TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO/ANÁLISE DE DADOS AULA 10. Universidade Federal Fluminense

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1 CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA 29 DE OUTUBRO DE 2013 TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO/ANÁLISE DE DADOS AULA 10 Humberto José Bortolossi Universidade Federal Fluminense

2 SEÇÃO 14.4: MEDIDAS DE DISPERSÃO

3 MEDIDAS DE DISPERSÃO Existem várias maneiras diferentes de descrever a dispersão de um conjunto de dados. Nesta seção descreveremos as três maneiras mais usadas.

4 A AMPLITUDE Uma abordagem óbvia para se descrever a dispersão de um conjunto de dados é considerar a diferença entre os valores máximo e mínimo no conjunto de dados. Esta diferença é denominada amplitude (range) e ela será denotada pela letra R (de range, amplitude em inglês). Assim, R = Max Min. A amplitude de um conjunto de dados é uma peça de informação útil quando não existem outliers no conjunto de dados. Na presença de outliers, a amplitude nos conta uma história distorcida. Por exemplo, a amplitude dos resultados do exame de estatística (Exemplo 14.1) é igual a 24 1 = 23 pontos, indicando uma grande dispersão das pontuações (isto é, indicando a existência de um grupo muito heterogêneo de estudantes). É verdade, mas se desconsiderarmos os dois outliers, os 73 resultados restantes têm uma amplitude muito menor: 16 6 = 10 pontos.

5 A AMPLITUDE INTERQUARTÍLICA Para eliminar a possível distorção provocada por outliers, uma prática comum para se medir a dispersão de um conjunto de dados consiste em utilizar a amplitude interquartílica (nterquartile range), denotada pelo IQR. A amplitude interquartílica é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil (IQR = Q 3 Q 1 ). Ela nos diz o quão dispersos estão os 50% dados centrais. Para muitos tipos de dados do mundo real, a amplitude interquartílica é uma medida de dispersão útil.

6 EXEMPLO 14.15: OS RESULTADOS EM MATEMÁTICA DO TESTE SAT EM 2007 PARTE 3 O resumo dos cinco números para os resultados em matemática do teste SAT de 2007 (ver Exemplo 14.15) é dado por Min = 200 (sim, alguns candidatos erraram todas as perguntas!), Q 1 = 430, M = 510, Q 3 = 590 e Max = 800 (sim, alguns candidatos acertaram todas as questões!). Disto resulta que os resultados em matemática do teste SAT de 2007 tiveram amplitude de 600 pontos (R = = 600) e amplitude interquartílica de 160 pontos (IQR = = 160).

7 O DESVIO PADRÃO A medida de dispersão mais importante e mais comumente usada para um conjunto de dados é o desvio padrão. O conceito chave para se compreender o desvio padrão é o conceito de desvio em relação à média. Se A é a média do conjunto de dados e x é o valor de um dado, a diferença x A é o desvio em relação à média (deviation from the mean) de x. Os desvios em relação à média nos dizem o quão longe os valores dos dados estão do valor médio dos dados. A ideia é usar essas informações para descobrir o quão dispersos os dados estão. Os desvios em relação à média também formam um conjunto de dados, o qual gostaríamos de resumir. Uma forma seria calcular a média dos desvios, mas, se fizermos isso, os desvios negativos e os desvios positivos se cancelarão mutuamente, de modo que vamos acabar com uma média sempre igual a zero: N N N N N N N ( x A) x A x A 1 x AN x i i i i i i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 = = = = A= A A= 0. N N N N N

8 O DESVIO PADRÃO O cancelamento de desvios positivos e negativos podem ser evitados elevando-se ao quadrado cada um dos desvios. Os desvios ao quadrado nunca são negativos, e se calcularmos a sua média, obteremos uma medida de dispersão importante denominada de variância (variance), denotada por V. Finalmente, se tomarmos a raiz quadrada da variância, obteremos o desvio padrão, representado pela letra grega σ e, às vezes, pela sigla SD (standard deviation em inglês). De forma mais esquemática: Seja A a média de um conjunto de dados. Para cada valor x no conjunto de dados, calcule o seu desvio em relação à média (x A) e eleve ao quadrado cada um desses números. Os resultados são denominados desvios quadrados (squared deviations). Calcule a média dos desvios quadrados. Este número é denominado a variância V do conjunto de dados. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância (σ = V 1/2 ). Observação: em algumas definições é conveniente definir a variância como a soma dos desvios quadrados dividida por N 1 ao invés de N. Uma explicação será dada posteriormente (estimados não enviesados em inferência estatística).

9 EXEMPLO 14.19: CÁLCULO DE UM DESVIO PADRÃO Ao longo do semestre, Ângela fez todos os deveres de casa. Suas notas nos 10 trabalhos (ordenados do menor para o maior) foram 85, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 94 e 95. Nosso objetivo neste exemplo é calcular o desvio padrão do conjunto de dados da maneira antiga (ou seja, com lápis e papel). O primeiro passo é calcular a média do conjunto de dados. Não é difícil de se ver que A = 90. Temos sorte: este é um número inteiro! O segundo passo é calcular os desvios em relação à média e, em seguida, os desvios quadrados. Os pormenores são mostrados nas segunda e terceira colunas da Tabela Quanto a média dos desvios quadrados, obtemos ( )/10 = 11. Isto significa que a variância é V = 11 e, portanto, o desvio padrão (arredondados para uma casa decimal) é σ = 11 1/2 3,3 pontos.

10 O DESVIO PADRÃO Desvios padrões são medidos nas mesmas unidades que os dados originais. Assim, no Exemplo 14.19, o desvio padrão das notas dos deveres de casa de Ângela foi de cerca de 3,3 pontos. O que devemos concluir com essa informação (3,3 pontos)? É claro, a partir de apenas um olhar casual nas pontuações de Ângela, que ela foi muito consistente em seus deveres de casa, nunca se afastando muito acima ou muito abaixo de sua média de 90 pontos. O desvio padrão é, na verdade, uma forma de medir esse grau de consistência. Um pequeno desvio padrão nos diz que os dados são consistentes e que a dispersão dos dados é pequena, como é o caso com as pontuações de Ângela. A última palavra em consistência dentro de um conjunto de dados é quando os valores de todos os dados são iguais (como é o caso da amiga de Ângela, Chloe, que tirou 20 em todos os deveres de casa). Quando isso acontece, o desvio padrão é 0. Por outro lado, quando há uma grande inconsistência no conjunto de dados, teremos um grande desvio padrão. Isto é ilustrado por outra amiga de Ângela, Tiki, cuja pontuações foram 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85 e 95. O desvio padrão deste conjunto de dados é comparativamente maior: quase 29 pontos.

11 O DESVIO PADRÃO O desvio padrão é, sem dúvida, a medida de dispersão mais importante e mais frequentemente usada. No entanto, o conceito não é particularmente intuitivo. Aqui estão algumas orientações básicas que recapitulam a nossa discussão anterior: O desvio padrão de um conjunto de dados é medido nas mesmas unidades que os dados originais. Por exemplo, se os dados estão em metros, então o desvio padrão também é dado em metros. Por outro lado, se o desvio padrão é dado em dólares, então podemos concluir que os dados originais devem ter sido dinheiro (preços de casas, salários ou algo assim). Por certo, os dados não poderiam ter sido os resultados das medidas das alturas de pessoas. Não faz sentido comparar desvios padrões de conjuntos de dados que são dados em unidades diferentes. Mesmo para os conjuntos de dados que são dados nas mesmas unidades (digamos, por exemplo, os resultados de testes), a escala usada dever ser a mesma. Não devemos tentar comparar desvios padrões para as pontuações do teste SAT que tem uma escala de 200 a 800 pontos com desvios padrões das pontuações de tarefas de casa medidas em uma escala de 0 a 100 pontos.

12 O DESVIO PADRÃO Para conjuntos de dados que são dados em uma mesma escala, uma comparação dos desvios padrões pode nos dizer algo sobre a dispersão dos dados. Se o desvio padrão é pequeno, podemos concluir que os dados estão todos amontoados: há pouca dispersão. À medida que o desvio padrão aumenta, podemos concluir que os dados estão começando a se dispersar. Quanto mais dispersos eles estiverem, maior será o desvio padrão. Um desvio padrão igual a 0 significa que todos os valores dos dados são todos iguais.

13 CONCLUSÃO Quer queiramos ou não, na era da informação, estamos nadando em um mar de dados. Hoje, os dados são a moeda comum do discurso científico, social e econômico. Satélites poderosos varrem constantemente nosso planeta, coletando quantidades prodigiosas de dados meteorológicos, geológicos e geográficos. Agências governamentais recolhem milhões de números a cada ano sobre o nosso modo de viver, trabalhar, gastar e morrer. Mesmo em nossas atividades menos sérias, tais como esportes, somos inundados com dados. Confrontado com o problema comum de dilúvio de dados, estatísticos e cientistas criaram muitas formas engenhosas para organizar, visualizar e resumir grandes quantidades de dados. Neste capítulo discutimos alguns conceitos básicos nesta área da estatística.

14 CONCLUSÃO Resumos gráficos de dados podem ser produzidos por diagramas de barras, pictogramas, diagramas de setores, histogramas e assim por diante. Existem muitos outros tipos de descrições gráficas que não discutimos neste capítulo. O tipo de resumo gráfico que é o mais adequado para uma situação depende de muitos fatores, e criar uma "imagem" boa de um conjunto de dados é muito mais uma arte do que uma ciência. Resumos numéricos de dados, quando usados apropriadamente, nos ajudam a entender o padrão geral de um conjunto de dados sem que tenhamos que nos prender a detalhes. Eles se dividem em duas categorias: (1) medidas de posição, como a média, a mediana e os quartis e (2) medidas de dispersão, tais como a amplitude, a amplitude interquartílica e o desvio padrão. Às vezes, até mesmo combinamos resumos numéricos com resumos gráficos, como é o caso do boxplot. Apenas tocamos em todos esses tópicos neste capítulo: o assunto é grande e, pela necessidade, apenas arranhamos a superfície.

15 CONCLUSÃO Nos dias de hoje, somos todos consumidores de dados e, em um momento ou em outro, é provável que sejamos fornecedores de dados também. Assim, entender os conceitos básicos de como os dados são organizados e resumidos tornou-se um requisito essencial para o sucesso pessoal e boa cidadania.

16 AGORA: EXERCÍCIOS EM SALA DE AULA