Lista de Exercícios 9: Soluções Grafos

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1 UFMG/ICEx/DCC DCC111 Mtmáti Disrt List Exríios 9: Soluçõs Gros Ciênis Exts & Engnhris 2 o Smstr O gro intrsção um olção onjuntos A 1, A 2,..., A n é o gro qu tm um vérti pr um os onjuntos olção tm um rst ontno os vértis s sss onjuntos têm um intrsção não vzi. Constru o gro intrsção pr s sguints olçõs onjuntos. () A 1 = {0, 2, 4, 6, 8} A 2 = {0, 1, 2, 3, 4} A 3 = {1, 3, 5, 7, 9} A 4 = {5, 6, 7, 8, 9} A 5 = {0, 1, 8, 9} Rspost: A1 A 5 A 2 () A4 A3 A 1 = {..., 4, 3, 2, 1, 0} A 2 = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} A 3 = {..., 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6,...} A 4 = {..., 5, 3, 1, 1, 3, 5,...} A 5 = {..., 6, 3, 0, 3, 6,...} Rspost: A1 A 5 A 2 () A4 A3 A 1 = {x x < 0} A 2 = {x 1 < x < 0} A 3 = {x 0 < x < 1} A 4 = {x 1 < x < 1} A 5 = {x x > 1} A 6 = R 1

2 Rspost: A1 A2 A 6 A 3 A 5 A 4 2. Po hvr um gro simpls om 15 vértis, um om gru 5? Rspost: Não. O gru ss suposto gro sri 15 5 = 75, qu é um númro ímpr. S-s qu o gru qulqur gro v sr um númro pr. 3. Dtrmin s um os gros ixo é iprtio. () () () () () Rspost: 2

3 () Sim. Sj V = {,,, } W = {}. Não xist nnhum rst ntr vértis V ntr vértis W. To rst ont lgum vérti V lgum vérti W. Ess é o gro iprtio omplto K 1,4. Gro originl Gro iprtio () Sim. Sj V = {, } W = {,, }. Não xist nnhum rst ntr vértis V ntr vértis W. To rst ont lgum vérti V lgum vérti W. Ess é o gro iprtio omplto K 2,3. Gro originl Gro iprtio () Não. S V ntão {,, } W V. O vérti stá onto o vérti W o V. Assim, não é possívl ssoir nm V nm W o qu z om qu o gro não sj iprtio. Gro originl Gro não é iprtio () Sim. Sj V = {,,, } W = {, }. Não xist nnhum rst ntr vértis V ntr vértis W. To rst ont lgum vérti V lgum vérti W. Ess é o gro iprtio omplto K 2,4. Gro originl Gro iprtio () Não. S V ntão {, } W. O vérti stá onto, lém o vérti, os vértis, qu por su vz stão ontos ntr si. Ou sj, os vértis vm prtnr irnts onjuntos, o msmo tmpo, não pom prtnr o onjunto. Assim, o gro não é iprtio. 3

4 Gro originl Gro não é iprtio 4. Quntos vértis qunts rsts têm os gros ixo? () K n (gro omplto) Rspost: V = n E = n(n 1) 2. Existm n vértis, um om gru n 1. Assim, qunti rsts é pl mt ss prouto. () K m,n (gro iprtio omplto) Rspost: V = m + n E = m n () C n (gro ilo) Rspost: V = n E = n () Q n (gro uo) Rspost: V = 2 n E = 2n n 2. Existm 2 n vértis, um om gru n. Assim, qunti rsts é pl mt ss prouto. () W n (gro ro) Rspost: V = n + 1 E = 2n 5. Qunts rsts tm um gro om vértis grus 5, 2, 2, 2, 2, 1? Dsnh um possívl gro. Rspost: O gro possui sis vértis tm um gru totl = 14. Isso signii qu xistm st rsts. 4

5 6. Exist um gro simpls om ino vértis os sguints grus? S xistir, snh um possívl gro. () 3, 3, 3, 3, 2 Rspost: O gro tm um gru totl = 14. Isso signii qu xistm st rsts. () 1, 2, 3, 4, 5 Rspost: O gro tm um gru totl = 15. Isso não é possívl. () 1, 2, 3, 4, 4 Rspost: O gro tm um gru totl = 14. No ntnto, omo xistm ois vértis om gru 4, toos os vértis vm tr plo mnos gru 2, omo mostro n igur ixo. Como supostmnt xist um vérti om gru 1, não é possívl xistir tl gro. () 3, 4, 3, 4, 3 Rspost: O gro tm um gru totl = 17. Isso não é possívl. () 0, 1, 2, 2, 3 Rspost: O gro tm um gru totl = 8. Isso signii qu xistm qutro rsts. () 1, 1, 1, 1, 1 Rspost: O gro tm um gru totl = 5. Isso não é possívl. 7. Quntos sugros om plo mnos um vérti tm K 3? Rspost: São os sugros om um, ois três vértis. Tmos, ntão, três sos: 5

6 () Um vérti: xistm três sugros om um vérti, onsquntmnt, nnhum rst; () Dois vértis: xistm C(3, 2) = 3 possiilis solhr sugros om ois vértis ( um onjunto om três vértis, vmos solhr ois). Pr possiili, pomos inluir ou não rst, i.., 3 2 = 6 sugros om ois vértis; () Três vértis: nst so, pr um s três rsts qu pomos tr, pomos inluí-l ou não, ou sj, pr rst tmos us possiilis. Assim, tmos = 8 possiilis. Um outr orm nlisrmos st so é qu tmos um onjunto E om três rsts. O onjunto potêni E nos á toos os suonjuntos rst qu pomos solhr. Assim, tmos 2 3 = 8 possiilis suonjuntos istintos. Assim, qunti totl sugros om plo mnos um vérti é som = 17. A igur ixo mostr toos sss sugros. v 1 v 2 v 1 v 2 v3 8. Dsnh toos os sugros o gro ixo. Rspost: 6

7 9. Pr qu vlors n os gros ixo são rgulrs? () K n Rspost: O gro omplto K n é rgulr pr toos os vlors n 1, já qu o gru vérti é n 1. () C n Rspost: O gro ilo C n é rgulr pr toos os vlors n 3, já qu o gru vérti é smpr 2. () W n Rspost: No gro ro, o gru o vérti o ntro é smpr n o gru os vértis no ilo é smpr 3. Assim, o gro ro W n é rgulr pns pr n = 3. Osrv qu W 3 é o msmo qu K 4, ou sj, os gros W 3 K 4 são isomoros. () Q n Rspost: O gro ilo Q n é rgulr pr toos os vlors n 0, já qu o gru vérti é smpr n. Osrv qu Q 0 é o gro om um vérti. 7

8 10. Quntos vértis tm um gro rgulr gru 4 om 10 rsts? Rspost: Um gro rgulr gru 4 om n vértis possui, plo Torm o Aprto Mãos, 4n/2 = 2n rsts. Como xistm 10 rsts, tmos qu 2n = 10, i.., n = 5 xistm ino vértis. O gro omplto K 5 possui ino vértis, toos om gru 4 10 rsts. 11. O gro omplmntr G um gro simpls G tm os msmos vértis G. Dois vértis são jnts m G s, somnt s, ls não são jnts m G. Dtrmin os sguints gros. () K n Rspost: O omplmnto o gro omplto é o gro om nnhum rst. () K m,n Rspost: No gro iprtio omplto K m,n, xist um rst ontno vértis s us prts nnhum rst ntr prt. No gro omplmnto, xist um rst ntr vérti prt lvno os ois sugros K m K n. () C n Rspost: O gro omplmnto C n é qus o gro K n, i.., é o gro K n sm s rsts prsnts m C n. () Q n Rspost: É o gro on xist um rst ntr vértis ujos strings irm m mis um it. 12. S o gro simpls G tm v vértis rsts, qunts rsts tm G? Rspost: O gro omplto K v possui C(v, ( 2) = v(v ) 1)/2 rsts. O gro G tm tos s rsts K v xto s prsnts m G. Assim G possui v(v 1) 2 rsts. 13. Mostr qu s G é um gro simpls om n vértis, ntão G G = K n. Rspost: Consir o gro G G. Clrmnt ss gro possui o onjunto vértis G, i.., possui n vértis. Sjm ois vértis istintos u v o gro G G. Ou xist um rst ontno u v m G ou m G. Assim, pl inição união, vmos tr um rst ntr pr vértis u v pr um gro om n vértis, o qu lv o gro K n. 14. O gro rvrso um gro irigio G = (V, E), rprsnto por G r, é o gro irigio (V, F ) on (u, v) F, s, somnt s, (v, u) E. Dsnh os gros G r orrsponnts os sguints gros: () () 8

9 () Rspost: () Gro originl Gro rvrso () Gro originl Gro rvrso () Gro originl Gro rvrso 15. Sj G um gro irigio. Mostr qu G = G r s, somnt s, rlção ssoi om G é simétri. Rspost: Pl inição gro rvrso, xist um rst v pr u m G r s, somnt s, xist um rst u pr v m G. Ms ss é xtmnt inição propri simtri. Assim, os gros G G r srão iêntios s, somnt s, ls tivrm propri simtri. 16. Rprsnt mtriz jêni o gro Q 3. 9

10 Rspost: O gro Q 3 possui 2 3 = 8 vértis qu pom sr rotulos plos númros inários 0 7. A mtriz jêni orrsponnt é: Sj um mtriz simétri qur orm pns por 0 s 1 s qu tm pns 0 s n igonl prinipl. Ess mtriz po rprsntr mtriz jêni um gro simpls? Rspost: Um gro simpls é um gro qu não possui lços nm rsts prlls. S um gro possuir um lço, hvrá um ntr irnt zro n igonl prinipl. S um gro possuir rsts prlls ntr os vértis u v, hvrá um vlor mior qu 1 ns ntrs [u, v] [v, u] mtriz jêni. Como nnhum sss us oniçõs oorr, ss mtriz jêni rprsnt um gro simpls. 18. O qu rprsnt som s ntrs um olun um mtriz jêni um gro não irigio? E um gro irigio? Rspost: Em um gro não irigio, rst inint o vérti v ontriui om um n v-ésim olun. Assim, som s ntrs nss olun rprsnt o númro rsts inints v. Como um rst inint um vérti v ontriui om um pr o gru o vérti (ois s or um rst lço), som ss olun rprsnt o gru o vérti v, s não houvr lços mis um pr lço xistnt. Em um gro irigio, rst inint o vérti v ontriui om um n v-ésim olun, i.., v é o nó trminl rst irigi. Assim, som s ntrs nss olun rprsnt o númro rsts inints v. Como um rst inint um vérti v ontriui om um pr o gru ntr o vérti (in-gr), som ss olun rprsnt o gru ntr o vérti v. 19. O qu rprsnt som s ntrs um olun um mtriz iniêni um gro não irigio? Rspost: A mtriz iniêni um gro é mtriz M = (m ij ) tmnho n m (n vértis m rsts) sor o onjunto os intiros não ngtivos tl qu ntr m ij = 1 quno rst j é inint v i 0 so ontrário. Como olun rprsnt um rst, som olun vl 2, quno rst ini ois vértis, ou 1, quno rst é um lço. 20. Os prs gros ixo são isomoros? () u1 u 2 u3 u5 u6 u8 u4 u7 v 2 v4 v5 v6 v8 v 7 10

11 () Rspost: Não. No primiro gro, os vértis u 3 u 6, qu têm gru 3, são jnts um vérti m omum (u 5 ). No sguno gro, os vértis v 2 v 6, qu têm gru 3, não são jnts um vérti m omum. u 2 v 2 u 1 u 10 u9 u 3 u 8 u6 u7 v v 6 7 v 8 v 10 v 9 v 4 u 5 u 4 v 5 Rspost: Os gros são isomoros. Um possívl isomorismo é (u 1 ) = v 1, (u 2 ) = v 9, (u 3 ) = v 4, (u 4 ) =, (u 5 ) = v 2, (u 6 ) = v 8, (u 7 ) = v 7, (u 8 ) = v 5, (u 9 ) = v 10 (u 10 ) = v Mostr qu o isomorismo gros simpls é um rlção quivlêni. Rspost: Dvmos mostrr qu o isomorismo gr um rlção qu é rlxiv, simétri trnsitiv. A rlção é rlxiv já qu unção inti um gro pr l próprio provê o isomorismo (orrsponêni um-pr-um). A rlção é simétri já qu s é um orrsponêni um-pr-um qu z om qu o gro G 1 sj isomoro G 2, ntão 1 é um orrsponêni um-pr-um qu z om qu o gro G 2 sj isomoro G 1. A rlção é trnsitiv já qu s é um orrsponêni um-pr-um qu z om qu o gro G 1 sj isomoro G 2 g é um orrsponêni um-pr-um qu z om qu o gro G 2 sj isomoro G 3, ntão g é um orrsponêni um-pr-um qu z om qu o gro G 1 sj isomoro G Mostr qu os vértis um gro iprtio om ois ou mis vértis pom sr ornos tl orm qu su mtriz jêni tm orm [ ] 0 A B 0 on s qutro ntrs im são loos rtngulrs. Rspost: Sjm V 1 V 2 us prts tmnhos m n, rsptivmnt. Pomos numrr toos os vértis V 1 nts os vértis V 2. A mtriz jêni é qur tmnho (m + n) 2. Como não xistm rsts ntr vértis V 1, s primirs m linhs s primirs m oluns vm tr 0. O msmo rioínio vl pr V 2 s últims n linhs n oluns vm tr Um gro simpls G é ito sr uto-omplmntr s G G são isomoros. Aprsnt um gro simpls uto-omplmntr om ino vértis. Rspost: Um gro simpls om ino vértis po tr no máximo 10 rsts (K 5 ). Consquntmnt pr G G srm isomoros os ois vm tr o msmo númro rsts, ou sj, um v tr ino rsts. Sj G o primiro gro ixo. O sguno é o gro G orrsponnt. O triro é novmnt o gro G snho orm G. 11

12 Pr qu intiros n o gro C n é uto-omplmntr? Rspost: S C n or uto-omplmntr, ntão C n v tr o msmo númro rsts qu su omplmnto. Smos qu C n possui n rsts qu o omplmnto v tr um qunti rsts iênti, qu po sr xprss pl qunti( rsts ) K n n (qunti rsts o gro omplto mnos qunti rsts C n ), i.., n n(n 1) 2 n. S rsolvrmos ss qução, tmos qu n = 5. Isso signii qu C 5 é o únio gro C n qu po sr uto-omplmntr já qu o númro rsts C 5 su omplmnto é o msmo. S snhrmos C 5 su omplmnto vmos qu os ois gros são isomoros. v v 5 v 2 3 v v v 5 2 v Sj G = (V, E) um gro simpls. Sj R um rlção m V orm por prs vértis (u, v) tl qu xist um trjto (pth) u pr v ou tl qu u = v. Mostr qu R é um rlção quivlêni. Rspost: Os vértis u v stão rlionos s, somnt s, mos stão no msmo omponnt onxo. A rlção R é ovimnt rlxiv. A rlção é simétri já qu s u stá no msmo omponnt onxo v ntão v stá no msmo omponnt onxo u. A rlção R é trnsitiv já qu s u stá no msmo omponnt onxo v v stá no msmo omponnt onxo w ntão u stá no msmo omponnt onxo w. 26. Aprsnt um gro qu tnh um iruito Eulrino um iruito Hmiltonino ms qu não sjm iêntios. Rspost: Sj o gro K 5. Um iruito ulrino stá mostro no gro o mio ixo um iruito hmiltonino no gro à irit. Os númros ssoios às rsts inim um possívl orm zr o minhmnto. 12

13 Um gro possui oito vértis sis rsts? Ess gro é onxo? Justiiqu rspost. Rspost: Não. O númro mínimo rsts pr o gro sr onxo é qunti vértis mnos um. Nst so, srim nssáris plo mnos st rsts pr o gro sr onxo. 28. Nos gros ixo, ssum qu vérti possui um intiior únio v i, i 1. C vriávl us é um númro intiro positivo mior ou igul 1 ou um outro vlor spíio, onorm o so. Pr ltr, ig qunts soluçõs istints pom sr otis. () Árvors grors um gro C n, n 3. Rspost: Gro C n é o gro ilo om n vértis. S qulqur um s n rsts or rmovi, ntão trmos um árvor gror. Assim, xistm xtmnt n árvors grors istints, um orrsponnt rmoção um s n rsts. () Ciruitos Hmiltoninos um gro K n, n 3, omçno num vérti v i, 1 i n. Rspost: Gro K n é o gro omplto om n vértis. Comçno num vérti v i, 1 i n tmos n 1 vértis omo sgun opção. Como trir opção tmos n 2 vértis ssim sussivmnt té hgrmos o último vérti qu tm um rst pr o vérti v i, ormno o iruito Hmiltonino. A qunti iruitos istintos omçno num vérti v i é por: (n 1) (n 2)... 1 = (n 1)! () Ciruitos Eulrinos um gro K m,m, m 2, m = 2 omçno num vérti v i, 1 i 2m. Gro K m,m, m 2, m = 2 é o gro iprtio omplto sno qu m é um númro pr. Os gros iprtios ompltos qu pomos tr são orm K 2,2, K 4,4, K 6,6,.... Ou sj, vérti stá onto xtmnt m outros vértis. Como m é pr, o gru vérti é pr, ssim, é possívl hvr iruitos Eulrinos. Rspost: Comçno num vérti v i, 1 i 2m tmos m opçõs rsts pr prorrr hgr um vérti. Pr ss sguno vérti tmos m 1 opçõs rsts pr prorrr hgr um vérti. Pr ss triro vérti tmos novmnt m 1 opçõs rsts pr prorrr hgr um vérti, onsirno qu sjmos mximizr qunti iruitos. Ess prosso é rptio xtmnt 2m 1 vzs, quno rtornrmos o vérti v i, ou sj, ompltmos primir prt o prurso. Nss momnto, pr o vérti v i tmos xtmnt m 2 opçõs rsts hgr um vérti. Pr ss próximo vérti tmos m 3 opçõs rsts, novmnt, ss prosso é rptio 2m 1 vzs, quno sgun prt o prurso é omplt. Ess prosso é rptio té qu não hj mis rsts srm prorris, trminno no vérti v i. Assim, qunti iruitos Eulrinos istintos omçno num vérti v i é por: m (m 1) 2m 1 (m 2) (m 3) 2m m 1 = 29. Dtrmin os omponnts ortmnt onxos gro irigio ixo. () m 2 2i (2i 1) 2m 1 i=1 13

14 Rspost: () H 1 : V 1 = {,, } () H 2 : V 2 = {} () H 3 : V 3 = {} () i h g Rspost: () H 1 : V 1 = {,,,,, g, h, i} () H 2 : V 2 = {} 30. Sj um árvor om n vértis. () Qunts rsts têm ss árvor? Rspost: Tm n 1 rsts. () Prov ss rsulto por inução mtmáti. Rspost: P (n) : To árvor om n vértis tm n 1 rsts, n 1. Prov (por inução mtmáti): () Psso s: P (n 0 ) = P (1): To árvor om um vérti tm zro rsts. Est psso é vriro já qu úni rst qu pori xistir sri um rst lço, ssim, hvri um ilo. Como árvors não possum ilos, logo não po hvr nnhum rst. () Psso inutivo: s órmul é vrir pr n = k ntão v sr vrir pr n = k + 1, i.., P (k) P (k + 1). Suponh qu órmul sj vrir pr n = k, i.., P (k) : To árvor om k vértis tm k 1 rsts, k 1. [hipóts inutiv] Dv-s mostrr P (k + 1) : To árvor om k + 1 vértis tm k rsts, k 1. Sj um árvor om k vértis k 1 rsts. Vmos rsntr um vérti v o gro qu rprsnt ss árvor. S ss vérti v não or onto nnhum vérti árvor xistnt, ntão trmos um lorst não um árvor. Logo, tmos qu rsntr um rst pr não trmos um lorst. Ess rst v sr inint v lgum vérti árvor v. O résimo ss rst mntém propri árvor (gro ílio), já qu xist pns um únio minho ntr v v, onsqüntmnt, om qulqur outro vérti árvor. Not qu s rsntrmos um sgun rst inint v um outro vérti árvor pssrmos 14

15 tr um ilo, o qu ix rtrizr um árvor. Ou sj, não pomos rsntr mis um rst inint v. Assim, o rsntrmos um vérti à árvor om k vértis k 1 rsts, pssrmos tr um árvor om k + 1 vértis k rsts. 15