ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Probabilidades e Combinatória. TPC nº 5 Entregar a

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 2º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Probabilidades e Combinatória TPC nº 5 Entregar a AS BANDEIRAS DO CLUBE Queremos escolher uma bandeira para o nosso clube. Dispomos de cores e a bandeira vai ter a estrutura representada na figura ao lado e, como é óbvio, duas tiras vizinhas não podem ser da mesma cor... Quantas bandeiras, com as cores todas diferentes, se podem fazer?.2. Tente repetir uma cor duas vezes. Apresente os esquemas e diga quantas bandeiras diferentes é possível fazer nessas condições... Tente repetir uma cor três vezes. Apresente os esquemas e diga quantas bandeiras diferentes é possível fazer nessas condições... Quantas bandeiras diferentes se podem fazer repetindo apenas uma cor quatro vezes?.5. Tente repetir duas ou mais vezes, mais do que uma cor e apresentando os esquemas possíveis calcule o número de bandeiras diferentes que se podem fazer..6. Conclua quantas bandeiras diferentes podemos fazer dispondo das cores e com a estrutura da figura. 2. Um indivíduo para se deslocar de casa para o trabalho costuma ir em carro próprio ou de autocarro. Como prefere viajar em carro próprio, escolhe esta opção 0% das vezes. A probabilidade de chegar atrasado ao trabalho é de % e a probabilidade de ir em carro próprio e chegar atrasado é de 2%. Considere os acontecimentos C : viajar em carro próprio; C : viajar em autocarro; A: chegar atrasado ao trabalho; P: chegar ao trabalho à hora exacta. 2.. Traduza por palavras as seguintes probabilidades: p ( A C) p( A C ) ( ) 2.2. Calcule p(a C) ; p(a C) ; p(c A) e p(c A). pc A p ( C A) Professora: Rosa Canelas

2 . Quando se lança uma moeda ao ar, a probabilidade de sair cara é p = 0,5. Em média, quando se fazem N lançamentos, o número de caras saído é dado por x = N p e o desvio padrão por σ= N p ( p). Quando se faz a experiência de lançar 00 vezes uma moeda, o número de caras saído tem uma distribuição que se pode considerar muito próxima da normal... Quais são a média e o desvio padrão desta distribuição?.2. Qual é o intervalo centrado na média que inclui 6% dos casos?.. Calcule o valor acima do qual o número de caras saído só acontece 2% das vezes?.. Calcule o valor abaixo do qual o número de caras saído só acontece 2% das vezes?. Observou-se que 5 dos alunos do 2º K usavam jeans, usavam camisola azul e, dos que usavam camisola azul, metade usavam jeans. Depois da observação, seleccionou-se ao acaso um aluno do 2º K. Justifique que a probabilidade de ele não trazer jeans nem camisola azul é: (A) (B) (C) 2 (D) 5. Seja Ω o espaço de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória. Sejam X e Y dois acontecimentos ( X ΩeY Ω ) Apenas uma das afirmações seguintes não é equivalente à igualdade P( X Y) = 0 Qual? (A) X e Y são acontecimentos incompatíveis. (B) X e Y não podem ocorrer simultaneamente. (C) Se X ocorreu, Y não pode ocorrer. (D) X e Y são ambos impossíveis. 6. Faz parte do guarda-roupa da Ana calças jeans e sapatilhas. Considere os acontecimentos: A: "a Ana usa jeans"; B: " a Ana usa sapatilhas" Uma das igualdades abaixo indicadas traduz a afirmação: " Um terço das vezes que a Ana usa jeans, a Ana usa sapatilhas". (A) P( A B) (B) PB A ( ) = = = (C) P( A B) = (D) P( A B) P( A) Professora: Rosa Canelas 2

3 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 2º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Probabilidades e Combinatória TPC nº 5 Proposta de resolução Entregar a AS BANDEIRAS DO CLUBE Queremos escolher uma bandeira para o nosso clube. Dispomos de cores e a bandeira vai ter a estrutura representada na figura ao lado e, como é óbvio, duas tiras vizinhas não podem ser da mesma cor... Com as cores todas diferentes, podemos fazer = 6720 bandeiras diferentes..2. Vamos tentar repetir uma cor duas vezes. Apresentamos os esquemas: O número de bandeiras diferentes que é possível fazer nessas condições é: = Tentámos repetir uma cor três vezes. Apresentamos o único esquema que nos permite repetir uma cor vezes. Nestas condições é possível fazer 7 6 = 6 bandeiras diferentes.. Não é possível pintar nenhuma bandeira se repetirmos apenas uma cor quatro vezes, porque ficariam sempre duas barras juntas com a mesma cor..5. Tentemos repetir duas vezes, duas cores. Conseguimos fazê-lo de acordo com o esquema ao lado. O número de bandeiras diferentes que se podem fazer é 7 6 = Concluímos que podemos fazer = 2 bandeiras diferentes dispondo das cores e com a estrutura da figura adicionando os números encontrados ou fazendo Professora: Rosa Canelas

4 = Um indivíduo para se deslocar de casa para o trabalho costuma ir em carro próprio ou de autocarro. Como prefere viajar em carro próprio, escolhe esta opção 0% das vezes. A probabilidade de chegar atrasado ao trabalho é de % e a probabilidade de ir em carro próprio e chegar atrasado é de 2%. Considera os acontecimentos C : viajar em carro próprio; C : viajar em autocarro; A: chegar atrasado ao trabalho; A : não chegar atrasado ao trabalho. 2.. Traduzindo por palavras as seguintes probabilidades obtemos: p ( A C) - Probabilidade de ter chegado atrasado sabendo que viajou em autocarro p( A C ) - Probabilidade de ter chegado atrasado sabendo que viajou em carro próprio pc A ( ) - Probabilidade de ter viajado em carro próprio sabendo que chegou atrasado p ( C A) - Probabilidade de viajar em carro próprio ou chegar atrasado ao trabalho 2.2. Dado que o enunciado não nos dá nenhuma probabilidade condicionada mas apenas probabilidades de intersecção ou probabilidades totais, vamos optar por fazer uma tabela em vez de uma árvore de probabilidades. C C A 2 6 A Calculemos agora: 6 p(a C) = = ; p(c A) = = 2 p(a C) = = ; p(c A) = = Quando se lança uma moeda ao ar, a probabilidade de sair cara é p = 0,5. Em média, quando se fazem N lançamentos, o número de caras saído é dado por x = N p e o desvio padrão por σ= N p ( p). Quando se faz a experiência de lançar 00 vezes uma moeda, o número de caras saído tem uma distribuição que se pode considerar muito próxima da normal... A média e o desvio padrão desta distribuição são de acordo com as instruções dadas: x = 00 0,5 = 50 e σ= 00 0,5 ( 0,5) = 5.2. O intervalo centrado na média que inclui 6% dos casos é [ 5,55 ] Professora: Rosa Canelas

5 .. O valor acima do qual o número de caras saído só acontece 2% das vezes é 00 invnorm ( 0.02,50,5) 60.. O valor abaixo do qual o número de caras saído só acontece 2% das vezes é invnorm( 0.02,50,5) 0. Observou-se que 5 dos alunos do 2º K usavam jeans, usavam camisola azul e, dos que usavam camisola azul, metade usavam jeans. Depois da observação, seleccionou-se ao acaso um aluno do 2º K. Considerando os acontecimentos: J usa jeans e A usa camisola azul Vamos traduzir os dados em linguagem simbólica P( J) = ; P( A) = e P( J A) podemos calcular P( J A) P( A) P( J A) tabela: 5 =. Daqui 2 = = = e em seguida vamos construir uma 2 A A J 2 5 J (A) Pode afirmar-se que a probabilidade de ele não trazer jeans nem camisola azul é: ( J) P A = 5. Seja Ω o espaço de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória. Sejam X e Y dois acontecimentos ( X ΩeY Ω ) A única das afirmações seguintes não equivalente à igualdade P( X Y) = 0 é (D) X e Y são ambos impossíveis. 6. Faz parte do guarda-roupa da Ana calças jeans e sapatilhas. Considere os acontecimentos: A: "a Ana usa jeans"; B: " a Ana usa sapatilhas" A igualdades que traduz a afirmação: " Um terço das vezes que a Ana usa jeans, a Ana usa sapatilhas" é (B) PB A ( ) = Professora: Rosa Canelas 5

6 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 2º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Probabilidades e Combinatória. CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DO TPC nº 5 0 Pontos = 6720 bandeiras diferentes = = 6.. Não é possível pintar nenhuma bandeira = = 2 ou = Pontos. Prob de ter chegado atrasado sabendo que viajou em autocarro 2 Pontos Prob de ter chegado atrasado sabendo que viajou de carro 2 Pontos Prob de ter viajado de carro sabendo que chegou atrasado 2 Pontos Prob de viajar em carro próprio ou chegar atrasado ao trabalho 2 Pontos 2.2. tabela 0 Pontos 6 p(a C) = = 20 0 Pontos 2 p(a C) = = 0 20 Pontos 2 2 p(c A) = = Pontos 6 p(c A) = = Pontos 20 Pontos.. x = 00 0,5 = 50 e σ= 00 0,5 ( 0,5) = 5.2. [ 5,55 ].. 00 invnorm ( 0.02,50,5) 60.. invnorm( 0.02,50,5) 0 = 0 Pontos 5. (D) X e Y são ambos impossíveis.. (A) P( A J) 6. (B) PB A ( ) = Professora: Rosa Canelas 6