ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Tarefa 3 do plano de trabalho nº 2 I Lançamento de um dado 1.ª Parte Se lançarmos 10 vezes um dado cúbico equilibrado, quantas vezes sai o número 2? E o número 6? Para confirmar a resposta que acabou de dar, experimente: (A) lançar um dado e repetir o processo 10 vezes. (B) Utilizar a sua calculadora para simular esses 10 lançamentos de um dado. NOTA: Se ainda não consegue fazer a simulação veja as instruções na folha Simulações e Calculadoras Observe quantas vezes sai o n.º 2. Coincide com o número que tinha previsto? 2.ª Parte E se lançarmos o dado 100 vezes, quantas vezes sai cada face? E se o lançarmos 500 vezes? E...? Propomos o seguinte: Cada um dos elementos do seu grupo faz o maior número possível de experiências (simular o lançamento de um dado) num mesmo período de tempo (5 min) e regista os seus resultados na tabela seguinte. QUADRO REGISTO DOS RESULTADOS OBTIDOS PELOS ELEMENTOS DE UM GRUPO (Tabela I) Nomes Nº Exper. {1} {2} {3} {4} {5} {6} Totais Freq. relativa PROFESSORA: Rosa Canelas 1

2 O grupo calcula, então, a frequência relativa de cada um dos acontecimentos sair número 2, sair face 3,... Um elemento do grupo escreverá na tabela de registo da turma (em acetato) os resultados obtidos. 3.ª Parte (Trabalho conjunto da turma) Comparem a frequência relativa do acontecimento sair número 2 que o vosso grupo obteve e a que se obteve com o total de experiências realizadas. Observem o que acontece com as frequências relativas de sair cada uma das faces. 4.ª Parte Construam, em relação aos valores obtidos pelo vosso grupo, um gráfico de frequências relativas de cada um dos acontecimentos sair o número 1, sair o número 2,... Para isso: - Inserem numa lista 1 os valores do espaço de resultados. - Numa lista 2 inserem os respectivos valores das frequências relativas que o grupo obteve. - Encontrem uma boa janela de visualização para visualizarem o gráfico de barras. Construam um outro gráfico de barras para todos os valores obtidos na turma e que estão registados no acetato. - Insiram numa terceira lista os valores das frequências relativas que foram obtidos na turma. - Visualizem o gráfico relativo aos valores obtidos na turma. Numa mesma janela visualizem os dois gráficos. O que observam Qual das afirmações vos parece mais de acordo com o estudo que acabaram de fazer? A. Seja qual for o número de lançamentos efectuados, o acontecimento sair número 2 ocorre sempre 1/6 das vezes. B. A frequência relativa do acontecimento sair o número 2 é um valor que se aproxima de 1/6, para um número cada vez maior de experiências realizadas nas mesmas condições. C. O número de vezes que sai a face 2 aproxima-se da sexta parte do número total de experiências, para um número cada vez maior de lançamentos de um dado. PROFESSORA: Rosa Canelas 2

3 II O João fez 200 lançamentos de uma moeda e foi anotando o número de caras saídas ao fim de 20, 40, 60...provas. Calculou as frequências relativas e elaborou o gráfico João. O Rui, com a mesma moeda, obteve o gráfico Rui. a) Quantas caras tinha obtido o João ao fim de 60 lançamentos? E o Rui? E ao fim de 160? b) Embora diferentes, estes gráficos mostram a mesma propriedade das frequências relativas. Qual é? III Lançámos 1000 vezes um dado e os resultados são os indicados na tabela. Fr. Abs. Fr. Rel Pintas (%) , , , , , ,1 O que se pode concluir a respeito deste dado? Para este dado, qual a previsão de probabilidade de saída de cada uma das faces? (Adaptado de Matemática(s) em rede Oficina do Centro) PROFESSORA: Rosa Canelas 3

4 IV Resolva os exercícios seguintes por aplicação da Lei dos Grandes Números: Emoção no final do jogo de basquetebol Falta um segundo para terminar o jogo de basquetebol e a nossa equipa está a perder por um ponto. Mas eis que o adversário faz falta. A nossa equipa tem então o direito a fazer um lance livre. Se o jogador conseguir converter o lance, ou seja, se a bola entrar no cesto, tem direito a um segundo lance livre. Caso falhe o primeiro, já não tem direito ao segundo. Cada lance livre convertido vale um ponto. A emoção é grande e o pavilhão está num silêncio tenso. O comentador desportivo acaba de informar que o jogador encarregue da marcação converte 71% dos lances livres. Qual a probabilidade de a nossa equipa ganhar o jogo? Sugestão: para simular na calculadora podemos utilizar a instrução rand que gera números aleatórios entre zero e um: Se sai um nº>0,71 perdemos o jogo. Se sai um nº <0,71 seguido de outro nº<0,71 ganhamos o jogo. Se sai um nº<0,71 seguido de outro nº>0,71 empatamos o jogo. ou {rand,rand} Se o primeiro elemento do par for um nº>0,71 perdemos o jogo. Se o primeiro elemento do par for um nº <0,71 e o segundo for um nº>0,71 empatamos o jogo. Se os dois elementos do par forem menores que 0,71 ganhamos o jogo. Jogo Justo? A Rita e a Joana são duas amigas que estão a jogar com dois dados diferentes: um tetraedro que sorteia um número de 1 a 4 e um octaedro que dá números de 1 a 8. Lançam os dois dados e somam os números que saíram. Se a soma for 6, 7, 8 ou 9 ganha a Rita. Se a soma for 2, 3, 4, 5, 10, 11 ou 12 ganha a Joana. Quem tem vantagem? Sugestão: Experimente cada uma das simulações seguintes: 1. SIMULAÇÃO DO LANÇAMENTO DO TETRAEDRO (5 lançamentos) RandInt (1,4,5) 2. SIMULAÇÃO DO LANÇAMENTO DO OCTAEDRO (5 lançamentos) RandInt (1,8,5) 3. SIMULAÇÃO DA SOMA DOS LANÇAMENTOS (5 lançamentos) RandInt (1,4,5) + RandInt (1,8,5) 4. SIMULAÇÃO DA VERIFICAÇÃO DE QUEM GANHA RESULTADO 1 GANHA A JOANA RESULTADO 0 GANHA A RITA RandInt (1,4,5) + RandInt (1,8,5) < 6 OR RandInt (1,4,5) + RandInt (1,8,5)>9 5. EM 5 JOGADAS QUANTAS SÃO FAVORÁVEIS À JOANA? Sum (RandInt (1,4,5) + RandInt (1,8,5) < 6 OR RandInt (1,4,5) + RandInt (1,8,5)>9) Escolha das simulações 3, 4 e 5 a que melhor entender. PROFESSORA: Rosa Canelas 4

5 Simulações e Calculadoras Simulação Modelo Instruções para a calculadora Lançamento de moedas Face europeia = 1 Face nacional = 2 Texas TI-83 Texas TI-82 Casio CFX- 9850GB Plus 1 moeda randint(1,2) n moedas randint(1,2,n) 1 moeda int(2rand+1) 3 moedas {int (2rand+1),int (2rand+1),int (2rand+1)} 1 moeda Int(2rand#+1) n moedas Seq ( Int(2rand#+1),x,1,n,1) Texas TI-83 1 dado randint(1,6) n dados randint(1,6,n) Dados cúbicos Texas TI-82 1 dado int (6rand+1) 3 dados {int (6rand+1), int (6rand+1), int (6rand+1)} ou Seq ( Int (6 rand+1),x,1,3,1) Casio CFX- 9850GB Plus 1 dado Int (6Ran#+1) n dados Seq (Int(6 Rand#+1),x,1,n,1) Ordenar a lista e mostrá-la ordenada (resultado do lançamento de 4 dados) Texas TI-83 Texas TI-82 Casio CFX- 9850GB Plus randint(1,6,4) STO 2nd L1:SortA(2nd): 2nd L1 Seq (Int(6 rand+1),x,1,4,1) STO 2nd L1:SortA(2nd L1):2nd L1 Seq(int(6ran#+1),x,1,4,1) List1: SortA(List1):List1 PROFESSORA: Rosa Canelas 5

6 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Tarefa 3 do plano de trabalho nº 2 proposta de resolução I Lançamento de um dado 1.ª Parte Se lançarmos 10 vezes um dado cúbico equilibrado, quantas vezes sai o número 2? E o número 6? Se em 6 números um é 2 em 10 lançamentos tanto pode não sair nenhum 2 como podem sair 10 números 2, eu apostaria em um dois e dois seis. Para confirmar a resposta que acabou de dar, experimente: (A) Lançar um dado e repetir o processo 10 vezes. Os resultados foram 5, 5, 4, 5, 5, 3, 6, 2, 1, 4 (B) Utilizar a sua calculadora para simular esses 10 lançamentos de um dado. Observe quantas vezes sai o n.º 2. Coincide com o número que tinha previsto? Talvez por sorte acertei, nos dois processos de repetir a experiência saiu o 2 apenas uma vez. 2.ª Parte E se lançarmos o dado 100 vezes, quantas vezes sai cada face? E se o lançarmos 500 vezes? E...? É claro que é muito difícil adivinhar mas à medida que o número de experiências aumenta talvez possamos apostar em 1 do número de experiências. 6 Em cada grupo, cada um dos alunos fez o maior número possível de experiências (simular o lançamento de um dado) num mesmo período de tempo (5 min) e registou os seus resultados na tabela dada. O grupo calculou, então, a frequência relativa de cada um dos acontecimentos sair número 2, sair face 3,... Um elemento do grupo escreveu na tabela de registo da turma (em acetato) os resultados obtidos. PROFESSORA: Rosa Canelas 6

7 QUADRO REGISTO GLOBAL DOS RESULTADOS OBTIDOS PELOS DIVERSOS GRUPOS NA TURMA B (Tabela 2) Grupo N.ºExp. {1} Fr.R. {1} {2} Fr.R. {2} {3} Fr.R. {3} {4} Fr.R. {4} {5} Fr.R. {5} {6} Fr.R. {6} A , , , , , ,15 B , , , , , ,159 C , , , , , ,15 D , , , , , ,166 E , , , , , ,192 F , , , , , ,18 G H I Total Fr.R. 0,169 0,158 0,184 0,156 0,161 0,171 PROFESSORA: Rosa Canelas 7

8 3.ª Parte (Trabalho conjunto da turma) Os alunos compararam a frequência relativa do acontecimento sair número 2 que o grupo obteve e a que se obteve com o total de experiências realizadas. Observaram, ainda, o que acontece com as frequências relativas de sair cada uma das faces. Os valores das frequências relativas aproximaram-se mais de valores iguais e próximos de 0,17. 4.ª Parte Os alunos construíram, em relação aos valores obtidos pelo vosso grupo, um gráfico de frequências relativas de cada um dos acontecimentos sair o número 1, sair o número 2,... Para isso: - Inseriram numa lista 1 os valores do espaço de resultados. { 1,2,3, 4,5,6 } - Numa lista 2 inseriram os respectivos valores das frequências relativas que o grupo obteve. - Encontraram uma boa janela de visualização para visualizarem o gráfico de barras. - Construíram um outro gráfico de barras para todos os valores obtidos na turma e que estão registados no acetato para o que: - Inseriram numa terceira lista os valores das frequências relativas que foram obtidos na turma e visualizaram o gráfico relativo aos valores obtidos na turma. PROFESSORA: Rosa Canelas 8

9 - Para melhor visualizarem as diferenças entre os gráficos passaram para gráficos poligonais e numa mesma janela visualizaram os dois gráficos. Ficando: Concluímos que com mais lançamentos os resultados estavam mais estabilizados à volta do valor 0,17. O gráfico da turma com as marcas em quadrado está mais estabilizado que o do grupo (com as marcas em cruz) Em seguida fomos tentar analisar qual das afirmações parece mais de acordo com o estudo que acabámos de fazer A. Seja qual for o número de lançamentos efectuados, o acontecimento sair número 2 ocorre sempre 1/6 das vezes. B. A frequência relativa do acontecimento sair o número 2 é um valor que se aproxima de 1/6, para um número cada vez maior de experiências realizadas nas mesmas condições. C. O número de vezes que sai a face 2 aproxima-se da sexta parte do número total de experiências, para um número cada vez maior de lançamentos de um dado. Embora as afirmações B e C se aproximem mais da verdade, podemos dizer que a mais correcta das três é a B. Ela traduz exactamente o que concluímos e que se traduz na Lei dos Grandes Números também conhecida por definição frequencista de probabilidade enunciada no nosso manual assim: Probabilidade de um acontecimento A associado a uma experiência aleatória é o valor para que tende a frequência relativa da realização de A quando o número de provas tende para infinito; representa-se por p(a) ou P(A). PROFESSORA: Rosa Canelas 9

10 II O João fez 200 lançamentos de uma moeda e foi anotando o número de caras saídas ao fim de 20, 40, 60...provas. Calculou as frequências relativas e elaborou o gráfico João. O Rui, com a mesma moeda, obteve o gráfico Rui. a) O João tinha obtido 36 caras ao fim de 60 lançamentos, valor obtido por: 60 0,6 = 36. E o Rui tinha obtido 15 de 60 0,25 = 15. Ao fim de 160 lançamentos o João tinha obtido 80 caras ( 160 0,5 = 80 ) e o Rui tinha obtido 64 caras ( 160 0,4 = 64 ) b) Embora diferentes, estes gráficos mostram a mesma propriedade das frequências relativas: Quando o número de experiências aumenta, a frequência com que ocorre um acontecimento tende para a probabilidade desse acontecimento. III Lançámos 1000 vezes um dado e os resultados são os indicados na tabela. Pintas Fr. Abs. Fr. Rel (%) , , , , , ,1 Podemos concluir que o dado é viciado por não serem aproximadamente iguais as frequências de ocorrência dos vários resultados Para este dado, a previsão de probabilidade de saída de cada uma das faces é: resultados probabilidades 0,07 0,14 0,14 0,13 0,15 0,37 (Adaptado de Matemática(s) em rede Oficina do Centro PROFESSORA: Rosa Canelas 10