ANÁLISE DAS CORRESPONDÊNCIAS MÚLTIPLAS

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1 ANÁLISE DAS CORRESPONDÊNCIAS MÚLTIPLAS MANUAL DO MÓDULO AFCM (Versão 7.10) OBJECTIVO: A ANÁLISE FACTORIAL DAS CORRESPONDÊNCIAS é uma técnica estatística multivariada, no domínio da Análise Factorial, que permite a visualização e redução de dados contidos em tabelas de grandes dimensões, cruzando um certo número de indivíduos com as variáveis qualitativas que os caracterizam. A Análise Factorial das Correspondências é aplicável a tabelas de input constituídas por números positivos ou nulos e permite encontrar os factores que melhor explicam as similitudes e oposições entre indivíduos e variáveis. Esses factores, hierarquizados por ordem decrescente da sua importância para a explicação da tabela de partida, constituem um sistema de eixos ortogonais onde é possível visualizar, sob a forma gráfica, as projecções dos constituintes da matriz de dados. A interpretação dos gráficos é efectuada com base num conjunto de regras simples e claras, evidenciando as relações mais significativas existentes nas tabelas de input. Habitualmente distingue-se duas variantes da Análise Factorial das Correspondências: Binárias e Múltiplas. A Análise Factorial das Correspondências Binárias (módulo ACOR, descrito no capítulo 3) utiliza-se principalmente quando se pretende tratar tabelas de contingência ou tabelas em que um conjunto de indivíduos é caracterizado por um conjunto de variáveis que tomam valores reais positivos e homogéneos. A Análise Factorial das Correspondências Múltiplas (módulo AFCM, descrito neste capítulo) aplica-se preferencialmente a tabelas de indivíduos caracterizados por variáveis qualitativas e quantitativas, após recodificação apropriada numa tabela disjuntiva completa ou num quadro de Burt 1. APLICAÇÕES A Análise Factorial das Correspondências é aplicável a tabelas contendo valores numéricos referentes a distintos domínios do conhecimento, tanto na fase de 1 Esta distinção entre Análise de Correspondências Binárias e Múltiplas é introduzida aqui por razões operacionais, que não têm expressão algorítmica. De facto, se após recodificação de um quadro de dados de variáveis quantitativas e qualitativas, submetermos o quadro disjuntivo completo (ou de Burt) ao módulo ACOR os resultados são análogos aos que se obtêm executando o módulo AFCM directamente sobre os dados originais. CVRM Centro de Geosistemas do IST,

2 Investigação & Desenvolvimento, como na fase de tratamento de rotina dos elementos estatísticos existentes em diferentes Empresas e Instituições que manipulem grande quantidade de informação. Apresentam-se seguidamente alguns domínios em que a Análise Factorial das Correspondências tem sido aplicada: PSICOLOGIA escalas de atitudes, orientação escolar SOCIOLOGIA tratamento de inquéritos MEDICINA investigação clínica, epidemologia, estatística médica HISTÓRIA arqueologia, demografia, dados económicos e sociais GEOGRAFIA caracterização de unidades espacialmente localizadas ENGENHARIA análise exploratória de dados para o estabelecimento de modelos BIOLOGIA tipologia de espécies CIÊNCIAS DO AMBIENTE dispersão de poluentes no espaço e no tempo ECONOMIA quadros de input / output, séries cronológicas, análise de cotações LINGUÍSTICA lexicologia, gramáticas comparadas ESTUDOS DE MERCADO apuramento de resultados de entrevistas MANAGEMENT síntese de dados estatísticos como sistema de apoio à decisão MARKETING estudos para o lançamento de novos produtos CIÊNCIAS DO DESPORTO análise estatística de performances VANTAGENS As grandes massas de dados de que se dispõe são apresentadas por histogramas, tabelas de percentagens, gráficos de correlação. Estas formas de apresentação não permitem, em geral, visualizar de uma forma imediata as relações entre os constituintes da tabela de dados. Só através de um método estatístico de síntese, é possível extrair das tabelas a informação essencial, explicitando o sistema de interdependências entre as variáveis e os objectos e minimizando simultaneamente a redundância e o ruído. Quanto aos outros métodos factoriais a Análise Factorial das Correspondências apresenta a vantagem de poder tratar qualquer tipo de quadro de input contendo números positivos, sendo especialmente concebido para tabelas de contingência, resultantes de contagens. EXECUÇÃO Uma vez lido o ficheiro de dados, cuja estrutura é a referida na página 1.2, para executar o algoritmo de Análise Factorial das Correspondências Múltiplas, selecciona-se a opção Análise das Correspondências Múltiplas na janela principal do programa ANDAD (Figura 6.1) ou clica-se no ícone correspondente presente na barra de utilitários. CVRM Centro de Geosistemas do IST,

3 Figura 6.1 Execução da Análise Factorial das Correspondências Múltiplas Desencadeada a execução do módulo, são pedidos os valores dos diversos parâmetros de controlo da Análise Factorial das Correspondências Múltiplas, através do sistema de janelas do programa. Em primeiro lugar deve-se seleccionar, na janela representada na figura 6.2, as colunas que se pretende estudar. Esta selecção das colunas (activas e suplementares) e dos restantes parâmetros - número de linhas (activas e suplementares) e número de factores podem ser obtidos através de um ficheiro de configuração (extensão ACFG) gravado anteriormente numa das janelas seguintes. Figura 6.2 Selecção das colunas para submeter à Análise Factorial das Correspondências Múltiplas A informação sobre as linhas e colunas do quadro de dados e sobre os resultados a produzir no relatório deverá ser dada a partir dos botões da janela principal apresentada na figura 5.3. As linhas podem ser identificadas pelo respectivo CVRM Centro de Geosistemas do IST,

4 identificador (opção de defeito) ou pode-se seleccionar uma variável qualitativa. Nesta janela pode-se também gravar, como referido no parágrafo anterior, um ficheiro de configuração, com os parâmetros utilizados. Figura 6.3 Janela principal da Análise Factorial das Correspondências Múltiplas A opção <Linhas> permite apenas verificar o número de linhas (indivíduos) do quadro de dados. Figura 6.4 Janela para definição das colunas do quadro de dados. Na janela da figura 6.4 apresenta-se a informação que é necessário introduzir sobre as colunas do quadro de dados. A opção <Divisão em Classes> permite seleccionar o número de classes em que as variáveis quantitativas serão divididas e o critério a utilizar para as classes (igual frequência, igual amplitude ou introdução dos limites) como se pode ver na Figura 6.5. Um duplo click sobre a variável permite aceder à janela de definição das modalidades de cada variável (Figura 6.6). CVRM Centro de Geosistemas do IST,

5 Figura 6.5 Janela para definição do número de classes em que cada variável quantitativa será dividida. Na janela da figura 6.6, que pode também ser acedida em sequência para todas as variáveis através da opção <Informação Variáveis>, são fornecidos ou alterados os identificadores das variáveis 2 (4 caracteres), os identificadores de cada uma das modalidades 2 (no caso das variáveis quantitativas correspondem às classes) e os valores tomados pelas modalidades, que devem ser números inteiros compreendidos no intervalo [0, 99]. No caso das variáveis quantitativas os valores das modalidades são dados pelo número de ordem das classes. Por exemplo, se uma variável foi dividida em 3 classes, o valor das modalidades (3) é 1, 2 e 3. Figura 6.6 Janela para indrodução da informação sobre as modalidades das várias variáveis (quantitativas, após recodificação, e qualitativas). 2 Esta alteração dos identificadores das linhas e das colunas é apenas local, não influenciando outras análises. CVRM Centro de Geosistemas do IST,

6 Na figura 6.7 apresenta-se a janela onde se deve introduzir informação sobre os resultados do programa. Assim pode-se pedir para incluir no relatório cópia dos dados e alguns gráficos com a projecção das colunas e das linhas nos principais eixos factoriais. Pode-se também seleccionar o número de factores. Figura 6.7 Janela para definição de alguns resultados da AFCM. O número de factores pretendidos tem que ser igual ou menor que a menor dimensão da matriz de dados. O número máximo de factores é dado pela diferença entre a menor dimensão da matriz de dados e o número de constrangimentos (no caso de quadros com q variáveis, recodificadas numa tabela disjuntiva completa ou quadro de Burt, há q constrangimentos, etc.) Após execução do programa, obtém-se, no directório onde está localizado o ficheiro de dados, 3 novos ficheiros cujas designações são a do ficheiro de dados com as extensões VPC, LIC e COC e que contêm respectivamente os valores próprios e as coordenadas das linhas e das colunas nos eixos pedidos (exemplo: se o ficheiro de dados se chamar exemplo.dat, o programa cria os ficheiros exemplo.vpc, exemplo.lic e exemplo.coc). Estes ficheiros podem ser processados por um programa de gráficos (HARVARD GRAPHICS, EXCEL) de modo a projectar as amostras e as variáveis nos principais planos factoriais. EXEMPLO DE APLICAÇÃO Considere-se o quadro de dados constituído pelo número absoluto de votos obtido pelos 5 principais partidos (PCP, PS, PSD CDS e PRD) nas eleições legislativas de 1987 nos 18 distritos do continente e por um código que indica se o distrito se localiza na zona norte ou na zona sul do país. A matriz de dados foi introduzida utilizando um editor de texto, criando-se um ficheiro designado ELEICOES1.DAT (ver figura 6.8). A Análise Factorial das Correspondências Múltiplas é uma técnica apropriada para tratar quadros deste tipo que contêm simultaneamente variáveis quantitativas e qualitativas. As variáveis quantitativas devem ser recodificadas em classes. PCP PS PSD CDS PRD N/S CVRM Centro de Geosistemas do IST,

7 AVE BEJ BRA BRG CBR COB EVR FAR GUA LEI LIS PTG POR SAT SET VCA VIR VIS PCP PS PSD CDS PRD S/N Figura Quadro dos dados de partida (5 variáveis quantitativas e 1 qualitativa) Nas figuras 6.2 a 6.7 apresenta-se os valores dos parâmetros utilizados para executar o programa AFCM. O número de linhas coincide com o número de distritos e o número total de variáveis quantitativas é igual ao número de partidos considerados enquanto existe apenas 1 variável qualitativa que tem 2 modalidades possíveis (norte e sul do país); para recodificar as variáveis quantitativas (votações em cada um dos partidos) usaram-se 3 classes: resultados fracos, baixos e altos, no caso mantendo a mesma proporção; seleccionaram-se 8 factores, introduziram-se os identificadores das colunas, pediu-se para criar ficheiro com coordenadas (ficheiro para gráficos). Após execução do AFCM, o módulo apresenta a janela representada na figura 6.9 onde se podem seleccionar os resultados fornecidos pelo programa: informação sobre os eixos factoriais (figura 6.10), o scree plot (figura 6.11), as coordenadas das colunas (figura 6.12) e das linhas nos eixos factoriais, as contribuições absolutas das linhas e das colunas, as contribuições relativas das colunas e das linhas e os gráficos factoriais das colunas e das linhas. Figura 6.9 Janela de resultados da AFCM. CVRM Centro de Geosistemas do IST,

8 A análise da figura 6.10 mostra que 2 eixos explicam cerca de 71% da variabilidade total presente no quadro de dados. Pode-se assim diminuir a dimensão do problema de 17 para 2 dimensões, sem perda significativa de informação ( 29% apenas). Figura 6.10 Informação sobre os eixos factoriais resultantes da AFCM. Na figura 6.11 apresenta-se o scree plot cujo andamento contribui também para a selecção do número de eixos a reter. Figura 6.11 Scree plot da AFCM. Na figura 6.12 pode-se ver as coordenadas da totalidade das variáveis nos eixos factoriais. O módulo permite, alternativamente, ver apenas as coordenadas das variáveis activas ou das variáveis suplementares. CVRM Centro de Geosistemas do IST,

9 Figura 6.12 Coordenadas das colunas (variáveis) nos eixos da AFCM. Na figura 6.13 pode-se ver as contribuições absolutas das colunas nos eixos factoriais, cujos valores permitem explicar os eixos. Verifica-se assim que a variável PS1 é a variável mais importante para a construção do eixo 1 pois explica % da variabilidade deste eixo. Figura 6.13 Contribuições absolutas das colunas (variáveis) nos eixos da AFCM. Na figura 6.14 apresenta-se os valores das contribuições relativas das linhas nos eixos factoriais. Verifica-se assim que a linha FAR está mal representada no eixo 1, pois o valor da contribuição relativa (0.0067) é próximo de 0 (é muito diferente de 1). CVRM Centro de Geosistemas do IST,

10 Figura 6.14 Contribuições relativas das linhas nos eixos da AFCM. Na figura 6.15 pode-se ver a projecção das colunas no 1º plano factorial. O programa permite representar, alternativamente, as colunas activas, as colunas suplementares ou o conjunto total das colunas. Clicando com o botão esquerdo do rato em cada um dos pontos do gráfico, o programa permite identificar cada uma das variáveis (existe também uma opção para identificação de todas as variáveis). Clicando no mesmo botão e mantendo o dedo, pode-se arrastar os identificadores para outras posições, procurando obter um gráfico mais claro. Com o botão do lado direito do rato pode-se voltar à posição inicial. Clicando no campo esquerdo da janela, pode-se seleccionar um dos outros gráficos factoriais. Figura 6.15 Projecção das variáveis no 1º plano factorial da AFCM. CVRM Centro de Geosistemas do IST,

11 Na figura 6.16 está representado o 1º gráfico factorial das linhas com identificação de cada um dos pontos. Figura 6.16 Projecção das linhas no 1º plano factorial da AFCM. O programa apresenta 2 relatórios: o 1º corresponde à recodificação do quadro de dados (ficheiro RECOD.PRN) enquanto o 2º corresponde aos resultados da Análise Factorial. Relativamente ao 1º relatório pediu-se uma cópia da tabela com recoficação dos dados quantitativos e com a matriz disjuntiva completa. Quanto ao 2º relatório pediu-se uma cópia dos dados (quadro de Burt) e 1 gráfico. Nas figuras seguintes apresenta-se alguma da informação contida nos 2 relatórios produzidos no directório de trabalho C:\PROGRAMAS\ANDAD\DADOS (ficheiros RECOD.PRN e AFCM.PRN). Nas figuras 6.17 a 6.19 apresenta-se, respectivamente, o quadro de dados recodificado, o quadro disjuntivo completo e o quadro de Burt. PCP PS PSD CDS PRD N/S AVE BEJ BRA BRG CBR COB EVR FAR GUA LEI LIS PTG POR SAT SET VCA CVRM Centro de Geosistemas do IST,

12 VIR VIS PCP PS PSD CDS PRD N/S Figura Quadro de dados recodificado (5+1 variáveis qualitativas) PCP1 PCP2 PCP3 PS1 PS2 PS3 PSD1 PSD2 PSD3 CDS1 CDS2 CDS3 PRD1 PRD2 PRD3 Nor Sul AVE BEJ BRA BRG CBR COB EVR FAR GUA LEI LIS PTG POR SAT SET VCA VIR VIS PCP1 PCP2 PCP3 PS1 PS2 PS3 PSD1 PSD2 PSD3 CDS1 CDS2 CDS3 PRD1 PRD2 PRD3 Nor Sul Figura 6.18 Tabela disjuntiva completa CVRM Centro de Geosistemas do IST,

13 PCP1 PCP2 PCP3 PS1 PS2 PS3 PSD1 PSD2 PSD3 CDS1 CDS2 CDS3 PRD1 PRD2 PRD3 Nor Sul PCP PCP PCP PS PS PS PSD PSD PSD CDS CDS CDS PRD PRD PRD Nor Sul PCP1 PCP2 PCP3 PS1 PS2 PS3 PSD1 PSD2 PSD3 CDS1 CDS2 CDS3 PRD1 PRD2 PRD3 Nor Sul Figura 6.19 Quadro de Burt Na figura 6.20 apresenta-se uma cópia de alguns dos parâmetros introduzidos. ANALISE FACTORIAL DAS CORRESPONDÊNCIAS Versão 7.00 CVRM Software - Instituto Superior Técnico (c) CVRMUTL 1986, C:\Programas\Andad\Dados\eleicoes1.and UTILIZAÇÃO DE MEMÓRIA. numérica literal 105 N. total de linhas => 35 N. de linhas activas => 17 N. total de colunas => 17 N. de colunas activas => 17 Linhas activas (1) ou ilustrativas (0) Colunas activas (1) ou ilustrativas (0) N. de factores seleccionados => 8 N. de graficos seleccionados => 1 N. de paginas por grafico => 1 N. de linhas por grafico => 65 N. de desvios padrao => 2.5 Cria ficheiro (1) ou nao (0) => 1 Imprime dados (1) ou nao (0) => 1 Formato de leitura => (a4,19f4.0:/(20f4.0:)) Figura 6.20 Alguns parâmetros do programa Na figura 6.21 encontra-se informação relativa aos valores próprios a importância relativa de cada um dos eixos é analisada pela coluna % EXP. Verifica-se, neste caso, que os dois primeiros factores explicam 70.71% da variabilidade contida na matriz de dados. VAL.PROP % EXP % ACU HISTOGRAMA DOS VALORES Figura 6.21 Valores próprios e percentagem de explicação dos factores CVRM Centro de Geosistemas do IST,

14 Na figura 6.22 apresenta-se o output principal do módulo AFCM. Contém as coordenadas, as contribuições absolutas e as contribuições relativas dos indivíduos e das modalidades nos eixos. NOMES MASSAS DIST/O* COORDENADAS * CONTRIBUICOES ABSOLUTAS * CONTRIBUICOES RELATIVAS * ************************************************************************************************************************** * F1 F2 F3 F4 F5 F6 * F1 F2 F3 F4 F5 F6 * F1 F2 F3 F4 F5 F6 * ************************************************************************************************************************** Pontos-coluna activos PCP * * * * PCP * * * * PCP * * * * PS * * * * PS * * * * PS * * * * PSD * * * * PSD * * * * PSD * * * * CDS * * * * CDS * * * * CDS * * * * PRD * * * * PRD * * * * PRD * * * * Nor * * * * Sul * * * * Pontos suplementares AVE * * * * BEJ * * * * BRA * * * * BRG * * * * CBR * * * * COB * * * * EVR * * * * FAR * * * * GUA * * * * LEI * * * * LIS * * * * PTG * * * * POR * * * * SAT * * * * SET * * * * VCA * * * * VIR * * * * VIS * * * * Figura 6.22 Coordenadas das colunas e linhas nos eixos Na figura 6.23 encontra-se o gráfico que cruza os dois primeiros factores, que explicam 70.71% da variabilidade total. Este gráfico contém as projecções das modalidades das variáveis quantitativas e qualitativas, representados pelos respectivos identificadores. CVRM Centro de Geosistemas do IST,

15 EIXO 1-- HORIZONTAL EIXO 2-- VERTICAL SET I. I I. I I. I I. SAT I I. I I. I I. I I. I I. I I. I BEJ Sul. I I. PCP3 LIS I I. I I EVR. FAR I I. I I. I I. PRD3 I I. I I. I I. I I. I I. I I. I PTG. I I. I I. I I CDS1 PSD2 I I. I I. POR I I. PS3 I I. I PS1. I I. I I PSD1 CDS2. I I I I. I I. I I. I I. I I PRD1. PCP2 I I. I I. PS2 BRA I. COB I I VIR. PSD3 I I. I I. I I. PRD2 I I. I I. I BRG. Nor I I. I I. I I PCP1. I I VCA. I I CBR. I I. AVE I I. I I. I I. I I. I I. LEI I I. I I. I VIS Figura 6.23 Projecção das diversas modalidades e dos distritos no 1º plano factorial CVRM Centro de Geosistemas do IST,