Todo mteril contido nest list foi desenvolvid pelo professor Lucs Octvio de Souz e não pssou por nenum lterção
Geometri de Posição e Geometri Espcil Métric esumo teórico e exercícios. º olegil / urso Extensivo. utor - Lucs Octvio de Souz (Jec)
Geometri de Posição e Geometri Espcil Métric. elção ds uls. Págin ul 01 - onceitos fundmentis de Geometri de Posição... ul 0 - Poliedros convexos... ul 0 - Prisms... ul 04 - Pirâmides... ul 05 - ilindro de revolução... ul 06 - one de revolução... ul 07 - Esfers... ul 08 - Sólidos semelntes... ul 09 - Exercícios diversos sobre sólidos compostos... 0 17 1 0 8 45 51 56 61 onsiderções geris. Este estudo de Geometride Posição e de Geometri Espcil Métric tem como objetivo complementr o curso que desenvolvo com os lunos de º olegil e de curso pré-vestibulr. Não tem pretensão de ser um obr cbd e, muito menos, perfeit. Os exercícios cujos números estão relçdos com um círculo representm os exercícios que considero necessários à compreensão de cd ul. Nd impede que mis, ou outros exercícios sejm feitos, critério do professor. utorizo o uso pelos cursinos comunitários que se interessrem pelo mteril, desde que mntenm min utori e não tenm lucro finnceiro com o mteril. Peço, entretnto que me comuniquem sobre o uso. Ess comunicção me drá sensção de estr contribuindo pr judr lguém. Peço todos, que perdoem eventuis erros de digitção ou de resolução e que me comuniquem sobre esses erros, pr que poss corrigí-los e melorr este trblo. Meu e-mil - jecjec@uol.com.br Um brço. Jec (Lucs Octvio de Souz) Edição de 014 Jec 01
Estudos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs Octvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri de Posição ul 01 onceitos fundmentis d Geometri de Posição. GEOMETI E POSIÇÃO. Geometri de Posição é prte d Geometri que estud determinção dos elementos geométricos, bem como s posições reltivs e s interseções desses elementos no espço. ) Ponto -,, P, b) et -, b, r, c) Plno -, b, g, 1) Elementos d Geometri. c) eterminção de plno. Um plno fic determindo : I - Por três pontos distintos não colineres. II - Por um ret e um ponto for del. ) eterminção dos elementos. P r ) eterminção de ponto. Um ponto fic determindo : I - Pelo cruzmento de dus rets concorrentes. III - Por dus rets prlels distints. P r s r s II - Pelo cruzmento de um ret com um plno. r P IV - Por dus rets concorrentes. ) ombinções dos elementos. (dois dois) s r b) eterminção de ret. Um ret fic determind : I - Por dois pontos distintos. r ) Ponto - ponto. b) Ponto - ret. c) Ponto - plno. d) et - ret. e) et - plno. f) Plno - plno. II - Por um ponto e um direção. 4) Posições reltivs e interseções dos elementos dois dois. direção P 4) Ponto - ponto. s posições reltivs que dois pontos podem ssumir são : I - Os dois pontos são coincidentes. III - Pelo cruzmento de dois plnos. b r = ( ou ) II - Os dois pontos são distintos. = O Jec 0 4
4b) Ponto - ret. s posições reltivs que um ponto e um ret podem ssumir são : I - O ponto está contido n ret. P r P r = P ets perpendiculres. (cso prticulr de rets concorrentes) us rets concorrentes são dits perpendiculres se fzem entre si ângulos de 90º. (no plno) II - O ponto está for d ret. P r P r = O ) ets reverss (ou não coplnres) us rets são dits reverss ou não coplnres se não existe um plno que s contém. 4c) Ponto - plno. s posições reltivs que um ponto e um plno podem ssumir são : ets ortogonis. (cso prticulr de rets reverss) us rets reverss são dits ortogonis se fzem entre si ângulos de 90º. (no espço) I - O ponto está contido no plno. P s P P = P r P s r s = O II - O ponto está for do plno. P 4e) et - plno. P P = O s posições reltivs que um ret e um plno podem ssumir são : I - ret está contid no plno. 4d) et - ret. 1) ets coplnres. us rets são dits coplnres se existe um plno que s contém. r r = r s posições reltivs que dus rets coplnres podem ssumir são : I - us rets prlels coincidentes. II - ret é prlel o plno. r r s r s = r (ou s) r r = O II - us rets prlels distints. s r r s = O III - ret é secnte ou concorrente com o plno. r P é cmdo de trço de r em. III - us rets concorrentes. P s r r s = P P r = P Jec 0 5
et perpendiculr o plno. (cso prticulr de ret secnte o plno) Teorem. Um ret é perpendiculr um plno se é perpendiculr ou ortogonl dus rets concorrentes do plno. 4f) Plno - plno. s posições reltivs que dois plnos podem ssumir são : I - ois plnos prlelos coincidentes. t s b r b = (ou b) r Projeções ortogonis ( Sombr ) P s Projeções ortogonis em r. t - Projeção ortogonl de P em r. - Projeção ortogonl de P em s. - Projeção ortogonl de P em t. istânci. E E = istânci entre dus rets reverss. distânci entre dus rets reverss é medid do segmento que tem extremiddes ns dus rets e que é simultnemente perpendiculr esss rets. r II - ois plnos prlelos distintos. d s r b b = O Ângulo. Ângulo entre ret e plno. É o ângulo formdo entre ret e projeção ortogonl d ret sobre o plno. P III - ois plnos secntes (ou concorrentes) P q b r b = r Ângulo entre dois plnos. É o ângulo formdo por dus rets, um de cd plno, perpendiculres à intersecção dos dois plnos num mesmo ponto. Plnos perpendiculres. (cso prticulr de plnos secntes ou concorrentes) q Teorem. ois plnos são perpendiculres entre si se um deles contém um ret perpendiculr o outro. t b Jec 04 Intersecção Onde se lê etermin Existe um Um único oincidentes istintos Existe e é único Entende-se Existe pelo menos um. Um e somente um. oncorrentes Se cruzm. olineres oplnres eversos Têm todos os pontos em comum. Têm pelo menos um ponto diferente. Existe um ret que os contém. Existe um plno que os contém. Não existe um plno que os contém. 6
01) ( ) 0) ( ) 0) ( ) 04) ( ) 05) ( ) 06) ( ) 07) ( ) 08) ( ) 09) ( ) 10) ( ) 11) ( ) 1) ( ) 1) ( ) 14) ( ) 15) ( ) 16) ( ) 17) ( ) 18) ( ) 19) ( ) 0) ( ) 1) ( ) ) ( ) ) ( ) 4) ( ) 5) ( ) 6) ( ) 7) ( ) 8) ( ) 9) ( ) 0) ( ) 1) ( ) ) ( ) ) ( ) 4) ( ) 5) ( ) 6) ( ) 7) ( ) esponder V se verddeir ou se fls ns firmções bixo. O ponto não tem dimensão. Um ret contém infinitos pontos. Um plno contém infinitos pontos. Por um ponto sempre pss um ret. dos dois pontos distintos, existe e é único o plno que os contém. Três pontos distintos determinm um plno. Três pontos distintos e não colineres determinm um plno. Três pontos colineres são coplnres. Por um ret pssm infinitos plnos. Todo plno contém infinits rets. Um ponto sepr um ret em dus semirrets. Um ponto pertencente um ret, sepr ess ret em dus semirrets. Um ret divide um plno em dois semiplnos. Um ret pertencente um plno, divide esse plno em dois semiplnos. Qulquer plno divide o espço em dois semiespços. ois semiplnos são sempre coplnres. ois semiplnos opostos são sempre coplnres. Se dois pontos pertencem semiplnos opostos, então o segmento que os une intercept origem dos dois semiplnos. Existem infinitos semiplnos de mesm origem. Três pontos distintos não são colineres. us rets que têm um ponto comum são concorrentes. us rets que têm um único ponto comum são concorrentes. us rets distints que têm um ponto comum são concorrentes. Um ret e um ponto determinm um plno. Um ret e um ponto for del determinm um plno. us rets distints determinm um plno. us rets prlels determinm um plno. Três rets, dus dus prlels distints, determinm três plnos. Três rets, dus dus prlels distints, determinm um único ou três plnos. Três rets, dus dus concorrentes em pontos distintos, são coplnres. O espço contém infinitos pontos, infinits rets e infinitos plnos. Qutro pontos coplnres, distintos e não colineres, são vértices de um qudrilátero. Qutro pontos coplnres, distintos e não colineres três três, são vértices de um qudrilátero. Qutro pontos distintos e não coplnres, três três determinm qutro plnos distintos. us rets prlels distints e um ponto for dels, determinm um único ou três plnos. us rets concorrentes e um ponto for dels determinm três plnos. Se dus rets não têm ponto em comum, então els são reverss. Jec 05 8) ( ) 9) ( ) 40) ( ) 41) ( ) 4) ( ) 4) ( ) 44) ( ) 45) ( ) 46) ( ) 47) ( ) 48) ( ) 49) ( ) 50) ( ) 51) ( ) 5) ( ) 5) ( ) 54) ( ) 55) ( ) 56) ( ) 57) ( ) 58) ( ) 59) ( ) 60) ( ) 61) ( ) 6) ( ) 6) ( ) 64) ( ) 65) ( ) 66) ( ) 67) ( ) 68) ( ) Um ponto contido num plno divide esse plno em dois semiplnos. Um ret secnte um plno divide ess plno em dois semiplnos. Se dus rets são prlels, então els não têm ponto em comum. us rets prlels um terceir são prlels entre si. us rets ortogonis formm ângulo reto. Se dus rets distints não são prlels, então são concorrentes. Se três rets são prlels, então existe um plno que s contém. Um ret e um plno secntes têm um ponto comum. Três pontos não colineres são sempre distintos. Um ret e um plno prlelo não têm ponto comum. Um ret está contid num plno qundo eles coincidem. Se um ret é prlel um plno, então el é prlel um ret do plno. Se um ret é prlel um plno, então el é prlel tods s rets do plno. Se um ret é prlel um plno, então el é revers um ret do plno. Se um ret é prlel um plno, então el é ortogonl um únic ret do plno. Se um ret é secnte um plno, então ess ret é concorrente com infinits rets desse plno. Se um ret é prlel um plno, então existe no plno um ret concorrente com el. Se dus rets são reverss, então qulquer ret que concorre com um dels concorre com outr. Se dus rets distints são prlels, então todo plno que contém um é prlelo ou contém outr. Se dus rets são reverss, então qulquer plno que contém um intercept outr. Se dus rets distints são prlels um plno, então são prlels entre si. do um ret e um plno quisquer, existe no plno um ret prlel à ret dd. ds dus rets distints quisquer, existe um plno que contém um e é prlelo à outr. ois plnos secntes têm como interseção um ret. Se dois plnos distintos têm um ponto comum então eles são secntes. ois plnos que têm um ret comum são secntes. ois plnos que têm um únic ret comum são secntes. ds dus rets reverss, existe um plno que s contém. ois plnos distintos são secntes. Se dois plnos distintos são prlelos entre si, então um ret de um deles e um ret do outro são prlels entre si ou reverss. Se dois plnos são prlelos um ret, então são prlelos entre si. 7
69) ( ) 70) ( ) 71) ( ) 7) ( ) 7) ( ) 74) ( ) 75) ( ) 76) ( ) 77) ( ) 78) ( ) 79) ( ) 80) ( ) 81) ( ) 8) ( ) 8) ( ) 84) ( ) 85) ( ) 86) ( ) 87) ( ) 88) ( ) 89) ( ) 90) ( ) 91) ( ) 9) ( ) Se um ret é prlel dois plnos secntes, então el é prlel à interseção desses plnos. Se dois plnos distintos são prlelos, então tod ret prlel um deles é prlel o outro. Se dois plnos distintos são prlelos um terceiro, então são prlelos entre si. Se um ret é perpendiculr um plno, então el é perpendiculr um ret do plno. Se um ret é perpendiculr um plno, então el é perpendiculr tods s rets desse plno. Se um ret é perpendiculr um plno, então el é perpendiculr infinits rets desse plno. Se um ret é perpendiculr um plno, então el é perpendiculr ou ortogonl tods s rets do plno. Um ret é perpendiculr um plno se é perpendiculr dus rets desse plno. Um ret é perpendiculr um plno se é perpendiculr dus rets concorrentes desse plno. Se um ret e um plno são prlelos, então tod ret perpendiculr à ret dd é perpendiculr o plno. Por um ponto ddo pode-se conduzir um únic ret perpendiculr um plno ddo. ois plnos perpendiculres um terceiro, podem ser perpendiculres entre si. Se dois plnos são perpendiculres um mesm ret, então são prlelos entre si. Se um ret é ortogonl dus rets prlels distints, então el é prlel o plno que s contém. Se um ret é perpendiculr um plno, então tod ret perpendiculr el é prlel o plno. Se um ret é prlel um ret do plno, então el é prlel o plno. ds dus rets reverss, existe um plno que contém um e é perpendiculr à outr. s intersecções de dois plnos prlelos com um terceiro plno, são rets prlels. Se um plno contém dus rets concorrentes e mbs prlels um outro plno, então esses plnos são prlelos entre si. projeção ortogonl de um ponto sobre um plno é um ponto. projeção ortogonl de um ret sobre um plno é um ret. projeção ortogonl de um ret sobre um plno é um ponto ou um ret. projeção ortogonl de um qudrilátero plno sobre um plno é um qudrilátero. projeção ortogonl de um plno sobre outro plno é um plno ou um ret. 01 - V 0 - V 0 - V 04 - V 05-06 - 07 - V 08 - V 09 - V 10 - V 11-1 - V 1-14 - V 15 - V 16-17 - V 18 - V 19 - V 0-1 - - V - V 4-5 - V 6-7 - 8-9 - V 0 - V 1 - V - - V 4 - V 5 - V 6-7 - 8-9 - 40 - GITO 41 - V 4 - V 4-44 - 45 - V 46 - V 47 - V 48-49 - V 50-51 - V 5-5 - V 54-55 - 56 - V 57-58 - 59-60 - 61 - V 6 - V 6-64 - V 65-66 - 67 - V 68-69 - V 70-71 - V 7 - V 7-74 - V 75 - V 76-77 - V 78-79 - V 80 - V 81 - V 8-8 - 84-85 - 86 - V 87 - V 88 - V 89-90 - V 91-9 - V Jec 06 8
Estudos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs Octvio de Souz) (São João d o Vist - SP) 01) (UVEST) Um formig resolveu ndr de um vértice outro do prism reto de bses tringulres e EG, seguindo um trjeto especil. El prtiu do vértice G, percorreu tod rest perpendiculr à bse, pr em seguid cminr tod digonl d fce G e, finlmente completou seu psseio percorrendo rest revers G. formig cegou o vértice : ) b) c) d) e) E E G Geometri de Posição ul 01 Exercícios complementres. (Geometri de Posição) 0) (P-SP) O glpão d figur seguir está no prumo e cumeeir está "bem no meio" d prede. t s 4 m v cumeeir u 4 m m r s rets ssinlds, podemos firmr que: ) t e u são reverss. b) s e u são reverss. c) t e u são concorrentes. d) s e r são concorrentes. e) t e u são perpendiculres. 0) (Unifesp-SP) ois segmentos dizem-se reversos qundo não são coplnres. Nesse cso, o número de pres de rests reverss num tetredro, como o d figur, é: ) 6 b) c) d) 1 e) 0 04) (Vunesp-SP) N figur seguir o segmento é perpendiculr o plno, e estão contidos nesse plno e é perpendiculr. Se = cm, = 4 cm e = cm, ce distânci de. 05) (Unimontes-MG) "m-se projeção ortogonl de um figur sobre um plno o conjunto de tods s projeções ortogonis dos pontos d figur sobre esse plno." N figur bixo, determine medid d projeção ortogonl do segmento sobre o plno. t 60º p e p são plnos secntes p e t t e t = 10 cm T T Jec 07 06) (tec-sp) N figur expost tem-se: o plno definido pels rets c e d, perpendiculres entre si; ret b, perpendiculr em, com c, o ponto, intersecção de c e d. Se X é um ponto de b, X, então ret s, definid por X e : ) é prlel à ret c. b) é prlel à ret b c) está contid no plno. d) é perpendiculr à ret d. e) é perpendiculr à ret b. b d c 9
Estudos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs Octvio de Souz) (São João d o Vist - SP) 01) (UVEST) Um formig resolveu ndr de um vértice outro do prism reto de bses tringulres e EG, seguindo um trjeto especil. El prtiu do vértice G, percorreu tod rest perpendiculr à bse, pr em seguid cminr tod digonl d fce G e, finlmente completou seu psseio percorrendo rest revers G. formig cegou o vértice : ) b) c) d) e) E G síd esp e) 0) (Unifesp-SP) ois segmentos dizem-se reversos qundo não são coplnres. Nesse cso, o número de pres de rests reverss num tetredro, como o d figur, é: ) 6 b) c) d) 1 e) 0 é revers. é revers. é revers. Três pres de rets reverss. (resp. b) E cegd Geometri de Posição ul 01 Exercícios complementres. (Geometri de Posição) 0) (P-SP) O glpão d figur seguir está no prumo e cumeeir está "bem no meio" d prede. t s 4 m v cumeeir u 4 m m r s rets ssinlds, podemos firmr que: ) t e u são reverss. b) s e u são reverss. c) t e u são concorrentes. d) s e r são concorrentes. e) t e u são perpendiculres. t e u são rets reverss pois não são prlels entre si e pertencem plnos prlelos distintos. ) 04) (Vunesp-SP) N figur seguir o segmento é perpendiculr o plno, e estão contidos nesse plno e é perpendiculr. Se = cm, = 4 cm e = cm, ce distânci de. 4 x x = + 4 x = 5 cm d x d = + 5 d = 9 cm 05) (Unimontes-MG) "m-se projeção ortogonl de um figur sobre um plno o conjunto de tods s projeções ortogonis dos pontos d figur sobre esse plno." N figur bixo, determine medid d projeção ortogonl do segmento sobre o plno. t 60º p e p são plnos secntes p e t t e t = 10 cm 10 60º X T T cos 60º = x / 10 x = 10 cos 60º x = 10. 1 / x = 5 cm Jec 07 06) (tec-sp) N figur expost tem-se: o plno definido pels rets c e d, perpendiculres entre si; ret b, perpendiculr em, com c, o ponto, intersecção de c e d. Se X é um ponto de b, X, então ret s, definid por X e : ) é prlel à ret c. b) é prlel à ret b c) está contid no plno. d) é perpendiculr à ret d. e) é perpendiculr à ret b. X b d c ret d é perpendiculr à ret X porque ret d é perpendiculr o plno X. (resp. d) 10
07) (P-SP) figur bixo mostr um port entrebert e o cnto de um sl: x 08) (uvest-sp) São ddos um plno, um ret r contid em e um ret s perpendiculr r, ms não. emonstre que projeção ortogonl de s sobre é perpendiculr r. r t z s y s rets r e s; s e t; x e r têm, respectivmente, s posições reltivs: ) prlels, prlels e perpendiculres. b) prlels, perpendiculres e reverss. c) prlels, perpendiculres e perpendiculres. d) reverss, prlels e perpendiculres. e) perpendiculres, reverss e prlels. 09) (Vunesp-SP) Sobre perpendiculridde não se pode firmr: ) Se um ret é perpendiculr dus rets concorrentes de um plno, então é perpendiculr esse plno. b) Existem 4 rets pssndo por um ponto, tis que sejm perpendiculres dus dus. c) Se um ret é perpendiculr um plno, existem infinits rets desse plno perpendiculres el. d) ets distints perpendiculres o mesmo plno são prlels. e) dos um ret e um ponto distintos, podemos pssr um e pens um plno perpendiculr à ret e pssndo pelo ponto. 10) (tec-sp) O ponto pertence à ret r, contid no plno. ret s, perpendiculr, o intercept no ponto. O ponto pertence s e dist 5 cm de. Se projeção ortogonl de em r mede 5 cm e o ponto dist 6 cm de r, então distânci de, em centímetros, é igul : ) 9 5 b) 9 c) 7 d) 4 e) 5 11) (uvest-sp) O segmento é um diâmetro de um circunferênci e, um ponto del, distinto de e de. ret V, V =, é perpendiculr o plno d circunferênci. O número de fces do tetredro V que são triângulos retângulos é: ) 0 b) 1 c) d) e) 4 1) (uvest-sp) São ddos 5 pontos não-coplnres,,,, E. Sbe-se que é um retângulo, E perpendiculr e E perpendiculr. Pode-se concluir que são perpendiculres s rets: ) E e E b) E e c) E e d) E e e) e E Jec 08 11
07) (P-SP) figur bixo mostr um port entrebert e o cnto de um sl: x r e s são prles s e t são perpendiculres x e r são reverss r (resp. b) s y s rets r e s; s e t; x e r têm, respectivmente, s posições reltivs: ) prlels, prlels e perpendiculres. b) prlels, perpendiculres e reverss. c) prlels, perpendiculres e perpendiculres. d) reverss, prlels e perpendiculres. e) perpendiculres, reverss e prlels. t z 08) (uvest-sp) São ddos um plno, um ret r contid em e um ret s perpendiculr r, ms não. emonstre que projeção ortogonl de s sobre é perpendiculr r. r s r é perpendiculr s (do enuncido). ' é perpendiculr porque é projeção ortogonl. ret r é perpendiculr ou ortogonl dus rets concorrentes do plno '. Portnto ret r é perpendiculr o plno '. Se ret ' está contid no plno ', então ret r é perpendiculr à ret '. (Q) ' 09) (Vunesp-SP) Sobre perpendiculridde não se pode firmr: ) Se um ret é perpendiculr dus rets concorrentes de um plno, então é perpendiculr esse plno. b) Existem 4 rets pssndo por um ponto, tis que sejm perpendiculres dus dus. c) Se um ret é perpendiculr um plno, existem infinits rets desse plno perpendiculres el. d) ets distints perpendiculres o mesmo plno são prlels. e) dos um ret e um ponto distintos, podemos pssr um e pens um plno perpendiculr à ret e pssndo pelo ponto. ) V b) c) V s d) V e) V É possível pssr rets perpendiculres entre si num mesmo ponto. 11) (uvest-sp) O segmento é um diâmetro de um circunferênci e, um ponto del, distinto de e de. ret V, V =, é perpendiculr o plno d circunferênci. O número de fces do tetredro V que são triângulos retângulos é: ) 0 b) 1 c) d) e) 4 V t r cubo V e V são retos pois V é perpendiculr o plno. é reto porque é um triângulo inscrito num semicircunferênci. V é reto porque é perpendiculr o plno V. ( é perpendiculr e é ortogonl V) Teorem - Um ret é perpendiculr um plno se é perpendiculr ou ortoggonl dus rets concorrentes desse plno. resp. e) Jec 08 10) (tec-sp) O ponto pertence à ret r, contid no plno. ret s, perpendiculr, o intercept no ponto. O ponto pertence s e dist 5 cm de. Se projeção ortogonl de em r mede 5 cm e o ponto dist 6 cm de r, então distânci de, em centímetros, é igul : ) 9 5 b) 9 c) 7 d) 4 e) 5 x = 5 + 6 x = 61 x = 61 cm = 5 cm = 5 cm (proj. ortogonl) = 6 cm 1) (uvest-sp) São ddos 5 pontos não-coplnres,,,, E. Sbe-se que é um retângulo, E perpendiculr e E perpendiculr. Pode-se concluir que são perpendiculres s rets: ) E e E b) E e E c) E e d) E e e) e E d x s d = ( 5 ) + x d = 0 + 61 = 81 d = 9 cm (resp. b) São perpendiculres s rets E e. (resp. d) r ret E é perpendiculr o plno porque é perpendiculr às rets e, que pertencem. Portnto ret E é perpendiculr qulquer ret de que psse por. 1
1) (uvest-sp) São ddos um plno p, um ponto P do mesmo e um ret r oblíqu p que o fur num ponto distinto de P. Mostre que existe um únic ret por P, contid em p, e ortogonl r. 14) (IT-SP) Qul ds firmções bixo é verddeir? ) Três pontos, distintos dois dois, determinm um plno. b) Um ponto e um ret determinm um plno. c) Se dois plnos distintos têm um ponto em comum, tl ponto é único. d) Se um ret é prlel um plno e não está contid neste plno, então el é prlel qulquer ret desse plno. e) Se é o plno determindo por dus rets concorrentes r e s, então tod ret m desse plno, que é prlel à r, não será prlel à ret s. 15) (Uminontes-MG) Sejm r, s e t três rets no espço. nlise s seguintes firmções: ( ) Se r e s são prlels, então existe um plno que s contém. ( ) Se intersecção de r e s é o conjunto vzio, então r é prlel s. ( ) Se r, s e t são dus dus prlels, então existe um plno que s contém. ( ) Se r s = O e r não é prlel s, então r e s são reverss. U onsiderndo V pr sentenç verddeir e pr sentenç fls, sequênci corret que clssific esss firmções é: ) V, V, V, V. b), V, V,. c) V,,, V. d) V, V,,. 16) (PU-SP) Qul ds firmções bixo é verddeir? ) Se dus rets distints não são prlels, então els são concorrentes. b) us rets não coplnres são reverss. c) Se intersecção de dus rets é o conjunto vzio, então els são prlels. d) Se três rets são prlels, existe um plno que s contém. e) Se três rets distints são dus dus concorrentes, então els determinm um e um só plno. 17) (Mckenzie-SP) ssinle únic proposição verddeir. ) Um ret é perpendiculr um plno, qundo el é perpendiculr tods s rets do plno. b) ois plnos distintos perpendiculres um terceiro são prlelos entre si. c) projeção ortogonl de um ret num plno é sempre um ret. d) Um plno prlelo dus rets de um plno é prlelo o plno. e) us rets perpendiculres, respectivmente, três plnos prlelos, são prlels. 18) (EI-SP) ssinle proposição fls. ) Por um ret perpendiculr um plno pss pelo menos um plno perpendiculr. b) projeção ortogonl sobre um plno de um segmento oblíquo é menor do que o segmento. c) Um ret ortogonl dus rets concorrentes de um plno é perpendiculr o plno. d) Um plno perpendiculr à dois plnos concorrentes é perpendiculr à intersecção deles. e) No espço, dus rets perpendiculres um terceir ret são prlels. Jec 09 1
1) (uvest-sp) São ddos um plno p, um ponto P do mesmo e um ret r oblíqu p que o fur num ponto distinto de P. Mostre que existe um únic ret por P, contid em p, e ortogonl r. emonstrção 15) (Uminontes-MG) Sejm r, s e t três rets no espço. nlise s seguintes firmções: ( V) Se r e s são prlels, então existe um plno que s contém. ( ) Se intersecção de r e s é o conjunto vzio, então r é prlel s. ( ) Se r, s e t são dus dus prlels, então existe um plno que s contém. ( V) Se r s = O e r não é prlel s, então r e s são reverss. U p Sejm e dois pontos d ret r e ' e ' sus projeções ortogonis sobre o plno p. ret de p ortogonl r é únic ret de p que pss por P e é perpendiculr à ret ''. Portnto é únic. (Q) onsiderndo V pr sentenç verddeir e pr sentenç fls, sequênci corret que clssific esss firmções é: ) V, V, V, V. b), V, V,. c) V,,, V. d) V, V,,. ' P ' r 14) (IT-SP) Qul ds firmções bixo é verddeir? ) Três pontos, distintos dois dois, determinm um plno. b) Um ponto e um ret determinm um plno. c) Se dois plnos distintos têm um ponto em comum, tl ponto é único. d) Se um ret é prlel um plno e não está contid neste plno, então el é prlel qulquer ret desse plno. e) Se é o plno determindo por dus rets concorrentes r e s, então tod ret m desse plno, que é prlel à r, não será prlel à ret s. ) b) c) d) e) V 16) (PU-SP) Qul ds firmções bixo é verddeir? ) Se dus rets distints não são prlels, então els são concorrentes. b) us rets não coplnres são reverss. c) Se intersecção de dus rets é o conjunto vzio, então els são prlels. d) Se três rets são prlels, existe um plno que s contém. e) Se três rets distints são dus dus concorrentes, então els determinm um e um só plno. esp. b) r s m // r evers é sinônimo de não coplnr. m us rets são reverss se não existe um plno que s contém. resp. c) 17) (Mckenzie-SP) ssinle únic proposição verddeir. ) Um ret é perpendiculr um plno, qundo el é perpendiculr tods s rets do plno. b) ois plnos distintos perpendiculres um terceiro são prlelos entre si. c) projeção ortogonl de um ret num plno é sempre um ret. d) Um plno prlelo dus rets de um plno é prlelo o plno. e) us rets perpendiculres, respectivmente, três plnos prlelos, são prlels. ) b) c) d) e) V resp. e) 18) (EI-SP) ssinle proposição fls. ) Por um ret perpendiculr um plno pss pelo menos um plno perpendiculr. b) projeção ortogonl sobre um plno de um segmento oblíquo é menor do que o segmento. c) Um ret ortogonl dus rets concorrentes de um plno é perpendiculr o plno. d) Um plno perpendiculr à dois plnos concorrentes é perpendiculr à intersecção deles. e) No espço, dus rets perpendiculres um terceir ret são prlels. ) V b) V c) V d) V e) resp. e) s t r cubo ret r é perpendiculr à ret s. ret r é perpendiculr à ret t. s rets s e t não são prlels entre si. Jec 09 14
19) figur o ldo represent um cubo de vértices,,,, E,, G e H. om bse ness figur e utilizndo os vértices como pontos, s rests como rets suportes ds rets (entende-se: é um ret ms não contém nenum rest) e s fces como plnos, respond s solicitções bixo. Observção - N correção, s resposts ds solicitções serão considerds certs ou errds (não existe meio cert), levndose em considerção o rigor mtemático dos termos próprios d Geometri de Posição. H G ) ite um ret que sej prlel distint com ret. esp. E b) ite um ret que sej perpendiculr à ret H. esp. l) etermine tods s rests do cubo que são ortogonis à ret E. esp. c) ite um ret que sej ortogonl com ret EH. esp. d) ite um ret que sej concorrente com ret. esp. e) ite um plno que sej prlelo distinto com o plno E. esp. f) ite um plno que sej perpendiculr o plno EHG. esp. g) ite um plno que sej secnte ou concorrente com o plno. esp. ) O que é e qul é intersecção entre s rets HG e EH? esp. i) O que é e qul é intersecção entre ret H e o plno? esp. m) etermine tods s rests do cubo que são concorrentes com ret H. esp. n) etermine tods s rests do cubo que são prlels o plno G. esp. o) etermine tods s rests do cubo que são prlels o plno H. esp. p) etermine tods s fces do cubo que são prlels à rest G. esp. q) etermine tods s fces do cubo que são perpendiculres à fce E. esp. r) etermine todos os vértices do cubo que não estão contidos no plno GH. esp. j) O que é e qul é intersecção entre o plno E e o plno GH? esp. s) etermine tods s rests do cubo que são prlels distints à rest. esp. k) etermine tods s rests do cubo que são perpendiculres à ret. esp. t) etermine todos os vértices do cubo que não estão contidos no plno EG. esp. Jec 10 15
19) figur o ldo represent um cubo de vértices,,,, E,, G e H. om bse ness figur e utilizndo os vértices como pontos, s rests como rets suportes ds rets (entende-se: é um ret ms não contém nenum rest) e s fces como plnos, respond s solicitções bixo. Observção - N correção, s resposts ds solicitções serão considerds certs ou errds (não existe meio cert), levndose em considerção o rigor mtemático dos termos próprios d Geometri de Posição. H G ) ite um ret que sej prlel distint com ret. Podem ser citds s rets esp., GH ou E b) ite um ret que sej perpendiculr à ret H. esp. Podem ser citds s rets,, EH ou GH c) ite um ret que sej ortogonl com ret EH. esp. Podem ser citds s rets,, ou G d) ite um ret que sej concorrente com ret. Podem ser citds s rets esp., E, ou H e) ite um plno que sej prlelo distinto com o plno E. esp. HG f) ite um plno que sej perpendiculr o plno EHG. esp. Podem ser citdos os plnos E, G, HG ou EH g) ite um plno que sej secnte ou concorrente com o plno. esp. Podem ser citdos os plnos E, G, HG ou EH ) O que é e qul é intersecção entre s rets HG e EH? esp. intersecção entre s rets HG e EH é um ponto. O ponto H. i) O que é e qul é intersecção entre ret H e o plno? esp. ret H é prlel o plno. Não existe intersecção entre H e. j) O que é e qul é intersecção entre o plno E e o plno GH? esp. É um ret. intersecção entre o plno E e o plno GH é ret E. k) etermine tods s rests do cubo que são perpendiculres à ret. esp.,, e G. E l) etermine tods s rests do cubo que são ortogonis à ret E. esp., H, e G m) etermine tods s rests do cubo que são concorrentes com ret H. esp.,, EH e GH n) etermine tods s rests do cubo que são prlels o plno G. esp., H, HE e E o) etermine tods s rests do cubo que são prlels o plno H. esp. E e G p) etermine tods s fces do cubo que são prlels à rest G. esp. E e HE q) etermine tods s fces do cubo que são perpendiculres à fce E. esp., G, GHE e HE r) etermine todos os vértices do cubo que não estão contidos no plno GH. esp.,, e s) etermine tods s rests do cubo que são prlels distints à rest. esp., GH e E t) etermine todos os vértices do cubo que não estão contidos no plno EG. esp.,,, e H Jec 10 16
0) figur o ldo é um prlelepípedo retorretngulr de dimensões E = 6 cm, = 8 cm e = 10 cm. Os pontos, S, T e U são os centros ds fces HE, HG, G e EGH, respectivmente. Sendo,,,, E,, G e H os vértices desse prlelepípedo, determinr o que se pede em cd questão seguir : ) Quis rests do prlelepípedo são prlels distints à rest? esp. E H U S T G b) Qul posição reltiv entre s rets HG e? esp. m) Quis rests do prlelepípedo são prlels o plno G? esp c) O que é e qul é intersecção entre os plnos e EH? esp. n) Quis fces do prlelepípedo são prlels o plno H? esp. d) Qul distânci entre o ponto T e o plno GH? esp. e) Quis rests do prlepepípedo são perpendiculres à rest E? esp. f) Quis rests do prlelepípedo são ortogonis à rest? esp. g) Quis fces do prlelepípedo são perpendiculres o plno EH? esp. ) Qul distânci entre o ponto e o plno? esp. i) O que é e qul é intersecção entre os plnos GH e H? esp. j) Qul posição reltiv entre s rets e H? esp. l) Qul distânci entre os pontos S e? esp. o) Qul tngente do ângulo formdo entre os plnos e H? esp. p) O que é e qul é intersecção entre s rets H e EG? esp. q) Quis vértices do prlelepípedo distm 10 cm do vértice E? esp r) Quis fces do prlelepípedo contêm o vértice? esp. s) Quis rests do prlelepípedo são ortogonis à ret? esp. t) O que é e qul é intersecção entre os plnos HG e E? esp. u) Qul medid d som dos comprimentos de tods s rests do prlelepípedo? esp. Jec 11 17
0) figur o ldo é um prlelepípedo retorretngulr de dimensões E = 6 cm, = 8 cm e = 10 cm. Os pontos, S, T e U são os centros ds fces HE, HG, G e EGH, respectivmente. Sendo,,,, E,, G e H os vértices desse prlelepípedo, determinr o que se pede em cd questão seguir : ) Quis rests do prlelepípedo são prlels distints à rest? esp. EH, G e E H U S T G b) Qul posição reltiv entre s rets HG e? esp. São rets reverss e ortogonis. c) O que é e qul é intersecção entre os plnos e EH? esp. É um conjunto vzio. Não existe intersecção. d) Qul distânci entre o ponto T e o plno GH? esp. d = 4 cm e) Quis rests do prlepepípedo são perpendiculres à rest E? esp. E, EH, e G m) Quis rests do prlelepípedo são prlels o plno G? esp, H, HE e E n) Quis fces do prlelepípedo são prlels o plno H? esp. E o) Qul tngente do ângulo formdo entre os plnos e H? esp. tg q = 8 / 10 = 4 / 5 p) O que é e qul é intersecção entre s rets H e EG? esp. É um ponto. O ponto U. f) Quis rests do prlelepípedo são ortogonis à rest? esp. E, EH, e G g) Quis fces do prlelepípedo são perpendiculres o plno EH? esp., GH, EGH e E ) Qul distânci entre o ponto e o plno? esp. d = 6 cm i) O que é e qul é intersecção entre os plnos GH e H? esp. É um ret. ret H. j) Qul posição reltiv entre s rets e H? esp. São rets reverss. l) Qul distânci entre os pontos S e? esp. d = 4 + 5 = 41 d = 41 cm Jec 11 q) Quis vértices do prlelepípedo distm 10 cm do vértice E? esp e r) Quis fces do prlelepípedo contêm o vértice? esp., HG e EH s) Quis rests do prlelepípedo são ortogonis à ret? esp. e HG t) O que é e qul é intersecção entre os plnos HG e E? esp. É um ret. ret T. u) Qul medid d som dos comprimentos de tods s rests do prlelepípedo? esp. S = 4. 6 + 4. 8 + 4. 10 = 4 + + 40 S = 96 cm 18
1) figur 01 o ldo represent um prism exgonl regulr de vértices,,,, E,, G, H, I, J, L e M visto em perspectiv, e figur 0 su bse vist por cim. om bse nesss figurs e utilizndo os vértices como pontos, s rets suportes ds rests como rets e s fces como plnos, respond s solicitções bixo. pens usr como resposts s rets que contenm um rest. Por exemplo: E é um ret ms não contém nenum rest. figur 01 H I G J M L Observção - N correção, s resposts ds solicitções serão considerds certs ou errds (não existe meio cert), levndose em considerção o rigor mtemático dos termos próprios d Geometri de Posição. E ) ite um ret que sej prlel distint com ret. esp. figur 0 E b) ite um ret que sej perpendiculr à ret J. esp. c) ite um ret que sej ortogonl com ret E. esp. d) ite um ret que sej concorrente com ret. esp. e) ite um plno que sej prlelo distinto com o plno GM. esp. f) ite um plno que sej perpendiculr o plno JLE. esp. g) ite um plno que sej secnte ou concorrente com o plno H. esp. ) O que é e qul é intersecção entre s rets HG e GM? esp. i) O que é e qul é intersecção entre ret e o plno HI? esp. j) O que é e qul é intersecção entre o plno E e o plno J? esp. k) etermine tods s rets do prism que são perpendiculres à ret G. esp. l) etermine tods s rets do prism que são ortogonis à ret E. esp. m) etermine tods s rets do prism que são concorrentes com ret. esp. n) etermine tods s rets do prism que são prlels o plno E. esp. o) etermine tods s rets do prism que são prlels o plno H. esp. p) etermine tods s fces do prism que são prlels à ret J. esp. q) etermine tods s fces do prism que são perpendiculres à fce E. esp. r) etermine todos os vértices do prism que não estão contidos no plno JL. esp. s) etermine tods s rets do prism que são perpendiculres à ret. esp. t) etermine tods s rets do prism contids no plno GM. esp. Jec 1 19
1) figur 01 o ldo represent um prism exgonl regulr de vértices,,,, E,, G, H, I, J, L e M visto em perspectiv, e figur 0 su bse vist por cim. om bse nesss figurs e utilizndo os vértices como pontos, s rets suportes ds rests como rets e s fces como plnos, respond s solicitções bixo. pens usr como resposts s rets que contenm um rest. Por exemplo: E é um ret ms não contém nenum rest. figur 01 H I G J M L Observção - N correção, s resposts ds solicitções serão considerds certs ou errds (não existe meio cert), levndose em considerção o rigor mtemático dos termos próprios d Geometri de Posição. E ) ite um ret que sej prlel distint com ret. esp. E, JL ou GH figur 0 E b) ite um ret que sej perpendiculr à ret J. esp. JL, JI, E ou c) ite um ret que sej ortogonl com ret E. esp. M, G, H ou I d) ite um ret que sej concorrente com ret., E, E., M ou G esp. e) ite um plno que sej prlelo distinto com o plno GM. esp. JI f) ite um plno que sej perpendiculr o plno JLE. esp. GHIJLM ou E g) ite um plno que sej secnte ou concorrente com o plno H. esp. GHIJLM, E, HI, MG, EML ou JI ) O que é e qul é intersecção entre s rets HG e GM? esp. É um ponto. O ponto G. i) O que é e qul é intersecção entre ret e o plno HI? esp. É um ponto. O ponto. j) O que é e qul é intersecção entre o plno E e o plno J? esp. É um ret. ret. k) etermine tods s rets do prism que são perpendiculres à ret G. esp. GM, GH, e l) etermine tods s rets do prism que são ortogonis à ret E. esp. G, H, I e J Jec 1 m) etermine tods s rets do prism que são concorrentes com ret. esp. E, E,,, I e J n) etermine tods s rets do prism que são prlels o plno E. esp. IJ, JL, LM, MG, GH e HI o) etermine tods s rets do prism que são prlels o plno H. esp. ML, E, J, LE, M e G p) etermine tods s fces do prism que são prlels à ret J. esp. ELM, MG, GH e HI q) etermine tods s fces do prism que são perpendiculres à fce E. esp. HG, IH, JI, ELJ, EML e GM r) etermine todos os vértices do prism que não estão contidos no plno JL. esp. M, G, H, I,,, e s) etermine tods s rets do prism que são perpendiculres à ret. esp. H e G t) etermine tods s rets do prism contids no plno GM. esp. GM, M, e G 0
) s questões bixo referem-se o prlelepípedo retorretngulr EGH o ldo, cujs dimensões são: = 9 cm, = 1 cm e E = 6 cm. E H G ) Qul é distânci, em cm, entre o ponto E e o plno G? ) 6 b) 1 c) 9 d) 8 e) 10 b) Qul é distânci, em cm, entre ret e ret GH? ) 7 5 b) 5 7 c) 5 6 d) 6 5 e) 7 6 c) Qul é distânci, em cm, entre s rets e H? ) 9 b) 6 c) 8 d) 1 e) 10 d) Qul é distânci, em cm, entre o ponto G e ret H? ) 6/5 b) 4/5 c) 18/5 d) 7/5 e) 1/5 e) Qul é distânci, em cm, entre o ponto H e o ponto? ) 7 b) 47 c) 57 d) 61 e) 5 f) Qul é distânci, em cm, entre ret G e ret? ) 109 b) 117 c) 1 d) 11 e) 17 g) Qul é tngente do ângulo formdo entre ret H e fce EGH? ) /5 b) / c) / d) /4 e) 4/ ) Qul é tngente do ângulo formdo entre os plnos G e H? ) / b) 5/ c) / d) /4 e) 4/ Jec 1 1
) s questões bixo referem-se o prlelepípedo retorretngulr EGH o ldo, cujs dimensões são: = 9 cm, = 1 cm e E = 6 cm. E H G ) Qul é distânci, em cm, entre o ponto E e o plno G? ) 6 b) 1 c) 9 d) 8 e) 10 b) Qul é distânci, em cm, entre ret e ret GH? ) 7 5 b) 5 7 c) 5 6 d) 6 5 e) 7 6 E G H E = 9 cm E G H (H) = (E) + (EH) (H) = 6 + 1 (H) = 180 H = 6 5 cm c) Qul é distânci, em cm, entre s rets e H? ) 9 b) 6 c) 8 d) 1 e) 10 d) Qul é distânci, em cm, entre o ponto G e ret H? ) 6/5 b) 4/5 c) 18/5 d) 7/5 e) 1/5 elções métrics no triângulo retângulo. = b. c E G H d = = 6 cm E N G H H. GN = HG. G (H) = 9 + 1 = 5 H = 15 cm 15. GN = 9. 1 GN = 108 / 15 GN = 6 / 5 cm e) Qul é distânci, em cm, entre o ponto H e o ponto? ) 7 5 b) 1 c) 5 11 d) 9 e) 4 17 f) Qul é distânci, em cm, entre ret G e ret? ) 4 7 b) 1 c) 7 d) 8 e) 1 H = 15 cm (clculdo no ítem d) (H) = (H) + () (H) = 15 + 6 = 61 H = 61 = 9 cm (G) = (H) + (HG) (G) = 6 + 9 = 117 G = 117 = 1 cm E H E H G G g) Qul é tngente do ângulo formdo entre ret H e fce EGH? ) /5 b) / c) / d) /4 e) 4/ ) Qul é tngente do ângulo formdo entre os plnos G e H? ) / b) 5/ c) / d) /4 e) 4/ tg q = / H tg q = 6 /15 tg q = / 5 tg q = HG / G tg q = 9 / 6 tg q = / E q H E q H G Jec 1 G
) s peçs 1 e são mciçs e se fossem dividids, junts formrim 8 cubos idênticos. Mntendo-se peç 1 n mesm posição e juntndo-se s peçs 1 e, form-se um sólido composto n form de um cubo mior. Utilizndo os esboços bixo, represente trvés de um deseno visão que você teri olndo frontlmente s fces,,, e E do cubo composto. fce fce E fce fce fce peç 1 peç esboços fce fce fce fce fce fce E 4) s peçs 1 e são mciçs e se fossem dividids, junts formrim 8 cubos idênticos. Mntendo-se peç 1 n mesm posição e juntndo-se s peçs 1 e, form-se um sólido composto n form de um cubo mior. Utilizndo os esboços bixo, represente trvés de um deseno visão que você teri olndo frontlmente s fces,,, e E do cubo composto. fce fce E fce fce fce peç 1 peç esboços fce fce fce fce fce fce E 5) figur 1 mostr um cubo, que se fosse dividido em 7 cubos menores e idênticos, formrim figur, com s sus respectivs fces,, e. figur mostr um prte retird do cubo originl. Mntendo-se bse do cubo n mesm posição, desene nos esboços bixo como você visuliz s fces,, e pós retird do corpo d figur. figur 1 figur figur esboços fce fce fce fce Jec 14
) s peçs 1 e são mciçs e se fossem dividids, junts formrim 8 cubos idênticos. Mntendo-se peç 1 n mesm posição e juntndo-se s peçs 1 e, form-se um sólido composto n form de um cubo mior. Utilizndo os esboços bixo, represente trvés de um deseno visão que você teri olndo frontlmente s fces,,, e E do cubo composto. fce fce E fce fce fce peç 1 peç esboços fce fce fce fce fce fce E 4) s peçs 1 e são mciçs e se fossem dividids, junts formrim 8 cubos idênticos. Mntendo-se peç 1 n mesm posição e juntndo-se s peçs 1 e, form-se um sólido composto n form de um cubo mior. Utilizndo os esboços bixo, represente trvés de um deseno visão que você teri olndo frontlmente s fces,,, e E do cubo composto. fce fce E fce fce fce peç 1 peç esboços fce fce fce fce fce fce E 5) figur 1 mostr um cubo, que se fosse dividido em 7 cubos menores e idênticos, formrim figur, com s sus respectivs fces,, e. figur mostr um prte retird do cubo originl. Mntendo-se bse do cubo n mesm posição, desene nos esboços bixo como você visuliz s fces,, e pós retird do corpo d figur. figur 1 figur figur esboços fce fce fce fce Jec 14 4
J P geometri espcil 6) Um cubo é composto pels fces J,, P, L, G e. figur 1 bixo, mostr o cubo, figur mostr plnificção do cubo com s sus respectivs fces e figur mostr dois observdores, e, olndo frontlmente, e sempre d mesm posição, um ds fces do cubo. Em cd cso bixo, desene form que cd observdor visuliz fce observd. J figur 1 figur G L Observdor J Observdor figur Observdor Observdor J (exemplo) P L figur 1 ) Observdor Observdor P L figur 1 b) Observdor Observdor L G J figur 1 c) Observdor Observdor G P figur 1 d) Observdor Observdor G J J figur 1 e) Observdor Observdor L figur 1 Jec 15 5
J P G geometri espcil 6) Um cubo é composto pels fces J,, P, L, G e. figur 1 bixo, mostr o cubo, figur mostr plnificção do cubo com s sus respectivs fces e figur mostr dois observdores, e, olndo frontlmente, e sempre d mesm posição, um ds fces do cubo. Em cd cso bixo, desene form que cd observdor visuliz fce observd. J figur 1 figur G L Observdor J Observdor figur Observdor Observdor J (exemplo) P L figur 1 ) Observdor Observdor P L J figur 1 b) Observdor Observdor G L figur 1 J P c) Observdor Observdor G P J figur 1 d) Observdor Observdor G J L P J figur 1 e) Observdor Observdor L figur 1 Jec 15 6
G geometri espcil esposts d ul 01 s resposts ds firmções Verddeirs ou lss ds págins 05 e 06 estão n págin 06. esposts d ul 01 - Exercícios complementres. 01) e 0) 0) b 04) = 9 cm 05) 5 cm 06) d 07) b 08) emonstrção r r é perpendiculr s (do enuncido). ' é perpendiculr porque é projeção ortogonl. ret r é perpendiculr ou ortogonl dus rets concorrentes do plno '. Portnto ret r é perpendiculr o plno '. Se ret ' está contid no plno ', então ret r é perpendiculr à ret '. (Q) 09) b r 10) b 11) e 1) d 1) emonstrção p Sejm e dois pontos d ret r e ' e ' sus projeções ortogonis sobre o plno p. ret de p ortogonl r é únic ret de p que pss por P e é perpendiculr à ret ''. Portnto é únic. (Q) 14) e 15) c 16) b 17) e 18) e 19) ), HG ou E b),, EH ou GH c),, ou G d), H, E ou e) H f) E, H, G ou E g) E, H, G ou E ) o ponto H i) não existe intersecção j) ret E k),, e G l), G, e H m),, EH e GH n), H, HE e E o) E e G p) E e H q), G, EG e EH r),, e s), GH e E t),,, H e 0) ), G e EH b) rets reverss e ortogonis c) não existe intersecção d) 4 cm e) E, EH, e G f) E, EH, e G g), HG, HE e E ) 6 cm s ' ' P esposts d ul 01. ' Jec 16 0) i) ret H j) rets reverss l) 41 cm m), H, HE e E n) o) 4/5 p) o ponto U q) e r), H e H s) e HG t) ret T u) 96 cm 1) ) E, JL ou HG b) JI, JL, ou E c) I, H, G ou M d),, G, M, E ou E e) J f) JLM ou E g) GHI,, I, I, M ou EM ) o ponto G i) o ponto j) ret k) GH, GM, e l) J, I, H e G m) E, E, J, I, e n) HI, IJ, JL, LM, MG e GH o) ML, E, J, LE, M e G p) H, HG, GM e ML q) GH, MG, LME, JL, IJ e HI r) M, G, H, I,,, e s) H e G t) GM, M, G e ) ) c b) d c) b d) e) d f) b g) ) c ) 4) 5) 6) ) b) c) d) e) fce fce fce fce fce E fce fce fce fce fce E fce fce fce fce Obs. J L Obs. P J P vor comunicr eventuis erros deste trblo trvés do e-mil jecjec@uol.com.br Obrigdo. 7
Estudos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs Octvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri Espcil Métric ul 0 Poliedros convexos. I - Elementos dos poliedros. Poliedro - É região do espço limitd por qutro ou mis polígonos plnos. ce do poliedro - É qulquer polígono plno que limit o poliedro. ângulo poliédrico rest fce rest do poliedro - É o segmento obtido d intersecção de dus fces. Vértice do poliedro - É o ponto obtido d intersecção de três ou mis rests. Ângulo poliédrico - É região do espço constituíd por um vértice e três ou mis rests. Poliedro convexo - Um poliedro é dito convexo se, ddos dois pontos quisquer do poliedro, o segmento que os une está inteirmente contido nele. vértice poliedro convexo poliedro não convexo lssificção dos poliedros. 4 fces - tetredro 5 fces - pentedro 6 fces - exedro 7 fces - eptedro 8 fces - octedro 9 fces - eneedro 10 fces - decedro 11 fces - undecedro 1 fces - dodecedro 1 fces - tridecedro 14 fces - qudridecedro 15 fces - pentdecedro 16 fces - exdecedro 17 fces - eptdecedro 18 fces - octodecedro 19 fces - enedecedro 0 fces - icosedro lssificção dos ângulos poliédricos. rests - ângulo triédrico 4 rests - ângulo tetrédrico 5 rests - ângulo pentédrico 6 rests - ângulo exédrico etc Poliedros de Pltão. Um poliedro é dito de Pltão se: - é convexo e fecdo; - tem tods s fces do mesmo tipo; - tem todos os vértices do mesmo tipo. elção de Euler. Todo poliedro convexo e fecdo stisfz relção: V - + = Som ds medids dos ângulos internos de tods s fces do poliedro convexo. S = 60 (V - ) álculo do número de rests de um poliedro convexo. ) trvés ds fces. b) trvés dos vértices. = n. m. V = - número de rests do poliedro. n - número de ldos de cd fce. - número de fces do mesmo tipo. m - número de rests de cd vértice poliédrico. V - número de vértices poliédricos do mesmo tipo. V - nº de vértices - nº de rests - nº de fces S - som dos ângulos V - nº de vértices Poliedro regulr. Um poliedro é dito regulr se tem tods s fces formds por polígonos regulres e congruentes. Existem pens 5 poliedros regulres Existem pens 5 poliedros de Pltão. Tetredro Hexedro Octedro odecedro Icosedro é de Pltão não é de Pltão Jec 17 Tetredro regulr Hexedro regulr Octedro regulr odecedro regulr Icosedro regulr 4 5 nº de ldos de cd fce - Todo poliedro regulr é de Pltão ms nem todo poliedro de Pltão é regulr. - Todo poliedro regulr pode ser inscrito e circunscrito num esfer. 8
Poliedros regulres (T H O I) Tetredro Hexedro Octedro odecedro Icosedro 01) etermine o número de vértices de um poliedro convexo fecdo que tem 1 fce pentgonl, 5 fces tringulres e 5 fces qudrngulres. 0) etermine o número de fces de um poliedro convexo fecdo que tem 6 vértices triédricos e 14 vértices tetrédricos. Observção - figur foi colocd no exercício pr que o luno poss comprovr vercidde dos cálculos. 0) etermine o número de vértices de um poliedro convexo e fecdo que tem 1 fce exgonl, 4 fces tringulres e fces qudrngulres. Observção - figur foi colocd no exercício pr que o luno poss comprovr vercidde dos cálculos. 04) etermine o número de fces de um poliedro convexo e fecdo que tem 7 vértices tetrédricos e vértices eptédricos. 05) (UJ-MG) figur seguir represent plnificção de um poliedro convexo. O número de vértices desse poliedro é: ) 1 b) 14 c) 16 d) 0 e) 06) (UTM-MG) Um poliedro convexo, com rests e 14 vértices, possui pens fces tringulres e qudrngulres. Sendo q o número de fces qudrngulres e t o número de fces tringulres, então os vlores de q e t são, respectivmente, ) q = 6 e t = 14 b) q = 16 e t = 4 c) q = 4 e t = 14 d) q = 14 e t = 4 e) q = 4 e t = 16 Jec 18 9
Poliedros regulres (T H O I) Tetredro Hexedro Octedro odecedro Icosedro 01) etermine o número de vértices de um poliedro convexo fecdo que tem 1 fce pentgonl, 5 fces tringulres e 5 fces qudrngulres. 1 fce pentgonl 5 fces tringulres 5 fces qudrngulres = 11 fces = n. = 5. 1 +. 5 + 4. 5 = 0 rests Euler V - + = V - 0 + 11 = V = 11 fces (resp.) Observção - figur foi colocd no exercício pr que o luno poss comprovr vercidde dos cálculos. 0) etermine o número de vértices de um poliedro convexo e fecdo que tem 1 fce exgonl, 4 fces tringulres e fces qudrngulres. 1 fce exgonl 4 fces tringulres fces qudrngulres = 7 fces = n. = 6. 1 +. 4 + 4. = 1 rests Euler V - + = V - 1 + 7 = V = 8 vértices (resp.) 0) etermine o número de fces de um poliedro convexo fecdo que tem 6 vértices triédricos e 14 vértices tetrédricos. 6 vértices triédricos 14 vértices tetrédricos V = 0 vértices m.v =. 6 = + 4. 14 = 7 rests Euler V - + = 0-7 + = = 19 fces (resp.) Observção - figur foi colocd no exercício pr que o luno poss comprovr vercidde dos cálculos. 04) etermine o número de fces de um poliedro convexo e fecdo que tem 7 vértices tetrédricos e vértices eptédricos. 7 vértices tetrédricos vértices eptédricos V = 9 vértices m.v = 4. 7 = + 7. = 1 rests Euler V - + = 9-1 + = = 14 fces (resp.) 05) (UJ-MG) figur seguir represent plnificção de um poliedro convexo. O número de vértices desse poliedro é: ) 1 b) 14 c) 16 d) 0 e) 6 fces qudrngulres 8 fces tringulres = 14 fces = n. 4. 6 = +. 8 = 4 rests Euler V - + = V - 4 + 14 = V = 1 fces (resp.) 1 1 4 4 7 6 5 5 6 8 Jec 18 06) (UTM-MG) Um poliedro convexo, com rests e 14 vértices, possui pens fces tringulres e qudrngulres. Sendo q o número de fces qudrngulres e t o número de fces tringulres, então os vlores de q e t são, respectivmente, ) q = 6 e t = 14 b) q = 16 e t = 4 c) q = 4 e t = 14 d) q = 14 e t = 4 e) q = 4 e t = 16 q fces qudrngulres (0 - q) fces tringulres = n. 4. q = +. (0 - q) q = 4 fces qudrngulres t = 0-4 = 16 fces tringulres = rests V = 14 vértices Euler V - + = 14 - + = = 0 fces 0
Estudos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs Octvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri Espcil Métric ul 0 Exercícios complementres. (Poliedros convexos) 07) Preenc tbel o ldo, sbendo que: n - nº de ldos de cd fce do poliedro regulr; - nº de fces do poliedro regulr; - nº de rests do poliedro regulr; m - nº de rests de cd vértice poliédrico do poliedro; V - nº de vértices poliédricos do poliedroregulr; S - som ds medids dos ângulos internos ds fces do poliedro regulr. Tetredro regulr Hexedro regulr Octedro regulr odecedro regulr Icosedro regulr n m V S 08) Qunts fces tem um poliedro convexo fecdo que tem vértices pentédricos, 10 vértices tetrédricos e 10 vértices triédricos? ) 5 b) 18 c) 16 d) 4 e) 0 09) Um poliedro convexo tem o mesmo número de fces tringulres e qudrngulres. Qul o número de vértices desse poliedro, sbendo-se que tem 1 rests e pens esses dois tipos de fce? ) 9 b) 15 c) 11 d) 1 e) 1 10) Qul é som ds medids dos ângulos internos de tods s fces de um poliedro convexo fecdo que tem 0 fces e 0 rests? ) 560º b) 160º c) 800º d) 600º e) 560º 11) Um poliedro convexo fecdo tem 1 fce decgonl, 10 fces tringulres e 6 fces pentgonis. Qul é o número de vértices desse poliedro? ) 4 b) 0 c) 18 d) 16 e) 5 Jec 19 1