Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor propuse în nr. 2/2014
|
|
- Laura Vasques
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 x >, deci g (x), x >. Aşadar, g este descrescătoare pe (, ), fapt din care rezultă că g(1) lim g(x). Dar lim g(x) = lim x x x [ex + F 1 ] = + F() = x (întrucât F este continuă în ) şi ajungem la absurditatea e + F(1). În final, funcţia f nu are primitive. Soluţia (Gheorghe Iurea, Iaşi). Presupunem, prin absurd, că există F : [, ) å èr primitivă a funcţiei f. Aplicând teorema lui Lagrange funcţiei F : 1 n+1, 1 1 R, obţinem c n n n+1, 1 pentru care F 1 F 1 = n n n+1 1 f(c n ) n(n+1). Cum c n >, din ipoteză vom avea că f(c n ) 1 c e cn, 1 aşadar n F 1 F 1 1 n n+1 c n(n+1) e 1 cn. 1 Dinc n 1 n n+1, 1 rezultă că lim n c n = n şi lim nc 1 1 n = 1; atunci lim n n c n n(n+1) e 1 cn =. Însă F este continuă în, prin å urmare lim F 1 F 1 è = şi, astfel, am ajuns la o contradicţie. n n n+1 XII.155. Determinaţi funcţiile continue f, g : [, ) [, ) pentru care max{f(a),g(a)} a f(x) g(x)dx, a [, ). Soluţie (Moubinool Omarjee, Paris). Funcţia a F(a) = a Florin Stănescu, Găeşti f(x)g(x)dx este derivabilă, cu F (a) = f(a)g(a). Deoarece g(a) F(a), a [, ), această inegalitate revine succesiv la: f(a)g(a) f(a)f(a) F (a) f(a)f(a) e Ê b a f(x)dx F (a) f(a)e Ê a deci funcţia a K(a) = e Ê a f(x)dx F(a) (e Ê a f(x)dx F(a)), f(x)dx F(a) este descrescătoare pe [, ). Atunci K(a) K() =, a [, ), de unde deducem că F(a), a [, ). Funcţiile f şi g sunt pozitive, continue şi au ca produs funcţia nulă; rezultă că f(x) = g(x) =, x [, ). Reciproc, funcţiile f = g = verifică ipotezele problemei. Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor propuse în nr. /14 A. Nivel gimnazial G66. Determinaţi numărul natural n minim având proprietatea: oricare ar fi mulţimea A = {a 1,a,...,a n } N, există B,C A astfel încât B = C =, B C = şi S B +S C.. (Am notat cu S M suma elementelor mulţimii M.) Cristian Lazăr, Iaşi 68
2 Soluţie. Evident, n 6. Luând o mulţime A de cardinal 6 astfel încât suma elementelor lui A nu se divide cu, rezultă că n = 6 nu convine. Considerând o mulţime A care conţine cinci numere de tipul M + 1 şi două numere de tipul M +, constatăm că n = 7 nu are proprietatea din enunţ. Vom arăta că n = 8 are proprietatea dorită, deci n min = 8. Fie A = {a 1,a,...,a 8 } o mulţime oarecare de numere naturale. Considerând cinci elemente oarecare ale lui A, există printre ele trei având suma divizibilă cu (se arată uşor; a se vedea, de exemplu, soluţia problemei L77 din RecMat 1/6); aceste trei numere vor forma mulţimea B. Considerând cele două numere rămase de mai înainte şi cele trei rămase în A, obţinem cinci numere din care, iarăşi, putem selecta trei având suma divizibilă cu ; acestea vorforma mulţimea C şi B,C au proprietăţile dorite. G67. Demonstraţi că nu există numere naturale x, y prime între ele, de parităţi diferite, pentru care numărul a = xy yx să fie pătrat perfect. Cosmin Manea şi Dragoş Petrică, Piteşti Soluţie. Presupunem, prin absurd, că există x,y N, (x,y) = 1, x impar şi y par, astfel încât xy yx = k, unde k N. Cum (x,y) = 1, se arată uşor că (x,y x ) = (y,y x ) = 1 şi, cum xy(y x ) este pătrat perfect, rezultă că fiecare dintre numerele x,y şi y x este pătrat perfect. Însă y x = (M ) (M +1) = M 4 +, deci y x nu poate fi pătrat perfect. Contradicţia la care am ajuns arată că este adevărată concluzia problemei. G68. Considerăm numărul a =, , obţinut prin scrierea (după virgulă) a tuturor pătratelor perfecte, unul după altul. Demonstraţi că a este iraţional. Radu Miron, elev, Iaşi Soluţie. Dacă, prin absurd, a ar fi număr raţional, atunci ar exista un grup de cifre T = a k a k+1...a p care să se repete în scrierea lui a, de la un loc încolo. Însă a conţine oricât de multe zerouri consecutive, deoarece conţine cifrele pătratului 1 t = 1..., unde t > p k +1. Deducem că T =..., evident, imposibil. G69. Arătaţi că A = 1 5 (98n n n n+1 +1), n N, este număr natural compus. Lucian Tuţescu, Craiova Soluţie. Cu notaţia x = 9 n+1, numărătorul lui A se scrie sub forma x 4 +5x + x +5x+1 = (x +7x+1) 9x(x+1) = (9 4n n+1 +1) 9 n+ (9 n+1 +1) = (9 4n+ 9 n n+1 9 n+1 +1)(9 4n+ +9 n n+1 +9 n+1 +1). Cum fiecare paranteză este divizibilă cu 5 şi strict mai mare ca 5, rezultă cerinţa problemei. G7. Scrieţi în ordine crescătoare numerele 14!, (1!) 4! şi (!) 14!. Temistocle Bîrsan, Iaşi Soluţie. Vom ţine cont de inegalităţile n, n N,n n+1 n < n! < n+1 (Olimpiada austriacă de matematică, 1979; GM(B)-1/199, p.9); inegalitatea din stânga se demonstrează prin inducţie, iar cea din dreapta aplicând inegalitatea medi- 69
3 ilor pentru numerele 1,,...,n. Avem: 14! < < = , 1 4 > > , (1!) 4! > prin urmare 14! < (1!) 4!. Apoi, (1!) < 1 4 4! = , 1 (!) 14! > ( 15 )14 = Însă < 7 514, deoarece această inegalitate revine la < (7 5 ) 514 şi este evident că 11 < 7 5, iar 16 < În concluzie, avem ordinea 14! < (1!) 4! < (!) 14!. G71. Fie x,y,z numere reale pozitive astfel încât x +y +z =. Arătaţi că x(y +z ) y yz +z + y(z +x ) z zx+x + z(x +y ) x xy +y 6xyz. Soluţie. Din (y z) 4 rezultă sucesiv: Cătălin Cristea, Craiova Atunci y 4 +z 4 +6y z 4yz(y +z ) (y +z ) 4yz(y yz +z ) x(y +z ) y yz +z 4xyz y +z. x(y +z ) y yz +z 4xyz 1 x +y + 1 y +z + 1 z +x 4xyz (1+1+1) (x +y +z ) = 6xyz. G7. Dacă a,b,c sunt numere reale pozitive, arătaţi că a b + b c + c a a 9 b+c + b c+a + c 1 a+b. Titu Zvonaru, Comăneşti şi Bogdan Ioniţă, Bucureşti Soluţie. Din inegalitatea mediilor, rezultă că a b + a b + b c a şi încă două abc relaţii similare. Prin adunarea acestora, obţinem că a b + b c + c a a +b +c. abc 7
4 Înseamnă că ar fi suficient să arătăm că a +b +c 9 a abc b+c + b c+a + c 1 a+b a +b +c abc abc (a+b+c)(è (a b) ) abc Pentru aceasta, vom demonstra că 9 a b+c + b c+a + c a+b 9 (a b) (a+c)(b+c). (a+b+c)(a b) abc 9 (a b) (a+c)(b+c). Dacă a = b, avem egalitate; dacă a b, trebuie să arătăm că (a+b+c)(a+c)(b+c) 9abc, adică c (a + b + c) + (a + b + c)(ab + bc + ca) 9abc. Însă, din inegalitatea mediilor, (a+b+c)(ab+bc+ca) 9abc şi, astfel, soluţia este completă. Notă. Am primit din partea d-lui Moubinool Omarjee, Paris, o soluţie care foloseşte metoda lui Sturm. G7. Se consideră patrulaterul convex ABCD cu laturile opuse neparalele şi fie O un punct în interiorul acestuia. Arătaţi că există un unic paralelogram MNPQ având centrul O şi vârfurile pe dreptele AB,BC,CD respectiv DA. Ovidiu Pop, Satu Mare Soluţie. Observăm că, date dreptele neparalele d şi d şi punctul O în afara lor, există şi sunt unice punctele A d,b d astfel încât OA = OB. Într-adevăr, dacă OA = OB şi A d, atunci B d, unde d este simetrica dreptei d faţă de punctul O. Cum d şi d sunt concurente, punctul B este unic determinat ca {B} = d d şi acum construcţia lui A este imediată: A = sim O (B). Ţinând seama de acest rezultat, există şi sunt unic determinate punctele M AB,P CD astfel încât OM = OP, precum şi punctele N BC,Q DA astfel încâton = OQ. Astfel, MNPQesteuniculparalelogramdecentruOavândvârfurile pe dreptele suport ale laturilor lui ABCD. G74. Triunghiul dreptunghic neisoscel ABC are ipotenuza BC fixă, iar punctul E este situat pe D A M cateta mai lungă astfel încât AE = AB AC. Demonstraţi că mediatoarea segmentului AE trece R printr-un punct fix. N E Claudiu-Ştefan Popa, Iaşi Soluţie. Notăm, uzual, lungimile laturilor ABC cu a,b,c. Cum BC este fixă, a este constantă. Se consideră R şi Q vârfurile triunghiurilor B O C dreptunghice isoscele cu ipotenuzele AB, respectiv AC, situate în exteriorul ABC. Notăm cu D intersecţia dintre mediatoarea segmentului AE şi dreapta AQ, cu M mijlocul segmentului RQ, cu O mijlocul ipotenuzei BC şi N mijlocul segmentului AE. Remarcăm că punctele R,A şi Q sunt coliniare, deoarece m( RAQ) = 18. Se 71 Q
5 observă că BCQR este trapez dreptunghic, deoarece BR RQ şi CQ RQ; prin urmare, RQ = RA+AQ = c + b = b+c. Cum D este situat pe mediatoarea segmentului AE, rezultă că DAE este isoscel, iar pentru că m( DAE) = 45 rezultă că DAE este şi drepuntghic în D, de unde AD = AE = b c. Astfel, DQ = RQ (RA + AD) = b+c c + b c = c, adică RA = DQ, de unde rezultă că M este şi mijlocul segmentului AD. OM este linie mijlocie în trapezul dreptunghic BCQR, deci OM CQ, de unde OM RQ. Triunghiul OAD este isoscel, deoarece OM este înălţime şi mediană a lui, deci OD = OA = a. Apoi, m( ODN) = m( ODA) 45, iar m( OAC) = m( OAD) 45. Deoarece OAD este isoscel, rezultă ODN OAC. Pe de altă parte OAC este isoscel, deci OAC OCA, de unde rezultă că ODN OCA. Acum, deoarece DN AC, rezultă DO BC. Prin urmare D este situat pe mediatoarea segmentului fix BC şi OD = const., adică D este un punct fix ce aparţine mediatoarei segmentului AE. G75. Se consideră cubul ABCDA B C D, iar M este mijlocul muchiei AD. Planul perpendicular în B pe MB intersectează planul (B AC) după dreapta d. Notăm cu S proiecţia punctului B pe dreapta d. Determinaţi tangenta unghiului dintre dreptele AB şi BS. Gabriel Popa, Iaşi Soluţie. Fie N mijlocul lui AB, {O} = AC BM şi P intersecţia lui AC cu perpendiculara în B pe MB. Dreptele BM şi CN sunt perpendiculare, prin urmare D C dreptele BP şi CN sunt paralele. A Rezultă că CN este linie mijlocie în triunghiul B S ABP, deci punctul C este mij- locul segmentului AP. Dreapta d va fi tocmai B P. Cum BP = CN = a 5 (unde a este muchia M D O C cubului), rezultă că B S A SP = BB BP = N B a (a 5) = 1 5. Pe de altă parte, AO OC = AM BC = 1 AO, de unde OP = 1 5. Deducem că OS AB. Astfel, unghiul format de dreptele AB şi BS este OSB. Evident, triunghiul OSB este dreptunghic în B, având catetele de lungimi BS = a 6 şi OB = a 5. Rezultă că tg OSB = 6. P B. Nivel liceal Notă. După încheierea numărului /14, am primit soluţie corectă a problemei L64 din partea d-lui Gheorghe Stoica, Petroşani. L66. Fie n un număr natural nenul, p = n +1 un număr prim Fermat şi d cel 7
6 mai mare divizor impar al numărului p 1!. Să se demonstreze că există numărul natural a astfel încât d a (modp). Corneliu Mănescu-Avram, Ploieşti Soluţie. Exponentulluiîndescompunereaînfactoriprimianumărului p 1 È este e = k å p 1 è. k Dacă p = m + 1, cu m = n, atunci e = m + m = m 1 1 = p 1 1 = p. Următorul rezultat este o consecinţă a teoremei lui Wilson: dacă p este un număr prim şi p 1 se divide cu 4, atunci å p 1!è +1 (mod p). Deducem p d +1 (mod p). Înmulţim ultima congruenţă cu = 4, aplicăm teorema lui Fermat p 1 1 (mod p) şi deducem d +4 (mod p). Rezultă d +4d+4 = (d+) 4d (mod p). å Inversul lui modulo p este p+1 (p+1)(d+) è, aşadar d (mod p). Dacă a este restul împărţirii la p a numărului natural (p+1)(d+)!, atunci d a (mod p), ceea ce încheie demonstraţia. L67. Determinaţi a R cu proprietatea că 18 a + a + a = 19 a +4 a +5 a. Radu Miron, elev, Iaşi Soluţia 1. Observăm că ambii membri ai ecuaţiei din enunţ sunt funcţii convexe. Ca urmare, ecuaţia are cel mult două soluţii. Cum a = şi a = 1 sunt soluţii, rezultă că ele sunt singurele soluţii ale ecuaţiei date. Notă. Au rezolvat problema în acest fel următorii elevi din Craiova: David Dăogaru, Cristian Pătraşcu, Andrei Raul Spătaru şi Andrei George Turcu. Soluţia. Observăm că a = şi a = 1 verifică ecuaţia din enunţ. Presupunem că există a R\{,1} soluţie; atunci (5 a 4 a )(6 a 5 a ) = 19 a 18 a. Aplicând teorema lui Lagrange unor restricţii ale funcţiei f : (, ) R, f(x) = x a, găsim c 1 (4,5), c (5,6) şi c (18,19) pentru care 5 a 4 a = ac1 a 1 ; 6 a 5 a = ac a 1 a 1 = 1, unde c şi 19 a 18 a = ac a 1. Rezultă că a (c 1 c ) a 1 = ac a 1, adică a c1 c c 1 c c 19, 18. Evident că a >. Dacă a (,1), atunci 1 = a c1 c < 1 c1 c c1 c a 1 = 1, absurd. Dacă a (1, ), atunci 1 = a > c c 1 c1 c =1, c din nou contradicţie. În concluzie, a= şi a = 1 sunt singurele soluţii ale ecuaţii date. Notă. Înaceeaşimanierăaurezolvatproblemad-niiCorneliuMănescu-Avram, c a 1 Ploieşti, Marius Olteanu, Rm. Vâlcea şi Ioan Viorel Codreanu, Satulung. L68. Demonstraţi că dacă a, b, c sunt numere reale pozitive, are loc inegalitatea a +b +c ab bc ca (a+b+c) + a a+b+c + 7 b a+b+c + c a+b+c. Titu Zvonaru, Comăneşti
7 Soluţie (Neculai Roman, Mirceşti, Marius Olteanu, Rm. Vâlcea, È Nicuşor Zlota, Focşani şi Ioan Viorel Codreanu, Satulung). Observăm că a a+b+c = È È a a +ab+ac ( a) È È a + ab, conform inegalităţii lui Bergström. Notând x = a +b +c > şi y = ab+bc+ca>, ar fi suficient să mai demonstrăm că x y x+y + x+y x+y. Aceasta din urmă inegalitate este echivalentă cu x +y +4xy x +y +xy x xy x y, fapt binecunoscut. L69. Arătaţi că a sinx (a+1) cosx < a, a,x R, a. Marius Olteanu, Râmnicu Vâlcea Soluţie (Gheorghe Iurea, Iaşi şi Daniel Văcaru, Piteşti). Prin logaritmare, inegalitatea din enunţ este echivalentă cu sinxlna+cosxln(a+1) < lna, a,x R,a. Cum sinxlna+cosxln(a+1) (sin x+cos x)(ln a+ln (a+1)), este suficient să arătăm că ln (a+1) < ln a, sau lna > ln(a+1) (deoarece a ), echivalent cu a > a+1 pentru a. Funcţia f : [, ) R, f(a) = a a = a(a 1 1) este produs de funcţii pozitive strict crescătoare, deci este strict crescătoare; rezultă că a a. Rămâne să arătăm că > : > 8 5 = > =. Notă. Am mai primit soluţie corectă din partea d-lui Corneliu Mănescu- Avram, Ploieşti. L7. Se consideră triunghiul isoscel ABC, cu AB = AC şi fie P un punct fixat pe înălţimea AD. O dreaptă variabilă care trece prin P intersectează laturile AB şi AC în punctele E [AB], respectiv F [AC]. Determinaţi valorile extreme ale ariei triunghiului AEF, funcţie de a = BC, b = AB = AC şi d = AP. Adrian Corduneanu, Iaşi Soluţie. Fie MN paralela prin P la BC, cu M AB,N AC; notăm h = AD = Öb a, x = AF şi y = AE. Putem pre- A 4 supune, fără a restrânge generalitatea, că F [AN]. Teorema transversalei spune că BD CF BE DP +CD = BC FA EA PA, deci a(b x) x AM = bd, din y b deducem că x å bd h bd è h, bd AE AF sina şi S AEF = h d + a(b y) y Considerăm funcţia f(x) = = a(h d) ; rezultă că y = bdx d hx bd. Cum h d. Astfel, x = bd sina x hx bd, x å bd h, bd h d 74 è x hx bd. M E B D P F N C, despre care se arată uşor
8 că este strict crescătoare. Rezultă că S AEF este minimă pentru x = bd (deci când h EF BC) şi este maximă pentru x = bd (deci când E coincide cu B). Obţinem h d că mins AEF = ad h, iar maxs adh AEF = (h d). Notă. Soluţie corectă au trimis d-nii Titu Zvonaru, Comăneşti, Neculai Stanciu, Buzău şi Neculai Roman, Mirceşti. L71. Demonstraţi că în orice triunghi are loc inegalitatea: bc (p a) + ac (p b) + ab (p c) R 4r. r Andi Brojbeanu, elev, Târgovişte Soluţie(Titu Zvonaru, Comăneşti, Neculai Stanciu, Buzău, Marius Olteanu, Rm. Vâlcea şi Nicuşor Zlota, Focşani). Vom folosi inegalitatea lui Schur È a + abc È a b+ È ab, care aplicată pentru numerele xy,yz,zx devine (1) x y +x y z xyz x y +xyz xy. Să trecem la problemă. Folosim substituţiile Ravi: a = y + z,b = z +x,c = x +y. Avem p = x+y +z, Aria (ABC) = [ABC] =xyz(x+y +z), R r = abc 4[ABC] : [ABC] = pabc (x+y)(y +z)(z +x) =. p 4[ABC] 4xyz Rezultă că inegalitatea din enunţ se scrie succesiv: (x+y)(y +z) 5(x+y)(y +z)(z +x) x 4 xyz x +xy +yz +zx x 5(x+y)(y +z)(z +x) xyz 1 5(x+y)(y +z)(z +x) + xy 4 x xyz 4 xy x y 5xyz( x y + xy +xyz) 1x y z x y +xyz x y +xyz xy 5xyz x y +5xyz xy x y z x y +x y z xyz( x y + xy ). Folosind inegalitatea (1), rămâne de arătat că È x y x y z, care este adevărată cu inegalitatea mediilor. Notă. Autorul problemei şi d-nii Neculai Roman, Mirceşti şi Ioan Viorel Codreanu, Satulung, rezolvăproblemafolosindinegalitatea lui Gerretsenp 4R + 4Rr+r. 75
9 L7. Determinaţi valorile numărului real k pentru care există un patrulater convex ABCD având lungimile laturilor a,b,c,d şi aria S, astfel încât 4a + 5b + 1c d = 4kS. Marcel Chiriţă, Bucureşti Soluţie. Fie ABCD patrulater convex cu AB = a,bc = b,cd = c, DA = d şi având aria S; fără a restrânge generalitatea, putem presupune că AC = 1. Raportăm planul la un reper cartezian în raport cu care A(,),B(m,n),C(1,) şi D(p,q). Observăm că 4a +5b = 4AB +5BC = 4(m +n )+5((m 1) +n ) = 9 m n + 9 9n + p. Analog, 1c d = 9 9q 1 n +9q 1 9 p Adunând aceste relaţii, obţinem că 4a +5b +1c d 9n +9q = 5 + n 5+ 5 q + q 5 n 5+ q 5 = 4 5(S ABC+ S ACD ) = 4 5S ABCD. În concluzie, 4a +5b +1c d 4 5S, aşadar k 5. În inegalitatea precedentă, se atinge egalitatea când B 5 5 9, şi D , 9 prin urmare k min = 5. Vom demonstra acum că pentru orice k [ 5, ), există un patrulater ABCD având proprietăţile dorite. Să considerăm punctele A(, ), B, 5 9, x, C(,1) şi D 1 9,x, unde x (, ) va fi determinat convenabil. Avem: a = AB = x, b = BC = x, c = CD = x, d = DA = x şi S = S ABC +S ACD = x + x = x. Înlocuind în 4a +5b +1c d = 4kS, obţinem ecuaţia 81x 18kx+5 =, care admite soluţia reală pozitivă x = k + k 5, prin 9 urmare există un patrulater ABCD având proprietăţile din enunţ. L7. Fie triunghiul ABC înscris în cercul C şi A 1 centrul cercului tangent exterior cercului C şi semidreptelor [AB, [AC. În mod analog definim punctele B 1 şi C 1. Arătaţi că: Ô Ia A 1 I b B 1 I c C + Ô I b B 1 I c C 1 I a A+ Ô I c C 1 I a A 1 I b B = Ô I a A I b B I c C. Neculai Roman, Mirceşti (Iaşi) Soluţie (Titu Zvonaru, Comăneşti şi Neculai Stanciu, Buzău). Notăm S aria triunghiului, r A raza cercului de centru A 1,r a raza cercului exînscris şi q = sin A sin B sin C. Conform unei formule cunoscute (de exemplu, RecMat -1/14, rbc p. 1), avem r A = (p a). Punctele I a şi A 1 se află pe bisectoarea unghiului A. Ducând perpendiculare din I a şi A 1 pe latura AB, obţinem: AA 1 = r A sin A,AI a = r a sin A rp = (p a)sin A 76, A 1 I a = r(p b)(p c) (p a) sin A.
10 Rezultă că Ô Ô Ô r (p c)s Ia A 1 I b B 1 I c C + I b B 1 I c C 1 I a A+ I c C 1 I a A 1 I b B = 1 ps (p a)(p b) = r q = r (p c)s ps (p a)(p b)q = r q Ô S Ia A I b B I c C = (p a)(p b)(p c)q = ps q. Din aceste inegalităţi obţinem concluzia problemei. (p a)(p b)q 1 r = ps q ; L74. Fie punctele A 1,...,A n şi B 1,...,B n aparţinând unei elipse E cu centrul O. Să se arate că există un punct M E astfel încât n n n n MA k MBk = OA k OB k. Marian Tetiva, Bârlad Soluţie. Să considerăm elipsa E într-un sistem de coordonate în care ecuaţia ei este x /a + y /b = 1 şi fie A k (acosα k,bsinα k ),B k (acosβ k,bsinβ k ), cu α k,β k [,π), pentru orice 1 k n. Dat fiind un punct oarecarep(acost,bsint) al elipsei È avem, pentru f(t) := n PA k, f(t) = n a cost (a (cost cosα k ) +b (sint sinα k ) ) = na cos t+nb sin t n cosα k b sint n = na cos t+nb sin t a cost Ê π È Se verifică imediat că f(t) n È Ê g(t) := n PBk, avem: π È g(t) n f(t) sinα k + n OA k OBk n cosα k b sint (a cos α k +b sin α k ) = n sinα k + n OA k. dt = nπ(a + b ). Asemănător, pentru obţinut că π n π n OA k dt = OBk de unde rezultă existenţa unui t [,π] astfel încât f(t È ) n nè dt = nπ(a +b ). Cu alte cuvinte, am g(t) dt, OA k = g(t ) OB k. Evident, punctul M(acost,bsint ) verifică egalitatea cerută în enunţ. 77
11 Notă. A rezolvat problema d-l Daniel Văcaru, Piteşti. L75. Fie A,B M (C) două matrice de ordinul al treilea astfel încât AB BA să fie inversabilă. Demonstraţi că Tr(AB(AB BA) 1 ) = 1+S(AB(AB BA) 1 ), unde TrM este urma matricei M, iar S(M) este suma minorilor elementelor de pe diagonala principală a lui M. Marian Tetiva, Bârlad Soluţie. În această problemă avem nevoie de relaţia det(xi +M) = x +Tr(M)x +S(M)x+detM, valabilă pentru orice matrice pătratică de ordinul al treilea. Considerăm polinomul (de gradul al treilea) f(x) = det(ab + x(ba AB)) = det(ba AB)det(xI + C) = det(ba AB)(x + Tr(C)x + S(C)x + detc) = det(ba AB)g(x), unde C = AB(BA AB) 1. Avem că f() = det(ab) = det(ba) = f(1), relaţie care se transferă şi la polinomul g din paranteză. Însă condiţia g() = g(1) revine la 1 + Tr(C) + S(C) =. Observăm că Tr(C) = Tr(AB(BA AB) 1 ) = Tr(AB(AB BA) 1 ); S(C) = S(AB(BA AB) 1 ) = S(AB(AB BA) 1 ) şi, de aici, egalitatea din enunţ. Notă. Procedând ca în soluţia problemei L155 din RecMat /8, se poate arăta că, pentru A,B M (C) cu AB BA inversabilă, este adevărată relaţia Tr(AB(AB BA) 1 ) = 1. I. Puneţi numerele 1,,,...,1 în punctele de intersecţie ale pentagramei astfel încât să fie îndeplinite condiţiile următoare: (i) numerele să fie folosite o singură dată; (ii) suma oricăror patru numere aflate în puncte coliniare să fie aceeaşi. II. Problemă similară relativ la poligonul stelat cu şase vârfuri: să se pună numerele 1,,,...,1 în punctele de intersecţie ale acestuia, cu respectarea condiţiilor (i) şi (ii). (Răspuns la pag. 9) 78
ϕ este satisfiabilă dacă admite un model. sau contradictorie. ϕ este tautologie dacă orice evaluare este model al lui ϕ.
Modele. Satisfiabilitate. Tautologii Fie ϕ o formulă. Definiţia 1.10 O evaluare e : V {0, 1} este model al lui ϕ dacă e + (ϕ) = 1. Notaţie: e ϕ. ϕ este satisfiabilă dacă admite un model. Dacă ϕ nu este
Leia maisSubstituţia. Propoziţia Fie e : V {0, 1} o evaluare şi v V o variabilă. Pentru orice a {0, 1}, definim evaluarea e v a : V {0, 1} prin
Substituţia Fie e : V {0, 1} o evaluare şi v V o variabilă. Notaţie Pentru orice a {0, 1}, definim evaluarea e v a : V {0, 1} prin { e(x) daca x v e v a (x) = a daca x = v. Propoziţia 1.23 Fie θ o formulă
Leia maisEstudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart. Teorema de Menelaus. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart Teorema de Menelaus 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart Teorema
Leia maisTEOREMA DE CEVA E MENELAUS. Teorema 1 (Teorema de Ceva). Sejam AD, BE e CF três cevianas do triângulo ABC, conforme a figura abaixo.
TEOREMA DE CEVA E MENELAUS Definição 1. A ceviana de um triângulo é qualquer segmento de reta que une um dos vértices do triângulo a um ponto pertencente à reta suporte do lado oposto a este vértice. Teorema
Leia maisMódulo de Áreas de Figuras Planas. Áreas de Figuras Planas: Mais alguns Resultados. Nono Ano
Módulo de Áreas de Figuras Planas Áreas de Figuras Planas: Mais alguns Resultados Nono Ano Áreas de Figuras Planas: Mais alguns Resultados 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. No desenho abaixo, as
Leia maisTema III Geometria analítica
Tema III Geometria analítica Unidade 1 Geometria analítica no plano Páginas 154 a 181 1. a) A(1, ) B( 3, 1) d(a, B) = ( 3 1) + (1 ( )) = ( 4) + 3 = 16 + 9 = 5 = 5 b) C ( 3, 3) O(0, 0) d(c, O) = (0 3 )
Leia maisMATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III
MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III 0 Dois círculos de centros A e B são tangentes exteriormente e tangenciam interiormente um círculo de centro C. Se AB = cm, AC = 7 cm e BC = 3 cm, então o raio
Leia maisGEOMETRIA Exercícios
GEOMETRIA Exercícios Mestrado em Educação - DMFCUL 00/003 1. Determine a equação da circunferência com centro (, 1 e raio 3.. Determine os pontos de intersecção da recta y = com a circunferência do exercício
Leia maisCertidão Permanente. Código de acesso: PA DESCRIÇÕES - AVERBAMENTOS - ANOTAÇÕES
Certidão Permanente Código de acesso: PA-180-99919-08080-0093 URBANO DENOMINAÇÃO: LOTE N2 DO SECTOR 1A - "AL-CHARB - EDIFICIO Y1" SITUADO EM: Vilamoura ÁREA TOTAL: 192 M2 ÁREA COBERTA: 298 M2 ÁREA DESCOBERTA:
Leia maisLista 1 com respostas
Lista 1 com respostas Professora Nataliia Goloshchapova MAT0105/MAT0112-1 semestre de 2015 Exercício 1. Verifique se é verdadeira ou falsa cada afirmação e justifique sua resposta: (a) (A, B) (C, D) AB
Leia maisGabarito: 1 3r 4r 5r 6 r. 2. 3r 4r ,5 m. 45 EG m, constituem uma. AA' AP 8km. Resposta da questão 1: [C]
Gabarito: Resposta da questão 1: [C] Sejam x, x r e x r as medidas, em metros, dos lados do triângulo, com x, r 0. Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos x r. Logo, os lados do triângulo medem r,
Leia mais5) [log 5 (25 log 2 32)] 3 = [log 5 (5 2 log )] 3 = = [log 5 (5 2 5)] 3 = [log ] 3 = 3 3 = 27
MATEMÁTICA CADERNO CURSO E ) [log ( log )] = [log ( log )] = = [log ( )] = [log ] = = 7 FRENTE ÁLGEBRA n Módulo 7 Logaritmos: Definição e Existência ) a) log 8 = = 8 = = b) log 8 = = 8 = = c) log = = (
Leia maisBANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS
BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº 13 EXERCÍCIOS 1) A representação cartesiana da função y = ax 2 + bx + c é a parábola abaixo. Tendo em vista
Leia maisA 1. Na figura abaixo, a reta r tem equação y = 2 2 x + 1 no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B 0. estão na reta r, sendo B 0
MATEMÁTICA FUVEST Na figura abaixo, a reta r tem equação y = x + no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B 0, B, B, B 3 estão na reta r, sendo B 0 = (0,). Os pontos A 0, A, A, A 3 estão no eixo
Leia maisrs r r ã tr ê s 1 t s rt t t át Pr r Pós r çã t át çõ s ét çã t át à tr ã ís
rs r r ã tr ê s 1 t s rt t t át Pr r Pós r çã t át çõ s ét çã t át à tr ã ís çõ s ét çã t át à tr ss rt çã r s t Pr r Pós r çã t át r q s t r r t çã r str t át r t r Pr t r s r r t r t át ã ís Ficha gerada
Leia maistg30 = = 2 + x 3 3x = x 3 3 Tem-se que AB C = 90, AD B = 90 e DA B = 60 implicam em DB C = 60. Assim, do triângulo retângulo BCD, vem
Resposta da questão : [C] 5 senα α 0 0 7,05 senβ 0,705 α 45 0 Portanto, AO B 0 + 45 75. Resposta da questão : [B] x x Tem-se que sen0 x 5 m. 0 0 Portanto, a resposta é 0 00% 00%. 5 Resposta da questão
Leia maisDesigualdades Geométricas
CAPÍTULO Desigualdades Geométricas Os problemas de Geometria envolvendo desigualdades é um dos temas mais abordados nas olimpíadas, principalmente na prova da IM O. Antes de estudar este capítulo devemos
Leia maisLista 1 com respostas
Lista 1 com respostas Professora Nataliia Goloshchapova MAT0105-1 semestre de 2019 Exercício 1. Verique se é verdadeira ou falsa cada armação e justique sua resposta: (a) (A, B) (C, D) AB = CD (b) AB =
Leia maisLista 3. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante.
MA13 Exercícios das Unidades 4 e 5 2014 Lista 3 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante. 1) Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Prove que os pontos médios
Leia maisMATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA
MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira MÓDULO 13 Circunferência e Círculo Circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias a um ponto fixo (centro) são iguais a uma
Leia maisTeorema de Tales. MA13 - Unidade 8. Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria.
Teorema de Tales MA13 - Unidade 8 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT Proporcionalidade 1. Dizemos que o segmento x é a quarta proporcional
Leia maisAula 10 Triângulo Retângulo
Aula 10 Triângulo Retângulo Projeção ortogonal Em um plano, consideremos um ponto e uma reta. Chama-se projeção ortogonal desse ponto sobre essa reta o pé da perpendicular traçada do ponto à reta. Na figura,
Leia maisLista Recuperação Paralela II Unidade Parte I - Trigonometria
Aluno(a) Turma N o Série a Ensino Médio Data / / 06 Matéria Matemática Professor Paulo Sampaio Lista Recuperação Paralela II Unidade Parte I - Trigonometria 01. Sendo secx = n 1 e x 3 o quadrante, determine
Leia mais1 a Lista de Exercícios MAT 105 Geometria Analitica
1 a Lista de Exercícios MAT 105 Geometria Analitica - 2017 1 a parte: Vetores, operações com vetores 1. Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo
Leia mais3 Geometria analítica no plano
Geometria analítica no plano.. Referencial ortonormado. Distâncias no plano Atividade de diagnóstico Pág... A(, ), B(, ), C(, ), D(, ), E(, ), F(, ), G(, ).. Não pertencem a qualquer quadrante os pontos
Leia maisMat. Monitor: Fernanda Aranzate
Professor: Gabriel Miranda Monitor: Fernanda Aranzate Exercícios: Teorema de Tales (FUVEST, UNICAMP E UNESP) 28 fev EXERCÍCIOS DE AULA 1. Para melhorar a qualidade do solo em uma fazenda, aumentando a
Leia maisMatemática D Extensivo V. 3
Extensivo V. Resolva Aula 9 9.0) C 9.01) B Em AC, temos: 8 x + 7 x = 9 6 = x x = PQRO é um losango. Assim, os ângulos opostos são iguais. + 00 = 60 = 80 o Aula 10 9.0) B 10.01) Comprimento:. = Comprimento:.
Leia maisNIHILSINEDEO. numărul2
NIHILSINEDEO revistamarilojidestudiualarteiregale numărul2 decembrie6017a:.l:. Cuprins MesajulMareluiMaestrualMariLojideStudiualArtei Regale.2 ActivitateaMLSARnoiembrie6017A:.L:.-prezent.3 Considerațiasupraaspectelormatematicealeuneicreștericonstante.10
Leia maisPropostas de resolução. Capítulo 5 Figuras geométricas F Na figura observam-se dois pares de ângulos verticalmente opostos.
Capítulo 5 Figuras geométricas F3 Pág 77 11 Na figura observam-se dois pares de ângulos verticalmente opostos Logo, x 160 x + x + 100 + 100 = 360 x = 360 00 x = 160 = x = 80 Portanto, x = 80 1 x = 90 +
Leia maisLista 5. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante.
MA13 Exercícios das Unidades 8, 9 e 10 2014 Lista 5 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante. 1) As retas r, s e t são paralelas com s entre r e t. As transversais
Leia mais6. S d 2 = 80 ( ) 2 S d 2 = S d 2 = (constante de proporcionalidade) 6.1. Se d = , então d 2 = e S = 20
Matemática.º Ano 41 Praticar + para a prova final páginas 1 a 4 1. 1.1. Número de casos favoráveis: 1 Número de casos possíveis: 5 Logo, P( ser o criminoso ) = 1 5 1.. Número de casos favoráveis: 1 Número
Leia maisNOTAÇÕES. + a a n. + a 1. , sendo n inteiro não negativo
MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números naturais : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária: i = z: módulo do número z det A : determinante da matriz A d(a,
Leia maisControle do Professor
Controle do Professor Compensou as faltas CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL E INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR SÉRIE: 2º ANO TRABALHO DE COMPENSAÇÃO DE FALTAS DOS ALUNOS
Leia maisCM127 - Lista 3. Axioma da Paralelas e Quadriláteros Notáveis. 1. Faça todos os exercícios dados em aula.
CM127 - Lista 3 Axioma da Paralelas e Quadriláteros Notáveis 1. Faça todos os exercícios dados em aula. 2. Determine as medidas x e y dos ângulos dos triângulos nos itens abaixo 3. Dizemos que um triângulo
Leia maisMódulo Quadriláteros. Relação de Euler para Quadrilátero. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Módulo Quadriláteros Relação de Euler para Quadrilátero 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Quadriláteros Relação de Euler para Quadriláteros Exercícios de Fixação Exercício 6. No triângulo
Leia maisMódulo Elementos Básicos de Geometria Plana - Parte 2. Congruência de Triângulos e Aplicações. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Módulo Elementos Básicos de Geometria Plana - Parte 2 Congruência de Triângulos e Aplicações. 8 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Elementos Básicos de Geometria Plana - Parte 2. Congruência
Leia maisTerceira Lista de Preparação para a XXIX Olimpíada de Matemática do Cone Sul e VIII Olimpíada de Matemática dos Países de Língua Portuguesa
Terceira Lista de Preparação para a XXIX Olimpíada de Matemática do Cone Sul e VIII Olimpíada de Matemática dos Países de Língua Portuguesa Álgebra e Teoria dos Números Problema ) Encontre o primeiro dígito
Leia maisNOME :... NÚMERO :... TURMA :...
1 TERCEIRA SÉRIE ENSINO MÉDIO INTEGRADO Relações métricas envolvendo a circunferência Prof. Rogério Rodrigues NOME :... NÚMERO :... TURMA :... X - RELAÇÕES MÉTRICAS NO DISCO (Potência de Ponto) X.1) Relação
Leia maisEstudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart Relação de Stewart 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart Relação
Leia maisMATEMÁTICA CADERNO 2 SEMIEXTENSIVO E. FRENTE 1 Álgebra. n Módulo 5 Módulo de um Número Real. 5) I) x + 1 = 0 x = 1 II) 2x 7 + x + 1 0
MATEMÁTICA CADERNO SEMIEXTENSIVO E ) I) x + 0 x II) x 7 + x + 0 FRENTE Álgebra n Módulo Módulo de um Número Real ) x 6x + < não tem solução, pois a 0, "a Œ ) A igualdade x x x +, com x + 0, é verificada
Leia maisMódulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. Semelhanças entre Figuras e Poĺıgonos. 8 o ano/9 a série E.F.
Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales Semelhanças entre Figuras e Poĺıgonos. 8 o ano/9 a série E.F. Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales Semelhanças entre Figuras e Polígonos. 1
Leia maisr s ú Õ Ú P P t s r s t à r çã rs t r P P r í r q s t r r t çã r t át r t r Pr r r s ér
P P P r s ú Õ Ú P P r s ú Õ Ú P r s t à r çã rs t r P t át rs st P r í r q s t r r t çã r t át r t r Pr r r s ér 3 rr q rq P t s É expressamente proibida a comercialização deste documento, tanto na forma
Leia maisColégio Santa Dorotéia
Colégio Santa Dorotéia Área de Matemática Ano: 8 o - Ensino Fundamental Professores: Rose, Weslei e Wuledson Atividades para Estudos Autônomos Data: 4 / 9 / 2017 Aluno(a): N o : Turma: Caro(a) aluno(a),
Leia mais(segmentos direcionados, ou seja, a razão será negativa se tiverem sentidos opostos).
Semana Olímpica 014 Nivel 3: Coordenadas Baricêntricas. Régis Prado Barbosa Coordenadas Baricêntricas são um jeito diferente de fazer contas em problemas de geometria, mais exatamente de usa vetores. Essa
Leia mais( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
XXX Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase Soluções Nível Segunda Fase Parte A PARTE A Na parte A serão atribuídos pontos para cada resposta correta e a pontuação máxima para essa parte
Leia maisENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) TURNO. 01. Determine a distância entre dois pontos A e B do plano cartesiano.
SÉRIE ITA/IME ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) ALUNO(A) TURMA MARCELO MENDES TURNO SEDE DATA Nº / / TC MATEMÁTICA Geometria Analítica Exercícios de Fixação Conteúdo: A reta Parte I Exercícios Tópicos
Leia maisMA13 Geometria AV1 2014
MA13 Geometria AV1 2014 Questão 1 [ 2,0 pt ] Considere um paralelogramo ABCD e sejam M o centro da circunferência definida pelos vértices A, B e C N o centro da circunferência definida pelos vértices B,
Leia maisCILINDROS CILINDROS ISO SQ (PERFIL MK)...02 CILINDROS ISO SI (PADRÃO EUROPA)...03 CILINDROS SC (TIRANTADO)...04 ACESSÓRIOS - CANTONEIRA...
CILINDROS CILINDROS ISO SQ (PERFIL MK)..........................................02 CILINDROS ISO SI (PADRÃO EUROPA).....................................0 CILINDROS SC (TIRANTADO).............................................0
Leia maisa1q1: Seja ABCDEF GH um cubo de aresta unitária de E 3 e considere o espaço V 3 orientado pela base { CD, CB, CH}. Então podemos afirmar que: a)
1 a1q1: Seja ABCDEF GH um cubo de aresta unitária de E 3 e considere o espaço V 3 orientado pela base { CD, CB, CH}. Então podemos afirmar que: a) EB ED = GA b) EB ED = AG c) EB ED = EH d) EB ED = EA e)
Leia maisProva final de MATEMÁTICA - 3o ciclo a Chamada
Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo 013 - a Chamada Proposta de resolução 1. 1.1. Como se escolhe um aluno do primeiro turno, ou seja, um aluno com um número ímpar, existem 1 escolhas possíveis (1, 3,
Leia maisMódulo de Elementos básicos de geometria plana. Condição de alinhamentos de três pontos e a desigualdade triangular. Oitavo Ano
Módulo de Elementos básicos de geometria plana Condição de alinhamentos de três pontos e a desigualdade triangular Oitavo Ano Condição de alinhamentos de três pontos e a desigualdade triangular Exercícios
Leia maisNOTAÇÕES. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária i = det M : determinante da matriz M M : inversa da matriz M MN : produto das matrizes M e N AB
Leia maisEXERCÍCIOS MATEMÁTICA 2
EXERCÍCIOS MATEMÁTICA 1. (Fgv 01) Em 1º de junho de 009, João usou R$ 150.000,00 para comprar cotas de um fundo de investimento, pagando R$ 1,50 por cota. Três anos depois, João vendeu a totalidade de
Leia maisRelações Binárias, Aplicações e Operações
Relações Binárias, Aplicações e Operações MAT 131-2018 II Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 1 / 24 Referências ALENCAR FILHO, E. Teoria Elementar dos Conjuntos,
Leia maisGeometria 8 Ano A/B/C/D Prof. Israel Lopes
Geometria 8 Ano A/B/C/D Prof. Israel Lopes QUADRILÁTEROS (Cap. 18) A presença da forma dos quadriláteros é muito frequente em situações do dia a dia, como em caixas, malas, casas, edifícios etc. Vejamos!
Leia maisProva final de MATEMÁTICA - 3o ciclo Época especial
Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo 017 - Época especial Proposta de resolução Caderno 1 1. Como 3π 9,7 então vem que 9, < 3π < 9,3, pelo que, de entre as opções apresentadas, o número 9,3 é a única aproximação
Leia mais( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Geometria analítica no espaço. Pág. 11. Pág. 6
Geometria analítica no espaço Atividade de diagnóstico Por exemplo: a) EA e FB b) HD e AD c) BF e HG ou AC e HB a) AC AF FC + ( ) ( ) h + h 8 h> h 6 h 6 6 A[ ACF ] A [ ] cm ACF b) V[ ABCF ] V [ ABCF] cm
Leia maisr a t (I), ht rs (II) e (III) r s t r a
01 De T 1 e T 3, temos: a h r s h r a t (I), ht rs (II) e (III) r s t r a De T e T 3, temos: h b s s b s b t (IV) e (V) r s t r h De (III) e (V): b h h a b (VI) h a Somando (I) e (IV) temos: r s at bt
Leia maisMódulo Quadriláteros. Quadriláteros Inscritos e Circunscritos. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Módulo Quadriláteros Quadriláteros Inscritos e Circunscritos 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Quadriláteros Quadriláteros Incritos e Circunscritos Exercício 5. Determine o valor de x
Leia maisMATEMÁTICA - 3o ciclo Circunferência - ângulos e arcos (9 o ano) Propostas de resolução
MATEMÁTICA - 3o ciclo Circunferência - ângulos e arcos (9 o ano) Propostas de resolução Exercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. Como o trapézio é isósceles, então BC = AD, pelo que também
Leia maisLista de Exercícios de Geometria
Núcleo Básico de Engenharias Geometria - Geometria Analítica Professor Julierme Oliveira Lista de Exercícios de Geometria Primeira Parte: VETORES 1. Sejam os pontos A(0,0), B(1,0), C(0,1), D(-,3), E(4,-5)
Leia maisMÓDULO 25. Geometria Plana I. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA
Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 5 Geometria Plana I. Mostre que o ângulo inscrito em uma circunferência é a metade do ângulo central correspondente. 1. (MAM-Mathematical
Leia maisAula 12 Áreas de Superfícies Planas
MODULO 1 - AULA 1 Aula 1 Áreas de Superfícies Planas Superfície de um polígono é a reunião do polígono com o seu interior. A figura mostra uma superfície retangular. Área de uma superfície é um número
Leia maisCongruência de triângulos
Congruência de triângulos 1 o Caso: Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são congruentes. (LAL) 2 o Caso: Se dois triângulos têm ordenadamente
Leia maisAula 5 Quadriláteros Notáveis
Aula 5 Quadriláteros Notáveis Paralelogramo Definição: É o quadrilátero convexo que possui os lados opostos paralelos. A figura mostra um paralelogramo ABCD. Teorema 1: Se ABCD é um paralelogramo, então:
Leia maisMAT 3A AULA 7 MAT 3A AULA 7 1 MAT 3A AULA 7 2 MAT 3A AULA 7 3 MAT 3A AULA 7 4 MAT 3A AULA 7 5
MAT 3A AULA 7 MAT 3A AULA 7 1 (4; ) y = ax + b b = 0 = a 4 a = 1 f(x) = 0,5x MAT 3A AULA 7 {4a + b = (1) } + {7a + b = 4} = 3a = a = 3 MAT 3A AULA 7 3 4 3 + b = B = 8 3 b = 3 MAT 3A AULA 7 4 Do gráfico
Leia maisMAT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de 2018
MAT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I a Lista de Exercícios - o semestre de 8 Exercícios -8: os espaços V e V 3. Exercícios 9-7: dependência, independência linear, bases. Exercícios 8-48: sistemas lineares.
Leia maisMAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de Resolva o sistema abaixo para as incógnitas x e y:
MAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de 2015 1 Determine x em função de u e v na equação 2 x 3 u = 10( x + v 2 Resolva o sistema abaixo para as incógnitas x e
Leia maisAvaliação 1 - MA13-2015.2 - Gabarito. Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso a medida ab.
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL Avaliação 1 - MA13-2015.2 - Gabarito Questão 01 [ 2,00 pts ] Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso
Leia maisPolos Olímpicos de Treinamento. Aula 11. Curso de Geometria - Nível 2. Potência de ponto e eixo radical. Prof. Cícero Thiago
olos Olímpicos de Treinamento Curso de Geometria - Nível 2 rof. Cícero Thiago Aula 11 otência de ponto e eixo radical 1. Definição Seja Γ uma circunferência de centro O e raio R. Seja um ponto que está
Leia maisMAT 2A SEMI AULA Interseção com eixo y. x = 0. f (0) = = zeros da função: y = 0. x 2 + 3x = 0 x( x + 3) = 0
MAT A SEMI AULA 03 03.01 Interseção com eixo y x 0 f (0) 0 4 0 + 10 10 03.0 zeros da função: y 0 x + 3x 0 x(x + 3) 0 x 0 ou x 3 (0; 0) e (3; 0) 03.04 y 0 x + 4 0 x 4 x R 03.04 x v b ( ) a 1 1 x v 1 1 +
Leia maisMATEMÁTICA - 3o ciclo Trigonometria (9 o ano) Propostas de resolução
MATEMÁTICA - 3o ciclo Trigonometria (9 o ano) Propostas de resolução Exercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. Como o ponto N é o pé da perpendicular traçada do ponto M para a reta OP, então
Leia maisÔ, 04 ! ^ D. Exercícios
O Espaço 93 O, 0,0), Q 2 (6, O, 0), Q 3 (6, 8, 0), Q 4 (0, 8,0), Q 5 (6, O, 4),
Leia maispara Fazer Contas? A primeira e, de longe, mais importante lição é 1.1. Produtos notáveis; em especial, diferença de quadrados!
Álgebra: É Necessário ter Ideias para Fazer Contas? A primeira e, de longe, mais importante lição é 1. Fatoração é legal; fatoração é sua amiga 1.1. Produtos notáveis; em especial, diferença de quadrados!
Leia maisMAT VETORES E GEOMETRIA - IF/IME 1 o SEMESTRE 2015
MAT 112 - VETORES E GEOMETRIA - IF/IME 1 o SEMESTRE 2015 LISTA 1 1. Ache a soma dos vetores indicados na figura, nos casos: 2. Ache a soma dos vetores indicados em cada caso, sabendo-se que (a) ABCDEFGH
Leia maisGrupo 1 - N1M2 - PIC OBMEP 2011 Módulo 2 - Geometria. Resumo do Encontro 6, 22 de setembro de Questões de geometria das provas da OBMEP
Grupo 1 - N1M2 - PIC OBMEP 2011 Módulo 2 - Geometria Resumo do Encontro 6, 22 de setembro de 2012 Questões de geometria das provas da OBMEP http://www.obmep.org.br/provas.htm 1. Áreas - capítulo 2 da apostila
Leia maisÁlgebra Linear - Prof. a Cecilia Chirenti. Lista 3 - Matrizes
Álgebra Linear - Prof. a Cecilia Chirenti Lista 3 - Matrizes. Sejam A = C = 0 3 4 3 0 5 4 0 0 3 4 0 3, B = 3, D = 3,. Encontre: a A+B, A+C, 3A 4B. b AB, AC, AD, BC, BD, CD c A t, A t C, D t A t, B t A,
Leia maisMESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. ENQ Gabarito
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL ENQ 2017.1 Gabarito Questão 01 [ 1,25 ] Determine as equações das duas retas tangentes à parábola de equação y = x 2 2x + 4 que passam pelo ponto (2,
Leia maisPolígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1
Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos Polígono é uma figura geométrica plana e fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam no mesmo plano. Exemplos 11.1 Elementos de um polígono
Leia maisDuração: 90 minutos (3 valores) Sabe-se que a b. Atendendo à gura, calcule a medida do ângulo D indicado.
aculdade de Ciências Departamento de Matemática e Informática Licenciatura em Informática, Diurno 1 0 Teste de undamentos de Geometria. Correcção. ariante Duração: 90 minutos 18.0.01 1. ( valores) Sabe-se
Leia maisBANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS
BANCO DE EXERCÍCIOS - 4 HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº 06 GABARITO COMENTADO 1) De acordo com o texto, 10 alunos gostam de geometria mas não gostam de álgebra, logo
Leia maisMA13 Geometria AVF 2014
MA1 Geometria AVF 014 Questão 1 [,0 pt ] Na figura, AB AC e a bissetriz interna traçada de B intersecta o lado AC em P de forma que AP + BP = BC. Os pontos Q e D são tomados de forma que BQ BP e P D é
Leia maisAula 4 Ângulos em uma Circunferência
MODULO 1 - AULA 4 Aula 4 Ângulos em uma Circunferência Circunferência Definição: Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo desse plano é uma constante positiva.
Leia maisXXXIV Olimpíada Cearense de Matemática Nível 2 - Oitavo e Nono Anos
XXXIV Olimpíada Cearense de Matemática Nível 2 - Oitavo e Nono Anos Reservado para a correção Prova Probl. 1 Probl. 2 Probl. 3 Probl. 4 Probl. 5 Total # 0 Nota Instruções e Regulamento: 1. Identifique
Leia maisAVF - MA Gabarito
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL AVF - MA13-016.1 - Gabarito Questão 01 [,00 pts ] Em um triângulo ABC de perímetro 9, o lado BC mede 3 e a distância entre os pés das bissetrizes interna
Leia maisAB BA ABC CBA A(B + C) B = B =
ÁÒ Ø ØÙØÓ ÍÒ Ú Ö Ø Ö Ó Ä Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø Ü Ö Ó ýð Ö Ä Ò Ö ÂÓÓ Ó Ø Ë Ö Ó Å Ò À Ð Ò ËÓ Ö ½ Å ØÖ Þ ÆÓØ Ó M m n ÒÓØ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ñ ØÖ Þ Ö Ó Ø ÔÓ m nº ÉÙ Ò Ó m = n Ö ¹ Ú ÑÓ M n º ½º½ ýð Ö ÔÖÓ ÙØÓ ØÖ Ò ÔÓ
Leia maisTurma preparatória para Olimpíadas.
p: João Alvaro w: www.matemaniacos.com.br e: joao.baptista@iff.edu.br Turma preparatória para Olimpíadas. TRIÂNGULOS - V01 DEFINIÇÃO Sejam três pontos não colineares A, B e C, o triângulo ABC é uma figura
Leia maisUniversidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Métodos Matemáticos
Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Métodos Matemáticos Gabarito da a Prova de Geometria I - Matemática - Monica 9/05/015 1 a Questão: (4,5 pontos) (solução na
Leia maisIMPORTAÇÃO DO CADASTRO DE PESSOAS
IMPORTAÇÃO DO CADASTRO DE PESSOAS 1. Objetivo: 1. Esta rotina permite importar para o banco de dados do ibisoft Empresa o cadastro de pessoas gerado por outro aplicativo. 2. O cadastro de pessoas pode
Leia maisColégio Santa Dorotéia
Colégio Santa Dorotéia Área de Matemática Disciplina: Matemática Ano: 8º - Ensino Fundamental Professores: Marcus e Wuledson Matemática Atividades para Estudos Autônomos Data: 4 / 9 / 2018 Aluno(a): N
Leia maisCapítulo Propriedades das operações com vetores
Capítulo 6 1. Propriedades das operações com vetores Propriedades da adição de vetores Sejam u, v e w vetores no plano. Valem as seguintes propriedades. Comutatividade: u + v = v + u. Associatividade:
Leia maisPROVA DE MATEMÁTICA. Marque no cartão-resposta anexo, a única opção correta correspondente a cada questão.
PÁG0 PROVA DE MATEMÁTICA Marque no cartão-resposta anexo, a única opção correta correspondente a cada questão 1 Daniel tem ração suficiente para alimentar quatro galinhas durante 18 dias No fim do 6 o
Leia mais1º S I M U L A D O - ITA IME - M A T E M Á T I C A
Professor: Judson Santos / Luciano Santos Aluno(a): nº Data: / /0 º S I M U L A D O - ITA IME - M A T E M Á T I C A - 0 0) Seja N o conjunto dos inteiros positivos. Dados os conjuntos A = {p N; p é primo}
Leia maisMATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - V
MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - V 1) (PUC/MG) Na figura, ABCD é paralelogramo, BE AD e BF CD. Se BE = 1, BF = 6 e BC = 8, então AB mede a) 1 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 ) (CESGRANRIO) O losango ADEF
Leia maisExercícios de testes intermédios
Exercícios de testes intermédios 1. Na figura abaixo, está representado um triângulo equilátero [ABC]. Seja a o comprimento de cada um dos lados do triângulo. Seja M o ponto médio do lado [BC]. Mostre
Leia maisMAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Prova - 1 o semestre de y + az = a (a 2)x + y + 3z = 0 (a 1)y = 1 a
MAT457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Prova - 1 o semestre de 018 Questão 1. Se a R, é correto afirmar que o sistema linear y + az = a (a x + y + 3z = 0 (a 1y = 1 a é: (a possível e indeterminado
Leia maisGeometria Plana 1 (UEM-2013) Em um dia, em uma determinada região plana, o Sol nasce às 7 horas e se põe às 19 horas. Um observador, nessa região, deseja comparar a altura de determinados objetos com o
Leia mais3 Na figura, ABCD é um paralelogramo. Sabemos que D = 60, AD = 2 e AB = O ponto. bissetriz de C. Encontre o ângulo K.
5 th Olimpíada Iraniana de Geometria Nível Iniciante Quinta-feira, 6 de Setembro de 08 Os problemas desta prova devem ser mantidos em sigilo até que eles sejam postados no site oficial da IGO: http://igo-official.ir.
Leia mais