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1 Substituţia Fie e : V {0, 1} o evaluare şi v V o variabilă. Notaţie Pentru orice a {0, 1}, definim evaluarea e v a : V {0, 1} prin { e(x) daca x v e v a (x) = a daca x = v. Propoziţia 1.23 Fie θ o formulă şi a := e + (θ). Atunci pentru orice formulă ϕ, (e v a ) + (ϕ) = e + (ϕ v (θ)). Dem.: Exerciţiu suplimentar. 1

2 Substituţia Propoziţia 1.24 Pentru orice formule ϕ, ψ, θ şi orice variabilă v V, (i) ϕ ψ implică ϕ v (θ) ψ v (θ). (ii) Dacă ϕ este tautologie atunci şi ϕ v (θ) este tautologie. (iii) Dacă ϕ este nesatisfiabilă, atunci şi ϕ v (θ) este nesatisfiabilă. Dem.: Fie e : V {0, 1} o evaluare arbitrară şi a := e + (θ). Aplicând Propoziţia 1.23, rezultă că e + (ϕ v (θ)) = (e v a ) + (ϕ) şi e + (ψ v (θ)) = (e v a ) + (ψ). (i) Deoarece ϕ ψ, avem că (e v a ) + (ϕ) = (e v a ) + (ψ). Deci, e + (ϕ v (θ)) = e + (ψ v (θ)). (ii) Deoarece ϕ este tautologie, avem că (e v a ) + (ϕ) = 1. Deci, e + (ϕ v (θ)) = 1. (iii) Deoarece ϕ este nesatisfiabilă, avem că (e v a ) + (ϕ) = 0. Deci, e + (ϕ v (θ)) = 0. 2

3 şi De multe ori este convenabil să avem o tautologie canonică şi o formulă nesatisfiabilă canonică. Observaţie v 0 v 0 este tautologie şi (v 0 v 0 ) este nesatisfiabilă. Dem.: Notaţii Exerciţiu. Notăm v 0 v 0 cu şi o numim adevărul. Notăm (v 0 v 0 ) cu şi o numim falsul. ϕ este tautologie ddacă ϕ. ϕ este nesatisfiabilă ddacă ϕ. 3

4 Conjuncţii şi disjuncţii finite Notaţii Scriem ϕ ψ χ în loc de (ϕ ψ) χ. Similar, scriem ϕ ψ χ în loc de (ϕ ψ) χ. Fie ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n formule. Pentru n 3, notăm ϕ 1... ϕ n := ((... (ϕ 1 ϕ 2 ) ϕ 3 )... ϕ n 1 ) ϕ n ϕ 1... ϕ n := ((... (ϕ 1 ϕ 2 ) ϕ 3 )... ϕ n 1 ) ϕ n. ϕ 1... ϕ n se mai scrie şi n i=1 ϕ i sau ϕ 1... ϕ n se mai scrie şi n i=1 ϕ i sau n ϕ i. i=1 n ϕ i. i=1 4

5 Conjuncţii şi disjuncţii finite Propoziţia 1.25 Pentru orice evaluare e : V {0, 1}, e + (ϕ 1... ϕ n ) = 1 ddacă e + (ϕ i ) = 1 pentru orice i {1,..., n}. e + (ϕ 1... ϕ n ) = 1 ddacă e + (ϕ i ) = 1 pentru un i {1,..., n}. Dem.: Exerciţiu. Propoziţia 1.26 (ϕ 1... ϕ n ) ϕ 1... ϕ n (ϕ 1... ϕ n ) ϕ 1... ϕ n Dem.: Exerciţiu. 5

6 Mulţimi de formule Fie Γ o mulţime de formule. Definiţia 1.27 O evaluare e : V {0, 1} este model al lui Γ dacă este model al fiecărei formule din Γ (adică e γ pentru orice γ Γ). Notaţie: e Γ. Γ este satisfiabilă dacă are un model. Γ este finit satisfiabilă dacă orice submulţime finită a sa este satisfiabilă. Dacă Γ nu este satisfiabilă, spunem şi că Γ este nesatisfiabilă sau contradictorie. Notaţii: Mulţimea tuturor modelelor lui Γ se notează Mod(Γ). Notăm Mod(ϕ 1,..., ϕ n ) în loc de Mod({ϕ 1,..., ϕ n }). Mod(Γ) = ϕ Γ Mod(ϕ). 6

7 Mulţimi de formule Fie Γ, mulţimi de formule. Definiţia 1.28 O formulă ϕ este consecinţă semantică a lui Γ dacă Mod(Γ) Mod(ϕ). Notaţie: Γ ϕ. Dacă ϕ nu este consecinţă semantică a lui Γ, scriem Γ ϕ. Notăm cu Cn(Γ) mulţimea consecinţelor semantice ale lui Γ. Aşadar, Cn(Γ) = {ϕ Form Γ ϕ}. Definiţia 1.29 este consecinţă semantică a lui Γ dacă Mod(Γ) Mod( ). Notaţie: Γ. Γ şi sunt (logic) echivalente dacă Mod(Γ) = Mod( ). Notaţie: Γ. 7

8 Proprietăţi Următoarele rezultate colectează diverse proprietăţi utile. Observaţie ψ ϕ ddacă {ψ} ϕ ddacă {ψ} {ϕ}. ψ ϕ ddacă {ψ} {ϕ}. Propoziţia 1.30 (i) Mod( ) = {0, 1} V, adică orice evaluare e : V {0, 1} este model al mulţimii vide. În particular, mulţimea vidă este satisfiabilă. (ii) Cn( ) este mulţimea tuturor tautologiilor, adică ϕ este tautologie ddacă ϕ. Dem.: Exerciţiu uşor. 8

9 Proprietăţi Propoziţia 1.31 Fie Γ {ϕ, ψ} Form. (i) Dacă Γ ϕ şi Γ ϕ ψ, atunci Γ ψ. (ii) Γ {ϕ} ψ ddacă Γ ϕ ψ. (iii) Γ ϕ ψ ddacă Γ ϕ şi Γ ψ. Dem.: Exerciţiu. Propoziţia 1.32 Fie Γ o mulţime de formule. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: (i) Γ este nesatisfiabilă. (ii) Γ ϕ pentru orice formulă ϕ. (iii) Γ ϕ pentru orice formulă nesatisfiabilă ϕ. (iv) Γ. Dem.: Exerciţiu uşor. 9

10 Proprietăţi Propoziţia 1.33 Fie Γ o mulţime de formule. (i) Γ ϕ ddacă Γ { ϕ} este nesatisfiabilă. (ii) Γ ϕ ddacă Γ {ϕ} este nesatisfiabilă. (iii) Dacă Γ este satisfiabilă, atunci cel puţin una dintre Γ {ϕ} şi Γ { ϕ} este satisfiabilă. Dem.: (i) Avem că Γ ϕ există o evaluare e : V {0, 1} a.î. e Γ şi e + (ϕ) = 0 există o evaluare e : V {0, 1} a.î. e Γ şi e + ( ϕ) = 1 există o evaluare e : V {0, 1} a.î. e Γ { ϕ} Γ { ϕ} este satisfiabilă. (ii) Similar. (iii) Fie e un model al lui Γ. Dacă e + (ϕ) = 1, atunci e este model al lui Γ {ϕ}. Dacă e + (ϕ) = 0, deci e + ( ϕ) = 1, atunci e este model al lui Γ { ϕ}. 10

11 Proprietăţi Propoziţia 1.34 Fie Γ = {ϕ 1,..., ϕ n } o mulţime finită de formule. (i) Γ {ϕ 1... ϕ n }. (ii) Γ ψ ddacă ϕ 1... ϕ n ψ. (iii) Γ este nesatisfiabilă ddacă ϕ 1 ϕ 2... ϕ n este tautologie. (iv) Dacă = {ψ 1,..., ψ k } este o altă mulţime finită de formule, atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: (a) Γ. (b) ϕ 1... ϕ n ψ 1... ψ k. Dem.: Exerciţiu. 11

12 Teorema de compacitate Teorema de compacitate - versiunea 1 Pentru orice mulţime Γ de formule, Γ este satisfiabilă ddacă Γ este finit satisfiabilă. Teorema de compacitate - versiunea 2 Pentru orice mulţime Γ de formule, Γ este nesatisfiabilă ddacă Γ nu este finit satisfiabilă. Teorema de compacitate - versiunea 3 Pentru orice mulţime Γ de formule şi pentru orice formulă ϕ, Γ ϕ ddacă există o submulţime finită a lui Γ a.î. ϕ. Propoziţia 1.35 Cele trei versiuni sunt echivalente. Dem.: Exerciţiu. 12

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