v 2 Cada um dos arcos está associado a um par ordenado de vértices sendo o primeiro a extremidade inicial do arco e o outro a sua extremidade final.

Transcrição

1 I. Introução 1. Grfo Orinto É um grfo "G" om um onjunto V vértis (nós) um onjunto U ros pono sr inio por G=(V,U). C um os ros stá ssoio um pr orno vértis sno o primiro xtrmi iniil o ro o outro su xtrmi finl. O grfo prsnto n figur é Orinto, sno o onjunto V = {,,, } o onjunto U = {,,,, }. O ro po sr inio plo pr orno (, ) m qu é o xtrmo iniil é o xtrmo finl. Grfo Orinto 2. Grfo Não Orinto É o grfo m qu ligção ntr quisqur ois os sus vértis 1 não tm orintção. Nst tipo grfo s ligçõs signm-s por rsts. O grfo prsnto n figur é Não Orinto, sno o onjunto 2 3 V = {,,, } o onjunto A = { 1, 2, 3 }. Grfo Não Orinto Pom usr-s Grfos pr rprsntr: rlçõs prntso um grupo soil rs rooviáris, frroviáris,érs, létris, t. irulção informção num sistm squêni lógi xução s trfs um projto t. 3. Vérti Isolo Um vérti iz-s Isolo quno não é xtrmo ro ou rst. No grfo figur o vérti é Isolo. 4. Vérti Suspnso Um vérti iz-s Suspnso s não é xtrmo iniil um ro. No grfo figur o vérti é Suspnso. 5. Lt (Anl) Um ro m qu s xtrmis iniil finl são oinints hm-s Lt ou Anl. N figur o ro (, ) é um lt (nl). INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) I-1

2 6. Grfo Pril Um grfo G 1 = (V,U 1 ) é grfo Pril G=(V,U) s U 1 U. Grfo G=(V,U) Grfo Pril G 1 =(V,U 1 ) 7. Sugrfo Um grfo G 1 = (V 1, U 1 ) é Sugrfo G=(V,U) s V 1 V U 1 é o onjunto toos os ros G om xtrmos nos vértis o onjunto V 1. Grfo G=(V,U) Sugrfo G 1 =(V 1,U 1 ) 8. Grfo Complto Um grfo G=(V,U) iz-s Complto s qulqur pr vértis v i v j stá ligo plo mnos num os sntios (rlxno orintção s ligçõs, há um rst ntr pr vértis). O grfo G 1 =(V 1, U 1 ) figur ntrior é um grfo omplto; o grfo G=(V,U) não é omplto pois não há ligção ntr. 9. Grfo Simétrio O grfo G=(V,U) iz-s Simétrio s xistino o ro (v i, v j ) xist o ro (v j, v i ). Um grfo não orinto é smpr simétrio. 10. Grfo Anti-Simétrio O grfo G=(V,U) iz-s Anti-simétrio s xistino o ro (v i, v j ) não xist o ro (v j, v i ). I-2 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

3 11. Grfo Fortmnt Conxo O grfo G=(V,U) é fortmnt onxo s há minho (sussão ros m qu xtrmi finl um ro é xtrmi iniil o ro sguint) ntr qulqur pr os sus vértis. Grfo fortmnt onxo 12. Grfo Conxo Um grfo é Conxo s há um i ntr qulqur pr os sus vértis. Grfo onxo 13. Grfo Simpls Um grfo G=(V,U) iz-s Simpls s não tm Lts ligçõs prlls ntr vértis. 14. Ajêni Os vértis v i v j são Ajnts s são xtrmos o msmo ro. No grfo G os vértis são jnts porqu são xtrmos o msmo ro. Os ros u i u j são Ajnts s têm um xtrmo omum. No grfo figur os ros são jnts porqu é xtrmo omum. Grfo simpls 15. Iniêni Aros m Vértis O ro (v i, v j ) iz-s Inint pr o Extrior m v i porqu st vérti é o su xtrmo iniil; iz-s Inint pr o Intrior m v j porqu st vérti é o su xtrmo finl. No grfo G figur ntrior o ro é Inint pr o Extrior m (xtrmo iniil) Inint pr o Intrior m (xtrmo finl). 16. Iniêni Aros num Conjunto Vértis S X é um onjunto vértis, um ro (v i, v j ) é Inint pr o Intrior m X s v i X v j X. No grfo G figur ntrior, s onsirrmos o onjunto vértis X={, } o ro é Inint pr o Intrior X por tr xtrmo iniil m não prtnnt X xtrmo finl m prtnnt X. O ro é Inint pr o Extrior X por tr xtrmo iniil m prtnnt X xtrmo finl m não prtnnt X. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) I-3

4 17. Gru um Vérti Dsign-s por Gru o Vérti v i, δ (v i ), o númro ros (rsts) qu v i é xtrmo. No grfo G=(V,U) o vérti tm gr, δ ( )=2, o vérti tm gr, δ ( )=3. A som os grus toos os vértis um grfo é pr ( notr qu ro ou rst é ont us vzs - um no gru um xtrmo outr no gru o outro xtrmo). Rsult ssim qu s num grfo há vértis om gru ímpr sts são m númro pr. Grfo G=(V,U) 18. Smigrus um Vérti (grfo orinto) O númro ros qu v i é xtrmo iniil nomin-s Smigru Extrior v i (v ); o númro ros qu v i é xtrmo finl nomin-s Smigru Intrior v i ( ). No grfo G=(V,U) figur ntrior no vérti tm-s v4 = 1 v4 = Grfo Rgulr O grfo G=(V,U) é Rgulr s toos os vértis têm o msmo gru. 20. Grfo Psuo-Simétrio (grfo orinto) + v i + i + O grfo G=(V,U) é Psuo-simétrio quno m toos os sus vértis v i s vrifi v i = v i 21. Cminho (grfo orinto) Um Cminho é um sussão ros m qu xtrmi finl um ro é xtrmi iniil o ro sguint. Po sr finito ou infinito sno inio pl sussão ros ou plos vértis qu lig. N figur ntrior sussão, é um minho qu lig. O msmo minho po inir-s pl sussão os sus vértis,,. 22. Ciruito Um Ciruito é um minho finito m qu s xtrmis iniil finl oinim. O iruito po inir-s plos sus ros ou vértis o minho. No grfo figur são xmplos iruitos:,,, ;,,,,,, ;,, ;,, ; 23. Comprimnto um Cminho (ou um Ciruito) O númro ros um minho ou iruito é o omprimnto o msmo. O omprimnto um minho é igul o númro vértis mnos um. No grfo figur ntrior o minho,,, tm omprimnto 3. I-4 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

5 24. Cminho (Ciruito) Elmntr Um minho (iruito) iz-s Elmntr s toos os vértis são istintos (xptu-s o vérti iniil finl o iruito porqu são oinints). N figur ntrior o minho,, é Elmntr nqunto o minho,,,, o não é. Os iruitos,,,,, são Elmntrs. 25. Cminho Simpls Composto Um minho iz-s Simpls s toos os ros são istintos; no so ontrário iz-s Composto. N figur ntrior os minhos,,,,,,, são Simpls pois toos os ros são "prorrios" um só um vz. O minho,,,,,, é um Composto pois us o ro (, ) mis o qu um vz. 26. Ci (grfo não orinto) Um i é um sussão rsts ( 1, 2, ) m qu rst k stá lig à rst k-1 por um xtrmo à rst k+1 plo outro xtrmo. Em rgr i é ini plos vértis qu ontém pono sr finit ou infinit. N figur:,, é um i lmntr (não rpt vértis),,,, é um i não lmntr (rpt ),,,, é um i simpls (rsts istints),,,,,, é um i ompost (rpt rst) Not: pr finir um i no grfo orinto os ros xistnts são onsiros rsts (sm sntio). 27. Cilo (grfo não orinto) Um Cilo é um i finit qu tm iníio fim no msmo vérti. N figur ntrior,,,, é um ilo lmntr porqu vérti é uso só um vz (xpto o vérti qu é origm finl i). 28. Cilo Hmilton 1 (o prolm o ixiro vijnt) Em mos o séulo XIX, Hmilton prsntou o sguint h prolm: "No oro finir um ilo lmntr (não rpt vértis) ontno toos os vértis". l j i f q k r o n g t p m s 1 Sir Willim Rown Hmilton ( ) profssor univrsi Dulin. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) I-5

6 Ns figurs sguints prsntm-s o grfo o oro um Cilo Hmilton: f o t n m s g h p i q r j k f o t n m s g h p i q r j k l l No grfo, o Cilo Hmilton ontém toos os vértis um só um vz. 29. Cilo Eulr 1. O prolm s Ponts Königsrg O primiro oumnto sor Tori os Grfos t 1736 sno utor Lonhr Eulr. Nst oumnto é fit prsntção grl tori inluí isussão o onhio prolm s ponts Königsrg. A figur A rprsnt o rio Prgl om us ilhs ligs ntr si às mrgns por um onjunto 7 ponts. No grfo (figur B) os vértis rprsntm s ilhs s us mrgns; s rsts rprsntm s ponts rfris. O vlho prolm nliso por Eulr r o sguint: "Srá possívl iniir um pssio m qulqur s mrgns ou ilhs, trvssr tos s ponts um úni vz rgrssr o ponto prti?". Em tori os grfos trt-s lulr um ilo simpls qu inlu tos s rsts vértis nomino "Cilo Eulr". Pr monstrr qu tl pssio não r possívl, Eulr omçou por miti-lo omo possívl izno qu pr tingir qulqur vérti utiliz-s um rst (pont) pr ontinur o pssio r nssário utilizr outr rst (pont) ifrnt ntrior rsultno ssim qu prsnç m qulqur os vértis impli o uso um númro pr rsts (ponts) ifrnts. O vérti nº 1 o grfo (vr figur) tm gr, plo qu quno tingio nono firá um pont não trvss o qu ontriz hipóts iniilmnt vnç. Aliás o msmo s pss om toos os vértis pois têm gru ímpr. Dst situção rsultou o sguint Torm Eulr: "Um grfo G mit um ilo Eulr s só s for onxo só tivr vértis om gru pr". 1 Vr no Anxo 1 um pqun iogrfi Lonhr Eulr; onsultr o Anxo 2 pr situr Eulr n históri Mtmáti. I-6 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

7 É igulmnt vriro firmr qu "s o grfo G mit um ilo Eulr ntão é um grfo onxo toos os sus vértis têm gru pr". Vj-s o xmplo sguint: O grfo figur é Conxo (há i ntr qulqur pr vértis) toos os vértis têm gru pr plo qu mit ilo(s) Eulr: v 8,, v 8, v 7, v 6,,, v 5,, v 8, v 6, v 5, v 7, (snh o grfo om st squêni vrifiqu qu o v 7 onsgu fzr sm lvntr o lápis o ppl) Tos s rsts stão inluís sno utilizs um só v 6 um vz (onsquntmnt toos os vértis stão v 5 inluíos porqu o grfo é onxo). É intrss vrifir qu um grfo omplto om "n" vértis tm ilo Eulr s só s "n" é ímpr: Grfo omplto; númro pr vértis; há vértis gru ímpr; não há ilo Eulr Grfo omplto; númro ímpr vértis; só vértis gru pr; há ilo Eulr Grfo omplto; númro pr vértis; há vértis gru ímpr; não há ilo Eulr Grfo omplto; númro ímpr vértis; só vértis gru pr; há ilo Eulr Not: tn-s qu os grfos ntriors não são orintos (ligçõs são rsts). O grfo orinto há iruito Eulr s só s for fortmnt onxo psuo simétrio. É intrss rorr qu nqunto o ilo Eulr nglo tos s rsts um só um vz, o ilo Hmilton xig o msmo rltivmnt os vértis. A similitu é prnt pois num grfo po hvr mos (iguis ou ifrnts), hvr pns um ls ou não hvr nnhum ls. Vjm-s os xmplos sguints: f g Cilo Eulr :,,,,,,, g, f,, (p.xº) Cilo Hmilton :,,,, g, f,, (p.xº) No msmo grfo os ilos são ifrnts. Cilo Eulr :,,,,,, (p.xº) Não há ilo Hmilton INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) I-7

8 Não há ilo Eulr Hmilton,, é ilo Eulr Hmilton Não há ilo Eulr. Há ilo Hmilton :,,,,, ( º) Não há onição nssári /ou sufiint vrifição simpls, omo no so o ilo Eulr, qu prmit firmr s xist ou não ilo Hmilton no grfo G, hvno situçõs simpls m qu tl onlusão é possívl omo mostr o xmplo sguint. Um ilo Hmilton no grfo figur tm 5 vértis 5 rsts qulqur vérti trá gr. O grfo tm 6 rsts plo qu um ls não prtn o ilo. Por outro lo, omo os vértis "" "" trão gr, no ilo, não prtnrão st 2 rsts. Or isto onuz qu rstm pns 4 rsts o qu é infrior o númro rsts o ilo. Conlui-s ssim qu nst grfo não é possívl finir um ilo Hmilton. O prolm o ixiro vijnt (vr Progrmção Linr Intir) stá intimmnt ssoio à tção um ilo Hmilton om "nrgo totl" mínimo. I-8 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

9 30. Auto-tst. Consir o grfo orinto G=(V,U) figur. v 5 No quro ssinl om "X" o rsulto nális um s situçõs proposts: Dsrição Elmntr Não Elmntr Simpls Composto Cminho 1,2,3,4,5 Cminho 1,2,1,4,5 Cminho 1,2,3,1,2 Cminho 1,2,2,3,4 Ciruito 2,2 Ciruito 2,3,1,2,1,2 Ciruito 3,1,4,5 Ciruito 4,5,1,2,2,3,4. Consir o grfo não orinto figur. v 5 No quro ssinl om "Sim/Não" o rsulto nális um s situçõs proposts: Dsrição Ci Elmntr Cilo Cilo Elmntr 2,2 2,3,4,1,2,5,4,3,2 1,4,3,2,5 2,3,4,5,2,2 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) I-9

10 . Dsnh o grfo proposto ou justifiqu s tl grfo não xistir: (1) 3 vértis gr Dsrição o grfo (2) 4 rsts ; 4 vértis om gr,2,3,4 (3) Grfo Simpls ; 5 vértis om gr,4,4,2,2. Comnt sguint firmção: "S num grfo G (não orinto) há um ilo qu inlu tos s rsts é um ilo Eulr". I-10 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

11 31. Solução o Auto-tst. Dsrição Elmntr Não Elmntr Simpls Composto Cminho 1,2,3,4,5 X X Cminho 1,2,1,4,5 X X Cminho 1,2,3,1,2 X X Cminho 1,2,2,3,4 X X Ciruito 2,2 X X Ciruito 2,3,1,2,1,2 X X Ciruito 3,1,4,5 X X Ciruito 4,5,1,2,2,3,4 X X. Dsrição Ci Elmntr Cilo Cilo Elmntr 2,2 Não Sim Sim 2,3,4,1,2,5,4,3,2 Não Sim Não 1,4,3,2,5 Sim Não Não 2,3,4,5,2,2 Não Sim Não. (1) Não xist. Totl vértis gru ímpr é smpr pr. (2) Não xist. Mt o totl grus é 5 não 4 (3) Não xist. S mitir qu,, têm gr, ntâo: stá ligo,,, v 5 stá ligo,,, v 5 stá ligo,,, v 5 plo qu v 5 têm plo mnos gr. Flso. O grfo G v sr onxo. Vj-s, título xmplo, qu no grfo sguint xist o ilo,,, qu não é um ilo Eulr pois não inlui tos s rsts vértis. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) I-11