Revsta Iberoamercana de Ingenería Mecánca. Vol. 10, N.º 3, pp. 23-32, 2006 FORMULAÇÃO HÍBRIDA DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO PARA PROBLEMAS DIFUSIVOS-ADVECTIVOS MARKCILEI LIMA DAN 1, CARLOS FRIEDRICH LOEFFLER 2 1 Coordenadora de Eletromecânca Centro Federal de Educação Tecnológca do Espírto Santo Undade de Ensno Descentralzada Rodova Br-482 Cachoero do Itapemrm, E.S., Brasl 2 Departamento de Engenhara Mecânca, Unversdade Federal Do Espírto Santo Av Fernando Ferrar, S.N., Vtóra, E.S., Brasl. (Recbdo 6 de mayo de 2004, para publcacón 23 de enero de 2006) Resumo Neste trabalho é apresentada uma formulação alternatva para a modelagem de problemas de transmssão de calor com dfusão e advecção consderando escoamentos potencas. A formulação com Quase-Dupla Recprocdade é empregada, mas, o procedmento aqu exposto, dfere do orgnalmente encontrado na lteratura, porque a equação ntegral é reescrta em função de um potencal de velocdades e, desta forma, o termo advectvo é dvddo em quatro parcelas. Três delas são ntegradas de modo tradconal e apenas uma é trabalhada de acordo com os procedmentos de nterpolação da Quase-Dupla Recprocdade. Usando elementos constantes, a solução numérca é comparada com os resultados da formulação clássca através da smulação de problemas de referênca que possuem solução analítca. Palavras chave Método de elementos de contorno, Quase-Dupla recprocdade, escoamentos potencas, convecção forçada, smulação numérca. 1. INTRODUÇÃO A formulação com Dupla Recprocdade, proposta por Nardn e Brebba [1], amplou o campo de aplcação do MEC, permtndo abordar com relatva smplcdade uma sére de problemas anterormente não acessíves às formulações mas clásscas, partcularmente os casos envolvendo escoamento, convecção, ações de domíno, problemas transentes e dnâmcos. No lugar de se utlzar soluções fundamentas correlatas, a Dupla Recprocdade usa soluções mas smples e funções auxlares de nterpolação para estabelecer uma equação ntegral de contorno. A aplcação da Dupla Recprocdade no caso dfusvo-advectvo fo feta prmordalmente por Partrdge et al [2]. Usando uma solução fundamental dfusva e tratando as dervadas espacas relaconadas à convecção através de uma nova nterpolação, seu modelo superou as lmtações das formulações clásscas precedentes, resolvendo problemas onde o campo de velocdades era varável [3]. Não obstante, seus resultados apresentaram precsão razoável apenas para baxos números de Peclet [4]. Recentemente uma nova técnca fo apresentada por Loeffler e Mansur [5], denomnada de Quase- Dupla Recprocdade. Esta formulação conseguu bons resultados para escoamentos potencas com medanos números de Peclet. Tal desempenho motvou a contnudade das pesqusas nessa lnha de formulações alternatvas, empregando a mesma déa básca da Dupla Recprocdade, embora com pequenas alterações, doravante comentadas. Neste trabalho, a equação ntegral é reescrta em termos de uma função potencal de velocdades e quatro novas ntegras daí resultam. Três delas são resolvdas pelos métodos clásscos de solução numérca e apenas uma é transformada de acordo com o processo de nterpolação que usa funções auxlares típcas da Dupla Recprocdade [6].
24 M. L. Dan, C. F. Loeffler 2. EQUAÇÃO DE GOVERNO Consderando um volume de controle bdmensonal Ω por onde flu um escoamento potencal, a equação dferencal que caracterza o problema de transferênca de calor por dfusão e advecção neste meo é dada, em notação ndcal enstenana, por: Kθ, = vθ (1), Na equação anteror θ é a temperatura, K representa as propredades térmcas do meo contínuo e homogêneo e v denota as componentes de velocdade. Os subscrtos repetdos em ndcam o operador Laplacano, de acordo com a convenção estabelecda pela notação. As condções de contorno são defndas por: θ= θ em Γu (condção essencal) (2) Kθ,n θvn = f em Γq (condção natural) (3) Na equação anteror, n representa as componentes do vetor normal untáro exteror ao contorno. 3. DUPLA RECIPROCIDADE TRADICIONAL O ponto de partda para a formulação com Dupla Recprocdade e outras smlares pertnentes ao Método dos Elementos de Contorno consste no desenvolvmento da forma ntegral nversa assocada à equação (1). Com um procedmento bastante conhecdo na lteratura [8], baseando nas dentdades de Green ou na técnca da ntegração por partes, lado esquerdo da equação (1) pode ser escrto como: = ( ) ( ) ( ) (4) K θ, udω K Ω qu θq dγ-c ζθζ Γ A equação (4) empregou como função auxlar a solução fundamental dfusva θ ( ξ, X ): θ = ( 1/ 2π)ln r(ξ,x) (5) Na expressão anteror, q e q* são as dervadas normas da temperatura e da solução fundamental respectvamente. O ponto ξ é um ponto especal do domíno e c(ξ) é um valor dependente da posção deste, conforme atestam dversas referêncas, entre as quas Brebba [9]. De acordo com o procedmento da Dupla Recprocdade tradconal, consdera-se o termo convectvo como uma fonte ou ação de domíno, de modo que: b= vθ, (6) Admte-se que este últmo termo possa ser representado por uma combnação de funções lnearmente ndependentes F j, na forma: b j j j j α F = α Ψ, (7) Na equação anteror α j são coefcentes constantes e Ψ j são funções prmtvas de F j. A escolha das funções é matéra estudada em dversos trabalhos, especalmente Partrdge [6]. Entre as dversas opções, destaca-se a classe das funções radas, compostas da dstânca eucldana entre os pontos do domíno X e os pontos de nterpolação X j. Consderando a aproxmação dada pela equação (7), a expressão ntegral equvalente ao termo advectvo em escrta em termo de valores de contorno pode ser expressa como: v θθ*dω α Ψ θ*dω= α [ (Ψ, θ*), dγ (Ψθ,*),dΓ c(ξ)ψ (ξ)] (8) Ω j j j j j j,, Γ Γ Ω Efetuando procedmentos bem tradconas como a dscretzação do contorno, que pode ser achada em mutos textos clásscos [10], pode-se escrever:
Formulação híbrda do método dos elementos de contorno para problemas dfusvos-advectvos 25-1 Hθ -GQ=[HΨ -GΝ]F V θ, = P (9) Na equação anteror aparecem as matrzes dfusvas H e G; a nversa da matrz F, composta das funções de nterpolação; matrzes de funções auxlares Ψ e Ν; uma matrz dagonal composta das velocdades V e fnalmente um vetor relaconado às dervadas espacas θ,. Daqu por dante é feto o tratamento das dervadas espacas. A proposta contda na Dupla Recprocdade tradconal consste em fazer uma nova nterpolação no campo de temperaturas, na forma: θ =Fβ (10) A equação (10) pode ser dervada e utlzada para determnar os coefcentes β, resultando em uma nova equação que é empregada para elmnar as dervadas dreconas: -1 θ, =FF, θ Deste modo, pode-se fnalmente escrever uma equação matrcal defntva: (11) -1-1 Hθ -GQ=[HΨ-GΝ]F V F,F θ =Rθ (12) O procedmento é engenhoso, mas ntroduz uma aproxmação adconal àquela tradconal para representar termos fonte ou ações de nérca e daí resulta o seu baxo desempenho nos problemas em que o fenômeno advectvo é preponderante. 4. FORMULAÇÃO QUASE-DUAL HÍBRIDA A formulação com Quase-Dupla Recprocdade requer a transformação da equação (1), na forma apresentada abaxo, com base na condção de ncompressbldade do escoamento: Kθ, = (vθ), (13) Do mesmo modo, deve-se escrever uma forma ntegral assocada à equação anteror: K θ, u dω (v θ), u = dω Ω Ω O lado esquerdo da equação (14) pode ser faclmente operaconalzado. No tratamento do lado dreto resde todo o cerne da proposção deste trabalho. Deste modo, usando a técnca de ntegração por partes e o teorema da dvergênca, pode-se escrever: * * ( v θ ), θ dω= vnθθ dγ- vθθ,dω * Ω Γ Ω (14) (15) Consderando um potencal de velocdades Φ, sua substtução na equação anteror fornece: Φ, θθ,dω = Φ θqdγ - Φ θθ, dω - Φ θ, θ,dω * * * * Ω Γ Ω Ω Usando a solução fundamental dfusva e as propredades da função Delta de Drac, tem-se: (16) * Φθθ, Ω dω = - c(ξ)φ(ξ)θ(ξ) (17) O próxmo passo é o tratamento do tercero termo no lado dreto da equação (16). O propósto é transformar a ntegral de domíno em uma ntegral de contorno. Fazendo a segunte aproxmação: b= Φ θ, αψ = αη (18) j j j j p p, p p Substtundo-a na equação (16) e ntegrando por partes, resulta em:
26 M. L. Dan, C. F. Loeffler Φ θ, θ,dω = α Ψ θ,dω = α [Ψθ,],dΩ + α Ψθ,dΩ (19) * j * j * j * Ω p Ω p, p Ω p p Ω p Através do Teorema da Dvergênca e das propredades da dstrbução delta de Drac, tem-se: A expressão completa fca: { } * j j Φ θ, θ, Ω dω = αp Ψ Γ pq*dγ - αpc(ξ)ψ(ξ) (20) Kc(ξ)θ(ξ) + θq -qθ dγ = - v n θθ dγ + Φ θq*dγ + c(ξ)φ(ξ)θ(ξ) - α Ψ q*dγ + c(ξ)ψ (ξ) * * * j j Γ Γ Γ p Γ p p (21) A equação precedente pode ser dscretzada segundo os procedmentos usuas do MEC, resultando: 1 K -1 Hθ -Gq+Bθ-HΦθ =- HΨη [Φθ, ] Onde a elmnação do vetor de coefcentes α fo feta consderando: (22) -1 α = η [Φθ, ] (23) Para se elmnar a dervada espacal que aparecem na equação anteror, usa-se o mesmo esquema adotado pela formulação tradconal (equação (10)), sto é: Dervando-se esta equação tem-se: θ =Fβ (24) θ, = F, β (25) Obtendo-se β da equação (24), são faclmente calculadas as dervadas dreconas: A forma matrcal completa escreve-se como: De modo anda mas compacto, pode-se escrever: -1 θ, =FF, θ (26) -1-1 ( ) Hθ -Gq +Bθ -HΦθ =- HΨ η φθ, F,F θ (27) [ H+B-S-M] θ=gq (28) 5. EXEMPLOS Os exemplos dscutdos a segur mostram os resultados obtdos pela formulação com Dupla Recprocdade tradconal () e a formulação proposta (). Para ambas as abordagens, os resultados numércos são comparados com as soluções analítcas. 5.1. Prmero Exemplo: Escoamento Undmensonal O prmero exemplo consste em um problema cujo domíno é consttuído por um volume de controle quadrado, onde são prescrtas temperaturas nas faces vertcas, com fluxo de calor nulo nas arestas horzontas e com campo de velocdade undmensonal e constante, conforme mostra a Fg. 1. Neste exemplo, a solução analítca para o campo de temperaturas é dada pela equação (29), enquanto o valor da dervada normal na face vertcal dreta expressa-se pela equação (30). Em ambas as equações, p corresponde ao número de Peclet. px e -1 θ = e -1 (29) pl
Formulação híbrda do método dos elementos de contorno para problemas dfusvos-advectvos 27 V Θ = 0 Θ = 1 P = V L / K y x L Fg. 1. Característcas físcas e geométrcas do prmero exemplo. 4.00 3.20 2.40 1.60 Cubc Smple 0.80 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Fg. 2. Desempenho das funções nterpolantes radas no cálculo de temperaturas. 15 12 9 Cubc Smple 6 3 0 0 2 0 4 0 6 0 80 100 12 0 14 0 16 0 Fg. 3. Desempenho das funções nterpolantes radas no cálculo de dervadas. p x pe q= (30) e -1 No prmero teste é avalado o desempenho formulação HQRD, para dferentes conjuntos de funções u- tlzadas para nterpolar as dervadas espacas do campo de temperatura (equação (26)). pl
28 M. L. Dan, C. F. Loeffler 0.40 0.32 0.24 0.16 0.08 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Fg. 4. Influênca do refnamento da malha no cálculo das temperaturas. 4.00 3.20 2.40 1.60 HQRD 0.80 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Fg. 5. Influênca do refnamento da malha no cálculo das dervadas. Nas Fg. 2 e 3 são apresentados gráfcos onde pode ser verfcado que as funções radas cúbcas j ( F = r 3 ) apresentam desempenho muto superor ao das funções radas smples ( F j = r ). Nas smulações realzadas, são empregadas malhas regulares compostas por 20, 40, 80 e 160 elementos de contorno constantes. Estes gráfcos correspondem ao erro médo percentual obtdo no processamento numérco para o cálculo de temperaturas, com dferentes malhas e com número de Peclet gual a dos. No segundo teste, é comparado o desempenho da Formulação com o da, nas mesmas condções prévas de smulação: Número de Peclet e número de elementos de contorno da malha utlzada na smulação. É mportante notar que no modelo da Dupla Tradconal são empregados 16 pontos nternos nterpolantes (pólos) para melhorar os resultados, enquanto que na não fo necessáro o uso de pólos para se obter melhoras nos resultados. As Fg. 4 e 5 apresentam as curvas de erro médo percentual decorrente do processamento numérco para o cálculo de temperatura nas faces horzontas e para o cálculo das dervadas normas nas faces vertcas. Ambos os gráfcos mostram que o desempenho de formulação de é superor ao da. Os resultados apresentados correspondem a um número de Peclet gual a 2. O últmo teste realzado para este exemplo lustra o desempenho das formulações e com a varação do número de Peclet. Nas smulações realzadas foram utlzadas malhas consttuídas de 160 elementos de contorno constantes. As Fg. 6 e 7 apresentam o erro médo percentual obtdo no processa-
Formulação híbrda do método dos elementos de contorno para problemas dfusvos-advectvos 29 3.20 2.40 1.60 0.80 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Peclet Fg. 6. Influênca do número de Peclet no cálculo das temperaturas. 25.00 2 15.00 1 5.00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Peclet Fg. 7. Influênca do número de Peclet no cálculo das dervadas mento numérco para o cálculo das temperaturas e das dervadas, para dferentes números de Peclet. Notase a qualdade superor dos resultados da. Com relação ao tempo computaconal, fo gasto aproxmadamente 1,5 segundos na smulação numérca com a malha de 160 elementos de contorno, empregando um mcrocomputador do tpo Pentum 4, com 1.7 GHz e 512 Mbytes de memóra RAM. 5.2. Segundo Exemplo: Escoamento Bdmensonal O segundo exemplo analsado corresponde a um problema bdmensonal, onde o campo de velocdade é gerado por duas componentes vetoras segundo as dreções x e y, sendo estas componentes constantes nas duas dreções. Fgura 8 apresenta as característcas físcas e geométrcas deste problema. Apenas as temperaturas são prescrtas no contorno do volume de controle, sendo dadas pela expressão: vx+wy θ = e (31) Por smplcdade, as velocdades v e w foram admtdas guas. As Fg. 9 e 10 apresentam os valores de erro médo percentual obtdos no cálculo de temperaturas e de dervadas respectvamente, em smulações realzadas com as formulações e, para malhas com dferentes números de elementos de contorno e com número de Peclet gual a dos. Novamente, para as smulações realzadas com fo necessáro o uso de 16 pólos nterpolantes para se obter melhores resultados.
30 M. L. Dan, C. F. Loeffler Vx P = V L / K L y x Vy Fg. 8. Característcas do volume de controle do segundo exemplo. 6.00 4.80 3.60 2.40 1.20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Fg. 9. Influênca do refnamento da malha no cálculo das dervadas na face horzontal nferor. 3.2 2.4 1.6 0.8 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Fg. 10. Influênca do refnamento da malha no cálculo das dervadas na face vertcal dreta. Pode ser percebdo o melhor desempenho da formulação. Embora os resultados na face vertcal sejam mas sgnfcatvos, os erros cometdos junto à face horzontal é maor. Isto pode ser explcado devdo à dfculdade que as nterpolações globas têm para representar valores em todo o domíno quando há dferenças acentuadas na ordem de grandeza destes. Felzmente, os valores mas altos são melhor representados. Para o próxmo teste, uma malha mas refnada, consttuída de 160 elementos de contorno constantes, é utlzada para avalar o desempenho das formulações com dferentes números de Peclet. Fg. 11 e 12 mostram estes resultados:
Formulação híbrda do método dos elementos de contorno para problemas dfusvos-advectvos 31 4 32.00 24.00 16.00 8.00 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Peclet Fg. 11. Influênca do número de Peclet no cálculo das dervadas na face horzontal nferor. 4.00 3.20 2.40 1.60 0.80 0 2 4 6 8 10 Peclet Fg. 12. Influênca do número de Peclet no cálculo das dervadas na face vertcal dreta. Soluções numércas precsas para problemas bdmensonas são muto mas dfíces de alcançar do que nos casos undmensonas. Especalmente para, os resultados na face horzontal não apresentam precsão satsfatóra, por causa da dfculdade apresentada pelas nterpolações globas em representar funções que apresentam grandes gradentes, conforme menconado anterormente. Porém, apesar dsto, pode ser vsto que a manteve os valores de erro em níves acetáves. Com relação ao dspêndo computaconal, neste caso bdmensonal fo gasto um tempo comparatvamente maor do que no exemplo precedente, por causa da forma dádca das funções auxlares. Consumu-se cerca de 2,5 segundos na smulação numérca com a malha de 160 elementos de contorno, empregando um mcrocomputador do tpo Pentum 4, com 1.7 GHz e 512 Mbytes de memóra RAM. 6. CONCLUSÕES A déa de se reescrever a equação ntegral desdobrando o termo convectvo em quatro parcelas fo bastante bem sucedda, pos foram obtdos resultados melhores do que aqueles consegudos com a formulação com. A comparação da formulação proposta com esta últma é mportante porque ambas usam uma nterpolação específca para elmnar as dervadas espacas da temperatura. No entanto, na esta aproxmação envolve apenas um dos quatro termos advectvos, enquanto na formulação tradconal esta aproxmação nterfere de manera mas completa. É mportante ressaltar que a não requer os pólos nterpolantes. Este fato sgnfca naturalmente uma redução do custo computaconal e ausênca de
32 M. L. Dan, C. F. Loeffler preocupação por parte do usuáro com outro fator que não o refnamento da malha no controle da precsão dos resultados. REFERÊNCIAS [1] D.Nardn y C. A. Brebba, A New Approach to Free Vbraton Analyss usng Boundary Elements, Proceedngs of the Fourth Internatonal Semnar, Boundary Element Methods n Engneerng, Southampton (1982) [2] P. W. Partrdge, C. A. Brebba y L. C. Wrobel, The Dual Recprocty, Boundary Element Method, Computatonal Mechancs Publcatons and Elsever, London (1992) [3] P.A. Ramachandran, Boundary Element Methods n Transport Phenomena, Computatonal Mechancs Publcaton and Elsever Appled Scence, London (1994) [4] C. A. M. Massaro y C. F. Loeffler, Boundary Element Formulaton Appled to Soluton of Convectve- Dffusve Heat Transfer Problems. Anas do XVI COBEM (em CD ROM), Uberlânda (2001) [5] C. F. Loeffler y W. J. Mansur Quas-Dual Recprocty Boundary Element Formulaton for Incompressble Flow: Applcaton to the Dffusve-Advectve Equaton. Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, 58 (8), 1167-1186 (2003) [6] P. W. Partrdge, New Develpments n the Dual Recprocty Metphod. BEM XVII, 11-18 (1995) [7] P. A. Ramachandran, Boundary Element Methods n Transport Phenomen, Computatonal Mechancs Publcaton and Elsever Appled Scence, London (1994) [8] C. A. Brebba, The Boundary Element Method for Engneers, Pentech Press, London (1978) [9] C. A. Brebba, J. C. F. Telles y L. C. Wrobel, Boundary Element Technques Theory And Applcatons In Engneerng, Sprnter-Verlag, New York (1984) [10] C. A. Brebba y S. Walker, Boundary Element Technques n Engneerng, Newnes Butterworths, UK (1980) HYBRID BOUNDARY ELEMENT FORMULATION TO DIFFUSIVE- ADVECTIVE PROBLEMS Abstract In ths work an alternatve boundary formulaton to convectve heat transfer for potental flud flow s presented. The recent Quas-Dual approach s used, but the man purpose s to rewrte the governng ntegral equaton n terms of the potental velocty functon and to dvde the advectve ntegral n four terms. Three of them are ntegrated wthout approxmatons and the last one s transformed accordng to the Quas-Dual formulaton procedure. Usng constant boundary elements, the numercal soluton of one and two-dmensonal problems s shown and these results are compared wth tradtonal Dual Recprocty formulaton results and analytcal ones. Keywords Boundary Element Method, Quas-Dual recprocty, potental flow, dffusve-adjectves problems, numercal smulaton.