campo da ciência, saber com que unidade se está trabalhando. A partir do capítulo 2 trabalharemos basicamente com unidades do S.I.

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1 Prova 1 Tema Movimentos unidimensionais Prof. Leandro Neckel Movimentos de corpos e/ou de sistema de corpos são um campo de muita importância na ciência, em geral. A compreensão das características e constantes associadas a movimentos e comportamentos de corpos é importante para diversas áreas do conhecimento, em especial física e engenharias em geral. O curso de física 1 é voltado para a mecânica básica de corpos, porém é necessário iniciar este estudo de forma simples e organizada. Isto é feito iniciando a partir das definições mais simples relacionadas a movimento de corpos. Iniciaremos, neste capítulo, a compreensão de posição, velocidade e aceleração. POSIÇÃO A definição de posição de um corpo é uma grandeza vetorial, ou seja, que necessita de um sistema de referência como base para ser bem definido. Utiliza-se normalmente eixos coordenados cartesianos, polares (para o plano), cilíndricos ou esféricos. Em física 1 restringiremos o estudo ao plano e ao espaço cartesiano. O capítulo, que lida com movimentos unidimensionais, entretanto, não necessita do plano cartesiano nem mesmo do espaço para estudo. Trabalharemos aqui com movimentos retilíneos, ou seja, que ocorrem sobre uma linha reta. Logo, para isto basta a reta real de algum eixo coordenado. Normalmente utiliza-se o x para movimentos horizontais e y ou z para movimentos verticais. Tomemos então o eixo x como referencia para a definição de posição. campo da ciência, saber com que unidade se está trabalhando. A partir do capítulo trabalharemos basicamente com unidades do S.I. O conceito de posição é bem simples e pode ser facilmente exemplificado. Diz-se que um corpo que está a m a direita da origem do sistema está na posição =+. Diz-se que um corpo que assume uma posição a 4m à esquerda da origem está na posição = 4. Observando os exemplos compreende-se a importância da correta utilização dos sinais. DESLOCAMENTO O deslocamento é definido como a quantidade de variação ou mudança de posição. Por ter relação direta com a posição, o deslocamento também se torna uma grandeza vetorial. (1) Δ = sendo a posição inicial de um corpo e a posição final do mesmo. Repare que esta definição, expressa desta forma, não leva em conta o caminho percorrido pelo corpo, mas somente a diferença entre a posição inicial e final. Em um exemplo de uma viagem de Criciúma até Florianópolis (imaginando que BR-101 seja uma linha reta) em que para-se em Laguna, para depois voltarse a Tubarão, para depois ir-se a Paulo Lopes, voltar a Imbituba e então seguir até Florianópolis, o deslocamento só calcula quanto se deslocou de seu ponto inicial (Criciúma) até o ponto final (Florianópolis). O eixo utilizado deve ter uma origem, onde o sistema numérico começa a ser contado. Normalmente define-se que os valores positivos crescer, a partir da origem, ou ponto 0, para direita. Do outro lado, os valores negativos decrescem, a partir da origem, para a esquerda (do leitor, no caso). Repare que na reta coordenada acima, utilizou-se uma unidade para representar a posição. Neste caso utilizou-se o metro(m). A unidade é algo que também não deve ser esquecido quando trabalha-se com posição. É de extrema importância, em qualquer Suponha que elenquemos a cidade de Imbituba como ponto de origem da reta real em x. Suponha também as seguintes posições: =+50 ó =+80 = 30

2 ã = 50 "#ú% = 110 E, também, '% ( =0 Logo, se calcularmos o deslocamento Δ de Criciúma a Florianópolis, tomando como posição inicial Criciúma ( = 110) e final Florianópolis ( = +80) temos: Δ= Δ=)+80* ) 110* Δ=+190 O sinal positivo do deslocamento demonstra o sentido do mesmo, ou seja, segundo a reta numerada acima, o deslocamento ocorreu da esquerda para a direita. Se tivermos um percurso contrário, de Florianópolis a Criciúma, teremos um deslocamento no sentido oposto. Δ= = "#ú% ó Δ=) 110* )+80* Δ= 190 DISTÂNCIA PERCORRIDA O conceito de distância percorrida se difere do de deslocamento uma vez que aquela conta somente a diferença de posição inicial e final de um corpo. Ainda, aquela é vetorial e se apoia em um sistema métrico bem definido para que tenha nexo. A distância percorrida, no entanto, conta qual o comprimento de caminho percorrido durante todo o deslocamento. De uma forma não citada em qualquer livro da bibliografia recomendada, podemos definir de forma simplória a distância percorrida como, #- = Δ ou seja, a distância percorrida é dado pela soma dos módulos dos deslocamentos existentes entre os pontos inicial e final do movimento. Tomamos o mesmo exemplo citado acima para aplicar esta definição. O movimento total é feito por alguns deslocamentos particulares: 1. Criciúma Laguna. Laguna Tubarão 3. Tubarão Paulo Lopes 4. Paulo Lopes Imbituba 5. Imbituba Florianópolis Calculando os deslocamentos de cada um temos: Δ 0 =) 30* ) 110*=+80 Δ 1 =) 50* ) 30*= 0 Δ =)+50* ) 50*=+100 Δ 3 =)0* )+50*= 50 Δ 4 =)+80* )0*=+80 Utilizando a definição de distância percorrida temos:, #- = Δ 0 + Δ 1 + Δ + Δ 3 + Δ 4, #- = , #- = , #- =330 Esta distância percorrida é a marcada no hodômetro de veículos. Ainda, é importante citar que a definição vista aqui é uma simplificação para a definição formal. VELOCIDADE MÉDIA (vetorial) A velocidade média é uma medida que retrata a quantidade de deslocamento exercida em uma determinada quantidade de tempo. Formalmente: (3) 5 %- = 67 6( sendo que, no SI, temos que o tempo é em segundos (s). É importante citar que no estudo unidirecional da velocidade média, o sinal atribuído a mesma indica a direção do deslocamento uma vez que o a variação de tempo é sempre positiva. No exemplo anterior, no caso da ida de Criciúma à Florianópolis com todas as idas e voltas, imaginemos agora que o caminho todo tenha sido feito em 4 horas. Logo, a velocidade média será: 5 %- = = Repare que, se tomássemos o caminho oposto teríamos: 5 %- = 190 = demonstrando que o sinal atribuído à velocidade demonstra o sentido do deslocamento. VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA

3 Como o próprio nome diz, esta velocidade é escalar, ou seja, não depende de direção e sentido. A mesma, de forma grosseira, é definida como: (4) < %- = = >?@AB@@CDE 6( Para nosso exemplo, citado anteriormente, teríamos: < %- = =8,5 9 Esta é a velocidade média calculada utilizando o hodômetro do carro. Para esclarecer melhor o conceito, observe o exemplo: Imagine que você está dirigindo em uma rodovia a 110 G% H. Estime qual será a distância retilínea percorrida durante um piscar de olhos seu sabendo que o mesmo dura aproximadamente 0,5<. Inicialmente é necessário converter a velocidade de G% para %. Temos assim: H < %- = < 30,56 < Logo, utilizando o conceito de velocidade escalar média temos: < %- =, #-, #- =< %-, #- =30,56 0,5, #- =7,64 Você teria percorrido aproximadamente 7,64m em um piscar de olhos. A velocidade média de um móvel é a taxa com que um corpo desloca-se um determinado Δ em um determinado intervalo do movimento. Assim, pode-se também interpretar que o corpo assume posições x diferentes à medida que o tempo t passa. Desta forma pode-se definir uma função )8* que relaciona a posição do corpo com o tempo corrente 8. Podemos brincar com esta ideia criando funções para a posição em função do tempo t. Observe: Utilizemos, então um exemplo mais sofisticado: (b) )8*=8 1 Onde a posição depende do quadrado da velocidade. Para este caso temos o seguinte gráfico: Analisando rapidamente os dois é possível pensarmos em alguma breve interpretação sobre a velocidade do corpo apresentado pelos mesmos. Repare que no gráfico da função (a), temos que para a posição evolui linearmente com o tempo que passa, ou seja, o corpo se desloca o mesmo tanto para tempos iguais. Desta forma concluímos que o corpo da função (a) se desloca com velocidade constante. No gráfico da função (b) reparamos que o mesmo não ocorre. À medida que o tempo passa o corpo vai se deslocando cada vez mais, ou seja, aumentando sua velocidade. Através do gráfico ainda é possível calcular a velocidade média do corpo. Para qualquer tipo de função posição que possuirmos, o cálculo de velocidade média sempre será 5 %- = Logo, para calcularmos pelo gráfico temos que elencar um ponto de posição inicial e final e verificar o tempo percorrido entre ambas as posições. Observe: (a) )8*=8 Esta função (chamada de função posição) demonstra que a posição x depende linearmente do tempo t tendo o seguinte gráfico:

4 Repare que é possível montarmos um triângulo com os pontos designados no gráfico: pequeno, teremos uma velocidade média que é, também, suficiente próxima a velocidade instantânea em um instante 8 dentro do intervalo de tempo. Graficamente, temos que em um intervalo de tempo suficientemente pequeno teremos que a inclinação obtida será a igual a inclinação da reta tangente ao traçado da curva de )8*. Observando o triângulo é possível resgatar uma função trigonométrica Matematicamente temos esta definição como: 67 (5) 5)8* = lim = -7 6( V 6( -( Onde a notação -7 -( )8*. representa a derivada da função DEMOSNTRAÇÃO DA DERIVADA (opcional) Logo tan)p*= = Δ =5 %- No caso demonstrado acima, temos que <, o que demonstra que o móvel está se movendo para a esquerda, ou para o sentido negativo da reta real x. Assim pode-se prever que a 5 %- será negativa. Um outro fator interessante associado à interpretação gráfica da velocidade média é a inclinação da reta. Esta, quando representada em escala, demonstra a intensidade da velocidade, ou seja, quando mais inclinada a reta é (quanto maior o ângulo P), maior é o módulo da velocidade. VELOCIDADE INSTANTÂNEA A velocidade instantânea de um móvel é a velocidade exata em um determinado instante durante seu movimento. Em carros, é possível obter esta velocidade olhando diretamente no velocímetro do carro, porém esta velocidade é chamada formalmente de velocidade escalar instantânea e só passa a intensidade desta grandeza (velocidade). Aqui, no estudo da cinemática, estamos interessados não somente na intensidade, mas também na direção e sentido da velocidade. Para calcular esta velocidade instantânea, que chamaremos neste capítulo de 5, podemos pensar que se calcularmos a velocidade média 5 %- de um móvel em um intervalo de tempo suficientemente Suponha um móvel se movimentando segundo determinado função posição. Em determinado instante 8 sua posição será tal que )8* é a simbologia utilizada para expressar a posição no tempo 8. Agora imagine que depois de determinado intervalo de tempo após 8 o móvel se desloque dado Δ. Este deslocamento Δ, segundo o que já foi trabalhado, é determinado pela diferença entre as posições inicial e final, logo Δ =. No parágrafo anterior citamos que a posição do móvel inicialmente era )8*. Logo, reescrevemos Δ = )8*. Agora, lembremos que =8 8 e que também chamamos o tempo inicial de 8 somente, logo 8 =8. Assim: =8 8. Com isso podemos discutir algebricamente onde o móvel estará após o intervalo, quando o cronometro marcar 8. É conveniente interpretar a posição final como a posição assumida pelo móvel no instante 8, logo = W8 X. Assim podemos reescrever o deslocamento como Δ=W8 X )8* Agora, sendo =8 8, é conveniente reescrever 8 =8+. Assim Δ =)8+* )8* Como temos 5 %- = 67, podemos reescrever 6(

5 5 %- = )8+* )8* Seguindo a linha de raciocínio para a velocidade instantânea 5, (que a velocidade em determinado instante 8, podendo ser escrita como 5)8*), vamos calcular esta velocidade média de forma que o intervalo de tempo analisado seja extremamente pequeno, se aproximando de zero. Esse procedimento se chama procedimento limite 5 = lim 6Y V 5 %- = lim 6( V )8+* )8* Naturalmente, é impossível fazer este cálculo diretamente, pois aproximando a zero, seria necessário executar uma divisão por zero, o que não existe na matemática. Este procedimento limite em casos como este é conhecido como derivada e pode ser representado simbolicamente de algumas maneiras: Δ 5 = lim 6( V =Z Z8 A simbologia -7 significa a derivada da função em -( função da variável 8. EXEMPLO Um dos casos que analisaremos como especial neste capítulo pode já ser abordado neste ponto. Tomemos como exemplo a função posição do tipo )8*=[ 8 1 onde [ é constante. O gráfico desta função posição é do tipo apresentado abaixo: demonstrando que a velocidade aumenta linearmente com o tempo que passa. O gráfico da função velocidade é dado por Este gráfico demonstra que a velocidade varia durante o movimento, logo a interpretação feita sobre o gráfico anterior da posição é correta. ACELERAÇÃO MÉDIA. De forma análoga, a aceleração é a taxa de mudança de velocidade ao longo do tempo (6) [ %- = 6\ 6( ACERAÇÃO INSTANTÂNEA De forma também análoga, temos que 6\ (7) [)8*= lim = -\ 6( V 6( -( Assim, a aceleração [ em um determinado instante 8 ([)8*) é a derivada da velocidade no tempo. Tomando o mesmo caso como exemplo, ou seja, partindo de temos 5)8*=[ 8 [)8*= Z5 Z8 =[ Repare que, para este caso, a aceleração, igual a [ é constante. Logo, seu gráfico: Como mencionado anteriormente, é possível observar que o móvel se desloca mais positivamente a medida que o tempo passa. A função velocidade, obtida pela derivação da função posição, é 5)8*= Z Z8 =[ 8 EXEMPLIFICAÇÃO: POSIÇÃO, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO. Exercício de prova (semestres anteriores): O movimento de um móvel que se move ao longo do eixo é

6 dado por )8*= onde x está em metros e t em segundos. O movimento do móvel se inicia quando o cronômetro é acionado em 8 =0< (a) Em que instantes o móvel está parado? (b) Em que posições o móvel está parado? (c) Em que instante a aceleração do móvel é nula? (a) O móvel está parado quando sua velocidade é igual a zero! Logo, estamos procurando o (ou os) instante 8 em que 5 =0. Matematicamente podemos questionar da seguinte forma: para que valor de 8 a função velocidade 5)8* é igual a zero. Simbolicamente: 5)8*=0. Inicialmente precisamos encontrar a função velocidade, dada pela derivada da função posição )8*. Encontrar 5)8*=0 é resolver 5)8*= Z Z8 = =0 que é uma equação simples do segundo grau. Utilizando os métodos adequados temos 8 ] =0,78< ; 8 ]] =,55< que são os instantes em que o móvel está parado. Graficamente, observando a função posição temos: Substituindo os valores na função posição temos )0,78*=,11 ),55*= 0,63 que são valores encontrados no gráfico da função )8*. (c) Para encontrarmos o instante 8 quando a aceleração é nula, precisamos encontrar 8 para qual [ =0, ou ainda, pelo mesmo raciocínio da letra (a), [)8*=0. Encontrando a função aceleração por meio da derivada da função velocidade temos: [)8*=68 10 que é uma função do primeiro grau. Fazendo [)8*=0 temos que resulta em: Graficamente, em 5)8* 68 10=0 8 =1,67< Observando a função velocidade: É importante verificar que uma aceleração nula não índica velocidade nula. A aceleração nula indica simplesmente que naquele instante a velocidade não estava se modificando. No gráfico da aceleração (b) Para encontrarmos as posições onde o móvel esta parado, temos que calcular quanto vale )8* quando 8 =0,78< e 8 =,55<, logo: )0,78*=? ;),55*=?

7 Nas seções de exercícios dos livros texto citados no plano de ensino é possível encontrar vários exercícios deste tipo. É de extrema importância que gráficos de posição, velocidade e aceleração sejam compreendidos para os capítulos que serão estudados em Física 1. CASO ESPECIAL DE MOVIMENTO: ACELERAÇÃO CONSTANTE. Neste tópico trabalharemos com um caso especial de movimento de uma dimensão chamado Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, também conhecido por sua sigla: MRUV. Este movimento tem em especial a aceleração que é invariável ao longo do tempo, logo [)8* `ab<8[b8c [)8*=[ 7 Usaremos o índice x para a aceleração indicando que trabalharemos no eixo horizontal x. Ainda, faremos as seguintes considerações na nomenclatura: = V = 8 =0 8 =8 5 =5 V 5 =5 Tomando a equação (6) por início temos [ %- =[)8*=[ 7 =`8c Logo, a partir de (6) e das considerações acima temos: [ %- = Δ5 (6.1) [ 7 = \d\ e = \d\ e (dv ( Isolando 5 temos (8) 5 =5 V +[ 7 8 que é a equação que relaciona as velocidades e o tempo. Agora, partindo da equação (3), isolando temos: (8.1) 5 %- = 7d7 e ( (9) = V +5 %- 8 Porém esta equação não é conclusiva. Sabendo que com a aceleração constante temos que a velocidade será somente linear (crescente ou decrescente), é possível afirmar (somente neste caso) que a velocidade média 5 %- é igual a média aritmética das velocidades final 5 e inicial 5 V. (10) 5 %- = \f\ e 1 Substituind (10) em (9) temos = V +g 5+5 V h8 (11) = V + \( + \ e ( 1 1 Substituindo (8) em (11) temos = V + )5 V+[ 7 8*8 = V + 5 V 8+[ V V 8 (1) = V +5 V 8+ i ( j 1 que é a equação da posição do MRUV. Esta relaciona as posições com o tempo. Ainda, podemos deduzir uma equação que relaciona a velocidade e as posições, sem dependência do tempo. Partimos da equação (8.1) e (10) tendo Isolando 8 temos (13) 8 = 1)7d7 e * \f\ e 5+5 V = V 8 Agora, tomando a equação (6.1) e isolando 8 temos (14) 8 = \d\ e i Substituindo (13) em (14) temos ) V * 5+5 V = 5 5 V [ 7 Fazendo a multiplicação cruzada temos [ 7 ) V *=)5 5 V *)5+5 V * Considerando Δ = V e isolando o termo 5 1 temos (15) 5 1 =5 V 1 +[ 7 Δ (Torricelli) Que é conhecida como equação de Torricelli, que por si é a expressão no MRUV que relaciona as velocidades e as posições sem a dependência do tempo do movimento.

8 É importante citar que a equação (1) pode ser considerada como a função posição do MRUV e a equação (8) como a função velocidade do mesmo movimento. Para perceber como isto é verdadeiro, basta observar que derivando a equação (1) como uma )8*, obeteremos a equação (8) como 5)8* imediatamente. Observe: )8*= V +5 V 8+ [ 78 1 Z Z8 =5)8*=5 V+[ 7 8 É claro que para a obtenção destes resultados tomase V,5 V e [ 7 como constantes e )8*,5)8* e 8 como as variáveis. Ainda, finalizando, quando temos que a aceleração constante [ 7 do movimento é nula, ou seja, igual a zero, temos um movimento chamado de movimento retilíneo uniforme. Este movimento é um sub-caso especial do MRUV onde não há variação de velocidade. Neste movimento conhecido como MRU, considerando [ 7 =0, temos somente a seguinte equação: (16) = V +5 #( 8 onde 5 #( é a velocidade constante do movimento. Observe o exemplo abaixo para uma melhor compreensão das equações. CASO ESPECIAL DE MRUV: QUEDA LIVRE E LANÇAMENTOS VERTICAIS. Para este capítulo, o movimento de queda livre serão consideradas algumas condições especiais idealizadas. Consideraremos a aceleração gravitacional constante e que o movimento, como um todo, não está sujeito a ação de forças contrárias ao mesmo, como por exemplo, a força de resistência do ar. Com as considerações feitas, tomamos, ainda, um referencial vertical, representado no eixo vertical do plano cartesiano (de símbolo k), para o estudo do movimento de queda livre. Como é de conhecimento geral, posições em y crescem para na vertical para cima e decrescem na vertical para baixo. Ainda, é necessário termos em mente que a aceleração da gravidade aponta sempre para baixo, logo um sinal negativo será atribuído às equações do MRUV. Com todas as considerações temos as seguintes equações para o movimento de queda livre: (17) k=k V +5 Vl 8 (j 1 (18) 5 l =5 Vl m8 (19) 5 1 l =5 1 Vl mδk (Torricelli para queda livre) Com Δk=k k V Repare que no lugar de [ 7 nas equações do MRUV usamos agora a constante m, que representa a aceleração constante da gravidade. O valor numérico desta aceleração varia de lugar para lugar no globo terrestre devido ao formado de geoide do mesmo. Aqui, assumiremos que seu módulo é igual a 9.81 % j. Os lançamentos verticais para baixo ou para cima também são exemplos de movimentos de queda livre. Mesmo que a velocidade inicial do lançamento não seja zero (ou seja, que ele não parta do repouso), o móvel estará sujeito sempre a aceleração da gravidade, mesmo que tenha sido lançado para cima (velocidade inicial positiva) ou para baixo (velocidade inicial negativa). Dois exemplos são suficientes para compreender as equações do MRUV para queda livre e lançamento vertical. Inicialmente começamos com a seguinte situação: - Solta-se uma pedra de uma determinada altura h. Mede-se sua velocidade ao chegar ao chão e obtêm-se 3m/s. Sobre isso pergunta-se: (a) qual é a altura h de onde a pedra foi largada? (b) Qual é o tempo de queda? Para resolver tanto a letra (a) quanto a letra (b) é necessário extrair todas as informações possíveis do problema para que possamos nos organizar e utilizar as equações do MRUV corretamente. Observe que a pedra foi largada de uma altura h desconhecida, logo a posição inicial k V é desconhecida. Ainda, sabe-se que a pedra chegou ao chão. Podemos, aqui, assumir que o chão é a origem do sistema cartesiano vertical e, então, assumir que a posição final k é igual a zero (k=0). Outra informação importante é que a pedra foi solta nesta altura desconhecida. Isso dá margem à interpretação de que a velocidade inicial da pedra no movimento era igual a zero, logo 5 Vl =0. O problema ainda nos

9 passa que a pedra chega ao chão com uma velocidade de 3m/s. Temos que tomar cuidado aqui para que tudo esteja de acordo com o sistema de coordenadas assumido. Se a pedra tem velocidade apontando para baixo, é necessário que seja assumido um sinal negativo para a mesma. Logo, sua velocidade final é 5 = 3 %. Sabendo ainda que m=9.81% j, podemos utilizar a equação de Torricelli para a queda livre (equação 19): 5 1 l =5 1 Vl mδk Considerando 5 Vl =0, Δk=k k V e k=0 temos Isolando k V 5 l 1 = m) k V * 5 l 1 =mk V k V = 5 l 1 m Substituindo os valores conhecidos e calculando: k V =6.96 Ou seja, a pedra foi solta de uma altura de 6.96m para chegar ao chão com uma velocidade de 3m/s. Para a letra b, podemos utilizar a equação 18. Isolando 8 na mesma temos 8 = 5 Vl 5 l m Com 5 l =0 e 5 l = 3 % tempo, obtendo 8 =.34< podemos calcular o Que é o tempo que foi necessário para a pedra chegar ao chão. Vamos ao segundo exemplo: - Uma pedra é arremessada para cima e atinge uma altura máxima de 13.5m e volta novamente ao chão. Sobre esta situação pergunta-se: (a) Quanto tempo foi necessário para a pedra chegar até o ponto mais alto? (b) Qual foi a velocidade com que a pedra foi arremessada? (c) Quanto tempo foi necessário para a pedra voltar ao chão? (d) Qual é a função horária k)8* da pedra? Para responder a letra (a) é necessário lembrar que no final do movimento de subida a velocidade da pedra é igual a zero, ou seja, a velocidade da mesma deixa de ser positiva e passa a ser negativa. Vamos enunciar algumas constantes conhecidas do movimento para a letra (a). 5 Vl =? - Velocidade inicial desconhecida 5 l =0 % igual a zero - velocidade final da subida k V =0 - posição inicial do movimento colocada como a origem do sistema cartesiano. k= posição final do movimento como a altura máxima alcançada. 8 =? - tempo de subida desconhecido Com estas constantes conhecidas já é possível selecionar uma das equações para responder a letra (a). Como pede-se o tempo de subida e não conhecese a velocidade inicial do movimento nenhuma das equações está apropriada para ser usada. Desta forma, uma estratégia é encontrar a velocidade inicial do movimento por meio da equação (19 Torricelli para o lançamento vertical) e, então calcular o tempo por meio de outra equação. Executando este procedimento encontraremos a resposta da letra (b) antes de solucionar a letra (a). Por Torricelli temos: Vl =mδk+5 l 5 Vl =nm)k k V *+5 l 1 5 Vl =o 9.8 )13.5 0* Vl =±16.7 < Como sabemos que o vetor velocidade inicial da pedra apontava para cima, assumimos a resposta positiva como correta. Logo 5 Vl =16.7 < Encontrando o tempo necessário para a subida usando a equação (18) temos 5 l =5 Vl m8 8 = 5 Vl 5 l m 8 =

10 8 =1.66 < Sabendo que o tempo de subida é igual ao tempo de descida, temos que o tempo total de movimento até a pedra votar para o chão foi de 8 = `aa 8 =8-8 =8 8 = =3.3< Para responder a letra (d) é necessário lembrar que a equação (17) é a função posição de um móvel em queda livre ou lançamento vertical. Logo podemos interpretar a equação como k)8*=k V +5 Vl 8 m 81 Conhecendo as constantes numéricas temos: k)8*= k)8*= Esta função horária apresenta o segundo gráfico de posição contra tempo: