AB BA ABC CBA A(B + C) B = B =
|
|
|
- Adriana Carreiro Tavares
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 ÁÒ Ø ØÙØÓ ÍÒ Ú Ö Ø Ö Ó Ä Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø Ü Ö Ó ýð Ö Ä Ò Ö ÂÓÓ Ó Ø Ë Ö Ó Å Ò À Ð Ò ËÓ Ö
2 ½ Å ØÖ Þ ÆÓØ Ó M m n ÒÓØ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ñ ØÖ Þ Ö Ó Ø ÔÓ m nº ÉÙ Ò Ó m = n Ö ¹ Ú ÑÓ M n º ½º½ ýð Ö ÔÖÓ ÙØÓ ØÖ Ò ÔÓ Ó Ñ ØÖ Þ ½º A ÙÑ Ñ ØÖ Þ 4 3 B ÙÑ Ñ ØÖ Þ 3 4 C ÙÑ Ñ ØÖ Þ 4 1º ÌÓ ÒØÖ Ø Ñ ØÖ Þ Ó Ù 1º ÉÙ Ù ÒØ ÓÔ Ö Ó Ô ÖÑ Ø ÕÙ Ð Ó Ù Ö ÙÐØ Ó AB BA ABC CBA A(B + C). ¾º È Ö ÙÑ Ó Ù ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ Þ A B Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ò Ó Ø Ú Ö Ñ Ò Ñ ØÖ Þ A+2B A B 4A 3B A 2 B 2 AB BA (3A)(2B) A T B (AB) T º A = A = [ [ µ A = [ 2 B = B = [ 1 0 B = A = [ B = º Ø ÖÑ Ò Ó Ø ÔÓ Ñ ØÖ Þ A B C Ò Ó ÕÙ A 2 B = C ÕÙ B Ø Ñ ÓÐÙÒ ÕÙ C Ø Ñ ¾ Ð Ò Ò Ó ÕÙ A+BC = I 3 ÕÙ C Ø Ñ ¾ Ð Ò º º ÓÒ Ö Ñ ØÖ Þ A = ÐÙÐ Ñ ØÖ Þ X Ø Ð ÕÙ , B T = [ ( B T 3X ) T 3A = 2B.. ¾
3 º Î Ö ÖÓ ÓÙ Ð Óº ÂÙ Ø ÕÙ º Ë Ð Ò 1 3 ÙÑ Ñ ØÖ Þ B Ó Ù ÒØÓ Ø Ñ Ñ Ó Ó Ð Ò 1 3 Ñ ØÖ Þ ABº Ë ÓÐÙÒ 1 3 ÙÑ Ñ ØÖ Þ B Ó Ù ÒØÓ Ø Ñ Ñ Ó Ó ÓÐÙÒ 1 3 Ñ ØÖ Þ ABº µ (AB) 2 = A 2 B 2 º Ë A 2 Ø Ò ÒØÓ A ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö º Ë AB BA ØÓ Ò ÒØÓ A B Ó Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö º Ë AB BA ØÓ Ò ÒØÓ AB BA Ó Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö º Ë AB = B ÒØÓ A = Iº Ë B = A 2 A ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö n n Ñ ØÖ ÒØÓ b ii 0 Ô Ö i = 1,2,...,nº º Ø ÖÑ Ò A n n N Ô Ö [ π 0 A = 0 π A = [ ; A = [ [ 2 2 ; A = 0 0 º Ø ÖÑ Ò Ñ ØÖ Þ A Ó Ø ÔÓ 3 3 Ù ÒØÖ Ó a ij = ( 1) i+j a ij = i/jº. [ cosα sinα ; µ A = sinα cosα º Ë A ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö º ÅÓ ØÖ ÕÙ Ñ ØÖ Þ A T +A Ñ ØÖ º ; ½º¾ ÓÑ Ò Ð Ò Ö Ô Ò Ò Ò Ô Ò Ò Ð Ò Öº ¹ Ö Ø Ö Ø º ½º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ Ú ØÓÖ R 4 u = (4, 2,0, 2), v = (3,2,1,0) w = (1, 1,2,5). ÐÙÐ Ù ÒØ ÓÑ Ò Ð Ò Ö u v w u+v +w u 2v +3w µ 1 2u v +2w 2u+v +5w
4 ¾º Ñ ÙÑ Ð Ò Ù ÒØ Ø ÖÑ Ò Ó Ü Ø Ñ ØÓ Ó Ó Ð Ö a Ø ÕÙ Ó Ú ØÓÖ ( 6,a) ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ó Ú ØÓÖ (1,3) (2,1) Ó Ú ØÓÖ ( 2,1) ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ó Ú ØÓÖ (1,0) (a,3) µ Ó Ú ØÓÖ (1,a, 3) ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ó Ú ØÓÖ (1,1,0) (0,1,3) Ó Ú ØÓÖ (2,0,3) ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ó Ú ØÓÖ (a, a,0) (1,1,2)º º Î Ö ÕÙ Ö ÓÖÖ Ò Ó Ò Ó Ô Ò Ò Ð Ò Ö Ó Ù ÒØ Ú ØÓÖ (1,2) ( 2, 4) (1,0) (1, 2) (3,4) µ (1,1,0) (1, 1,2) (1,0,0) (1, 2,0) (0,1,3) (1,0,0) (2,1,0) (1,2,0) º Ê ÓÖÖ Ò Ó ÓÒ Ò Ó Ñ ØÖ Þ Ú Ö ÕÙ Ó Ù ÒØ Ø Ñ Ú ØÓÖ Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ º (1,1) (2,2) (1,1) (1, 2) µ (1,1) ( 1,0) (1,2) (1,0,0) (1, 2,3) (1,0,0) (1, 2,3) (0,1,1) (1,0,0) (1, 2,3) (0,1,1) (π,e, 2) º ÐÙÐ Ö Ø Ö Ø Ù ÒØ Ñ ØÖ Þ µ
5 º Ø ÖÑ Ò Ñ ÙÒÓ Ó Ô ÖÑ ØÖÓ ÓÐÙÒ Ù ÒØ Ñ ØÖ Þ Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ 1 1 [ A = α β α 1 B = C = α º 1 β 1 0 α 2 0 ½º ÁÒÚ Ö Ó Ñ ØÖ Þ ½º Î Ö ÕÙ Ù ÒØ Ñ ØÖ Þ Ó ÒÚ ÖØ Ú Ñ Ó ÖÑ Ø ÚÓ Ø ÖÑ Ò Ù ÒÚ Ö [ [ A = B = C = D = E = F = 0 4 3, G = º ¾º ÐÙÐ Ñ ØÖ Þ ÒÚ Ö Ñ ØÖ Þ A = º ÐÙÐ Ñ ØÖ Þ ÒÚ Ö Ñ ØÖ Þ A =, B = Ë Ñ ØÙ Ö ÐÙÐÓ ÙÞ ÕÙ Ð ÒÚ Ö Ñ ØÖ Þ B = ÓÒ ÖÑ Ó Ö ÙÐØ Ó ÐÙÐ Ò Ó BB 1 º [ a b º ÅÓ ØÖ ÕÙ A = ÒÚ ÖØ Ú Ð ad bc 0 Ò Ó Ø ÖÑ Ò c d Ù ÒÚ Ö º..
6 º ÈÖÓÚ ÕÙ a 0 a b ÒØÓ Ù ÒØ Ñ ØÖ Þ ÒÚ ÖØ Ú Ð a b b A = a a b. a a a ½º Ë Ø Ñ ½º Ê ÓÐÚ Ó Ù ÒØ Ø Ñ ÕÙ Ð Ò Ö Ù Ò Ó Ó Ñ ØÓ Ó Ð Ñ Ò Ó Ù º ÁÒØ ÖÔÖ Ø ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ Ó Ö ÙÐØ Ó º µ x y +2z +t = 5 x 4y z 2t = 14 2x+2y +z +t = 7 x 7y +z +2t = 10 x+y z = 1 2x y +3z = 2 4x+y +z = 5 2x+y +z = 8 x+y +4z = 15 3y +2z = 9 { x+2y = 0 3x 6y = 1 ¾º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ Ø Ñ ÕÙ Ð Ò Ö x 1 +x 2 x 3 +x 4 = 0 x 1 2x 2 x 3 x 4 = 0 3x 2 = 2x 4 2x 1 x 2 2x 3 = 0 Ö Ú ÕÙ Ó Ñ ØÖ Ð Ó Ø Ñ º { x 3y +2z t = 6 3x 7y +t = 0 x+y = 3 x y = 1 3y +2z = 9 { x+y +4z = 15 3y +2z = 9 x+7y = 2 2x 8y = 1 3x y = 3 ÂÙ Ø ÕÙ Ù ÒØ ÖÑ Ó Ç Ø Ñ ÒÙÒ ÑÔÓ Ú Ðº µ Ê ÓÐÚ Ó Ø Ñ Ô ÐÓ Ñ ØÓ Ó Ð Ñ Ò Ó Ù º º Ð ÕÙ Ó Ø Ñ [A b ÓÒ b ÙÑ Ú ØÓÖ Ö ØÖ Ö Ó R n A Ñ ØÖ Þ µ [
7 º Ð ÕÙ Ó Ù ÒØ Ø Ñ ÕÙ Ñ ÙÒÓ Ó Ô ÖÑ ØÖÓ α β µ { x+y = 15 αx+βy = 1 { αx+βy = α+β 2x 2βy = β { 2x1 +x 2 x 3 2x 4 = 1 4x 1 +2x 2 2x 3 +2αx 4 = β { x+y = α 2x+2y = β x+2y αz = 1 2x y z = β 9x 2y +z = 1 αx 1 +x 2 x 3 +x 4 = 0 2x 1 +3x 2 +x 3 = 1 x 2 +2x 3 x 4 = 0 x 1 +3x 3 +2x 4 = β º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ Ø Ñ ÕÙ Ð Ò Ö ÓÑ Ú Ö Ú x y z 2x+y +z = 6α 2x+y +(β +1)z = 4 βx+3y +2z = 2α Ö Ú Ó Ø Ñ Ò ÓÖÑ Ñ ØÖ Ðº ØÙ Ò ØÙÖ Þ Ó Ø Ñ Ñ ÙÒÓ Ó Ô ÖÑ ØÖÓ α βº º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ Ø Ñ ÕÙ Ð Ò Ö ÓÑ Ú Ö Ú x y z t y +z = (b a)t bx y +(a+1)t = bz 2z +2t = x 2a+at = y z º Ë Ö Ú ÕÙ Ó Ñ ØÖ Ð Ó Ø Ñ º Ð ÕÙ Ô Ð Ø ÓÖ Ñ ØÖ Þ Ó Ø Ñ Ñ ÙÒÓ Ó Ô ÖÑ ØÖÓ a bº µ ËÙÔÓÒ a = 1 b = 0º Í Ó Ö ÙÐØ Ó Ó ÐÙÐÓ Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö Ó Ø Ñ º A α = α 1 α 1 α 1 α 1 α ÓÒ α ÙÑ Ô ÖÑ ØÖÓ Ö Ðº Ö Ú Ó Ø Ñ A α X = Bº, X = x y z, B = Ø ÖÑ Ò Ó Ò Ó α Ô Ö Ó ÕÙ Ð A α X = B ÑÔÓ Ú Ðº µ ÓÒ Ö Ò Ó α = 1 Ø ÖÑ Ò Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÐÙÓ Ó Ø Ñ A 1 X = Bº 1 1 1
8 º Ë Ñ p q Ò Ñ ÖÓ Ö Ø ÕÙ p+q = 1º ÅÓ ØÖ ÕÙ X 1 X 2 Ó ÓÐÙ ÙÑ Ø Ñ ÕÙ Ð Ò Ö Ax = b ÒØÓ px 1 + qx 2 Ø Ñ Ñ ÙÑ ÓÐÙÓ Ó Ø Ñ º ÓÒÐÙ ÕÙ Ax = b Ø Ñ Ò Ò Ø ÓÐÙ º º ÅÓ ØÖ ÕÙ A ÕÙ Ö [A b ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÑ Ø Ñ ÑÔÓ Ú Ð ÒØÓ [A c ÑÔÓ Ú Ð ÓÙ ÔÓ Ú Ð Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ô Ö ØÓ Ó Ó Ú ØÓÖ ÓÐÙÒ cº ½¼º ÅÓ ØÖ ÕÙ A ÕÙ Ö [A b ÔÓ Ú Ð Ø ÖÑ Ò Ó ÒØÓ [A c ÔÓ Ú Ð Ø ÖÑ Ò Ó Ô Ö ØÓ Ó Ó Ú ØÓÖ ÓÐÙÒ cº ½º Ø ÖÑ Ò ÒØ ÔÖÓÔÖ ½º ÐÙÐ Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ Ù ÒØ Ñ ØÖ Þ [ 2 3 A = B = E = F = I = L = [ J = M = [ [ C = D = a b G = 0 3 c H = K = N = a 3 0 b c ¾º Í Ò Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ Ú Ö ÕÙ Ó Ù ÒØ Ø Ñ Ú ØÓÖ Ó Ð Ò Ö¹ Ñ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ {(1,1),(1,2)} {(1,1),(2,2)} µ {(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} {(2,1,4),(0,1,2),(1,0,1)} º Î Ö ÕÙ ÕÙ Ô Ö Ñ ØÖ Þ 2 2 Ø Ñ AB = A B º º Ë Ò Ó ÕÙ a b c d e f g h i = 4 ÙÞ Ó Ù ÒØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ñ Ó ÐÙÐ Ö Ö Ø Ñ ÒØ µ a b c 2d 2e 2f g h i
9 µ a b+3a c d e+3d f g h+3g i a c b d f e g i h a 3b 2c d 3e 2f g 3h 2i º Ë B M Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ó Ø Ñ Ô ÖØ Ö A Ù Ò Ó ÓÔ Ö µ l 1 l 4 ; µ l 2 l 2 +5l 6 ; µ l 1 3l 1. Ë Ò Ó ÕÙ det(b) = 8 ÐÙÐ det(a)º º Ë B M 7 7 Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ó Ø Ñ Ô ÖØ Ö A Ù Ò Ó ÓÔ Ö µ l 5 l 5 3l 2 ; µ l 4 l 4 + l 2 ; µ l 1 3l 1 ; Úµ l 7 2l 7 ; Úµ c 3 c 4. Ë Ò Ó ÕÙ det(a) = 3 ÐÙÐ det(b)º º ÐÙÐ det(a 2 ) det(2a) µ det ( A 1) det ( A t) det(ab) det ( 3A 2 B 2 A t) det ( A 1 B t) +det ( AB 2) det( AB)+ ( det(ab) 1) det ( (A 1 ) t) +det ( ( 2AB) t) Ò Ó ÕÙ A,B M 3 3 Ó ÒÚ ÖØ Ú ÕÙ det(a) = 2 det(b) = 3 µ Ò Ó ÕÙ A,B M 2 2 Ó ÒÚ ÖØ Ú ÕÙ det(a) = 1 det(b) = 2º º Ñ ØÖ Þ A B ÓÖ Ñ n ÑÓ ØÖ ÕÙ A ÒÓ ÒÚ ÖØ Ú Ð ÒØÓ AB ÒÓ ÒÚ ÖØ Ú Ðº º Ñ ØÖ Þ A C ÓÖ Ñn ÑÓ ØÖ ÕÙ C ÒÚ ÖØ Ú Ð ÒØÓdet ( C 1 AC ) = det(a)º ½¼º ÍÑ Ñ ØÖ Þ A ÓÖ Ñ n Þ¹ ÓÖØÓ ÓÒ Ð AA t = Iº ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÒØÓ A = ±1º ÅÓ ØÖ ÕÙ A ½½º Î Ö ÖÓ ÓÙ Ð Óº ÂÙ Ø ÕÙ º det(a+b) = det(a)+det(b)º det(ab BA) = 0º µ Ç Ú ØÓÖ ÓÐÙÒ ÙÑ Ñ ØÖ Þ A ÓÖ Ñ n Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò ¹ Ô Ò ÒØ det(a) 0º Ë A ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÓÖ Ñ n Ó Ø Ñ ÓÑÓ Ò Ó Ax = 0 Ø Ñ ÙÑ ÓÐÙÓ ÒÓ ÒÙÐ det(a) = 0º
10 ½º ÁÒÚ Ö Ó Ñ ØÖ Þ ½º Í Ò Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ÖÑ Ò ÔÓ Ú Ð ÒÚ Ö Ù ÒØ Ñ ØÖ Þ [ A =, B = 0 3 2, C = ¾º Ë A = ÒÚ ÖØ Ú Ðº º Ë A = k k k 3 4 k 0 k α º A 1 Ô Ö Ó Ó Ñ ÕÙ Ü Ø º Ø ÖÑ Ò Ô Ö ÕÙ Ú ÐÓÖ k Ñ ØÖ Þ A ÒÓ º È Ö ÕÙ Ú ÐÓÖ α ÒÚ ÖØ Ú Ð Ñ ØÖ Þ A ÐÙÐ º ÑÓÒ ØÖ Ù ÒØ ÔÖÓÔÖ Ñ ØÖ Þ ÙÒØ Â = A n 1 º ÂB = Bº ½º Ô Ó Ú ØÓÖ º ËÙ Ô Ó Ú ØÓÖ º ÓÑ Ò Ó Ð Ò Öº ËÔ Òº ½º Ø ÖÑ Ò Ó Ù ÒØ ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ù Ô Ó R n º Ê ÔÖ ÒØ Ö ¹ Ñ ÒØ Ó ÕÙ Ó Ù Ô Ó R 2 º V = {(x,y) R 2 : x+y 3}º V = {(x,y) R 2 : 3x = y}º µ V = {(x,y) R 2 : x = y +1}º S = {(x,y) R 2 : x 2 = y 2 }º V = {(x,y,z) R 3 : x = 2y z,}º V = {(x, x,y x) R 3 : x,y R}º V = {(x,y,z) R 3 : z = x y,y = 2}º V = {(a b,b c,c d,d a) R 4 : a,b,c,d R}º V = {(x 1,2x 2,3x 3,4x 4 ) R 4 : x i R}º V = {(x 1,...,x n ) R n : x n 1 = 0 R}º ¾º Ø ÖÑ Ò ÓÐÙÒ Ù ÒØ Ñ ØÖ Þ Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ [ [ A = B = C = D = ½¼
11 E = F = G = º Î Ö ÕÙ u 1 = (1,2,3,4) u 2 = (2,2,3,4) u 3 = (3,3,3,4) Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ º º ÈÖÓÚ ÕÙ {v 1,v 2,v 3 } ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ ÒØÓ Ø Ñ Ñ Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ {v 1 v 2,v 2 v 3,v 3 +v 1 }º º Ë Ñ v 1,v 2,v 3 Ú ØÓÖ R n º ÈÖÓÚ ÕÙ Ó Ú ØÓÖ w 1 = v 1 +3v 3 w 2 = v 1 + v 2 5v 3 w 3 = v 2 2v 3 Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ º º Î Ö ÕÙ (1,4, 2) Ô Ò{u 1,u 2 } u 1 = (1,0,0) u 2 = (0, 2,1) µ u 1 = (1,0,1) u 2 = (1,1,0) º Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ S = Ô Ò{(1,2,0,1),(2,3,0,0),(0,1,0,1),( 1,0,0,2)}. º º ÓÑÔÐ Ø Ó Ù ÒØ ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ó Ø Ö ÙÑ V º V = R 3 {(0,0,1),(1,0,1)} V = R 4 µ{(2,3,1),(1,4,3)} {(0,0,0,1)} µ {(1,1,1,1),(0,1,1,1)} º Ø ÖÑ Ò [u B º º Ø ÖÑ Ò ÓÓÖ Ò u Ò B u = (1,2) B 1 = {(1,0),(0,1)} µ B 2 = {(1,1),( 1,1)}º u = (4,17) B 1 = {(1,2),(1, 1)} µ B 2 = {(1,2),(0,5)} µ u = (5,4,1) B 1 = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} µ B 2 = {(1,0,0),(0,2,0),(1,1,1)} ½¼º Î Ö ÖÓ ÓÙ Ð Óº ÂÙ Ø ÕÙ º Ç Ù ÓÒ ÙÒØÓ {0,u} R n ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò¹ ÒØ º ÉÙ ÐÕÙ Ö ÓÒ ÙÒØÓ n+1 Ú ØÓÖ Ø ÒØÓ R n ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ º ½½
12 µ Ë S ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ Ñ R n º ÒØÓ Õ٠й ÕÙ Ö Ù ÓÒ ÙÒØÓ T S ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ º Ë S ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ñ R n º ÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ù ÓÒ ÙÒØÓ T S ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò¹ ÒØ º Ë S = {u 1,...,u k } ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ Ñ R n º ÒØÓ T = {u 1,...,u k,u k+1 } ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ º ÉÙ ÕÙ Ö ÕÙ ØÖÓ Ú ØÓÖ Ø ÒØÓ R 4 Ö Ñ R 4 º Ë {v 1,v 2 } ÙÑ W = Ô Ò{v 1,v 2 } ÒØÓ {v 1 +v 2,v 1 v 2,3v 1 2v 2 } Ø Ñ Ñ ÙÑ W º ½º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ð Ò Ö ÆÓØ Ó M(T,B 1,B 2 ) ÒÓØ Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó T Ñ Ö Ð Ó B 1 B 2 º b.c. ÒÓØ Ò Ò º ½º Î Ö ÕÙ Ó Ð Ò Ö Ù ÒØ ÙÒ T : R 2 R 2 T(x,y) = (x+y,x y) T : R 2 R 2 T(x,y) = (x 2,y) µ T : R 2 R 2 T(x,y) = (2x,1) T : R 3 R 3 T(x,y,z) = (x+y,y,0) T : R 3 R 3 T(x,y,z) = (x y,y 4z,x) T : R 3 R 2 T(x,y,z) = (xy, y) 1 0 [ T : R 2 R 4 T(x,y) = 2 1 x 1 1 y 0 1 ¾º Ø ÖÑ Ò ÜÔÖ Ó Ò Ð Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ð Ò Ö T(1,0) = (1,2), T(0,1) = (1, 1). º Ë f : R 4 R 5 ÙÑ ÙÒÓ Ð Ò Ö Ò ÔÓÖ f(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (x 1 x 3 +2x 4,x 1 +2x 3 x 4,x 2 x 3 x 4,x 3 x 4,x 2 2x 3 ). Ø ÖÑ Ò ÙÑ Ker(f)º Ø ÖÑ Ò ÙÑ Im(f) ½¾
13 º Ë f : R 3 R 3 ÙÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ò ÔÓÖ f(x,y,z) = (x+y,y +z,x+z). ÅÓ ØÖ ÕÙ f ÙÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ð Ò Öº Ø ÖÑ Ò Ñ ØÖ Þ ØÖ Ò ÓÖÑ Óº µ Ø ÖÑ Ò Ker(f) Ñ(Im(f))º º Ë f : R 3 R 4 ÙÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ò ÔÓÖ f(x,y,z) = (y x,0,z x,z 2y). ÅÓ ØÖ ÕÙ f ÙÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ð Ò Öº Ø ÖÑ Ò Ñ ØÖ Þ ØÖ Ò ÓÖÑ Óº µ Ø ÖÑ Ò Ker(f)º ÐÙÐ dim(im(f))º º ÓÒ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ð Ò Ö T : R 2 R 3 Ò ÔÓÖ ÐÙÐ T(1,2)º Ø ÖÑ Ò A = M(T,b.c.,b.c.)º T(x,y) = (x+y, 2x+y,x y). µ ÐÙÐ T(1,2) Ù Ò Ó Ñ ØÖ Þ Aº ÓÒ ÖÑ Ó Ö ÙÐØ Ó ÓÑ Ó Ó Ø Ó Ò Ð Ò º Ø ÖÑ Ò B = M(T,B 1,B 2 ) ÓÒ B 1 = b.c. B 2 = {(1, 1,0),(0,1,0),(1,0,1)}º ÐÙÐ T(1,2) Ù Ò Ó Ñ ØÖ Þ Bº ÓÒ ÖÑ Ó Ö ÙÐØ Ó ÓÑ Ó Ó Ø Ó Ò Ð Ò µº º ÓÒ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ð Ò Ö T : R 3 R 3 Ò ÔÓÖ A = M(T,b.c.,b.c.) = ÐÙÐ T(1,1,1)º Ø ÖÑ Ò ÜÔÖ Ó Ò Ð Ø T T(x,y,z)º µ Ø ÖÑ Ò B = M(T,B 1,B 1 ) ÓÒ B 1 = {(1,1,0),(0, 1,0),(1,1,1)} ÐÙÐ T(1,1,1) Ù Ò Ó Ñ ØÖ Þ Bº ÓÒ ÖÑ Ó Ö ÙÐØ Ó ÓÑ Ó Ó Ø Ó Ò Ð Ò º ÐÙÐ T((1,2,3) B1 )º ½
14 º ÓÒ Ö Ù ÒØ ØÙ T(x,y,z) = (x y,2z) L(x,y) = (2x,3y) B 1 = {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} B 2 = b.c. B 3 = {(1,1),(1,0)} u = ( 2,3,1)º T(x,y) = (3x,2y) L(x,y) = (x,y,x+2y) B 1 = b.c. B 2 = {(1,1),(1,0)} B 3 = b.c. u = ( 2,3)º Ø ÖÑ Ò Ñ Ó ÜÔÖ Ó Ò Ð Ø L T µ Ñ ØÖ Þ A = M(T,B 1,B 2 ) B = M(L,B 2,B 3 ) µ Ñ ØÖ Þ C = M(L T,B 1,B 3 ) ÔÖ Ñ ÖÓ Ù Ò Ó Ñ Ù Ù Ò Ó µ Úµ (L T)(u) Ù Ò Ó µº º Ë T : V V Ð Ò Ö A = M(T,B 1,B 2 )º Î Ö ÕÙ ÕÙ Ù ÒØ Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ T ÒÚ ÖØ Ú Ðº à Ö(T) = {0}º µ A ÒÚ ÖØ Ú Ðº r(a) = Ñ(V)º ½¼º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ Ó T(x,y) = (x y,x+y) B 1 = {(1,1),(1,0)} B 2 = b.c. u = ( 1,2)º T(x,y) = (x,0) B 1 = {(1,1),(1,0)} B 2 = b.c. u = (0,2)º µ T(x,y,z) = (x y,x+y,z) B 1 = {(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1)} B 2 = b.c. u = ( 1,2, 3)º Î Ö ÕÙ Ñ Ó T : V V ÒÚ ÖØ Ú Ð Ñ Ó ÖÑ Ø ÚÓ Ø ÖÑ Ò ÜÔÖ Ó Ò Ð Ø T 1 µ A = M(T,B 1,B 2 ) µ B = M(T 1,B 2,B 1 ) ÔÖ Ñ ÖÓ Ù Ò Ó ÔÓ Ù Ò Ó µ Úµ T 1 (u) Ù Ò Ó µº ½
15 ½½º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ Ó B 1 = {(1,1),(1,0)} B 2 = {(1,2),(2,1)} u = ( 2,3)º B 1 = {(1,1),(1,0)} B 2 = b.c. u = ( 2,3)º µ B 1 = b.c. B 2 = {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} u = ( 2,3, 4)º È Ö ÙÑ Ð Ø ÖÑ Ò ÓÓÖ Ò u Ò B 1 B 2 µ Ø ÖÑ Ò Ñ ØÖ Þ ÑÙ Ò B 1 Ô Ö B 2 A = M(id,B 1,B 2 ) µ Ø ÖÑ Ò Ñ ØÖ Þ ÑÙ Ò B 2 Ô Ö B 1 B = M(id,B 2,B 1 ) Úµ Ú Ö ÕÙ ÕÙ B = A 1 Úµ Ú Ö ÕÙ ÕÙ ÒÓÑ Ò Ó ÑÙ Ò ÓÖÖ Ø º ½¾º ÓÒ Ö Ó Ó Ù ÒØ T(x,y,z) = (x y,2x) B 1 = {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} B 2 = b.c. B 3 = b.c. B 4 = {(1,1),(1,0)}º T(x,y) = (x+2y,x) B 1 = B 2 = b.c. B 3 = B 4 = {(1,1),(1,0)}º µ T(x,y) = (x,y,0) B 1 = B 3 = b.c. B 2 = B 4 = {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}º Ø ÖÑ Ò Ô Ö ÙÑ Ð Ñ ØÖ Þ A = M(T,B 1,B 2 ) B = M(T,B 3,B 4 ) Ù Ò Ó Ó ÔÖÓ Ó ÜÔÖ Ó Ò Ð Ø T µ Ñ ØÖ Þ A Ñ ØÖ Þ ÑÙ Ò º ½º Î ÐÓÖ Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó ½º Ë Ñ [ A = , B = ÅÓ ØÖ ÕÙ u = ( 3,3) v = (2,1) Ó Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Aº ÁÒ ÕÙ Ó Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Ó Ó º ÅÓ ØÖ ÕÙ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ú ØÓÖ ÓÖÑ ( r,r) r 0 Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Aº µ ÅÓ ØÖ ÕÙ u = (1,0,0) Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó B Ò ÕÙ Ó Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Ó Óº ÅÓ ØÖ ÕÙ 6,4,7 Ó Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Bº ½
16 ¾º ÓÒ Ö Ù ÒØ Ñ ØÖ Þ [ [ µ È Ö ÙÑ Ð Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó µ Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Ô Ö Ó Ù Ô Ó ÔÖ ÔÖ Ó º º Ø ÖÑ Ò Ó Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Ù ÒØ ÙÒ Ð Ò Ö T(x,y) = ( x, y) P(x,y) = (x,0) [ cosθ sinθ µ R(x,y) = sinθ cosθ [ x y º Ë T : R 3 R 3 ÙÒÓ Ð Ò Ö Ò ÔÓÖ T(x,y,z) = (x+z,y,x+z). Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó T º º È Ö ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ù ÖÓ Ø ÖÑ Ò Ó Ù Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Ù Ô Ó ÔÖ ÔÖ Ó Ú Ö ÕÙ Ñ ØÖ Þ ÓÒ Ð Þ Ú Ð Ë Ö ÔÓ Ø ÐØ Ñ Ð Ò ÓÖ ÔÓ Ø Ú µ ÓÒ Ð Þ ¹ º º Ø ÖÑ Ò ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÓÒ Ð D Ñ Ð ÒØ Ñ ØÖ Þ Ñ Ù µ Ò ÕÙ ÕÙ Ø ÓÒ Ð Þ Ó Ö Ö ½
17 Ù Ò Ó D ÐÙÐ Ó Ù Ø ÖÑ Ò ÒØ [ [ [ µ µ Úµ Úµ Ú µ A = Ú µ A = º Ë f : R 2 R 2 ÙÒÓ Ð Ò Ö Ò Ô Ð Ñ ØÖ Þ [ 1 2 A = M(f;b.c,b.c.) = 0 3 Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ Ó Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó f º [ ÒÓÒØÖ ÙÑ B = {v 1,v 2 } R 2 ÓÖÑ ÔÓÖ Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó f º Ø ÖÑ Ò Ñ ØÖ Þ D f ÓÑ Ö Ô ØÓ º º Ø ÖÑ Ò D = M(f;B,B)º ÈÖÓÚ ÕÙ P Ñ ØÖ Þ Ù ÓÐÙÒ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ú ØÓÖ v 1 v 2 Ò Ò Ò ÒØÓ D = P 1 AP. º Ë A ÙÑ Ñ ØÖ Þ 3 3 Ø Ð ÕÙ Au 1 = u 1 Au 2 = u 2 Au 3 = 3u 3 ÓÒ u 1,u 2,u 3 0º Ë Ò Ó ÕÙ {u 1,u 2 } Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ù Ø ÕÙ Ó Ú Ö Ö ÓÙ Ð Ù ÒØ ÖÑ {u 1,u 2,u 3 } ÙÑ R 3 º A = 3º µ A ÒÚ ÖØ Ú Ðº º ÅÓ ØÖ ÕÙ A ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö ÓÖ Ñ n ÒØÓ AA t A t A Ø Ñ Ó Ñ ÑÓ Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó º º ÅÓ ØÖ ÕÙ ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö A ÒÚ ÖØ Ú Ð Ó Ù Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Ó ÒÓ ÒÙÐÓ º ½¼º ÅÓ ØÖ ÕÙ A C Ó Ñ ØÖ Þ Ñ Ð ÒØ º º C = S 1 ASµ ÒØÓ Ø(A) Ø(C)º. ½½º ÅÓ ØÖ ÕÙ u v Ó Ú ØÓÖ ÒÓ ÒÙÐÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ u ÙÑ Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó A ÓÑ Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó λ ÒØÓ v Ø Ñ Ñ ÙÑ Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó A ÓÑ Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó λº Í Ò Ó Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÐÙ ÕÙ Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Ø ÒØÓ ÓÖÖ ÔÓÒ Ñ Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò ¹ Ô Ò ÒØ º ½
s γ β α r t r s α = β α+γ = 180.
Å ½ ¹ ÍÒ ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ÁÁ Ë Ñ Ò ½»¼»¾¼½½ ¾½»¼»¾¼½½ È Ö Ð Ð ÑÓ Ù Ö Ø ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ø ÑÓ ÓÑ ÒØ Ù ÔÓ Ð Ô Ö Ñ ¹ Ñ ÓÙ Ð Ø Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÑÙÑ ÓÙ ÒÓ Ø Ñ Ò Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÑÙÑ ÒÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ó Ö Ø Ó Ø ÓÒÓÖÖ ÒØ ÒÓ ÙÒ Ó
AB BC = 1 A B B C = 1.
Å ½ ¹ ÍÒ ½¼ ÈÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ë Ñ Ð Ò Á Ë Ñ Ò ½¾»¼»¾¼½½ ½»¼»¾¼½½ ½ Ç Ø ÓÖ Ñ Ì Ð ÓÒ Ö ÑÓ Ù ÒØ ØÙ Ó Ø ÑÓ ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ö Ø Ô Ö Ð Ð r s t ÙÖ ½µº ÌÖ ÑÓ Ñ Ù Ö Ø u u ÔÖ Ñ Ö ÒØ Ö Ø Ò Ó r s t Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÒÓ ÔÓÒØÓ ÙÒ ÒØ
L2 L2 (a 21 /a 11 )L1
ÙÐ ¼¾ ¹ Ð ÓÖ ØÑÓ Ì ÓÑ Å ØÓ Ó ÁØ Ö Ø ÚÓ Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÓÑÓ Ú ØÓ Ò ÙÐ ¼½ Ñ ØÓ Ó Ð Ñ Ò Ó Ö Ø ÓÑÓ Ó Ñ ØÓ Ó Ù ÔÓ¹ Ñ Ö ÔÐ Ó Ô Ö Ö ÓÐÙÓ Ø Ñ ÕÙ Ð Ö Ð Ò Ö º Ú Ö Ó ÓÙØÖÓ Ñ ØÓ Ó Ó ÑÙ ØÓ ÙØ Ð Þ Ó ÓÑÓ Ó Ñ ØÓ Ó Ù ¹ÂÓÖ
l l θ T P cosθ = Ma n P sin θ = Ma t, Mg sin θ = Ml d2 θ dt 2. d 2 θ dt 2 = g l θ. µ
Ò ÍÖ ÒÓ È ÙÐÓ Ö Ó Ë È ÙÐÓ Ò Ö Ù ÜÔ Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ö Ó ½ ÅÁ É ÍÈ ¹ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö Ç Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ Ç Ø ÚÓ ØÙ Ó Ó Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ º Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ö Ó Ö Ú º ÁÒØÖÓ ÙÓ Ø Ö Ç Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ ÓÒ Ø ØÙ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ l
= PD PA PB = R 2 OP 2.
Å ½ ¹ ÍÒ ½½ ÈÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ë Ñ Ð Ò ÁÁ Ë Ñ Ò ½¾»¼»¾¼½½ ½»¼»¾¼½½ Ç Ø ÓÖ Ñ ÓÖ ÔÓØ Ò ÔÓÒØÓ Ù ÔÖÓÔÓ Ù Ö Ò ÖÖ Ñ ÓÙØÖ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ ÕÙ Ò Ð ¹ Ñ ÒØ Ö Ó Ó Ñ Ð Ò ØÖ Ò ÙÐÓ ØÙ Ó Ò ÍÒ ½¼ Ò Ó ÓÒ ÓÒ ÙÒØ Ñ ÒØ Ò Ð Ø Ö ØÙÖ ÓÑÓ
ØÖÙØÙÖ ÔÖ ÒØ Ó ½ ¾ ÓÒÓÑ Ó Ð Ò Ñ ÒØÓ Ð Ò Ñ ÒØÓ Ñ Ðº Å ØÓ ÓÐÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÉÙ Ø ÓÒÓÑ ØÖ º Å ØÓ ÓÐÓ ½ ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØÓ º Å ØÓ ÓÐÓ ¾ Ñ Ó Ð Ø Ö Ð Ó Ñ ÙÒ Ñ ÒØÓ º
Å ØÓ ÓÐÓ Ø Ñ Ø Ú Ð Ò Ñ ÒØÓ Ñ Ð Ñ Ö ÓÒ ÖÒ Ò Å Ö Ð Å È¹ Ëȹ Î Ë Ñ Ò Ö Ó ÁÑÔ ØÓ Ó Ñ Ó Ó Ö Ó ÓÑ Ö Ó ÁÒØ ÖÒ ÓÒ Ð ØÖÙØÙÖ ÔÖ ÒØ Ó ½ ¾ ÓÒÓÑ Ó Ð Ò Ñ ÒØÓ Ð Ò Ñ ÒØÓ Ñ Ðº Å ØÓ ÓÐÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÉÙ Ø ÓÒÓÑ ØÖ º Å ØÓ ÓÐÓ
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ë ÒØ Ø Ö Ò ÒØÖÓ Ò Å Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÍÑ ØÙ Ó Ó Ö ËÔÐ Ò Å Ö Ò ÇÐ Ú Ö Ö Ó ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÖÑ Ò Ëº κ Þ Ò ÐÓÖ Ò ÔÓÐ Ë Ë Ø Ñ ÖÓ ¾¼¼
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ë ÒØ Ø Ö Ò ÒØÖÓ Ò Å Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÍÑ ØÙ Ó Ó Ö ËÔÐ Ò Å Ö Ò ÇÐ Ú Ö Ö Ó ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÖÑ Ò Ëº κ Þ Ò ÐÓÖ Ò ÔÓÐ Ë Ë Ø Ñ ÖÓ ¾¼¼ Å Ö Ò ÇÐ Ú Ö Ö Ó ÍÑ ØÙ Ó Ó Ö ËÔÐ Ò ÌÖ Ð Ó Ñ Ó Ö Ù Ó
Å ½ ¹ ÍÒ ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ÁÎ Ë Ñ Ò ¾¾»¼»¾¼½½ ¾»¼»¾¼½½ ÉÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÒÓØ Ú ÒØÖ Ó Ú Ö Ó Ø ÔÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÕÙ Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÕÙ Ó ÔÖ Ò Ô Ó ÖØ Ñ ÒØ Ó
ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ÁÎ Ë Ñ Ò ¾¾»¼»¾¼½½ ¾»¼»¾¼½½ ÉÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÒÓØ Ú ÒØÖ Ó Ú Ö Ó Ø ÔÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÕÙ Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÕÙ Ó ÔÖ Ò Ô Ó ÖØ Ñ ÒØ Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ º Ò Ó ½º ÍÑ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ ØÓ ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ
Aterro solo arenoso 3m P solo argiloso
ÁÒ Ø ØÙØÓ ËÙÔ Ö ÓÖ Ì Ò Ó Å ØÖ Ó ÁÒØ Ö Ó Ñ Ò Ò Ö Ú Ð Ò Ð ØÖÙØÙÖ ÓØ Ò Ú½¼º¼ Þ Ñ ÖÓ ¾¼¼ ÈÊÇ Ä Å Ë ½º ÍÑ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó Ó Ù ØÓ ÙÑ Ò Ó ÓÖØ ØÖ Ü Ð Ñ ÓÒ Ö ¹ Ò º ÁÒ ÐÑ ÒØ ÓÒ ÓÐ Óµ Ó ¹Ð ÔÐ ÙÑ Ø Ò Ó ÓÒ Ò Ñ ÒØÓ
A A ; B B ; C C. AB = A B ; AC = A C ; BC = B C.
Å ½ ¹ ÍÒ ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ Á Ë Ñ Ò ½»¼»¾¼½½ ¾½»¼»¾¼½½ ½ Ç Ó Ä Ä Ä ÄÄÄ ÓÒ Ö ÑÓ Ò ÐÑ ÒØ Ó Ù ÒØ Ü ÑÔÐÓ ½º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ BC Ð Ó Ù lº ËÓÐÙÓº l Ö Ó Ó Ô Ó º ½º Å ÖÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ØÖ Ö
ÈÖÓ Ð Ñ ½ È Ó ÖÕÙ ÚÓ Ô Óº ÓÙ Ô ÓºÔ Ô Óº Ò Ô ÓºÓÙØ ÍÑ ÑÔÖ ÕÙ ØÖ Ð ÓÑ Ò Ø Ð Ó Ô Ó Ö ÕĐÙ ÒØ Ñ ÒØ ÔÖ ÔÐ Ò Ö Ó Ñ ÒØÓ Ó Ö Ó ÕÙ Ð Ô Ó ÓÐÓ º Ø Ø Ö ÔÓ Ö Ø ÓÑ Ù
Å Ö ØÓÒ ÈÖÓ Ö Ñ Ó ½ ÖÒÓ ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÓÖ ¹ Ë Ò ÓÖ ÈÖÓ Ð Ñ ½ È Ó ÖÕÙ ÚÓ Ô Óº ÓÙ Ô ÓºÔ Ô Óº Ò Ô ÓºÓÙØ ÍÑ ÑÔÖ ÕÙ ØÖ Ð ÓÑ Ò Ø Ð Ó Ô Ó Ö ÕĐÙ ÒØ Ñ ÒØ ÔÖ ÔÐ Ò Ö Ó Ñ ÒØÓ Ó Ö Ó ÕÙ Ð Ô Ó ÓÐÓ º Ø Ø Ö ÔÓ Ö Ø ÓÑ ÙÜ Ð Ó
¾
Ü Ñ ÁÒ Ö Ó ÔÐ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð ÈÖ Ñ ÖÓ Ë Ñ ØÖ ¾¼½½ ÆÓÑ Ó µ Ò ØÓ µ ½ ¾ Å Ò ½º È Ð Ò Ð Ó Ù Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÙÑ Ó Ó ÖÚ Ó ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÙÑ Ô ÕÙ Ò ÓÐ Ö Ó ÔÖ Þ Ú Ðµ Ñ ÙÑ ØÖ Ø Ö Ú ÖØ Ð Ò ÒØ º ÜØ Ò Ó Ó ÑÔÓ Ú Ù Ð Ó Ó ÖÚ ÓÖ ÓÖÖ
Å ÖÓ Ì Ü Ö ÐÚ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ñ Ø Ú ÔÐ Ë Ö ÆÙÑ Ö ÅÓÒÓ Ö Ù Ñ Ø ÓÑ Ó Ú Ð Ó Ó ÙÖ Ó Ô Ð Þ Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÖÑ Ó Ó ÔÖÓ ¹ ÓÖ Ñ ÙÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ð Ô Ö Ó Ø ¹ ØÙÐÓ Ô Ð Ø
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ë ÒØ Ø Ö Ò ÒØÖÓ Ò Å Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ñ Ø Ú ÔÐ Ë Ö ÆÙÑ Ö Å ÖÓ Ì Ü Ö ÐÚ ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº Ð Ù ÐÓÖ Ò ÔÓÐ Ë Å ÖÓ ¾¼½½ Å ÖÓ Ì Ü Ö ÐÚ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ñ Ø Ú ÔÐ Ë Ö ÆÙÑ Ö ÅÓÒÓ Ö Ù Ñ Ø ÓÑ
y +p(x)y +q(x)y = g(x) y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 0 y(α) = y 0 y(β) = y 1
ÙÐ ¼ ¹ Å ØÓ Ó ÆÙÑ Ö Ó Ô Ö ÈÖÓ Ð Ñ Î ÐÓÖ ÓÒØÓÖÒÓ Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÕÙ Ö Ò ÓÖ Ñ Ñ ÓÖ ÕÙ ÙÑ ÔÓ Ñ Ö Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð ÈÎÁµ ÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ ÓÒØÓÖÒÓ ÈÎ µ Ô Ò Ò Ó ÓÖÑ ÓÑÓ ÓÒ ÓÒ Ó Ô º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö Ç y +p(x)y +q(x)y
ÁÒØÖÓ ÙÓ Ó Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ù Ð Ó ÓÒ Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø Í ÊÊÂ ½ Ú Ö ÖÓ ¾¼½¾ Ù Ð Ó ÓÒ Ó ÁÒØÖÓ ÙÓ Ó Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ
Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø Í ÊÊÂ ½ Ú Ö ÖÓ ¾¼½¾ Ç ÙÖ Ó ÕÙ Ö Ò ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ Ó ÐÓÖ Ç ÙÖ Ó ÕÙ Ö Ò ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ Ó ÐÓÖ ÓÖÑÙÐ Ó Ö Ç ÙÖ Ó ÕÙ Ö Ò ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ Ó ÐÓÖ ÓÖÑÙÐ Ó Ö Å ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ç ÙÖ Ó ÕÙ Ö Ò ÕÙ Ó ÈÓ ÓÒ Ó ÐÓÖ
u(0,t) = 0 u(l,t) = 0 u(x,0) = 1
ÙÐ ½¾ ¹ Å ØÓ Ó Ö Ò Ò Ø Ô Ö È³ È Ö Ð Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÓÑÓ Ú ØÓ Ñ ÙÐ ÒØ Ö ÓÖ ÕÙ Ô Ö Ð ÔÓ Ù Ñ ÙÑ Ô Ö Ó ÒØÖ Ó ÓÑ Ò Ó Ò Ù Ò Ó ÓÑ Ò Ó Ô Ò Ò Ó ÔÓÒØÓ º ÔÖ Ò Ô Ð Ø ÓÖ ÕÙ Ô Ö Ð Ó Ö Ð ÓÒ ÓÑ ÕÙ Ó Ó ÐÓÖ t = α 2 u Ë Ò Ó
½ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ò Ò Ö Ú Ð ÓÒ ÖÓÒØ ¹ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ ÓÑ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò¹ Ø Ø Ð ØÖÙØÙÖ Ö Ð Þ ÔÓÖ ÙÑ Ð Ó Ù ÙÒ ÓÒ Ð ¹ ÔÓÖ ÓÙØÖÓº ÆÙÑ Ô Ö Ô Ø Ú ØÙ Ð ÔÓ ¹ Þ Ö ÕÙ Ú Ö Ø
ÓÒØ Ó ½ ÁÒØÖÓ ÙÓ ¾ ¾ ÖÖ Ñ ÒØÓ Ö Ò Ó ÒÓ Ö Ò Ó Ò Ó Ð ÓÖ Ø Ö Ó º½ Ç Ò Ó ÓÖØ Ö ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ò Ó ÓÖØ Ñ Ñ Ø Ö Ð Ö ÒÓ Ó º º º º º º º º º º º½º¾ Ò Ó ÓÖØ Ñ Ñ Ø Ö Ð Ö ÐÓ Ó º
¾ ÓÒØÖ ÔÓÒØÓ Ó Ò ÔÖ Ø Ó º ÎÁÁÁ Ü ÑÔÐÓ ¾ À º ºÌº Ä ÚÖÓ Á Ù ½ ÆÓØ ÕÙ ÒÓ Ò Ó Ó ÕÙ ÒØÓ ÓÑÔ Ó Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ ÓÒ Ö ÔÓ Ø ÓÑ ÕÙ Ó Ù ØÓ ÑÓÚ Ù¹ Ù Ú Ñ ÒØ Ô Ö ÒÓØ ÕÙ
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÑ Ø Ó ÌÖ ÎÓÞ ÆÓ ÓÒØÖ ÔÓÒØÓ Ù ÚÓÞ Ñ Ø Ó Ó Ø Ú Ò ØÙÖ Ð Ø Ø Ö º ÓÑ ØÖ ÚÓÞ Ð ÑÔ ÖØ Ú ÒØ Ò º ÔÖ Ñ Ö ÑÓÒÓØÓÒ Ñ Ð ÖÑÒ ÕÙ ÔÖÓÚ Ú Ð Ö ÙÐØ Ö ÕÙ Ò Ó Ó Ñ ÑÓ Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ÒØ Ó ØÖ Ú Þ ÓÒ ÙØ Ú ÓÑ Ò Ó Ò Ñ Ñ Ð
P m = a 0 +a 1 x+...+a m x m, y i P m (x i ) 2, ½µ. Ha = b, N min a0,...,a n. i=0
Å Ò ÑÓ ÕÙ Ö Ó Ö ØÓ ¹ ÖÓØ ÖÓ ÙÐ Ù Ö Ó º Ó Ø ÍÒ Úº ËÓ È ÙÐÓ Å Ý ¾¼½ ØÖ Ø ÊÓØ ÖÓ ÙÐ Ô Ö ÓÖ Ó Ö Ñ Ò ÑÓ ÕÙ Ö Ó Ö ØÓ ÓÒØ ÒÙÓ Ò¹ ÐÙ Ò Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÓÖØÓ ÓÒ º ÈÖ Ñ Ö ÙÐ ¾ ½ Ç ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ö Ò Ó Ò Ó (x i,y i ) Ô Ö
f : N R u n (u+v) n = u n +v n (u v) n = u n v n. (uv) n = u n v n = (v n 0 n N). n f(n). n v n
ÔÓÒØ Ñ ÒØÓ ÐÙÐÓ ÁÁ Ô Ö Ó ÙÖ Ó ÓÕÙ Ñ Ò Ò Ö Ó Ñ ÒØ Ò Ò Ö ÓÐ À ÖÑ Ò Ð Ó ÓÖ ÇÐ Ú Ö ÂÙÒ Ó ¾¼½ ÓÒØ Ó ½ ËÙ ÆÙÑ Ö ½ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
]0,0.5[ [0.5,1[ [1,2[ [2,5[ [5,10[ [10,20[ [20,50[ [50,100[ [100,200[ [200,+ [
![]0,0.5[ [0.5,1[ [1,2[ [2,5[ [5,10[ [10,20[ [20,50[ [50,100[ [100,200[ [200,+ [](/thumbs/88/114862961.jpg "]0,0.5[ [0.5,1[ [1,2[ [2,5[ [5,10[ [10,20[ [20,50[ [50,100[ [100,200[ [200,+ [")
Å Ø Ñ Ø ÁÁ Ü Ö Ó Ø Ø Ø Ö Ø Ú ÖÒ Ò Î Ð ÒØ Å ÖØ Å ÕÙ Ø ÁÆËÌÁÌÍÌÇ ËÍÈ ÊÁÇÊ ÊÇÆÇÅÁ ¹ ¾¼½»¾¼½ ¹ Á ¹ ËÌ Ì ËÌÁ Ë ÊÁÌÁÎ ½º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ ÓÒ ÙÒØÓ Ó Áµ Ó Ö ØÓ Ñ Ò Ð Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÔ Ö Ñ ÒÙØ ÒÓ ÒÓ Ö Ò ÙÑ Ö Ò Æ Ó ÓÔ Ö ¼
ËÙÑ Ö Ó ½¼ Ç Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ØÓ ÌÖ Ò ½¼ º½Ç ÓÒ ØÓ ÍÖ ÒØ ÒÓ ÌÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÍÒ ÌÖ Ò ÈÐÙÖ Ð º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ Ç Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ØÓ ÌÖ Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼ Ç Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ØÓ ÌÖ Ò ½¼
Leis de Ohm e Kirchhoff
ÌÖ Ð Ó Ä ÓÖ Ø Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ó Ö Ò ÔÓØ Ò Ð ÓÖÖ ÒØ Ð ØÖ Ñ ÖÙ ØÓ Ð ØÖ Ó Leis de Ohm e Kirchhoff Fernando Barão, Filipe Mendes, Manuela Mendes Profs do Departamento de Física do IST última revisão: Março 2017
Adriano Cruz 19 de julho de 2017
ÙÖ Ó Ì ÔÓ Ó Adriano Cruz 19 de julho de 2017 ½ Ê ÙÑÓ Ë Ó Î Ö Ú Ì ÔÓ ÓÒ Ø ÒØ ÓÒÚ Ö Ó ÒØÖ ÈÓÒØÓ ÐÙØÙ ÒØ Ö Ø Ö ÆÓÑ Î Ö Ú ¾ Î Ö Ú Ú Ö Ñ Î Ö Ú Ú Ö Ñ ½º Î Ö Ú ÓÒ Ø ÒØ Ó Ó Ð Ñ ÒØÓ Ó ÕÙ ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Ò ÔÙÐ º ¾º
Å Ò Ñ Þ Ó Î Ò Ñ ÌÓÖÒ Ó ÊÓÙÒ ÊÓ Ò ÓÒ Ö ¹ ÙÑ ØÓÖÒ Ó ÖÓÙÒ ÖÓ Ò ÓÑÔ ØÓ Ó ÕÙ Ð Ô ÖØ Ô Ñ Ò ÕÙ Ô ÓÒ Ò ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö Ñ ÓÖ Ó ÕÙ Ó µ ÓÑ Ñ Ñ Ô Ø Ø Ô Ö ÓÖÑÙÐ Ó Ó
Å Ò Ñ Þ Ó ÎÒ Ñ ÌÓÖÒÓ ÊÓÙÒ ÊÓÒ ÓÒ Ö ¹ ÙÑ ØÓÖÒÓ ÖÓÙÒ ÖÓÒ ÓÑÔ ØÓ Ó ÕÙ Ð Ô ÖØÔ Ñ Ò ÕÙ Ô ÓÒ Ò ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö ÑÓÖ Ó ÕÙ Ó µ ÓÑ Ñ Ñ Ô Ø Ø Ô Ö ÓÖÑÙÐ Ó Ó ÌÌÈ Ò Ë Ó ¾º º ÙÑ Ø Ð ÙÑ ØÓÖÒÓ Ó ÔÖÓ ¹ ÓÖ À È Ó Ò Ð ÓÑ ¹ Û
½ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÐ ÒÓ Ó Æ Ø ÖØ Ó ØÓÙ Ö Ú Ò Ó ÙÑ ÜÔ Ö Ò Ñ ÒÓ ÒÓ Ò ÒÓ ÔÐ Ò Å Ø Ñ Ø Ù Ò Ó Ú Ö Ó Ñ ØÓ Ó Ø ÒÓÐÓ Ò ÓÖÑ Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ó Ó Ò ÒÓ ÔÖ Ò Ðº
Ò Ð Ø ÑÓ ÙÒ ÓÒ Ð ÒÓ Ò ÒÓ Å Ø Ñ Ø ¹ ÍÑ Ñ ØÓ Ó Ô Ö ÓÒØÓÖÒ Ö ÈÖ ÒÓ¹È Ö Ö Ì Ö Ó ËÓ Ö Ð Å Ø Ñ Ø ¾ Ø Ñ ÖÓ ¾¼½ ÔÖ ÔÖ ÒØ ËÓ Ö Ð Å Ø Ñ Ø ÒÓº ¾¼½ º¼¾ ØÓÖ Ì Ö Ó ÈÖ ÒÓ¹È Ö Ö Ø Ö ÓÑ Ñ Öº Ñ ºÓÖ Ê ÙÑÓ ØÓÙ Ö Ú Ò Ó Ò Ø
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ Å Ó Å Ð ÓÖ Å Ó ÅÙÒ Ó ¹ Ñ ÓÑÓ Ó È Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ Å Ó Å Ð ÓÖ Å Ó ÅÙÒ Ó ¹ Ñ ÓÑÓ Ó È Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ ÌÖ Ò Ó È Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ ÌÖ Ò Ó È Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼ ÌÖ Ò Ó È Ö Ó ½¼½ ½¼º½ ÙØÓ ØÖ Ù Ó ÈÖ
ËÙÑ Ö Ó ¼ Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ê Ô Ù Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ½ ¼º½ Ð Ö Ó Ó ÓÒ Ð Ó È ÖÐ Ñ ÒØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼º¾ ÈÖ Ñ ÙÐÓ º º º º
Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ê Ô Ù Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ÔÖÓÚ Ô ÐÓ ÓÒ Ð Ó È ÖÐ Ñ ÒØ Ö ÒÓ Ñ Ó ½ ËÙÑ Ö Ó ¼ Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ê Ô Ù Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ½ ¼º½ Ð Ö Ó Ó ÓÒ Ð Ó È ÖÐ Ñ ÒØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼º¾
September 24-28, 2012 Rio de Janeiro, Brazil
È ÖØ Ó Ð ÕÙ ¹ ÐÓÖ Ø Ó Ö Ó P 4 ¹Ð Ò Ø Ò Ó Ê ÕÙ Ð Ö ÚÓ ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÐÙÑ Ò Ò ¹ Í Æ Ø Ö ¹ ÊÂ Ö ÕÙ Ð ºÙ º Ö ËÙÐ Ñ Ø ÃÐ Ò ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Ê Ó Â Ò ÖÓ ¹ Í ÊÂ Ê Ó Â Ò ÖÓ ¹ Ê ÙÐ Ó ºÙ Ö º Ö ÄÓ Ò ÆÓ Ù Ö ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÐÙÑ
diag(λ 1,...,λ 1 ) diag(λ 2,...,λ 2 ) diag(λ k,...,λ k ) Ú µ p A (x) = (λ 1 x) n 1
Ñ ØÖ Þ ÒÓ¹ ÓÒ Ð Þ Ú ÓÖÑ Ò Ò ÓÖ Ò ÖÒ Ò Ó È Ø Ò Ó Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ì ÒÓÐÓ ÍÒ Ú Ö ÖØ Ä Ó ÈÓÖØÙ Ð Ó Ø Ù ºÔص ¾ Ö Ð ¾¼½¾ Ê ÙÑÓ Ø ÒÓØ ÓÖ Ñ Ð ÓÖ Ô Ö ÔÓ Ó Ð ÓÒ Ó ÓÖÑ Ò Ò ÂÓÖ Ò Ò ÙÒ ÙÖÖ ÙÐ Ö ¾½¼¼ ¹ýÐ Ö Ä Ò Ö ÁÁ Ó
ËÙÑ Ö Ó Ç Ñ Ò Ó Ô Ö ÙÑ Ø ÜÓ Ì ÓÖ ÓÖ ÙÖ ÕÙ ÈÖÓÑÓÚ Ë Ù ½¼½ º½ ÊÙ Ò Å Ð ÓÖ ÅÙ ØÓ Å Ð ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ º¾
Ê ÚÓÐÙ Ó ÒØ ÒÚ Ð Ñ ÒØÓ ¹ Ç Ñ Ò Ó Ô Ö ÙÑ Ø ÜÓ Ì ÓÖ ÓÖ ÙÖ ÕÙ ÈÖÓÑÓÚ Ë Ù ÍÑ ÈÖÓ Ö Ñ Ê Ð Ê ÙÚ Ò Ñ ÒØÓ Ú Ø Ó Ò Ö ÓÚ ÙÐ Ö ÙÑ ÒØ ËÙ Ò Ö ÒÓ Å Ð ÓÖ ËÙ Ô Å ÒØ Ð Ì ÑÓØ Ý Âº ËÑ Ø Åº º ËÙÑ Ö Ó Ç Ñ Ò Ó Ô Ö ÙÑ Ø ÜÓ Ì
r 2 R 2 + z 2 ( u θ u r ) 4π I R dθ db z = d B cos α
ÌÖ Ð Ó Ä ÓÖ Ø Ö Ó Ð ØÖÓÑ Ò Ø ÑÓ ÔØ ÑÔÓ Ñ Ò Ø Ó B ÔÖÓ ÙÞ Ó ÔÓÖ ÙÑ ÒÖÓÐ Ñ ÒØÓ Ô ÖÓÖÖ Ó ÔÓÖ ÙÑ ÓÖÖ ÒØ Ð ØÖ Ä Ö Ý ÖÒ Ò Ó ÖÓ Å ÒÙ Ð Ñ Ò Ð Ô Å Ò ÈÖÓ Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ó ÁËÌ Å Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÁËÌ ½ Ó Ñ» ¾¼¼ ¹½¼µ Ç Ø ÚÓ
v 1 (x, y, z) = (1 z x 2, x y, x(1 z)) v 2 (x, y, z) = ( x y, 1 z y 2, y(1 z)) V c k (Rn ) = {(v 1, v 2,, v k ) R n, Ø Ð ÕÙ v i, v j = δ ij }.
k¹ ÑÔÓ Î ØÓÖ Ó Ö Î Ö Å Ö À ÖÑ Ò È ÙÐ Ä Ø Å ÐÐÓ Ê ÙÑÓ Ç Ò ÙÑ k¹ ÑÔÓ ÓÒØ ÒÙÓ Ú ØÓÖ Ø Ò ÒØ ÓÑ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Ò ÙÐ Ö ÔÖ ÒØ Ó ÓÑÓ Ò Ó ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ ÙÑ ÖÙÔÓ ÓÑÓØÓÔ ÙÑ Ú Ö ËØ Ð ½ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ñ ½¼ ÔÖ ÒØ ÑÓ ÒÓÓ ÙÑ k¹
Matemática Básica. Graciela Moro e Ligia Liani Barz
Matemática Básica Graciela Moro e Ligia Liani Barz ½½ Ú Ö ÖÓ ¾¼½ ÓÒØ Ó ½ Æ Ñ ÖÓ ½ ½º½ ÓÒ ÙÒØÓ ÒÙÑ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ Æ ØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÒÚ ÒÓ ÌÖ È ÖØ ÌÖ Ó ËÓÒ Ø ÔÖ Ò Ô Ö Ò ÒØÖ ÁÒÚ Ò Ù È ÖØ Ù Ë Ò ÓÒ ½ Ø Ñ Ñ ÓÒ ÓÑÓ ÁÒÚ Ò ÌÖ È ÖØ µ Ó Ø ØÓ Ø ÐØ Ñ ÒÐÙ Ñ ÙÑ ÚÓÞ ÓÑÔ Ò ÒØ ÒÓ Ò Ó ÔÖ Ñ
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÒÚ ÒÓ ÌÖ È ÖØ ÌÖ Ó ËÓÒ Ø ÔÖ Ò Ô Ö Ò ÒØÖ ÁÒÚ Ò Ù È ÖØ Ù Ë Ò ÓÒ ½ Ø Ñ Ñ ÓÒ ÓÑÓ ÁÒÚ Ò ÌÖ È ÖØ µ Ó Ø ØÓ Ø ÐØ Ñ ÒÐÙ Ñ ÙÑ ÚÓÞ ÓÑÔ Ò ÒØ ÒÓ Ò Ó ÔÖ Ñ Ö Ñ Ø Ó Ò Ð ÕÙ ÑÔÖ º Ñ Ø Ö Ø Ö Ø ÓÖ Ñ Ú Ø Ñ ÖØ ÁÒÚ
ËÙÑ Ö Ó ¾¼ ÓÑÓ Ò Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ó Ù ¾¼º½ ÈÖ Ô Ö Ó Ó Ñ Ø Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼º¾ Ç Ñ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø º
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ¾¼ ¹ ÓÑÓ Ò Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ó Ù Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº ÔºÓÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ú ¹ Ç Ù Ó À Ö Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ú ¹ Ç Ù Ó À Ö Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ú ¹ Ç Ù Ó À Ö Ù
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÁÒ Ø ØÙ Ó Ó Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÁÒ Ø ØÙ Ó Ó Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÒ Ø ØÙ
Ð Ü ÒÖ Ö ÐÐÓ ÉÙ ÖÓ ÁÑÔ ØÓ Ó ÙÒ Ó Ñ Ó Ò ÙØÖ ÒÓ Ò ÜÔ Ò Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÖØ Ó ÔÖ ÒØ ÓÑÓ Ö ÕÙ ØÓ Ô ÖÐ Ô Ö Ó Ø ÒÓ Ó Ö Ù Å ØÖ Ô ÐÓ ÈÖÓ Ö Ñ È ÖÙ Ó Ñ Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ
Ð Ü ÒÖ Ö ÐÐÓ ÉÙ ÖÓ ÁÑÔ ØÓ Ó ÙÒ Ó Ñ Ó Ò ÙØÖ ÒÓ Ò ÜÔ Ò Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÖØ Ó Å ØÖÓ ÖØ Ó ÔÖ ÒØ ÓÑÓ Ö ÕÙ ØÓ Ô ÖÐ Ô Ö Ó Ø ÒÓ Ó Ö Ù Å ØÖ Ô ÐÓ ÈÖÓ Ö Ñ È ÖÙ Ó Ñ Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÈÍÊ Ó ÇÖÒØÓÖ ÈÖÓ º À ÖÓ ÆÙÒÓÛ Ó ÇÖÒØÓÖ
Ô ØÓ Ö ÇÒ Ü Ö Ó Ê ØØÔ»»Ö ÒºÖ¹ÔÖÓ ØºÓÖ» Ç Ê Þ Ø ÒÓ ÒØÖ Ñ ÙÐ Ñ Ò ÙÐ ÍØ Ð Þ Ó ÔÓÒØÓ ÓÑÓ Ô Ö ÓÖ Ñ ÍØ Ð Þ ÒÓØ Ó ÒØ Ô Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò Ñ ÖÓ ÑÙ ØÓ Ö Ò ÓÙ Ô ÕÙ Ò
ÁÒØÖÓ ÙÓ Ó Ê Ö Ø ÒÓ ÖÚ Ð Ó Ë ÒØÓ ÔÖÓ ÓÖºÔ ÓØ º Ø Ø Ø Ó Ñ ÐºÓÑ ÖÙÔÓ ÓÓ Ð È ÓØ Ø Ø Ø Ó ¾¼½ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö Ö Ð Å Ò Ö Í Å µ Ô ØÓ Ö ÇÒ Ü Ö Ó Ê ØØÔ»»Ö ÒºÖ¹ÔÖÓ ØºÓÖ» Ç Ê Þ Ø ÒÓ ÒØÖ Ñ ÙÐ Ñ Ò ÙÐ ÍØ Ð Þ
metros
½ ½ ýä ÍÄÇ Ç Á ÆÇ Ê ËÁÄ ÓÖ Ñ Ö Ó ÑÓ ÐÓ ÓÒ ÙÐ Ó Ó Ð ÙØ Ð Þ Ò Ó Ø Ò Ö ÑÓÚ Ö¹ ÐÙÐ Ö¹ Ö ÔÓÖ Ë Ó º µ Ñ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ ÑÓ Ó Ø Ö ØÓÒ Ú Ò ÇÐÐ Ú Ö ½ µ ÒÓ Ó Ó ÐÙÐÓ ÔÓÖ Ì Ë Ó º º¾µ Î Ò ÃÐ Ù Ö ½ µ ÒÓ Ó Ó ÐÙÐÓ ÔÓÖ Ñ Ó
Adriano Joaquim de Oliveira Cruz 19 de julho de 2017
ÙÖ Ó ÁÒØÖÓ ÙÓ Adriano Joaquim de Oliveira Cruz 19 de julho de 2017 ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Ê Ó Â Ò ÖÓ ½ Ê ÙÑÓ Ë Ó ½ ÁÒØÖÓ ÙÓ ¾ ÈÖ Ñ ÖÓ È Ó Ê Ô Ø Ì Ø Ó Î ØÓÖ ¾ ÙÒØÓ ½ ¾ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ð ÓÖ ØÑÓ Ì ÔÓ ÓÒ Ø ÒØ Î Ö Ú ½¼ ½½ ÒØÖ
ÁÒØÖÓ Ùô è Ó Á ÒØ Ö Ñ ØÖ Ò Ñ Ø Ó Ó Ò Ú Ñ Ö Ö Ó ÔÓÖ Ð ÙÑ ÓÒØ Á È Ö ÌÎ Ø Ð Ò ð Ù Ó Úð Ó Ó Á Ç Ó ÓÖ ÓÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ò Ð Ò ÐÓ Ó ÔØ Ó Ñ Ö µ Ñ Ò Ð Ø Ð ÑÓ Ó Õ
ÌÎ Ø Ð ÁÒØ Ö Ø Ú Ôð ØÙÐÓ ¾ Ó ô è Ó ÓÒØ ÈÖÓ º Ð Ô À ÒÖ ÕÙ Å Ê æ Ä ÓÖ Ø ðóö Ó ÅÙÐØ Ñð Ò Ñ ô è Ó Ê ÓÑÙÒ ô èó ̻ʠæ ÍÒ È ØÖ ðóôóð ÁÒØÖÓ Ùô è Ó Á ÒØ Ö Ñ ØÖ Ò Ñ Ø Ó Ó Ò Ú Ñ Ö Ö Ó ÔÓÖ Ð ÙÑ ÓÒØ Á È Ö ÌÎ Ø Ð Ò
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ ÒÓ ÓÖ Ð Ó ÄÙØ ÖÓ Ó ÓÖ Ð ½ Ø Ñ Ó ÔÖ Ò Ô Ð Ñ Ö ÈÖÓØ Ø ÒØ º Ñ ÐÓ ÓÖ Ö Ñ Ñ ÑÙ ØÓ Ó Ò ÓÐÐ Ö ÙÐ Ö ÔØ Ô Ö Ó Ù Ó Ò Ö Ô Ð Ó Ô Ð ÚÖ Ö Ò Ó Ø Ö Õ ÒØ
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ ÒÓ ÓÖ Ð Ó ÄÙØ ÖÓ Ó ÓÖ Ð ½ Ø Ñ Ó ÔÖ Ò Ô Ð Ñ Ö ÈÖÓØ Ø ÒØ º Ñ ÐÓ ÓÖ Ö Ñ Ñ ÑÙ ØÓ Ó Ò ÓÐÐ Ö ÙÐ Ö ÔØ Ô Ö Ó Ù Ó Ò Ö Ô Ð Ó Ô Ð ÚÖ Ö Ò Ó Ø Ö Õ ÒØ Ñ ÒØ ØÖ Ò Ð Ô Ö Ó Ð ÑÓ Ø ÜØÓ Ð Ø ÒÓ Ù Ó ÒÓ ÖÚ Ó Ø Ð
¾¾½ ÔÖ ÒØ Ó Ó ËÓ ØÛ Ö Ù ÓÒ Ð Î Ø¾½ Å Ò ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ù Ø ÓÒ Ð ËÓ ØÛ Ö Î Ø¾½ Å Ò µ Ï ÐØÓÒ Èº Ë ÐÚ Ð Åº º Ⱥ ˺ Ë ÐÚ Ð ØÓÒ º Ⱥ ˺ Ë ÐÚ ÁÚÓÑ Ö Ö ØÓ ËÓ Ö Ó Ó º Ⱥ ˺ Ë ÐÚ Û ÐØÓÒÔ ÙÓкÓѺ Ö» Ì»Í È ½¼ ¹ ¼
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¾ ¹ Ç ÙÒ Ñ ÒØÓ Ê Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¾ ¹ Ç ÙÒ Ñ ÒØÓ Ê Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½¼¾ Ç ÙÒ Ñ
ËÙÑ Ö Ó ½ ÈÖ Ò Ô Ó È ÓÐ Ó Ó Ô Ö Ù Ö Ë ÈÖ ÓÔÖ Ó Ó ÇÙØÖÓ Ñ Ê ÓÖÖ Ö Å Ñ ÒØÓ È ÕÙ ØÖ Ó ½ ½ º½ ÈÖ Ò Ô Ó Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÖÓ È ÕÙ ØÖ ÔÓ Ö Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½ ¹ ÈÖ Ò Ô Ó È ÓÐ Ó Ó Ô Ö Ù Ö Ë ÈÖ ÓÔÖ Ó Ó ÇÙØÖÓ Ñ Ê ÓÖÖ Ö Å Ñ ÒØÓ È ÕÙ ØÖ Ó ÓÑÓ ÈÓÖ ÉÙ È Ö Ö ÌÓÑ Ö Å Ñ ÒØÓ È ÕÙ ØÖ Ó Ó Ö Ú Ø ØÙ Ð Þ ¾¼¼ È Ø Ö Êº Ö Ò Åº º Ú Ó Ò È º º Î Ø Ð ÚÖÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½¾ ¹ ËÓ Ö Ú Ú Ò È Ó Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½¾ ¹ ËÓ Ö Ú Ú Ò È Ó Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½½¾ ËÓ Ö Ú
dy dt = f(y,x,t) y(t 0) = y 0 dx dt = g(y,x,t) x(t 0) = x 0
ÙÐ ¼ ¹ ÊÙÒ ¹ÃÙØØ ÔØ Ø ÚÓ Å ØÓ Ó È Ó ¹Å ÐØ ÔÐÓ Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ½ Å ØÓ Ó ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ô Ö Ë Ø Ñ Ç Ñ ØÓ Ó ÊÙÒ ¹ÃÙØØ ÔÓ Ö ÙØ Ð Þ Ó Ô Ö Ö ÓÐÙÓ Ø Ñ Ç³ º ÓÒ Ö ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÙÑ Ø Ñ ÓÑ Ù ÕÙ dy dt = f(y,x,t y(t 0 = y 0 dx
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ Î Ö ÓÒØÖ ÔÓÒØ Ø ÌÁÈÇË Î ÊÁ Ë ÇÅ ÆÌÍË ÁÊÅÍË Ç ÊÇÍÆ È ËË ÄÁ À ÇÆÆ ÍÑ Ø ÔÓ ÓÖÑ Ú Ö Ó ÕÙ Ð ÒÙÑ Ñ ÐÓ ÓÖ Ð Ó Ö Ø º Ä Ñ ÐÓ ÒØ Ö ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÖÚ ÓÑ
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ Î Ö ÓÒØÖ ÔÓÒØ Ø ÌÁÈÇË Î ÊÁ Ë ÇÅ ÆÌÍË ÁÊÅÍË Ç ÊÇÍÆ È ËË ÄÁ À ÇÆÆ ÍÑ Ø ÔÓ ÓÖÑ Ú Ö Ó ÕÙ Ð ÒÙÑ Ñ ÐÓ ÓÖ Ð Ó Ö Ø º Ä Ñ ÐÓ ÒØ Ö ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÖÚ ÓÑÓ Ô Ö Ú Ö º Ç Ø ÔÓ Ú Ö ÓÑ ÒØÙ ÖÑÙ ÔÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Þ Ñ
ËÙÑ Ö Ó ½½ ÓÑÓ ÈÖ Ú Ò Ö ÙÖ Ö Ó Ò Ö Ê Ö Æ Ó ¹ Ç Ø Ö Î Ø Ñ Ò Å Ò Ö ÐØ ÉÙ Ð ¹ ½½º½ ÆÙØÖ ÒØ ÒÓ Ð Ñ ÒØÓ ÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ò ÈÖ Ú Ò Ó ÙÖ Æ ØÙÖ Ð Ó Ò Ö ½½ ¹ ÓÑÓ ÈÖ Ú Ò Ö ÙÖ Ö Ó Ò Ö Ê Ö Æ Ó ¹ Ç Ø Ö Î Ø Ñ Ò Å Ò Ö ÐØ ÉÙ Ð Ù ÒØ Ó ÙÖ Æ ØÙÖ Ð ÍÖ ÙÐ Ö ² Ù Ò ½ Ó ¹ ÆÓÚ Ñ ÖÓ ¾¼½¼ ËÙÑ Ö Ó ½½ ÓÑÓ ÈÖ Ú Ò Ö ÙÖ Ö Ó Ò Ö Ê Ö Æ Ó ¹ Ç Ø Ö Î Ø
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÀÓ Ø Å Ò ÖÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÀÓ Ø Å Ò ÖÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ¾ ÀÓ Ø Å Ò ÖÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ Ì Ö Ö ÑÔ Ò ÈÖ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ Ì Ö Ö ÑÔ Ò ÈÖ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ ¼ Ì Ö Ö ÑÔ
ÒØ Ò Ó ÂÓ ÕÙ Ñ Ò Ö Ø Ú ÍÑ Å ØÓ ÓÐÓ È ÖØ Ó Ô Ö Ó Ó¹ÔÖÓ ØÓ Ë Ø Ñ Ø Ñ Ó Ì Ù Ñ Ø ÓÐ Ò Ò Ö ÍÒ Ú Ö Ó Å Ò Ó Ô Ö Ó Ø ÒÓ Ó Ö Ù ÓÙØÓÖ Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ýö Ô Ð Þ Ó Ñ Ò Ò Ö ÓÑÔÙØ ÓÖ µ ÍÒ Ú Ö Ó Å Ò Ó ÓÐ Ò Ò Ö Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÁÒ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÚÓÐÙ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÚÓÐÙ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÁ Ç ÍÒ Ú
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç ÓÖÔÓ Ò Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç ÓÖÔÓ Ò Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ Ç ÓÖÔÓ Ò Ð ¾ ½º½ Ç Æ Ø ÚÓ À ÚÓÒ º º º º
ËÙÑ Ö Ó Ò ÜÓ º½ ÁÒÚ ÒØ Ö Ó ÔÓ Ø ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ä Ø Ñ Ó ÔÓ Ø ÚÓ Ô Ó Ó º º º º º º º º º º
ÓÐ ÈÓÒØ ÍÑ ÓÐ Ô Ù Ð Ñ Ø ¹ Ò ÜÓ ÂÓ È Ó Å Ö Ø Ñ È Ó ÓÖ Ò Þ ÓÖ µ Ê ¹ Ø Ó Ó ÇÖ Ò Ð ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ù ÓÒ Ð» Óл ÓÐ ÔÓÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÓ ÓÐ Ö ºÔ º ËÙÑ Ö Ó Ò ÜÓ º½ ÁÒÚ ÒØ Ö Ó ÔÓ Ø ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ø ÈÖÓ Ó ØÓ Ø Ó ÖÐÓ Ð ÖØÓ ÒÓ ÙØ ¾ ÙÐ Ó ¾¼¼
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ø ÈÖÓ Ó ØÓ Ø Ó ÖÐÓ Ð ÖØÓ ÒÓ ÙØ ¾ ÙÐ Ó ¾¼¼ Ö Ñ ÒØÓ Ó ÈÖÓ º Öº Ý Ò ÓÒ Ð Ù Ñ Ö Ô Ð Ö Ø Ö Ó Ö Ú Ó Ó Ø ÜØÓº ËÙÑ Ö Ó Ä Ø ÙÖ Ú ½ ÈÖÓ Ð ½ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙÓº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ê Ð Ó Ù ÓÑ Ó ÁÒ Ú ÙÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ê Ð Ó Ù ÓÑ Ó ÁÒ Ú ÙÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ê Ð Ó Ù ÓÑ
v(x) = v(a)+ x v(x) = v (t) Ø
Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø Í ÊÊÂ Ú Ö ÖÓ ¾¼½¾ ÍÑ ÈÓÙÓ Ò Ð ÙÒ ÓÒ Ð Ù Ð ÈÓ Ò Ö ¹ Ö Ö ÓÒØ Ó Ñ ÙÑ Ù Ó n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ó sº ÒØÓ v 0 s v 1 ; v H0(). 1 ËÇ = (a,b)º s = b aº C0 (a,b) Ò Ó Ñ H1 0 (a,b) Ë v C0 (a,b)º ÒØÓ v(a)
ËÙÑ Ö Ó ½ ÓÑÓ Ò Ò Ö Ë Ù Ä Ö ½½ ½ º½ ÈÖ Ô Ö Ó Ó Ñ Ø Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½ º¾ Ç Ñ Ò Ó Ô Ö Ð ØÙÖ
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ ÓÑÓ Ò Ò Ö Ë Ù Ä Ö Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº ÔºÓÖ º ËÙÑ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ Å Ó Ó Å Ò Ø Ö Ó Ó Ù Ø ÓÖ Ó È Ò Ñ ÒØÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ Å Ó Ó Å Ò Ø Ö Ó Ó Ù Ø ÓÖ Ó È Ò Ñ ÒØÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼ Å Ó Ó Å Ò Ø
Ä Ø ÙÖ ½ ØÙ Ó Ë ½ Ö ÙÐØ ÒØ Ü Ù Ó Ó Å ÓÚ µ Ò ØÙ Ó Ë ¼ º º º º º º º º ¾ Ü ÓÑ Ø Þ Ó Ó ÐÙÐÓ Ú ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ê Ó Ò Ó ÙØ ÚÓ Ù Ò Ó ÐÙÐÓ Ú ÒØÓ Ù ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÑ Ë Ø Ñ ÈÐ Ò Ñ ÒØÓ Ë ÐÚ Ó Ó Ä Ó È Ö Ö ÈÖÓ ØÓ ÖØ Ó Å ØÖ Ó ÔÖ ÒØ Ó Ó ÁÒ Ø ØÙØÓ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö Ë Ó È ÙÐÓ ÓÑÓ Ê ÕÙ ØÓ È Ö Ð Ô Ö ÉÙ Ð Ó ÒÓ Å ØÖ Ó Ñ Ò ÓÑÔÙØ
Å ÆÍ Ä ÅÁ ÊÇ Ç ÇÆÇÅÁ Å ÇÆËÌÊÍ Ç ÍÊËÇ ÅÁ ÊÇ ÇÆÇÅÁ Á ÁÍÊÆǹ½ Ë Å ËÌÊ ¹¾¼½ ÂÓ Êº ƺ ÔÔ Ò¹ÈÖÓ º Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÓÒÓÑ ¹ ¹ÍËÈ ¼¾»¼»¾¼½
Å ÆÍ Ä ÅÁ ÊÇ Ç ÇÆÇÅÁ Å ÇÆËÌÊÍ Ç ÍÊËÇ ÅÁ ÊÇ ÇÆÇÅÁ Á ÁÍÊÆǹ½ Ë Å ËÌÊ ¹¾¼½ ÂÓ Êº ƺ ÔÔ Ò¹ÈÖÓ º Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÓÒÓÑ ¹ ¹ÍËÈ ¼¾»¼»¾¼½ ÓÒØ ÒØ ½ ¾ ÅÁ ÊÇ ÇÆÇÅÁ ÅÇ ÄÇ Ë ÇÄÀ Ê ÁÇÆ Ä ÆÌ Ë Ê ÁÇÆ ÁË ÁÆ ÁÎ ÍÇ ÅÈÊ Ë ¹ Å
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Ô Ö ØÓ Å Ø ÖÒÓ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Ô Ö ØÓ Å Ø ÖÒÓ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ç Ô Ö ØÓ Å Ø ÖÒÓ Ó ÍÒ
¾½ Ë ÑÙÐ Ó ÜÔ Ö Ò ÓÑÓ ÖÖ Ñ ÒØ ÑÓÒ ØÖ Ó Î ÖØÙ Ð Ñ ÙÐ Ì ÓÖ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ú ÖØÙ Ð ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ØÓÓÐ Ò Ô Ý Ð ØÙÖ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Á ÙÐ Ò Ò Ö ÁÒ Ù ØÖ Ð ÙÒ Ó Ò ÔÐ Úº ÀÙÑ ÖØÓ º º Ö ÒÓ ¾ ¼ ¼¹ ¼½ ˺ º ÑÔÓ ËºÈº
ËÙÑ Ö Ó ¾ Ç Ô Ö ØÓ Å Ò ØÖ ÓÖ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð ¾ ½ ¾ º½ Ç Ô Ö ØÓ Å Ò ØÖ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ ¾ º¾ Ç
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ Ç Ô Ö ØÓ Å Ò ØÖ ÓÖ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ
ÙÖ Ó ½ ¾
ÙÖ Ó ÙÖ Ó Í ÊÈ Í È Ò ÖÓ ¾¼¼ ÙÖ Ó ½ ¾ ÙÖ Ó ËÙÔÓÒ ÕÙ Ó Ú ØÓÖ θ Ô ÖÑ ØÖÓ Ñ Ò Ó Ô Ô ÖØ ÓÒ Ó Ó θ = (ψ Ì,λ Ì ) Ì Ñ ÕÙ Ñ(ψ) = Õ Ñ(λ) = Ô Õº ÓÒ Ö ¹ Ó Ø Ø À : ψ = ψ (¼) Ú Ö Ù : ψ ψ (¼), Ñ ÕÙ ψ Ó Ú ØÓÖ Ô ÖÑ ØÖÓ
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Ê Ó Ö Ò Ó ËÙÐ ÁÒ Ø ØÙØÓ Ö Ø ÉÙ Ö Ð ÓÒ Ù Ó ÒÑ ÀÓÐÓÑ Ö Ñ ÈÓÒØÓ Ö Ø Ó ÒØÒ Ó Ò Ð Ö Ì Ö Ð Þ Ó ÓÖ ÒØ Ó Ó ÈÖÓ º Öº Â ÓÒ Ð Ö Ó ÖÐ ÓÒ ÐÐ ÔÖ ÒØ Ó Á
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Ê Ó Ö Ò Ó ËÙÐ ÁÒ Ø ØÙØÓ Ö Ø ÉÙ Ö Ð ÓÒ Ù Ó ÒÑ ÀÓÐÓÑ Ö Ñ ÈÓÒØÓ Ö Ø Ó ÒØÒ Ó Ò Ð Ö Ì Ö Ð Þ Ó ÓÖ ÒØ Ó Ó ÈÖÓ º Öº Â ÓÒ Ð Ö Ó ÖÐ ÓÒ ÐÐ ÔÖ ÒØ Ó ÁÒ Ø ØÙØÓ Í Ê Ë Ñ ÔÖ Ò Ñ ÒØÓ Ô Ö Ð Ó Ö ÕÙ ØÓ Ô Ö Ó Ø
ËÙÑ Ö Ó Á Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó ½ ½ Ç È ÍÒ Ú Ö Ð ¾½ ½º½ Ç ÆÓÑ Ó È º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç È ÍÒ Ú Ö Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Á Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó ½ ½ Ç
ÕÙ Ô ÕÙ ÒÓ ÔÓÑ Ð Ò Ö Ø Ó Ø ÚÓ Ù ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÒÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ò ÐØ Ñ ÕÙ ØÖÓ ÔÓ Ô Ö Ñ ÒØ Ö Ñ Ò ÓÑÔ Ø Ó ÒÓ ÒÓ Ù ÒØ º ÑÔÖ Ò ÓÖ Ú Ö Ø Ø Ø Ô Ö ÙÖ Ó ØÓÖ
Ç ÈÖÓ Ð Ñ Ð Ó ÙØÅ Ü Ç ÑÔ ÓÒ ØÓ Ö ÐÖÓ Ó ØÓÖÒÓ ÙØÓÐ Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ ÒÓ Ö Ð ÔÓ Ú ÐÑ ÒØ Ó ÑÓÖ ÒÓ ÑÙÒ Ó Ñ Ø ÖÑÓ Ó Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ô Ô ÖØÔ ÑØ º ÓÑÔ Ò Ó ÔÓÖ Ñ Ð Ô Ó ÕÙ Ø Ñ Ó Ó Ó ÒÓ Ø Ó ÓÑÔ ÒÑ ØÖ Ò Ñ Ö Ó Ø Ð Ú Ó ÔÖÓÙÖ Ñ
N = {1,2,3,...}. x+2 = 1 Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}, 2x+1 = 4
ÔÓÒØ Ñ ÒØÓ ÐÙÐÓ Á Ô Ö Ó ÙÖ Ó Ò Ò Ö Ó Ñ ÒØ Ò Ò Ö ÓÐ À ÖÑ Ò Ð Ó ÓÖ ÇÐ Ú Ö Þ Ñ ÖÓ ¾¼½¾ ÓÒØ Ó ½ ÁÒØÖÓ ÙÓ ½ ½º½ ÓÖÔÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò Ö Ð Ó Ö
P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A 1 A 2 ). ËÓÐÙÓ P(A 1 ) = P(A 2 ) = 1/4 P(A 1 A 2 ) = 1/12 P(A 1 A 2 ) = 5/12º
¾ a Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒØÖÓÔ Ø ÓÖ Ò ÓÖÑ Ó Ü Ö Ó ½º ÓÑ Ð ØÖ a b c d e f ÕÙ ÒØ Ô Ð ÚÖ Ð ØÖ ÔÓ ÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ö ËÙÔ ÕÙ µ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ð ØÖ ÔÓ Ö Ö Ô Ø Ó Ò Ñ ÖÓ Ú Þ ÕÙ ÕÙ Ö µ Ò Ò ÙÑ Ð ØÖ ÔÓ Ö Ö Ô Ø º ËÓÐÙÓ µ ½¾ µ ¼º
Å Ø Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑÓ Ó Ö È ÙÐÓ Ù Ö Ó Þ Ú Ó Ë ÐÚ Ö ÁËË ÊÌ Ç ÈÊ Ë ÆÌ Ç ÁÆËÌÁÌÍÌÇ Å Ì ÅýÌÁ ËÌ Ì ËÌÁ ÍÆÁÎ ÊËÁ ËÇ È ÍÄÇ È Ê Ç Ì Æ Ç Ç Ì ÌÍÄÇ Å ËÌÊ Å Á Æ Á Ë ýö ÓÒ ÒØÖ Ó Ò ÓÑÔÙØ Ó ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÂÓ Ó Ð Ó È Ò
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ö ØÙÖ ÁÒØ ÖÑ Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ö ØÙÖ ÁÒØ ÖÑ Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ö ØÙÖ ÁÒØ ÖÑ Ö ¾
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ÓÚ ÖÒÓ Ë Ö Ó ÈÐ Ò Ø Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ Ò
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ÓÚ ÖÒÓ Ë Ö Ó ÈÐ Ò Ø Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½½
dq = α z dz, 1 4πε 0 φ(ρ,θ,0) = = 2α φ(ρ,θ,0) = α ( ) 2πε 2 +L 2 ρ, φ(ρ,θ,0) = 2πε 0 ρ 2 +L 2 E(ρ,θ,0) = φ(ρ,θ,0) = ρ φ(ρ,θ,0) ˆρ 2πε 0 ρ 2 +L 1 ˆρ
ÁÁÁ ¹ ÒÓØÙÖÒÓµ ¹ ¾½½ Ü Ñ Ê ÙÔ Ö Ó ¼»¼¾»½ ÊÁÌÇ ½º ÈÓÖ Ñ ØÖ Ô Ö z Ø ÒØÓ Ó ÔÓØ Ò Ð φ ÕÙ ÒØÓ Ó ÑÔÓ E ÔÓ Ñ Ô Ò Ö ρ E Ø Ñ Ø Ö Ò Ö Ó ˆρº µ ÐÙÐ Ò Ó Ó ÔÓØ Ò Ð ÔÓÖ ÒØ Ö Ó ØÖ Ú Ð ÓÙÐÓÑ Ø ÑÓ Ô Ö Ó Ð Ñ ÒØÓ Ö dq α z
Å Ø Ö Ð Ø Ó Ô Ö ÍÒ Ä ÓÖ Ø Ö Ó Ò º Å Ò ¾ ÓÖ Í Ò Ñ ÊÙ Ó ÒÓ Ö Ñ ÒØÓ ÈÖÓ º ÒÒ ÖÐ Ö Ù Ó ÆÓÚ Ñ ÖÓ ¾ ¾¼½
Å Ø Ö Ð Ø Ó Ô Ö ÍÒ Ä ÓÖ Ø Ö Ó Ò º Å Ò ¾ ÓÖ Í Ò Ñ ÊÙ Ó ÒÓ Ö Ñ ÒØÓ ÈÖÓ º ÒÒ ÖÐ Ö Ù Ó ÆÓÚ Ñ ÖÓ ¾ ¾¼½ Ò ½ Ö Ú Ö ÙÑÓ ÙÐ Ø ÓÖ ÔÖ Ø ¾ ½º½ Ç Ø ÚÓ ÜÔ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾
ÁÒØÖÓ ÙÓ Ø Ø Ó ÐÙ Ó ÒÑ Ó ÐÙ Ó ÓÖÑÙÐ Ó ÒØ Ö Ð Ó Ñ ÒØÓ Î Ó Ó Ñ ÙØÓ ÒÑ ÒÓ ÌÖ Ò ÔÓÖØ Á Æ ½¼½½ ÄÙ ÖÒ Ò Ó Ù Ö Ë ÐÚ ¹Ñ Ð ÐÙ Ö ÔºÔÙ¹Ö Óº Ö Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö Å
ÒÑ ÒÓ ÌÖ Ò ÔÓÖØ Á ¹Ñ Ð ÐÙ Ö ÔºÔÙ¹Ö Óº Ö Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö Å Ò ÈÓÒØ ÍÒ Ú Ö Ø Ð Ó Ê Ó Â Ò ÖÓ Å ÖÓ ¾¼½ ÔÐ ÒÑ ÒÓ ØÖ Ò ÔÓÖØ ËÙÑ Ö Ó ½ ÔÐ ÒÑ ÒÓ ØÖ Ò ÔÓÖØ ¾ ÕÙ Ø Ø Ó Ù Ó Å ÒÓÑ ØÖ ÓÖ Ñ ÙÔ Ö Ù Ñ Ö ÔÐ Ò ÑÔÙÜÓ ÓÖÑ
ËÙÑ Ö Ó Ç ÈÓ Ö ÓÖ ÙÖ Ç Ó Ö ÜÓ Ò ½ º½ Ð ÁÑÔÖÓÚ Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÉÙ Ò Ó ÐØ ÓÖ ÙÖ º º º º
Ê ÚÓÐÙ Ó ÒØ ÒÚ Ð Ñ ÒØÓ ¹ Ç ÈÓ Ö ÓÖ ÙÖ Ç Ó Ö ÜÓ Ò ÍÑ ÈÖÓ Ö Ñ Ê Ð Ê ÙÚ Ò Ñ ÒØÓ Ú Ø Ó Ò Ö ÓÚ ÙÐ Ö ÙÑ ÒØ ËÙ Ò Ö ÒÓ Å Ð ÓÖ ËÙ Ô Å ÒØ Ð Ì ÑÓØ Ý Âº ËÑ Ø Åº º ËÙÑ Ö Ó Ç ÈÓ Ö ÓÖ ÙÖ Ç Ó Ö ÜÓ Ò ½ º½ Ð ÁÑÔÖÓÚ Ú º
ËÙÑ Ö Ó ½ Ø Ö Ò Ù Ð Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ø Ú ¾ ½º½ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÒØÖ Ú Ø º º º
Ð Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ø Ú Ó Ê Ø ÖÓ Ê ÙÔ Ö Ó Ë Ù Ó Ö ÒØÖ Ú Ø Ð Ò Ð ÚÖÓ Î Ø Ö Ò Ï ÐÞ Ö Ë Ø Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ÛÛÛºÖ Ø ÖÓ Ù ºÓѺ Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ø Ö Ò Ù Ð Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ø Ú ¾ ½º½ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÓÐ ÈÓÒØ ÍÑ ÓÐ Ô Ù Ð Ñ Ø ¾ ¹ ÒØÖ Ú Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ð Ö ÂÓ È Ó Å Ö Ø Ñ È Ó ÓÖ Ò Þ ÓÖ µ Ê ¹ Ø Ó Ó ÇÖ Ò Ð ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ù ÓÒ Ð» Óл ÓÐ ÔÓÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÓ ÓÐ
ÓÐ ÈÓÒØ ÍÑ ÓÐ Ô Ù Ð Ñ Ø ¾ ¹ ÒØÖ Ú Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ð Ö ÂÓ È Ó Å Ö Ø Ñ È Ó ÓÖ Ò Þ ÓÖ µ Ê ¹ Ø Ó Ó ÇÖ Ò Ð ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ù ÓÒ Ð» Óл ÓÐ ÔÓÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÓ ÓÐ Ö ºÔ º ËÙÑ Ö Ó ¾ ÒØÖ Ú Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ð Ö ¾º½ Î Ú Ò Ò
ýä ÍÄÇ Ä Å Ä Ò Ù Ñ Ô Ö Ö Ú Ö Ú Ð Ö ÙÒ º ÈÓÖ ÕÙ ØÙ Ö ÙÒ Ñ Ò ÓÑÔÙØ Ó ÍÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÔÓ Ö Ú ØÓ ÓÑÓ ÙÑ ÙÒÓ Ú ÐÓÖ ÒØÖ Ñ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ú ÐÑ ÒØ ÑÓ Ò Ó ÙÑ Ñ Ñ Ö µº ÌÓ
ýä ÍÄÇ Ä Å Ä Ò Ù Ñ Ô Ö Ö Ú Ö Ú Ð Ö ÙÒ º ÈÓÖ ÕÙ ØÙ Ö ÙÒ Ñ Ò ÓÑÔÙØ Ó ÍÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÔÓ Ö Ú ØÓ ÓÑÓ ÙÑ ÙÒÓ Ú ÐÓÖ ÒØÖ Ñ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ú ÐÑ ÒØ ÑÓ Ò Ó ÙÑ Ñ Ñ Ö µº ÌÓ Ü Ø Ñ ÒØ µ ÙÒ ÓÑÔÙØ Ú ÔÓ Ñ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ñ ÐÙÐÓ Ð Ñ º ÓÑÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ Ç ÙÖ Ó Ô Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ Ó
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ Ç ÙÖ Ó Ô Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ ¼ Ç ÙÖ Ó Ô ½ ½ ¼º½Ç
ËÙÑ Ö Ó È Ö ÓÒ Ð Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð º½ Ç Ù ÒØ Ó ÍÒ Ú Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ç Ö Ð ÒØ ØÖ Ð Î Ô ÖØ ÒÓ º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ È Ö ÓÒ Ð Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó È Ö ÓÒ Ð Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð º½ Ç
f(t) e st f (t)dt L{f (t)} = u = e st u = se st v = f(t) v = f (t) e st f (t)dt = e st se st f(t)dt = e st L{f (t)} = sf(s) f(0)
ÙÐ ½ ¹ Ê ÓÐÙÓ Ç³ ÓÑ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÍÑ ÔÖ Ò Ô ÙØ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ö ÓÐÙÓ ÈÖÓ Ð ¹ Ñ Î ÐÓÖ ÁÒ Ðº ÓÑÓ Ö Ú ØÓ Ù Ö ÔÐ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ñ ÙÑ ÕÙ Ó Ö Ò Ð Ö ÙÐØ Ñ ÙÑ ÕÙ Ó Ð Ö ÒÓ ÓÑ Ò Ó Ä ÔÐ ÕÙ ÔÓ Ö ÐÑ ÒØ Ö ÓÐÚ
ÆÓ ÑÓÒÓØÓÒ Ó Ô ÖÑ ØÖÓ Ö Ø Ó ÒÓ ÑÓ ÐÓ Ó ÔÓ Ð Ü Ò Ö Ê ÖÓ Ä ÒÖ Ò ÁËË ÊÌ Ç ÈÊ Ë ÆÌ Ç ÁÆËÌÁÌÍÌÇ Å Ì ÅýÌÁ ËÌ Ì ËÌÁ ÍÆÁÎ ÊËÁ ËÇ È ÍÄÇ È Ê Ç Ì Æ Ç Ç Ê Í Å ËÌÊ
ÆÓ ÑÓÒÓØÓÒ Ó Ô ÖÑ ØÖÓ Ö Ø Ó ÒÓ ÑÓ ÐÓ Ó ÔÓ Ð Ü Ò Ö Ê ÖÓ Ä ÒÖ Ò ÁËË ÊÌ Ç ÈÊ Ë ÆÌ Ç ÁÆËÌÁÌÍÌÇ Å Ì ÅýÌÁ ËÌ Ì ËÌÁ ÍÆÁÎ ÊËÁ ËÇ È ÍÄÇ È Ê Ç Ì Æ Ç Ç Ê Í Å ËÌÊ Å ËÌ Ì ËÌÁ ýö ÓÒ ÒØÖ Ó ÈÖÓ Ð ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº Ó ÈÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ËÙÔÖ ÑÓ Ó ÍÐØ ÑÓ ¹ Ó Ì ÑÔÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ËÙÔÖ ÑÓ Ó ÍÐØ ÑÓ ¹ Ó Ì ÑÔÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ
ËÙÑ Ö Ó ½ Ê ÓÙÒ Ö ¹ Ü Ö Ó Ù Ú ½ ¾ Æ Ë ØÖÓÒ ÙØ Ö ÓÙÒ Ö ¾ ËÓ Ö Ó Ò Ö Ó Ö ÓÙÒ Ö ¾ ÓÑÓ Ó ÙÒ ÓÒ ÓÑÓ ÑÓÚ Ö ÒÓ Ö ÓÙÒ Ö º½ Ç ÐØÓ Ù º º º º º º º º º º º º º º
Ü Ö Ó Ñ Ø Ö Ð Ø Ù Ö Ó ÈÓ Ö ÙÖ Ó Ê ÓÙÒ Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ê ÓÙÒ Ö ¹ Ü Ö Ó Ù Ú ½ ¾ Æ Ë ØÖÓÒ ÙØ Ö ÓÙÒ Ö ¾ ËÓ Ö Ó Ò Ö Ó Ö ÓÙÒ Ö ¾ ÓÑÓ Ó ÙÒ ÓÒ ÓÑÓ ÑÓÚ Ö ÒÓ Ö ÓÙÒ Ö º½ Ç ÐØÓ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÇÖ Ñ ÍÖ ÒØ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÇÖ Ñ ÍÖ ÒØ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÁÁ À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ ¾ ÇÖ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ë Ø ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ë Ø ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ Ç Ë Ø ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó ½ º½ Ç Æ Ú
Filtragem Esto ásti a para Sistemas Híbridos e suas. Apli ações em Robóti a Aérea. Pedro Henrique de Rodrigues Quemel e Assis Santana
Filtragem Esto ásti a para Sistemas Híbridos e suas Apli ações em Robóti a Aérea Pedro Henrique de Rodrigues Quemel e Assis Santana phrqas ieee.org Laboratório de Automação e Robóti a (LARA), Universidade
ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÁÒ Ø ØÙØÓ Ò Ü Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑÓ ØÓÖ Ó ÉÊ Ô Ö Ö Ó Ò Ñ ÔÓÖ Ð Ò Ð ÓÒ Î Ö ÓÖØ ÖØ Ó ÔÖ ÒØ Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÓÑÓ Ô ÖØ Ó
ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÁÒ Ø ØÙØÓ Ò Ü Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑÓ ØÓÖ Ó ÉÊ Ô Ö Ö Ó Ò Ñ ÔÓÖ Ð Ò Ð ÓÒ Î Ö ÓÖØ Ö Ð ¾¼¼ ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÁÒ Ø ØÙØÓ Ò Ü Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑÓ ØÓÖ Ó ÉÊ Ô Ö Ö Ó Ò Ñ ÔÓÖ Ð Ò Ð ÓÒ Î Ö ÓÖØ
ËÙÑ Ö Ó ½ ½ ÜÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ó Ò ½ ½ ½º½ ÍÐØ Ñ È Ð ÚÖ ÓÒ ÓÖØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ½º¾ ÜÓÖØ Ó È Ó Ô º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ½ ¹ ÜÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ó Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ½ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ¾ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ» º ¾ ÁÒØ
ËÙÑ Ö Ó ½ Ç ÁÒØ ÖÐ Ù Ó Î Ø Â ÖÙ Ð Ñ ½ º½Ç Ë ÖÚÓ Ó ÒØÙÖ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Î Ñ Â ÖÙ Ð Ñ º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç ÁÒØ ÖÐ Ù Ó Î Ø Â ÖÙ Ð Ñ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ Ç ÁÒØ ÖÐ Ù Ó Î Ø Â ÖÙ Ð Ñ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ì ÑÔÓ Ô Ö Ò Ð Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ì ÑÔÓ Ô Ö Ò Ð Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ç Ì ÑÔÓ Ô
ËÙÑ Ö Ó ½¾¾ Ç Æ Ñ ÒØÓ ÁÒ Ò Â Ù ½¾ ½¾¾º½ÂÓ Å Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½¾¾º¾ Ö Ð Ô Ö Ô Ö Á Ð
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾¾ ¹ Ç Æ Ñ ÒØÓ ÁÒ Ò Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¾¾ Ç Æ Ñ ÒØÓ ÁÒ Ò Â Ù ½¾ ½¾¾º½ÂÓ
ËÙÑ Ö Ó Ð ÙÒ Ì ÔÓ Ò Ö Ñ º½ Ò Ö Ñ ÓÒØÖ ¹ Ó Ö Ú Ú Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ò Ö Ñ ÔÖ Ó¹ Ó Ö Ú Ú Ò º º º º º º º
Ò Ø Ò Ë Ù Å ÒØ Ð Ä ÚÖÓ ÌÖ Ì Ö Ô ¹ Ð ÙÒ Ì ÔÓ Ò Ö Ñ Äº ÊÓÒ ÀÙ Ö ÈÓÒØ Ô Ö Ð Ö Ó Ò Ö Ñ Ñ ÒØ Ö Ø Ú ÛÛÛº Ò Ø ºÓÖ ÛÛÛº Ò Ø ºÔØ ÛÛÛº Ò Ø ºÓѺ Ö ËÙÑ Ö Ó Ð ÙÒ Ì ÔÓ Ò Ö Ñ º½ Ò Ö Ñ ÓÒØÖ ¹ Ó Ö Ú Ú Ò º º º º º º º º