p: João Alvaro w: www.matemaniacos.com.br e: joao.baptista@iff.edu.br Lista de exercícios de Matemática Função composta. Função inversa. EXERCÍCIOS DE EMBASAMENTO 1. Dados A = { 1, 1, 0, 1, 2}, B = { 3, 1, 1, 3, } e C = {11, 3, 27, 3}, e as funções f : A B e g : B C tais que f(x) = 2x + 1 e g(x) = x 2 + 2, construa o diagrama de flechas de f e g e calcule: a) (g f)( 1) b) (g f)(1) c) (g g)(2) d) (g f)(x) 2. Dados A = { 2, 2, 03, 3, 0}, B = {, 10, 1, 21} e C = {2,, 4, 6, 9}, e as funções f : A B e g : b C tais que f(x) = x 2 + 1 e g(x) = x + 1. Construa o diagrama de flechas de f e g e determine: a) (g f)(2) b) (g f)(0) c) (g f)( 3) d) (g f)(x) 3. Dada as funções reais de variáveis real f(x) = x 4 e g(x) = 3x 6, determine: a) (g f)(2) b) (f g)(2) c) (f f)(1) d) (g g)(2) e) (g f)(x) f) (f g)(x) g) (f f)(x) h) (g g)(x) a) Determine as constantes reais a e b. b) Obtenha a função f g c) Obtenha a função g g. Sendo f uma função tal que f(x + ) = 2x + 1, determine. a) f(7) b) f(x) 6. Um preparador físico acompanhou o desenvolvimento de um atelta da adolescência à idade adulta. Durante esse período, o prepradador concluiu que a massa m do atleta, em quilograma, em função da altura h, em metro, variou de acordo com a função: m(h) = 22h 2 (I) Também constatou que a altura h, do rapaz, em metro, em função do tempo t, em ano, variou de acordo com a função: h(t) = 4t + 3 2t + 2 (II) em que t = 0 é o instante do início do acompanhamento do desenvolvimento do atleta. a) Para uma avaliação da massa m em função do tempo t, o preparador teve que efetuar uma composição das funções (I) e (II). Qual é a equação que expressa a massa m em função do tempo t? b) Qual era a massa m após 4 anos do início do acompanhamento do atleta? 4. Os gráficos das funções f(x) = 2a x + b e g(x) = x + b interceptam-se no ponto (0, 4). 1
7. O consumo médio diário y de energia de uma pousada, em quilowatt-hora (kwh), em função do número x de apartamentos ocupados, é dado por y = 60 + 4x. O número médio diário x de apartamentos ocupados em função do preço p da diária por apartamento, em geral, é dado por x = 22 + 600, até o limite da capacidade p máxima da pousada. a) Para o preço de R$ 100,00 da diária por apartamento, qual é o consumo médio diário de energia em quilowatt-hora dessa pousada? b) Escreva uma equação que expresse o consumo médio diário de energia elétrica, em quilowatt-hora, em função do preço da diária por apartamento. a). b). c). d). 8. Atribua a cada uma das funções, f, g, h e i abaixo apenas uma das qualificações: injetora, sobrejetora, bijetora ou nem injetora nem sobrejetora. a). b). 10. Atribua a cada uma das funções, f, g, h, t e u, abaixo apenas uma das qualificações: injetora sobrejetora, bijetora ou nem injetora nem sobrejetora. a) f : R R tal que f(x) = x 2 b) g : R R tal que g(x) = 3x + 2 c) h : R R tal que h(x) = 1 x d) t : R {1} R tal que t(x) = x 1 e) u : R R + tal que u(x) = x 2 11. O gráfico da função f é reta representada no plano cartesiano abaixo. c). d). Assinale a opção correta. 9. Todas as funções, f, g, h e i, representadas a seguir têm domínio [0, 4] e contradomínio [2, 8]. Atribua a cada uma delas apenas uma das qualificações: injetora, sobrejetora, bijetora ou nem injetora nem sobrejetora. a) A função f é injetora e não é sobrejetora. b) A função f é sobrejetora e não é injetora. c) A função f não é injetora nem sobrejetora. d) A função f é bijetora. 2
12. Vinte candidatos inscreveram-se no concurso interno de promoção de cargo de uma empresa. Cada um deles recebeu um único número de inscrição entre os números naturais de 1 a 20, e não há dois candidatos com o mesmo número de inscrição. Sendo A o conjunto dos candidatos inscritos nesse concurso e N = {0, 1, 2, 3, 4,, 6, } o conjunto dos números naturais, considere a função f : A N que associa cada candidato ao seu número de inscrição. Assinale a afirmação verdadeira. a) A função f é injetora e não é sobrejetora. b) A função f é sobrejetora e não é injetora. c) A função f não é injetora nem sobrejetora. d) A função f é bijetora. 13. Em um teatro, as 480 poltronas são dispostas em 16 fileiras com 30 poltronas em cada um. Cada fileira é identificada por uma letra das 16 primeiras letras do alfabeto, e cada assento é identificado pela letra da respectiva fileira seguida de um número natural de 1 a 30; por exemplo, o assento 21 da fila G é identificado pela sequência G21. Assim, temos que A = {a, b, c, d,, p} é o conjunto das letras que identificam as fileiras e B = {1, 2, 3., 30} é o conjunto dos números dos assentos. Classifique como injetora, sobrejetora ou bijetora a função f : A B que associa a letra de cada fileira a cada número de assento dessa fileira. Justifique sua resposta. 14. Sendo A = {0, 1, 4, 9, 16} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, considere a função f : A B tal que f(x) = x. Essa função é invertível? Por quê? 1. Uma função f de A = { 2, 2, 1, 1, 0} em B = {6, 3, 2} tem como lei de associação f(x) = x 2 + 2. Essa função admite inversa? Por quê? 16. Os gráficos abaixo representam duas funções f e g de domínio D = [4, 8] e contradomínio CD = [3, 7]. Qual dessas funções é invertível? por quê? a). b). obtenha a lei de associação da inversa de cada função: a) y = 2x b) y = 8 x 6 c) y = x + 2 1 x d) g(x) = x e) h(x) = + 3 x 3 18. (UEFS-BA) Uma função invertível f : R R pode ser representada por f(6x) = 3x + 2. A inversa de f é: a) f 1 (x) = 2x 4 b) f 1 (x) = 4x + 2 c) f 1 (x) = 2x 1 4 d) f 1 (x) = x 4 2 e) f 1 (x) = 2x + 1 6 (f 32) 19. (PUC-MG) A fórmula C =, onde 9 F 49, 67, expressa a temperatura C, em graus Celsius, como uma função da temperatura F, em Fahrenheit. Então é correto afirmar que: 32 + 9C a) F = 160 9C 160 b) F = 9C + 160 c) F = 160 9C d) F = 20. Considerando a sentença f(x) = x3 + 3 x 1 é a lei de associação de uma função bijetora, em que o domínio e o contradomínio são os mais amplos subconjuntos possíveis de R, obtenha o conjunto imagem da inversa dessa função. 17. Considerando que cada uma das sentenças a seguir é a lei de associação de uma função bijetora, 3
21. Para aplantar um terreno, o proprietário contratou uma empresa de terraplanagem. O preço f, em real, cobrado pela empresa por x metros cúbicos de terra retirados é dado pela função f(x) = a + bx, para x < 100, cujo gráfico 100 x da inversa, f 1, é representado abaixo. 23. O gráfico a seguir representa a função f : R R, tal que f(x) = x 2. Nessas condições, determine: a) as constantes a e b. b) o preço cobrado pela empresa se o volume de terra retirado for 36m 3 c) o volume de terra retirado se o preço cobrado pela empresa for R$ 1200,00 22. O gráfico de uma função f é o segmento de reta representado no plano cartesiano a seguir. Esboce o gráfico da função f 1. a) Esboce o gráfico da função inversa de f. b) Obtenha a lei de associação da inversa de f. 4
GABARITO EXERCÍCIOS DE EMBASAMENO. 1. a) (g f)( 1) = 3 b) (g f)(1) = 11 c) (g f)(2) = 27 d) (g f)(x) = 4x 2 + 4x + 3 2. a) (g f)(2) = 2 b) (g f)(0) = 4 c) (g f)( 3) = d) (g f)(x) = x 2 + 16 3. a) (g f)(2) = 24 b) (f g)(2) = 6 c) (f f)(1) = 1 d) (g g)(3) = 1 e) (g f)(x) = 1x 6 f) (f g)(x) = 1x + 26 g) (f f)(x) = 2x + 24 h) (g g)(x) = 9x + 24 4. a) a = 4 e b = 4 b) (f g)(x) 16 x + 8 c) (g f)(x) = 32x + 4 x + 4. a) f(7) = b) f(x) = 2x 9; DICA: faça a mudança de variável x + = t ( ) 4t + 3 2 6. a) m(t) = 22. 2t + 2 b) 79, 42kg 7. a) 172kW h b) y = 148 + 2400 p 8. a) sobrejetora b) injetora c) bijetora d) nem sobrejetora nem injetora. 10. a) nem injetora nem sobrejetora 11. D 12. A b) bijetora c) bijetora d) bijetora e) sobrejetora 13. Como cada elemento do domínio A está associado a mais de um elemento do contradomínio B, então a função não é injetora. Já que todos os elementos do contradomínio B estão associados a pelo menos um elemento do domínio A, então a função é sobrejetora. 14. Sim, porque f é uma bijeção de A em B e, por isso, a relação f 1 tembém é uma função. 1. Não, pois f não é uma bijeção de A em B e, por isso, a relação inversa f 1 não é uma função. 16. g, pois g é bijetora. 17. a) f 1 (x) = x + 2 b) f 1 (x) = 8 + 6x x c) f 1 (x) = x 2 + x d) f 1 (x) = x 2 18. A 19. C e) f 1 (x) = (x ) 3 + 3 20. Im(f 1 ) = R {1} 21. a) a = 200; b = 000 b) R$ 3012,0 c) 7m 3 9. a) bijetora b) injetora c) sobrejetora d) nem sobrejetora nem injetora.
22.. 23. a). b) f 1 (x) = y 6