UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE CENTRO DE ESTUDOS GERAIS INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA NÚMEROS ÍNDICES

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE CENTRO DE ESTUDOS GERAIS INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA NÚMEROS ÍNDICES Aa Mara Lma de Faras Luz da Costa Laurecel Com a colaboração dos motores Maracajaro Masor Slvera Artur Herque da Slva Satos Mao 2005

Coteúdo PREFÁCIO v Números ídces. Itrodução....2 Relatvos....3 Crtérosdeavalaçãodafórmuladeumídce... 3.4 Elosderelatvoerelatvosemcadea... 5.5 Ídcesagregatvossmples... 6.5. Ídceagregatvosmples(Bradstreet)... 6.5.2 Ídce da méda artmétca smples (ídce de Sauerbeck)........... 7.5.3 Ídcedamédaharmôcasmples... 7.5.4 Ídcedamédageométrcasmples... 7.5.5 Propredadesdosídcesagregatvossmples... 9.6 Ídcesagregatvospoderados... 2.6. ÍdcedeLaspeyresouídcedaépocabase... 2.6.2 ÍdcedePaascheouídcedaépocaatual... 4.6.3 ÍdcedeFsher... 5.6.4 ÍdcedeMarshall-Edgeworth... 5.6.5 ÍdcedeDvsa... 6.6.6 Propredades dos ídces agregatvos poderados................ 9.7 Relaçõesetreídces... 22.7. LaspeyresePaasche... 22.7.2 Fsher,LaspeyresePaasche... 24.7.3 Marshall-Edgeworth,LaspeyresePaasche... 25.8 Mudaçadebase... 26.9 Deflacoametoepoderaqustvo... 27.9. Deflator... 29.9.2 Poderaqustvo... 33.0AálsedosdadosdaPME... 34.OÍdceNacoaldePreçosaoCosumdor-INPC... 43.. Ídce de Custo de Vda e Ídce de Preços ao Cosumdor.......... 43..2 Cocetosbáscos... 44..3 MetodologadeCálculodoINPC... 44..4 Fórmulas de Cálculo dos IPCs metropoltaos.................. 45..5 CálculodoINPC... 47.2Exercícospropostosdocapítulo... 49

CONTEÚDO 2 Solução dos exercícos propostos 59 Bblografa 90

CONTEÚDO v PREFÁCIO. Estas otas de aula foram preparadas pelos autores para a dscpla Itrodução à Estatístca Ecoômca, mstrada pelo Departameto de Estatístca da UFF a aluos do curso de graduação em Cêcas Ecoômcas. Trata-se de uma abordagem quattatva smplfcada da teora de Números Ídces. Uma seção especal sobre a metodologa de cálculo do Ídce Nacoal de Preços ao Cosumdor fo elaborada pelo motor da dscpla o ao de 2003, Maracajaro Masor Slvera. No prmero capítulo apreseta-se a teora que se pretede abordar, cludo relatvos ou ídces smples; ídces compostos ou agregatvos, smples e poderados, detre os quas os ídces de Laspeyres, Paasche, Fsher, Dvsa e Marshall-Edgeworth. Apreseta-se também uma dscussão sobre mudaça de base e deflacoameto de séres de valores. No segudo capítulo é dado o gabarto detalhado de todos os exercícos propostos; estas soluções devem servr de gua para coferêca do aluo, que, o etato, deverá tetar resolver os exercícos sozho. Nteró, mao de 2005. Aa Mara Lma de Faras Luz da Costa Laurecel

Capítulo Números ídces. Itrodução De uma forma smplfcada, podemos dzer que o ídce ou úmero ídce é um quocete que expressa a varação relatva etre os valores de qualquer medda. Mas especfcamete, vamos ldar com ídces que medem varações verfcadas em uma dada varável ao logo do tempo. Quado ldamos com gradezas smples (um úco tem ou varável), o ídce é chamado ídce smples; por outro lado, quado pretedemos fazer comparações de um cojuto de produtos ou servços, estamos ldado com o que é chamado ídce stétco ou composto. É este segudo caso que temos a parte mas complexa do problema, uma vez que desejamos uma expressão quattatva para um cojuto de mesurações dvduas, para as quas ão exste uma medda físca comum. Nestas otas de aula, ossa êfase está os ídces ecoômcos, que evolvem varações de preços, quatdades e valores ao logo do tempo..2 Relatvos Os relatvos (ou ídces smples) fazem comparação etre duas épocas - época atual e época base - para um úco produto.. Relatvo de preço Deotado por p 0 e p t os preços a época base e a época atual (de teresse), defe-se o relatvo de preço - p 0,t - como: p 0,t p t (.) p 0 2. Relatvo de quatdade Aalogamete, deotado por q 0 e q t as quatdades a época base e a época atual (de teresse), defe-se o relatvo de qautdade - q 0,t -como: 3. Relatvo de valor Vale lembrar que Ragar Frsch (936). The problem of dex umbers, Ecoometrca. q 0,t q t q 0 (.2)

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 2 Valor Preço Quatdade (.3). Deotado por v 0 e v t os valores a época base e a época atual (de teresse), defe-se o relatvo de valor - v 0,t - como: v 0,t v t v 0 (.4) Atete para a otação: p 0,t faz a comparação etre o preço o mês t com relação ao preço o mês 0; defções aálogas para q 0,t e v 0,t. Etão, o prmero subscrto dca o período base e o segudo subscrto, o período atual. Essas otações podem varar em dferetes lvros; assm, é mportate prestar ateção as defções apresetadas. Das defções acma, podemos ver que: v 0,t v t v 0 p tq t p 0 q 0 p t p 0 q t q 0 p 0,t q 0,t (.5) O relatvo de preço os dz quato o preço de hoje é maor ou meor que o preço da época base. A partr dele podemos obter a taxa de varação, que mede a varação relatva. A varação relatva édefda como p% p t p 0 p 0 p t p 0 (.6) e ormalmete é apresetada em forma percetual, ou seja, multplca-se o valor por 00. No umerador da taxa de varação temos a varação absoluta de preços: p t p 0. Defções aálogas valem para quatdade e valor. Exemplo. Na tabela a segur temos o preço e a quatdade de arroz cosumda por uma famíla o últmo trmestre de 200: Outubro Novembro Dezembro Preço Quat. Preço Quat. Preço Quat. Arroz (kg) 2 5 2 8 3 8 Valor 2 50 2 86 3 824 Tomado Outubro como base, temos os segutes relatvos: p O,N 2 2, 0 q O,N 8 5, 6 p O,D 3 2, 5 q O,D 8 5, 6 Não houve varação de preços etre Novembro e Outubro, sto é, o preço de Novembro é gual ao preço de Outubro, mas o preço de Dezembro é uma vez e mea o preço de Outubro, o que correspode a um aumeto de 50% - essa é a taxa de varação dos preços o período em questão, obtda de acordo com a equação (.6): 50% (, 5 ) 00% Com relação à quatdade, tato em ovembro como em dezembro, houve um aumeto de 60% com relação a outubro.

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 3 Os relatvos são, em geral, apresetados multplcados por 00. Assm, as séres de relatvos de preço e quatdade com base Outubro 00 são: Com relação ao valor, temos que Relatvos - Out00 Out Nov Dez Preço 00 00 50 Quatdade 00 60 60 v O,N 6 0 00 60, 0, 6 00 p O,N q O,N 00 v O,D 24 0 00 240, 5, 6 00 p O,D q O,D 00 Se mudarmos a base para Dezembro, teremos: p D,O p O 2 0, 6667 p% (0, 6667 ) 00 33, 33% p D 3 p D,N p N 2 0, 6667 p% (0, 6667 ) 00% 33, 33% p D 3 q D,O q O 5 0, 625 q% (0, 625 ) 00% 37, 5% q D 8 q D,N q N 8 q% ( ) 00% 0% q D 8.3 Crtéros de avalação da fórmula de um ídce Os relatvos satsfazem uma sére de propredades, que são propredades desejadas e buscadas quado da costrução de fórmulas alteratvas de úmeros ídces. Vamos represetar por I 0,t um ídce qualquer: pode ser um relatvo de preço ou um ídce de preços qualquer, por exemplo (as seções segutes veremos a defção de outros ídces). As propredades deas báscas são:. Idetdade I t,t (.7) Se a data-base cocdr com a data atual, o ídce é sempre (ou 00, o caso de se trabalhar com base 00). 2. Reversão (ou versão) o tempo I 0,t I t,0 I 0,t I t,0 (.8) Ivertedo-se os períodos de comparação, os ídces são obtdos um como o verso do outro. 3. Crcular I 0, I,2 I 2,3 I t,t I 0,t I 0, I,2 I 2,3 I t,t I t,0 (.9) Se o tervalo de aálse é decomposto em város subtervalos, o ídce pode ser obtdo como o produto dos ídces os subtervalos. A propredade crcular é mportate o segute setdo:

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 4 se um ídce a satsfaz e se cohecemos os ídces as épocas termedáras, o ídce de todo o período pode ser calculado sem que haja ecessdade de recorrer aos valores que deram orgem aos cálculos dvduas. Note que, como decorrêca desta propredade, podemos escrever: I 0,t I 0,t I t,t (.0) Se o ídce satsfzer também o prcípo de reversbldade, etão (.9) é equvalete a I 0, I,2 I 2,3 I t,t I t,0 4. Decomposção das causas (ou reversão dos fatores) Deotado por I V,I P e I Q os ídces de valor, preço e quatdade respectvamete, o crtéro da decomposção das causas requer que 5. Homogeedade Mudaças de udade ão alteram o valor do ídce. I V I P I Q (.) 6. Proporcoaldade Se todas as varáves evolvdas o ídce tverem a mesma varação, etão o ídce resultate terá a mesma varação. Todas essas propredades são satsfetas pelos relatvos. De fato: detdade reversbldade crcular decomposção das causas p 0,t p t p 0 p t,t p t p t p t,0 p 0 p t p t p 0 p t p t p t p t 2 p 2 p p p 0 p 0,t q 0,t p t p 0 q t q 0 p t q t p 0 q 0 v t v 0 Mudaças de udade evolvem multplcação por uma costate (qulo para toelada, reas para mlhões de reas, etc). Tas operações ão alteram o valor do relatvo, uma vez que umerador e deomador são multplcados pelo mesmo valor. Exemplo.2 (cotuação)

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 5 p O,N 2 2, 0 po,d, 0, 5, 5 p D 3 p O 2 p N,D 3 2, 5 q O,N 8 5, 6 qo,d, 6, 0, 6 q D 8 q O 5 q N,D 8 8, 0.4 Elos de relatvo e relatvos em cadea Na apresetação da propredade crcular, aparecem ídces evolvedo épocas adjacetes. No caso de relatvos, tas relatvos são, às vezes, deomados elos relatvos, ou seja, os elos relatvos estabelecem comparações báras etre épocas adjacetes p t p t q t q t v t v t Esta mesma propredade evolve a multplcação desses ídces; para os relatvos, tal operação é deomada relatvos em cadea e como a propredade crcular é satsfeta pelos relatvos, tal multplcação resulta o relatvo do período. Exemplo.3 elos relatvos : p,2 ; p 2,3 ; p 3,4 ;...; p t,t relatvos em cadea : p,2 p 2,3 p 3,4 p t,t p,t Na tabela a segur temos dados de preço para 5 aosecalculam-seoselosderelatvoseos relatvos em cadea, ao a ao. Ao Preço Elos relatvos p t /p t Relatvos em cadea 995 200 996 250 250/200, 25, 25 p 95,96 997 300 300 / 250, 20, 2, 25, 5p 95,97 998 390 390 / 300, 30, 2, 25, 3, 95 p 95,98 999 468 468 / 390, 20, 2, 25, 3, 22, 34 9 95,99 o que está em cocordâca com: Ao Relatvo de preço Base: 995 00 995 00 996 00 250 / 200 25 25% 997 00 300 / 200 50 50% 998 00 390 / 200 95 95% 999 00 468 / 200 234 34%

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 6.5 Ídces agregatvos smples Cosderemos agora a stuação em que temos mas de um produto e estamos teressados em estudar varações de preços ou quatdade para todos os produtos cojutamete. Vamos utlzar a segute otação: p t,q t,v t - preço, quatdade e valor do produto o mês t; p 0,t,q 0,t,v 0,t - relatvos de preço, quatdade e valor do produto o mês t com base em t 0. Note que o sobrescrto dca o produto; vamos assumr que temos produtos..5. Ídce agregatvo smples (Bradstreet) Uma prmera tetatva para resolver o problema de agregação de produtos dferetes fo o ídce agregatvo smples, que é a razão etre o preço, quatdade ou valor total a época atual e o preço, quatdade ou valor total a época base. Mas precsamete, PA 0,t p t + p 2 t + + p t p 0 + p2 0 + + p 0 QA 0,t q t + q 2 t + + q t q 0 + q2 0 + + q 0 VA 0,t v t + v 2 t + + v t v 0 + v2 0 + + v 0 p t p 0 qt q0 vt v0 p t p 0 qt q0 vt v0 p t p 0 q t q 0 v t v 0 Etão, o ídce de Bradstreet é um relatvo das médas artmétcas smples. O ídce de Bradstreet tem séras lmtações, a prcpal sedo o fato de se estar somado preços ou quatdades expressas em dferetes udades. Note que apeas o ídce de valor ão apreseta esse problema, uma vez que todos os valores estão expressos a mesma udade moetára. Em fução dsso, esse é o ídce usado para comparar valores em dferetes épocas, ou seja, o ídce de valor é defdo como p tqt V 0,t (.2) p 0 q 0 Uma solução para resolver essa lmtação do ídce agregatvo fo a proposta de se trabalhar com os relatvos de preço e quatdade, que são úmeros puros, admesoas.

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 7.5.2 Ídce da méda artmétca smples (ídce de Sauerbeck) Sauerbeck propôs que se trabalhasse com a méda artmétca dos relatvos, dado orgem aos segutes ídces: p 0,t - ídce de preço baseado a méda artmétca smples dos relatvos p 0,t p 0,t + p2 0,t + + p 0,t p 0,t (.3) q 0,t - ídce de quatdade baseado a méda artmétca smples dos relatvos q 0,t q 0,t + q2 0,t + + q 0,t q0,t (.4).5.3 Ídce da méda harmôca smples A mesma déa se aplca, trabalhado com a méda harmôca dos relatvos. p H 0,t - ídce de preço baseado a méda harmôca smples dos relatvos p H 0,t p 0,t + p 2 + + 0,t p 0,t p 0,t p 0 p t p t,0 (.5) q H 0,t - ídce de quatdade baseado a méda harmôca smples dos relatvos q H 0,t q 0,t + q0,t 2 + + q0,t q0,t q 0 qt qt,0 (.6).5.4 Ídce da méda geométrca smples Aqu cosdera-se a méda geométrca dos relatvos. p G 0,t q G 0,t - ídce de preço baseado a méda geométrca smples dos relatvos s p G p 0,t t p p2 t 0 p 2 p t 0 p 0 s Q p 0,t (.7) - ídce de quatdade baseado a méda geométrca smples dos relatvos s q G q 0,t t q0 q2 t q0 2 q t q0 s Q q0,t (.8) Exemplo.4

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 8 Cosdere os dados da tabela a segur: Produto 999 2000 200 P Q P Q P Q Care (kg) 8,50 0 8,50 2 9,00 5 Fejão (kg),20 5,80 6,80 7 Pão (ud.) 0,0 200 0,2 220 0,4 240 Vamos calcular os ídces de preço, quatdade e valor, com base em 999, baseados as três médas vstas. Os valores gastos com cada produto estão calculados a tabela abaxo. Valor 999 2000 200 Care 8, 5 0 85 8, 5 2 02, 0 9 5 35 Fejão, 2 56, 8 60, 8, 8 72, 6 Pão 0, 200 20 0, 2 220 26, 4 0, 4 240 33, 6 Total 85 + 6 + 20 02 + 0, 8+26, 4 39, 2 35 + 2, 6+33, 68, 2 Como os relatvos satsfazem a propredade da detdade, o ao base todos são guas a ou 00, se estvermos trabalhado com base 00. Para os oustros aos, os relatvos com base 999 são: Relatvos -999 Produto 2000 200 P Q P Q Arroz (kg) 8, 5/8, 5, 0 2/0, 2 9/8, 5, 0588 5/0, 5 Fejão (kg), 8/, 2, 5 6/5, 2, 8/, 2, 5 7/5, 4 Pão (ud,) 0, 2/0, 0, 2 220/200, 0, 4/0, 0, 4 240/200, 2 e os ídces, com base 99900, baseados as três médas são: p 99,00 p 99,0, 0+, 5+, 2 00 23, 33 3, 0588 +, 5+, 4 00 3, 96 3 q 99,00 q 99,0 p H 99,00 p H 99,0 q H 99,00 q H 99,0, 2+, 2+, 00 6, 67 3, 5+, 4+, 2 00 36, 67 3 3,0 +,5 +,2 3,0588 +,5 +,4 00 20, 00 00 29, 0 3,2 +,2 +, 00 6, 47 3,5 +,4 +,2 00 35, 48

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 9 p G 99,00 3p, 0, 5, 2 00 2, 64 p G 99,0 3p, 0588, 5, 4 00 30, 52 Já o ídce agregatvo de Bradstreet é: q G 99,00 3p, 2, 2, 00 6, 57 q G 99,0 3p, 5, 4, 2 00 36, 08 PA 99,00 PA 99,0 8, 5+, 8+0,2 00 06, 33 8, 5+, 2+0, 0 9, 0+, 8+0, 4 00, 63 8, 5+, 2+0, 0 e o ídce de valor é Resumdo: QA 99,00 QA 99,0 2 + 6 + 220 00 0, 698 0 + 5 + 200 5 + 7 + 240 00 2, 86 0 + 5 + 200 V 99,00 39, 2 V 99,0 8, 2 00 25, 4 00 63, 24 Preço Quatdade Valor 999 2000 200 999 2000 200 999 2000 200 Méda artmétca 00 23, 33 3, 96 00 6, 67 36, 67 Méda geométrca 00 2, 64 30, 52 00 6, 57 36, 08 Méda harmôca 00 20, 00 29, 0 00 6, 47 35, 48 Agregatvo 00 06, 33, 63 00 0, 7 2,86 00 25, 4 63, 24 Como vsto a parte cal do curso, p p G p H.5.5 Propredades dos ídces agregatvos smples. A propredade de detdade é obvamete satsfeta por todos os ídces agregatvos smples. 2. Vamos mostrar com os dados do exemplo ateror que os ídces das médas smples e harmôca ão satsfazem a propredade de reversbldade. Vamos calcular esses ídces com base em 2000. p 00,99 8,5 8,5 +,2,8 + 0, 0,2 3 00 83, 33 6 p 99,00 00 8, 08, 2333

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 0 Note que Logo, p H 3 00,99 8,5 8,5 +,8,2 + 0,2 0, 00 8, 08 6 p H 99,00 p 0,t p 0,t + + p 0,t p t,0 p t,0 + + p t,0 p 0,t Aalogamete, obtemos que p t p 0 + + p t p 0 p t,0 p t,0 p H 0,t p t p 0 p 0 p t 00 00 83, 33 20, 00 + + p t p 0 + + p 0 p t + + p t,0 p H t,0 Com relação à méda geométrca smples, temos que p G 0,t q s p 0,t p 0,t p t p 0 p t p 0 s p 0 p p 0 t p t p G t,0 ou seja, o ídce baseado a méda geométrca smples satsfaz a propredade de reversbldade. Com relação ao ídce agregatvo smples de Bradstreet, temos que esse ídce também satsfaz a reversbldade, como se mostra a segur: PA 0,t p t + + p t p 0 + + p 0 p 0 + + p 0 p t + + p t PA t,0 3. Os ídces da méda artmétca e da méda harmôca smples ão satsfazem a propredade crcular. Vamos mostrar este resultado através de um cotra-exemplo, baseado os dados do exemplo.4. p 99,00 8,5 8,5 +,8,2 + 0,2 0,0 00 23, 33 3 p 00,0 9 8,5 +,8,8 + 0,4 0,2 00 07, 52 3 p 99,0 9 8,5 +,8,2 + 0,4 0,0 00 3, 96 3 p 99,00 p 00,0, 2333, 0752 00 32, 60 6 3, 96 p 99,0

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES p H 00,0 3 8,5 9 +,8,8 + 0,2 00 07, 08 0,4 p H 99,00 p H 00,0, 2000, 0708 00 28, 496 6 29, 0 p H 99,0 Com relação ao ídce da méda geométrca, temos que: sp p G 0, p G,2 p p 0 p 0 sp 2 p p 2 p Para o ídce agregatvo de Bradstreet, temos que: PA 0, PA,2 p + + p p 0 + + p 0 p 2 + + p 2 p + + p sp 2 p p 2 0 p 0 p 2 + + p 2 p 0 + + p 0 p G 0,2 PA 0,2 Logo, o ídce da méda geométrca smples e o ídce agregatvo de Bradstreet satsfazem o prcípo da crculardade. 4. Vamos aalsar agora a propredade da decomposção das causas para esses ídces. Esta propredade exge que o produto P do ídce de preço pelo ídce de quatdade seja gual ao p tqt ídce smples de valor V 0,t P p 0 q 0 Usado os dados do exemplo.4, temos: p 99,00 q 99,00.2333 3.96 62, 75 6 V 99,00 25, 4 Logo, o ídce de méda artmétca smples ão satsfaz o crtéro de decomposção das causas. p H 99,0 q H 99,0 29.0 35.48 74, 78 6 V 99,0 63, 24 Aalogamete, cocluímos que o ídce de méda harmôca smples também ão satsfaz o crtéro de decomposção das causas. p G 99,00 q G 99,00.2927 6.57 50, 69 6 V 99,00 25, 4 p G 99,0 q G 99,0.3976 36.08 90, 8 6 V 99,0 63, 24 Logo, o ídce de méda geométrca smples ão satsfaz o crtéro de decomposção das causas. Para o ídce de Bradstreet, temos: PA 99,00 QA 99,00.0633.07 00 7, 7 6 VA 99,00 25, 4 ou seja, este ídce também ão satsfaz a propredade da decomposção das causas. A segur temos o resumo das propredades dos ídces: Ídce agregatvo smples Crtéro Idetdade Reversbldade Crculardade Decomposção das causas Méda Artmétca SIM NÃO NÃO NÃO Méda Harmôca SIM NÃO NÃO NÃO Méda Geométrca SIM SIM SIM NÃO Bradstreet SIM SIM SIM NÃO

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 2.6 Ídces agregatvos poderados Uma forte lmtação dos ídces baseados em médas smples é o fato de se dar o mesmo peso para todos os produtos. Surgem, etão, os ídces agregatvos poderados, ode cada produto tem um peso dferete. A forma mas comum de se defr os pesos é tomar a partcpação de cada bem o valor total, ou seja, os pesos são defdos como w v v j j pq (.9) p j q j j Como um úmero ídce compara preços e quatdades em dos states de tempo, uma questão relevate aqu é defr a que mometo se referem os preços e quatdades que aparecem a defção dos pesos. Temos, etão, que especfcar a base de poderação..6. Ídce de Laspeyres ou ídce da época base O ídce de Laspeyres é defdo como uma méda artmétca poderada dos relatvos, com os pesos sedo defdos a época base. Etão, os pesos são ode V 0 P v j 0 j w0 v 0 v j 0 j v 0 p 0 q 0 V 0 p j 0 qj 0 j é o valor total a época base, um valor costate. Note que (.20) w0 P v 0 v j 0 j P v 0 V 0 V 0 v0 v0 v j 0 j V 0 V 0 (.2) Ídce de Laspeyres de preço O ídce de preços de Laspeyres é defdo por: L P P 0,t w0 p 0,t (.22) Essa expressão pode ser smplfcada, bastado para sso substtur os termos evolvdos pelas respectvas defções: X L P v 0 0,t p t X µ v p 0 0 p t V 0 p 0 V 0 v j 0 j X µ v p t 0 p 0 V 0 X µ p 0q0 p t p 0 V 0 X q0p t.

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 3 Logo, L P 0,t q0 p t q0 p 0 (.23) Vamos aalsar essa últma expressão: o deomador temos o valor total o mês base. Já o umerador, temos os valores das quatdades da época base aos preços atuas. Etão, comparado esses dos termos, estamos comparado a varação de preços da mesma cesta de produtos, acesta da época base, os dos states de tempo. Note que as quatdades ou a cesta de produtos é a cesta da época base e, portato, fca fxa, equato ão houver mudaça de base. Note também que o fato de os pesos serem fxados a época base ão sgfca que temos um sstema fxo de poderação, o que só acotece quado os pesos depederem da base de comparação. No caso do ídce de Laspeyres, os pesos mudam quado mudamos a base de comparação. Ídce de Laspeyres de quatdade O ídce de Laspeyres de quatdade é defdo por: L Q 0,t P w0 q0,t (.24) Como ates, essa expressão pode ser smplfcada, substtudo-se os termos evolvdos pelas respectvas defções: X L Q v 0 0,t q t X q0 v0 qt V 0 q0 Logo, V 0 v j 0 j X µ p 0q0 L Q 0,t qt q0 p 0 q t p 0 q 0 V 0 X p 0qt (.25) Como ates, o deomador temos o valor total o mês base. Já o umerador, temos os valores das quatdades da época atual aos preços da época base. Etão, comparado esses dos termos, estamos comparado a varação o valor gasto para se comprar as dferetes quatdades aos mesmos preços da época base. Os preços aqu são os preços da época base, também permaecedo fxos equato ão houver mudaça de base. No ídce de preços, a varação o valor gasto é devda à varação de preços, equato o ídce de quatdade, o valor total vara em fução da varação as quatdades.

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 4.6.2 ÍdcedePaascheouídcedaépocaatual O ídce de Paasche é uma méda harmôca dos relatvos, poderada a época atual, sto é, os pesos são defdos como w t v t v j t j v t V t p tq t p j t qj t j P ode V t v j t é o valor total da época atual. Como ates, wt. j Ídce de preços de Paasche O ídce de preços de Paasche é defdo como (.26) P P 0,t wt p 0,t wt p t,0 (.27) Note a versão dos relatvos, uma vez que p 0,t p t,0. Asmplfcação é feta da segute forma: P P 0,t X V t v t v j t j X µ vt p 0 p t p 0 p t X X µ v t p 0 V t p t V t µ q t p t p 0 p t V t qt p 0 ou seja, P P 0,t qt p t qt p 0 (.28) Nessa fórmula fca clara a comparação sedo feta: estamos aalsado a varação de preços da cesta atual. No umerador temos o valor gasto a época atual e o deomador temos o valor que sera gasto para comprar a cesta atual (quatdade atual) aos preços da época base. Uma séra lmtação o emprego dos ídces de Paasche é o fato de as poderações vararem em cada período; ote que os pesos são dados pelo valor da época atual. Ídce de Paasche de quatdade O ídce de quatdades de Paasche é defdo como P Q 0,t w t q0,t wt q t,0 (.29)

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 5 A smplfcação é feta da segute forma: P Q 0,t X v t v j t j q 0 qt X µ v t q 0 V t qt X V t µ v t q0 qt X V t µ q t p t q0 qt ou seja, P Q 0,t p t qt p t q 0 (.30) Nesse fórmula fca clara a comparação sedo feta: estamos aalsado a varação da quatdade aos preços atuas. No umerador temos o valor gasto a época atual e o deomador temos o valor que sera gasto para comprar a cesta da época base (quatdade da época base) aos preços atuas. A poderação é defda pelos valores atuas, mudado a cada período..6.3 Ídce de Fsher O ídce de Fsher é defdo como a méda geométrca dos ídces de Laspeyres e Paasche. q F0,t P L P 0,t P 0,t P (.3) F Q 0,t ql Q 0,t P Q 0,t (.32).6.4 Ídce de Marshall-Edgeworth Com os ídces de Laspeyres e Paasche de quatdades, estamos aalsado a varação o valor gasto, em fução da varação das quatdades, para adqurr os produtos aos preços da época base e da época atual, respectvamete. O ídce de Marshall-Edgeworth cosderaasmédasdessespreços e quatdades. Mas precsamete, defe-se o ídce de preços de Marshall-Edgeworth como um ídce que mede a varação o valor gasto, em fução da varação dos preços, para adqurr a quatdade defda pela quatdade méda da época base e da época atual: q 0 + q t, ou seja, o ídce de preços é: 2 M P 0,t µ q 0 + q t 2 µ q 0 + qt 2 p t p 0 q 0 p t + qtp t q 0 p 0 + q t p 0 q 0 + qt p t q 0 + qt (.33) p 0

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 6 Para o ídce de quatdade, toma-se o preço médo da época base e da época atual p 0 + p t. 2 Logo, µ p 0 + p t q M Q t p 0,t 2 0 qt + p tq t p 0 + p t q t µ p 0 + p t q0 p 0 q0 2 + (.34) p t q 0 p 0 + p t q 0.6.5 Ídce de Dvsa Esse ídce é defdo como uma méda geométrca poderada dos relatvos, com sstema de pesos fxo a época base. Exemplo.5 µ p D0,t P t p 0 w 0 µ p 2 w 2 0 µ t p t p 2 0 p 0 µ D Q q w 0 µ 0,t t q 2 w 2 0 µ t q t q0 q0 2 q0 Vamos cosderar os segutes dados: w 0 Y µ p w 0 t (.35) p 0 w 0 Y µ q w 0 t (.36) Produto 999 2000 200 P Q P Q P Q Arroz (kg) 2,50 0 3,00 2 3,25 5 Fejão (kg),20 5,80 6,80 7 Pão (ud.) 0,0 200 0,2 220 0,4 240 Com base esses dados, vamos calcular os ídces de Laspeyres, Paasche, Fsher, Marshall-Edgeworth e Dvsa, tato de preços quato de quatdade. Vamos tomar 999 como base. Na tabela a segur, temos os valores em forma absoluta e relatva (pesos). Produto 999 2000 Valor Peso Valor Peso Arroz (kg) 2, 5 0 25, 0 25/5 0, 49096 3 2 36, 0 36, 0/73, 20, 49803 Fejão (kg), 2 56, 0 6/5 0, 7647, 8 60, 8 0, 8/73, 20, 4754 Pão (ud.) 0, 0 200 20, 0 20/5 0, 39257 0, 2 220 26, 4 26, 4/73, 20, 360656 Soma 5, 0, 000000 73, 2, 000000 Produto 200 Valor Peso Arroz (kg) 3, 25 5 48, 75 48, 75/94, 95 0, 53428 Fejão (kg), 8 72, 60 2, 60/94, 95 0, 3270 Pão (ud.) 0, 4 240 33, 60 33, 60/94, 95 0, 353870 Soma 94, 95, 000000 q 0

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 7 Os relatvos são: Relatvos -999 00 Produto 999 P Q Arroz (kg) 2, 5/2, 5 00 00 0/0 00 00 Fejão (kg), 2/, 2 00 00 5/5 00 00 Pão (ud.) 0, 0/0, 0 00 00 200/200 00 00 Produto 2000 P Q Arroz (kg) 3/2, 5 00 20 2/0 00 20 Fejão (kg), 8/, 2 00 50 6/5 00 20 Pão (ud.) 0, 2/0, 0 00 20 220/200 00 0 Produto 200 P Q Arroz (kg) 3, 25/2, 5 00 30 5/0 00 50 Fejão (kg), 80/, 2 00 50 7/5 00 40 Pão (ud.) 0, 4/0, 0 00 40 240/200 00 20 Usado ambas as fórmulas (.22) e (.23), temos que: L P 99,00 0, 49096 20 + 0, 7647 50 + 0, 39257 20 23, 52942 0 3+5, 8 + 200 0, 2 00 30+9+24 00 63 5 5 5 00 L P 99,0 0, 49096 30 + 0, 7647 50 + 0, 39257 40 36, 27450 0 3, 25 + 5, 8 + 200 0, 4 32, 5+9+28 00 00 69, 5 5 5 5 00 Usado as fórmulas (.24) e (.25), temos que: L Q 99,00 0, 49096 20 + 0, 7647 20 + 0, 39257 0 6, 07843 2, 5 2 +, 2 6+0, 220 5 00 30 + 7, 2+22 5 00 59, 2 5 00 L Q 99,0 0, 49096 50 + 0, 7647 40 + 0, 39257 20 37, 058824 2, 5 5 +, 2 7+0, 240 5 00 37, 5+8, 4+24 5 Aalogamete, usado as fórmulas (.27), (.28), (.29) e (.30), temos que: 00 69, 9 5 00 P P 99,00 0,49803 20 + 0,4754 50 + 0,360656 23, 648649 20 73, 2 2 2, 5+6, 2 + 220 0, 00 73, 2 73, 2 00 30 + 7, 2+22 59, 2 00

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 8 P P 99,0 0,53428 50 + 0,3270 40 + 0,353870 35, 83690 20 94, 95 5 2, 5+7, 2 + 240 0, 00 94, 95 94, 95 00 37, 5+8, 4+24 69, 9 00 P Q 99,00 0,49803 20 + 0,4754 20 + 0,360656 6, 90476 0 73, 2 3 0 +, 8 5+0, 2 200 00 73, 2 73, 2 00 30+9+24 63 00 P Q 99,0 0,53428 50 + 0,3270 40 + 0,353870 36, 68705 20 94, 95 3, 25 0 +, 80 5+0, 4 200 00 94, 95 94, 95 00 32, 5+9+28 69, 5 00 Note que é mas fácl (e mas precso umercamete) calcular os ídces de Laspeyres e Paasche pelas fórmulas (.23), (.25), (.28) e (.30). F99,00 P p 23, 52942 23, 648649 23, 58906 F99,0 P p 36, 27450 35, 83690 36, 055534 F Q 99,00 p 6, 07843 6, 90476 6, 34440 F Q 99,0 p 37, 058824 36, 68705 36, 838588 M P 99,00 (0 + 2) 3+(5+6), 8 + (200 + 220) 0, 2 (0 + 2) 2, 5+(5+6), 2 + (200 + 220) 0, 0 36, 2 00 23, 593466 0, 2 M P 99,0 (0 + 5) 3, 25 + (5 + 7), 8 + (200 + 240) 0, 4 (0 + 5) 2, 5+(5+7), 2 + (200 + 240) 0, 0 64, 45 20, 9 36, 02505 M Q 99,00 M Q 99,0 (3 + 2, 5) 2 + (, 8+, 2) 6+(0, 2 + 0, 0) 220 (3 + 2, 5) 0 + (, 8+, 2) 5+(0, 2 + 0, 0) 200 32, 4 6, 4035 4 (3, 25 + 2, 5) 5 + (, 8+, 2) 7+(0, 4 + 0, 0) 240 64, 85 36, 804979 (3, 25 + 2, 5) 0 + (, 8+, 2) 5+(0, 4 + 0, 0) 200 20, 5 D P 99,00 (20) 0,49096 (50) 0,7647 (20) 0,39257 23, 9977 D P 99,0 (30) 0,49096 (50) 0,7647 (40) 0,39257 36, 0570 D Q 99,00 (20)0,49096 (20) 0,7647 (0) 0,39257 5, 97448

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 9 D Q 99,0 (50)0,49096 (40) 0,7647 (20) 0,39257 36, 320 8 Como exercíco, você deve calcular esses mesmos ídces com base 2000 00; oresultadoé dado a tabela abaxo, ode se excluem os resultados para o ao base: Ídces - 200000 999 200 P Q P Q Laspeyres L P 00,99 80, 8743 LQ 00,99 86, 0656 LP 00,0 0, 09 LQ 00,0 8, 033 Paasche P00,99 P 80, 9524 P Q 00,99 86, 486 P 00,0 P 09, 896 P Q 00,0 7, 804 Fsher F00,99 P 80, 933 F Q 00,99 86, 07 F 00,0 P 0, 003 F Q 00,0 7, 98 Marshall-Edgeworth M00,99 P 80, 904 M Q 00,99 86, 027 M 00,0 P 09, 994 M Q 00,0 7, 93 Dvsa D00,99 P 80, 6344 DQ 00,99 85, 9899 DP 00,0 09, 962 DQ 00,0 7, 806.6.6 Propredades dos ídces agregatvos poderados Vamos verfcar agora quas crtéros os ídces acma satsfazem. Idetdade É fácl verfcar que todos os ídces vstos satsfazem o prcípo da detdade. Reversbldade Laspeyres e Paasche Com os dados do exemplo.5, vamos mostrar que esses ídces ão satsfazem a propredade de reversão. De fato: L P 99,00 L P 00,99, 2352942 0, 808743 99, 903 547 25 6 P99,00 P P00,99 P, 23648649 0, 809524 00, 096 548 9 6 Fsher O ídce de Fsher satsfaz o crtéro de reversbldade, como provamos a segur: F P 0,t F P t,0 q ql P 0,t P 0,t P L P t,0 P t,0 P v q0 p t qt p t u t q0 p 0 v u t q 0 p t q 0 p t {z } qt p 0 qt p t qt p t {z } q t p 0 qt p t qtp 0 qt p 0 {z } q0 p 0 q0 p t q0 p 0 q0 p 0 {z } De forma aáloga, prova-se para o ídce de quatdade.

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 20 Marshall-Edgeworth O ídce de Marshall-Edgeworth satsfaz o crtéro de reversbldade, como provamos a segur: q 0 + qt p t q 0 + qt p 0 M P 0,t M P t,0 q 0 + qt p 0 q 0 + qt p t q 0 + qt p t q 0 + qt p 0 q 0 + qt p t q 0 + qt p 0 {z } {z } Dvsa O mportate a otar aqu é que o sstema de pesos, o ídce de Dvsa, é fxo. Sedo assm, o ídce de Dvsa satsfaz o crtéro de reversbldade, como provamos a segur: D0,t P Dt,0 P Q µ p w 0 µ t Q p w 0 µ 0 Q p w t p 0 p t p p 0 0 0 p t Note que temos o mesmo peso, depedete da base de comparação! Crculardade Laspeyres e Paasche Vamos usar os dados do exemplo.5 para mostrar que esses ídces ão satsfazem o prcípo da crculardade. Temos que: L P 99,00 L P 00,0, 2352942, 009 00 36, 07 6 36, 27450 L P 99,0 P P 99,00 P P 00,0, 23648649, 09896 00 35, 88 6 35, 83690 P P 99,0 Fsher Vamos usar os dados do exemplo.5 para mostrar que esse ídce também ão satsfaz o prcípo da crculardade. Temos que: F99,00 P F00,0 P p, 2352942, 23648649 p, 009, 09896 00 35, 9509 437 6 36, 055534 F99,0 P Marshall-Edgeworth Com os dados do mesmo exemplo, temos: M P 99,00 M P 00,0.23593466.09994 00 35. 945 397 6 36, 02505 M P 99,0 Dvsa Como a propredade de reversão, ote que os pesos são fxos, depedete da época de comparação. Assm, o ídce de Dvsa satsfaz o prcípo da crculardade, como se mostra asegur: D0, P D,2 P Q µ p w 0 µ Q p w 0 µ 2 Q p p 0 p p 0 w p 0 2 Q p t µ p 2 p 0 w 0 D P 0,2

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 2 Decomposção das Causas Laspeyres e Paasche Esses ídces ão satsfazem esse crtéro, coforme se mostra a segur com os dados do exemplo: L P 00,99 L Q 00,99 59, 2 73, 2 63 5 6 73, 2 73, 2 V 00,99 P00,99 P P Q 00,99 5 63 5 5 6 59, 2 73, 2 V 00,99 No etato, esses ídces satsfazem a propredade de decomposção das causas, desde que se mescle os ídces. Mas precsamete, coforme se mostra a segur: L P 0,t P Q 0,t L Q 0,t P P 0,t L P 0,t P Q 0,t LQ 0,t P P 0,t V 0,t (.37) q0 p t q0 p 0 p 0 q t p 0 q 0 p t qt p t q 0 qt p t qt p 0 p t qt V 0,t q0 p 0 p t qt V 0,t q0 p 0 Fsher Esse ídce satsfaz o crtéro da decomposção das causas, como se mostra a segur: F P 0,t F Q 0,t v u t q 0 p t q0 p 0 v q 0 p t u p t t q 0 {z } v u t q t p t p 0 q 0 qt p t qt p 0 p 0 q t qt p 0 {z } 2 p 0 q t p 0 q 0 qt p t p 0 q 0 p 0 q 0 p t q t p t q 0 p 0 q 0 {z } guas qt p t V 0,t qt p t Uma maera mas elegate de provar este resultado é dada a segur, ode se usa o resultado (.37): q F0,t P F Q 0,t ql P 0,t P 0,t ql P Q 0,t P Q 0,t L P 0,t P 0,t P LQ 0,t P Q 0,t q L P 0,t P Q 0,t P 0,t P LQ 0,t p V 0,t V 0,t V 0,t

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 22 Marshall-Edgeworth Esse ídce ão satsfaz o crtéro da decomposção das causas, como mostra o cotra-exemplo abaxo. M P 99,00M Q 99,00, 23593466, 6403500 43, 54885 6 73, 2 5 00 43, 5294 V 99,00 Dvsa Esse ídce ão satsfaz o crtéro da decomposção das causas, coforme mostra o cotraexemplo a segur: D P 99,00D Q 99,00, 239977, 59744800 42, 8778 6 73, 2 5 00 43, 5294 V 99,00 No quadro a segur apresetamos o resumo das propredades dos ídces: Ídce Crtéro Idetdade Reversbldade Crculardade Decomposção das causas Laspeyres SIM NÃO NÃO NÃO Paasche SIM NÃO NÃO NÃO Fsher SIM SIM NÃO SIM Marshall-Edgeworth SIM SIM NÃO NÃO Dvsa SIM SIM SIM NÃO.7 Relações etre ídces.7. Laspeyres e Paasche Vamos, agora, aalsar a relação etre os ídces de Laspeyres e Paasche. Para sso, recordemos que o estmador do coefcete de correlação para dados agrupados é dado por r xy Cov(X, Y ) σ X σ Y P X X Y Y s x s y (.38) ode é a freqüêca absoluta e σ x e σ y são, respectvamete, os desvos padrão de X e Y.Sabemos também que a covarâca pode ser reescrta como Cov(X, Y ) X Ã!Ã! X X f X Y f X f Y. (.39) ode f é a freqüêca relatva (lembre-se: covarâca é a méda dos produtos meos o produto das médas). Paraocasoespecífco dos úmeros ídces, cosderemos que os X s e Y s sejam, respectvamete, os relatvos de preço e quatdade e as frequêcas relatvas sejam os pesos defdos pelos valores. Mas precsamete, X p t p o Y q t q o p oq o f P p j oqo j j. (.40)

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 23 Substtudo (.40) em (.39), obtemos: Cov(X, Y ) X p oqo P p j oqo j p t p q t o qo X p oqo P p j oqo j p t X p oqo p P o p j oq j q t o q o j j j P p tq P t qop P t p oqt P p oqo P qop P o p oqo V 0,t L P 0,t L Q 0,t (.4) Mas sabemos que substtudo em (.4), obtemos que V 0,t L P 0,t P Q 0,t ; Cov(X, Y ) σ x σ y r xy L P 0,t P Q 0,t LP 0,t L Q 0,t σ x σ y r xy L P 0,t P Q 0,t LP 0,t LQ 0,t L P 0,t P Q 0,t LQ 0,t P Q 0,t ou seja, L Q 0,t P Q 0,t r xy σ x σ y V 0,t. (.42) Aalsado essa equação, podemos ver que os ídces de Laspeyres e Paasche serão dêtcos quado r xy 0ou σ x 0ou σ y 0. As duas últmas codções sgfcam que, tato os relatvos de preço, quato os relatvos de quatdade são costates (ão têm varabldade), uma hpótese bastate rrealsta. A codção r xy 0sgfcaqueosrelatvosdepreçoedequatdadesãoão correlacoados, hpótese também bastate mprovável de ocorrer a prátca. Assm, a prátca, os ídces de Laspeyres e Paasche serão dferetes. Nesse caso, como σ x > 0,σ y > 0 e V 0,t > 0, a relação etre os ídces depederá de r xy. Se r xy > 0 (relatvos de preço postvamete correlacoados com os relatvos de quatdade, o que acotece quado estamos aalsado um problema pelo lado da oferta, por exemplo), o ídce de Laspeyres será meor que o de Paasche. Caso cotráro, sto é, relatvos de preço egatvamete correlacoados com os relatvos de quatdade (aálse pelo lado da demada), o ídce de Laspeyres será maor que o de Paasche. A stuação mas comum, a prátca, é termos r xy < 0 e, portato, P P 0,t <LP 0,t e P Q 0,t LQ 0,t.Neste caso, temos que P P 0,t L P 0,t p tqt p tqt p t q 0 qtp t qt p 0 qt p 0 q0 p t q0 p 0 qtp t P p tqt qtp t qt p 0 p tqt q0 p 0 q0 p t q0 p 0

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 24 ou ou Aalogamete, Vemos, assm, que, em geral P Q 0,t L Q 0,t p 0 q 0 P Q 0,t P P 0,t V 0,t p tqt p 0 q 0 p tqt p t q 0 p tqt p t q 0 p tq0 p 0 q 0 V 0,t L P 0,t L Q 0,t p 0 q t p 0 q 0 p 0 q 0 p 0 q t p 0 q 0 P Q 0,t P P 0,t V 0,t L P 0,t L Q 0,t p 0 q t p 0 q 0 ou seja, o ídce de Paasche tede a subestmar o valor, equato o ídce de Laspeyres tede a superestmar..7.2 Fsher, Laspeyres e Paasche O ídce de Fsher é defdo como a méda geométrca dos ídces de Laspeyres e Paasche. Etão F L P. Pelo resultado ateror, temos que, em geral, os ídces de Laspeyres e Paasche são dferetes. Se eles são guas, obvamete temos F L P. Das propredades da fução f (x) x segue que > x>xpara 0 <x<. Cosderemos calmete que L<P.Etão, como L e P são postvos, segue que 0 < L P <. Etão r L > P > L r L P P>P P >PL P P> L P>L ou seja, L<F <P.Se P < L, obtemos, de forma aáloga, que P < F < L. Em resumo, se os ídces de Laspeyres e Paasche são dferetes, etão o ídce de Fsher está compreeddo etre eles: L < P L<F <P (.43) P < L P<F<L L P L F P

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 25.7.3 Marshall-Edgeworth, Laspeyres e Paasche O ídce de Marshall-Edgeworth é defdo como P q t + qo p t M P 0,t P q t + qo. p o Vamos provar que esse ídce se ecotra sempre etre os ídces de Laspeyres e Paasche. Mas para sso vamos provar que, se X,X 2,Y e Y 2 são úmeros postvos tas que X X 2 Y Y 2 etão De fato: como os úmeros são postvos, temos que Aalogamete, X X 2 X + Y X 2 + Y 2 Y Y 2. X X 2 Y Y 2 X Y 2 X 2 Y X Y 2 + X X 2 X 2 Y + X X 2 X (X 2 + Y 2 ) X 2 (X + Y ) X X 2 X + Y X 2 + Y 2. X Y X Y 2 X 2 Y X Y 2 + Y Y 2 X 2 Y + Y Y 2 X 2 Y 2 Y 2 (X + Y ) Y (X 2 + Y 2 ) X + Y Y. X 2 + Y 2 Y 2 Note que esse resultado ão vale quado algum dos úmeros é egatvo. Por exemplo, se fzermos X 2, X 2 3, Y e Y 2 2, etão mas X X 2 2 3 < Y Y 2 2 X + Y X 2 + Y 2 < X X 2 Para provar a relação etre os ídces de Laspeyres, Paasche e Marshall-Edgeworth, basta fazer X X q op t Y X q tp t X 2 X q op o Y 2 X q tp o Nesse caso, os ídces de Laspeyres e Paasche de preço são: L L p 0,t X X 2 P P p 0,t Y Y 2 esel<p,etão P X < Y qop t + P L< P X 2 Y 2 qop o + P q tp t q t p o P q o + q t p t P q o + qt <P p o

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 26 ou seja, L<M<P. Se, ao cotráro, temos P<Letão P Y < X qop t + P qtp P t q o + q t p t P< P Y 2 X 2 qop o + P qt P p o q o + q <L t p o e, portato, P < M < L. EseL P, etão L P M. Resumdo, o ídce de Marshall- Edegeworth está etre os ídces de Laspeyres e Paasche:.8 Mudaça de base Cosdere a segute sére de relatvos de preço com base em 997: Isso sgfca que L < P L<M<P (.44) P < L P<M<L L P P M L Ao 997 998 999 2000 200 Relatvo 00 0 5 6 8 p 98 p 97, p 99 p 97, 5 p 00 p 97, 6 p 0 p 97, 8 Supohamos, agora, que queramos colocar essa sére com base em 200, para atualzar o sstema de comparação. Como proceder? Na verdade, o que queremos é p t, t 97, 98, 99, 00 p 0 Como os relatvos satsfazem as propredades de reversão e crcular, temos que: p 97 p 0 p 0 p 97 p 98 p 0 p 98 p 97 p 97 p 0 p 99 p 0 p 99 p 97 p 97 p 0 p 00 p 0 p 00 p 97 p 97 p 0 Logo, a sére de relatvos a ova base é obtda dvddo-se a sére orgal pelo valor do relatvo o ao da base desejada. Esse procedmeto, lustrado para relatvos, será sempre váldo se o ídce satsfzer as propredades crcular e de reversão. p 98 p 97 p 0 p 97 p 99 p 97 p 0 p 97 p 00 p 97 p 0 p 97

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 27 No etato, város ídces utlzados a prátca ão satsfazem tal propredade. Os ídces de Laspeyres e Paasche são um exemplo. Para fazer a mudaça de base de uma sére de ídces de Laspeyres, por exemplo, é ecessáro mudar os pesos e sso sgfca trazer a atga cesta base para a época atual. Esse procedmeto, além de caro, em sempre é vável. Assm, a prátca, a mudaça de base é feta como se o ídce satsfzesse a propredade crcular, ou seja, obtém-se a sére a ova base dvddo a atga pelo valor do ídce o ao da base desejada. Vamos lustrar os procedmetos correto e aproxmado com os dados utlzados aterormete. Exemplo.6 Produto 999 2000 200 P Q P Q P Q Arroz (kg) 2,50 0 3,00 2 3,25 5 Fejão (kg),20 5,80 6,80 7 Pão (ud.) 0,0 200 0,2 220 0,4 240 Aterormete, calculamos os ídces de Laspeyres com base em 999, obtedo para os preços a segute sére: Ao t 999 2000 200 L P 99,t 00 23,52942 36,27450 Vamos calcular o ídce com base em 200 pelo método exato e pelo método aproxmado. L P 0,99 5 2, 50 + 7, 20 + 240 0, 0 69, 9 00 00 73, 68 5 3, 25 + 7, 80 + 240 0, 4 94, 95 L P 5 3, 00 + 7, 80 + 240 0, 2 86, 4 0,00 00 00 90, 995 5 3, 25 + 7, 80 + 240 0, 4 94, 95 Logo, pelo método exato a sére de ídces com base em 200 é: Pelo método prátco, temos: Ao t 999 2000 200 L P 0,t 73, 68 90, 995 00 L P 0,99 L P 0,00 00 73, 38 36, 27450 23, 52942 00 90, 647 36, 27450.9 Deflacoameto e poder aqustvo Supohamos que em 999 um qulo de care custasse 8,00 reas e em 2000, 0 reas. Se os 2 aos dspuséssemos da mesma quata de 250 reas para comprar essa care, em 999 poderíamos comprar 250R$ 3, 25 kg 8 R$ / kg e em 2000 250 R$ 0 R$ / kg 25kg

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 28 Logo, a relação etre as quatdades é 25 0, 80 3, 25 que correspode a uma taxa de varação de µ µ 25 3, 25 25 00 3, 25 3, 25 00 (0, 80 ) 00 20% Etão, com esse aumeto de preço, matdo o mesmo valor dspoível, houve uma queda de 20% a quatdade de care adqurda. Cosderemos, agora, uma stuação mas geral, ode o saláro de uma pessoa se matém fxo em R$2.500,00 os aos de 999 e 2000 mas a flação em 2000, medda pelo INPC, fo de 5,27%. Como avalar a perda salaral desta pessoa? Prmero, vamos terpretar o sgfcado da flação de 5,27% em 2000. Isto sgfca que o preço de uma cesta de produtos e servços aumetou 5,27% em 2000, comparado com 999, ou seja, o ídce de preços de 2000 com base em 999 é,0527. Por outro lado, como o saláro é o mesmo, o ídce de valor (saláro) de 2000 com base em 999 é. Usado a relação aproxmada IV IP IQ, resulta que o ídce de quatdade de 2000 com base em 999 é µ IQ 0, 94994, 0527 ou seja, esta pessoa, com o mesmo saláro em 2000, cosegue comprar 0,94994 do que comprava em 999, o que represeta uma taxa de (0, 94994 ) 00 5, 006. O ídce 0,94994 é chamado ídce do saláro real, já que ele represeta o que a pessoa pode realmete adqurr em 2000, com base em 999. Uma outra forma de olhar este mesmo problema é a segute: dzer que houve uma varação de preços de 5,27% em 2000 é o mesmo que dzer que,0527 reas em 2000 equvalem (em poder de compra) a real em 999. Etão, para determar quato valem os 2500 reas de 2000 a preços de 999, basta aplcarmos a regra de três smples: 999 2000 R$,0527 R$ x 2500 R$ Logo, x 2500 2374, 85, 0527 oquesgfca que o saláro de 2500 reas em 2000 equvale a um saláro de 2374,85 reas em 999, o que é ldo como 2374,85 reas a preços de 999. A perda salaral pode ser obtda como 2374, 85 2500 0, 94994 mesmo valor obtdo através do ídce do saláro real. Estes exemplos lustram o coceto de deflacoameto de uma sére de valores,que permte equparar valores moetáros de dversas épocas ao valor moetáro de uma época base, ou ada, o deflacoameto permte elmar uma das causas de varação de uma sére de valores moetáros, qual seja, a varação de preços.

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 29.9. Deflator Um ídce de preços usado para equparar valores moetáros de dversas épocas ao valor moetáro de uma época base é chamado deflator. Como vsto acma,para obter a sére de valores deflacoados ou valores a preços da época base, basta dvdr a sére de valores pelo respectvo ídce de preços. Os valores estarão a preços costates do ao base do ídce de preços. Podemos também dvdr a sére de ídces de valores pelo respectvo ídce de preço para obter o ídce do valor real (quatdade) com base o período base do deflator. Exemplo.7 Cosdere a sére do faturameto omal de uma empresa e o ídce de preço aproprado, dados a tabela abaxo. Ao Faturameto omal Ídce de preços (Ml R$) 99900 999 600 00,000 2000 800 05,272 200 2400 5,22 2002 2800 32,94 2003 3000 45,92 2004 3200 54,870 Para obter o faturameto real a preços de 999, basta fazer, como ates, uma regra de três, tedo em mete a terpretação do ídce de preços: 00 R$ em 999 equvalem a 05,272 R$ em 2000, a 5,22 em 200, etc. Por exemplo, para o ao de 2002 temos: 999 2002 00 R$ 32,94 R$ x 2800 R$ x 2800 00 28, 099 32, 94 Com o mesmo procedmeto para os outros aos, obtemos a sére do faturameto a preços de 975 dada por: Ao Faturameto (Ml R$ de 999) 999 (600/00) 00 600, 0 2000 (800/05, 272) 00 709, 9 200 (2400/5, 22) 00 2083, 2002 (2800/32, 94) 00 28, 2003 (3000/45, 92) 00 2055, 9 2004 (3200/54, 870) 00 2066, 2 Para obter o ídce do faturameto real com base em 999 temos que calcular o ídce do faturameto omal e dvdí-lo pelo respectvo ídce de preços. Para o ao de 2002, por exemplo, temos: 2800 600 00 00 32, 38 32.94 Completado para os outros aos obtemos:

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 30 Ao 999 Ídce do faturameto real (quatdade) 99900 600 600 00 00 00, 000 00 2000 800 600 00 00 : 06. 87 05.272 200 2400 600 00 00 : 30. 9 5.22 2002 2800 600 00 00 : 32. 38 32.94 2003 3000 600 00 00 : 28. 49 45.92 2004 3200 600 00 00 : 29. 4 54.870 Note a segute equvalêca (ao de 2002): 2800 600 00 00 32, 94 2800 32, 94 00 600 00 O termo o umerador é o faturameto de 2002 a preços de 999, equato o termo o deomador é o faturameto de 999 a preços de 999. Ou seja, podemos obter a sére de ídces do faturameto real a preços de 999 smplesmete dvddo a sére de faturameto a preços de 999 pelo faturameto real do ao base:

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 3 Ao 975 Ídce do faturameto real 99900 600 00 00 00 00, 000 600 976 800 05.272 00 00 06, 87 600 977 2400 5.22 00 00 30, 9 600 978 2800 32.94 00 00 32, 38 600 979 3000 45.92 00 00 : 28. 49 600 980 3200 54.870 00 00 29, 4 600 Se o exemplo tvessem sdo dadas as taxas de varação do faturameto e do preço, o deflacoameto sera feto, prmero trasformado as taxas em ídces. Exemplo.8 Taxa Ídce (taxa omal) + Deflacoameto: j (taxa de flação) +j + +j Na tabela abaxo temos o saláro de um fucoáro os meses de jaero a mao de 2002 e as respectvas taxas de flação mesal meddas pelo INPC: Mês Saláro (R$) INPC (%) dez-0 3868,8 0,74 ja-02 4060,03,07 fev-02 4797,79 0,3 mar-02 4540,89 0,62 abr-02 4436,4 0,68 ma-02 4436,4 0,09

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 32 Vamos calcular o saláro real a preços de dezembro de 200 e também o ídce do saláro real com base em dez-0. As taxas de flação medem a varação mês t/mês t. O prmero passo, etão, cosste em calcular a sére do INPC com base em dezembro de 200. Em jaero de 2002 a taxa de flação fo de,07%, com relação a dezembro de 200, ou seja, p ja 02, 07 +, 007 p dez 0 00 Em feverero, temos que p fev 02 0, 3 +, 003 p ja 02 00 e p fev 02 p fev 02 p ja 02, 007, 003, 0383 p dez 0 p ja 02 p dez 0 Para março, temos: p mar 02 p dez 0 p mar 02 p fev 02 p fev 02 p ja 02 p ja 02 p dez 0, 0062, 007, 003, 0202 Para abrl: p abr 02 p dez 0 p abr 02 p mar 02 p mar 02 p fev 02 p fev 02 p ja 02 p ja 02 p dez 0, 0068, 0062, 007, 003, 027056 e para mao: p ma 02 p dez 0 p ma 02 p abr 02 p abr 02 p mar 02 p mar 02 p fev 02 p fev 02 p ja 02 p ja 02 p dez 0, 0009, 0068, 0062, 007, 003, 02798 Obtda a sére do INPC com base em dezembro de 200, para obter o saláro real basta dvdr o saláro omal de cada mês pelo respectvo valor do ídce:

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 33 Mês Saláro (R$) INPC Saláro real % dez-000 apreçosdedez-0 dez-000 dez-0 3868,8 0,74 00,000 3868, 8 00 00 3868, 8 3868, 8 00 00, 00 3868, 8 ja-02 4060,03,07 0,070 4060, 03 0, 070 00 407, 05 407, 05 00 03, 83 3868, 8 fev-02 4797,79 0,3 0,383 4797, 79 0, 383 00 4732, 34 4732, 34 00 22, 323 3868, 8 mar-02 4540,89 0,62 02,02 4540, 89 02, 02 00 445, 33 445, 33 00 5, 06 3868, 8 abr-02 4436,4 0,68 02,706 4436, 4 02, 706 00 439, 26 439, 26 00, 64 3868, 8 ma-02 4436,4 0,09 02,798 4436, 4 02, 798 00 435, 40 435, 40 00, 54 3868, 8 Ao deflacoarmos esses saláros, estamos colocado todos eles a mesma moeda, ou seja, eles são comparáves para efetos de poder de compra. É como se tvéssemos duas pessoas em dezembro de 200 gahado, por exemplo, uma R$ 3668,8 e a outra R$ 435,40; com essa comparação fca claro que a seguda pessoa gaha mas que a prmera, ou seja, em termos reas, o saláro de mao de 2002 é maor que o saláro de dezembro de 200..9.2 Poder aqustvo O poder aqustvo de um determado volume de udades moetáras, com relação a uma certa época base, é o seu valor deflacoado com referêca a essa época base. Cosderemos ovamete o exemplo vsto o íco da seção: em 999 um qulo de care custava 8,00 reas e em 2000, 0 reas. Se os 2 aos dspuséssemos da mesma quata de 250 reas para comprar essa care, em 999 poderíamos comprar 250 R$ 3, 25 kg 8 R$ / kg e em 2000 Logo, a relação etre as quatdades é 250 R$ 0 R$ / kg 25kg 25 0, 80 3, 25

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 34 Isso sgfca que o poder aqustvo (para esse úco produto) cau 20%. Note que: 250 R$ 25 3, 25 250 R$ 0 R$ / kg 8 R$ / kg 8 0 0 8 No deomador temos o relatvo de preço da care com base em 999, ou seja, o poder aqustvo é obtdo tomado-se o verso do ídce de preço escolhdo. Exemplo.9 Cosdere a sére do IGP dada a segur. Calcule o poder aqustvo de Cr$ com base o cruzero de 977. Ao IGP - 200000 Poder aqustvo de R$ (200000) 2000 00 (/00) 00 :.0 200 0 (/0) 00 : 0.909 09 2002 40 (/40) 00 : 0.74 29 2003 50 (/50) 00 : 0.666 67 2004 68 (/68) 00 : 0.595 24 Em 2002, R$ tem o mesmo poder aqustvo de 0,7429 R$ de 2000, equato em 2004, R$$ tem o poder aqustvo de 0,59524 R$ em 977. Exemplo.0 O saláro de um trabalhador fo reajustado em 80% em um dado período, equato a flação fo de 92% o mesmo período. Qual fo a perda do poder aqustvo desse trabalhador? Para resolver esse problema, temos que colocar ambas as taxas em forma de ídce. Assm o ídce do saláro real é, 8 0, 9375, 92 Logo, o poder aqustvo do saláro o fal do período é gual a 0,9375 do poder aqustvo o íco do período, o que equvale a uma perda de 6,25%..0 Aálse dos dados da PME Nesta seção vamos aalsar dos artgos publcados o joral Folha de São Paulo, reproduzdos mas adate. Ambos se baseam em resultados da Pesqusa Mesal de Emprego do IBGE e foram publcados quado da dvulgação dos resultados da PME referetes ao mês de dezembro de 200. A êfase dos dos artgos é a queda do redmeto médo real do trabalhador. Vamos, etão, aalsar as formações dadas os artgos e descrever como os resultados foram obtdos a partr da PME.

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 35. Uma das varáves publcadas a PME é o redmeto médo omal do trabalho prcpal, estmado como uma méda dos redmetos dvduas dos formates da amostra. Estma-se também o redmeto omal médo dos trabalhadores com cartera assada. Para estmar o saláro médo real, os saláros omas são deflacoados pelo INPC. Na tabela temos os dados ecessáros para a aálse. Na prmera colua temos os dados orudos da PME, ode os saláros são dados a moeda correte. Note que o período em estudo houve duas mudaças de moeda: uma em agosto de 93 (cruzero para cruzero real) e outra em julho de 94 (cruzero real para real). A aálse é feta com base os saláros reas, dado-se êfase ao período do Plao Real (íco em julho de 994). Vamos, etão, calcular os saláros médos reas com base em julho de 994. Para sso, temos calmete que calcular o INPC com base em julho de 994. A forma mas fácl de fazer sso é calcular, prmero, o ídce com base dez-92 e depos fazer a mudaça de base. Os dados e cálculos de mudaça de base estão a Tabela 2. INPC- base: dez-92 Temos que acumular as flações mesas, ou seja, prmero trasformamos as taxas em ídces e depos acumulamos mês a mês (ver exemplo.8). Dez 92 µ 28, 77 Ja 93 +, 2877 00 Fev 93.2877.2479, 60692 Mar 93.2877.2479.2758 2, 050096. Jul 94.2877.2479.2758, 0775 239, 68489. INPC - base: jul-94 Para mudar a base, basta dvdr toda a sére pelo valor do ídce (com base em dez-92) o mês de julho de 994, ou seja, temos que dvdr toda a sére pelo valor 239,6848900. Podemos ver da Tabela 2 que a flação acumulada desde o Plao Real até dezembro de 200 é de 97,7%. Esta é a taxa correspodete ao ídce do mês de dezembro, com base em julho de 994. Este mesmo resultado pode ser obtdo a partr do ídce com base em dezembro de 992, smplesmete dvddo o ídce de dezembro pelo ídce de julho:, 977 473, 865 239, 685 Como a sére fo costruída acumulado os ídces mesas, esta dvsão os dá: p dez 0 p dez 92 p dez 0 p jul 94 p jul 94 p dez 92

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 36 Fgura.: Artgos sobre a PME

CAPÍTULO. NÚMEROS ÍNDICES 37 Tabela Redmeto médo omal do trabalho prcpal das pessoas ocupadas de 25 aos ou mas - Total das áreas - PME Saláro Saláro Saláro omal omal omal Moeda (Moeda Moeda (Moeda Moeda (Moeda correte correte) e correte correte) correte correte) ja/93 Cr$ 4287933,73 ja/96 R$ 576,38 ja/99 R$ 687,5 fev Cr$ 54330,54 frv R$ 587,9 fev R$ 678,78 mar Cr$ 669473,88 mar R$ 587,37 mar R$ 677,90 abr Cr$ 898479,9 abr R$ 594,7 abr R$ 676,92 ma Cr$ 3896,90 ma R$ 609,63 ma R$ 676,78 ju Cr$ 4389468,98 ju R$ 69,36 ju R$ 683,35 jul Cr$ 870695,94 jul R$ 639,63 jul R$ 674,76 ago CR$ 26478,7 ago R$ 644,8 ago R$ 676,05 set CR$ 36674,2 set R$ 636,43 set R$ 679,52 out CR$ 47894,50 out R$ 636,95 out R$ 688,36 ov CR$ 67997,7 ov R$ 64,44 ov R$ 707,5 dez CR$ 96592,30 dez R$ 686,66 dez R$ 757,68 ja/94 CR$ 30445,49 ja/97 R$ 64,75 ja/00 R$ 707,66 fev CR$ 87295,5 fev R$ 642,73 fev R$ 702,00 mar CR$ 288739,80 mar R$ 634, mar R$ 698,34 abr CR$ 40208,65 abr R$ 649,94 abr R$ 699,57 ma CR$ 55854,64 ma R$ 666,70 ma R$ 7,64 ju CR$ 726230,00 ju R$ 664,50 ju R$ 727,58 jul R$ 34,2 jul R$ 675,23 jul R$ 723,9 ago R$ 363,88 ago R$ 684,7 ago R$ 73,50 set R$ 374,09 set R$ 68,8 set R$ 733,99 out R$ 37,02 out R$ 689,63 out R$ 745,84 ov R$ 405,56 ov R$ 695,49 ov R$ 743,99 dez R$ 440,53 dez R$ 744, dez R$ 805,07 ja/95 R$ 420,34 ja/98 R$ 700,70 ja/0 R$ 738,50 fev R$ 435,78 fev R$ 696,29 fev R$ 742,25 mar R$ 450,7 mar R$ 685,00 mar R$ 740,08 abr R$ 467,60 abr R$ 679,52 abr R$ 746,2 ma R$ 487,02 ma R$ 675,0 ma R$ 740,40 ju R$ 499,44 ju R$ 682,89 ju R$ 750,80 jul R$ 509,48 jul R$ 678,72 jul R$ 758,05 ago R$ 52,96 ago R$ 685,74 ago R$ 749,53 set R$ 530,43 set R$ 685,86 set R$ 746,35 out R$ 537,86 out R$ 695,24 out R$ 752,82 ov R$ 56,62 ov R$ 75,28 ov R$ 750,92 dez R$ 600,62 dez R$ 758,0 dez R$ 803,45