Computemos agora o quadrado da distância de P o = (x o,y o ) a P 1 = (x 1,y 1 ): P o P 1 2 = (x o x 1 ) 2 +(y o y 1 ) 2 = = [ x o 1
|
|
- Vasco Aranha Oliveira
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Determinante - Aplicação Algébrica e Interpretação Geométrica- Bacharelado Oceanografia o semestre de 04 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira Distância de ponto a reta A equação geral de uma reta no plano cartesiano é: D : ax+by +c = 0; a ou b não nulo. Dado um ponto P o = (x o,y o ) R, a distância de P o à reta D é : PD = ax o + by o + c a +b. Prova Seja m r o coeficiente angular de uma reta r qualquer. As retas, designadas por S, perpendiculares à reta D, tem coeficiente angular m S tal que m S.m D =. Logo, utilizando o parametro d, uma equação geral de tais retas é: S : bx+ay +d = 0, d R. Entre tais retas perpendiculares a D queremos a que passe por P o = (x o,y o ). Isto é, bx o +ay o +d = 0 e, portanto, determinamos d = bx o ay o. Temos então a reta S Po : bx+ay +(bx o ay o ) = 0 Para determinarmos o ponto P = (x,y ) = D S Po resolvemos o sistema: ( ) { ax+by = c bx+ay = ay o bx o, Multiplicando a primeira equação por a, a segunda por b, e então somando-as temos : x = a +b (b x o aby o ac) e, agora, multiplicando a primeira por b e a segunda por a e somando-as concluímos : y = a +b ( abx o +a y o bc). Computemos agora o quadrado da distância de P o = (x o,y o ) a P = (x,y ): P o P = (x o x ) +(y o y ) = = x o a +b ( b x o aby o ac ) + y o a +b ( abx o +a y o bc ) =
2 = ( a x (a +b ) o +aby o + ac ) + ( abx o + b y o +bc ) = = a (ax (a +b ) o + by o + c) + b (ax o + by o + c) = = (a +b ) (ax (a +b ) o + by o + c) = = (axo + byo + c) a +b, donde segue a tese. segunda prova Reescrevendo (*) na notação matricial temos: a b x c ( ) =. b a y ay o bx o É fácil constatar que dada uma matriz inversível, A B M = C D sua inversa é dada por M = D B AD BC C A. Assim, a solução de (*) é x y = a b a +b b a c ay o bx o. Logo, x = a +b ( ac aby o + b x o ) e y = a +b ( bc + a y o abx o ) e a demonstração segue como a anterior Área de um Paralelogramo Nesta seção, u denota um vetor em R. Dado (a,b) no plano cartesiano, indicamos o vetor representado pelo segmento com extremidade inicial a origem deste plano e final (a,b) por a,b. Dois vetores u = a,b e v = c,d, não paralelos e em R, determinam um paralelogramo Ω que supomos, inicialmente, no primeiro quadrante. Seja w = u + v = a+b,c+d. Consideremos a representação de Ω numa segunda e última representação as posições de u e v são trocadas, por, Considerendo os pontos P i, i 7, a área delimitada por Ω, A(Ω), é dada
3 y P 6 = (c,d) P 4 = (0,b+d) P 3 = (a+c,b+d) P 5 = (0,d) P 7 = (a,b) O c P P = (a+c,0) x Figura : Determinante/Área A(Ω) = A(OP P 3 P 4 ) A(OP P 7 ) A(P P P 3 P 7 ) A(P 3 P 4 P 5 P 6 ) A(P 5 OP 6 ), (b + b + d)c A(P P P 3 P 7 ) = = bc + cd, A(P 3P 4 P 5 P 6 ) = A(OP P 3 P 4 ) = (a+c)(b+d) = ab + ad + bc + cd, A(OP P 7 ) = ab e A(P 5 OP 6 ) = cd. Logo, (c + a + c)b = bc + ab, A(Ω) = ab + ad + bc + cd ab bc cd ab bc cd = ad bc = a c D = b d. A seguir, associamos uma área ou ao determinante D se seu valor (também dito determinante) é positivo ou a D, obtido trocando as colunas de D uma pela outra, se D é negativo. Definição: O ângulo entre dois segmentos AB e AC no plano é o menor ângulo θ, 0 θ π, unindo B e C. Definição: O ângulo entre dois vetores u, v R é o ângulo entre dois segmentos AB e AC, representantes de u e v, respectivamente. Fixas tais representações, o (menor) ângulo entre u e v, orientado de u para v, é o ângulo entre AB e AC, orientado de B para C. Mantendo a notação acima temos então o importante resultado abaixo. Proposição 0. Se u corresponde à a coluna do determinante, v à a, u e v não paralelos, e θ, o menor ângulo entre u e v, orientado de u para v, tem sentido anti-horário, 3
4 a c D = b d = ad bc > 0. Caso contrário, se a orientação de θ é no sentido horário, ad bc < 0. Prova: LembremosquemedimosângulosemR nosentidoanti-horárioeapartir do eixo Ox. Suponhamos, primeiro, que θ esteja orientado no senti anti-horário. Se α é o ângulo de Ox a u e β o ângulo de Ox a v, a,c 0, temos tanα = b a e tanβ = tan d. c Caso : u no primeiro quadrante. (a) Para v no primeiro quadrante temos (vide figura anterior), 0 < tanα = b a < d c = tanβ, bc < ad, ad bc > 0, onde na segunda afirmação utilizamos ac > 0. (b) Para v no segundo quadrante temos c < 0, d > 0, ac < 0 e, tanβ = d c < 0 < b a = tanα, ad > bc. (c) Para v no terceiro quadrante, com 0 < β α < π, temos c < 0, d < 0, ac < 0 e observando o valor da tangente no círculo trigonométrico (faça um 0 < tanβ = d c < b = tanα, ad > bc. a Caso : u no segundo quadrante logo, a < 0 e b > 0. (a) Para v no segundo quadrante temos, c < 0, d > 0, ac > 0 e (faça um tanα = b a < d = tanβ < 0, bc < ad. c (b) Para v no terceiro quadrante então c < 0, d < 0, ac > 0 e, tanα = b a < 0 < d c = tanβ, bc < ad. (c) Para v no quarto quadrante, com 0 < β α < π, temos c > 0, d > 0, ac < 0 e observando o valor da tangente no círculo trigonométrico (faça um tanβ = d c < b = tanα < 0, ad > bc. a 4
5 Casos 3 e 4: Para u no 3 o 4 o quadrante, os sub-casos com v no 3 o, 4 o e o 4 o, o e o quadrantes são análogos a (a), (b) e (c) (a), (b) e (c), respectivamente. Po fim, se θ tem o sentido horário, trocando as colunas de D recaímos na suposição anterior e obtemos um determinante D > 0. Logo, D = D < 0 Definição: O par ordenado de vetores { u, v} é positivamente (negativa/e) orientado se o menor ângulo entre eles, orientado de u para v, tem sentido anti-horário (horário). Definição: O paralelogramo determinado pelo par ordenado { u, v} é positivamente orientado ou negativamente orientado segundo a orientação do par (ordenado) { u, v}. Corolário 0. Na prop..8, se θ tem sentido anti-horário horário, D é a área o oposto da área do paralelogramo positiva/e negativa/e orientado determinado pelo par ordenado { u, v}. Prova: É deixada ao leitor 5
APOIO 1 - CÁLCULO I - Licenciatura Física - Diurno 1 o SEMESTRE de 2008 Professor Oswaldo Rio Branco. Raízes de um Polinômio com Coeficientes Inteiros
APOIO - CÁLCULO I - Licenciatura Física - Diurno o SEMESTRE de 008 Professor Oswaldo Rio Branco Raízes de um Polinômio com Coeficientes Inteiros Para pesquisarmos as possíveis raízes inteiras, ou racionais,
Leia maisLISTA 0 - GABARITO. ( n p )ap b n p, n N {0}. (Passo de indução) Suponhamos a fórmula válida para m N e provemo-la para m=1. = a
Curso: MAT 43 - CÁLCULO para CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - FCFUSP Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira Período: Primeiro Semestre de 200 LISTA 0 - GABARITO. Binômio de Newton (a+b) n pn p0 ( n p )ap b n p,
Leia maisEquações da reta no plano
3 Equações da reta no plano Sumário 3.1 Introdução....................... 2 3.2 Equação paramétrica da reta............. 2 3.3 Equação cartesiana da reta.............. 7 3.4 Equação am ou reduzida da reta..........
Leia maisCapítulo Propriedades das operações com vetores
Capítulo 6 1. Propriedades das operações com vetores Propriedades da adição de vetores Sejam u, v e w vetores no plano. Valem as seguintes propriedades. Comutatividade: u + v = v + u. Associatividade:
Leia maisJ. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
76 Capítulo 4 Distâncias no plano e regiões no plano 1. Distância de um ponto a uma reta Dados um ponto P e uma reta r no plano, já sabemos calcular a distância de P a cada ponto P r. Definição 1 Definimos
Leia maisEquação Geral do Segundo Grau em R 2
8 Equação Geral do Segundo Grau em R Sumário 8.1 Introdução....................... 8. Autovalores e autovetores de uma matriz real 8.3 Rotação dos Eixos Coordenados........... 5 8.4 Formas Quadráticas..................
Leia maisGAAL: Exercícios 1, umas soluções
GAAL: Exercícios 1, umas soluções 1. Determine o ponto C tal que AC = 2 AB, sendo A = (0, 2), B = (1, 0). R: Queremos C tal que AC = 2 AB. Temos AB = (1 0, 0 ( 2)) = (1, 2), logo 2 AB = (2, 4). Então queremos
Leia maisCapítulo Coordenadas no Espaço. Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tri-dimensional.
Capítulo 9 1. Coordenadas no Espaço Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tri-dimensional. Um sistema de eixos ortogonais OXY Z em E consiste de três eixos ortogonais entre si OX, OY e OZ com a mesma
Leia maisTemos, 4(x 2 2x) + 3(y 2 + 4y) 32 = 4(x 1) 2 + 3(y + 2) E assim, a quádrica dada é a elipse
Exercício (c) - Elipse : x + y x + y 0 Este é apenas um resumo, com comentários, da solução Façam um esboço da elipse, mostrando o centro, os focos, semi-eixos, vértices e retas diretrizes Temos, (x x)
Leia maisNa forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b. a) a = 3, b, b R. b) a = 3 e b = 1. c) a = 3 e b 1. d) a 3
01 Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b a) a = 3, b, b R b) a = 3 e b = 1 c) a = 3 e b 1 d) a 3 1 0 y = 3x + 1 m = 3 A equação que apresenta uma reta com o mesmo coeficiente angular
Leia maisCoordenadas e distância na reta e no plano
Capítulo 1 Coordenadas e distância na reta e no plano 1. Introdução A Geometria Analítica nos permite representar pontos da reta por números reais, pontos do plano por pares ordenados de números reais
Leia maisIntrodução ao Cálculo Vetorial
Introdução ao Cálculo Vetorial Segmento Orientado É o segmento de reta com um sentido de orientação. Por exemplo AB onde: A : origem e B : extremidade. Pode-se ter ainda o segmento BA onde: B : origem
Leia maisP1 de Álgebra Linear I
P1 de Álgebra Linear I 2008.1 Gabarito 1) Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e marque COM CANETA sua resposta no quadro a seguir. Itens V F N 1.a x 1.b x 1.c x 1.d x 1.e x 1.a) Para
Leia maisObjetivos. em termos de produtos internos de vetores.
Aula 5 Produto interno - Aplicações MÓDULO 1 - AULA 5 Objetivos Calcular áreas de paralelogramos e triângulos. Calcular a distância de um ponto a uma reta e entre duas retas. Determinar as bissetrizes
Leia mais2 Igualdade e Operações com pares ordenados. 1 Conjunto R 2. 3 Vetores. 2.1 Igualdade. 1.2 Coordenadas Cartesianas no Plano
1 Conjunto R 1.1 Definição VETORES NO PLANO Representamos por R o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, ou seja: R = {(x, y) x R y R} 1. Coordenadas Cartesianas no Plano Em um plano α,
Leia maisa1q1: Seja ABCDEF GH um cubo de aresta unitária de E 3 e considere o espaço V 3 orientado pela base { CD, CB, CH}. Então podemos afirmar que: a)
1 a1q1: Seja ABCDEF GH um cubo de aresta unitária de E 3 e considere o espaço V 3 orientado pela base { CD, CB, CH}. Então podemos afirmar que: a) EB ED = GA b) EB ED = AG c) EB ED = EH d) EB ED = EA e)
Leia maisTecnologia em Construções de Edifícios
1 Tecnologia em Construções de Edifícios Aula 9 Geometria Analítica Professor Luciano Nóbrega 2º Bimestre 2 GEOMETRIA ANALÍTICA INTRODUÇÃO A geometria avançou muito pouco desde o final da era grega até
Leia mais1. Operações com vetores no espaço
Capítulo 10 1. Operações com vetores no espaço Vamos definir agora as operações de adição de vetores no espaço e multiplicação de um vetor espacial por um número real. O processo é análogo ao efetuado
Leia maisLista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana
Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana Parte A 1. Se v é um vetor no plano que está no primeiro quadrante, faz um ângulo de π/3 com o eixo x positivo e tem módulo v = 4, determine suas componentes.
Leia mais0 < c < a ; d(f 1, F 2 ) = 2c
Capítulo 14 Elipse Nosso objetivo, neste e nos próximos capítulos, é estudar a equação geral do segundo grau em duas variáveis: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, onde A 0 ou B 0 ou C 0 Para isso, deniremos,
Leia maisAula 4 Produto Interno
MÓDULO 1 - AULA 4 Objetivos Aula 4 Produto Interno Definir as noções de ângulo entre dois vetores, a norma de um vetor e a operação de produto interno. Compreender as propriedades básicas da norma e do
Leia maisInstituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA 4. Geometria Analítica 4.1. Introdução Geometria Analítica é a parte da Matemática,
Leia maisLista de Álgebra Linear Aplicada
Lista de Álgebra Linear Aplicada Matrizes - Vetores - Retas e Planos 3 de setembro de 203 Professor: Aldo Bazán Universidade Federal Fluminense Matrizes. Seja A M 2 2 (R) definida como 0 0 0 3 0 0 0 2
Leia maisNOTAÇÕES. : inversa da matriz M : produto das matrizes M e N : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
NOTAÇÕES R C : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária i = 1 det M : determinante da matriz M M 1 MN AB : inversa da matriz M : produto das matrizes M e N : segmento
Leia maisProfessor Mascena Cordeiro
www.mascenacordeiro.com Professor Mascena Cordeiro º Ano Ensino Médio M A T E M Á T I C A. Determine os valores de m pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que os pontos (0, -), (, m) e (-, -)
Leia maisGeometria Analítica - Aula
Geometria Analítica - Aula 18 228 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado Aula 19 Continuamos com o nosso estudo da equação Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 1. Hipérbole Definição 1 Uma hipérbole, H, de focos F 1
Leia maisExercícios de Geometria Analítica - CM045
Exercícios de Geometria Analítica - CM045 Prof. José Carlos Corrêa Eidam DMAT/UFPR Disponível no sítio people.ufpr.br/ eidam/index.htm 1o. semestre de 2011 Parte 1 Soma e produto escalar 1. Seja OABC um
Leia maisEXERCÍCIOS RESOLVIDOS Prova de 23/07/2009 Todas as questões se referem a um sistema ortogonal de coordenadas
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 SINUÊ DAYAN BARBERO LODOVICI Resumo Exercícios Resolvidos - Geometria Analítica BC 0404 1 Prova de 23/07/2009 Todas as questões se referem a um sistema ortogonal de coordenadas
Leia maisAula 3 A Reta e a Dependência Linear
MÓDULO 1 - AULA 3 Aula 3 A Reta e a Dependência Linear Objetivos Determinar a equação paramétrica de uma reta no plano. Compreender o paralelismo entre retas e vetores. Entender a noção de dependência
Leia maisApontamentos III. Espaços euclidianos. Álgebra Linear aulas teóricas. Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico
Apontamentos III Espaços euclidianos Álgebra Linear aulas teóricas 1 o semestre 2017/18 Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico Índice Índice i 1 Espaços euclidianos 1 1.1
Leia maisGEOMETRIA ANALÍTICA 2017
GEOMETRIA ANALÍTICA 2017 Tópicos a serem estudados 1) O ponto (Noções iniciais - Reta orientada ou eixo Razão de segmentos Noções Simetria Plano Cartesiano Abcissas e Ordenadas Ponto Médio Baricentro -
Leia maisProposta de teste de avaliação
Proposta de teste de avaliação Matemática A 10. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data: O teste é constituído por dois grupos, I e II. O Grupo I inclui cinco questões de escolha múltipla. O Grupo
Leia maisFigura disponível em: <http://soumaisenem.com.br/fisica/conhecimentos-basicos-e-fundamentais/grandezas-escalares-egrandezas-vetoriais>.
n. 7 VETORES vetor é um segmento orientado; são representações de forças, as quais incluem direção, sentido, intensidade e ponto de aplicação; o módulo, a direção e o sentido caracterizam um vetor: módulo
Leia maisAula 7 Simetrias e simetrias das cônicas
MÓDULO 1 - AULA 7 Aula 7 Simetrias e simetrias das cônicas Objetivos Estudar as simetrias em relação a um ponto e em relação a uma reta. Estudar as simetrias das cônicas no plano. Entender as cônicas degeneradas.
Leia mais. f3 = 4 e 1 3 e 2. f2 = e 1 e 3, g 1 = e 1 + e 2 + e 3, 2 g 2 = e 1 + e 2,
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-457 Álgebra Linear para Engenharia I Segunda Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS 1. Dê a matriz de mudança
Leia mais1 Vetores no Plano e no Espaço
1 Vetores no Plano e no Espaço Definimos as componentes de um vetor no espaço de forma análoga a que fizemos com vetores no plano. Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas retangulares no
Leia maisJ. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
178 Capítulo 10 Equação da reta e do plano no espaço 1. Equações paramétricas da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que
Leia maisCapítulo 2. Retas no plano. 1. Retas verticais e não-verticais. Definição 1
Capítulo 2 Retas no plano O objetivo desta aula é determinar a equação algébrica que representa uma reta no plano. Para isso, vamos analisar separadamente dois tipos de reta: reta vertical e reta não-vertical.
Leia maisCoordenadas Cartesianas
GEOMETRIA ANALÍTICA Coordenadas Cartesianas EIXO DAS ORDENADAS OU EIXO DOS Y EIXO DAS ABSCISSAS OU EIXO DOS X EIXO DAS ORDENADAS OU EIXO DOS Y ORIGEM EIXO DAS ABSCISSAS OU EIXO DOS X COORDENADAS DE UM
Leia mais1 a Lista de Exercícios MAT 105 Geometria Analitica
1 a Lista de Exercícios MAT 105 Geometria Analitica - 2017 1 a parte: Vetores, operações com vetores 1. Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo
Leia maisCURSO de MATEMÁTICA (Niterói) - Gabarito
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TRANSFERÊNCIA 2 o semestre letivo de 2009 e 1 o semestre letivo de 2010 CURSO de MATEMÁTICA (Niterói) - Gabarito INSTRUÇÕES AO CANDIDATO Verifique se este caderno contém:
Leia maisPonto 1) Representação do Ponto
Ponto 1) Representação do Ponto Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Plano Cartesiano, sistemas de coordenadas: pontos e retas Na geometria
Leia maisGeometria Analítica. Geometria Analítica 28/08/2012
Prof. Luiz Antonio do Nascimento luiz.anascimento@sp.senac.br www.lnascimento.com.br Conjuntos Propriedades das operações de adição e multiplicação: Propriedade comutativa: Adição a + b = b + a Multiplicação
Leia maisA(500, 500) B( 600, 600) C(715, 715) D( 1002, 1002) E(0, 0) F (711, 0) (c) ao terceiro quadrante? (d) ao quarto quadrante?
Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM131 - Geometria Analítica e Cálculo Vetorial Professora: Monique Rafaella Anunciação de Oliveira Lista de Exercícios 1 1. Dados os pontos:
Leia maisLista 3 com respostas
Lista 3 com respostas Professora Nataliia Goloshchapova MAT0105-1 semestre de 2019 Exercício 1. Sendo que w = ( u v) ( u + v), determine o ângulo entre os vetores u e v, sabendo que u = v = w = 1 e u v
Leia maisJ. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
128 Capítulo 7 Coordenadas e distância no espaço 1. Coordenadas no Espaço Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tridimensional. Um sistema de eixos ortogonais OXY Z em E consiste de três eixos ortogonais
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO GEOMETRIA 2ºANO
LISTA DE EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO GEOMETRIA 2ºANO 1) Se o ponto P(2m-8, m) pertence ao eixo das ordenadas, então: a) m é um número primo b) m é primo e par c) m é um quadrado perfeito d) m = 0 e) m
Leia maisExercícios de testes intermédios
Exercícios de testes intermédios 1. Qual das expressões seguintes designa um número real positivo, para qualquer x pertencente 3 ao intervalo,? (A) sin x cos x (B) cos x tan x tan x sin x sin x tan x Teste
Leia mais1 a Lista de Exercícios de MAT2457 Escola Politécnica 1 o semestre de (b)
a Lista de Exercícios de MAT457 Escola Politécnica o semestre de 04 Resolva os seguintes sistemas: x + x x 3 + 3x 4 = a 3x + x x 3 + x 4 = 4 3x + 3x + 3x 3 3x 4 = 5 c x + x 3 + x 5 = x + x 3 + x 5 + x
Leia maisNúmeros Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c
Números Reais Víctor Arturo Martínez León (victor.leon@unila.edu.br) 1 Os números racionais Os números racionais são os números da forma a, sendo a e b inteiros e b 0; o conjunto b dos números racionais
Leia maisMAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I Gabarito da 2 a Prova - 1 o semestre de 2015
MAT27 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I Gabarito da 2 a Prova - 1 o semestre de 201 Nesta prova considera-se fixada uma orientação do espaço e um sistema de coordenadas Σ (O, E) em E 3, em que E é uma base
Leia mais1. Seja θ = ang (r, s). Calcule sen θ nos casos (a) e (b) e cos θ nos casos (c) e (d): = z 3 e s : { 3x + y 5z = 0 x 2y + 3z = 1
14 a lista de exercícios - SMA0300 - Geometria Analítica Estágio PAE - Alex C. Rezende Medida angular, distância, mudança de coordenadas, cônicas e quádricas 1. Seja θ = ang (r, s). Calcule sen θ nos casos
Leia maisAula 4. Coordenadas polares. Definição 1. Observação 1
Aula Coordenadas polares Nesta aula veremos que há outra maneira de expressar a posição de um ponto no plano, distinta da forma cartesiana Embora os sistemas cartesianos sejam muito utilizados, há curvas
Leia maisÁlgebra Linear I - Lista 10. Matrizes e Transformações lineares. Respostas
Álgebra Linear I - Lista 1 Matrizes e Transformações lineares Respostas 1 Sejam A e B matrizes quadradas do mesmo tamanho Dê um exemplo onde (A + B 2 A 2 + 2A B + B 2 Complete: (A + B 2 = A 2 + B 2 +?
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula 14. Roteiro
Álgebra Linear I - Aula 14 1 Matrizes 2 Forma matricial de uma transformação linear 3 Composição de transformações lineares e produto de matrizes 4 Determinante do produto de matrizes Roteiro 1 Matrizes
Leia maisr : Exemplo: Considere a reta r :
4.7. Equação paramétrica da reta. Também podemos representar uma reta no plano com equação paramétrica, mas no plano temos apenas duas coordenadas. A forma paramétrica de uma reta no plano é: x a r : y
Leia maisGeometria Analítica. Prof Marcelo Maraschin de Souza
Geometria Analítica Prof Marcelo Maraschin de Souza Vetor Definido por dois pontos Seja o vetor AB de origem no ponto A(x 1, y 1 ) e extremidade no ponto B(x 2, y 2 ). Qual é a expressão algébrica que
Leia maisProduto interno e produto vetorial no espaço
14 Produto interno e produto vetorial no espaço Sumário 14.1 Produto interno.................... 14. Produto vetorial.................... 5 14..1 Interpretação geométrica da norma do produto vetorial.......................
Leia maisTítulo do Livro. Capítulo 5
Capítulo 5 5. Geometria Analítica A Geometria Analítica tornou possível o estudo da Geometria através da Álgebra. Além de proporcionar a interpretação geométrica de diversas equações algébricas. 5.1. Sistema
Leia mais10. Determine as equações cartesianas das famílias de retas que fazem um ângulo de π/4 radianos com a reta y = 2x + 1.
Geometria Analítica. 1. Determine as posições relativas e as interseções entre os conjuntos em R abaixo. Em cada item também faça um esboço dos dois conjuntos dados no mesmo sistema de eixos. (a) C : (x
Leia maisLista de Exercícios de Geometria
Núcleo Básico de Engenharias Geometria - Geometria Analítica Professor Julierme Oliveira Lista de Exercícios de Geometria Primeira Parte: VETORES 1. Sejam os pontos A(0,0), B(1,0), C(0,1), D(-,3), E(4,-5)
Leia maisNome: nº Professor(a): UBERLAN / CRISTIANA Série: 3ª EM Turmas: 3301 / 3302 Data: / /2013
Nome: nº Professor(a): UBERLAN / CRISTIANA Série: 3ª EM Turmas: 3301 / 3302 Data: / /2013 Sem limite para crescer Bateria de Exercícios de Matemática II 1) A área do triângulo, cujos vértices são (1, 2),
Leia mais6.1 equações canônicas de círculos e esferas
6 C Í R C U LO S E E S F E R A S 6.1 equações canônicas de círculos e esferas Um círculo é o conjunto de pontos no plano que estão a uma certa distância r de um ponto dado (a, b). Desta forma temos que
Leia maisMAT VETORES E GEOMETRIA - IF/IME 1 o SEMESTRE 2015
MAT 112 - VETORES E GEOMETRIA - IF/IME 1 o SEMESTRE 2015 LISTA 1 1. Ache a soma dos vetores indicados na figura, nos casos: 2. Ache a soma dos vetores indicados em cada caso, sabendo-se que (a) ABCDEFGH
Leia maisPlano Cartesiano e Retas. Vitor Bruno Engenharia Civil
Plano Cartesiano e Retas Vitor Bruno Engenharia Civil Sistema cartesiano ortogonal O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos ortogonais(eixo x e eixo y). A intersecção dos eixos x e y é o
Leia maisBC Geometria Analítica. Lista 4
BC0404 - Geometria Analítica Lista 4 Nos exercícios abaixo, deve-se entender que está fixado um sistema de coordenadas cartesianas (O, E) cuja base E = ( i, j, k) é ortonormal (e positiva, caso V esteja
Leia maisGeometria Analítica e Álgebra Linear
Geometria Analítica e Álgebra Linear por PAULO XAVIER PAMPLONA UFCG-UATA 2011 Conteúdo 1 Vetores 4 1.1 Introdução..................................... 4 1.2 Vetores no Plano.................................
Leia maisLISTA 9 (GABARITO) - CÁLCULO I - MAT111 - IAG - Diurno 1 o SEMESTRE de 2009 Professor Oswaldo Rio Branco
LISTA 9 (GABARITO) - CÁLCULO I - MAT - IAG - Diurno o SEMESTRE de 009 Professor Oswaldo Rio Branco () Assumindo y = y(x) e derivando a equação da elipse em relação a x temos, d {x a + y b } = x a + y(x)y
Leia maisx 1 3x 2 2x 3 = 0 2 x 1 + x 2 x 3 6x 4 = 2 6 x x 2 3x 4 + x 5 = 1 ( f ) x 1 + 2x 2 3x 3 = 6 2x 1 x 2 + 4x 3 = 2 4x 1 + 3x 2 2x 3 = 4
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-47 Álgebra Linear para Engenharia I Primeira Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS. Resolva os seguintes sistemas:
Leia mais1Q1. Considere o ponto A = (1, 2, 3), a reta r : x+1
Com exceção da Questão 15, em todas as questões da prova considera-se fixado um sistema de coordenadas Σ = (O, E), onde E é uma base ortonormal positiva. 1Q1. Considere o ponto A = (1, 2, 3), a reta r
Leia maisENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) TURNO. 01. Determine a distância entre dois pontos A e B do plano cartesiano.
SÉRIE ITA/IME ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) ALUNO(A) TURMA MARCELO MENDES TURNO SEDE DATA Nº / / TC MATEMÁTICA Geometria Analítica Exercícios de Fixação Conteúdo: A reta Parte I Exercícios Tópicos
Leia maisAula 4 Colinearidade, coplanaridade e dependência linear
Aula 4 Colinearidade, coplanaridade e dependência linear MÓDULO 1 - AULA 4 Objetivos Compreender os conceitos de independência e dependência linear. Estabelecer condições para determinar quando uma coleção
Leia maisT.D. - Resolução Comentada
T.D. - Resolução Comentada Matéria: Série: Turmas: Professor: Matemática º Ano A, B, C, D e Olímpica Wilkson Linhares Bimestre: 3º Assunto: Geometria Analítica Questão: 01 Resposta: Item: c) O ponto P
Leia mais3º. EM Prof a. Valéria Rojas Assunto: Determinante, Área do Triângulo, Equação da reta, Eq. Reduzida da Reta
1 - O uso do Determinante de terceira ordem na Geometria Analítica 1.1 - Área de um triângulo Seja o triângulo ABC de vértices A(x a, y a ), B(x b, x c ) e C(x c, y c ). A área S desse triângulo é dada
Leia maisTeorema de Tales. MA13 - Unidade 8. Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria.
Teorema de Tales MA13 - Unidade 8 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT Proporcionalidade 1. Dizemos que o segmento x é a quarta proporcional
Leia maisConcluimos dai que o centro da circunferência é C = (6, 4) e o raio é
QUESTÕES-AULA 17 1. A equação x 2 + y 2 12x + 8y + 0 = 0 representa uma circunferência de centro C = (a, b) e de raio R. Determinar o valor de a + b + R. Solução Completamos quadrados na expressão dada.
Leia maisProf André Costa de Oliveira. 1 Ano do Ensino médio; Trigonometria: Introdução: ângulos e arcos na circunferência;
Prof André Costa de Oliveira. 1 Ano do Ensino médio; Trigonometria: Introdução: ângulos e arcos na circunferência; Ângulo central: É todo ângulo que possui o seu vértice no centro da circunferência, o
Leia maisExemplo: As retas r: 2x 3y = 1 e s: 10x 15y = 18 são paralelas?
4.13. Condição de Paralelismo. Analisando as retas com equação na forma geral, facilmente sabemos, pela resolução do sistema de equações, qual é a posição relativa entre as retas. Agora, se as equações
Leia maisMaterial Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Produto Vetorial. Terceiro Ano - Médio
Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3 Produto Vetorial Terceiro Ano - Médio Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto Nesta aula, estudaremos uma operação definida
Leia maisIII) Os vetores (m, 1, m) e (1, m, 1) são L.D. se, somente se, m = 1
Lista de Exercícios de SMA000 - Geometria Analítica 1) Indique qual das seguintes afirmações é falsa: a) Os vetores (m, 0, 0); (1, m, 0); (1, m, m 2 ) são L.I. se, somente se, m 0. b) Se u, v 0, então
Leia mais1.4 Determine o ponto médio e os pontos de triseção do segmento de extremidades A(7) e B(19).
Capítulo 1 Coordenadas cartesianas 1.1 Problemas Propostos 1.1 Dados A( 5) e B(11), determine: (a) AB (b) BA (c) AB (d) BA 1. Determine os pontos que distam 9 unidades do ponto A(). 1.3 Dados A( 1) e AB
Leia maisITA18 - Revisão. LMAT10A-1 - ITA 2017 (objetivas) Questão 1
ITA18 - Revisão LMAT10A-1 - ITA 2017 (objetivas) Questão 1 Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X Y e X Y. Considere as seguintes afirmações: 1. Existe uma bijeção f : X Y. 2. Existe uma função injetora
Leia maisProposta de Resolução. Grupo I. θ = 1. x. Daqui resulta que ( ) ( )< π π π 4 2. π 5π. 1. Se. (x pertence ao 1.º Q e 2x pertence ao 2.º Q).
Grupo I 1. Se π π π π π x, 4, então < x < < x < π. 4 (x pertence ao 1.º Q e x pertence ao.º Q. Assim, tan( x < 0 e cos > 0 Opção: (A tan( x cos( x x. Daqui resulta que ( ( < tan x cos x 0.. sinx = 0 sinx
Leia maisÁlgebra Linear I - Lista 5. Equações de retas e planos. Posições relativas. Respostas
Álgebra Linear I - Lista 5 Equações de retas e planos. Posições relativas Respostas 1) Obtenha equações paramétricas e cartesianas: Das retas que contém aos pontos A = (2, 3, 4) e B = (5, 6, 7), A = (
Leia maisGeometria Analítica I - MAT Lista 1 Profa. Lhaylla Crissaff
1. Entre os pontos A = (4, 0), B = ( 3, 1), C = (0, 7), D = ( 1 2, 0), E = (0, 3) e F = (0, 0), (a) quais estão sobre o eixo OX? (b) quais estão sobre o eixo OY? 2. Descubra qual quadrante está localizado
Leia maisFunções do Plano Complexo(MAT162) Notas de Aulas Prof Carlos Alberto S Soares
Funções do Plano Complexo(MAT62) Notas de Aulas 2-209 Prof Carlos Alberto S Soares O Plano Complexo Considerando a nossa definição de número complexo, é claro que existe uma correspondênca biunívoca entre
Leia maisData: 02/12/2008. Nome:... Nº:... 11º Ano Turma A " # $ % & Duração da prova 90 min. Escola Secundária Afonso Lopes Vieira
Escola Secundária Afonso Lopes Vieira Nome:... Data: 0/1/008 Duração da prova 90 min Nº:... 11º Ano Turma A! " # $ % & 1. Relativamente à recta de equação y = x 1, qual das seguintes afirmações é verdadeira?
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais
Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada 4º Teste de avaliação Grupo I As
Leia maisCÔNICAS - MAT CÁLCULO II - Bacharelado Química - Diurno 2 o SEMESTRE de 2009 Professor Oswaldo Rio Branco ELIPSE
CÔNICAS - MAT 2127 - CÁLCULO II - Bacharelado Química - Diurno 2 o SEMESTRE de 2009 Professor Oswaldo Rio Branco No plano euclidiano consideremos F 1 e F 2 dois pontos (focos) distintos. ELIPSE (1) Se
Leia maisQuestões. 2ª Lista de Exercícios (Geometria Analítica e Álgebra Linear) Prof. Helder G. G. de Lima 1
ª Lista de Exercícios (Geometria Analítica e Álgebra Linear) Prof. Helder G. G. de Lima 1 Questões 1. Sejam A, B, C e D vértices de um quadrado. Quantos vetores diferentes entre si podem ser definidos
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais
Álgebra Linear I - Aula 19 1. Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais. 2. Matrizes ortogonais 2 2. 3. Rotações em R 3. Roteiro 1 Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais 1.1 Bases ortogonais Lembre que
Leia maisNOTAÇÕES. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária i = det M : determinante da matriz M M : inversa da matriz M MN : produto das matrizes M e N AB
Leia mais2 a Lista de Exercícios de MAT2457 Escola Politécnica 1 o semestre de 2014
a Lista de Eercícios de MAT4 Escola Politécnica o semestre de 4. Determine u tal que u = e u é ortogonal a v = (,, ) e a w = (, 4, 6). Dos u s encontrados, qual é o que forma um ângulo agudo com o vetor
Leia maiscom 3 Incógnitas A interseção do plano paralelo ao plano yz, passando por P, com o eixo x determina a coordenada x.
Interpretação Geométrica de Sistemas Lineares com 3 Incógnitas Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática Instituto de Ciências Eatas Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi
Leia maisMAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 2 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de f 1 = 2 e 1 e 2 e 3,
MAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 2 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de 2015 1 Sendo E = { e 1 e 2 e 3 } F = { f 1 f 2 f 3 } bases com: f 1 = 2 e 1 e 3 f 2 = e 2 + 2 e 3 f 3 = 7 e 3 e w = e
Leia maisVetores. 2. (G1 - ifpe 2012) Qual o cosseno do ângulo formado pelos vetores A 4. i 3. j e
Vetores 1. (Uece 2014) Duas únicas forças, uma de 3 N e outra de 4 N, atuam sobre uma massa puntiforme. Sobre o módulo da aceleração dessa massa, é correto afirmar-se que a) é o menor possível se os dois
Leia maisInstituto Tecnológico de Aeronáutica. Prof. Carlos Henrique Q. Forster Sala 121 IEC. ramal 5981
CC Visão Computacional Geometria Projetiva Instituto ecnológico de Aeronáutica Prof. Carlos Henrique Q. Forster Sala IEC ramal 598 ópicos da aula Rotação em D, Escala e Refleo Deformação do quadrado unitário
Leia mais