UDESC DCC BCC DISCIPLINA : TEG0001 Teori os Grfos PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS 1.) Ientifique pr um os três grfos ixo:. número e nós e ros;. o gru e nó;. Compre som e toos os grus os nós e grfo om o número e ros. O que voê poe onluir? 2.) O grfo e interseção e um oleção e onjuntos A1;A2;...;An é o grfo que tem um vértie pr um os onjuntos oleção e
tem um rest onetno os vérties se esses onjuntos têm um interseção não vzi. Constru o grfo e interseção pr s seguintes oleções e onjuntos:.) A1 = {0; 2; 4; 6; 8} A2 = {0; 1; 2; 3; 4} A3 = {1; 3; 5; 7; 9} A4 = {5; 6; 7; 8; 9} A5 = {0; 1; 8; 9}.) A1 = {... ;-4;-3;-2;-1; 0} A2 = {... ;-2;-1; 0; 1; 2; :...} A3 = {... ;-6;-4;-2; 0; 2; 4; 6;...} A4 = {...;-5;-3;-1; 1; 3; 5;...} A5 = {... ;-6;-3; 0; 3; 6;...} 3.) Forneç função G que é prte efinição forml o grfo ireiono ilustro 1 3 3 4.) Respon s pergunts seguir sore o grfo ixo:.) O grfo é simples?.) O grfo é ompleto?.) O grfo é onexo?.) Voe poe enontrr ois minhos e 3 pr 6? e.) Voe poe enontrr um ilo? f.) Voe poe enontrr um ro uj remoção trnsformrá o grfo em um grfo ílio?
g.) Voe poe enontrr um ro uj remoção trnsformrá o grfo em um grfo não onexo? 4 3 4 3 5 5 2 1 2 6 7 7 1 6 5.) Esoe um esenho pr um os grfos inios seguir:.) Um grfo simples om três nos, um e gru 2;.) Um grfo om qutro nós e ilos e omprimento 1,2,3, e 4;.) Um grfo não ompleto om 4 nós, um e gru 4. 6.) Quntos vérties e qunts rests têm os grfos ixo?.) Kn (grfo ompleto).).) 7.) Qunts rests tem um grfo om vérties e grus 5; 2; 2; 2; 2; 1? Desenhe um possível grfo.
8.) Existe um grfo simples om ino vérties os seguintes grus? Se existir, esenhe um possível grfo..) 3; 3; 3; 3; 2.) 1; 2; 3; 4; 5.) 1; 2; 3; 4; 4.) 3; 4; 3; 4; 3 e.) 0; 1; 2; 2; 3 f.) 1; 1; 1; 1; 1 9.) Sej o grfo G ixo. Determine o gru e vértie e o gru totl e G. 10.) Prove o Teorem o perto e mãos ou hnshking: Sej G um grfo. A som os grus e toos os vérties e G é us vezes o número e rests e G. Espeifimente, se os vérties e G são v1; v2;... ; vn, one n é um inteiro positivo, então Gru e G = gru(v1) + gru(v2) +... + gru(vn) = 2 x ( o número e rests e G). 11.) Desenhe K6 e K3,4. 12.) Qul os grfos seguir não é isomorfo os outros e porque?
13.) Determine se um os grfos ixo é iprtio..).).).) e.) 14.) Qul os grfos seguir não é isomorfo os outros e por que?
e 15.) Verifique se os ois grfos são isomorfos. Se forem, forneç um função ou funções que estleem o isomorfismo. Se não forem, explique por que:.) 1 5 2 e 4 3.) V1 V6 V2 V5 V3 f e V4 16.) Um grfo simples é um grfo que não possui lços nem rests prlels. Num grfo simples, um rest om vérties (nós terminis) u e v é represent por uv. Determinr quis são os grfos om qutro vérties {u; v;w; x} e us rests, seno que um els é rest uv?
17.) O feho trnsitivo ireto (FTD) e um vértie v é o onjunto e toos os vérties que poem ser tingios por lgum minho iniino em v. Do o grfo ixo lulr o FTD prtir o vértie V5. 18.) O feho trnsitivo inverso (FTI) e um vértie v é o onjunto e toos os vérties prtir os quis se poe tingir v por lgum minho. D figur ixo lulr o FTI pr o vértie V5. 19.) Prove que ois grfos não são isomorfos se:.) Um tem mis nós o que o outro;.) Um tem mis ros o que o outro;.) Um tem ros prlelos e outro não;.) Um tem um lço e o outro não; e.) Um tem um nó e gru K e o outro não; f.) Em é onexo e o outro não; g.) Um tem um ilo e o outro não.
20.) Desenhe toos os grfos não isomorfos simples om três nós 21.) Desenhe toos os grfos não isomorfos simples om qutro nós 22.) Prove que o K23 é um grfo plnr 23.) Prove que o grfo figur seguir é plnr 1 2 6 4 3 5 24.) Se um grfo plnr simples e onexo tem seis nós, toos e gru 3, em qunts regiões ele ivie o plno? 25.) Se toos os nós e um grfo plnr simples e onexo tem gru 4 e se o número e ros é 12, em qunts regiões ele ivie o plno? 26.) Determinr se os grfos ixo são plnres (enontrno um representção plnr) ou não (enontrno um sugrfo homeomorfo K5 ou K33 )..).)
f e g 27.) Ientifir quis os grfos ixo possuem:. múltiplos ros;. ontem um loop;. são simples;. são onetos;. ontem um nó isolo.. Pr um os grfos esrever sequeni os grus.
28.) Do que tem-se 4 nós, onstruir toos os possíveis grfos simples prtir os 4 nós. 29.) Enontre o número e nós e e ros em um os seguintes grfos:. grfos nulos. grfos ílios. grfos ompletos. grfos iprtios 30.) Desenhe os seguintes grfos:. grfo simples om 5 nós e 6 ros. ois grfos regulres istintos om 5 nós.grfo simples om sequeni o gru por: (2,2,2,3,3). grfo om sequeni o gru por: (2,2,2,2,3). ois grfos istintos om 6 nós, 9 ros e sequeni o gru por: (2,2,3,3,3,5)
31.) Do os 3 enários, ompostos um e três grfos, ientifir pr enário os ois grfos que são iguis. 32.) D um populção e um etermin ie ompost e N rpzes e moçs. Como poe ser moelo o relionmento o onjunto e rpzes e moçs que tem interesse em sir juntos? 33.) Consierno que voê fz prte e um site e relionmentos (Feook), omo onsegue-se ientifir quis são s pessos que possuem relionmento om voê? Como voe se se us pessos quisquer possuem relionmento? Qul o menor minho entre voê e um etermin pesso? O que voe poe onluir os prolems 1 e 2? 34.) Mostre que esigule <= 3*n 6 é váli pr, o que mostr que está esigule é um onição neessári, ms não sufiiente, pr um grfo om n >=3 ser plnr
35.) Do o grfo G: 3.) Determinr se os grfos ixo são sugrfos e G. G1 G2 G3 36.) Do o grfo G seguir Determinr se os grfos ixo são lique e G: G1
G2 Qul é o mior lique e G? 37.) Ientifir se os grfos ixo são onexos 38.) Ientifir se os grfos ixo são onexos ou não. 39.) Do o grfo G no nto superior esquero figur ixo, verifir se os emis grfos presentos são ou não sugrfos e G.
40.) (Implement o lgoritmo e us e nós e um grfo G em profunie utilizno pilhs o invés e hms reursivs. 41.) Determine se s elrções ixo: fls(f) ou vereir (V).) C grfo esonexo possui um nó isolo ( )..) Um grfo é oneto se e somente se lgum nó está oneto toos os outros nós ( ). 42.) Determine se ontêm s seguintes rterístis:.) Um minho que não é um trilh..) possui um trilh que não é feh que não é um minho. 43.) Do o grfo ixo, eterminr:. minhos máximos.. lique máximo.. onjunto máximo e nós inepenentes.
44.) Provr que se um grfo possui um iruito Eulerino, então vértie o grfo tem gru pr. 45.) Se vértie e um grfo tem gru pr, então o grfo tem um iruito Eulerino? 46.) Um s possui um ivisão represent pel plnt ixo. É possível um pesso sir o ômoo A, terminr no ômoo B e pssr por tos s ports s extmente um úni vez? Se sim, presente um possível trjeto. A plnt s poe ser represent pelo grfo ixo: 47.) Determine se o grfo ixo tem um iruito Eulerino. Em so positivo he um iruito Eulerino pr o grfo.
48.) Verifir se os grfos ixo são isomorfos. 49.) Os grfos presentos ixo são isomorfos?
50.) Suponh que um ompnhi ére reeeu permissão pr vor ns seguintes rots, onforme grfo presento ixo.
Visno eonomizr omustível, eterminr o onjunto e rots (rvore geror) que interonet tos s ies. 51.) Prove que, em qulquer grfo simples G om n nós e ros, (2* <= n**2 n) 52.) Prove que um grfo simples onexo om n nós tem pelo menos n-1 ros (Sugestão: Mostre que ess proposição poe ser enuni n form Um grfo simples onexo om m ros tem, no máximo, m+1 nós. 53.) Do o grfo ixo, remoção e qulquer um s três rests o iruito lev um árvore. Determinr s três árvores gerors. 54.) D figur ixo: G 1 e e 2. Inique perursos simples e não simples em G1
. Inique perursos elementres em G2. Too perurso elementr é simples. Too perurso simples é elementr? Explique.. Inique um ilo em G1 e um ilo elementr em G2. Inique um minho e omprimento 4 em G2 e um perurso e omprimento 6 em G2. 55.) Do o grfo ixo, lolizr um epósito e istriuição e meroris num ree e roovis pr steer iversos lientes om lolizções fixs e onheis e mneir minimizr som s istânis, os lientes. Neste so os nós o grfo representm os lientes. 56.) Clule o entro, o iâmetro, mein e os vérties periférios e um os grfos ixo: g f h i j e e f