MAE 0219 - Introdução à Probabilidad Estatística I Gabarito Lista d Exrcícios 3 Sgundo Smstr d 2017 Obsrvação: Nos cálculos abaixo, considramos aproximaçõs por duas casas dcimais. EXERCÍCIO 1. a. Construa o diagrama d disprsão ntr dspsas com publicidad (x) vndas (y). Comnt. Rsposta: O diagrama d intrss é dado abaixo. Vndas por smana ($) 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 Dspsas com publicidad por smana ($) Plo gráfico, há lvs indícios d uma rlação linar crscnt ntr as variávis. b. Calcul o coficint d corrlação linar d Parson ntr as duas variávis. Comnt. Rsposta: Tmos qu x 34, 17; ȳ 453, 75; x 2 i 15650; y 2 i 2512925 x i y i 191325. (1) Daí, sgu qu 1
s 2 15650 12 (34, 17)2 X s 2 2512925 12 (453, 75)2 Y Portanto, o coficint d corrlação linar d Parson fica dado por 148, 99 s X 148, 99 12, 21 (2) 3841, 48 s Y 3841, 48 61, 98. (3) r 12 x iy i n xȳ 191325 12 34, 17 453, 75 0, 63. (4) (n 1)s X s Y 12, 21 61, 98 Como o coficint d corrlação é d 0, 63, não há indícios d uma fort associação linar ntr as variávis dspsas vndas. c. Ajust a rta d rgrssão linar ntr as duas variávis. Intrprt o coficint angular b. Rsposta: Tmos qu b 12 x iy i n xȳ (n 1)s 2 X 191325 12 34, 17 453, 75 148, 99 3, 22 (5) Logo, a rta ajustada é dada por a ȳ b x 453, 75 3, 22 34, 17 343, 72. (6) Ŷ i 343, 72 + 3, 22X i, i 1,..., 12. (7) Como b 3, 22, sgu plo modlo ajustado qu, por smana, para o aumnto d uma unidad montária($) nas dspsas com publicidad, o valor m vndas aumnta, m média, $3, 22. d. Estim as vndas smanais quando os custos d publicidad são d $35. Rsposta: Pla rta ajustada m c, o valor stimado para as vndas smanais quando as dspsas smanais com publicidad são d $35 é dado por Ŷ 343, 72 + 3, 22 35 456, 42. (8) 2
Exrcício 2 a. Construa o diagrama d disprsão ntr comprimnto (x) força (y). Comnt. Rsposta: O diagrama d intrss é dado abaixo. Força (N) 50 100 150 200 250 2 4 6 8 10 Comprimnto (cm) Plo gráfico, há indícios d uma fort rlação linar crscnt ntr as variávis, isto é, obsrva-s qu a força ncssária tnd a aumntar com o comprimnto qu a mola é stndida qu o aumnto parc ocorrr d manira linar sobr o comprimnto. b. Calcul o coficint d corrlação linar d Parson ntr as duas variávis. Comnt. Rsposta: Tmos qu x 5, 5; ȳ 136, 07; x 2 i 385; y 2 i 2395, 1 x i y i 9451, 36. (9) Daí, sgu qu s 2 Y s 2 385 10 (5, 5)2 X 9, 17 s X 9, 17 3, 03 9 (10) 2395, 1 10 (136, 07)2 5996, 07 s Y 5996, 07 77, 43. 9 () Portanto, o coficint d corrlação linar d Parson fica dado por 3
12 r x iy i n xȳ 9451, 36 10 5, 5 136, 07 0, 93. (12) (n 1)s X s Y 9 3, 03 77, 43 O coficint d corrlação aprsnta um valor lvado, indicando uma fort associação linar ntr as variávis força comprimnto. O sinal (positivo) do coficint d corrlação indica qu é ncssário mprgar mais força para um maior alongamnto da mola. c. Ajust a rta d rgrssão linar ntr as duas variávis. Intrprt o coficint angular b. Rsposta: Tmos qu b 10 x iy i n xȳ (n 1)s 2 X 9451, 36 10 5, 5 136, 07 9 9, 17 23, 84 (13) Logo, a rta ajustada é dada por a ȳ b x 136, 07 23, 84 5, 5 4, 95. (14) Ŷ i 4, 95 + 23, 84X i, i 1,..., 10. (15) O coficint angular da rta ajustada (23, 84) indica qu, para obtr um acréscimo d 1 cm no alongamnto da mola, é ncssário aumntar a força, m média, m 23, 84 nwtons. d. Considrando a rta ajustada m c, stim a força ncssária sprada para alongar a mola m 7, 2 cntímtros. Rsposta: Para X 7, 2, tm-s Ŷ 4, 95 + 23, 84 7, 2 176, 6 (16) Portanto, a força ncssária sprada para alongar a mola m 7, 2 cm é d 176, 6 nwtons. 4
Exrcício 3. a. Encontr a média o dsvio padrão do númro d runiõs profissionais nos últimos cinco anos dos profssors ntrvistados. Rsposta: Plo nunciado, sabmos qu n 12, n x i 48 n x 2 i 232. (17) Assim, o númro médio d runiõs profissionais nos últimos cinco anos dos profssors ntrvistados é dado por x n x i n 48 4. (18) 12 Além disso, s 2 X n x 2 i n x2 n 1 232 12 42 3, 64 (19) (20) dond sgu qu o dsvio padrão para a variávl sob studo é dado por s X 3, 64 1, 91. (21) b. Ajust a rta d rgrssão linar ntr as duas variávis. Intrprt o coficint angular b. Rsposta: Do nunciado, sabmos também qu n y i 144, dond sgu qu ȳ 12, qu n x i y i 662. Com os valors já rssaltados m a, tmos qu b 10 x iy i n xȳ (n 1)s 2 X 662 12 4 12 3, 64 2, 15 (22) Logo, a rta ajustada é dada por a ȳ b x 12 2, 15 4 3, 4. (23) Ŷ i 3, 4 + 2, 15X i, i 1,..., 12. (24) 5
O coficint angular da rta ajustada (2, 15) indica qu, para obtr um acréscimo d uma submissão d publicação para rvistas com rfrência no príodo d cinco anos, é ncssário no msmo príodo participar, m média, d 2, 45 runiõs profissionais adicionais. c. Suponha qu n yi 2 1916. Dtrmin a corrlação linar ntr as duas variávis. Rsposta: Sob tal suposição, tmos qu s 2 Y n y 2 i nȳ2 n 1 1916 12 122 17, 09 (25) dond sgu qu s Y 17, 09 4, 13. (26) Sabmos plo itm a qu s X 1, 91, plo itm b qu b 2, 15. Daí, por rlação vista m aula, o coficint d corrlação ntr as duas variávis é dado por r s X 1, 91 b 2, 15 0, 99. (27) s Y 4, 13 6