Y i : Quantidade de interesse. X i : Variável auxiliar. Estimadores do tipo razâo. População de U de N unidades. Unidade i: (X i, Y i )

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1 Estimadores do tipo razâo População de U de N unidades Unidade i: (X i, Y i ) Y i : Quantidade de interesse X i : Variável auxiliar

2 Temos para uma amostra AASc de tamanho n x : média amostra de X ȳ : média amostral de Y Temos para a variável auxiliar X: τ x e µ x = X : total e média populacional de X (v. auxiliar)

3 Estimadores: Razão: R = ȳ x. Média Y µ y = Ȳ : ˆµ Ry = ˆR. X = r X = ȳ x X. Total Y τ Y = N.µ y : ˆτ Ry = N.ˆµ Ry = ˆR.τ x = rτ x = ȳ x τ x.

4 Propriedades: Estimadores ˆR, τ Ry, µ Ry aproximadamente não viesados. ˆR R = ȳ x R ȳ xr µ x. Portanto, substituindo x por µ x no denomidador temos E[ ˆR R] = E[ȳ x R] E[ȳ xr] µ x = 0.

5 Variância: V ar[ ˆR] 1 V ar[ȳ R x] = 1 ar[ µ 2 x µ xv d], 2 onde d = i s D i, D i = Y i RX i, de modo que e daí, de modo que V ar[ d] = σ2 R n, V ar[ ˆR] 1 V ar[ µ d] = σ2 R, 2 x nµ 2 x V ar[ˆµ Ry ] = σ2 R n, V ar[ˆτ Ry ] = N 2σ2 R n,

6 Estimadores para as variâncias são obtidos substituindo-se por Temos os ICs: σ 2 R = 1 N N (Y i RX i ) 2, i=1 s 2 R = ˆσ 2 R = 1 n 1 (Y i ˆRX i ) 2. i s s ˆR 2 R z α µ 2 xn. s 2 R ˆµ y z α n. ˆτ y z α N 2s2 R n.

7 Exemplo: Quantidade de suco em um carregamento de laranjas. Amostra AASc com n=10 unidades.τ X = 1800kg. X: 0.4, 0.48, 0.43,0.42,0.5,0.46,0.39,0.41,0.42,0.44 (Kg.) Y : 0.021, 0.03, 0.025, 0.022, 0.033, 0.027, 0.019, 0.021, 0.023, (Kg.) de modo que x = i s X i = 4.35/10 = 0.435, ȳ = i s Y i =.246/10 = r = ˆR = ȳ x = = s 2 R = 1 9 [( (.40))2 + + ( (.44)) 2 ] = (.00241) 2

8 Portanto, ˆτ y = = (1800)(.05655) = kg 4.35 V ar[ˆτ y ] = s2 R nµ 2 x = (1800) 2 (.00241)2 (10).(.435) 2 = Portanto, ˆτ y = (94.66, ).

9 O estimador razão estratificado População esteja dividida em H estratos y h, x h e τ Xh as médias amostrais correspondentes as variáveis Y e X e o total da variável X no estrato h.

10 No caso da média populacional µ y, pode-se considerar o seguinte estimador y Res = H h=1 W h y h x h µ x h = H W h y Rh. h=1 Como um estimador do total τ y : T Res = ˆτ Res = H N h y Rh. h=1 ȳ Rh = ȳh x h Xh.

11 Variância: com V ar[y Res ] H h=1 W 2 h n h (σ 2 Y h + R 2 hσ 2 Xh 2R h ρ XY h σ Y h σ Xh ) = H h=1 W 2 h σ 2 Rh n h, σ 2 Rh = σ 2 Y h + R 2 hσ 2 Xh 2R h ρ XY h σ Y h σ Xh )

12 V ar[y Rh ] 1 n h N h N h j=1 (Y hj R h X hj ) 2 = 1 n h (σ 2 Y h + R 2 hσ 2 Xh 2R h ρ XY h σ Y h σ Xh ), onde V ar[y Res ] H h=1 W 2 h σ 2 Rh n h, σ 2 Rh = σ 2 yh 2R h ρ h (X, X)σ Y h σ Xh + R 2 hσ 2 Xh, N h σ Rh / c h (5.4.2) n h = n H h=1 N h σ Rh /, c h h = 1,..., H.

13 Tem-se então que dispor de uma estimativa piloto de σrh 2 em cada estrato para que (5.4.2) seja operacional.

14 Exemplo 5.3. Considere uma companhia que dispõe de duas indústrias em locais diferentes. O objetivo principal da pesquisa é avaliar se houve variação no tempo médio gasto por um empregado no último ano em relação ao anterior.

15 A população base é formada pelos empregados das duas indústrias. Essa população será dividida em dois estratos, sendo que o estrato 1 de tamanho N 1 = 1000, engloba os empregados da indústria 1 e o estrato 2, de tamanho N 2 = 1500, contém os empregados da indústria 2. De cada um dos estratos, uma amostra de tamanho 10 é observada usando a AASs. Em cada uma das amostras observa-se Y ij : número de horas gastas com visitas ao médico pelo empregado j da indústria i, no corrente ano

16 e X ij : número de horas gastas com visitas ao médico pelo empregado j da indústria i, no ano anterior. Obteve-se para o estrato 1, n 1 = 10, y 1 = 18, 7, x 1 = 17, 8, τ X1 = 16300, s 2 R1 = 3, 47

17 e para o estrato 2, n 2 = 10, y 2 = 4, 6, x 2 = 7, 8, τ X2 = 12800, s 2 R2 = 9, 72. Como N = 2500, calcula-se y Res = N 1 N y R1 + N 2 N y R2 = 19, 75 e também uma estimativa de V Res = V ar[y Res ], ˆV Res = ( N 1 N )2s2 R1 n 1 + ( N 2 N )2s2 R2 n 2 = 7, 22.