A Classe de Grafos PI

Transcrição

1 TEMA Tn. Mt. Apl. Comput., 6, No. (005), -4. Um Pulição Soi Brsilir Mtmáti Apli Computionl. A Clss Gros PI S. ALMEIDA, C.P. MELLO, A. GOMIDE, Instituto Computção, UNICAMP, Cmpins, SP, Brsil. Rsumo. Nst trlho mostrmos qu rprsntção um ro PI, ro intrsção triânulos ntr us rts prlls, qu não é ro intrvlo, ontém um triânulo otusânulo. Além isso, lssiimos os ros míli Glli qu são PI.. Introução Sj F um míli onjuntos. Po-s ssoir F um ro, G, suint orm: onjunto F orrspon um vérti G xist um rst lino ois vértis m G s, somnt s, os onjuntos orrsponnts sts vértis s intrstm. O ro G é hmo ro intrsção míli F. Como too ro simpls é ro intrsção lum míli onjuntos [7], váris lsss ros orm inis onsirno mílis om struturs spiis. S F or, por xmplo, um míli intrvlos linrmnt ornos rt rl, o ro intrsção F é um ro intrvlo. Consir us rts prlls r r. S F or um míli smntos rt om um xtrmo m r o outro m r, o ro intrsção os lmntos F é o ro prmutção. Em [5], Cornil Kmul nrlizm lss os ros prmutção, prmitino qu míli F ontnh triânulos om um lo m r um vérti m r. O ro intrsção F é hmo ro PI (Point-Intrvl). Not qu PI é, tmém, um nrlizção os ros intrvlo. S-s qu os ros intrvlo são ronhios por loritmos linrs []. Além isso, um suprlss os PI, os ros trpzóis, qu são ros intrsção trpézios ntr us rts prlls, tmém possum loritmos polinomiis pr o su ronhimnto [4]. Entrtnto, ronhr um ro PI é um prolm rto []. Outr suprlss os ros PI é lss os ros o-omprili, ros ujo omplmnto é omprili. Os ros omprili são quls qu mitm um orintção trnsitiv m sus rsts. Est lss oi rtriz por Glli [6] trvés um míli ros proiios, míli Glli. N Sção, nontrm-s onitos nssários pr s mis sçõs. N Sção, intii-s um sulss os PI oti rstrinino os triânulos míli F shil@i.unimp.r; olsist Mstro CAPES li@i.unimp.r; poio CNPQ/07856/00-8 nmri@i.unimp.r

2 4 Almi, Mllo Gomi triânulos não otusânulos. N Sção 4, lssiim-s os ros míli Glli m rlção à prtinêni às lsss o-omprili PI. Em [], nontrm-s os onitos ásios tori os ros não inios nst rtio.. Prliminrs Sjm r r us rts prlls. Chmrmos rprsntção PI, to rprsntção um ro G on vérti G é um triânulo om um lo m r um vérti m r ou um smnto rt om um xtrmo m r outro r. Um rtrísti lss PI é su hritri. S G é PI, ntão G tm um rprsntção PI, R. A rprsntção R um suro inuzio G onstruí prtir R, rtirno-s os lmntos (smntos rt ou triânulos) R qu orrsponm vértis qu não prtnm G é, lrmnt, um rprsntção PI G, sno ssim, G é PI. Portnto, vl o suint lm: Lm.. Sjm G um ro PI G um suro inuzio por qulqur suonjunto vértis G. O ro G é PI. Aprsntrmos suir rlçõs os ros PI om lums lsss ros onhis mplmnt stus. Pr tnto, us lsss prism sr inis: os ros sm tripl stroil os ros rmnt oris. Três vértis istintos ois ois não jnts m um ro ormm um tripl stroil quno pr quisqur ois ls xist um minho qu os li não pss pl vizinhnç o triro. Um ro qu não mit tripl stroil é hmo ro sm tripl stroil (STA). Um ro é rmnt orl quno não ontém C n, n > 4, omo suro inuzio. Em [4] [5] nontrmos s rlçõs ontinêni ntr lums sulsss suprlsss os ros PI. O onjunto os ros lss é rprsnto plo su nom. Intrvlo PI Trpzói Co-omprili (.) Trpzói Frmnt orl (.) Trpzói STA (.) O Torm. xi um rtrizção os ros intrvlo trvés um míli suros proiios [7]. Torm.. Um ro é intrvlo s, somnt s, não ontém nnhum os ros Fiur omo suro inuzio. Em [6] Glli prsntou suint rtrizção, por suros proiios, pr os ros omprili: Torm.. Um ro é omprili s, somnt s, não ontém um suro inuzio isomoro lum ro Fiur ou um os omplmntos os ros Fiur. Ao onjunto os ros prsntos n Fiur os omplmntos os ros Fiur hmmos míli Glli.

3 A Clss Gros PI 5 n- n Cn, n > n Dn, n > n En, n > 0 A A Fiur : Gros proiios pr lss Intrvlo. n+ n n+ n n+ n Cn+, n> Hn, n> In, n> Jn, n>. PI-Espil Fiur : Gros proiios pr omprili. Um rstrição qu po sr impost os ros PI é qu os triânulos rprsntção PI não possum ânulo otuso nos xtrmos o intrvlo m r. Um triânulo om ss rstrição srá hmo triânulo não otusânulo spil (TNOE). Sjm us rts prlls r r. O ro intrsção um míli triânulos não otusânulos spiis (TNOEs) qu possum um vérti m r um lo m r srá hmo ro PI-spil. Torm.. Um ro G é PI-spil s, somnt s, G é ro intrvlo. Dmonstrção. Sjm G um ro PI-spil R um rprsntção G trvés intrsção TNOEs ntr us rts prlls r r. Sj T = PED um triânulo R om vérti P m r vértis E D m r. Sj p unção projção ortoonl sor rt r. Not qu união s imns p(pe) p(pd) é o intrvlo ED = [E,D] rt r. Dss orm, p ssoi TNOE R um intrvlo ED tl orm qu xist intrsção ntr ois intrvlos s, somnt s, xist intrsção ntr sus rsptivos TNOEs. Isso oorr porqu projção

4 6 Almi, Mllo Gomi n n n n- n Cn, n > 5 Dn, n > En, n > 0 Fn, n > 0 A A A A4 A5 A6 A7 A8 A9 A0 Fiur : Complmntos os ros proiios pr omprili. os los um TNOE sor r stá onti no intrvlo ED. Portnto, s T x T y são triânulos qu s intrstm m R, os los T x T y qu stão sor rt r s intrstm m plo mnos um ponto. Assim, os los os triânulos qu stão sor r ormm um rprsntção G por intrvlos. Loo, G é ro intrvlo. Sjm G um ro intrvlo R um rprsntção G trvés intrsção intrvlos um rt r. Constru um rt r prll r. Pr intrvlo ED r, mrqu m r um ponto P tl orm qu p(pe) ED. Liu os ois xtrmos E D o ponto P. Ess onstrução, s rpti pr toos os intrvlos R, r um míli TNOEs. Como projção ponto P sor r é um ponto no intrvlo ED, s jênis G orm prsrvs. Loo, G é um ro PI-spil. Um onsqüêni o Torm. é qu rprsntção PI um ro qu não é intrvlo ontém um triânulo otusânulo. Not qu o smnto rt qu rprsnt o vérti o ilo C 4 n Fiur 4 só po sr sustituío por um triânulo otusânulo. Torm.. S G é PI não é ro intrvlo, ntão G ontém C 4 omo suro inuzio.

5 A Clss Gros PI 7 Dmonstrção. Sj G um ro PI qu não é intrvlo. Plo Torm., G ontém lum ro Fiur omo suro inuzio. Mostrrmos qu ntr os ros Fiur, pns C 4 é PI. D to, pls rlçõs ontinêni (.) (.) tmos qu míli C n, n > 4, não é PI, pois não é rmnt orl. Pls rlçõs (.) (.), toos os outros ros Fiur (om xção o C 4 ) não são PI, pois não são ros STA (m ro, tripl stroil onsist os vértis, ). Finlmnt, Fiur 4 prsnt um rprsntção PI pr o ro C 4. () () Fiur 4: Um rprsntção PI o ro C Fmíli Glli PI Nst sção, intiimos os ros míli Glli qu são o-omprili, ntr sts, os qu são PI. O Torm 4. srv os ros prtnnts à míli Glli qu são o-omprili. Torm 4.. Dntr os ros míli Glli, os ros H n I n, n >, J n, n >, prsntos n Fiur quls om omplmnto n Fiur 5 são o-omprili. Dmonstrção. Primiro, onsirmos os ros Fiur. C n+, n : Os ilos C n+, n, não são ros o-omprili. pois não são pritos s-s qu too ro o-omprili é prito [7]. H n I n, n : Esss us mílis prtnm à lss os ros intrvlo. Ns Fiurs 6 7 stão s rprsntçõs trvés intrsção intrvlos pr os ros sss mílis, loo são ros intrvlo. Portnto, pl rlção ontinêni (.), H n I n, n, são ros o-omprili. J n, n : Os ros míli J n, n, são ros PI (Fiur 8). Novmnt, pl rlção ontinêni (.), os ros J n, n, são ros o-omprili. Portnto, Fiur, pns lss C n+, n, é proii pr oomprili. Pr iir s os ros ujo omplmnto pr n Fiur, são o-omprili, st vriir s os ros ss iur são omprili. Vjmos so:

6 8 Almi, Mllo Gomi n- n Cn, n > n+ Dn+, n > 0 n En, n > 0 n+ F n+, n > 0 A A A A4 A5 A6 A7 A9 A0 Fiur 5: Gros ujo omplmnto é o-omprili prtn míli Glli. C n, n 6: Plo Torm., os ilos C n+, n, são proiios pr omprili. Sj C n, n, um ilo om vértis {,...,n} tl qu i é jnt i +, i < n. A orintção C n, tl qu i, i n, é ont i +, i n é sumiouro, é um orintção trnsitiv. Portnto, C n+, n são proiios pr o-omprili C n, n, é um míli ros o-omprili. D n, n > : Como H n, n > não é omprili os ros D n, n >, ontêm H n, n > omo suro inuzio (st rtirr o vérti o ro D n Fiur ), plo Torm., D n, n >, não são ros omprili. Qunto o ro D é áil vriir qu não é possívl xiir um orintção trnsitiv pr sus rsts. Aor, no rstnt ss oumnto, um rst orint um vérti qulqur x pr um vérti y srá ini plo pr orno [x,y]. Um ro D n+, n om os vértis rotulos omo n Fiur, mit suint orintção trnsitiv: [,], [i,] ( i n + ), [,], [n +,] s rsts o minho (,,...,n,n + ), orints orm qu toos os vértis ímprs sjm onts os vértis prs sjm sumiouros. Assim, míli D n, n, é proii pr o-omprili os ros D n+, n, são ros o-omprili.

7 A Clss Gros PI 9 n... n+ n r Fiur 6: Rprsntção míli H n trvés intrsção intrvlos n+ n- n- n r Fiur 7: Rprsntção míli I n trvés intrsção intrvlos. E n, n : Os ros E n+, n, ontêm I n+, n, omo suro inuzio (st rtirr o vérti o ro E n Fiur ), portnto, plo Torm., não são ros omprili. Qunto o ro E, é áil vriir qu não xist um orintção trnsitiv pr sus rsts. Pr os ros E n, n, s rotulrmos os vértis omo n Fiur, um orintção trnsitiv po sr it orintno s rsts o minho (,,...,n) orm qu toos os vértis prs sjm onts, os ímprs sumiouros s mis rsts orints suint orm: [,], [n,], [,], [,], [,], [,], [,], [,i], [i,], i n. Portnto, E n, n é um míli ros o-omprili E n+, n 0, são ros proiios pr o-omprili. F n, n : Os ros F n, n, possum J n+, n omo suro inuzio. Loo, plo Torm., não são ros omprili. Qunto o ro F é áil vriir qu não xist um orintção trnsitiv pr sus rsts. Um possívl orintção trnsitiv pr míli F n+, n 0, (om os vértis F n+ rotulos omo n Fiur ) é: [,], [,], [,], [,], [i,], [i,] ( i n + ), [,], [n +,] s rsts o minho (,,...,n,n + ), orints orm qu os vértis ímprs sjm onts os prs sjm sumiouros. n n-... n-4 n- n- r r Fiur 8: Rprsntção PI míli J n.

8 40 Almi, Mllo Gomi Portnto, F n+, n 0, é um míli ros o-omprili F n, n, são ros proiios pr o-omprili. A i, i 0, i 8: A Fiur 9 mostr um orintção trnsitiv pr um sss ros. Portnto são ros omprili sus omplmntos são ros o-omprili. A A A A4 A5 A6 A7 A9 A0 Fiur 9: Orintçõs trnsitivs pr os ros A,...,A 7,A 9 A 0. A 8 : O ro A 8 é isomoro o ro F. Loo, plo Torm., A 8 não é ro omprili A 8 não é ro o-omprili. n n+ n-... i i+ i-... Fiur 0: Um rprsntção PI míli D n n n- n- i i- i- Fiur : Um rprsntção PI míli E n. Dntr os ros míli Glli qu são o-omprili, pomos nontrr luns ros (ou lums mílis ros) qu são PI. O Torm 4.

9 A Clss Gros PI 4 n n+ n- n- i i+ i Fiur : Um rprsntção PI míli F n+. monstr qu C n, n, são os únios ros o-omprili prtnnts à míli Glli qu são PI. A A5 A A6 A A7 A4 A9 A0 Fiur : Um rprsntção PI pr o omplmnto os ros A..A 7, A 9 A 0. Torm 4.. Too ro G qu é o-omprili prtn à míli Glli é PI, xto C n, n. Dmonstrção. D monstrção o Torm 4., tmos qu J n, n >, é PI (Fiur 8), H n I n, n > são ros intrvlo (Fiurs 6 7), portnto, são PI. Vmos nlisr os ros ujo omplmnto pr n Fiur 5. É onhio qu C n, n, não é trpzói [5]. Pl rlção ontinêni (.), C n, n, não é PI. As Fiurs 0, prsntm, rprsntçõs PI s mílis D n+, E n F n+, (rsptivmnt). Portnto os omplmntos D n+, E n F n+, om

10 4 Almi, Mllo Gomi n, são ros PI. A Fiur prsnt um rprsntção PI pr os ros A,...,A 7,A 9 A 0. Dst orm, onluimos qu toos os ros o-omprili qu prtnm à míli Glli são PI, xto os ros C n, n. Astrt. In this work w show tht trinl rprsnttion o PI rph tht is not intrvl rph must ontins otus trinl. W lso lssiy th rphs o th Glli mily tht r PI rphs. Rrênis [] J.A. Bony, U.S.R. Murty, Grph Thory with Applitions, Amrin Elsvir, Nw York, 979. [] K.S. Booth, G.S. Lukr, Tstin or th onsutiv ons proprty, intrvl rphs n rph plnrity usin PQ-tr lorithms, J. Comp. n Syst. Si., (976), [] A. Brnstät, V. L, J. Spinr, Grph Clsss - Survy, SIAM, Monorphs on Disrt Mth. n Applitions, 999. [4] F. Chh, D.G. Cornil, On th strutur o trpzoi rphs, Disrt Appli Mth., 66 (996), 09-. [5] D.J. Cornil, P.A. Kmul, Extnsions o prmuttion n intrvl rphs, Conrssus Numrntium, 58 (987), [6] T. Glli, Trnsitiv Orintirr Grphn, At Mth. A. Si. Hun, 8 (967), [7] M.C. Golumi, Alorithmi Grph Thory n Prt Grphs, Ami Prss, Nw York, 980.