GBC015: INTRODUÇÃO À CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO. Teoria de Algoritmos: Complexidade

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1 GBC015: INTRODUÇÃO À CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Teoria de Algoritmos: Complexidade Ilmério Reis da Silva UFU/FACOM/BCC

2 Introdução Antes de executar um programa é bom saber: 1) O programa vai parar ou entrar em loop? analisar situação específica do problema, uma vez que a solução geral não é computável 2) Quanto tempo o programa vai levar para parar? complexidade do algoritmo (tempo) 3) Qual a necessidade de memória para executar o programa? complexidade do algoritmo (espaço)

3 Recursos computacionais limitados Espaço (memória) Tempo (processador) Estimar o uso de recursos computacionais de um programa antes de executá-lo é um tema de ANÁLISE DE ALGORITMOS.

4 ANÁLISE DE ALGORITMOS. Área de pesquisa em CC Tempo ou Espaço Teórica ou Experimental Análise baseada em dados de entrada Análise baseada na necessidade: melhor caso, caso médio, pior caso.

5 ANÁLISE TEÓRICA Estudo do algorimo e estruturas de dados operações e estruturas relevantes É independente do Hardware Custo expresso em funções de complexidade

6 EXEMPLO DE ANÁLISE TEÓRICA Algoritmo para inserir um número em um vetor mantendo-os em ordem crescente!! ISRT_EM_ORDEM(n, \vet, \poslivre, qtdemax): SE(poslivre==qtdemax) ENTÃO RETORNE( Encheu! ); i poslivre++; ENQUANTO (i>0 && n < vet[i-1]) vet[i] vet[i-1]; i--; FIM_ENQUANTO Tempo médio vet[i] n; Complexidade de Tempo (veja o laço ): Tempo pior caso: (K*poslivre); (linear) : (K*poslivre/2); (sublinear) Espaço : (X*qtdemax); (linear)

7 ANÁLISE TEÓRICA NOTAÇÃO Big O Notação big O : O(g(n)): é o conjunto das funções f(n) que são limitadas assintoticamente por g(n), ou seja, {f(n) : c, m n m, f(n) c * g(n)} Exemplo anterior: Tempo médio = (k*poslivre/2); Tempo médio é linear em poslivre com constante c=k/2 Ou, simplesmente: Tempo médio é O(n).

8 PRINCIPAIS FUNÇÕES DE COMPLEXIDADE Expressam o comportamento do algortimo quanto ao consumo de recursos em função do tamanho do problema, denotado por N. FUNÇÃO : COMPLEXIDADE C : constante log N : logarítmica N : linear N log N : NlogN N i : Polinomial 2 N : Exponencial OBS: soluções exponenciais, por exemplo O(2 N ), tendem a inviabilidade com o aumento do problema! São chamados problemas difíceis! EXEMPLO: o problema do caixeiro viajante!

9 COMPARAÇÃO GRÁFICA ENTRE FUNÇÕES DE COMPLEXIDADE

10 OUTROS EXEMPLOS DE ANÁLISE LAÇOS ANINHADOS LEIA N i 1; ENQUANTO (i<n) { j 1; ENQUANTO (j<n) { k k + i*j ; j++; } i++; } ESCREVA k; Qual a função de complexidade? (veja os laços)

11 OUTROS EXEMPLOS DE ANÁLISE RECURSÃO Fatorial (n) SE n 1 retorne 1 SENÃO retorne ( n * Fatorial ( n - 1 ) ); Qual a função de complexidade? Uso de equações de recorrência(futuro)!!!

12 OUTROS EXEMPLOS DE ANÁLISE FATORIAL ITERATIVO IFATORIAL(n) fat 1; i 2; ENQUANTO (i <= n) { fat fat * i; i++; } ESCREVA fat; Qual a função de complexidade? (ver laço)

13 OUTROS EXEMPLOS DE ANÁLISE BUSCA SEQUENCIAL x BUSCA BINÁRIA BUSCA_SEQ(V, N, x) i 1; ENQUANTO ((i N) e (V[i]!= x)) { } i++; SE i > N Semsucesso SENÃO RETORNE(i) BUSCA_BIN (V,ini,fim,x) i (ini+fim) / 2; SE (V[i]==x) RETORNAR i; SE (ini==fim) Semsucesso SENÃO SE (V[i] < x) SENÃO BUSCA-BIN(V,i+1,fim,x) BUSCA-BIN(V,ini,i-1, x) Sendo V um vetor ordenado, qual a função de complexidade do pior caso de BUSCA_SEQ? E de BUSCA_BIN?

14 ANÁLISE EXPERIMENTAL O algorimo deve estar implementado A implementação pode influenciar no resultado É útil para validar a Análise Teórica

15 CONSIDERAÇÕES FINAIS A função de complexidade (custo) de um algoritmo está relacionado com gasto de um recurso computacional (tempo ou espaço). Os problemas computáveis têm diferentes custos (funções de complexidade). Os problemas difíceis possuem complexidade exponencial. Heurísticas podem ser usadas para problemas difíceis.

16 Bibliografia [1] BROOKSHEAR, J. Glenn. Ciência da computação: uma visão abrangente,,tradução da 11a ed [por] Eduardo K Pivete, Porto Alegre, Bookman, [2] FEDELI, Ricardo Daniel; POLLONI, Enrico Giulio Franco; PERES, Fernando Eduardo. Introdução à ciência da computação. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, [3] MOKARZEL, Fábio Carneiro. Introdução à ciência da computação. Rio de Janeiro: Elsevier, [4] Autran Macedo, Maria Adriana, Renato Pimentel e Ilmério Silva, [5] Ziviani, Nívio. Projeto de Algoritmos, Ed Cengage Learning, 2010

17 Material de Apoio Capítulo 12 de [1] Lista de exercícios

18 FIM Teoria de Algoritmos: Complexidade