Temos, 4(x 2 2x) + 3(y 2 + 4y) 32 = 4(x 1) 2 + 3(y + 2) E assim, a quádrica dada é a elipse

Transcrição

1 Exercício (c) - Elipse : x + y x + y 0 Este é apenas um resumo, com comentários, da solução Façam um esboço da elipse, mostrando o centro, os focos, semi-eixos, vértices e retas diretrizes Temos, (x x) + (y + y) (x ) + (y + ) E assim, a quádrica dada é a elipse (x ) (y + ) + 6 Logo, o centro é C (, ), o semi- eixo maior é b, o semi-eixo menor é a e, ainda, c b a 6, o que implica c Portanto, os focos são F (, ) e F (, 0) e os vértices são V (, ), V ( +, ), V (, ) e V (, 6) A excentricidade é e c b As retas diretrizes são y ( ) y + ± b e ± / ± Logo, D : y 0 e D : y 6 ; fim do exercício Não é mister efetuarmos as verificações visto que todos os resultados estão já provados na teoria mas em um primeiro contato com este tópico é prudente faze-las, até mesmo para melhor compreensão da teoria Apresentarei as então uma para cada caso: parábola, elipse e hipérbole Mostremos que P satisfaz a equação dada se e somente se P F e P D Notemos que esta segunda equação é equivalente a (x ) + y e y 6, e, a qual, elevando ao quadrado, é equivalente a (x ) + y (y 6) y y + 6 ou, x + y x + y + 6 0, que é a equação da elipse dada Observando que escolhemos o foco mais próximo à reta diretriz vemos que uma outra possibilidade para escrevermos a equação da elipse, utilizando a outra reta diretriz, é P F e P D, pois desenvolvendo tal equação obtemos (x ) + (y + ) y + 0 ou, (x ) + (y + ) y + 0y + 00 Isto é, x x + + y + y + 6 y + 0y + 00, que é a equação da dada elipse Também obtemos a equação da elipse através da soma das distância aos focos: P F + P F b Isto é, (x ) + (y + ) + (x ) + y pois passando o segundo radical para o segundo membro e então elevando ao quadrado concluímos que (x ) + (y + ) 6 6 (x ) + y + (x ) + y e desta obtemos, y (x ) + y ou, 6 (x ) + y y, que simplificando resulta : (x ) + y 6 y; mais uma vez elevando ao quadrado chegamos à equação (x ) +y 6 y+y e, finalmente, expandindo esta temos mais uma vez a equação da elipse x + y x + y

2 Exercício extra A equação geral de uma reta no plano cartesiano é: D : ax + by + c 0; a ou b não nulo Dado um ponto P o (x o, y o ) R, a distância de P o à reta D é : P D ax o + by o + c a + b Prova Seja m r o coeficiente angular de uma reta r qualquer As retas, designadas por S, perpendiculares à reta D, tem coeficiente angular m S tal que m S m D Logo, utilizando o parametro d, uma equação geral de tais retas é: S : bx + ay + d 0, d R Entre tais retas perpendiculares a D queremos a que passe por P o (x o, y o ) Isto é, bx o + ay o + d 0 e, portanto, determinamos d bx o ay o Temos então a reta S Po : bx + ay + (bx o ay o ) 0 Para determinarmos o ponto P (x, y ) D S Po resolvemos o sistema: ( ) ax + by c bx + ay ay o bx o, Multiplicando a primeira equação por a, a segunda por b, e então somando-as temos : x a +b (b x o aby o ac) e, agora, multiplicando a primeira por b e a segunda por a e somando-as concluímos : y a +b ( abx o + a y o bc) Computemos agora o quadrado da distância de P o (x o, y o ) a P (x, y ): P o P (x o x ) + (y o y ) x o a +b ( b x o aby o ac ) + y o a +b ( abx o + a y o bc ) (a +b ) ( a x o + aby o + ac ) + ( abx o + b y o + bc ) (a +b ) a (ax o + by o + c) + b (ax o + by o + c) (a +b ) (a + b ) (ax o + by o + c) (axo + byo + c) a +b, donde segue a tese

3 segunda prova Reescrevendo (*) na notação matricial temos: a b x c ( ) b a y ay o bx o É fácil constatar que dada uma matriz inversível, A B M C D sua inversa é dada por Assim, a solução de (*) é x y M D B AD BC C A a b a + b b a c ay o bx o Logo, x a +b ( ac aby o + b x o ) e y a +b ( bc + a y o abx o ) e a demonstração segue como a anterior

4 temos Exercício - Hipérbole - Dada a quádrica xy e efetuando a rotação R θ, θ π rad, x ucosθ vsenθ u v (u v) y usenθ + vcosθ u + v (u + v) Tal rotação em notação matricial é descrita como x y cosθ senθ senθ cosθ u v u Logo, de xy obtemos u v e assim a equação reduzida da hipérbole: u v Neste caso temos a b e a hipérbole é dita equilátera O centro é C (0, 0) e, de c a + b, temos c Consequentemente, os focos são, nas coordenadas u e v, f (, 0) e f (, 0) e, nas coordenadas cartesianas x e y, F (, ) e F (, ) Os vértices são, nas coordenadas u e v, (, 0) e (, 0) e, nas coordenadas x e y: V (, ) e V (, ) A excentricidade é e c a As assíntotas são, nas coordenadas u e v, as bissetrizes v ± u ; as quais correspondem, nas coordenadas x, y, aos eixos Ox e Oy : v u a x 0 e, v u a y 0 As retas diretrizes são, nas coordenadas u e v, d : u a e e d : u + a e + ; as quais correspondem, respectivamente, nas coordenadas x e y às retas (verifique) D : y x e D : y x + ; fim do exercício Verificações Mostremos que a equação xy é equivalente a P F e P D ou seja, utilizando as coordenadas u e v provemos que u v é equivalente a P f e P d Temos que esta última, (u + ) + v u +, é equivalente a (u + ) + v (u + ) ou, expandindo, u + u + + v u + u + que é exatamente a equação da hipérbole nas coordenadas u e v Uma outra prova pode ser obtida utilizando as coordenadas x e y Utilizemos que a distância de um ponto P o (x o, y o ) R à reta D : ax + by + c 0, a ou b não nulo, é dada por: P o D ax o + by o + c a + b v

5 Assim, P F e P D é equivalente a (x + ) + (y + ) x+y+, a qual equivale a (x + ) + (y + ) (x + y + ), ou seja, expandindo esta, x + x + + y + y + x + y + + x + y + xy; isto é, xy, que é a equação dada: xy Analogamente prova-se que P F e P D (verifique) Verifiquemos que a quádrica xy é também dada pelas equações P F P F ±a Elevando estas duas últimas equações ao quadrado temos que elas são equivalentes às equações (x + ) + (y + ) ± + (x ) + (y ), com os sinais correspondentes (de forma natural); e estas equivalentes às, (x + ) + (y + ) ± (x ) + (y ) + (x ) + (y ), expandindo e cancelando obtemos x + y ± (x ) + (y ) x y e, isolando o radical no segundo membro e dividindo por temos x + y ± (x ) + (y ) estas duas equações são equivalentes a uma única equação: x + y (x ) + (y ) agora, dividindo por e elevando ao quadrado vemos que esta última equivale a (x + y ) (x ) + (y ), a qual expandindo escrevemos x + y + x y + xy (x x + ) + (y y + ) e então, observando que os termos variáveis, não mistos, se cancelam chegamos à equação + xy +, que é justamente a equação inicial xy Exercício 7 () - Parábola : y 6x A menos dos eixos trocados esta equação está em sua forma padrão Assim, temos p 9, o eixo de simetria é o eixo Ox, o foco é F (9, 0), a reta diretriz é D : x 9 e o vértice é O (0, 0) Mostremos que a equação P D P F define a parábola Reescrevendo P D P F obtemos x + 9 (x 9) + y, a qual é equivalente a x + 9 (x 9) + y ; isto é, expandindo, x + x + x x + + y ou ainda, 6x y

6 Exercício (g) - Parábola : x + xy + y + x y Eliminemos o termo misto efetuando a rotação R θ, onde cotgθ A C B 0 ; isto é, θ π Em notação matricial temos, x cosθ senθ u y senθ cosθ De tal equação matricial obtemos os sistemas de transformações de coordenadas x (u v ) y (u + v ) e x + y u x y v Rescrevendo a equação da parábola obtemos (x + y) + (x y) ; e desta, mudando as variáveis, deduzimos ( u ) v e então concluímos: u v Logo, simplificando, chegamos à equação u v a qual, pela translação u u v v +, torna-se v u ou, em forma padrão, u v Nas coordenadas u e v o eixo de simetria é o eixo v, isto é, u 0, o vértice é (0, 0), o foco é f (0, ) e a reta diretriz é d : v Nas coordenadas u, v o eixo de simetria é v, o vértice é (0, ), o foco é f (0, ) e a reta diretriz é d : v Nas coordenadas x e y o eixo de simetria é r : y x, o vértice é V ( 6, 6 ), o foco é F ( 6, 6 ) e, sendo y x v, a reta diretriz é D : y x Verificação : temos que P D P F se e somente se P D P F ou seja, ( y x ) x + ( 6 ) + y ( 6 ) isto é, y + x + ( + ) xy + y( + ) x( + ) x + x( 6 ) + ( 6 ) + y y( 6 ) + ( 6 ) ou ainda, y + x + ( + ) xy + y( + ) x( + ) x + y + x( 6 ) y( 6 ) + ( 6 ), que reescrevemos como y + x + ( + 6 ) xy + y + y x x x + y + x x y + y + ( 6 ) e então, passando o primeiro membro para o segundo, concluímos que x + xy + y + x y + ( 6 ) ( + 6 ) 0, a qual é a equação da quádrica dada pois ( 6 ) ( + 6 ) 6 6 v 6

7 Exercício - Elipse : 7x xy + y 0 0 O ângulo de rotação θ, 0 < θ < π A C, é dado por cotgθ B Logo, de cossec θ + cotg θ 6 e pela relação trigonométrica fundamental segue e, devido à escolha de θ, sen θ 6 senθ, cos θ 9, cosθ Assim, de cosθ cos θ sen θ sen θ, temos : sen θ, cos θ, e portanto, devido à escolha de θ, senθ e cosθ Para esboçarmos a quádrica é útil calcularmos a tangente de θ Neste caso temos, tgθ A transformação R θ R θ (x, y) é dada pela equação matricial: x y u v u v Pelas fórmulas sintéticas para a mudança de coeficientes quando de uma rotação: A Acos θ + B senθ + Csen θ B (C A)senθ + Bcosθ C Asen θ B senθ + Ccos θ D Dcosθ + Esenθ E Dsenθ + Ecosθ F F ; temos D E 0, B 0, F 0 e, ainda, A 7 + e C Efetuando a rotação a curva passa a ser descrita por u + 0v 0 ou, ainda, u + v, que é a equaçao em forma padrão de uma elipse Nas coordenadas u e v o centro é (0, 0), o semi-eixo maior, ao logo do eixo u, é a, o semi-eixo menor, ao longo do eixo v, é b 7

8 Ainda mais, c 6 e então, c Logo, os focos são, nas coordenadas u e v, f (, 0), f (, 0) As coordenadas dos focos, no sistema x, y, são dadas por ± ± F i 0 ±, e assim, correspondendo f i a F i, i,, e também os sinais, temos F (, ) F (, ) A excentricidade é : e c a As retas diretrizes são, nas coordenadas u e v, d : u, d : u Obs Estou utilizando a notação segundo a qual a diretriz d i é a mais próxima ao foco f i No sistema x, y, as coordenadas da reta diretriz d passam a ser dadas por x, v R, y v sendo que tal equação matricial é equivalente ao sistema linear x x v y 6 + v, o qual é então resolvido, nas incógnitas x e y, ao eliminarmos a variável v; o que é obtido ao multiplicarmos a segunda equação por e então somando-a com a primeira equação: x + y 0 Assim, temos que a reta diretriz D é dada por D : x + y Verificação Mostremos que P F e P D equivalente a 7x xy + y 0 0 Elevando ao quadrado ambos os membros temos P F P D, e expandindo obtemos: o que equivale a, 0(x isto é, ( x ) + ( y ) ( x + y + ), x + + y y + ) (x + y xy x y); 0x 6 x + + 0y y + 9 x + y xy 6 x y; que é, após os devidos cancelamentos, a equação original

9 IMPORTANTE Fácilmente computamos os coeficientes, evitando tantos cálculos trigonométricos, se a equação da quádrica não apresenta termos de grau ; isto é, quando D E 0 Sendo este o caso, temos que para toda rotação os coeficientes D e E serão também nulos (vide fórmulas para os coeficientes) e o coeficiente F não muda Aplicando a rotação que elimina o termo misto, o coeficiente B é também nulo Por último, e mais importante, os coeficientes A e C podem ser calculados trivialmente (mesmo se houver termo de grau ) aplicando a Proposição 0 (v notas p 9 ) Proposição Os coeficientes A e C para a específica rotação que elimina o termo misto são raízes do polinômio característico associado a quádrica, A λ p(λ) B B C λ λ (A + C)λ, B AC Observação Se houver termos de grau, é conveniente : primeiro, eliminá-los (se possível) e em seguida o termo misto Assim procedendo evitamos vários cálculos trigonométricos Assim, no exercício ( 7x xy + y 0 0) temos : Para determinarmos as raízes escrevemos : 7 λ 6 p(λ) 6 λ λ λ + 00 λ λ + 00 (λ ) Logo, temos (λ ) 9 ; e portanto, extraindo a raíz quadrada, λ ; donde concluímos que λ ± e, finalmente, λ ou λ 0 Assim, determinamos quais são as raízes e agora precisamos saber qual delas é A (ou C ) Utilizemos a relação, também à página 9 cosθ A C A C, que informa: se θ pertence ao primeiro quadrante (cosθ > 0) a diferença A C terá o mesmo sinal que a diferença A C e dizemos que a ordem é preservada ; isto é, se A é menor (ou maior) que C então A é menor (ou maior) que C, respectivamente Analogamente, temos : se θ pertence ao segundo quadrante (cosθ < 0) então esta ordem é invertida Retornemos ao exercício Como já vimos, cosθ e, ainda, A 7 e C Logo, como devemos ter 9 A C, segue que A e C 0 9

10 () (a) x + xy + y y 6 0 (resolução iniciando com translação) Como B AC 0, podemos (v notas, pp 0, ) eliminar os termos de grau com uma translação Aqui, apresento matricialmente os cálculos e enfatizo a utilidade do discriminante tanto para a translação como para a identificação da quádrica Seja Q(x, y) x + xy + y y 6, x e y reais Substituindo u x h e v y k, temos (u + h) + (u + h)(v + k) + (v + k) (v + k) 6 u + u v + v + (h + k)u + (h + k )v + (h + hk + k k 6), e em notação matricial, sendo M a matriz associada à quádrica (v notas, p 9), impomos (v notas, p ), M M h k A B B C h determinando h, k Assim, o centro é C (, ) e Q(h, k) Q(, ) 9 Observação Apesar de ser mais fácil resolver diretamente o sistema linear (assim procedi) k, 0, Σ : h + k 0 h + k, é útil, ao menos uma vez, perceber que Σ têm solução única (ie, a translação existe e é única) se, e somente se, seu discriminante (B AC), definido como o determinante da matriz (M) associada ao sistema, é não nulo Com a mesma matriz determinamos (i) a translação (se possível), (ii) os coeficientes A e C ao eliminarmos o termo misto e (iii) a natureza da curva São iguais, o discriminante de Σ, o determinante de M e o discriminante da quádrica ( ) Nas coordenadas u e v a equação é: u + u v + v 9 0 Para escrevermos esta nas coordenadas u e v, sem termo misto, determinamos as raízes de p(λ) det(m λi) λ λ (λ ) Portanto, se p(λ) 0 então λ, o que implica λ ± As raízes de p(λ), A e C, são e Para distingui-las observemos que (v notas, pp 9): A C (A C)cosθ + Bsenθ; como A C 0, cotgθ 0, θ π e B, temos : A C ; e então, A e C Nas coordenadas u e v, a equação da quádrica é: u + v 9, 0

11 e na forma padrão, u ( 6) + v ( ) O semi-eixo maior está sobre o eixo v e mede b e, o menor sobre u e mede a 6; ainda, c b a 6, c, e c b 6, b e 6 Compondo translação e rotação a mudança de coordenadas do sistema uv para o sistema xy é: x + y u v cosθ senθ senθ cosθ u v u v ou ainda, em outra apresentação (é útil utilizarmos ambas, dependendo da oportunidade), x y + u v Os focos são, em uv, f (0, ) e f (0, ); as coordenadas, F, de f em xy são: x y ; e portanto temos F ( 6, 6) e, analogamente, F ( 6, + 6) Em uv as diretrizes são d : v e d : v ; D, as xy coordenadas de d, são: x + y u u + u ; isto é, (x + ) (y ) 6 Logo, as diretrizes em xy são: D : x y e, analogamente, D : x y Verificação Mostremos que a quádrica é dada por P F e P D Elevando ao quadrado temos (x + 6) + (y + 6) x y + 6 ou, (x + ( 6)x + ( 6 + 6) + (y + ( 6 )y + ( 6 + 6) x + y + (9 6 + ) xy + 6( 6)x 6( 6)y, que agrupando obtemos x + y + xy + 0x + 6( 6 ) + 6( 6)y (6 6) (7 6) (0 6); isto é, x + y + xy 6y

12 ()(e) x xy + y + 0x + 0y 0 (resolução iniciando com translação) Sendo () 00 > 0, a quádrica é ou degenerada ou uma hipérbole Translação Sejam Q(x, y) x + xy + y y 6, x u + h e y v + k Substituindo temos u u v + v + (h k + 0)u + ( h + k + 0)v + Q(h, k) 0 O sistema h k + 0 0, h + k é equivalente ao sistema h k, h + k cuja solução é: (h, k) (, ) Notemos: Q(, ) 0 Rotação Obtivemos a quádrica u u v +v +0 0, e rotacionando-a adequadamente eliminamos o termo misto, obtendo uma quádrica com coeficientes A e C raízes de λ p(λ) det(m λi) λ λ λ 00 De p(λ) (λ ) 00 (λ ) 6 λ ± Logo, as raízes de p(λ) são e 0 0 temos λ 6 ; donde, Para distingui-las observemos que cotgθ A C B 7 < 0; logo, pela escolha de θ, cosθ < 0 e, então, de cosθ A C A C 7 A C concluímos, A C < 0 e, portanto, A e C 0 Empregando a rotação obtemos u + 0v + 0 0, no sistema uv, cuja forma padrão é (hipérbole) u v Elementos: a, b, c a + b 0, c, b a, e c a e a e ; ainda, no sistema uv temos, centro (0, 0) e eixo u (v 0) como eixo principal; focos: f (, 0) e f (, 0); vértices : (, 0) e (, 0); diretrizes: d : u e d : u + ; assíntotas: v u e v u Para esboçar a quádrica : temos (v notas p0), cos θ 7/ ( senθ e tgθ ) 9, cosθ, Compondo translação e rotação a transformação do sistema uv para o sistema xy é : x u u u v y v v u + v ou, x y + u v u + v ou ainda, reescrevendo em notação para sistemas, (x ) u v, (y ) u + v Via matrizes e/ou sistema, segundo a preferência, temos, nas coordenadas xy, centro C (, ); eixo principal (v 0): substituindo v 0 em Σ, Σ (x ) u (y ) u

13 temos (x ) (y ), que implica y x focos (u ): os focos são dados por x + 6 y, isto é, F : ( 6, ) e F ( + 6, + ); vértices (u ) : V (, ) e V ( 7, 6 ) diretrizes (u ) : substituindo em Σ temos, (x ) v (y ) + v, multiplicando a primeira equação acima por, a segunda por, e então somando-as obtemos (x ) + 0(y ) 0 e, dividindo por, temos as diretrizes, D : x + y + 0 e D : x + y 0; assíntotas (v u) : substituindo em Σ temos dois sistemas, (x ) u ( u) u (y ) u u u, e (x ) u ( u) u (y ) u + u u, do primeiro obtemos (x ) (y ) ou, x (y ); e do segundo, (x ) (y ) ou, (x ) (y ), donde, as assíntotas x y + 0 e x y 0 Verificação Desenvolvendo o quadrado da equação P F e P D temos: (x + 6 ) + (y + ) x + y + + isto é, 0x x + x 6 + 0y y + 6 y 6 9x + 6y + ( + ) + xy + 6( + )x + ( + )y, a qual, agrupando os termos, é x xy + y + 0( 6+ ) 6( + )x + 0( + 6 ) ( + )y + + 0( ) ( ) 0, que simplificando obtemos, x xy + y + 0x + 0y 0 Obs : Uma outra apresentação para a mudança de coordenadas (a qual prefiro): transladando pelo vetor (, ) e rotacionando pelo ângulo θ arctg( ), a mudança de variáveis do sistema uv para o sistema xy é dada por, x + u y v

14 Exercício (b): x 0xy + y + x + y + 0 Temos que 96 > 0 Logo, a quádrica, se não degenerada, é uma hipérbole Translação Sejam x u + h e y v + k Substituindo-as na quádrica os termos de grau tornam-se (h 0k+)u e ( 0h+k+)v e, para eliminá-los, determinamos (h, k) (, ) Sendo P (x, y) x 0xy + y + x + y + o polinômio associado à quádrica temos P (, ) 9 e passamos a analisar u 0u v + v Rotação Rotacionando mudamos a um sistema uv em que B 0 e os coeficientes A e C são raízes do polinômio característico associado à quádrica dada, λ p(λ) det(m λi) λ ( λ) Logo, A e C são 6 e Para distingui-las observemos que cotgθ 0; logo, θ π, cosθ 0 e senθ Assim, de A C (A C)cosθ + Bsenθ (v p 9), temos A C 0 e, portanto, A e C 6 Em uv a equação é 6u v + 9 0, que tem forma padrão, Hipérbole: ( u ) ( v ) Elementos: Para identificarmos o eixo principal de uma hipérbole, na forma padrão, não é relevante qual dos números a e b ( e, neste caso) é maior mas, qual parcela é subtraída pois ao esta se anular determinamos os vértices e o eixo principal, que os contém Temos, no sistema uv, eixo principal: u (v 0) e centro (0, 0); e ainda, a, b, c a + b, c 0, b a 6, e c a, e a e 0 0 Ainda, no sistema uv temos, focos : f ( 0, 0) e f ( 0, 0) ; vértices: (, 0) e (, 0); diretrizes : d : u 0 0 e d : u 0 0 ; assíntotas : v 6 u e v 6 u Para esboçar a quádrica : temos cosθ senθ Compondo translação e rotação a transformação do sistema uv para o sistema xy é: x u +, y v ou, (x Σ (y ) u v ) u + v, (u, v R) Via matrizes e/ou sistema, segundo a conveniência ou preferência, temos nas coordenadas xy, centro C (, ); eixo principal ( v 0): substituindo v 0 em Σ, temos y x ; focos:(f i ( 0, 0) e F i correspondendo a f i ) F (, ) e F ( +, + ); vértices : V (, ) e V (, ) ; diretrizes : (u 0 0 ) sustituindo em Σ temos (x ) 0 0 v (y ) v, (v R)

15 logo, somando as equações e então dividindo por e, em seguida, simplificando o termo independente obtemos (D i correspondendo a d i ) D : x + y 0 0 e D : x + y ; assíntotas : (v 6 u) substituindo em Σ temos, (x ) u ± 6 u (y ) u 6 u que separamos em dois sistemas, e (x Σ ) u + 6 u + 6 (y ) u 6 u 6 u u (x Σ ) u 6 u 6 u (y ) u + 6 u + 6 u, e, eliminando u, temos por solução de tais sistemas no plano xy, respectivamente, + 6 (x ) 6 (y ) e 6 (x ) + 6 (y ) ou, respectivamente, + (x 6 ) (y 6 ) e (x 6 ) + (y 6 ) ou, ainda respectivamente, ( 6)(x ) ( + 6)(y ) e ( + 6)(x ) ( 6)(y ), que resultam, finalmente e respectivamente, nas assíntotas ( 6)x ( + 6)y e ( + 6)x + ( 6)y 0 Verificação Mostremos que P F e P D Elevando ao quadrado temos, (x ) + (y ) 9 ou x + y 0 6 x + y 0 6x x + ( ) + 6y y + ( ) x + y + ( 0 ) + xy 0 x 0 y, cujo desenvolvimento é, 6x ( ) x + 6( ) + 6y ( ) y + 6( ) x + y + ( 0 ) + 0xy x y; logo, agrupando segundo as variáveis temos, x 0xy + y + ( ) + x + ( ) + y + + ( ) ( 0 ) 0 ; basta agora observar que, ( ) + e, finalmente, ( ) ( 0 )

16 exercício (f) : 9x + 6xy + y 6x + y + 0 (resolução elementar) Sendo 6 ( 9 ) < 0 temos que a quádrica é ou degenerada ou uma elipse Translação Adotando a mudança de coordenadas x u + h, y v + k, os termos de grau tornam-se (h + 6k 6)u e (6h + k + )v e para anulá-los determinamos h e k A quádrica é então expressa por 9u + 6u v + v 0 0 Rotação Pela mudança, u ucosθ vsenθ temos v usenθ + vcosθ, 9(ucosθ vsenθ) + 6(ucosθ vsenθ)(usenθ + vcosθ) + (usenθ + vcosθ) 0 0, que expandindo e reagrupando resulta, (9cos θ + senθ + sen θ)u + ( 9senθ + 6cos θ 6sen θ + senθ)uv + + (9sen θ senθ + cos θ)v 0 0, que, para eliminar o terrmo misto, impomos 6cosθ senθ 0; logo, cotgθ Consequentemente, temos : cossec θ 9, sen θ 9, cos θ 6, cosθ, senθ cos θ + 9 0, cosθ 0 0, senθ 0 0 e tgθ Simplificamos então a equação para 0u + 0v 0 0, cuja forma padrão é u ( ) + v, que representa uma elipse com elementos : semi-eixo maior, b ; semi-eixo menor, a ; c b a ; e c b c Tendo, nas coordenadas uv, centro : (0, 0); focos : f (0, ) e f (0, ) ; diretrizes : d : v b e e d : v A mudança de coordenadas do sistema uv para o sistema xy é dada por, x y 0 u + 0 v Com os elementos acima e sabendo que tgθ, torna-se fácil esboçar a elipse 6

17 Exercício extra (não existe translação que elimine os termos de grau ) : x 6xy + 9y + x y + 0 Neste caso temos B AC (quádrica degenerada ou uma parábola) Procurando uma translação dada por x u + h e y v + k obtemos : u 6u v + 9v + (h 6k + )u + ( 6h + k )v + P (h, k), com P (h, k) h 6hk + 9k + h k + 0 Para eliminarmos os termos de grau devemos resolver o sistema, h 6k 6h + k, o qual é impossível (somando o triplo da primeira equação com a segunda temos 0 + ) Como é invariante por rotações ( 0) ao eliminarmos o termo misto teremos uma equação A u +C v +D u+e v +F 0, com discriminante A C nulo; assim, ou A 0 ou C 0 Efetuemos então a rotação, x ucosθ vsenθ Substituindo temos y usenθ + vcosθ (ucosθ vsenθ) 6(ucosθ vsenθ)(usenθ + vcosθ) + 9(usenθ + vcosθ) + + (ucosθ vsenθ) (usenθ + vcosθ) + (cos θ 6senθcosθ + 9sen θ)u + (sen θ + 6senθcosθ + 9cos θ)v + + ( senθcosθ 6cos θ + 6sen θ + senθcosθ)uv + + (cosθ senθ)u + ( senθ cosθ)v + 0 Impondo o termo misto nulo temos: senθ 6cosθ 0; donde, cotgθ 6 Assim, cossec θ + cotg θ 9, sen θ 9, cos θ 6, senθ, cosθ, cos θ +cosθ 9 0, sen θ 0, senθ 0 0, cosθ 0 0 Identificando os coeficientes, a quádrica nas coordenadas uv é dada por: ( )u +( )v +( )uv +( )u+( )v + 0, ou, 0v + 0u 0v + 0, ou, completando o quadrado, ( 0v ) + 0u + 0, que é uma parábola 7

18 Para vizualizá-la esboçe o sistema uv, obtido rotacionando o canônico por θ arctg rad, no sentido anti-horário Em seguida, mudando as variáveis para u 0(u + 0 ) v 0(v 0 ), obtemos a parábola, u v que é de fácil identificação pois: () o centro do sistema de coordenadas u v corresponde ao ponto (u o, v o ) ( 0, 0 ), no sistema uv (esboce), e () esta mudança é uma translação, seguida de uma homotetia ( uma mudança de escala, neste caso a constante de proporcionalidade é 0 ) Para o esboço note que a mudança de escala, como cumpre ser, não afeta o formato da parábola, ou de qualquer curva Assim, o sistema u v está centrado em (u o, v o ) e os eixos u e v são, respectivamente, paralelos e com mesma direção e sentido que os eixos u e v ( pois 0 > 0) Esboce os três sistemas utilizados Observe que no sistema u v a parábola tem a concavidade voltada à esquerda, o foco é dado por (, 0) e a reta diretriz é dada por u