Lyneker Amorim (T1) Philipe Farias Rafael Mota Yure Bonifacio

Transcrição

1 Lyneker Amorim (T1) Philipe Farias Rafael Mota Yure Bonifacio

2 A teoria de Herbrand foi criada por Jacques Herbrand ( ), um matemático francês. Ela constata que um conjunto de -sentenças Φ é insatisfazível (se tratando da lógica de primeira ordem) se e somente se existe um conjunto finito proposicionalmente insatisfazível de instancias básicas Φ0 de Φ. A teoria de Herbrand estabelece uma ligação entre a teoria da quantificação e a lógica sentencial. Essa ligação é importante por que proporciona um método para testar uma fórmula da teoria da quantificação por meio de testes sucessivos desta fórmula para a validação da sentença. Desde que testar a validação é um processo mecânico, o teorema de Herbrand é hoje de grande importância para o desenvolvimento de softwares para demonstração automatizada de teoremas. TEORIA DE HERBRAND

3 Na lógica matemática, dada uma linguagem formal com um conjunto de símbolos (símbolos de constantes e símbolos funcionais), o universo de Herbrand define recursivamente o conjunto de todos os termos que podem ser compostos aplicando uma composição funcional a partir de símbolos básicos. UNIVERSO DE HERBRAND

4 Dada uma linguagem de primeira ordem L, seu universo de Herbrand é definido pelo conjunto de todas as cláusulas básicas que podem ser construídas a partir dos símbolos de L. Levando em conta a definição de termo básico, podemos observar que os símbolos que aparecem em um universo de Herbrand são fatores e constantes de L.

5 Considere uma fórmula da lógica de primeira ordem na forma skolemizada

6 Então o universo de Herbrand de S é definido pelas seguintes regras: 1. Todas as constantes de S pertencem a H. Se não existem constantes em S, então contém uma constante arbitrária c. 2. Se ϵ H,..., ϵ H, e uma função n-ária ƒ t1 tn ocorre em ƒ(t1,..., ), então. tn

7 As cláusulas (disjunções de literais) obtidas daquelas de substituindo todas as variáveis por elementos do universo de Herbrand são chamadas cláusulas básicas, com definições similares para literais básicos e átomos básicos. O conjunto de todos os átomos básicos, que pode ser formados a partir de símbolos predicados de S e termos de H, é chamado de Base de Herbrand.

8 A geração consecutiva de elementos do universo de Herbrand e a verificação de insatisfatibilidade de elementos gerados podem ser diretamente implementadas em um programa de computador. Tendo em vista a completude da lógica de primeira ordem, esse programa é basicamente uma ferramenta para a demonstração automática de teoremas. Evidentemente, essa busca exaustiva é muito lenta para aplicações práticas.

9 Esse programa irá terminar a execução para todas as fórmulas insatisfazíveis e não terminará para fórmulas satisfazíveis, que basicamente mostra que o conjunto das fórmulas insatisfazíveis é recursivamente enumerável. Dado que a demonstrabilidade (ou, equivalentemente, a insatisfatibilidade) na lógica de primeira-ordem é recursivamente indecidível, esse conjunto não é recursivo.

10 Na lógica matemática, dada uma linguagem com um conjunto do universo de Herbrand, a base de Herbrand é o conjunto de todos os átomos básicos que podem ser formados a partir de símbolos predicados de uma clausula na forma Skolemizada S e termos do universo Herbrand H de S. Uma base de Herbrand para uma linguagem de primeira ordem L pode ser construída a partir do universo de Herbrand de L, aplicando algum predicado de L a cada elemento deste universo. Ela consiste portanto do conjunto de todos os átomos básicos que podem ser construídos usando símbolos de L. BASE DE HERBRAND

11 Seja. O universo de Herbrand para α é dado pelo seguinte conjunto:

12 Portanto, a base de Herbrand de α é descrita pela seguinte tabela onde x2 e x4 são substituídos em todas as combinações possíveis pelos termos Hα em, com cada variável sendo substituídas em todas suas ocorrências pelo mesmo termo.

13 1. Seja Desde que não existe constante em S, seja então H0 = a. Assim EXEMPLO 1 - UNIVERSO DE HERBRAND

14 2. Seja Desde que não exista constante em S, seja então H0 = a. Desde que não exista símbolo funcional em S, H0 = H1 = H2 =... = a; EXEMPLO 2 UNIVERSO DE HERBRAND