Teoria dos Grafos Aula 11

Transcrição

1 Tori dos Gros Aul Aul pssd Gros om psos Dijkstr Implmntção Fil d prioridds Hp Aul d hoj MST Algoritmos d Prim Kruskl Propridds d MST Dijkstr (o próprio)

2 Projtndo um Rd $ $ $ $ $ Conjunto d lolidds (x. idds) Custo pr ontá-los dirtmnt (x. onstruir strds) Grntir ontividd d qulqur lugr, hgmos qulqur outro Prolm: Como ontr s lolidds d orm minimizr o usto totl? Figuirdo 00

3 Projtndo um Rd Astrção vi gros Vértis: lolidds Arsts om psos: usto d onxão dirt ntr lolidds $ $ $ $ $ Como srá r do rsultdo? Sugro d G, Árvor, Árvor grdor! Qulqur árvor? Não! Árvor Grdor d Custo Mínimo! Figuirdo 00

4 MST Minimum Spnning Tr (MST) árvor grdor d usto mínimo Exmplo 3 5 d MST? 3 d 5 MST é úni? Custo dst MST? Figuirdo 00

5 Dsorindo MST Prolm: Otr MST d um gro Gro om psos idêntios? BFS to th rsu! qulqur árvor grdor tm usto mínimo Gro om psos dirnts? Idéis? Figuirdo 00

6 Dsorindo MST Idéis I Modiir BFS BFS onstrói um árvor grdor Ddo vérti iniil s Construir árvor grdor mínim Expndir rontir n dirção orrt Qul é dirção orrt? Dirção d mnor usto Adiionr vérti qu umnt o usto totl o mnos possívl Figuirdo 00

7 Dsorindo MST Idéis I Ddo G=(V, E) Construir MST, T=(S, E') Iniilmnt S E' stão vzios Slionr s, vérti iniil Adiionr vértis m T n ordm mis rt possívl próximo vérti umnt usto totl o mínimo possívl Algoritmo d Prim Muito prido om qul lgoritmo? Figuirdo 00

8 Figuirdo 00 Algoritmo d Prim Idéi: rsr T d orm mis rt possívl Exmplo s d d d s

9 Algoritmo d Prim Como tornr idéi m lgoritmo (iint)? diionr o vérti qu umnt o usto o mnos possívl Idéis: Mntr um onjunto d vértis d árvor Mntr usto pr diionr d vérti té o momnto Adiionr o vérti d mnor usto Atulizr ustos Figuirdo 00

10 Algoritmo d Prim.Prim(G, o).pr d vérti v 3. usto[v] = ininito.din onjunto S = 0 // vzio 5.usto[o] = 0 6.Enqunto S!= V 7. Slion u m V-S, tl qu usto[u] é mínimo 8. Adiion u m S 9. Pr d vizinho v d u ç 0. S usto[v] > w((u,v)) ntão. usto[v] = w((u,v)) Como o lgoritmo xut? Figuirdo 00

11 Exutndo o Algoritmo d 3 3 g Mntr tl om pssos ustos Figuirdo 00

12 Complxidd Qul é omplxidd do lgoritmo? Complxidd idênti Dijkstr.Prim(G, o).pr d vérti v 3. usto[v] = ininito.din onjunto S = 0 // vzio 5.usto[o] = 0 6.Enqunto S!= V 7. Slion u m V-S, tl qu usto[u] é mínim 8. Adiion u m S 9. Pr d vizinho v d u ç 0. S usto[v] > w((u,v)) ntão. usto[v] = w((u,v)) Usndo ils d prioridd sd m hp n oprçõs d rmoção, m d tulizção O((m+n)log n) = O(m log n) Figuirdo 00

13 Dsorindo MST Idéis II Outr ordgm, dirnt d BFS ms tmém gulos Arst d mnor pso stá n MST? Arst sgundo mnor pso stá n MST? Arst d triro mnor pso? Cuiddo om ilos! Figuirdo 00

14 Dsorindo MST Idéis II Ddo G=(V, E) Construir MST, T=(V, E') Iniilmnt E' stá vzio Adiionr rsts d E m ordm rsnt S rst grr um ilo m T, ntão dsrt- ontinu Algoritmo d Kruskl Figuirdo 00

15 Figuirdo 00 Algoritmo d Kruskl Idéi: onstruir T diiondo rsts d mnor pso Exmplo d d

16 Anlizndo o Algoritmo Algoritmos d Prim Kruskl produzm smpr um MST? Ms isto é óvio? Como provr qu lgoritmo smpr produz rsultdo dsjdo um MST Dus propridds d um MST Propridd do ilo (yl proprty) Propridd do ort (ut proprty) Figuirdo 00

17 Propridd do Cilo Pr qulqur ilo C do gro, s o pso d um rst do ilo or mior do qu d tods s outrs rsts do ilo, ntão não prtn MST Prov por ontrdição Assum qu rst prtn MST, T Mostrr qu xist outr árvor grdor T' om usto mnor qu não utiliz Conluir qu rst não pod prtnr MST Figuirdo 00