Elemetos de Álgebra Liear ESPAÇOS VETORIAIS REAIS III) ESPAÇOS VETORIAIS REAIS Defiição: Deomia-se espaço vetorial sobre os Reais (R) ao cojuto ão vazio + : V V V ) Existe uma adição: com as seguites propriedades: uv, u+ v ( ) A) Associativa da adição:,, V, ( ) ( ) uvw u+ v+ w u+ v + w A) Comutativa da adição : uv, V, u+ v v+ u A) Elemeto eutro da adição: 0 V u V, u+ 0 0+ u u A4) Elemeto oposto da adição: u V ( u) V u+ ( u) ( u) + v 0 V, tal que: ) Existe uma multiplicação por escalar: M) α β K V α( β ) ( αβ) M) α, β,u ( α β) u u M) α,, α( + ) α + M4) K u V ( u) u,,u u u K V + α + β u K uv V u v u α v : R V V ( α ),v αv com as seguites propriedades: Notação: V, +, : espaço vetorial Obs : Os elemetos reais são chamados escalares e deotados por α, βκ,, por exemplo Obs : Os elemetos do espaço vetorial V são chamados vetores e são deotados, ormalmete, pelas letras u, v,w, detre outras Exemplos: ) O cojuto de vetores do plao R v r uuuuur u+ v u r ) O espaço vetorial R, +, ) O espaço vetorial C, +,, sedo as operações defiidas da seguite forma: ( ),,,, ( a+ bi) + ( c+ di) ( a+ c) + ( b+ d) i a b c d R e α( ) α α, α, a+ bi a+ bi R a+ bi C
Elemetos de Álgebra Liear ESPAÇOS VETORIAIS REAIS 4) O cojuto das -uplas reais, R ( ) multiplicação por escalar usuais { x, x,, x x, x,, x } R, com as operações de adição e 5) O cojuto das matrizes M com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais das matrizes ( ) m R 6) O cojuto dos poliômios de grau Cotra-exemplos: P R i i R i R i 0 i ( ) ax a { a x + a x + + ax + ax + a0 a } ) Cosidere o cojuto dos úmeros reais e as operações abaixo defiidas: Observe que a operação + : R R R (, ) ab a+ b ) Seja V R e as seguites operações: + : R R R (( ) ( )) ( ab,, cd, a+ cb, + d e : R R R ( α a), α a 0 ão satisfaz a propriedade (M4), pois x 0, x 0 x e : R R R ( ) ( ) ( ) α, ( ab, ) α ab, αab, ) A operação de multiplicação por escalar defiida desta forma ão satisfaz a propriedade (M), isto é: α + β ab, α + β ab, αa+ βab, α ab, + β ab, αa+ βab, + b ( )( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Exercícios: ) Verifique se o cojuto abaixo, com as operações defiidas é um espaço vetorial: : R R R (( x, y),( x, y) ) ( x+ x,0) e : R R R ( ( )) ( ) ( α, x, y α x, y αx, αy ) )Seja V { u R/ u > 0}, verifique se V é Espaço Vetorial sobre R com as operações: a) Usuais; b) + : V x V V : R x V V α u + v uv α u u PROPRIEDADES DOS ESPAÇOS VETORIAIS: Seja V um espaço vetorial real P) O vetor ulo (ou elemeto eutro da adição) é sempre úico P) Para cada vetor u V, existe um úico vetor palavras, o vetor oposto de u é úico P) α R, α0 0, 0 V P4) u V,0 u 0,0 R P5) α u 0 α 0 ou u 0, α R e u V P6) α, u ( α) u α( u) ( αu) R V ( ) 0 u V tal que u+ u, em outras P7) α R, uv, V α( u v) αu αv, sedo que u v u + (-v)
Elemetos de Álgebra Liear ESPAÇOS VETORIAIS REAIS P8) α β ( α β), R, u V u αu βu P9) Se uvw,, V e u+ v u+ w, etão v w SUESPAÇO VETORIAL Defiição: Um subcojuto ão vazio W V, ( V um espaço vetorial real) é dito subespaço vetorial de V se também é um espaço vetorial real, cosiderado as operações restritas a ele Teorema: Um subcojuto ão vazio W V, ( V um espaço vetorial real) é um subespaço vetorial se satisfaz: (i) 0 W (ii) uv, W u+ v W (iii) u W, α R αu W Exercício: Verifique se os subcojutos abaixo são subespaços vetoriais: { abc,, a b c 0 }, W + + V R a) ( ) b) a a 0, W ( ) a + a a a a a c) { pt a0 + ax + ax a+ a a0 } V M R W (), V P ( R ) INTERSECÇÃO DE SUESPAÇOS VETORIAIS Seja V, +, um espaço vetorial e sejam UW, V, UW, φ, dois subespaços vetoriais de V Proposição: A itersecção de U W é um subespaço vetorial de V, +, Obs: ) Note que a uião de subespaços vetoriais de V, +,, U W ão é um subespaço de V ) Todo espaço vetorial V possui pelo meos dois subespaços, os quais são chamados de subespaços triviais São eles: U 0, U V SOMA DE SUESPAÇOS Proposição: Cosidere o cojuto dado por: + { u+ w u, w } subespaço vetorial de Obs: Nestas codições temos que: ) U+ W W+ U; ) { 0} U+ U; ) U U+ W, W U+ W V, chamado de subespaço soma U W U W Este cojuto é um
Elemetos de Álgebra Liear ESPAÇOS VETORIAIS REAIS Defiição: Seja V, +, um espaço vetorial e sejam UW, V, UW, φ, dois subespaços vetoriais de V, tais que U+ W V e U W { 0} Neste caso, dizemos que V é a soma direta de U e W Os subespaços U e W são ditos subespaços suplemetares Notação: U W Exercício: Cosidere os seguites subcojutos de R e verifique se R é a soma direta de U e W Represete geometricamete os subespaços cosiderados { 0,0, z z } a) U ( xy,,0) xy, R e ( ) W R { z } b) U ( xy,,0) xy, R e ( 0, zz, ) W R Proposição: Sejam U e W subespaços vetoriais de um espaço vetorial V Etão V U W se, e somete se, cada vetor v V admite uma úica decomposição v u+ w, ode u U e w W COMINAÇÃO LINEAR Defiição: Seja um espaço vetorial sobre e,,, V Diz-se que um vetor v V é combiação liear dos elemetos de S, se existirem escalares α, α,, α R tais que: V R S { u u u } v α u α u α u α u + + + j j j LISTA DE EXERCÍCIOS ) Verifique se o vetor w (, 0, 0) é combiação liear dos vetores u (,, ), u (,, 0) e u (, 0, ) ) Para qual valor de, o vetor vetores de k R (,, k) S, sedo S {(, 0, ), (,, 5) } v R pode ser escrito como combiação liear dos v abc,, R ) Determie codições para o vetor ( ) liear dos vetores u (,, ), ( ) u ( 0,, ) 4) Verdadeiro ou Falso Justifique a) (,0,) (,0, ),(,0,0) b) c) t+ t + t, t+ t u, 0, e 0 0 0 0,, 0 0 0 0 5) Verifique se os seguites cojutos são espaços vetoriais: 4, para que o mesmo seja uma combiação
Elemetos de Álgebra Liear ESPAÇOS VETORIAIS REAIS a), (x, y ) + (x, y ) (x + x, y + y ) e α(x, y) ( α x, α y) b), (x, y ) + (x, y ) (x + x, y + y ) e α ( x, y) ( αx, 0) c) A {(x, y) : y5x } com as operações usuais 0 a d) A M(,) : a, b R com as operações usuais b 0 e), ( x, y) + (x, y ) (x y, x + y), a(x, y) (ay, ax) f),{( x,x,x) : x R}, com as operações usuais 6) Prove que se u, v e w V e u+vu+w, etão vw (lei do cacelameto da adição) 7) Seja V o cojuto dos vetores geométricos do espaço Sedo u um vetor fixo desse espaço, mostrar que W { αu : α R} é um subespaço vetorial de V 8) Verifique se são subespaços vetoriais de V a) V, W { ( x, y) R : y 0 } x y b) VM ( ), W M (R) : y x z t c) VM ( ), U {A M ( ): A t A}, W {A M ( ): A T T A}, ode T é uma matriz dada de M ( ) d) V, U { ( x, y, z) R : x z }, W { ( x, y, z) R : y x + e z 0 } a b e) VM ( ), W M (R) : ad bc 0 (matrizes iversíveis) c d f) V P ( ), U{f(t) P ( ): f(t) tem grau maior que }, W{f(t) P ( ): f(0) f()} 9) Verificar que ão são subespaços vetoriais do R: a) W { (x, y, z) R : x } b) W { (x, y, z) R : x + y + z 0} 0)Sejam U, V e W subespaços do R, tais que U{ ( x, yz, ) R : x z}, V{ (x, y, z) R : x y 0 } e W { (x, y, z) R : x + y + z 0 } Verifique que U + V e V + W Em algum dos casos a soma é direta, U + W ) Seja V M ( ), mostrar que a itersecção dos subespaços W {matrizes triagulares superiores} e W {matrizes triagulares iferiores} é um subespaço vetorial de V 5
Elemetos de Álgebra Liear ESPAÇOS VETORIAIS REAIS SUESPAÇO GERADO Seja um espaço vetorial sobre e V R S { u u u },,, V Cosidere o cojuto de todas as combiações possíveis de S, ou seja, W α juj α j Z, uj S j Proposição: O cojuto W como descrito ateriormete é um subespaço vetorial de V, chamado W S de subespaço vetorial gerado por S Notação: [ ] PROPRIEDADES DOS SUESPAÇOS GERADOS Sejam S, S e S cojutos de um espaço vetorial V, +, Etão: P) S [ S] P) S S [ S] [ S] P) [ S] [ S] P4) [ ] + [ ] [ ] ESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERADOS Defiição: Um espaço vetorial V, +, u, u fiito de vetores geradores, isto é,,, S S S S é fiitamete gerado se existe um sistema (ou cojuto) u V tais que [ u u u ] Exemplo 0: O espaço R é fiitamete gerado pois os vetores cojuto de geradores para o R De fato: Seja ( abc,, ) R a(,0,0) + b( 0,,0 ) + c( 0,0, ) R pode ser gerado pelos vetores ( ),( 0,,0 ),( 0,0,) V,,, (,0,0 )(, 0,,0 )(, 0,0, ) formam um v um vetor qualquer Fazedo a combiação liear gerado, pois é existe um cojuto com geradores Exemplo 0: Cosidere o seguite cojuto: Etão ( ) [ ] S, obteremos exata-mete o vetor dado Logo qualquer vetor do espaço,0,0 Assim, temos que o espaço é fiitamete M R Logo é fiitamete gerado 0 0 0 0 0 0 S,,, 0 0 0 0 0 0 Exemplo 0: O espaço vetorial dos poliômios de grau meor ou igual à cojuto de vetores: {,,,,, } S x x x x é gerado pelo seguite De fato: Qualquer poliômio de grau meor ou igual a, liear dos elemetos do cojuto S k p() t a x, é uma combiação k 0 k 6
Elemetos de Álgebra Liear ESPAÇOS VETORIAIS REAIS Lista de Exercícios 4 Determie o subespaço gerado por: u ) {(,0,0 ), ( 0,,0 )} a) (, b) S c) Cosidere os seguites subespaços de : Determie um sistema de geradores para o subespaço 0 0 u, v 0 0 R U (,0,0 ),(,,) e ( 0,,0 ), ( 0,0, ) U W Ecotre o subespaço U, sedo dados: {( xy, ) x } W 0, subespaços do R W ( ) 0 0 0 W { x, y x y 0} U e 4 Determie um sistema de geradores para o subespaço das soluções do sistema liear abaixo: x + y z t S: x y + z + t x y z + t 5 Determie um sistema de geradores para os subespaços dados abaixo: a) W { ax + bx + c a b c} P ( R) x x y 0 b) U ( R) 0 y x M DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Defiição: Um cojuto de vetores S { u u u },,, V é chamado de liearmete idepedete (LI) se existe uma úica solução para a equação: α k 0, k,,, Defiição: Nas mesmas codições o cojuto equação u admite mais do que uma solução, isto é, k S k α u k k 0, qual seja: é dito liearmete depedete (LD) se a α k k 0 k {,,, } α k 0 Obs: ) Um cojuto de vetores é LI se e somete se ão é LD ) O cojuto vazio é dito LI, por coveção PROPRIEDADES Sejam P) Se {, }, S S e S cojutos de um espaço vetorial V, +, Etão: uv V é um cojuto LD etão α 0 v αu, ou seja, v é combiação liear de u P) Se o vetor ulo pertece ao cojuto S etão S é LD P) Se u 0 e S { u} etão S é LI 7
Elemetos de Álgebra Liear ESPAÇOS VETORIAIS REAIS S P4) Se S S e é LD etão S é LD também S P5) Se S S e é LI etão S é LI também P6) Se S { u, u,, u} etão v [ S] é LI e para algum v V, v S,,, é LD e uj S { u j } P7) Se S { u u u } [ S] S { u j } Lista de Exercícios 5 Determie se os cojutos abaixo são LI ou LD {,, 5, 0 } R S R a) (,, ),( 0,, ),(,, ) b) S ( ) ( ) 0 S,, 0 0 c), para d) S { x,+ x x, x+ x } P ( R ) e) ( ) ( ) () () () + p t t+ t, p t + t, S p t t, p4 t t, P p5 t t t Para quais valores de o cojuto ASE E DIMENSÃO Defiição: Seja V, +, chamado de base de ) V [ ] ) é um cojuto LI de vetores Teorema: Seja S { u u u } detre os vetores de Proposição: Seja, temos que S { v} ( ) ( R) S M R é um cojuto LD, para algum j {,, } m R S (,0, m),(,, ),(,, m ) R é LI etão um espaço vetorial fiitamete gerado Um subcojuto fiito V é V se satisfaz as codições abaixo:,,, V um sistema de geradores do espaço vetorial V Etão S existe uma base para V V um espaço vetorial gerado por um cojuto fiito de vetores u, u,, u V Etão qualquer cojuto com mais do que vetores é ecessariamete liearmete depedete (LD) Teorema: Qualquer cojuto LI de vetores de um espaço vetorial V de dimesão fiita pode ser completado de modo a se torar uma base para V 8
Elemetos de Álgebra Liear ESPAÇOS VETORIAIS REAIS Obs: Segue dos resultados ateriores que qualquer cojuto de vetores geradores e LI do espaço vetorial possui o mesmo úmero de elemetos V Corolário: Qualquer base de um espaço vetorial V tem sempre o mesmo úmero de elemetos Defiição: Dado um espaço vetorial fiitamete gerado, chama-se dimesão de vetores de uma base de Exemplos: a) ( R ) b) dim( ) c) ( ) d) ( ( )) V ( ) dim e) P ( R ) dim + ( ) R f) dim M ( R) dim g) 4 ( ) ( Mmx R ) R M ( R ) dim dim 6 x P R h) ( ) Lista de Exercícios 6 dim m Verifique se os cojutos abaixo são base para os respectivos subespaços vetoriais: R a) (, 0 ),( 0,) b) { + t, t + t, + t, t} P ( R ) {,, 0,,, 0 } c) (,, ),( 0,0, ),(,0,) R R d) ( ) ( ) ( ) e) 0 0, 0 0 0 0 M x ( R) Obteha bases e dimesões para os subespaços vetoriais abaixo relacioados: { xyz,, x y z 0} { x, yzt,, 4 x y 0, t z} { ax bx c a b c 0} W R + a) ( ) W R + b) ( ) c) W P ( R ) + + + a b W M R a+ b 0 c d c d d) ( ) V ao úmero de 9
Elemetos de Álgebra Liear ESPAÇOS VETORIAIS REAIS PROCESSO PRÁTICO : OTENÇÃO DE UMA ASE DE UM SUESPAÇO VETORIAL DO Seja [ W u, u,, uk ] um subespaço do espaço vetorial R Etão: ) A permuta de dois vetores, detre os geradores, ão altera o subespaço gerado W u,, u,, u,, u u,, u,, u,, u ) Para cada α R, α 0 temos que: i j k j i k W u,, ui,, uj,, u k u,, ui,, ui + αuj,, u k,,, k ) Se os vetores u u u se apresetam a forma escaloada, eles formam um cojuto LI de vetores Logo formam uma base para W Lista de Exercícios 7 Determiar uma base e a dimesão para W, U e U+ W, sedo: W R, tedo em vista que são um sistema de geradores para W (,,, 0 ), (, 0,, ), ( 0,,, 4) e U { ( x, yzt,, ) R 4 x y, z t} Cosidere o sistema liear e determie uma base e a dimesão para o subespaço das x y+ z t 0 soluções: S: x + y z + t 0 x+ y z+ t 0 Achar um cojuto de geradores (sistema de geradores) dos seguites subespaços de 4 : a) U { (x, y, z, t) R : x y z + t 0 }; b) V { (x, y, z, t) R : x y z + t 0 } 4 4 4 Mostrar que os poliômios t,( t),( t) e geram P ( R) 0 0 0 5 Verificar se as seguites matrizes geram o espaço vetorial M ( ):,,, 0 0 0 0 6 Cosideremos o os seguites subespaços vetoriais: U [ (,0,0), (,,) ] e V [ (0,,0), (0,0,) ] Determiar um sistema de geradores de U V 7 Escrever o vetor ulo de 8 Determiar os subespaços do a) S{(,-,)} b) A{(-,,), (,-,)} c) S{(,0,), (0,,), (-,,0)} d) S{(-,,0), (0,,) (-,,)} e) A {(,,-), (-,,0), (-,0,), (-,-,)} como combiação liear dos vetores (,) e (,6) gerados pelos seguites cojutos 0
Elemetos de Álgebra Liear ESPAÇOS VETORIAIS REAIS 9 Respoda justificado: v(-,-,,0) [(,-,,0), (,0,,0)]? 0 Cosideremos o espaço P {at + bt +c: a, b, c R } os vetores p (t) t t +, p (t) t + e p (t) t t a) Escrever o vetor p(t) 5t 5t + 7 como combiação liear de p, p e p b) Escrever o vetor p(t) 5t 5t + 7 como combiação liear de p e p c) Determiar uma codição para a, b e c de modo que o vetor at + bt + c seja combiação liear de p e p d) É possível escrever p como combiação liear de p e p? Mostrar que os úmeros complexos +i e -i geram o espaço vetorial sobre São subespaços vetoriais de C(I) os seguites subcojutos:u {f C(I): f(t) f(-t), t } e V {f C(I): f(t) -f(-t), t } Mostrar que C(I) U V Mostrar que é subespaço de M ( ) o subcojuto formado pelas matrizes ati-simétricas Mostrar também que VM ( ) é soma direta dos subespaços das matrizes simétricas e das ati-simétricas 4 Mostrar que o subcojuto {,i} é uma base de sobre 5 No espaço vetorial cosideremos os seguites subespaços: U { (x, y, z) R : x 0 } e V [(,,0), (,,)] Determiar uma base e a dimesão dos subespaços U, V, U+V e U W 6 Determiar uma base do 4 que coteha os vetores (,,,), (0,,-,0) e (0,,0,) 7 No espaço vetorial cosideremos os seguites subespaços vetoriais: S [(,-,), (,,)], T [(0,,-),(,,)], U { (x, y, z) R : x + y 4x z 0 } e V { (x, y, z) R :x y z 0 } Determiar as dimesões de : S, T, U, V, S+T, S T, T+U e T U 8 Cosideremos o subespaço vetorial de M (R) costituído das matrizes simétricas Determiar uma base desse subespaço vetorial 9 Determiar uma base e a dimesão do espaço solução do seguite sistema: x y z t 0 S: x + y + t 0 z t 0 0 Para que valores de a R o seguite cojuto é uma base de {(a,,0), (,a,),(0,,a)} Mostrar que os poliômios, +t, -t e -t-t -t formam uma base de P ( ) Seja {u, u,, u } uma base de um espaço vetorial V de dimesão sobre C Mostrar que {u, u,, u, iu, iu,, iu } é uma base de V cosiderado como espaço vetorial sobre :
Elemetos de Álgebra Liear ESPAÇOS VETORIAIS REAIS TEOREMA DA DIMENSÃO Teorema: Sejam U e W dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial dimesão fiita, etão dim dim, Proposição: Se ( U) ( V ) dim( W) dim( ) V e além disso: ( + ) ( ) + ( ) ( ) dim U W dim U dim W dim U W W é um subespaço vetorial de,, V + tal que ( ) dim( V, +,, que têm dim W V) etão W V COORDENADAS Defiição: Diz-se que uma base é ordeada se a ordem dos vetores é fixada,,, Proposição: Dada uma base ordeada { u u u } de para o espaço vetorial V, cada vetor V é escrito de maeira úica como combiação liear de u, u,, u V u uma base ordeada para V e v V um vetor ode α + α + + α São chamados de coordeadas do vetor v V com relação à base, α, α α R Defiição: Seja v u u os escalares,, Notação: [ v] Lista de Exercícios 8 α α α Dados os vetores abaixo, determia as coordeadas de cada um deles em relação às bases e caôicas dadas em cada caso: {, + t, + t } a) v (,, ) R, C base caôica, (,, ),(,,0 ),(,,0) b) vt ( ) 4t t ( ) + + P R, C base caôica e c) A ( ), C base caôica e 4 7 M R 0 0,,, 0 0 0 0 0 Determiar uma base e a dimesão para W, U, U+ W e U W, sedo: W (,,, 0 ), (,, 0, ), ( 0,,, 4) e U (,0,0, ), (,0,0, ), (,,, ), ( 0,,, )
Elemetos de Álgebra Liear ESPAÇOS VETORIAIS REAIS Cosidere o sistema liear e determie uma base e a dimesão para o subespaço das x+ y+ z t 0 soluções: S: x + y z + t 0 x+ y z+ t 0 MUDANÇA DE ASE Sejam { u u u } e D { w w w } V, +,,,,,,, duas bases ordeadas de um mesmo espaço vetorial Dado um vetor v V, ele pode ser escrito das seguites formas: As matrizes das coordeadas de () v βu+ βu + + βu () v λ w + λ w + + λ w () v V v com relação as bases e D são respectivamete: β β β λ λ () v λ Como é base de V, cada vetor wi D pode ser escrito como combiação liear dos vetores da base, ou seja: () Substituido () em () temos a seguite equação: w αu+ αu + + α u w αu+ αu + + αu w α u+ αu + + αu ( ) ( ) ( ) v λ α u + α u + + α u + λ α u + α u + + α u + + λ α u + α u + + α u que re-agrupado com relação aos vetores da base temos: ( λα λα λα ) ( λα λα λα ) ( λα λα λα ) v + + + u + + + + u + + + + + u Assim igualado as coordeadas, pois elas são úicas em relação à uma base dada, obtemos o seguite produto matricial: β α α α λ β α α α λ β α α α λ ou [ ] [ ] [ ] D D v M v Defiição: A matriz [ M ] D descrita acima é deomiada matriz de mudaça da base D para a base Proposição: Se a matriz de mudaça da base D { w, w,, w} V para a base ordeada { u, u,, u} V é a matriz dada por [ M ] D e a matriz de mudaça da base G { v, v,, v} V para a base D { w, w,, w} V é a matriz dada por [ M ] G D Etão G D temos: [ ] [ M ] [ M M ] G D
Elemetos de Álgebra Liear ESPAÇOS VETORIAIS REAIS Obs: ) [ ] ( αij, se i j M α ij ) tal que ( Matriz idetidade) α ij 0, se i j )[ ] [ ] [ ] M M M D D D ( ) isto é, [ ] [ ] M M D Lista de Exercícios 9 Cosidere as bases ordeadas (, ),(,4) e (, 0 ),( 0,) [ M ] e [ M ] D D D do R Determie Qual a matriz de mudaça da base D {, + t} para a base caôica {, t} do ( ) Determie a matriz mudaça da base para a base D, e sua iversa, em cada caso: a) {(,, ),(,,0 ),(,,0) } b) {, t, t } e D base caôica do R D ( ) + + e base caôica do P R P R? 0 0 c),,, e 0 0 0 D 0 0 base caôica do M ( R ) 4 Sejam {(,0,0), (0,,0), (0,0,)} e C{(0,,0), (-,0,0), (0,0,)} bases ordeadas de Ecotre as matrizes que relacioam as coordeadas de v e v C de um mesmo vetor v as bases e C, respectivameteiterprete geometricamete 0 a) Se v 0, ecotre v C b) Se v C, ecotre v 0 c) Se v, ecotre v C 5 Determiar as coordeadas da matriz de M(R) em relação à base: 0 0 0 0 0 0 0,,, 0 0 0 0 6 No espaço cosideremos as bases {e, e, e } e C {g, g, g } relacioadas da seguite maeira: g e + e g e + e + e g e + e + e Determiar a matriz de mudaça de para C e de C para 4
Elemetos de Álgebra Liear ESPAÇOS VETORIAIS REAIS Se as coordeadas de um vetor u em relação á base são, e, quais as coordeadas desse vetor em relação à base C? 7 A matriz de mudaça da base { + t, t} para uma base C ambas do mesmo subespaço vetorial de P ( R) é Determiar a base C 8 A matriz de mudaça de uma base do para a base {(,), (0,)} desse mesmo espaço é 0 Determiar a base 9 Seja {u, u,, u } uma base do espaço vetorial V e seja C {u, u u,, u u } Mostrar que C é também uma base de V Achar as matrizes de mudaça de base de para C e de C para 0 Sejam U e V subespaços vetoriais de um espaço vetorial de dimesão Supodo que dim U> e que dim V >, prove que: U V {0} No espaço vetorial cosideremos os seguite subespaços: U { (x, y, z) R : x 0 } e V{ (x, y, z) R : y z 0 } e W[(,,0), (0,0,)] Determiar uma base e a dimesão de cada um dos seguites subespaços: U, V, W, U V, V+W e U+V+W 5