremos analisar o formato do sólido criado e discutir melhor as possibilidades de empacotamento. Considerando a chapa ao lado, vamos indicar os dois setores circulares e os cones obtidos, π com θ= Como teremos dois setores circulares, temos que a soma dos arcos é π π 4π + = < π, e assim, é possível construir os dois cones a partir da mesma chapa. Um deles é mostrado a seguir: h. r Por definição, o ângulo θ é o ângulo central do cone, que é calculado por π r. Assim, π r π = g = r (I); g g Pela construção, o raio do circulo é a geratriz do cone. Substituindo em (I), g = 5 cm e por conseqüência, r = 5 cm. g θ Da relação notável no cone ( g = r + h ), temos que h = cm. Portanto, temos as seguintes informações: ) Vcone = π 5 = π 5,4= 7,5π cm ) Aesfera = 9π= 4πResfera Resfera = cm 4 9 ) Vesfera = π = πcm. Calcularemos a maior quantidade possível dessas esferas dentro do objeto A ignorando a geometria do problema (forma de empacotamento) e levando em consideração somente os volumes dos cones e das esferas. O significado desse valor é o número de esferas que poderiam ser colocadas considerando que as mesmas podem ocupar perfeitamente o formato do sólido (foram derretidas ou tiveram sua forma modificada para caberem em A). Nesse caso, temos que dentro do objeto A (dois cones) cabem n esferas. Logo: 9.7,5 π= n. π n = 5,... e com isso, temos que 5 esferas inteiras estariam dentro do objeto A, que ocupam um volume de 9 5. cm 4 cm π = π. Assim, o espaço vago é o volume dos cones menos a soma dos volumes das 5 esferas. Assim: V = V 5 V = 7,5π 4π V = π cm vago cone esfera vago Na realidade, devido às diversas formas de empacotamento, teríamos que o número de esferas rígidas que podem ser inseridas é menor ou igual a 5, ou seja, da forma 5 k e, uma vez que o problema cita esferas de ferro e nada diz sobre alteração de forma destas, não se pode considerar a alteração de estado destas esferas, até porque, neste caso haveria dilatação das esferas. 9π Sabendo que o volume de cada esfera é cm, os possíveis volumes vagos são: 9 π Vvago =π+ k, k Observando-se as alternativas, a única que apresenta esta forma é a alternativa B, entretanto, este seria apenas um candidato a solução. Vamos verificar se Vvago =πcm poderia ser uma solução. Considere a figura abaixo: Observe que, com a esfera colocada na posição mais Va próxima possível do vértice do cone (menor volume vago possível perto do vértice). Temos Re V a uma fração do volume vago total, de forma que V vago V a. V a pode ser calculado por: π hcalota ( resfera h ) calota Va = Vcone Vcalota = π rbase hcone π (,5 ) 8π 7π = π 4 πcm = = 6 Assim, temos que Vvago Va = π> π, portanto a alternativa b também não é válida. Dessa forma, nenhuma das alternativas é válida. Obs.: Para ilustrar a complexidade desse tipo de problema, observe os esquemas a seguir e considere que o volume vago total é a soma dos vãos entre as esferas:

15 (9) 5- O ELITE RESOLVE AFA INGLÊS E MATEMÁTICA