Análise e Complexidade de Algoritmos

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1 Análise e Complexidade de Algoritmos Funções Medidas de Complexidade Crescimento de funções Análise Assintótica Prof. Rodrigo Rocha prof.rodrigorocha@yahoo.com Onde Estamos Ementa Revisão: Estrutura de dados;crescimento de funções; Indução matemática e métodos matemáticos. Medidas de complexidade, análise assintótica de limites de complexidades. Exemplos de análise de algoritmo iterativos e recursivos. Análise de desempenho de alguns algoritmos clássicos de busca e ordenação. Introdução aos principais paradigmas do projeto de algoritmos. Complexidade do Problema: Limites de Complexidade, Intratabilidade, Classes P, NP, problemas Np completos e NP-difíceis. 1

2 Funções Funções uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um valor da função f(x) exemplo: f(x) = 2x Domínio, Contradomínio e Imagem Domínio Conjunto ao qual será aplicada a função. Contra-Domínio Conjunto que contém os elementos que farão o papel de imagem dos elementos do domínio. Imagem Subconjunto do contra-domínio. Contém apenas os elementos que são realmente imagens das abscissas. (fonte: Funções Gráfico Cartesiano Abscissa Todo e qualquer elemento do domínio. Ordenada Todo e qualquer elemento do conjunto imagem. Gráfico em Plano Cartesiano da função Representação de todos os pontos que compõem uma função através de dois eixos perpendiculares. (fonte: 2

3 Tipos de funções Função Injetora é aquela na qual cada elemento do domínio corresponde a um único do contra-domínio. Função sobrejetora é aquela na qual o contra-domínio é igual à imagem, ou seja, cada elemento do contradomínio é correspondido por ao menos um do domínio. Função bijetora é aquela na qual para cada elemento no domínio corresponde a um único elemento no contradomínio, e cada elemento no contradomínio corresponde a um único do domínio. (fonte: injetora sobrejetora bijetora Exercícios Ache f(-5) e f(2) para: f(x) () = 2x f(x) = x f(x) = x-1 f(x)= -3x+1 f(x)= 2x+7 f(x)= (1/2)x+4 Revisão 3

4 Exercício Sejam c e f duas variáveis representando a mesma temperatura medida respectivamente em graus Celsius (C) e em graus Fahrenheit (F). A relação entre c e f é linear. O ponto de congelamento da água é de c = 0 o C ou f = 32 o F. A temperatura de ebulição é de c = 100 o C ou f = 212 o F. a) Determine a fórmula de conversão da temperatura em graus Fahrenheit para a temperatura em graus Celsius C < > 0 32 F 212 F 0 Você pode ver quantos graus Farenheit representa 100 graus Celsius, e em quanto ele é adicionado, pois F o inicia em um lugar diferente. Ele possui 180 graus (212-32) para cobrir a mesma distância de 100 graus Celsius. F = 1,8*C + 32 ou F=9/5*C + 32 b) Existe alguma temperatura para a qual os valores em graus Celsius e Fahrenheit sejam iguais? Determine-a em caso afirmativo. C = 1,8*C + 32 => C-1,8*C = 32 => -0,8C = 32 => C=-32/0,8 => C=-40 F = 1,8*F + 32 => F-1,8*C 18*C= 32 => -0,8F 08F= 32 => >F=-32/0,8 => F=-40 c) A relação entre a temperatura absoluta k, medida em graus Kelvin (K), e a temperatura c, em graus Celsius (C), é linear. Sabendo que k = 273 o K quando c = 0 o C e k = 373 o K quando c = 100 o C determine k em função de f. (100-0) / ( ) = 100/100 = 1 => K = C+273 Crescimento de funções 1 log 2 n n n log 2 n n 2 - constante - logarítmica - linear - linearítmica - quadrática n 3 -cúbica 2 n - exponencial n! - fatorial 4

5 Exercício Represente graficamente as seguintes funções X f(x)=log 2 x f(x)=x f(x)=x+2 f(x)=xlog 2 x f(x)=x^2 f(x)=2^x 0 0, , , , , , , , , , , , ,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 f(x)=logx f(x)=x f(x)=x+2 f(x)=xlogx f(x)=x^2 f(x)=2^x 5,00 0, ,00 Logaritmica log b a= c exemplo: Gráfico das funções 5

6 Linear (1º Grau) y=f(x)=ax+b, com era, ber e a<>0 reta exemplo: Gráfico das funções Quadrática (2º Grau) Gráfico das funções y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e a<>0 parábola exemplo: 6

7 Gráfico das funções Exponencial y = f(x) = e x exemplo: Gráfico das funções 7

8 Análise de desempenho Tempo de execução exato do algoritmo normalmente difícil de determinar o tempo de execução do algoritmo cresce a conforme o tamanho da entrada pode ser medido pelo número de algumas operações operações fundamentais ordenação comparação quanto a ordem busca - comparação quanto a igualdade Devido a este fato, estudamos: melhor caso caso médio normalmente difícil de determinar pior caso Mais fácil de analisar Crucial para aplicações, como jogos, robótica, financeiras, médicas,... Usamos: notação assintótica A notação assintótica (notação assintótica) é uma aproximação matemática para a comparação entre o crescimento de duas funções. (fonte: wikipédia) Porque não utilizamos unidades temporais? (segundo, milisegundo, etc..) depende do hardware, qualidade na implementação, eficiência do compilador, etc... Limite superior assintótico. Notação: f (n) = O(g(n)) Notação Assintótica 8

9 Notação Assintótica Limite inferior assintótico. Notação: f (n) = Ω(g(n)) Limite rigoroso assintótico. Notação: f (n) = Θ(g(n)) Notação Assintótica 9

10 Observação Quando a função que regula o comportamento assintótico for do tipo polinomial, a ordem de crescimento está relacionada com o termo de maior ordem Exemplos de notação assintótica j = j +150; número de passos = 1, complexidade O(1) for (j=0;j<n;j++) { x = x+1; } n passos, complexidade O(n) f (i 0 i i ) { for (i=0;i<n;i++) { for (j=0;j<n;j++) { x = x+1; }} n x n passos, complexidade O(n 2 ) 10

11 Algoritmos para analisar Exemplos Nº de operações necessárias O(n) O(n 2 ) O(1) 11