Stela Adami Vayego DEST/UFPR

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1 Resumo 4 - Resumo dos dados numéricos por meio de números (continuação) 4. A importância do desvio padrão Para se entender a importância que o desvio padrão representa na análise de dados estatísticos, é necessário a introdução de um teorema desenvolvido pelo matemático russo Tchebysheff, que pode ser aplicado a qualquer conjunto de observações (amostra ou população). Teorema de Tchebysheff: Dado um número k 1, e dado um conjunto de n observações, x 1, x 2,..., x n, da variável X, é certo que pelo menos 1 2 dessas observações pertencerão ao intervalo de k desvios antes e k desvios além da média dessas observações. A idéia: Um intervalo é construído, medindo-se uma distância ks para cada lado da média X. Calculando a fração 1 2, o teorema afirma que pelo menos aquela fração do número total de observações, irá pertencer ao intervalo. Deste modo: 3 Quando k = 2, o teorema afirma que 1 = 2 (75%) das observações pertencerão ao intervalo 2 4 [ x±2s]. 8 Quando k = 3, o teorema afirma que 1 = 2 (88,89%) das observações pertencerão ao 3 9 intervalo [ x±3s]. Exemplo 8: A média e a variância de uma amostra com n = 25 observações são 75 e 100, respectivamente. Usar o Teorema de Tchebysheff para descrever a distribuição dessas observações. Resolução: Como x = 75 e s 2 = 100 (s = 10), a distribuição das observações é centrada em x = 75, e o Teorema de Tchebysheff diz que: (a) Pelo menos 4 3 (75%) das observações pertencerão ao intervalo [ x±2s] = [55; 95]. (b) Pelo menos 9 8 (88,89%) das observações pertencerão ao intervalo [ x±3s] = [45; 105]. É importante enfatizar o pelo menos do Teorema de Tchebysheff, por ser esse teorema pessimista, quando aplicado a qualquer distribuição de observações. Na maior parte dos casos, a fração de observações contidas nesse intervalo especificado irá exceder a 1 2. Quando a distribuição dos dados é simétrica, existe uma regra que nos permite determinar a freqüência de dados contidos em certos intervalos construídos a partir do conhecimento da média e do desvio-padrão. Os intervalos mais comuns são aqueles simétricos em torno da média e que se afastam dela por um, dois ou três desvios-padrão, para a direita e para a esquerda, como ilustrado a seguir:

2 Exemplo 9: Realiza-se uma pesquisa a fim de avaliar o tempo necessário para a realização de uma certa operação manual em um laboratório. Esse tempo é medido para cada uma de n = 40 mulheres. A média e o desvio padrão obtidos foram 12,8 e 1,7, respectivamente. 5. Outras Medidas de Posição 5.1. Percentis, Quartis e Decis Dados que produzem histogramas simétricos são adequadamente descritos e sintetizados pela média e o desvio-padrão. Isso não ocorre em distribuições assimétricas. Quando dizemos que certo aluno está entre os 5% melhores do colégio ou que um país está entre os 10% mais pobres, não precisamos nem saber quantos alunos tem o colégio ou em quantos países estão sendo consideradas as rendas. Aqui já houve uma padronização da posição usando-se a porcentagem de alunos ou países com desempenho ou renda abaixo do valor considerado. É este raciocínio que define os percentis. Definição: O percentil de ordem k (onde k é qualquer valor entre 0 e 100), denotado por Pk, é o valor tal que k% dos valores do conjunto de dados são menores ou iguais a ele. Assim, o percentil de ordem 10, o P10, é o valor da variável tal que 10% dos valores são menores ou iguais a ele; o percentil de ordem 65 deixa 65% dos dados menores ou iguais a ele, etc. Os percentis de ordem 10, 20, 30, dividem o conjunto de dados em dez partes com mesmo número de observações e são chamados de decis. Os percentis de ordem 25, 50 e 75 dividem o conjunto de dados em quatro partes com o mesmo número de observações. Existem vários processos para calcular os percentis, usando interpolação. Vamos utilizar um método mais simples. As diferenças serão muito pequenas e desaparecerão à medida que aumenta o número de dados. De modo geral, para se obter o percentil de ordem k, denotado por Pk, após ordenar os dados, k calcula-se o valor L= n. Se L for inteiro, o valor do Pk é a média entre o L-ésimo e o (L+1)-ésimo 100 valores a contar do menor. Se L não for inteiro, arredonde L para o maior inteiro mais próximo, e o valor de Pk será o L-ésimo valor a contar do menor. Exemplo 10: Considere as notas finais dos 40 candidatos ao curso de Direito no Vestibular de certa faculdade, já colocadas em ordem crescente:

3 º Percentil de ordem 10: 10% de 40 = 4. Então o P10 = média(4o e 5o valores)=(42+44)/2 = 43. º Percentil de ordem 95: 95% de 40 = 38. Então o P95 = média(38o e 39o valores)=(95+97)/2 = 96. º Primeiro Quartil: 25% de 40 = 10. Então o Q1 = média(10o e 11o valores)=(49+51)/2 = 50. º Terceiro Quartil: 75% de 40 = 30. Então o Q3 = média(30o e 31o valores)=(86+86)/2 = 86. º Mediana: 50% de 40 = 20. Então mediana = média(20o e 21o valores)=(66+67)/2 = 66,5. 6. Escores Padronizados O processo de padronização consiste em subtrair a média da variável X e dividir por seu desviopadrão. Desse modo, obtém-se uma nova variável de média 0 e desvio-padrão 1, que é denominada variável padronizada. Z = X X S Os escores padronizados são medidas que, calculadas para cada observação do conjunto de dados, nos permitem fazer comparações entre valores de variáveis medidas em escalas diferentes. A idéia é que, na comparação dos resultados (média e desvio-padrão) de dois indivíduos, é importante a padronização em relação ao grupo. Por exemplo, se desejarmos comparar o nível acadêmico dos estudantes de diferentes universidades para a concessão de uma bolsa de estudos, primeiramente, seria injusto concedê-la diretamente ao que possui uma nota média mais elevada, já que a dificuldade para conseguir uma boa qualificação pode ser muito maior em um centro do que em outro, limitando, assim, as possibilidades de um dos estudantes e favorecendo o outro. Nesse caso, o mais correto é comparar as qualificações de ambos os estudantes, mas padronizadas cada uma delas pelas médias e pelos desvios padrão referentes às notas dos alunos de cada universidade. Exemplo 11: Sejam os pesos (em Kg) de 10 recém-nascidos: 3,2 3,2 2,8 2,1 2,9 3,1 3,2 3,0 3,5 4,0 Supondo que nasça um bebê de 4,1 kg, este peso está praticamente dois desvios-padrão acima da média porque: z i = x i x = 4,13,1 = 2,04. s 0,49 Surge o interesse em saber o quando um escore padronizado deve ser considerado grande??? Como já foi visto, pelo do Teorema de Tchebysheff, podemos ter a seguinte regra: Para a maioria dos conjuntos de dados, pelo menos 88% das observações estão no intervalo centrado na média com amplitude de 3 desvios-padrão. Poucas observações estão além de 2 desvios-padrão e raramente há uma observação além de 3 desvios-padrão. Assim, o bebê de 4,1kg tem um peso muito diferente dos outros 10. Não se esperava, a priori, um valor tão grande como o que ocoreu. Devem-se procurar razões substantivas para esse fato. Importante: Não confundir coeficiente de variação e padronização!!!! Os coeficientes de variação servem para comparar as variabilidades de dois conjuntos de valores (amostras ou populações), ao passo que se desejarmos compar dois indivíduos de cada um desses conjuntos, é necessário usar os escores padronizados. Nenhum deles possui unidades e é um erro muito freqüente confundi-los. 7. Estatísticas de achatamento Podemos ter interesse em saber se a distribuição dos dados é mais ou menos achatada (comprida e estreita). Esse achatamento é medido em comparação com uma certa distribuição de freqüências que consideraremos NORMAL (não por casualidade, é esse o nome que recebe a distribuição de referência) Coeficiente de achatamento de Fisher (Curtose) Define-se o coeficiente de achatamento de Fisher (Curtose) como:

4 2 = m 4 s 4 3, em que, m 4 é o momento central de quarta ordem dado por m 4 = 1 n x i x 4. é um coeficiente adimensional, invariante perante trocas de escala e de origem; serve para medir se uma distribuição de frequências é muito achatada ou não. Para afirmar que a distrbuição é comprida ou estreita, deve-se ter um padrão de referência, que é a distribuição NORMAL ou GAUSSIANA, para a qual se tem: m 4 s 4 =3 2 =0 Desse modo, de acordo com 2 classificam-se as distribuição de frequências em: Leptocúrtica: quando 2 0, ou seja, quando a distribuição de frequências é mais achatada que o normal; Mesocúrtica: quando, 2 =0 ou seja, quando a distribuição de frequências é tão achatada quanto o normal; Platicúrtica: quando 2 0, ou seja, quando a distribuição de frequências é menos achatada que o normal. 8. Resumo dos 5-Números O resumo de 5-números associa os limites inferior e superior do conjunto de dados aos quartis, fornecendo uma idéia bastante razoável da dispersão, da tendência central e da forma da distribuição, isto é, do grau de deformação. Título Med Q 1 l Q 3 L 8.1. Box-Plot : É uma representação gráfica dos dados através de seu resumo de 5-números. O Boxplot fornece informações importantes sobre o comportamento dos dados, como a simetria e variabilidade, e auxilia na detecção de outliers. Para sua construção é necessário ter: O primeiro quartil (Q 1 ) A mediana (Med) O terceiro quartil (Q3) O desvio interquartílico (DQ = Q3 Q1)

5 Os pontos que estão a mais de 1,5 DQ do quartil correspondente até 3,0 DQ são chamados pontos externos (outliers) e os que estão a mais de 3,0 DQ, pontos soltos (extremos) Causas do aparecimento de outliers Leitura, anotação ou transcrição incorreta dos dados. Erro na execução do experimento ou na tomada da medida. Mudanças não controláveis nas condições experimentais ou dos pacientes. Características inerentes à variável estudada (por exemplo, grande instabilidade do que está sendo medido Medidas a serem tomadas após detectar outliers O outlier deve ser abandonado quando houver justificativa convincente para isto. (Por exemplo: erro na execução do experimento ou na medida tomada. Após a eliminação do outliers pode-se fazer a análise estatística com o restante dos dados. Se não houver explicação para a existência do outlier, este pode refletir uma característica do que esta sendo estudado. Neste caso, a a observação é incluída na análise e um tratamento especial deve ser dado aos dados. Exemplo 12: Os dados a seguir fornecem a duração média do ciclo menstrual, em fase de pré-ovulação, de 21 mulheres sadias, as quais estavam usando métodos naturais de planejamento familiar. 22,9 26,3 26,6 26,8 26,9 26,9 27,5 27,6 27,6 28,0 28,4 28,4 28,5 28,8 28,8 29,4 29,9 30,0 30,3 31,2 31,8