Problema do Caixeiro Viajante. Solução força bruta. Problema do Caixeiro Viajante. Projeto e Análise de Algoritmos. Problema do Caixeiro Viajante

Transcrição

1 Projto Anális Aloritmos Prolm o Cixiro Vijnt Altirn Sors Silv Univrsi Frl o Amzons Instituto Computção Prolm o Cixiro Vijnt Um vim (tour) m um ro é um ilo qu pss por toos os vértis. Um vim é simpls quno os vértis, xto o primiro, não s rptm Sj um ro ponro (ou sj, om psos ns rsts), um vim o ixiro vijnt é um vim simpls usto mínimo. 2 Prolm o Cixiro Vijnt Solução orç rut 7 D B C 8 6 E A 1 Vim o PCV om usto F Solução xustiv nvolv rr tos s vins lulno sus ustos trminr qul mnor usto Pr n rsts trmos (n-1)! possívis vins, portnto st solução é θ(n!) > θ(2 n ) Em um ro omplto 20 noos trimos lo m torno oprçõs 3 4

2 Solução por Pro. Dinâmi Supon qu os vértis G=(V,E) stão numros 1 n Assim, qulqur vim inlui um rst (1,k), on 2 k n um mino M k té 1. O mino M visit um os vértis m V- {1,k} xtmnt um vz. S vim é onsir usto mínimo ntão, o mino M v sr nssrimnt usto mínimo. Solução por Pro. Dinâmi (2) Sj (i,c) o usto o mino mínimo o vérti i té 1 qu visit toos os vértis o onjunto C Tmos: { } ( 1, V {1}) = min2 k n w(1, k) + ( k, V {1, k}) Gnrlizno: ( i, C) min w( i, j) + ( j, C { j}) = j C { } 5 6 Solução por Pro. Dinâmi (3) Exmplo Pr C = Ø, (i, Ø) = w(i,1) sno 1<i n Pr C = 1, (i,{j}) = w(i,j)+(j, Ø) pr 1<i,j n i j Pr C =2,3,,n-2 1<i n Rtorn (1, V ) { w( i, j) + ( j, C { })} ( i, C) min j = j C 7 Consir o ro ujos psos são os pl suint mtriz

3 Exmplo Exmplo (2) { w( i, j) + ( j, C { })} ( i, C) min j = j C (i,c) o usto o mino mínimo o vérti i té 1 qu visit toos os vértis o onjunto C Qurmos: (1,{2,3,4}) (1,{2,3,4}) (2,{3,4}), (3,{2,4} (4,{2,3}) (2,{3}), (2,{4}), (3,{2}), (3,{4}),(4,{2}), (4,{3}) 9 Pr C =1 tmos: (2,{3})=w(2,3)+w(3,1)= 21 (2,{4})=w(2,4)+w(4,1)= 8 (3,{2})=w(3,2)+w(2,1)= 25 (3,{4})=w(3,4)+w(4,1)= 22 (4,{2})=w(4,2)+w(2,1)= 32 (4,{3})=w(4,3)+w(3,1)= 4 10 Exmplo (3) Complxi C =2 C =3 (2,{3,4})=min{ w(2,3)+(3,{4}), w(2,4)+(4,{3})}=5 (3,{2,4})=min{ w(3,2)+(2,{4}), w(3,4)+(4,{2})}=13 (4,{2,3})=min{ w(4,2)+(2,{3}), w(4,3)+(3,{2})}=28 (1,{2,3,4})=min w(1,2)+(2,{3,4}) = = 7 w(1,3)+(3,{2,4}) = = 23 w(1,4)+(4,{2,3}) = = 33 (1,{2,3,4})=7 Complxi é proporionl o númro (i,c) lulos A psso tmos n-2 lmntos pr ompor C tmno k, pois 1 i não vm str prsnts. O númro onjuntos ros pr k é o por: n 2 k 11 12

4 Complxi (2) Pr C xistm n-1 possiilis sol i Portnto o númro (i,c) lulos é: n 2 k = 0 n 2 n 2 ( n 1). = ( n 1)2 = O(2 k Mlor qu solução orç rut qu é O(n!), ms in é xponnil... n ) Prolm o Cixiro Vijnt Não xist loritmo polinomil onio pr o PCV. É um os rns prolms m rto n iêni omputção! Prolms rlionos o PCV vêm sno stuos por mtmátios s o séulo XIX A orm rl o prolm oi ini n é 30 É um xmplo um prolm lss NPomplto Prolm o Cixiro Vijnt Aproximção Em 1954 Gor Dntzi, Ry Fulkrson, Slmr Jonson rsolvrm um instâni o TSP pr 49 is Em 1987, Mrtin Grotsl Ol Holln nontrrm um vim ótim pr 666 lurs intrssnts o ror o muno. Pr prolms intrtávis omo o PCV, é omum usr loritmos qu nos ão um solução proxim o prolm m tmpo polinomil. Nst so, é intrssnt stimr o quão pior qu solução ótim é solução proxim r

5 Aproximção pr o PCV Gro Euliino É possívl proximr um vim PCV om um vim qu é no máximo 2 vzs mis ustos qu vim ótim Váli pns pr Gros Euliinos Gros Euliinos Vértis são ispostos m um plno w (x, y) w (x, z) + w (z,y) O pso rsts é o omprimnto o smnto qu un os vértis no plno Conjunto pontos oloos m um plno Custo ntr ois pontos (vértis) é o pl istâni uliin ntr ls Aproximção pr o PCV Exmplo (2) Slionr um vérti r iniil ( riz ) Enontrr um árvor ror mínim T pr o ro usno Prim tno um vérti r omo riz Sj L list vértis visitos m um minmnto m pré-orm sor T L é um vim qu proxim o PCV Um árvors ror mínim é r usno o lortimo Prim. Nst xmplo, riz é o vérti os outros vértis stão rotulos oro om orm m qu orm iionos plo loritmo Prim

6 Exmplo (3) Exmplo (4) S izrmos um minmnto m pré-orm m nst árvor trmos listo o vérti somnt n primir vz m qu l é visito:,,,,,,,. Um vim é oti visitno os vértis n orm plo minmnto m pré-orm,,,,,,,. Est vim é solução proxim pr o PCV Exmplo (5) Aproximção o PCV A vim ótim pr st ro tm usto proximmnt S rtirrmos um rst vim PCV ótim V tmos um árvor ror S A árvor ror mínim T tm usto mnor qu qulqur árvors ror, m prtiulr S Unino toos os vértis T, trmos vim proxim X qu tm usto no máximo iul us vzs o usto T Assim W(X) 2W(T) 2W(S) 2W(V) A vim proxim X é mnos us vzs mis r qu vim ótim V 23 24