AULA 12. Otimização Combinatória p. 342

Transcrição

1 AULA 2 Otimizção Comintóri p. 342

2 Emprlhmntos pso máximo Otimizção Comintóri p. 343

3 Emprlhmntos Um mprlhmnto m um gro (não-orinto) é um onjunto rsts qu us--us não tm pont m omum. Exmplo: {, } {, } ormm um mprlhmnto Otimizção Comintóri p. 344

4 Pso rsts Sj G = (N,E) um gro (não-orinto) w : E Z um unção-pso. O pso um onjunto rsts M é w(m) := M w(). Exmplo: Pso s rsts vrmlhs é Otimizção Comintóri p. 345

5 Prolm Prolm o mprlhmnto pso máximo: Do um gro iprtio G = (N,E) um unção-pso w : E Z, nontrr um mprlhmnto pso máximo. Otimizção Comintóri p. 346

6 Prolm Prolm o mprlhmnto pso máximo: Do um gro iprtio G = (N,E) um unção-pso w : E Z, nontrr um mprlhmnto pso máximo. Entr: Otimizção Comintóri p. 346

7 Prolm Prolm o mprlhmnto pso máximo: Do um gro iprtio G = (N,E) um unção-pso w : E Z, nontrr um mprlhmnto pso máximo. Si: Otimizção Comintóri p. 346

8 Prolm Prolm o mprlhmnto pso máximo: Do um gro iprtio G = (N,E) um unção-pso w : E Z, nontrr um mprlhmnto pso máximo. Entr: Otimizção Comintóri p. 346

9 Prolm Prolm o mprlhmnto pso máximo: Do um gro iprtio G = (N,E) um unção-pso w : E Z, nontrr um mprlhmnto pso máximo. Si: Otimizção Comintóri p. 346

10 Cminhos umntors Sj M um mprlhmnto m um gro G. Um minho v 0,v,v 2,...,v t é M-umntor s t é ímpr v 0,v,...,v t são istintos; v v 2,v 3 v 4,...,v t 2 v t ntão m M; v 0 v não são ponts rsts m M. Exmplo:,,,,, é um minho M-umntor S P é um minho M-umntor, ntão M = M P é um mprlhmnto tl qu M = M + Otimizção Comintóri p. 347

11 Métoo húngro Dsnvolvio por H.W. Kuhn [955], usno trlho Egrváry [93]. Um mprlhmnto M é xtrmo s tm pso máximo ntr os mprlhmntos om M rsts. O métoo húngro nontr, itrtivmnt, mprlhmntos xtrmos M 0,M,M 2,... tis qu M k = k volv o mprlhmnto pso máximo ntr M 0,M,M 2,... Otimizção Comintóri p. 348

12 Itrção Suponh qu M é um mprlhmnto xtrmo. Din um unção-usto : E Z sguint mnir: () := w() () := w() s M s M Vl qu S P é um minho M-umntor usto mínimo, ntão M := M P é um mprlhmnto xtrmo. Otimizção Comintóri p. 349

13 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! 2 M Otimizção Comintóri p. 350

14 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! 2 M Otimizção Comintóri p. 350

15 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! 2 M 2 3 Otimizção Comintóri p. 350

16 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! 2 M 2 3 Otimizção Comintóri p. 350

17 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! 2 M Otimizção Comintóri p. 350

18 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! 2 M Otimizção Comintóri p. 350

19 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! 2 M Otimizção Comintóri p. 350

20 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! 2 M Otimizção Comintóri p. 350

21 Dmonstrção Consir qulqur mprlhmnto N om M + rsts. Como N > M, ntão M N ontém um omponnt Q qu é um minho M-umntor. l h 0 g i m k Otimizção Comintóri p. 35

22 Dmonstrção Consir qulqur mprlhmnto N om M + rsts. Como N > M, ntão M N ontém um omponnt Q qu é um minho M-umntor. l h 0 g i m k Otimizção Comintóri p. 35

23 Dmonstrção Como P é um minho M-umntor usto mínimo tmos qu (Q) (P). Como N Q é um mprlhmnto om M rsts M é xtrmo, tmos qu Portnto, w(n Q) w(m). w(n) = w(n Q) (Q) w(m) (Q) w(m) (P) = w(m P) = w(m ). Otimizção Comintóri p. 352

24 Cminho umntor mínimo R um gro iprtio (N,E) om iprtição (U,W), um unção-usto : E Z um mprlhmnto M Dvolv um minho M-umntor P usto mínimo, s um tl minho xist. Orint rst uw o gro, om u m U w m W sguint mnir: s uw stá m M orint rst w pr u, s uw não stá m M orint rst u pr w. Sj (N, A) o gro (orinto) rsultnt. Otimizção Comintóri p. 353

25 Cminho umntor mínimo Sj U os nós m U qu não são ponts m M. Sj W os nós m W qu não são ponts m M. A too minho M-umntor m (N,E) orrspon um minho m (N,A) om pont iniil m U pont inl m W msmo usto vi-vrs. O lgoritmo volv um minho M-umntor P qu orrspon um minho usto mínimo U W n r (N,A,). Otimizção Comintóri p. 354

26 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! h 6 i g Otimizção Comintóri p. 355

27 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! h 6 8 i g 4 Otimizção Comintóri p. 355

28 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! h 6 i g Otimizção Comintóri p. 355

29 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! h 6 i g 4 Otimizção Comintóri p. 355

30 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! h 6 8 i g 4 Otimizção Comintóri p. 355

31 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! h 6 i g Otimizção Comintóri p. 355

32 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! h 6 8 i g 4 Otimizção Comintóri p. 355

33 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! h 6 8 i g 4 Otimizção Comintóri p. 355

34 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! h 6 8 i g Otimizção Comintóri p. 355

35 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! h 6 8 i g 4 Otimizção Comintóri p. 355

36 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! h 6 8 i g 4 Otimizção Comintóri p. 355

37 Exmplo Intrrêni!put qu o priu!!! h 6 8 i g Otimizção Comintóri p. 355

38 Cminhos usto mínimo Fto. S M é xtrmo, ntão r uxilir (N,A,) ontruí m itrção não possui ilos ngtivos. Dmonstrção: Suponh qu O é um iruito tl qu (O) < 0. Pomos supor O = u 0,w,u,...,w t,u t om u 0 = u t, u,...,u t m U w,...,w t m W. Assim, s rst w u,...,w t u t stão m M s rsts u 0 w,...,u t w t não stão m M. Logo, M = M O é um mprlhmnto om M rsts tl qu w(m ) = w(m) (O) > w(m), ontrrino o to qu M é xtrmo. Otimizção Comintóri p. 356

39 Consumo tmpo O onsumo tmpo itrção é o onsumo tmpo um lgoritmo pr o prolm o minho mínimo m rs om ustos ngtivos, ms sm ilos ngtivos. O lgoritmo FORD-BELLMAN z o srviço. Assim, tmos sguint onlusão: O onsumo tmpo o lgoritmo srito pr nontrr um mprlhmnto pso máximo m um gro iprtio é O(n(nm)) = O(n 2 m). Otimizção Comintóri p. 357

40 Aplição: optiml ssignmnt Suponh qu tmos n trs qu vm sr xuts m m máquins. Além isso, sj (ij) o usto xutr tr j n máquin i. Dsj-s xutr s trs om usto totl mínimo (suponh m n). Est prolm po sr rsolvio trvés o métoo húngro pr nontrr um mprlhmnto pso máximo: onstru um gro iprtio omplto m qu os noś um prt orrsponm às trs os outr às máquins; sj C := mx{(ij) : i é máquin j é tr}; in o pso w(ij) rst ij omo W (ij). Assim, um mprlhmnto pso máximo orrspon um triuição ótim máquins às trs. Otimizção Comintóri p. 358

41 Exríios Exríio 2.A Mostr omo utilizno o métoo húngro po-s otr um mprlhmnto prito pso mínimo um gro iprtio. Um mprlhmnto M é prito s nó o gro é pont um rst m M. Exríio 2.B Sj A = (A, A 2,..., A n ) um míli suonjuntos um onjunto inito X. Um suonjunto Y X é hmo um trnsvrsl ou um sistm rprsntnts istintos (SRD) A s xist um ijção π : {, 2,..., n} Y tl qu π(i) stá m A i pr i =,..., n. Dos um míli A um unção-pso w : X Z, mostr omo trvés o métoo húngro po-s otr um SRD pso mínimo. Otimizção Comintóri p. 359