Geometria plana. Resumo teórico e exercícios.

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1 Geometri pln. Resumo teórico e eercícios. 3º olegil / urso tensivo. utor - Lucs ctvio de Souz (Jec)

2 Relção ds uls. Págin ul 01 - onceitos iniciis... 0 ul 0 - Pontos notáveis de um triângulo ul 03 - ongruênci de triângulos... 8 ul 04 - Qudriláteros notáveis ul 05 - Polígonos conveos ul 06 - Ângulos n circunferênci... 6 ul 07 - Segmentos proporcionis ul 08 - Semelhnç de triângulos ul 09 - Relções métrics no triângulo retângulo ul 10 - Relções métrics num triângulo qulquer ul 11 - ircunferênci e círculo ul 1 - Inscrição e circunscrição de polígonos regulres ul 13 - Áres ds figurs plns onsiderções geris. ste estudo de Geometride Pln tem como objetivo complementr o curso que desenvolvo com os lunos de 3º olegil e de curso pré-vestibulr. Não tem pretensão de ser um obr cbd e, muito menos, perfeit. utorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessrem pelo mteril, desde que mntenhm minh utori e não tenhm lucro finnceiro com o mteril. Peço, entretnto que me comuniquem sobre o uso. ss comunicção me drá sensção de estr contribuindo pr judr lguém. Peço todos, que perdoem eventuis erros de digitção ou de resolução e que me comuniquem sobre esses erros, pr que poss corrigí-los e melhorr este trblho. Meu e-mil - [email protected] Um brço. Jec (Lucs ctvio de Souz) Jec 01

3 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ul 01 onceitos iniciis de Geometri Pln. I) Ret, semirret e segmento de ret. II) Ângulo. - ldo - ldo - vértice ângulo ou ângulo ret semirret segmento semirret efinições. ) Segmentos congruentes. ois segmentos são congruentes se têm mesm medid. b) Ponto médio de um segmento. Um ponto P é ponto médio do segmento se pertence o segmento e divide em dois segmentos congruentes. c) Meditriz de um segmento. É ret perpendiculr o segmento no seu ponto médio efinições. ) Ângulo é região pln limitd por dus semirrets de mesm origem. b) Ângulos congruentes. ois ângulos são ditos congruentes se têm mesm medid. c) issetriz de um ângulo. É semirret de origem no vértice do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes. II) Uniddes de medid de ângulo. ) Gru. medid de um volt complet é 360º. 1º = 60' 1' = 60" º - gru ' - minuto " - segundo IIb) lssificção dos ângulos. = 0º - ângulo nulo. 0º < < 90º - ângulo gudo. = 90º - ângulo reto. 90º < < 180º - ângulo obtuso. = 180º - ângulo rso. b) Rdino. medid de um volt complet é p rdinos. Um rdino é medid do ângulo centrl de um circunferênci cujo comprimento do rco correspondente é igul o comprimento do rio d circunferênci. efinições. ) Ângulos complementres. É o pr de ângulos cuj som ds medids é 90º. b) Ângulos suplementres. É o pr de ângulos cuj som ds medids é 180º. IIc) Ângulos formdos por dus rets prlels cortds por um ret trnsversl. r r // s b c d t ) Ângulos correspondentes (mesm posição). eemplo - b e f. Propriedde - são congruentes. b) Ângulos colteris (mesmo ldo). eemplo de colteris internos - h e c. eemplo de colteris eternos - d e g. Propriedde - são suplementres (som = 180º) s f e g h c) Ângulos lternos (ldos lterndos). eemplo de lternos internos - b e h. eemplo de lternos eternos - e g. Propriedde - são congruentes. Jec 0

4 III) Triângulos. vértice ldo e i i - ângulo interno e - ângulo eterno Num mesmo vértice, tem-se i + e = 180º Ângulo eterno. ângulo eterno de qulquer polígono conveo é o ângulo formdo entre um ldo e o prolongmento do outro ldo. lssificção dos triângulos. ) qunto os ldos: - triângulo equilátero. - triângulo isósceles. - triângulo escleno. b) qunto os ângulos: - triângulo retângulo. - triângulo obtusângulo. - triângulo cutângulo. Proprieddes dos triângulos. b 1) m todo triângulo, som ds medids dos 3 ângulos internos é 180º. b ) m todo triângulo, medid de um ângulo eterno é igul à som ds medids dos ângulos internos não djcentes. g + b + g = 180º e e = + b e 3 e 1 e 3) m todo triângulo, som ds medids dos 3 ângulos eternos é 360º. e + e + e = 360º 1 3 4) m todo triângulo isósceles, os ângulos d bse são congruentes. bservção - bse de um triângulo isósceles é o seu ldo diferente. ercícios. 01) fetue s operções com grus bio solicitds. ) 48º 7' 39" + 17º 51' 4" c) 90º - 61º 14' 44" e) 4 (68º 3' 54") b) 106º 18' 5" + 17º 46' 39" d) 136º 14' - 89º 6' 1" f) 3 (71º 3' 5") Jec 03

5 g) 15º 39' 46" 4 h) 118º 14' 5" 3 i) 15º 1' 5" 5 j) 90º 13 0) etermine o ângulo que é o dobro do seu complemento. 03) etermine o ângulo que ecede o seu suplemento em 54º 04) etermine o ângulo cuj diferenç entre o seu suplemento e o triplo do seu complemento é igul 54º. 05) ois ângulos são suplementres. menor é o complemento d qurt prte do mior. etermine s medids desses ângulos. 06) s medids de dois ângulos somm 14º. etermine esses ângulos sbendo que o suplemento do mior é igul o complemento do menor. 07) etermine um ângulo sbendo que o suplemento d su quint prte é igul o triplo do seu complemento. Jec 04

6 08) m cd figur bio, determine medid do ângulo. ) b) r 116º r // s s 41º c) d) (Tente fzer de outr mneir) r r 53º r // s 53º r // s 39º s 39º s e) f) r 55º r // s r 35º 6º s 40º 38º s 47º g) h) r 8º r // s 54º s 88º 1º 16º i) j) = 73º 11º 143º k) = l) 46º 158º 38º 67º Jec 05

7 09) figur bio mostr dois qudrdos sobrepostos. Qul é o vlor de + y, em grus? 10) N figur bio, estão representdos um triângulo equilátero e um retângulo. Sendo e y s medids dos ângulos ssinldos, determine som + y. y y 11) N figur bio, determinr + y + z + t. 1) N figur bio, determinr o vlor d som ds medids dos ângulos, y, z, t e u. 30º y y z t u z t 13) N figur bio, clcule o vlor de em função de m. 4m 3m m 14) (IM-SP) Sejm, b, g, l e q s medids em grus dos ângulos,,, e d figur, respectivmente. som + b + g + l + q é igul : ) 10º b) 150º c) 180º d) 10º e) 40º 15) (IT-SP) m um triângulo de ppel fzemos um dobr PT de modo que o vértice coincid com o vértice, e um dobr PQ de modo que o vértice coincid com o ponto R de P. Sbemos que o triângulo QR formdo é isósceles com RQ = 100º; clcule s medids dos ângulos internos do triângulo. 16) etermine, sbendo-se que é um retângulo e que e são pontos médios dos ldos e, respectivmente. Q R T 5º P Jec 06

8 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln onceitos iniciis de Geometri Pln. ercícios complementres d ul ) Ns figurs bio, determinr o vlor de. ) b) 43º r r 57º r //s s r // s s c) 45º r d) 45º r r // s r // s 6º s 6º s e) r 147º f) (Resolver de form diferente d letr c)) r // s 8º 16º r s 80º s r // s g) r h) r (Resolver de form diferente d letr g)) r // s 140º 65º r // s 140º 65º s s i) 4º 150º r j) 48º 150º r 5-1º r // s s 43º 40º r // s s k) 55º l) r r // s s 85º 135º Jec 07

9 m) r r // s t // u n) r r // s t // u s 43º t 58º s u t u o) p) 6º 5º 79º 67º q) r) 5º 1 81º s) 38º (Triângulo isósceles) = t) (Triângulo isósceles) = 138º u) = v) 15º y y 6º 98º ) = = 98º z) = = y y Jec 08

10 0) Ns figurs bio, determinr o vlor de. ) b) 37º 73º 116º 148º 4º 31º c) d) 34º 101º 38º bissetriz 18º 36º e) é o ponto de encontro ds 3 bissetrizes. f) e são bissetrizes. 40º 7º 4º g) h) 68º r r // s 60º s 5y 3y + 30º i) j) 9 43º 6 1 6º 60º k) é um qudrdo. l) 30º 118º Jec 09

11 m) = n) = = = e = 38º o) = = = = e = p) =, = e =. 44º q) é um triângulo equilátero r) e G é um qudrdo. é um triângulo equilátero e é um qudrdo. G s) é um triângulo equilátero t) e é um qudrdo. é um triângulo equilátero, G e são qudrdos. G u) e são triângulos v) equiláteros. = e =. 70º 65º ) = = = e =. z) = é bissetriz de  é bissetriz de Â. 38º Jec 10

12 03) N figur bio, determine, y e z. 04) N figur bio, determinr, y e z. 37º z y 4 z y 05) N figur bio, determinr, y, z e t. 06) N figur bio, sendo bissetriz do ângulo, determinr + y. 40º t 4 z y y 4 07) N figur bio, determinr o vlor de. 08) N figur bio, determinr o vlor do ângulo, sbendo-se que é bissetriz de, é bissetriz de e é bissetriz de. 57º 8º 09) N figur bio, determine os vlores de, y e z. z + 6º z - 84º y 10) eterminr os vlores de, y e z, sbendo que os mesmos formm um progressão ritmétic de rzão 10º. z y Jec 11

13 11) (UVST) N figur bio, determine o vlor de. t t // s s 10º 1) N figur bio, determinr o vlor d som + y + z + t + u + v, sbendo-se que é um triângulo inscrito no qudrdo. y z v 140º u t 13) N figur bio, = = =. etermine o vlor de. 14) N figur bio, = = e é bissetriz do ângulo. etermine o vlor de. 15) N figur bio, determine medid do ângulo em função de y. 16) (UVST) N figur, = =. etermine y em função de. 5y y y y 17) N figur bio mostre que vle relção : + b = c + d. r c b r // s 18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100º. eterminr medid do ângulo gudo formdo pels bissetrizes dos outros dois ângulos internos. d s 19) Mostre que som ds medids dos ângulos eternos de um triângulo é 360º. e 0) N figur bio, determinr em função de y e de z. r y r // s e 1 z s e 3 Jec 1

14 1) N figur bio, o qudrdo é cortdo por dus rets prlels, r e s. om relção os ângulos e y podemos firmr que : ) = y b) = -y c) + y = 90º d) - y = 90º e) + y = 180º r s ) N figur bio, determinr o vlor d som ds medids dos ângulos, y, z, t e u. y z y u t 3) N figur bio, clcule o ângulo, sendo y o triplo de z e t o sêtuplo de z. 4) (UVST-SP) No retângulo bio, qul o vlor em grus de + y? z 40º y y 80º t 5) N figur bio, sendo bissetriz do ângulo Â, demonstre que vle relção z - y = - t. y z t 6) N figur bio, o ângulo mede 38º, é um retângulo e é congruente. medid do ângulo é : ) 38º b) 7º c) 18º d) 19º e) 71º 7) N figur bio, sendo //, determinr som ds medids dos ângulos, y e z. y z 8) eterminr medid do ângulo, sbendo-se que os triângulos e são isósceles e que o triângulo é equilátero. Jec 13

15 9) N figur bio, determine som ds medids dos ângulos, y, z, t, u e v. 30) N figur bio, determine som ds medids dos ângulos, y, z e t. v r y u r // s y z t s t z 31) N figur bio, determine som ds medids dos ângulos, y, z e t. y 3) Um retângulo de ppel é dobrdo de form que o vértice pertenç o ldo, conforme figur. Sendo dobr feit, clcule medid do ângulo, conhecendo medid de 140º do ângulo ssinldo. z 140º t 33) N figur, M = N, > y e s ret MN e interceptm-se em P. Mostre que o ângulo MP é igul 34) N figur bio, os ângulos, e medem respectivmente 30º, 80º e 30º. Sendo um dobr de tl form que o ldo é simétrico do ldo em relção, determine medid do ângulo. - y. M N P y 35) N figur, sendo congruente, congruente, clcule medid do ângulo, sbendo-se que = 48º. Jec 14

16 Jec 15

17 01) ) 176º 19' 1" b) 14º 05' 04" c) 8º 45' 16" d) 46º 47' 48" e) 73º 35' 36" f) 14º 11' 36" g) 31º 4' 56" h) 39º 4' 57" i) 5º 0' 34" j) 06º 55' 3" 0) 60º 03) 117º 04) 7º 05) 60º e 10º 06) 17º e 107º 07) 5º / 7 08) ) 41º b) 64º c) 14º d) 14º e) 47º f) 36º g) 6º h) 33º i ) 75º j) 34º k) 113º l) 53º 09) 70º 10) 40º 11) 10º 1) 180º 13) m 14) c 15) 70º, 80º e 30º 16) 5º Resposts dos eercícios d ul 01 Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 16

18 Resposts dos eercícios complementres d ul 01 01) ) 43º b) 13º c) 107º d) 107º e) 49º f) 46º g) 55º h) 55º i) 30º j) 49º k) 55º l) 130º m) 43º n) 1º o) 39º p) 119º q) 133º r) 10º/3 s) 71º t) 96º u) 104º v) 46º ) 13º z) 108º 0) ) 48º b) 51º c) 9º d) 11º e) 18º f) 111º g) 4º h) 70º i) 40º/3 j) 45º k) 90º l) 43º m) 14º n) 180º/7 o) 0º p) 68º q) 30º r) 10º/3 s) 75º t) 60º u) 10º v) 60º ) 150º z) 116º 03) 143º, 37º e 143º 04) 36º, 18º e 144º 05) 0º, 60º, 80º e 60º 06) 100º 07) 33º 08) 19º 09) º, 44º e 110º 10) 50º, 60º e 70º 1) c ) 540º 3) 50º 4) 130º 5) demonstrção 6) d 7) 360º 8) 45º 9) 360º 30) 180º 31) 540º 3) 65º 33) demonstrção 34) 130º 35) 4º 11) 70º 1) 70º 13) 10º 14) 36º 15) = 8y 16) y = 3 17) demonstrção 18) 40º 19) demonstrção 0) = y - z Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 17

19 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ul 0 Pontos notáveis de um triângulo. ltur Segmentos notáveis do triângulo. medin meditriz Medin - É o segmento que une o vértice o ponto médio do ldo oposto. Meditriz - É ret perpendiculr o ldo do triângulo pelo seu ponto médio. issetriz - É semi-ret de origem no vértice que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. bissetriz M ponto médio ltur - É distânci entre o vértice e ret suporte do ldo oposto. Todo triângulo tem: 3 medins 3 bissetrizes 3 meditrizes 3 lturs ricentro (G). É o ponto de encontro ds 3 medins do triângulo. Propriedde. bricentro divide cd medin em segmentos. segmento que contém o vértice é o dobro do segmento que contém o ponto médio do ldo oposto. (rzão : 1) bservção - s três medins dividem o triângulo originl em seis triângulos de mesm áre. S Áre de cd triângulo P S S S S G M S S N G =.GM G =.GN G =.GP ircuncentro (). É o ponto de encontro ds 3 meditrizes do triângulo. Propriedde. circuncentro é o centro d circunferênci circunscrit (etern) o triângulo. circuncentro é o ponto do plno eqüidistnte dos 3 vértices do triângulo. Pontos notáveis do triângulo - bricentro I - incentro - circuncentro - ortocentro Incentro (I). É o ponto de encontro ds 3 bissetrizes do triângulo. Propriedde. incentro é o centro d circunferênci inscrit (intern) no triângulo. incentro é o ponto do plno eqüidistnte dos 3 ldos do triângulo. g g b b I r r - rio d circunferênci inscrit. rtocentro (). É o ponto de encontro ds 3 lturs do triângulo. Propriedde. Não tem. h h meditriz h h h ponto médio h h R h R - rio d circunferênci circunscrit. Jec 18 ortocentro h

20 bservções. 1) bricentro e o incentro sempre estão loclizdos no interior do triângulo. ) circuncentro e o ortocentro podem estr loclizdos no eterior do triângulo. 3) Num triângulo isósceles, os qutro ponto notáveis (I: bricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão linhdos. meditriz medin bissetriz G I medin meditriz bissetriz ltur ltur 4) No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e o circuncentro é o ponto médio d hipotenus. ortocentro R R hipotenus circuncentro Triângulo eqüilátero. (importnte) m todo triângulo eqüilátero, os qutro pontos notáveis (bricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão loclizdos num único ponto. l - ldo do triângulo eqüilátero. r - rio d circunferênci inscrit. R - rio d circunferênci circunscrit. h - ltur do triângulo. I l r r r l l R r h R = r e h = 3r 01) Sbendo-se que o ldo de um triângulo equilátero é 10 cm, determinr : ) ltur do triângulo. b) o rio d circunferênci inscrit no triângulo. c) o rio d circunferênci circunscrit o triângulo. d) o que o ponto é do triângulo. l l R r h l 0) N figur bio, circunferênci de centro está inscrit no triângulo. Sbendo que o ângulo mede 33º e que o ângulo mede 56º, determine medid do ângulo. 03) N figur bio, circunferênci de centro está inscrit no triângulo. Sbendo que o ângulo mede 16º, encontre medid do ângulo. Jec 19

21 04) N figur bio, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizndo o qudriculdo, trçr s três medins, s três meditrizes, s três bissetrizes e s três lturs e determinr o bricentro, o circuncentro e o ortocentro do triângulo. I 05) Sbendo-se que ltur de um triângulo equilátero é 3 cm, determinr : ) o rio d circunferênci inscrit no triângulo. b) o rio d circunferênci circunscrit o triângulo. c) o ldo do triângulo. R l l r h l 06) N figur bio, os pontos, e G são os pontos médios dos ldos do triângulo. Se =, = y, = z, G = 3w, = 3k e = 3n, determine o perímetro do triângulo G, em função de, y, z, w, k e n. 07) N figur bio, é o ortocentro do triângulo. etermine medid do ângulo sbendo que os ângulos e medem, respectivmente, 58º e 70º. G Jec 0

22 Ru 08) N figur bio, é o ortocentro do triângulo equilátero. Sbendo que = k, determine, em função de k, s medids dos segmentos, e. 09) Um tesouro foi enterrdo num cmpo berto e o mp d loclizção fz menção três grndes árvores do locl. tesouro foi enterrdo no terceiro vértice de um triângulo, onde o jtobá é o primeiro, sibipirun é o segundo e perob é o ortocentro do triângulo. omo é possível loclizr o tesouro no locl? Sibipirun Perob Jtobá 10) triângulo d figur tem áre 10 cm. Sendo = = e = G = G, vlie se s firmções bio são verddeirs (V) ou flss (). G 11) No triângulo bio,, e são os pontos médios dos respectivos ldos. Sendo 30º medid do ângulo, = 14 cm e = 1 cm, determine: ) áre do triângulo ; b) áre do triângulo G; c) áre do qudrilátero G. ( ) G é o bricentro do triângulo. ( ) áre do triângulo é 40 cm. ( ) áre do triângulo G é 40 cm. G 1) Joel, Pedro e Mnoel morm em sus respectivs css, sendo que s cs não são colineres e estão loclizds n mesm fzend. les desejm brir um poço de modo que ele fique à mesm distânci ds três css. Supondo que fzend é pln, com seus conhecimentos de geometri, que sugestão poderi dr eles? Justifique o seu rciocínio. 13) prefeitur de um cidde mndou colocr, n prç centrl, um estátu em homengem Tirdentes. escubr, n plnt seguir, em que locl ess estátu deve ser colocd, sbendo que el deverá ficr um mesm distânci ds três rus que determinm prç. Ru 1 Ru 3 Jec 1

23 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln Pontos notáveis de um triângulo. ercícios complementres d ul 0. 01) Sbendo-se que o ldo de um triângulo equilátero é k, determinr : ) ltur do triângulo; b) o rio d circunferênci inscrit no triângulo; c) o rio d circunferênci circunscrit o triângulo; d) o que o ponto é do triângulo. k k R r h k 0) Sbendo-se que o rio d circunferênci circunscrit de um triângulo eqüilátero mede 5 cm, determinr : ) o rio d circunferênci inscrit no triângulo; b) ltur do triângulo; c) o ldo do triângulo; d) o perímetro do triângulo; e) o que o ponto é do triângulo. l l l R h r 03) N figur, G e, dividem o ângulo em três ângulos congruentes. mesm form, e, dividem o ângulo em três ângulos congruentes. ssinle lterntiv corret. 04) (Unifesp) Num circunferênci de rio R > 0 e centro considerm-se, como n figur, os triângulos equiláteros T, inscrito, e T, circunscrito. etermine 1 rzão entre ltur de T e ltur de T. 1 T S P T 1 R G Q R ) P é incentro de lgum triângulo construído n figur. b) Q é incentro de lgum triângulo construído n figur. c) R é incentro de lgum triângulo construído n figur. d) S é incentro de lgum triângulo construído n figur. e) Nenhum ds lterntivs nteriores é verddeir. Jec

24 05) N figur bio, os pontos M, N e P são médios dos ldos que pertencem. Provr que G é o bricentro do triângulo e que G =.GN. 06) N figur bio, o ponto I é o centro d circunferênci inscrit no triângulo. Sendo prlelo, = 8 cm e = 11 cm, determinr o perímetro do triângulo. M G N I P 07) No triângulo d figur, = 10 cm e M é o ponto médio de. Sbendo que e são os pés ds lturs e, determine o vlor de M + M. 08) N figur, o triângulo é retângulo em, os segmentos e são congruentes e o ângulo mede 65º. etermine medid do ângulo. M RSLUÇÃ - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em um semi-circunferênci. 09) No triângulo bio, = 70º e = 40º. etermine medid do ângulo, sbendo-se que o ponto é o ortocentro do triângulo. 10) No triângulo bio, é ponto médio do ldo e é bissetriz do ângulo. etermine medid do ângulo. 40º 11) N figur bio, é o centro d circunferênci inscrit no triângulo retângulo. etermine medid do ângulo. 1) (uvest) Um triângulo, tem ângulos = 40º e = 50º. Qul é medid do ângulo formdo pels lturs reltivs os vértices e desse triângulo? ) 30º b) 45º c) 60º d) 90º e) 10º Jec 3

25 13) onsidere o triângulo d figur e ssinle firmtiv fls. 14) No triângulo d figur bio, s medins e são perpendiculres entre si. Sbendo que = 6 e = 8, determine medid de. ) é o ortocentro do. b) é o ortocentro do. c) s circuncentros do e do coincidem. d) =.. e) é cutângulo. 15) N figur bio, o círculo inscrito no triângulo tem áre S e os ângulos e medem 50º e 70º, respectivmente. etermine s áres dos setores circulres S 1, S e S 3, em função de S. 16) etermine s medids dos ângulos, e, no triângulo bio, sbendo que é o incentro do triângulo. S 3 S 1 10º 110º 130º S 17) etermine s medids dos ângulos, e, no triângulo bio, sbendo que é o circuncentro do triângulo. 18) N figur, circunferênci de centro está inscrit no setor circulr de centro, rio = 15 cm e ângulo centrl = 60º. etermine o rio d circunferênci. 10º 130º 110º 19) triângulo d figur é retângulo em e os triângulos, e são equivlentes (têm mesm áre). Sendo = 18 cm, determine medid do segmento. 0) No triângulo d figur, = 50º. Se P for o incentro do triângulo, medid do ângulo P é ; no entnto, se P for o ortocentro do triângulo, medid do ângulo P é y. etermine rzão entre e y. P P Jec 4

26 1) N figur, é um retângulo, M é ponto médio de e o triângulo M é equilátero. etermine medid do segmento PM, sbendo que = 1 cm. M ) (UMG) N figur bio, =, = 60º e o ângulo é o dobro do ângulo. etermine rzão /. P 3) No triângulo o ldo, sendo M, N e P pontos médios dos respectivos ldos e MR = 7 cm, NR = 6 cm e R = 10 cm, determinr : ) que são os segmentos P, N e M pr o triângulo. b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R. c) Quis s medids dos segmentos R, R e PR. 4) N figur o ldo, é o centro d circunferênci inscrit no triângulo que é retângulo em. Sendo m() = 30º, determinr s medids dos ângulos, b, g e q e dizer o que semirret signific pr o ângulo. q M R N b g P 5) N figur bio, s rets, e G encontrm-se no ponto, e os pontos, e G são os pontos médios dos ldos do triângulo. Pr o triângulo, dizer como se denomin o ponto e o que é ret. G 6) (UM-PR) m um plno, meditriz de um segmeno de ret é ret r que pss pelo ponto médio do segmento de ret e é perpendiculr esse segmento. ssinle lterntiv incorret. ) Tomndo um ponto P qulquer em r, distânci de P o ponto é igul à distânci de P o ponto. b) intersecção ds meditrizes de dois ldos de um triângulo qulquer em é o circuncentro do triângulo. c) Qulquer ponto do plno que não pertenç à ret r não equidist dos etremos do segmento. d) s meditrizes dos ldos de um triângulo podem se interceptr em três pontos distintos. e) ret r é únic meditriz do segmento de ret em. Jec 5

27 Resposts dos eercícios d ul 0. 01) ) (5 3 ) cm b) (5 3 / 3) cm c) (10 3 / 3) cm d) ricentro, Incentro, ircuncentro e rtocentro. 04) 0) 118º 03) 7º 04) esenho o ldo. I G 05) ) 1 cm b) cm c) 3 cm 06) k + w + z 07) 18º 08) k / 3, k / 3 e k / 3 09) esenho o ldo. 09) Sibipirun Perob 10), V e 11) ) 4 cm b) 7 cm c) 8 cm Jtobá tesouro 1) poço deve loclizr-se no circuncentro do triângulo cujos vértices são s três css. 13) estátu deve ser colocd no incentro do triângulo formdo pels três rus. Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 6

28 Resposts dos eercícios complementres d ul 0. 01) ) k 3 / b) k 3 / 6 c) k 3 / 3 d) I 0) ) (5 / ) cm b) (15 / ) cm c) 5 3 cm d) 15 3 cm e) I 03) d 04) 17) 55º, 65º e 60º 18) 5 cm 19) 6 cm 0) 3 / 6 1) 4 cm ) 1 / 3) ) medins b) bricentro c) 14 cm, 1 cm e 5 cm 05) M G N S é ponto médio de G R é ponto médio de G MNRS é um prlelogrmo Portndo, SG = GN = S Rzão : 1 4) 15º, 45º, 10º, 30º e bissetriz 5) circuncentro e meditriz 6) d S P R 06) 19 cm 07) 10 cm 08) 130º 09) 110º 10) 105º 11) 135º 1) d 13) d 14) 5 15) 5 S / 7, 3 S / 7 e S / 3 16) 80º, 40º e 60º Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 7

29 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ul 03 ongruênci de triângulos. ois triângulos são congruentes se têm os ldos dois dois ordendmente congruentes e os ângulos dois dois ordendmente congruentes. sos de congruênci. 1) L..L. ).L.. 3)L.L.L. 4) L.. 5) so especil () nde: L - ldo. - ângulo junto o ldo. - ângulo oposto o ldo. so especil (). ois triângulos retângulos são congruentes se têm s hipotenuss congruentes e um cteto de um triângulo é congruente um cteto do outro triângulo bservção. posição de cd elemento do triângulo (ldo ou ângulo) no desenho é muito importnte n crcterizção do cso de congruênci. L..L. - dois ldos e o ângulo entre eles..l.. - dois ângulos e o ldo entre eles. 01) N figur o ldo, e são ângulos retos e os segmentos e são congruentes. Prove que os triângulos e são congruentes. 0) N figur o ldo, e são ângulos retos e é bissetriz do ângulo. Prove que os segmentos e são congruentes. 03) N figur o ldo, os segmentos e são congruentes e os segmentos e tmbém. Prove que os ângulos e são congruentes. Jec 8

30 04) (importnte) N figur bio, é um cord d circunferênci de centro. Provr que se o rio é perpendiculr à cord, então M é ponto médio de. M 05) (Importnte) Provr que em todo triângulo isósceles ltur reltiv à bse tmbém é bissetriz, medin e meditriz. H 06) Sbendo-se que meditriz de um segmento é ret perpendiculr o segmento pelo seu ponto médio, provr que qulquer ponto d meditriz é eqüidistnte ds etremiddes e do segmento. P M meditriz 07) ds s rets r e s, e os pontos, M e P, tl que M sej ponto médio do segmento P, determine os pontos, pertencente r, e pertencente s, de modo que o ponto M tmbém sej ponto médio do segmento. r M P s Jec 9

31 08) N figur bio, os segmentos e são congruentes. Sbendo-se que o triângulo é isósceles de bse, prove que os segmentos e são congruentes. 09) (UMG) bserve figur: r P q R Ness figur, os segmentos e são perpendiculres, respectivmente, às rets r e s. lém disso, P = P, R = R e medid do ângulo PR é q. etermine, em função de q, medid do ângulo interno do qudrilátero. s 10) N figur, é um prlelogrmo e os segmentos e são congruentes. Prove que os segmentos e são congruentes e prlelos entre si. 11) N figur bio, o qudrdo GH está inscrito no qudrdo. Prove que os triângulos H,, G e GH são congruentes entre si. H G 1) N figur bio, é um retângulo e os segmentos e são perpendiculres o segmento. Prove que os segmentos e são congruentes entre si. 13) Provr que se é um prlelogrmo e e são s digonis, então o ponto de intersecção ds digonis é o ponto médio d digonl. Jec 30

32 Teorem do ponto eterior. d um circunferênci l e um ponto P, P eterior l, se e são os pontos de tngênci ds rets tngentes l por P, então P = P. onsequênci do Teorem do ponto eterior. m todo qudrilátero circunscrito num circunferênci som ds medids dos ldos opostos é constnte. l P l P = P + = + 14) Prove o Teorem do ponto eterior. l P 15) N figur bio, circunferênci está inscrit no triângulo, = 10, = 1 e = 14. etermine medid do segmento T. R S T 16) N figur bio,, e são pontos de tngênci. eterminr o perímetro do triângulo P, sbendo que distânci P mede 17 cm. l P 17) etermine o vlor de n figur bio, sbendose que = +, = 4-3, = 3 - e = ) eterminr medid d bse médi de um trpézio isósceles sbendo-se que os ldos não prlelos desse trpézio medem 15 cm cd. 19) etermine medid do rio d circunferênci inscrit no triângulo retângulo cujos ldos medem 8 cm, 15 cm e 17 cm. Jec 31

33 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ongruênci de triângulos. ercícios complementres d ul ) N figur bio, M é ponto médio de e de. Provr que o triângulo M é congruente o triângulo M. M 0) N figur bio, M é ponto médio do segmento e os ângulos e são congruentes. Provr que M tmbém é ponto médio do segmento. M 03) N figur bio, M é ponto médio do segmento e os ângulos e são congruentes. Provr que os segmentos e são congruentes. M 04) N figur bio, M é ponto médio dos segmentos e. Provr que s rets e são prlels. M 05) N figur bio, é bissetriz do ângulo e os ângulos e são congruentes. Prove que os segmentos e são congruentes. Jec 3

34 06) N figur bio, e. Provr que o triângulo G é isósceles. G 07) N figur bio, é um triângulo isósceles de bse. Sbendo-se que, provr que tmbém é um triângulo isósceles. 08) N figur bio,, e. Provr que os triângulos e são congruentes. 09) N figur bio, é um triângulo eqüilátero e os pontos, e pertencem os ldos, e, respectivmente. Sbendo-se que os segmentos, e são congruentes, provr que o triângulo é eqüilátero. Jec 33

35 10) Provr que em todo losngo s digonis são perpendiculres entre si e bissetrizes dos ângulos internos desse losngo. k k M k k 11) N figur, e GH são qudrdos. centro do qudrdo locliz-se no vértice do outro qudrdo. Prove que os triângulos JL e KM são congruentes. L J G K M H 1) Provr que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois ldos é prlelo o terceiro ldo e vle metde desse terceiro ldo. 13) Provr que em todo trpézio, o segmento que une os pontos médios dos ldos não prlelos é prlelo às bses e vle semi-som desss bses. Jec 34

36 Jec 35

37 Resposts dos eercícios d ul 03. bservção - ependendo dos ddos, um eercício pode ser provdo por mis de um cso de congruênci. Levndo em cont ess possibilidde ns resposts qui registrds, em cd cso, foi considerdo o cso de congruênci mis evidente. 07) Resolução r Sej P // M = MP (L) - por hipótese 01) so especil () 0) L... 03) L.L.L. 04) so especil 05) É possível provr por vários csos. M P s M = PM () - PV M = PM () - lternos internos Pelo cso.l.., temos M = PM Portnto M = M Q 06) L..L. 07) emonstrção o ldo. 08) L..L. 09) Pelo cso L..L. prov-se que os triângulos P e P são congruentes. Pelo mesmo cso, prov-se que os triângulos R e R tmbém são congruentes. P = P = e R = R = b Portnto = q 10) L..L. 11).L.. 1) L... 13) L... 14) so especil (Un o ponto P o centro) 15) 8 16) 34 cm 17) S = { R > 3 / 4 } 18) 15 cm 19) 3 cm Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 36

38 Resposts dos eercícios complementres d ul 03. bservção - ependendo dos ddos, um eercício pode ser provdo por mis de um cso de congruênci. Levndo em cont ess possibilidde ns resposts qui registrds, em cd cso, foi considerdo o cso de congruênci mis evidente. 01) LL 0) L 03) L 04) LL 05) L 06) so especil 07) LL 08) L 09) LL 10) LLL emonstrção do eercício nº 13. G G () (opostos pelo vértice) (L) ( é ponto médio de ) G () (lternos internos) Pelo cso L, temos: G > G e G onsiderndo pens o triângulo G, temos: 11) L emonstrção do eercício nº 1. G = + G = + G Sej // (por construção) > (lternos internos) > ( é ponto médio) (opostos pelo vértice) Pelo cso L, temos: > Ms é ponto médio de > Se // e > é um prlelogrmo > > // e Ms > = e // (Q) Pelo teorem demonstrdo no eercício 1, temos: // // e = + (Q) Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 37

39 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ul 04 Qudriláteros notáveis. I) Trpézio. É o qudrilátero que tem dois ldos prlelos. ltur de um trpézio é distânci entre s rets suporte de sus bses. h + b = 180º Trpézio retângulo b b b Trpézio isósceles b bse menor Trpézio escleno bse mior II) Prlelogrmo. É o qudrilátero que tem os ldos opostos prlelos. // e // III) Retângulo. É o qudrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes e iguis 90º. h b h b IV) Losngo. É o qudrilátero que tem os ldos congruentes. b b // e // V) Qudrdo. É o qudrilátero que tem os ldos congruentes e todos os ângulos internos congruentes (90º). 45º Proprieddes dos qudriláteros notáveis. 1) m todo prlelogrmo s digonis cortm-se nos respectivos pontos médios. M M é ponto médio de e M é ponto médio de. ) m todo losngo s digonis são: ) perpendiculres entre si; b) bissetrizes dos ângulos internos. y y y y 3) se médi de trpézio. m todo trpézio, o segmento que une os pontos médios dos dois ldos não prlelos, é prlelo às bses e vle médi ritmétic desss bses. 4) se médi de triângulo. m todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois ldos é prlelo o 3º ldo e vle metde desse 3º ldo. M bse médi N MN // // e MN = + MN // e MN = M N bse médi Jec 38

40 01) No prlelogrmo bio, determinr o vlor de e medid d digonl. 7 cm 7 cm 1 cm 0) No prlelogrmo bio, determinr o vlor de e medid d digonl. k k 03) No prlelogrmo bio, determinr o vlor de, o vlor de y, medid d digonl e medid d digonl. 04) No losngo bio, conhecendo-se medid do ângulo, determinr s medids dos ângulos, b, c e d cm 3y 1 cm d c 58º b 05) N figur, L, M, N e P são, respectivmente, os pontos médios dos ldos,, e do qudrilátero tos médios dos ldos,, e do qudrilátero 06) N figur, L, M, N e P são, respectivmente, os pon-. eterminr o perímetro do qudrilátero LMNP. Provr que LMNP é um prlelogrmo. sbendo-se que = 6 cm e = 10 cm. L P L P M N M N 07) (Unifesp) etermine medid do menor ângulo interno de um prlelogrmo sbendo-se que dois ângulos internos consecutivos desse prlelogrmo estão n rzão 1 : 3. 08) (URJ) Se um polígono tem todos os ldos com medids iguis, então todos os seus ângulos internos têm medids iguis. Pr mostrr que ess proposição é fls, pode-se usr como eemplo figur denomind: ) triângulo equilátero; b) losngo; c) trpézio; d) retângulo; e) qudrdo. Jec 39

41 09) No triângulo bio, = 8 cm, = 1 cm e = 10 cm. Sendo e pontos médios dos ldos e, respectivmente, determine medid do perímetro do trpézio. 10) No triângulo bio, = 16 cm, = 14 cm e = 18 cm. Sendo, e os pontos médios dos ldos, e, respectivmente, determinr s medids dos segmentos, e. 11) No triângulo bio, =, = y e = z. Sendo, e os pontos médios dos ldos, e, respectivmente, determinr o perímetro do qudrilátero. 1) No trpézio bio, bse menor mede 8 cm, bse mior mede 0 cm e os pontos e são os pontos médios dos ldos e, respectivmente. etermine medid d bse médi. 13) No trpézio retângulo bio, bse menor mede 1 cm e bse mior mede 18 cm. Sendo = 10 cm, e os pontos médios dos ldos e, respectivmente, determinr os perímetros dos trpézios e. 14) No trpézio bio, bse médi mede 17 cm e bse mior mede cm. etermine medid d bse menor. 15) No trpézio bio, = 8 cm e GH = 11 cm. Sendo = G = G e = H = H, determine s medids d bse menor e d bse mior. 16) No trpézio bio, = 1 cm, = 6 cm e os pontos e H são pontos médios dos ldos e, respectivmente. eterminr s medids dos segmentos H,, GH e G. G H G H Jec 40

42 17) N figur, MNLP é um qudrilátero,,, e são os pontos médios dos ldos MN, NL, LP e PM. etermine o perímetro do qudrilátero sbendo-se que ML = 14 cm e NP = 8 cm. M 18) etermine s medids dos ângulos internos de um prlelogrmo sbendo-se que dois ângulos internos opostos medem 3-18º e + 7º. P N L 19) No triângulo bio, e são os pontos médios dos respectivos ldos. Sendo o perímetro do triângulo igul 3 cm, determinr : ) o que é o ponto pr o triângulo. b) medid do perímetro do triângulo. 0) No triângulo bio, sendo o bricentro, =, = y, = z, = t e = w, determinr o perímetro do qudrilátero. 1) No triângulo bio, e G são os pontos médios dos respectivos ldos. Sendo =, = y, = z e G = k, determinr o perímetro do triângulo G e dizer o que o ponto é do triângulo. ) emonstre que o ângulo formdo pels bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos de um prlelogrmo é um ângulo reto. G 3) (uvest) m um trpézio isósceles, medid d ltur é igul à d bse médi. etermine o ângulo que digonl do trpézio form com um ds bses do trpézio. Jec 41

43 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) 01) do o losngo bio e o ângulo de 138º, determine s medids dos ângulos ssinldos. z 138º t y Geometri pln Qudriláteros notáveis. ercícios complementres d ul 04. 0) (J) No prlelogrmo bio, = 5 cm e M é o ponto médio do ldo. etermine o perímetro de. 60º 60º M 03) No retângulo bio, e são s digonis. etermine s medids dos ângulos e y. y 04) (PUmp-SP) N figur seguir, tem-se representdo o losngo, cuj digonl menor mede 4 cm. etermine medid d digonl mior e do ldo desse losngo. q q 3º 05) N figur bio, é um retângulo e é um triângulo equilátero, onde o ponto pertence o ldo do retângulo. Sendo digonl do retângulo, o ponto de intersecção entre digonl e o ldo do triângulo e = 9 cm, determine medid do segmento. 06) (VUNSP-SP) onsidere s seguintes proposições. I. Todo qudrdo é um losngo. II. Todo qudrdo é um retângulo. III. Todo retângulo é um prlelogrmo. IV. Todo triângulo equilátero é isósceles. Pode-se firmr que: ) só um é verddeir. b) tods são verddeirs. c) só um é fls. d) dus são verddeirs e dus são flss. e) tods são flss. Jec 4

44 07) (PU-SP) Sendo: = { / é qudrilátero} = { / é qudrdo} = { / é retângulo} = { / é losngo} = { / é trpézio} = { / é prlelogrmo} ntão vle relção: ) b) c) d) e) 08) (UP-MG) ssinle lterntiv incorret: ) m todo prlelogrmo não retângulo, digonl opost os ângulos gudos é menor do que outr. b) É reto o ângulo formdo pels bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um prlelogrmo. c) s bissetrizes de dois ângulos opostos de um prlelogrmo são prlels entre si. d) Ligndo-se os pontos médios dos ldos de um triângulo, este fic decomposto em qutro triângulos congruentes. e) Tods s firmtivs nteriores são incorrets. 09)(U) N figur, o retângulo GHI, o triângulo e- quilátero e o qudrdo I, têm todos, perímetro igul 4 cm. Se é o ponto médio de I, o perímetro d figur fechd GHI é igul : ) 48 m b) 49 m c) 50 m d) 51 m e) 5 m G 10) etermine s medids dos ângulos internos de um prlelogrmo sbendo que diferenç entre s medids de dois ângulos internos consecutivos é 5º. H I 11) (GV-SP) digonl menor de um losngo decompõe esse losngo em dois triângulos congruentes. Se cd ângulo obtuso do losngo mede 130º, quis são s medids dos três ângulos de cd um dos dois triângulos considerdos? 1) (IT-SP) ds s firmções: I. Quisquer dois ângulos opostos de um qudrilátero são suplementres. II. Quisquer dois ângulos consecutivos de um prlelogrmo são suplementres. III. Se s digonis de um prlelogrmo são perpendiculres entre si e se cruzm em seu ponto médio, então esse prlelogrmo é um losngo. ) Tods são verddeirs. b) pens I e II são verddeirs. c) pens II e III são verddeirs. d) pens II é verddeir. e) pens III é verddeir. Jec 43

45 13) (UV-MG) Num trpézio isósceles de bses diferentes, um digonl é tmbém bissetriz de um ângulo djcente à bse mior. Isso signific que: ) bse menor tem medid igul à dos ldos oblíquos. b) os ângulos djcentes à bse menor não são congruentes. c) bse mior tem medid igul à dos ldos oblíquos. d) s dus digonis se interceptm no seu ponto médio. e) s digonis se interceptm, formndo ângulo reto. 14) (UVST-SP) No qudrilátero, temos = = e os prolongmentos desses ldos formm um ângulo de 60º. ) Indicndo por, b, g e q, respectivmente, s medids dos ângulos internos dos vértices,, e, clcule + b + g + q. b) Sejm J o ponto médio de, M o ponto médio de e N o ponto médio de. lcule JM e JN. c) lcule medid do ângulo MJN. 15) N figur, = 4 cm, é ponto médio de, é ponto médio de, é ponto médio de e I é ponto médio de. etermine s medids dos segmentos G e GH. 16) (IT-SP) onsidere um qudrilátero cujs digonis e medem, respectivmente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos ldos do qudrilátero ddo, então o perímetro do qudrilátero RSTU vle: ) cm b) 5,5 cm c) 8,5 cm d) 11 cm e) 1 cm G H I 17) No trpézio J bio, G = e I = y. Se = = = e G = GH = HI = IJ, determine e J em função de e de y. G 18) N figur bio, o triângulo é retângulo em, o ponto é ponto médio do ldo e o segmento é prlelo o cteto. Sendo = 4 cm, determine medid do segmento. H I J Jec 44

46 Jec 45

47 Resposts dos eercícios d ul ) 6 cm e 4 cm 0) 4 03) 11 cm, 4 cm, 14 cm e 4 cm 04) 3º, 64º, 90º e 116º 05) 16 cm 06) Propriedde d bse médi do triângulo. // LP // MN e // LM // PN Portnto LMNP é um prlelogrmo. 07) 45º 08) b 09) 5 cm 10) 7 cm, 9 cm, e 8 cm 11) + z 1) 14 cm 13) 36 cm e 4 cm 14) 1 cm 15) 5 cm e 14 cm 16) 19 cm, 6 cm, 6 cm e 7 cm 17) cm 18) 117º e 63º 19) ricentro e 46 cm 0) ( + y + w + t) / 1) (y + z + 6k) / e bricentro ) + b = 180 (lternos internos) Portnto + b = 90º 3) 45º Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 46

48 Resposts dos eercícios complementres d ul ) = 1º, y = 69º, z = 4º, t = 90º 0) 45 cm 03) = 64º, y = 116º 04) = 4 3 cm, = 4 cm 05) 6 cm 06) b 07) b 08) e 09) c 10) 64º e 116º 11) 50º, 65º e 65º 1) c 13) 14) ) 360º b) 1 e 1 c) 60º 15) G = 6 cm e GH = 6 cm 16) d 17) = 3 - y J 18) 4cm = 3y - Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 47

49 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ul 05 Polígonos conveos. I) Polígonos conveos. lssificção dos polígonos (qunto o nº de ldos). e i d d - digonl i - ângulo interno e - ângulo eterno i + e = 180º ldo vértice 3 ldos - triângulo 4 ldos - qudrilátero 5 ldos - pentágono 6 ldos - heágono 7 ldos - heptágono 8 ldos - octógono 9 ldos - eneágono 10 ldos - decágono 11 ldos - undecágono 1 ldos - dodecágono 13 ldos - tridecágono 14 ldos - qudridecágono 15 ldos - pentdecágono 16 ldos - hedecágono 17 ldos - heptdecágono 18 ldos - octodecágono 19 ldos - enedecágono 0 ldos - icoságono II) Som ds medids dos ângulos internos de um polígono conveo. (S ) i III) Som ds medids dos ângulos eternos de um polígono conveo. (S ) e e 3 e 4 IV) Número de digonis de um polígono conveo. (d) i 3 i 4 i n i i 1 e e n S = i + i + i i i 1 3 n S = 180 (n - ) i n - nº de ldos do polígono e 1 S = e + e + e e e 1 3 n S = 360º e Pr qulquer polígono conveo igonl é o segmento que une dois vértices não consecutivos. d n (n - 3) = n - nº de ldos do polígono V) Polígono regulr. e i e i e i i i e Um polígono é regulr se tem: ) todos os ldos congruentes entre si; b) todos os ângulos internos congruentes entre si; c) todos os ângulos eternos congruentes entre si. lssificção dos polígonos regulres 3 ldos - triângulo equilátero 4 ldos - qudrdo 5 ldos - pentágono regulr 6 ldos - heágono regulr etc e Medid de cd ângulo interno de um polígono regulr. i = S i n > 180 (n - ) i = n Medid de cd ângulo eterno de um polígono regulr. ângulo centrl e = S e n > 360 e = n (importnte) bservção - Todo polígono regulr pode ser inscrito e circunscrito num circunferênci. Jec 48

50 01) eterminr som ds medids dos ângulos internos e o número de digonis de um pentdecágono conveo. 0) eterminr som ds medids dos ângulos eternos e o número de digonis de um octodecágono conveo. 03) eterminr medid de cd ângulo interno e de cd ângulo eterno de um eneágono regulr. 04) eterminr medid de cd ângulo interno e o nº de digonis de um octógono regulr. 05) eterminr som ds medids dos ângulos internos de um polígono conveo que tem 65 digonis. 06) eterminr o nº de digonis de um polígono regulr cuj medid de cd ângulo eterno é 30º. 07) eterminr o nº de digonis de um polígono regulr sbendo-se que medid de um ângulo interno ecede medid do ângulo eterno em 13º. 08) eterminr medid do ângulo eterno de um polígono regulr que tem 14 digonis. Jec 49

51 09) dos dois polígonos conveos, e, sbe-se que tem 4 ldos e 30 digonis mis do que. etermine quis são os polígonos e. 10) dos dois polígonos regulres, e, sbe-se que tem 6 ldos mis do que e diferenç ds medids de seus ângulos eternos é 16º. etermine quis são esses polígonos. 11) etermine medid do ângulo gudo formdo entre digonl e o ldo de um dodecágono regulr... KL. 1) etermine medid do ângulo gudo formdo pelos prolongmentos ds digonis e G de um dodecágono regulr...kl. Jec 50

52 13) (UNISP-SP) Pentágonos regulres congruentes podem ser conectdos, ldo ldo, formndo um estrel de cinco ponts, conforme destcdo n figur. Nests condições, o ângulo q mede: ) 108º b) 7º c) 54º d) 36º e) 18º 14) (UVST-SP) ois ângulos internos de um polígono conveo medem 130º cd um e os demis ângulos internos medem 18º cd um. nº de ldos desse polígono é: ) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17 q 15) (SGRNRI-RJ) No qudrilátero d figur bio, são trçds s bissetrizes M e N, que formm entre si o ângulo. som dos ângulos internos e desse qudrilátero corresponde : ) /4 b) / c) d) e) 3 M N 16) (MK-SP) s ldos de um polígono regulr de n ldos, n > 4, são prolongdos pr formr um estrel. medid, em grus, de cd vértice d estrel é: ) b) c) d) e) 360º n (n - 4). 180º n (n - ). 180º n 180º _ 90º n 180º n Jec 51

53 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln Polígonos conveos. ercícios complementres d ul ) do um polígono conveo de 17 ldos, determinr: ) som ds medids dos ângulos b) som ds medids dos ângulos internos. eternos. c) o número de digonis desse polígono. 0) do um undecágono conveo, determinr: ) som ds medids dos ângulos b) som ds medids dos ângulos internos. eternos. c) o número de digonis desse polígono. 03) eterminr o número de ldos e o número de digonis de um polígono conveo cuj som ds medids dos ângulos internos é 160º. 04) eterminr som ds medids dos ângulos internos de um polígono conveo que tem 44 digonis. Jec 5

54 05) No pentágono o ldo, //. eterminr som ds medids dos ângulos internos ssinldos. 06) eterminr os polígonos conveos e, sbendo-se que tem ldos e 3 digonis mis que o polígono. 07) do um eneágono regulr, determinr : ) o número de ldos do eneágono. b) som ds medids dos ângulos internos. c) medid de cd ângulo interno. d) som ds medids dos ângulos eternos. e) medid de cd ângulo eterno. f) o número de digonis do eneágono. 08) eterminr qul é o polígono regulr cuj medid de um ângulo eterno é igul /7 d medid de um ângulo interno. Jec 53

55 09) do um pentdecágono regulr, determinr : ) o número de ldos do pentdecágono. b) som ds medids dos ângulos c) medid de cd ângulo interno. internos. d) som ds medids dos ângulos e) medid de cd ângulo eterno. f) o número de digonis do pentdecágono. eternos. 10) eterminr dois polígonos regulres, e, sbendo-se que tem 3 ldos mis que e que diferenç entre s medids dos seus ângulos eternos é 6º. 11) do um decágono regulr, determinr medid do ângulo gudo compreendido entre o ldo e digonl. 1) do um dodecágono regulr, sendo o centro do dodecágono, determinr medid do ângulo. L K G Jec 54 J I H

56 13) do um decágono regulr, sendo o centro do polígono, determinr : J I H G ) som ds medids dos ângulos eternos do decágono. b) medid de cd ângulo eterno. c) som ds medids dos ângulos internos do decágono. d) medid de cd ângulo interno. e) medid do ângulo obtuso formdo pelos prolongmentos dos ldos e. f) medid do ângulo gudo formdo pelos prolongmentos dos ldos e. g) medid do ângulo gudo formdo entre s digonis I e G. h) medid do ângulo G. i) medid do ângulo. Jec 55

57 14) N figur o ldo, determinr o vlor de + y. 93º y 15) do um polígono conveo... com n ldos, n > 3, o número de digonis do polígono que não pssm pelo vértice é ddo por: ) 5n - 4 b) n - 11n c) n - 5n + 6 d) n(n-3) 105º 88º e) n ) Se som dos ângulos internos de um polígono regulr é 160º, sendo medid de cd ângulo eterno então: ) = 18º b) 30º < < 35º c) = 45º d) < 7º e) 40º < < 45º 17) Três polígonos têm o número de ldos epressos por números inteiros consecutivos. Sbendo que o número totl de digonis dos três polígonos é igul 8, determine polígono com mior número de digonis. 18) N figur o ldo, é um triângulo eqüilátero e GH é um pentágono regulr. Sbendo-se que pertence o ldo, pertence o ldo, G e H pertencem o ldo, determinr s medids dos ângulos e H. 19) do o eneágono regulr o ldo, determinr medid do ângulo formdo pelos prolongmentos dos ldos e. I H X G H G Jec 56

58 0) (US-006) onsidere um heágono equiângulo (ângulos internos iguis), no qul qutro ldos consecutivos medem 0 cm, 13 cm, 15 cm e 3 cm, conforme figur seguir. lcule o perímetro do heágono ) (MK-SP) Num qudrilátero conveo, som de dois ângulos internos consecutivos mede 190º. mior ângulo formdo pels bissetrizes interns dos dois outros ângulos mede: ) 105º b) 100º c) 90º d) 95º e) 85º ) (IT-SP) número de digonis de um polígono regulr de n ldos, que não pssm pelo centro d circunferênci circunscrit esse polígono, é ddo por: ) n(n - ) 3) (I) menor ângulo interno de um polígono conveo mede 139º, e os outros ângulos formm com o primeiro um progressão ritmétic de rzão. etermine o número de ldos do polígono. b) n(n - 1) c) n(n - 3) d) n(n - 5) e) n.d.. Jec 57

59 Resposts dos eercícios d ul ) 340º e 90 digonis 0) 360º e 135 digonis 03) 140º e 40º 04) 135º e 0 digonis 05) 1980º 06) 54 digonis 07) 90 digonis 08) 360º / 7 09) Heptágono e undecágono 10) neágono e pentdecágono 11) 60º 1) 75º 13) d 14) b 15) d 16) b Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 58

60 Resposts dos eercícios complementres d ul ) ) 700º b) 360º c) 119 0) ) 160º b) 360º c) 44 1) d ) 3) 1 03) 14 ldos e 77 digonis 04) 160º 05) 360º 06) Qudridecágono e dodecágono 07) ) 9 b) 160º c) 140º d) 360º e) 40º f) 7 08) neágono 09) ) 15 b) 340º c) 156º d) 360º e) 4º f) 90 10) Pentdecágono e dodecágono 11) 18º 1) 10º 13) ) 360º b) 36º c) 1440º d) 144º e) 108º f) 7º g) 54º h) 7º i) 36º 14) 74º 15) c 16) b 17) heptágono 18) 4º e 48º 19) 60º 0) 99 cm Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 59

61 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ul 06 Ângulos n circunferênci. I) lementos d circunferênci. r r r P - centro d circunferênci = r - rio d circunferênci = r - diâmetro d circunferênci = - ângulo centrl P - rco d circunferênci - cord d circunferênci II) Posições reltivs entre ponto e circunferênci. - ponto eterior - ponto d circunferênci - ponto interior - centro d circunferênci III) Posições reltivs entre ret e circunferênci. ponto de tngênci ret tngente ret secnte ret eterior IV) Proprieddes d circunferênci. 1) m tod circunferênci, medid do ângulo centrl é igul à medid do rco correspondente. ) m tod circunferênci, o rio é perpendiculr à ret tngente no ponto de tngênci. 3) m tod circunferênci, o rio, qundo perpendiculr à cord, divide ess cord o meio. P = P M M = M V) Ângulos n circunferênci. ) Ângulo inscrito n circunferênci. b) Ângulo de segmento. É o ângulo que tem o vértice n "linh" d circunferênci e os dois ldos secntes ess rênci, um ldo secnte e um ldo tngente ess É o ângulo que tem o vértice n "linh" d circunfe- circunferênci. circunferênci. Propriedde - ângulo inscrito vle metde do Propriedde - ângulo de segmento vle metde ângulo centrl ou metde do rco correspondente. do ângulo centrl ou metde do rco correspondente. vértice b - ângulo centrl b - ângulo inscrito b = Jec 60 vértice b secnte tngente - ângulo centrl b - ângulo de segmento b =

62 IV) onsequêncis do ângulo inscrito. 1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito num semicircunferênci onde hipotenus coincide com o diâmetro. ) m todo triângulo retângulo, medin reltiv à hipotenus vle metde dess hipotenus. 3) Todos os ângulos de um circunferênci inscritos no mesmo rco são congruentes. ângulo inscrito R R R medin reltiv à hipotenus b b rco de medid b hipotenus e diâmetro hipotenus b b 4) m todo qudrilátero inscrito num circunferênci os ângulos internos opostos são suplementres. + b = 180º e g + q = 180º 5) Ângulo ecêntrico de vértice interno. = + b 6) Ângulo ecêntrico de vértice eterno. = - b g b q b b vértice vértice ercícios - 01) Ns circunferêncis bio, sendo o centro, determine medid do ângulo ou do rco. ) b) c) 118º 46º 41º d) e) f) 39º 6º g) h) i) 6º 104º 87º Jec 61

63 0) Ns figurs bio, sendo o centro d circunferênci, determinr medid do ângulo ou do rco. ) b) c) 3 14º 55º d) e) f) tngente 35º 34º 5º 5º g) h) Tente fzer por outro método. i) 88º 37º 37º j) k) l) 56º 87º 14º 33º 118º 34º 34º m) n) o) 165º 146º 54º tngente Jec 6 77º

64 03) N circunferênci bio pode-se firmr que: G H 70º ) s medids dos rcos HG e são iguis. b) som dos rcos HG e é 180º. c) som dos rcos G e é 140º. d) o rco G é mior que o rco. e) som dos rcos G e é 0º. 04) (J) d um circunferênci de diâmetro, sej P um ponto d circunferênci distinto de e de. Pode-se firmr que : ) P = P b) P + P = constnte c) P > P d) (P) + (P) = constnte e) (P) - (P) = constnte 05) N figur bio, circunferênci de centro tngenci o triângulo nos pontos e. Sbendose que medid do ângulo interno é 40º e que medid do rco G é 75º, determinr medid do ângulo. 06) N figur bio, os pontos, e são pontos d circunferênci de centro. vlor de + y é : ) 4º b) 11º c) 118º d) 59º e) 6º 118º y G 07) N figur bio, s dus circunferêncis têm o mesmo rio e centros nos pontos R e S. s pontos, P, e S estão n circunferênci de centro R e os pontos M, N, R e K estão n circunferênci de centro S. Se o rco P mede 86º, então o ângulo MKN, mede : ) 3º b) 1º 30 M c) º d) º 30 e) 43º P R S 08) do um pentágono regulr, constói-se um circunferênci pelos vértices e de tl form que e sejm tngentes ess circunferênci, em e em, respectivmente. etermine medid, em grus, do menor rco dess circunferênci. N K 09) (J) N figur bio, s rets P e P são tngentes à circunferênci de centro. etermine medid do ângulo P sbendo que o ângulo mede 61º. P 10) (MK-SP) N figur seguir, os rcos QMP e MTQ medem,respectivmente, 170º e 130º. ntão, o rco MSN mede: ) 60º b) 70º c) 80º d) 100º e) 110º S M P N T Q Jec 63

65 11) No pentdecágono regulr bio, determinr medid do ângulo gudo formdo entre s digonis N e J. P M L K N J I H G 1) No icoságono regulr bio, K, N e HN são digonis. etermine s medids dos ângulos, y e z. Q R P S N T M U L y K z J I H G I - plique ângulos inscritos 13) No dodecágono regulr de centro bio, determinr s medids dos ângulos, y, z e t. L K z y J t I H G I - plique ângulos inscritos 14) figur bio represent um qudrilátero K inscrito em um dodecágono regulr.... etermine s medids dos ângulos, y, z e t. J K I L H G y t z 15) figur bio represent um eneágono regulr de centro. Sendo I bissetriz do ângulo IH e P meditriz do segmento, determinr s medids dos ângulos, y, z e t. I I - plique ângulos inscritos 16) No eneágono regulr, determinr medid do ângulo formdo pels rets I e. I I - plique ângulos inscritos t H H G y z G P I - plique ângulos inscritos Jec 64 I - plique ângulos inscritos

66 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln Ângulos n circunferênci. ercícios complementres d ul ) Ns figurs bio, sendo o centro d circunferênci, determinr medid do ângulo ou do rco. ) b) c) 86º V 46º V 76º V d) e) f) 136º 88º 9º g) h) i) 94º 10º 70º 3º 68º 87º j) l) m) 33º 106º 38º n) 51º o) p) 196º 56º Jec 65

67 0) Ns figurs bio, sendo o centro d circunferênci, determinr medid do ângulo ou do rco. ) b) c) 78º 98º d) e) f) 57º 4º 58º 88º g) h) i) 140º 56º 6º 94º 40º 36º j) l) m) 8º 55º 10º 115º 100º 68º n) o) p) 56º 48º 44º Jec 66

68 03) N circunferênci de centro bio, é um diâmetro e medid do segmento é metde d medid de. etermine medid dos ângulos, e. 04) N figur bio, s rets P e P são tngentes à circunferênci de centro nos pontos e. Sbendo-se que o ângulo P mede 48º, determinr medid do rco. P 05) N figur bio,,, e são pontos d circunferênci de diâmetro e centro. etermine medid do ângulo. 06) Sejm P, Q e R pontos de um circunferênci de centro, tis que P e Q estão do mesmo ldo do diâmetro que pss por R. Sbendo que RP = 0º e RQ = 80º, clcule o ângulo PQ. 7º 8º R 07) N figur bio, é o diâmetro e, e são pontos d circunferênci. Sbendo-se que o ângulo mede 35º, determine medid do ângulo. 08) N figur bio, = 1 cm é um diâmetro d circunferênci de centro. Sendo um ponto d circunferênci diferente de e de, determine : ) medid do ângulo. b) o tipo do triângulo. c) o que é o segmento no triângulo. d) medid do segmento. Jec 67

69 09) figur bio represent um eneágono regulr inscrito em um circunferênci de centro. eterminr medid do ângulo gudo formdo entre s digonis G e H. I 10) figur bio represent um decágono regulr inscrito em um circunferênci de centro. Sendo J e s bissetrizes dos ângulos JI e respectivmente, determinr medid do ângulo J. J H I G H G I - plique ângulos inscritos 11) figur bio represent um heptágono regulr inscrito num circunferênci de centro. eterminr medid do ângulo G. G I - plique ângulos inscritos 1) figur bio represent um pentdecágono regulr inscrito num circunferênci de centro. eterminr o ângulo obtuso formdo entre s digonis M e I. N P M L K J G I H I - plique ângulos inscritos Jec 68 I - plique ângulos inscritos

70 13) No pentdecágono regulr bio, determinr medid do ângulo gudo formdo entre s digonis N e J. M L N P 14) No icoságono regulr bio, determinr s medids dos ângulos, y e z. U T S z R y Q P G K J I H G N M L K J I H I - plique ângulos inscritos 15) No dodecágono regulr de centro bio, determine s medids dos ângulos, y, z e t. L K y z t J I H G I - plique ângulos inscritos 16) figur bio represent um qudrilátero IK inscrito em um dodecágono regulr.... etermine s medids dos ângulos, y, z e t. J K I t L H G y z I - plique ângulos inscritos 17) figur bio represent um octógono regulr de centro. Sendo H bissetriz do ângulo HG e meditriz do segmento, determinr s medids dos ângulos, y, z e t. H z y H I - plique ângulos inscritos 18) No eneágono regulr, determinr medid do ângulo formdo pels rets G e. I G t G I - plique ângulos inscritos Jec 69 I - plique ângulos inscritos

71 19) N figur bio, os pontos,,, M, N e P estão n circunferênci de centro. Se o rco P mede 160º e o ângulo mede 63º, qul é medid do ângulo? ) 51º b) 43º c) 33º d) 47º M P e) 37º N 0) N figur bio, os pontos,,, M, N e P estão n circunferênci de centro. Se o rco M mede 110º e o ângulo mede 63º, qul é medid do ângulo? ) 6º b) 64º c) 58º d) 63º e) 59º M P N 1) N figur bio, é o diâmetro d circunferênci de centro. eterminr medid do ângulo sbendo que o ângulo mede 35º. ) (UVST-SP) hipotenus de um triângulo retângulo mede 0 cm e um dos ângulos mede 0º. ) Qul medid d medin reltiv à hipotenus? b) Qul medid do ângulo formdo por ess medin e pel bissetriz do ângulo reto? 35º 3) No triângulo bio,, e são s lturs reltivs os vértices, e. Sendo s medids dos ângulos = 48º e = 64º,determinr s medids dos ângulos internos do triângulo. esfio Jec 70

72 Resposts dos eercícios d ul ) ) 59º b) 8º c) 9º d) 39º e) 90º f) 8º g) 8º h) 76º i) 87º 0) ) 8º b) º 30' c) 110º d) 0º e) 18º f) 38º g) 53º h) 53º i) 7º j) 10º k) 4º l) 9º m) 107º n) 54º o) 59º 03) e 04) d 05) 35º 06) d 07) b 08) 144º 09) 58º 10) 11) 84º 1) 45º, 99º e 36º 13) 75º, 30º, 45º e 60º 14) 60º, 90º, 10º e 90º 15) 140º, 140º, 70º e 140º 16) 40º Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 71

73 Resposts dos eercícios complemmentres d ul ) ) 43º b) 13º c) 15º d) 136º e) 44º f) 9º g) 16º h) 18º i) 95º j) 57º l) 34º m) 90º n) 39º o) 14º p) 8º 0) ) 60º b) 98º c) 04º d) 33º e) 48º f) 156º g) 4º h) 4º i) 11º j) 96º l) 65º m) 70º n) 11º o) 46º p) 48º 03) 90º, 60º e 60º 04) 8º 05) º 06) 60º 07) 55º 08) ) 90º b) triângulo retângulo c) medin d) 6 cm 09) 60º 11) 360º / 7 1) 108º 13) 7º 14) = 7º, y = 108º, z = 45º 15) = 75º, y = 45º, z = 30º, t = 10º 16) = 105º, y = 90º, z = 75º, t = 90º 17) = 135º, y = 135º, z = 67,5º, t = 11,5º 18) 40º 19) e 0) 1) 15º ) ) 10 cm b) 5º 10) 108º Resolução do eercício 3) (esfio) qudrilátero é inscrito num circunferênci, pois os os ângulos opostos e são suplementres. esenhndo-se circunferênci percebe-se que os ângulos e são congruentes pois estâo inscritos no mesmo rco d mesm circunferênci. nálogmente provm-se os demis ângulos. 6º 6º 64º = 84º = 5º = 44º Jec 7

74 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ul 07 Segmentos proporcionis. I) Teorem de Tles. m todo feie de rets prlels, cortdo por dus rets trnsversis, rzão entre dois segmentos quisquer de um trnsversl é igul à rzão entre os segmentos correspondentes d outr trnsversl. b c d r s t Teorem de Tles b = c d II) Teorem d bissetriz intern. m todo triângulo, bissetriz de um ângulo interno divide internmente o ldo oposto em dois segmentos que são proporcionis os ldos djcentes. c bissetriz y b Teorem d bissetriz intern c = y b r // s // t ercícios. 01) etermine o vlor de n figur bio. 0) etermine o vlor de n figur bio. 8 5 r // s // t r // s // t r r 8 s 6 s t 18 4 t 03) etermine o vlor de n figur bio. 04) etermine o vlor de n figur bio. r s 4 18 r s t r // s // t r // s 05) etermine o vlor de n figur bio. 06) etermine o vlor de n figur bio. r s r t 7 8 s r // s // t r // s Jec 73

75 07) (MPI 76) Três terrenos têm frente pr Ru e pr Ru, como mostr figur. s diviss lteris são perpendiculres à Ru. Qul medid de frente pr Ru de cd lote, sbendo que frente totl pr ess ru é 180 m. Ru y 40 m 30 m 0 m Ru z 08) N figur bio, s rets m, n, p, q, r e s são prlels entre si e são cortds pels rets u e v. Sbendo-se que = 3, = 4, = 5, = 6, = 7 e JL = 8, determine medid de GJ e de HM. G H I J L m n p q r u M v s 09) N figur bio, s rets m, n, p, q, r e s são prlels entre si e são cortds pels rets u e v. Sbendo-se que = 3, = 4, = 5, = 6, = 7 e JM =15, determine s medids de HL e GM. G H I J m n p q 10) (UNIMP) figur seguir mostr um segmento dividido em três prtes: = cm, = 3 cm e = 5 cm. segmento ' mede 13 cm e s rets ' e ' são prlels '. etermine os comprimentos dos segmentos ', '' e '' em centímetros. ' ' L r ' u M v s Jec 74

76 11) No triângulo bio, sendo bissetriz do ângulo interno do vértice, determine medid do segmento. 1 cm 6 cm 9 cm 1) No triângulo bio, sendo bissetriz do ângulo interno do vértice, determine medid do segmento. 16 cm 0 cm 10 cm 13) N figur, é bissetriz intern do ângulo. lcule medid do segmento. 14) eterminr o vlor de sbendo-se que n figur bio é bissetriz intern do ângulo. 30 cm 16 cm cm 1 cm 9 cm 15) qudrdo d figur bio tem ldo 4 cm. etermine medid do segmento. 3 16) N figur bio, o ponto é o incentro do triângulo. Sendo = 3 cm, = 5 cm e = 10 cm, determine o vlor d rzão /. 10 cm 3 cm 5 cm 17) N figur bio, sendo bissetriz do ângulo, determine em função de b, c e d. d b c 18) do um triângulo de ldos = c, = b e =, sendo c < b <. Se bissetriz do ângulo divide o ldo em dois segmentos, qul é medid do menor desses segmentos? ) b. c + c b) b. c + b c). b b + c d). c b + c e). b b - c Jec 75

77 19) (uvest-sp) Um triângulo tem ldos = 5, = 4 e =. Sejm M e N os pontos de tis que M é bissetriz reltiv o ângulo e N é ltur reltiv o ldo. etermine o comprimento de MN. 0) N figur bio, é um triângulo retângulo e o segmento é bissetriz intern do ângulo. etermine medid de sbendo que = 5 cm e que = 7 cm. 1) N figur bio, o triângulo é retângulo em ; M é medin reltiv à hipotenus e é bissetriz do ângulo. eterminr medid do segmento M. ) (MPI-SP) perímetro de um triângulo é 100 m. bissetriz do ângulo interno divide o ldo oposto em dois segmentos de 16 m e 4 m. etermine s medids dos ldos desse triângulo. 5 cm 8 cm 6 cm M Jec 76

78 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) 01) N figur bio, sendo // b // c //d, determinr e y. 5 b 8 10 y 7 c d Geometri pln Teorem de Tles e Teorem d bissetriz intern. ercícios complementres d ul 07. 0) N figur bio, sendo // b // c //d, determinr e y y 4 b c d 03) N figur bio, determine z em função de y. r // s // t r y s 3 z 04) N figur bio, sendo + y = 9, determinr o vlor de e de y. r // s // t r s 3 y t t 05) N figur bio, determinr, y e z. r 7 s y 3 t 06) N figur bio, determine o vlor de. 9 cm 7 cm 6 cm 11 9 u v z r // s // t // u // v 07) N figur bio, determine o vlor de em função de, b e c. r r // s b 08) Num triângulo, o ldo mede 3 cm e o ldo, 36 cm. Por um ponto M situdo sobre, 10 cm do vértice, trçmos prlel o ldo, qul divide em dois segmentos N e N. etermine medid de N. s c Jec 77

79 09) N figur bio, s rets r, s e t são prlels entre si. Se + y = 1, então o vlor que mis se proim de - y, é : ) 1,03 b) 1,33 c) 1,57 d) 1,75 e),00 y 4 5 r s t 10) N figur bio, s rets, b, c, d, e e f são prlels entre si. etermine o vlor d som ds medids dos segmentos, y, z e t. f e b c d y z t 11) N figur bio, s rets m, n, p, q, r e s são prlels entre si e são cortds pels rets u e v. Sbendo-se que = 3, = 4, = 5, = 6, = 7 e LM = 8, qul é medid de HJ? ) 83 / 9 b) 81 / 7 c) 93 / 9 d) 7 / 7 e) 89 / 8 G H I J m n p q 1) N figur bio, s rets m, n, p, q, r e s são prlels entre si e são cortds pels rets u e v. Sbendo-se que = 3, = 4, = 5, = 6, = 7 e HJ = 10, qul é medid de HM? ) 198 / 7 b) 3 / 9 c) 0 / 9 d) 41 / 10 e) 41 / 11 G H I J m n p q L r L r u M v s u M v s 13) N figur bio, é bissetriz do ângulo. etermine medid do segmento e o vlor do perímetro do triângulo. 14) N figur bio, é bissetriz do ângulo. etermine medid dos segmentos e. 18 cm 1 cm 1 cm 16 cm 8 cm 0 cm Jec 78

80 15) Num triângulo, é bissetriz do ângulo interno. Sbendo que = 7 cm, = 4 cm e = 15 cm, determine medid do ldo. 16) bserve figur bio. e cordo com ess figur, qul ds relções bio é verddeir. ) = b.d / c b) = b.c / d b c) = c.d / b d) = c / (b.d) c e) = b.c.d d 17) No triângulo bio, é bissetriz do ângulo, = 18 cm e = 15 cm. etermine rzão entre s medids dos segmentos e. 18) (J) No triângulo bio, = 1, = 8 e = 10. eterminr medid de, sbendo que é prlelo e é bissetriz do ângulo interno do vértice. 19) (J) N figur bio, determinr, y, w e k em função de, b e c. 0) (J) N figur bio, = 15º e = 4. etermine rzão entre e. 15º 15º 15º k y b w c Jec 79

81 1) (J) N figur bio, s rets, b, c, d e e são prlels entre si. etermine o vlor d epressão =. y + t. b c d 6 5 y 9 t 7 ) (J) No triângulo bio, = 6, = 9 e = 8. Sbendo que é o ponto de encontro ds três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo, determine rzão entre e T. T S R e 3) (J) No triângulo bio, = 6, = 9 e = 8. Sbendo que é o incentro do triângulo e que V é o ponto onde circunferênci de centro em tngenci o ldo, determine distânci VR. 4) (J) etermine medid de um digonl de um pentágono regulr de ldo K. K T S d V R Jec 80

82 Resposts dos eercícios d ul ) 48 / 5 0) 3 / 3 03) 108 / 5 04) 3 / 5 05) 96 / 5 06) 88 / 7 07) 80 m, 60 m, e 40 m 08) 16 e 88 / 3 09) 5 / 13 e 375 / 13 10) 13 / 5, 39 / 10 e 13 / 11) 18 cm 1) (160 / 13) cm 13) (11 / 15) cm 14) 5 cm 15) 4( - 1) cm 16) 1 / 17) b.d / c 18) d 19) 11 / 30 0) (35 / 4) cm 1) (5 / 7) cm ) 4 cm, 40 cm e 36 cm Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 81

83 Resposts dos eercícios complementres d ul ) 5 / 4 e 8 / 5 0) 8 / 5 e 0 / 7 03) 3y 04) 18 / 5 e 7 / 5 05) 63 / 11, 7 / 11 e / 9 06) (1 / ) cm 07).c / b 08) (45 / 4) cm 09) b 10) 7 11) d 1) c 13) 1 cm e 50 cm 14) (60 / 7) cm e (80 / 7) cm 15) (60 / 7) cm 16) 17) 6 / 5 18) 7 / 11 19) = c, y =, w = k = 0) 3 / b(b 3-3c) 3c b 3-3c 3 1) 887 / 18 ) 17 / 6 3) 7 / 10 4) K(1 + 5 ) / Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 8

84 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ul 08 Semelhnç de triângulos. I) Semelhnç de triângulos. efinição. ois triângulos são semelhntes se têm os ângulos dois dois congruentes e os ldos correspondentes dois dois proporcionis. efinição mis "populr". ois triângulos são semelhntes se um deles é redução ou mplição do outro. semelhnte ~ > e = = = k K - rzão d semelhnç ou constnte de proporcionlidde. Importnte - Se dois triângulos são semelhntes, proporcionlidde se mntém constnte pr quisquer dois segmentos correspondentes, tis como: ldos, medins, lturs, rios ds circunferêncis inscrits, rios ds circunferêncis circunscrits, perímetros, etc. II) sos de semelhnç. (omo reconhecer semelhnç de triângulos) 1) so (importntíssimo). ) so LLL. 3) so LL. ois triângulos são semelhntes se dois ângulos () de um deles são congruentes dois ângulos do outro. ois triângulos são semelhntes se têm os três ldos dois dois ordendmente proporcionis. b ois triângulos são semelhntes se têm um ângulo congruente e os dois ldos de um triângulo djcentes o ângulo são proporcionis os dois ldos djcentes o ângulo do outro triângulo. b b c d e f b c = d e = = f k d f c d c = = f k III) omo plicr semelhnç de triângulos. ) Reconhecer semelhnç trvés dos "csos de semelhnç". b) esenhr os dois triângulos seprdos. c) hmr de, b e g os três ângulos de cd triângulo. d) scolher um triângulo pr ser o numerdor d proporção. e) Montr um proporção entre segmentos correspondentes, mntendo sempre o mesmo triângulo no numerdor d proporção. ercício 01 - Utilizndo técnic de plicção d semelhnç de triângulos cim descrit, determine o vlor de n figur bio. 1 4 Jec 83

85 0) N figur bio o segmento é prlelo à bse, = 9 cm, = 13 cm, = 1 cm e medid de é 8 cm. etermine s medids dos segmentos e. 03) N figur bio, = 7 cm, = 5 cm, = 6 cm e mede 10 cm e é prlelo. etermine medid dos segmentos e. 04) N figur, = 5 cm, = 3 cm e = 7 cm. etermine medid dos segmentos e, sbendo que é prlelo e que o perímetro do triângulo mede 45 cm. 05) N figur, o trpézio tem bses = 8 cm, = 18 cm e ltur 1 cm. s digonis e interceptm-se no ponto. etermine distânci entre o ponto e bse. d 06) N figur, o trpézio tem bses = 8 cm, = 18 cm e ltur 1 cm. Sendo o ponto de intersecção dos prolongmentos dos ldos e, determine ltur reltiv à bse do triângulo. 07) N figur, //, = 8 cm, = 4 cm e mede 14 cm. etermine medid do segmento. Jec 84

86 08) N figur, = 8, = 1 e é um losngo inscrito no triângulo. etermine medid do ldo desse losngo. 09) N figur bio, é um triângulo de ltur 6 cm e cuj bse mede 1 cm. G é um qudrdo com o ldo sobre o segmento. etermine medid do ldo desse qudrdo. h = 6 cm G 10) N figur bio, o triângulo tem bse = e ltur h. Sbendo-se que o triângulo tem bse = y e s bses e são prlels, determine medid d ltur H do trpézio em função de, y e h. 11) s qudrdos representdos n figur bio têm ldos 9 cm, 6 cm e cm. eterminr medid do perímetro do menor qudrdo. h H 9 cm 6 cm y 1) N figur bio, = 8 cm, = 0 cm e = 5 cm. etermine medid de. 13) (SPM) Um mstro verticl é mntido ness posição por 3 cbos esticdos que prtem d etremidde P e são fidos no chão nos pontos, e, conforme figur bio. Sendo, y e z s distâncis respectivs desses pontos o pé do mstro, determine o vlor de z em função de e y. P 50º y 40º z 45º Jec 85

87 IV) Potênci de um ponto em relção um circunferênci. d um circunferênci l e um ponto P, P não pertencente l, se e são os pontos de intersecção entre l e ret secnte l por P, define-se potênci de P em relção l o produto P P. P Propriedde. dos l e P, potênci de P em relção l é constnte, qulquer que sej ret secnte l por P. l Potênci = P P 1º cso: ponto P é interior l. º cso: ponto P é eterior l. P P = P P = P P = PG PH = cte H l P G P T é ponto de tngênci P P = P P = ( PT ) = cte T l 14) N figur bio, os pontos,, e pertencem à circunferênci l. Sbendo que P = 6, P = 8 e que P = 1, determine medid do segmento P. 15) N figur bio, os pontos, e pertencem à circunferênci l. Sbendo que P = 4, = 1, determine medid do segmento P. P l P l 16) N figur bio, os pontos,, e pertencem à circunferênci l. Sbendo que P = 6, = 8 e = 5, determine medid do segmento P. 17) N figur bio, os pontos e pertencem à circunferênci de centro. etermine medid do rio d circunferênci sbendo que P = 6, P = 10 e P = 4. P l l P Jec 86

88 18) N figur, = 5 cm, = 1 cm e = 3 cm. etermine medid do segmento. 19) (UL-PR) pós um tremor de terr, dois muros prlelos em um ru de um cidde ficrm ligeirmente bldos. s mordores se reunirm e decidirm escorr os muros utilizndo dus brrs metálics, como mostr figur bio. Sbendo que os muros têm lturs de 9 m e 3 m, respectivmente, que ltur do nível do chão s dus brrs se interceptm? espreze s espessurs ds brrs. 9 m h 3 m 0) N figur bio, os segmentos, e medem, respectivmente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e é bissetriz do ângulo. etermine medid do segmento. 1) No triângulo, = 8, = 7, = 6 e o ldo foi prolongdo, como mostr figur, té o ponto P, formndo-se o triângulo P, semelhnte o triângulo P. etermine o comprimento do segmento P. P Jec 87

89 ) (Ibmec) N figur, é o diâmetro d circunferênci de rio 10 cm e ret P é tngente ess circunferênci. etermine medid do segmento Q, sbendo que o segmento PQ mede 3 cm. P Q 3) (UVST-SP) N figur, o triângulo é retângulo com ctetos = 3 e = 4. lém disso, o ponto pertence o cteto, o ponto pertence o ctero e o ponto pertence à hipotenus, de tl form que sej um prlelogrmo. Se = 3/, então áre do prlelogrmo vle ) b) c) d) e) ) (IT-SP) N figur, ret t é tngente à circunferênci no ponto e prlel o segmento. Se = 6, = 5 e = 7, medid do segmento será: ) b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 t 5) (IT-SP) Sej um ponto eterno um circunferênci. s segmentos e interceptm ess circunferênci nos pontos e, e, e respectivmente. cord d circunferênci intercept o segmento no ponto G. Se = 5, = 7, = 4, G = 3 e G = 6, então G vle: ) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 Jec 88

90 6 cm studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln Semelhnç de triângulos e Potênci de ponto. ercícios complementres d ul ) N figur bio, o segmento é prlelo o segmento. Provr que os triângulos e são semelhntes e clculr s medids dos segmentos e. 9 cm y 11 cm 8 cm 1 cm 0) N figur bio, = 8 cm, = 5 cm, = 10 cm. Provr que os triângulos e são semelhntes e clculr s medids dos segmentos, e. 03) N figur bio, o ponto é o ponto de intersecção ds digonis do trpézio. Sendo = 8 cm, = 14 cm e tendo o trpézio 6 cm de ltur, provr que os triângulos e são semelhntes e determinr distânci d entre o ponto e bse mior. 8 cm d 14 cm 04) N figur bio, determinr o vlor de. 4 cm 3 cm 5 cm Jec 89

91 05) N figur bio, é um retângulo de ldos = 4 cm e = 3 cm. Provr que os triângulos, e são semelhntes e determinr s medids dos segmentos e. 4 cm 3 cm 06) N figur bio, = 10 cm e = 4 cm. Provr que os triângulos e são semelhntes e determinr medid do segmento. 07) N figur bio, os pontos,, e pertencem à circunferênci de centro. Provr que os triângulos P e P são semelhntes e que vle relção P P = P P. P 08) N figur bio, é um triângulo de bse = 16 cm e ltur 8 cm. Provr que os triângulos e G são semelhntes e determinr áre do qudrdo G inscrito no triângulo. h = 8 cm G 09) N figur bio, provr que os triângulos e são semelhntes e determinr um epressão que forneç t como função de, y e z. t y z Jec 90

92 10) N figur bio, = 1 cm, = 8 cm, = 9 cm e = 5 cm. Sbendo-se que os ângulos e são congruentes, provr que os triângulos e são semelhntes e determinr s medids dos segmentos e. 11) N figur bio, é um triângulo retângulo cujos ctetos e medem respectivmente 3 cm e 4 cm. Sendo igul 1 cm, provr que os triângulos e são semelhntes e determinr medid do segmento. 1) Sbendo-se que = 5 cm e = 4 cm são dus lturs de um triângulo de ldo = 6 cm, determinr medid do ldo desse triângulo. 13) triângulo d figur bio é eqüilátero de ldo 10 cm e M é o ponto médio do ldo. Sendo = 6 cm, determinr medid do segmento N. M N 14) onsidere circunferênci circunscrit um triângulo. Sej um diâmetro dest circunferênci e ltur do triângulo. Sendo = 6 cm, = 10 cm e = 30 cm, clcule ltur. h Jec 91

93 15) N figur bio, determinr o vlor de sbendo-se que os dois qudrdos representdos têm ldos 5 cm e 8 cm. 8 cm 5 cm 16) s qudrdos representdos n figur bio têm ldos t e y. eterminr medid de em função de t e de y. t y 17) s qudrdos representdos n figur bio têm ldos 1 cm, 8 cm e cm. eterminr medid do perímetro do menor qudrdo. 1 cm 8 cm 18) N figur bio, é um retângulo cujo ldo mede 9 cm. Sendo M o ponto médio do ldo, provr que os triângulos P e MP são semelhntes e determinr ltur h do triângulo MP. P M h 19) No triângulo cutângulo, bse mede 4 cm e ltur reltiv ess bse tmbém mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem o ldo, P pertence o ldo e Q, o ldo. eterminr o perímetro desse retângulo. 4 cm Q P M N 0) trpézio bio tem bse menor = 8 cm, bse mior = 14 cm e ltur igul 6 cm. Sendo P intersecção dos prolongmentos dos ldos não prlelos do trpézio, determine distânci entre o ponto P e bse mior de. Jec 9

94 1) onsidere s três circunferêncis d figur, de mesmo rio R, tngentes eternmente. lculr medid d cord em função de R, sbendo que ret r é tngente à circunferênci de centro 3. r 1 3 ) N figur bio, determine o vlor de. 10 cm 1 cm 14 cm 15 cm 3) N figur, é um retângulo tl que bse é o dobro d ltur. etermine medid do perímetro desse retângulo. 1 cm 16 cm 4) No triângulo bio, sendo //, determine s medids de e. 5 cm 9 cm 11 cm 16 cm 5) N figur bio, determinr o vlor de. 5 cm 7 cm 6 cm 6) N figur bio, sendo = 16 cm, = 9 cm, = 15 cm e = 7 cm, determinr e. Jec 93

95 7) N figur bio, os pontos,, e pertencem à circunferênci de centro. Sbendo-se que P = 4 cm, P = 6 cm e P = 8 cm, determine medid do segmento P e cite propriedde utilizd n solução do eercício. P 8) N figur bio, os pontos,, e pertencem à circunferênci de centro. Sendo M ponto médio do segmento, M = 9 cm e M = 4 cm, determine medid do segmento e cite propriedde utilizd n solução do eercício. M 9) N figur bio, os pontos,, e pertencem à circunferênci de centro. Sendo P = 5 cm, = 9 cm e = 10 cm, determine medid do segmento P e cite propriedde utilizd n solução do eercício. P 30) s pontos e pertencem à circunferênci de centro e rio 6 cm. ret P é tngente à circunferênci no ponto. Sendo P = 5 cm, determine medid de P e cite propriedde utilizd n solução do eercício. P 31) s pontos,, e pertencem à circunferênci de centro. Sendo =, = y, = z e = t, determine t em função de, y e z. Jec 94

96 Resposts dos eercícios d ul ) 8 0) 6 cm e (6 / 3) cm 03) (4 / 5) cm e (10 / 7) cm 04) 15 cm e 9 cm 05) (108 / 13) cm 06) (48 / 5) cm 07) (14 / 3) cm 08) 4 / 5 09) 4 cm 10 ) h(y - ) / 11) 16 cm 1) (10-15 ) cm ou ( ) cm 13). y 14) 16 15) 8 16) 7 17) 19 18) (39 / 5) cm 19) (9 / 4) m 0) (100 / 7) cm 1) 9 ) 5 cm 3) 4) c 5) d Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 95

97 Resposts dos eercícios complementres d ul ) 6 cm e ( / 3) cm 0) 41 cm, (5 / 4) cm e (5 41 / 4) cm 03) (4 / 11) cm 04) 6 cm 05) (16 / 5) cm e (1 / 5) cm 06) 14 cm 07) demonstrção - Utilizndo ângulos inscritos prov-se que os triângulos são semelhntes. 6) (1 / 5) cm e (11 / 15) cm 7) 3 cm - potênci de ponto. 8) 1 cm - potênci de ponto. 9) ( 95-5) cm - potênci de ponto. 30) 85 cm - potênci de ponto. 31) [( + y) - z ] / z 08) (56 / 9) cm 09) y. z / 10) (15 / ) cm e (3 / ) cm 11) (9 / 5) cm 1) (4 / 5) cm 13) (30 / 11) cm 14) cm 15) (5 / 3) cm 16) y / (t - y) 17) (64 / 3) cm 18) 3 cm 19) 8 cm 0) 14 cm 1) 8R / 5 ) (15 / ) cm 3) (144 / 5) cm 4) (45 / 11) cm e 5 cm 5) 4 cm Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 96

98 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ul 09 Relções métrics no triângulo retângulo. Teorem de Pitágors. I) Relções métrics no triângulo retângulo. Teorem. m todo triângulo retângulo, ltur reltiv à hipotenus divide o triângulo originl em dois triângulos menores, que são semelhntes entre si e semelhntes o triângulo originl. c =. m b =. n h = m. n. h = b. c c m H h b n II) Teorem de PItágors. m todo triângulo retângulo, o qudrdo d hipotenus é igul à som dos qudrdos dos ctetos. c b = b + c bservção - s segmentos m e n são s projeções ortogonis dos ctetos b e c sobre hipotenus. III) ercícios. 01) N figur bio, sbendo-se 0) N figur bio, sbendo-se 03) N figur bio, sbendo-se que = 5 cm e = 9 cm, determine s medids de, H, H mine s medids de,, e mine s medids de H, H, que H = 3 cm e H = 9 cm, deter- que H = 3 cm e = 5 cm, deter- e H. H. e. H H H Jec 97

99 04) etermine o vlor de no triângulo retângulo bio. 13 cm 05) Qul é o perímetro, em cm, de um losngo cujs digonis medem 1 cm e 6 cm? ) 4 39 b) cm c) 16 3 d) 8 13 e) ) Num retângulo tem-se = 15 e = 8. Sobre o ldo, mrc-se um ponto P de modo que P =1 e sobre o ldo, mrc-se um ponto Q de modo que Q = 7. Qul é distânci entre os pontos P e Q? ) 83 b) ) No retângulo bio tem-se = 15 cm e = 8 cm. Sobre o ldo, mrc-se um ponto P tl que P = 1 cm e sobre o ldo, mrc-se um ponto Q tl que Q = cm. Qul é, em cm, distânci entre os pontos P e Q? ) 74 b) 69 c) 78 c) 14 d) 19 d) 5 10 e) 89 e) 46 08) Qul é o rio de um circunferênci, se um ret secnte que dist 5 cm do centro d mesm, determin ness circunferênci um cord de comprimento 4 cm? ) 8 cm b) 13 cm c) 15 cm d) 17 cm e) 19 cm 09) N figur bio, medid de, em função de b, c, e d, é : ) = b + c + d b) = b + c - d c) = b - c - d d) = d - b - c b d c e) = d - b + c Jec 98

100 10) (UVST-SP) Um triângulo retângulo tem ctetos = 3 e = 4. No cteto tom-se um ponto P equidistnte do ponto e d ret. Qul é distânci P? 11) (UVST-SP) N figur bio, o qudrdo GH tem ldo, e é obtido trvés de um rotção de 45º do qudrdo em torno do centro. Se P = 1, então mede: ) - 1 b) P G c) d) H e) - 1 1) N figur, o qudrdo tem ldo 16 cm. etermine distânci d entre P e sbendo que o ponto P é equidistnte de, de e d ret. d P d 13) (UVST-SP) N figur bio, M é o ponto médio d cord PQ d circunferênci e PQ = 8. segmento RM é perpendiculr PQ e RM = 4 3. lcule: 3 ) o rio d circunferênci; b) medid do ângulo PQ, onde é o centro d circunferênci. R Q d P M 14) figur bio represent um retângulo e três circunferêncis, sendo dus idêntics miores e um menor destcd. etermine o rio d circunferênci menor, sbendo que,,, e são pontos de tngênci. 1 cm 15) (SPM-MG) Um tubo de ço foi fido um prede por meio de um presilh retngulr, como mostr figur bio. distânci, d presilh té prede, vle: ) 16 cm b) 17 cm c) 18 cm prede d) 19 cm tubo e) 0 cm prfuso presilh 4 cm 8 cm 16 cm Jec 99

101 16) (UVST-SP) Um lenhdor empilhou 3 troncos de mdeir num cminhão de lrgur,5 m, conforme figur bio. d tronco é um cilindro reto, cujo rio d bse mede 0,5 m. Logo, ltur h, em metros é: 17) N figur bio, determine o rio d circunferênci sbendo que e tngencim circunferênci nos pontos e, respectivmente, e que = cm, e = 9 cm. ) b) h c) d) ,5 e) ) N figur, o triângulo isósceles está inscrito n circunferênci de centro. bse mede 6 cm e = 3 10 cm. etermine o rio d circunferênci. 19) N figur, ret PT tngenci circunferênci de centro, os pontos P, e estão linhdos e s distâncis PT e P vlem, respectivmente 15 cm e 9 cm. etermine medid do rio d circunferênci. T P Jec 100

102 0) triângulo bio é retângulo em, tem ctetos = 1 cm, = 16 cm. rco H tem centro no vértice e tngenci hipotenus no ponto H. etermine áre d região sombred n figur. 1) triângulo bio tem ldos, e que medem, respectivmente, 5 cm, 7 cm e 10 cm. etermine medid d ltur do triângulo. H ) figur bio represent um qudrdo de ldo 16 cm, um rco de circunferênci com centro em e rio e um circunferênci de centro em, que tngenci o rco e os ldos do qudrdo. etermine medid do rio d circunferênci. 3) N figur bio, os pontos, e pertencem à circunferênci de centro. s pontos,, e estão linhdos. etermine medid do rio d circunferênci, sbendo que = 9 cm, = 8 cm e = 15 cm. Jec 101

103 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln Relções métrics num triângulo retângulo. Teorem de Pitágors. ercícios complementres d ul ) No triângulo retângulo bio, determine, m, n e h. 6 cm h 8 cm m n 0) No triângulo retângulo bio, determine o vlor de, y, z e t. t y z 9 cm 3 cm 03) N figur, é um triângulo retângulo em. Sendo = 9 cm e = 1 cm, determine, y, z e t. y z t 04) etermine o vlor de nos triângulos retângulos bio. ) 7 cm 9 cm b) 1 cm c) 13 cm 1 cm 9 cm Jec 10

104 05) No triângulo retângulo bio, determinr em função de y e z. y z 06) eterminr medid d digonl de um qudrdo de ldo. d 07) eterminr ltur de um triângulo eqüilátero de ldo. h 08) etermine, y e z n figur bio. z 1 cm y 1 cm 1 cm 1 cm 09)( SN) N figur bio, determine o vlor de e y y 10 10) (UVST-GV) Queremos desenhr no interior de um retângulo, um losngo IJ com vértice I sobre o ldo do retângulo e vértice J sobre o ldo. Se s dimensões dos ldos do retângulo são = 5 cm e = 15 cm, clcule medid do ldo do losngo. Jec 103

105 11) (VST-P) N figur bio, o triângulo é eqüilátero e cd um dos seus ldos mede 8 cm. Se é um ltur do triângulo e M é o ponto médio de, clcule medid de M em centímetros. 1) N figur bio, o ponto é o ponto de tngênci d ret com circunferênci de centro. Sendo e iguis 10 cm e 6 cm, respectivmente, determine medid do rio d circunferênci. M 13) (uvest) No qudrilátero d figur bio, é um ponto sobre o ldo tl que o ângulo mede 60º e os ângulos e são retos. Sbe-se tmbém que = = 3 e = 1. etermine medid de. 14) (Jec) N figur o ldo,,, e são os pontos médios dos ldos de um qudrdo de perímetro 4. etermine o rio d circunferênci inscrit no qudrdo º 1 15) No trpézio retângulo d figur bio, determine medid d digonl sbendo-se que = 10 cm, = 5 cm e = 6 cm. 16) figur bio represent um qudrdo de ldo k e dus circunferêncis interiores tngentes entre si e tngentes o qudrdo. etermine o rio d circunferênci menor em função de k. Jec 104

106 17) s bses de um trpézio isósceles circunscrito um círculo medem 8 cm e cm. lculr ltur desse trpézio. cm 18) s rios ds circunferêncis de centros e medem, respectivmente, 8 cm e 3 cm e distânci entre os centros, 13 cm. lcule medid de PQ, sendo P e Q pontos de tngênci. h 8 cm P Q 19) s rios ds circunferêncis de centros e medem 5 cm e cm, respectivmente e distânci entre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos de tngênci, clcule distânci PQ. 0) N figur bio, o ldo do qudrdo mede 8 cm. lcule o rio d circunferênci d figur, sendo T ponto de tngênci. Q P T 1) N figur bio, determine o vlor de. 6 1 ) N figur bio, s qutro circunferêncis são tngentes entre si. Sendo o centro d circunferênci mior,, e os centros ds demis e = =, determine o rio d circunferênci menor. 8 Jec 105

107 3) N figur bio, determine e. 4) (Jec) N figur, estão representdos dois círculos de rios 5 cm e 8 cm, tngentes entre si e tngentes os ldos do retângulo. etermine medid do ldo do retângulo. 10 cm 3 cm 3 cm 0 cm 5) us circunferêncis de rios 6 cm e 8 cm são tngentes eternmente. etermine medid de um segmento, sendo e os pontos de tngênci d ret com s circunferêncis. 6) N figur bio, determine o vlor de, y e h. 7 cm h 8 cm y 8 6 7) Um circunferênci de rio 3 cm é inscrit num triângulo isósceles. Sbendo-se que ltur do triângulo é 8 cm, determinr s medids dos ldos desse triângulo e o seu perímetro. 8) N circunferênci de centro, = = 6 cm e = cm. etermine medid do segmento. 6 6 Jec 106

108 9) No triângulo bio, determine ltur h. 5 cm h 13 cm 30) figur bio represent 4 circunferêncis de rio 8 cm, tngentes dus dus e um circunferênci menor tngente às qutro miores. eterminr o rio d circunferênci menor. 9 cm 31) retângulo d figur tem ldos = 40 cm e = 30 cm. Sendo = 10 cm, determinr medid do segmento. 3) (UL-PR) Tome um folh de ppel em form de um qudrdo de ldo igul 1 cm e nomeie os seus vértices,,,, conforme figur 1. seguir, dobre- de mneir que o vértice fique sobre o ldo (figur ). Sej est nov posição do vértice e distânci de. figur 1 figur etermine função que epress áre do triângulo sombredo em função de. (zer resolução em outro espço) 33) N figur bio, s circunferêncis têm rio 10 cm, tngencim ret nos pontos e, são tngentes entre si e tngentes o qudrdo que tem bse n ret. etermine medid do ldo desse qudrdo. 34) (UVST) Um folh retngulr de ppel com dimensões 6 8 é dobrd de modo que dois vértices digonlmente opostos coincidm. etermine o comprimento do vinco (dobr). 8 6 Jec 107

109 Jec 108

110 Resposts dos eercícios d ul ) 106 cm, (5 106 / 106) cm, ( / 106) cm e ( / 106) cm 3) 5 cm 0) 1 cm, 6 3 cm, 6 cm e 3 3 cm 03) 4 cm, (9 / 4) cm, (15 / 4) cm e (5 / 4) cm 04) 69 cm 05) b 06) b 07) d 08) b 09) d 10) 4 / 3 11) e 1) 10 cm 13) ) 8 3 / 3 b) 10º 14) (8 / 3) cm 15) c 16) e 17) 5 cm 18) 5 cm 19) 8 cm 0) (96 - (576p / 5)) cm 1) ( 66 / 5) cm ) 16(3 - ) cm Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 109

111 Resposts dos eercícios complementres d ul ) = 10 cm, m = 3,6 cm, n = 6,4 cm, h = 4,8 cm 0) = 1 cm, y = 3 3 cm, z = 6 cm, t = 6 3 cm 03) = 15 cm, y = 7/5 cm, z = 48/5 cm, t = 36/5 cm 04) ) = 130 cm b) = 5 cm c) = 3 7 cm 05) = y - z 06) d = 07) h = 3 08) = cm y = 3 cm z = cm 09) = 3 3 y = 3 10) = 17 cm 11) M = 7 cm 1) r = 16 / 3 cm 13) = 7 14) r = / 4 1) = 11 / 4 ) r = 4 / 3 3) = 8 cm = 73 cm 4) = ( ) cm 5) = 8 3 6) = / 113 cm y = / 113 cm 7) = = 10 cm = 1 cm Perím = 3 cm 8) = 8 cm 9) h = 4 cm 30) r = 8( - 1 ) cm 31) = 00 / 7 cm 3) = 33) = 4 cm 34) d = 15 / cm 15) = 3 5 cm 16) r = k(3 - ) 17) h = 4 cm 18) d = 1 cm 19) d = 4 cm 0) R = 5 cm Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 110

112 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ul 10 Relções métrics num triângulo qulquer. I) Lei dos senos. II) Lei dos cossenos. m todo triângulo, rzão entre medid de um ldo e o seno do ângulo oposto é constnte e vle o dobro do rio d circunferênci circunscrit o triângulo. c R b sen = Lei dos senos b sen = c sen = R m todo triângulo, medid de qulquer ldo depende ds medids dos outros dois ldos e do ângulo entre eles. b Lei dos cossenos = + b -..b.cos III) Proprieddes dos triângulos. 1) m todo triângulo, o mior ldo opõe-se o mior ângulo e o menor ldo opõe-se o menor ângulo. b g < b < c c b < b < g onde, b e c são s medids dos ldos do triângulo. ) ondição de eistênci de um triângulo. m todo triângulo, medid de qulquer ldo é menor que som e mior que diferenç ds medids dos outros dois ldos. ondição de eistênci. b - c < < b + c onde, b e c são s medids dos ldos do triângulo. 3) Nturez de um triângulo. Qunto à nturez um triângulo pode ser: ) triângulo retângulo; b) triângulo obtusângulo; c) triângulo cutângulo. Reconhecimento d nturez de um triângulo. Sej o mior ldo de um triângulo de ldos, b e c. - Se = b + c triângulo retângulo. - Se > b + c triângulo obtusângulo. - Se < b + c triângulo cutângulo. IV) Pré-requisitos de trigonometri. (Poderão ser usdos em eercícios mis compleos deste cpítulo) sen ( + b) = sen. cos b + sen b. cos cos ( + b) = cos. cos b - sen. sen b sen =. sen. cos cos = cos - sen ercícios. 01) dos três segmentos de medids 1 cm, 8 cm e 15 cm, verificr possibilidde de se construir um triângulo com esses segmentos. Se for possível, determinr nturez desse triângulo. Jec 111

113 0) ds s medids de três segmentos, verificr se é possível construir um triângulo com esses segmentos e determinr nturez desse triângulo, se o mesmo eistir. ) 8 cm, 15 cm e 17 cm. b) 8 cm, 15 cm e 16 cm. istênci Nturez istênci Nturez c) 8 cm, 15 cm e 13 cm. d) cm, 4 cm e 7 cm. istênci Nturez istênci Nturez e) 5 cm, 8 cm e 13 cm. f) 10 cm, 11 cm e 1 cm. istênci Nturez istênci Nturez g) 5 cm, 9 cm e 1 cm. h) 4 cm, 9 cm e 9 cm. istênci Nturez istênci Nturez Jec 11

114 03) dos os segmentos = 7 cm, b = 9 cm e c, determine o intervlo de vlores que c pode ssumir pr que eist o triângulo de ldos, b e c. 04) Utilizndo lei dos cossenos, determine nturez de um triângulo de ldos 10 cm, 1 cm e 16 cm. 05) No triângulo bio os ângulos e medem, respectivmente, 45º e 30º. etermine medid do ldo, sbendo que medid de é 8 cm. 06) No triângulo bio os ângulos e medem, respectivmente, 60º e 45º. etermine medid do ldo, sbendo que medid de é 4 cm. 07) No triângulo bio os ângulos e medem, respectivmente, 45º e 30º. etermine medid do ldo, sbendo que medid de é 8 cm. 08) N figur bio, os ângulos e medem, respectivmente 75º e 45º. rio d circunferênci circunscrit o triângulo mede 6 cm. etermine s medids dos ldos e. Jec 113

115 09) N figur, os ângulos e medem, respectivmente, 45º e 15º. Sbendo que = 1 cm, determine medid do ldo e o rio d circunferênci circunscrit o triângulo. 10) Um triângulo tem ldos e que medem, respectivmente, 5 cm e 7 cm. etermine medid do ldo, sbendo que o ângulo mede 60º. 11) Um triângulo tem ldos e que medem, respectivmente, 6 cm e 8 cm. etermine medid do ldo, sbendo que o ângulo mede 10º. 1) do um triângulo de ldos 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o vlor do cosseno do menor ângulo interno desse triângulo. 13) do um triângulo de ldos 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o vlor do cosseno do mior ângulo interno desse triângulo. 14) do um triângulo de ldos 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o vlor do seno do mior ângulo interno desse triângulo. Jec 114

116 15) N figur, o triângulo tem ldos, e que medem, respectivmente, 5 cm, 10 cm e 9 cm. etermine medid d medin reltiv o ldo. 16) etermine o rio d circunferênci circunscrit o triângulo de ldos que medem 4 cm, 5 cm e 6 cm. 17) dos os segmentos = 6 cm, b = 9 cm e c, determine o intervlo de vlores que c pode ssumir pr que o triângulo de ldos, b e c eist e sej um triângulo cutângulo. 18) (uvest) s págins de um livro medem 1 dm de bse e dm de ltur. livro é prcilmente berto, de tl form que o ângulo entre dus págins é 60º. eterminr o ângulo formdo pels digonis ds dus págins. 60º Jec 115

117 19) do um triângulo de ldos 4 cm, 5 cm e 6 cm, determine ltur desse triângulo reltiv o mior ldo. 0) m um triângulo cutângulo de ldos = 5 cm e = 7 cm, projeção ortogonl do ldo sobre o ldo mede 1 cm. etermine medid do ldo desse triângulo. 1) Um nvio, deslocndo-se em linh ret, vis um frol e obtém leitur de 30º pr o ângulo formdo entre su trjetóri e linh de visd do frol. pós nvegr 0 milhs, trvés de um nov visd o frol, obtém leitur de 75º. etermine distânci entre o frol e o nvio no instnte em que fez ª leitur. ) Pr medir distânci entre dois pontos, e, em mrgens distints de um precipício, um engenheiro, que estv n mesm mrgem que o ponto, dotou um segmento = 300 m. trvés de um teodolito, obteve os ângulos = 58º e = 67º. om um clculdor científic obteve os vlores de sen 67º = 0,905 e sen 55º = 0,819. om bse nesses vlores, determine distânci, clculd pelo engenheiro. mrgem precipício 58º 67º 300 m mrgem Jec 116

118 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln Relções métrics num triângulo qulquer. ercícios complementres d ul ) ds s medids de três segmentos, verificr se é possível construir um triângulo com esses segmentos e determinr nturez desse triângulo, se o mesmo eistir. ) 6 cm, 8 cm e 10 cm. b) 6 cm, 8 cm e 9 cm. istênci Nturez istênci Nturez c) 6 cm, 8 cm e 1 cm. d) 6 cm, 8 cm e 15 cm. istênci Nturez istênci Nturez e) 9 cm, 5 cm e 1 cm. f) 1 cm, 5 cm e 13 cm. istênci Nturez istênci Nturez g) 3 cm, 4 cm e 7 cm. h) 14 cm, 1 cm e 13 cm. istênci Nturez istênci Nturez Jec 117

119 0) N figur bio, encontre o vlor de e cite propriedde geométric utilizd n solução do eercício. 30º 8 cm 10 cm 03) N figur bio, encontre o vlor de e cite propriedde geométric utilizd n solução do eercício. 45º 8 cm 9 cm 04) N figur bio, encontre o vlor de e cite propriedde geométric utilizd n solução do eercício. 9 cm 60º 14 cm 05) N figur bio, encontre o vlor de e cite propriedde geométric utilizd n solução do eercício. 6 cm 9 cm 06) N figur bio, encontre o vlor de e cite propriedde geométric utilizd n solução do eercício. 07) N figur bio, encontre o vlor de e cite propriedde geométric utilizd n solução do eercício. 8 cm 6 cm 135º 10 cm 10º 9 cm 08) N figur bio, encontre o vlor de e cite propriedde geométric utilizd n solução do eercício. 8 cm 150º 8 cm 09) No triângulo bio, determine o vlor de cos. 6 cm 8 cm 11 cm Jec 118

120 M 10) No triângulo bio, determinr o cos e cos b. 5 cm b 8 cm 11) No triângulo bio, sendo = 7 cm, = 8 cm e = 9 cm, determinr medid d medin M, reltiv o ldo. 10 cm g M 1) No triângulo bio, determinr o vlor de cos, sen e tg. 6 cm 1 cm 13) No triângulo bio, o ponto M é medio do segmento. S bendo que = 6 cm, = 10 cm e = 13 cm, determine : ) o cosseno do ângulo. b) medid d medin M. 8 cm 14) N figur bio, determine : ) o cosseno do ângulo. b) medid do segmento. 15) (Jec) N figur o ldo, s três circunferêncis miores têm rio 1 cm, tngencim-se entre si e tngencim um circunferênci menor. etermine o rio d circunferênci menor. 5 cm 8 cm 6 cm 4 cm Jec 119

121 16) N figur bio, encontre o vlor de. ite propriedde geométric utilizd n solução do eercício. 10º 14 cm 17) N figur bio, encontre o vlor de. ite propriedde geométric utilizd n solução do eercício. 10 cm 60º 10 cm 79 cm 18) No triângulo bio, determine o vlor de e cite propriedde geométric utilizd n solução do eercício. 19) No triângulo bio, determine o vlor de e cite propriedde geométric utilizd n solução do eercício. 30º 8 cm 45º 60º 75º 1 cm 0) No triângulo bio, determine o vlor de e cite propriedde geométric utilizd n solução do eercício. 1) No triângulo bio, determine o vlor de e cite propriedde geométric utilizd n solução do eercício. 16 cm R = 8 cm 45º 10º 45º ) No triângulo bio, determine o vlor de e cite propriedde geométric utilizd n solução do eercício. 3) No triângulo bio, determine o vlor de e cite propriedde geométric utilizd n solução do eercício. 1 cm 1 cm 6 6 cm 45º 45º 6 6 cm Jec 10

122 4) N figur bio, determine o vlor de e o rio d circunferênci circunscrit o triângulo. 5) N figur bio, determine o vlor de e o rio d circunferênci circunscrit o triângulo. 30º 10º 8 cm 1 cm 60º 45º 6) No triângulo bio, determine o vlor de e cite propriedde geométric utilizd n solução do eercício. 1 cm 30º 7) No triângulo bio, determine o vlor de e cite propriedde geométric utilizd n solução do eercício. 15º 18 cm 30º 8) N figur bio, determine o vlor de e o rio d circunferênci circunscrit o triângulo. 105º 0 cm 30º 9) N figur bio, determine o vlor de e o rio d circunferênci circunscrit o triângulo. sen 118º = 0,88 30º 0 cm 118º 30) N figur bio, determine s medids de, y e z. 30º 135º z 7 cm y 3 cm 10º 5 cm Jec 11

123 31) (UVST-SP) N figur bio, = = = = e = = p / 3 e = p /. lcule distânci entre os pontos e. 3) do um triângulo de ldos 4, 5 e 6, com ângulos internos, b e c, prove que = b. 4 c 6 5 b 33) (Ibmec- SP) N figur bio, suponh que s medids dos segmentos,,, G e G sejm tods iguis e que e sejm, respectivmente, s bissetrizes dos ângulos e G. ) etermine medid do segmento. b) lcule sen 75º (Sugestão: 75º = 45º + 30º) c) etermine medid do segmento. 34) (IT-SP) No qudrilátero d figur bio, temos =. ntão podemos grntir que: ) sen sen b = b) g. b =. q c) tg = tg g sen g sen q d) () =. e) tg. tg b = tg g. tg q g b q G H L J Jec 1

124 Resposts dos eercícios d ul ) eiste e é obtusângulo 0) ) triângulo retângulo b) triângulo cutângulo c) triângulo cutângulo d) não eiste o triângulo e) não eiste o triângulo f) triângulo cutângulo g) triângulo obtusângulo h) triângulo cutângulo 1) 10 milhs ) 337 metros 03) S = {c c R I < c < 16 } 04) triângulo obtusângulo 05) 4 cm 06) 6 cm 07) 4( 3 + 1) cm 08) 6 3 cm e 6 cm 09) 6 6 cm e 6 cm 10) 39 cm 11) 37 cm 1) 11 / 14 13) 1 / 7 14) 4 3 / 7 15) 7 cm 16) (8 7 / 7) cm 17) S = { c R 3 5 < c < 3 13 } 18) 30º 19) (5 7 / 4) cm 0) 8 cm Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 13

125 Resposts dos eercícios complementres d ul ) ) triângulo retângulo b) triângulo cutângulo c) triângulo obtusângulo d) não eiste e) triângulo obtusângulo f) triângulo retângulo g) não eiste h) triângulo cutângulo ) cm 3) cm 4) 151 cm 5) 117 = 3 13 cm 6) 171 = 3 19 cm 7) cm 8) cm 9) -7 / 3 10) cos = 61 / 100 cos b = -11 / 80 11) 7 cm 455 1) cos = -11 / 4 sen = tg = 4 13) ) -11 / 40 b) ) ) 61 / 100 b) 610 cm ) ( 3-3 / 3) cm 16) 6 cm 17) 3 cm ou 7 cm 18) 8 cm 19) 4 6 cm 0) 8 6 cm 1) 8 cm ) 60º ou 10º 3) 15º ou 75º 4) 4 6 cm, 4 cm 5) 4 3 cm 6) 1 cm 7) 18 cm 8) 10 cm 9) 11,36 cm 30) = 10 cm y = 109 cm z = 18 cm 31) 5-3 3) demonstrção bio 33) ) 6 b) ( + 6 ) / 4 c) 6-34) 3) Resolução. Lei dos cossenos = + b - b cos = cos > cos = = cos b cos b = 3 4 sen b + cos b = 1 sen b = 7 > 4 > c 6 b cos b = cos b - sen b = = = 8 cos = cos b = 1 8 Portnto = b Jec 14

126 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ul 11 ircunferênci e círculo. I) lementos d circunferênci. r r r P - centro d circunferênci = r - rio d circunferênci = r - diâmetro d circunferênci = - ângulo centrl P - rco d circunferênci - cord d circunferênci dos sobre circunferênci (ou sobre o círculo) c = pr - perímetro ou comprimento d circunferênci. S = p r - áre do círculo. 360º - bertur, em grus, de um volt complet n circunferênci. p rd - bertur, em rdinos, de um volt complet n circunferênci. II) ercícios. 01) eterminr o perímetro e áre de um círculo de rio 7 m. 0) eterminr o diâmetro e áre de um círculo cujo perímetro mede 36p cm. 03) rod de um utomóvel tem um diâmetro que mede 50 cm. etermine distânci percorrid por esse veículo pós um de sus rods completr 1750 volts. dotr p = 3,14 e supor que rod não deslize durnte rolgem. 04) etermine qunts volts por segundo deve dr cd rod de um utomóvel n velocidde liner constnte de 31,4 m/s, sbendo que o rio de cd rod é 5 cm e que rod não desliz durnte rolgem. (dotr p = 3,14) Jec 15

127 05) (URJ-RJ) Precorrendo um distânci de 450 m, s rods de um utomóvel dão 50 volts. lcule o rio ds rods. 06) (UNISP-SP) figur mostr dus roldns circulres ligds por um correi. roldn mior, com rio de 1 cm, gir fzendo 100 rotções por minuto, e função d correi é fzer roldn menor girr. dmit que correi não escorregue. Pr que roldn menor fç 150 rotções por minuto, seu rio, em centímetros, deve ser: ) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 07) (VUNSP-SP) m um jogo eletrônico, o "monstro" tem form de um setor circulr com rio de 1 cm, como mostr figur. "monstro" 1 cm 1 rd prte que flt no círculo é boc do "monstro", e o ângulo de bertur mede 1 rdino. perímetro do "monstro", em cm, é: ) p - 1 b) p + 1 c) p - 1 d) p e) p ) (UJ-MG) Testes efetudos em um pneu de corrid consttrm que, prtir de volts, ele pss se deteriorr, podendo cusr riscos à segurnç do piloto. Sbendo que o diâmetro do pneu é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos pr o piloto, proimdmente: ) 93 km b) 196 km c) 366 km d) 59 km e) 91 km 09) (J) figur bio represent um setor circulr de centro e ângulo centrl. s rcos e têm comprimentos 4p cm e 4,8p cm, respectivmente. Sendo os segmentos e congruentes e iguis cm, determine medid do segmento. 10) (Mck-SP) ponteiro dos minutos de um relógio mede 4 cm. Supondo p = 3, distânci, em centímetros, que etremidde desse ponteiro percorre em 5 minutos é: ) 15 b) 1 c) 0 d) 5 e) 10 Jec 16

128 11) (tec-sp) m um motor há dus polis ligds por um correi, de cordo com o esquem bio. Se cd poli tem rio de 10 cm e distânci entre seus centros é de 30 cm, qul ds medids bio mis se proim do comprimento d correi? 1) (UL-MG) s rios ds rods trseirs de um trtor medem 75 cm e dão 30 volts, o mesmo tempo em que s rods dinteirs dão 90 volts. rio de cd um ds rods dinteirs é: ) 0 cm b) 30 cm c) 5 cm d) 15 cm e) cm. ) 1,8 cm b) 10,4 cm c) 9,8 cm d) 50 cm e) 3,4 cm 13) (Unis-SP) Um heágono regulr de ldo 3 cm está inscrito num circunferênci. Ness circunferênci, um rco de medid 100º, em centímetros, tem comprimento: ) 3p / 5 b) 5p / 6 c) p d) 5p / 3 e) 10p / 3 14) (UPI-PI) Num circunferênci n qul está inscrito um qudrdo de ldo 10 cm, o comprimento, em cm, de um rco dess circunferênci, medindo 10º é: ) 10 p / 3 b) 5 p / 3 c) 5 7 p / 3 d) 10 3 p / e) 5 p / 3 15) (UG-G) N figur bio, os segmentos e correspondem, respectivmente, os ldos de um heágono regulr e de um qudrdo, mbos inscritos n circunferênci que tem rio 6 cm. etermine o comprimento do rco. 16) (Unifesp-SP) Um inseto vi se deslocr sobre um superfície esféric de rio 50 cm, desde um ponto té um ponto, dimetrlmente opostos, conforme figur bio. menor trjeto possível que o inseto pode percorrer tem comprimento, em metros, igul : ) p / b) p c) 3p / d) p e) 3p Jec 17

129 17) (USR-SP) sequênci de figurs mostr um único giro do ponto, mrcdo em um rod circulr, qundo el rol, no plno, sobre rmp formd pelos segmentos RQ e QP. 18) (J) Três polis de rio 10 cm têm os seus centros equidistntes 50 cm, como representdo n figur bio. dotndo p = 3, determine o comprimento d correi que envolve s três polis. figur 1 P figur P poli R 10º Q R Q correi 50 cm figur 3 P 10º R Q lém do que indicm s figurs, sbe-se que o rio d rod mede 3 m e que el gir sobre rmp sem deslizr em flso. Sendo ssim, o comprimento d rmp RQ + QP, em m, é igul : ) 5p + 3 b) 4p c) 6p + 3 d) 7p - 3 e) 8p ) (J) Um pist de utomobilismo tem comprimento de 1 milh (1640 m) e é compost por um semicircunferênci mior e três semicircunferêncis menores congruentes. eterminr os rios ds semicircunferêncis sbendo que, e são os centros ds semicircunferêncis e os pontos,,, e são colineres. (dotr p = 3,14) 0) (UVST-SP) figur represent dus polis circulres 1 e de rios R 1 = 4 cm e R = 1 cm, poids em um superfície pln em P e P, 1 respectivmente. Um correi envolve s polis, sem folg. Sbendo-se que distânci entre os pontos P 1 e P é 3 3 cm, determine o comprimento d correi. correi P cm P Jec 18

130 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) 01) (UP-P) Um ciclist de um prov de resistênci deve percorrer 50,4 km sobre um pist circulr de rio 00m. onsiderndo p = 3,14, o número de volts que ele deve dr é: ) 500 b) 350 c) 450 d) 400 e) 300 Geometri pln ircunferênci e círculo. ercícios complementres d ul 11. 0) (US-RS) rzão entre os comprimentos d Linh do qudor e do diâmetro d Terr é igul à rzão entre os comprimentos de um circunferênci qulquer e de seu diâmetro. ss firmção é: ) verddeir, e rzão referid vle p /. b) verddeir, e rzão referid vle p. c) verddeir, e rzão referid vle 3p /. d) verddeir, e rzão referid vle p. e) fls. 03) (URJ-RJ) Um rod de 10 cm de diâmetro gir em linh ret, sem escorregr, sobre um superfície lis e horizontl. etermine o menor número de volts complets pr rod percorrer um distânci mior que 10 m. 04) (J) figur bio represent um setor circulr de centro e ângulo centrl. s rcos e têm comprimentos 4p e 4,8p, respectivmente. Sendo os segmentos e congruentes e iguis cm, determine medid do ângulo. 05) (J) N figur bio, e são os pontos médios de dois ldos de um pentágono regulr de perímetro 60 m. Sendo um vértice do pentágono e o centro do setor circulr, determine o perímetro d região sombred. (dote p = 3) 06) (J) Um pesso dispõe de um cord com 46p m de comprimento e pretende fzer dus circunferêncis concêntrics com el; um circunferênci menor de rio 10 m e outr mior, conforme figur bio. etermine distânci d entre s circunferêncis. d Jec 19

131 07) (J) Um mes circulr deve comodr 8 pessos, de tl form que cd pesso tenh disponível um rco de circunferênci de comprimento 60 cm. dotndo p = 3, determine o rio d mes. 08) (J) N figur bio, o rco é 1 cm mis comprido que cord. etermine medid do rio d circunferênci. 60º 09) Um circunferênci tem rio R. umentndo-se o rio pr R + d, determine: ) o comprimento d circunferênci originl; b) o comprimento d circunferênci pós o rio ter sido umentdo; c) o umento do comprimento d segund circunferênci em relção à circunferênci originl. 10) (J) figur bio represent dus polis de rios 30 cm e 0 cm. Um motor clopdo à poli mior trblh com 1750 rotções por minuto. Supondo que correi que une s polis não escorregue, determine o nº de rotções por minuto d poli menor. 11) lcule o comprimento de um rco de rdinos num circunferênci de rio 40 cm. 1) lcule o rio de um circunferênci, sbendo que um rco de 3p / rdinos mede 50 cm. Jec 130

132 13) (USr-SP) Um pizz circulr será ftid, prtir do centro, em setores circulres. Se o rco de cd setor medir 0,8 rdino, obtém-se um número máimo de N ftis idêntics, sobrndo, no finl, um fti menor que é indicd n figur por fti N + 1. fti 3 fti fti 1 fti N + 1 fti N onsiderndo p = 3,14, o rco d fti N + 1, em rdino, é ) 0,74 b) 0,7 c) 0,68 d) 0,56 e) 0,34 14) (GV-SP) N figur estão representdos dois qudrdos de ldo d e dois setores circulres de 90º e rio d. Sbendo que os pontos, e estão linhdos, som dos comprimentos do segmento e do rco de circunferênci, em função de d, é igul d d ) ( 3 + p) d 6 b) (3 + p) d 6 c) (4 3 + p) d 1 d) (1 + p) d 4 e) ( 3 + p) d 1 d d/ d/ 15) (US-) setor de 60º destcdo n figur bio, corresponde à superfície de um cnteiro circulr plno, no qul pretende-se plntr dus roseirs por metro qudrdo. Se o cnteiro tem 4 m de diâmetro, qunts roseirs deverão ser plntds? (Use p = /7) ) b) 88 c) 31 d) 46 e) 94 60º 16) (J) figur bio represent dus polis que têm rios 58 cm e 18 cm e distânci entre os seus centros é de 80 cm. etermine o comprimento d correi que envolve s dus polis. (p = 3) correi Jec 131

133 17) (UL-MG) mrre um brbnte, bem justdo, em volt de um bol de futebol. gor mrre um brbnte, bem justdo, em volt de um bol de gude. Se você umentr 1 m no comprimento de cd um dos dois brbntes e fizer um circunferênci com cd um deles, hverá um folg d entre bol de futebol e o primeiro brbnte e um 1 folg d entre bol de gude e o segundo brbnte. ssinle lterntiv corret. 18) (J) do um círculo de áre S, determinr qul o umento necessário no rio desse círculo pr se obter um segundo círculo de áre 3S. ) d > d 1 b) d < d 1 c) d = d d) d = d 1 e) p(d - d ) = 1 1 futebol d 1 gude d 19) (J) studos erodinâmicos recomendm que velocidde esclr d pont de um hélice de vião sej inferior à velocidde do som no r (340 m/s). etermine máim rotção por minuto que um hélice de diâmetro 1,70 m pode tingir pr obedecer o recomenddo pel erodinâmic. (dote p = 3,14) 0) (J) Um pist utomobilístic foi trçd tendo como bse um pentágono regulr e cinco círculos congruentes, cujos centros estão sobre os vértices do pentágono e se tngencim. Sbendo que pist tem m de comprimento, determine o rio de cd círculo e o comprimento d únic ret dess pist. dote p = 3. Jec 13

134 Resposts dos eercícios d ul ) 14p m e 49p m 0) 36 cm e 34p cm 03) 747,5 m 04) 0 volts 05) (0,90 / p) m 06) 8 cm 07) e 08) e 09) 1 cm 10) e 11) 1) c 13) d 14) 15) 5p cm 16) 17) 18) 10 cm 19) 87,05 m e 61,15 m 0) 6( 3 + p) cm Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 133

135 Resposts dos eercícios complementres d ul ) d 0) b 03) 16 volts 04) 7º 05) 58,8 m 06) 3 m 07) 80 cm 08) (3 / p - 3) cm 09) ) pr b) p(r + d) c) pd 10) 65 rpm 11) 80 cm 1) (100 / 3p) cm 13) c 14) 15) d 16) ( ) cm 17) d) 18) R = [ S.p.( 3-1)] / p 19) 381 rpm 0) 40 m e 480 m Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 134

136 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ul 1 Inscrição e circunscrição de polígonos regulres. I) Polígono regulr. e i e i e i i i e Um polígono é regulr se tem: ) todos os ldos congruentes entre si; b) todos os ângulos internos congruentes entre si; c) todos os ângulos eternos congruentes entre si. lssificção dos polígonos regulres 3 ldos - triângulo equilátero 4 ldos - qudrdo 5 ldos - pentágono regulr 6 ldos - heágono regulr etc e Medid de cd ângulo interno de um polígono regulr. i = S i n > 180 (n - ) i = n Medid de cd ângulo eterno de um polígono regulr. ângulo centrl e = S e n > 360 e = n (importnte) bservção - Todo polígono regulr pode ser inscrito e circunscrito num circunferênci. II) Principis polígonos regulres. 1) Triângulo equilátero. ) Qudrdo. 3) Heágono regulr. l R 30º l r l I m todo triângulo equilátero os qutro pontos notáveis (I) coincidem num mesmo ponto. l l l R 45º r l - ldo do polígono regulr l l l R = l r 60º Todo heágono regulr pode ser dividido em seis triângulos equiláteros. l l l r = l 3 R = l 3 r = l R = 6 3 l r = l 3 R = l III) pótem de um polígono regulr. pótem de um polígono regulr é distânci entre o centro do polígono e o ponto médio de qulquer ldo. pótem é o rio d circunferênci inscrit no polígono. ercício 01 - eterminr o rio d circunferênci inscrit e o rio d circunferênci circunscrit em um qudrdo de ldo 1 cm. 1 cm Jec 135

137 0) etermine o rio d circunferênci inscrit num triângulo equilátero de ldo 4 cm. 03) etermine o rio d circunferênci circunscrit num triângulo equilátero de ldo 8 cm. 04) etermine o rio d circunferênci circunscrit num qudrdo de ldo 14 cm. 05) etermine o ldo de um heágono regulr circunscrito em um circunferênci de rio 3 cm. 06) etermine o ldo de um qudrdo inscrito num círculo de rio k. 07) etermine o rio de um círculo inscrito num heágono regulr de ldo k. Jec 136

138 08) Sbendo-se que o ldo de um triângulo equilátero é 8 cm, determine: ) ltur do triângulo; b) o rio d circunferênci inscrit no triângulo; c) o rio d circunferênci circunscrit o triângulo. 09) Sbendo-se que ltur de um triângulo equilátero é 1 cm, determine: ) o ldo do triângulo; b) o rio d circunferênci inscrit no triângulo; c) o rio d circunferênci circunscrit o triângulo. 8 cm 8 cm R h R h r r 8 cm 10) etermine medid do ldo de um triângulo equilátero inscrito num circunferênci de rio 5 cm. 11) etermine o rio d circunferênci inscrit num heágono regulr inscrito num circunferênci de rio 7 cm. Jec 137

139 1) Qul é rzão entre o ldo de um triângulo equilátero e o ldo de um qudrdo circunscritos à mesm circunferênci? 13) Qul é rzão entre o ldo de um heágono regulr e o ldo de um qudrdo circunscritos à mesm circunferênci? 14) Qul é rzão entre o perímetro do heágono regulr circunscrito e o perímetro do triângulo equilátero inscrito num mesm circunferênci? 15) Qul é rzão entre o ldo do heágono regulr circunscrito e o perímetro do qudrdo inscrito num mesm circunferênci? Jec 138

140 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln Inscrição e circunscrição de polígonos regulres. ercícios complementres d ul 1. 1) Sbendo-se que ltur de um triângulo equilátero é 3 cm, determinr : ) o rio d circunferênci inscrit no triângulo. b) o pótem do triângulo. c) o rio d circunferênci circunscrit o triângulo. d) o ldo do triângulo. l l R h r l ) Sbendo-se que o ldo de um triângulo equilátero é 5k, determinr em função de k : ) ltur do triângulo. b) o rio d circunferênci inscrit e o pótem. c) o rio d circunferênci circunscrit o triângulo. R 5k 5k h r 5k 3) Sbendo-se que o rio d circunferênci circunscrit um qudrdo é 8 cm, determinr : ) o pótem e o rio d inscrit. b) o ldo do qudrdo. c) o perímetro do qudrdo. l R l r l l Jec 139

141 4) Sbendo-se que um qudrdo tem ldo k, determinr em função de k : ) o perímetro do qudrdo. k b) o pótem do qudrdo e o rio d circunferênci inscrit no qudrdo. c) digonl do qudrdo e o rio d circunscrit. r k R k k 5) Sbendo-se que um heágono regulr tem ldo 7 cm, determinr : ) o rio d circunferênci circunscrit o heágono. b) o pótem e o rio d circunferênci inscrit no heágono. c) o perímetro do heágono. 6) Sbendo-se que o pótem de um heágono regulr é 3k, determinr em função de k : ) o rio d circunferênci inscrit no heágono. b) o rio d circunferênci circunscrit no heágono. c) o ldo e o perímetro do heágono. Jec 140

142 7) eterminr rzão entre o perímetro de um triângulo equilátero e o perímetro de um heágono regulr inscritos num mesm circunferênci. 8) N figur bio, o qudrdo e o triângulo equilátero estão inscritos num mesm circunferênci. eterminr rzão entre o rio d circunferênci inscrit no qudrdo e o rio d circunferênci inscrit no triângulo. 9) Um qudrdo e um heágono regulr são circunscritos um mesm circunferênci. eterminr rzão entre o rio d circunferênci circunscrit o heágono e o rio d circunferênci circunscrit o qudrdo. Jec 141

143 10) Um octógono regulr está inscrito num circunferênci de rio 1 cm. eterminr : ) o ldo e o perímetro desse octógono. b) o rio d circunferênci inscrit nesse octógono. 11) Um dodecágono regulr está inscrito num circunferênci de rio 7 cm. eterminr : ) o ldo e o perímetro desse dodecágono. b) o rio d circunferênci inscrit nesse dodecágono. Jec 14

144 Resposts dos eercícios d ul 1. 01) 6 cm e 6 cm 0) ( 3 / 3) cm 03) (8 3 / 3) cm 04) 7 cm 05) 3 cm 06) k 07) k 3 08) ) 4 3 cm b) (4 3 / 3) cm c) (8 3 / 3) cm 09) ) 8 3 cm b) 4 cm c) 8 cm 10) 5 3 cm 11) (7 3 / ) cm 1) 3 13) 3 / 3 14) 4 / 3 15) 6 / 1 Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 143

145 Resposts dos eercícios complementres d ul 1. 01) ) 1 cm b) 1 cm c) cm d) 3 cm 0) ) 5k 3 / b) 5k 3 / 6 c) 5k 3 / 3 03) ) 4 cm b) 8 cm c) 3 cm 04) ) 4k b) k / c) k d) k / 05) ) 7 cm b) (7 3 / ) cm c) 4 cm 06) ) 3k b) k 3 c) k 3 d) 1k 3 07) 3 / 08) 09) 6 / 3 10) ) 1 - cm e 96 - cm b) 6 + cm 11) ) 7-3 cm e 84-3 cm b) (7 + 3 / ) cm Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 144

146 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ul 13 Áres ds figurs plns. I) Áres ds figurs plns. Áre é medid de superfície. II) Áres ds figurs poligonis. 1) Áre do retângulo. ) Áre do qudrdo. 3) Áre do prlelogrmo. h l b S = b. h l S = l 4) Áre do trpézio. 5) Áre do losngo. 6) Áre do triângulo. b h b S = b. h h h S= ( b + ). h d S = d. b S = b. h III) utrs fórmuls pr o cálculo d áre de um triângulo. 1) m função de dois ldos e do ângulo entre eles. ) m função dos 3 ldos (órmul de Hierão) b S = (Importntíssim) 1. b. sen b c S = p - semiperímetro p = + b + c p.(p - )(p - b)(p - c) 3) m função do rio d circunferênci inscrit. 4) m função do rio d circunferênci circunscrit. p - semiperímetro r c p = + b + c R c b S = p. r b S =. b. c 4 R IV) Áres ds figurs circulres. 1) Áre do círculo. ) Áre d coro circulr. Áre do círculo r S = p r R r R - rio do círculo mior r - rio do círculo menor r - rio do círculo. Perímetro do círculo c = p r Jec 145 S = p R - p r

147 3) Áre do setor circulr. 4) Áre do segmento circulr. r r Regr de três 360º p r S setor r r Lembrr que áre do triângulo é dd por S 1 triângulo =. b. sen r - rio do círculo. S setor =. p r 360 S segmento circulr = S setor - Striângulo V) Áres ds figur semelhntes. us figurs plns são dits semelhntes se um dels é redução ou mplição d outr. l 1 l Se dus figurs plns são semelhntes, então vle relção: S l 1 S = 1 S S 1 ( ) l l - comprimento S - áre ercício 01 - figur bio é um qudriculdo onde cd qudrdinho tem ldo 1 cm. Todos os pontos,,,,,,, G, H, I, J, K, L, M, N, e P estão etmente sobre os cruzmentos ds linhs que compõem o qudriculdo. om bse no desenho e nests informções, clcule áre de cd polígono (S 1, S, S 3, S 4, S 5, S 6, S 7 e S 8). ç os cálculos dentro do próprio desenho. 1 cm S 1 S S3 G H S 4 S 5 I J K S 6 S7 L S 8 M N P Jec 146

148 0) eterminr áre de um triângulo equilátero de ldo 16 cm. 03) eterminr áre de um heágono regulr de ldo 4 cm. 04) eterminr áre de um dodecágono regulr inscrito num circunferênci de rio 8 cm. 05) eterminr áre de um triângulo de ldos 5 cm, 6 cm e 7 cm. 06) do um triângulo de ldos 5 cm, 6 cm e 7 cm, determinr o rio d circunferênci inscrit no triângulo e ltur reltiv o ldo que mede 6 cm. 07) do um triângulo de ldos 5 cm, 6 cm e 7 cm, determinr o rio d circunferênci circunscrit nesse triângulo. 08) eterminr áre do prlelogrmo bio. 15 cm 6 cm10º 09) eterminr áre do trpézio bio. 1 cm 15 cm 5 cm Jec 147

149 10) N figur bio, é um qudrdo, dividido em 16 qudrdinhos de ldo cm. Sendo e os centros dos dois semicírculos e o centro do setor circulr e sbendo que s figurs circulres tngencim os ldos dos qudrdinhos, determine áre d região sombred. (deir em função de p) cm 11) N figur bio, é um qudrdo, dividido em 36 qudrdinhos de ldo cm. Sendo o centro do semicírculo, o centro do círculo e o centro do setor circulr e sbendo que s figurs circulres tngencim os ldos dos qudrdinhos, determine áre d região sombred. (deir em função de p) cm 1) N figur bio, é um qudrdo, dividido em 36 qudrdinhos de ldo 3 cm. Sendo o centro do semicírculo e e os centros dos setores circulr e sbendo que s figurs circulres tngencim os ldos dos qudrdinhos, determine áre d região sombred. (deir em função de p) 13) N figur bio,, e são pontos de tngênci e o círculo está inscrito no setor circulr de centro, rio 3 cm e ângulo centrl 60º. eterminr áre do círculo. 60º 3 cm 14) Um trpézio tem bse mior 5k, bse menor k e ltur 4k. áre do trpézio, em função de k, é : 3 ) 7k b) 11k c) 7k d) 14k e) 1k 15) N figur bio, é um qudrdo de ldo k. Sendo P um ponto que dist de e b de, áre do qudrilátero P, em função de k, de e de b, é : ) k(k b ) b) k(k b + ) c) k(k b + + ) k d) k(k b + ) P e) k ( b + ) b Jec 148

150 16) (UV-MG) s circunferêncis d figur bio são concêntrics e têm rios de 1 cm e cm. etermine áre d região hchurd. b 17) N figur bio, estão representdos qutro círculos congruentes tngentes entre si e um qudrdo de ldo 5 cm, cujos vértices são os centros dos qutro círculos. áre d região sombred, em cm, é : ) 100p b) 100p - 5 c) 75p / d) 50p / 3 e) 75p / 4 18) figur bio represent um semi-circunferênci de centro, onde eiste um retângulo inscrito. eterminr áre d região sombred. 19) eterminr áre d coro circulr bio, sbendo-se que mede 10 cm e tngenci o círculo interno. 6 cm 3 cm 0) N figur bio, o diâmetro coincide com ltur do triângulo equilátero de ldo 1 cm. Sendo o centro d circunferênci, determine áre d região etern o triângulo e intern à circunferênci. 1) N figur bio estão representdos dois octógonos regulres. medid do ldo do mior é 8 cm e o octógono menor tem os seus ldos poidos sobre s digonis do mior. etermine áre d região sombred. Jec 149

151 ) (uvest-sp) N figur, é prlelo, = 4 e = 5. etermine rzão entre s áres do triângulo e do trpézio. 3) N figur bio, o triângulo tem áre K. Sbendo-se que // e que = = e que = G = G, pode-se firmr que áre do triângulo vle : ) 9K b) 9K c) 3K d) 3K G e) 6K 4) (uvest-sp) No ppel qudriculdo d figur bio, dot-se como unidde de comprimento o ldo do qudrdo sombredo. é prlelo. eterminr medid de n unidde dotd pr que áre do triângulo sej metde d áre do triângulo. 5) (Unifesp) Você tem dois pedços de rme de mesmo comprimento e pequen espessur. Um deles você us pr formr o círculo d figur 1, e o outro você cort em 3 prtes iguis pr formr os três círculos d figur. figur 1 figur Se S é áre do círculo mior e s é áre de um dos círculos menores, relção entre S e s é dd por: ) S = 3s b) S = 4s c) S = 6s d) S = 8s e) S = 9s 6) N figur bio, o triângulo tem ltur h = 1 cm. Sbendo-se que é prlelo, determinr o vlor de pr que áre do triângulo sej o dobro d áre do trpézio. 7) N figur bio, o triângulo tem ltur h = 1 cm. Sbendo-se que é prlelo, determinr o vlor de pr que áre do triângulo sej um terço d áre do trpézio. h h Jec 150

152 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln Áres ds figurs plns. ercícios complementres d ul ) eterminr áre de cd figur bio. ) b) c) 7 cm 8 cm 7 cm 1 cm 8 cm 11 cm // // d) 10 cm e) f) 10 cm 8 cm 7 cm 15 cm 11 cm 6 cm 16 cm g) h) i) 1 cm 14 cm 6 cm 0 cm 1 cm 14 cm j) k) l) 10 cm 8 cm 8 cm 30º 1 cm 10º 8 cm 13 cm 8 cm Jec 151

153 0) eterminr áre e o perímetro de um círculo de rio 13 cm. 03) eterminr áre e o rio de um círculo de perímetro c = 14p cm. 04) eterminr o rio e o perímetro de um círculo de áre = 64p cm. 05) eterminr áre d coro circulr bio. R r R = 11 cm r = 9 cm 06) eterminr áre d coro circulr bio, sbendo-se que mede 10 cm e tngenci o círculo interno. 07) eterminr o perímetro do círculo mior d coro circulr de áre 39p cm, sbendo-se que diferenç entre os rios é igul 3 cm. 08) eterminr áre do setor circulr de rio 9 cm e ângulo centrl igul 135º. 09) eterminr áre do setor circulr de rio 8 cm e ângulo centrl rdinos. 10) eterminr áre de um setor circulr de rio 1 cm cujo rco correspondente tem comprimento c = 30 cm. c = 30 cm 11) eterminr áre d região sombred. r = 7 cm Jec 15

154 1) eterminr áre do segmento circulr de rio 9 cm e ângulo centrl 10º 13) N figur bio, o heágono é regulr e tem ldo 4 cm. eterminr áre d região hchurd. 14) eterminr áre de um octógono regulr inscrito num circunferênci de rio 14 cm. 15) eterminr áre de um dodecágono regulr inscrito num circunferênci de rio 7 cm. 16) eterminr áre de um polígono regulr com 40 ldos inscrito num circunferênci de rio 7 cm. (do sen 9º = 0,1564) 17) Sendo S áre do retângulo J, = = = e J // I // H // G //, determinr áre do triângulo em função de S. J I H G Jec 153

155 18) N figur bio, é um retângulo de ldos k e k onde s regiões circulres tngencim os ldos de. eterminr áre ds regiões sombreds em função de k. 19) N figur bio, s prtes circulres tngencim os ldos do qudrdo de perímetro 16 cm. eterminr áre d região sombred. 0) N figur bio, e são os centros dos semi-círculos. Sendo = = = 8 cm, determinr áre d região sombred. 1) s três semi-círculos bio têm centros, e. Sendo = = = = cm e = 4 cm, determinr áre d região sombred. ) triângulo bio é equilátero de ldo 16 cm e está inscrito em um círculo. eterminr áre d região sombred. 3) triângulo bio é equilátero de ldo k e é um rco de circunferênci tngente o ldo do triângulo. eterminr áre d região sombred. Jec 154

156 4) (MKNZI - SP 000) eterminr áre do setor ssinldo no círculo de rio 1 e centro. 110º 5) (uvest - SP 000) N figur seguinte, estão representdos um qudrdo de ldo 4, um de sus digonis e um semi-circunferênci de rio. eterminr áre d região hchurd. 6) (Unicmp - SP) No cnto de um cs de form qudrd, de 4 metros de ldo, prende-se um cord fleível e inetensível, em cuj etremidde livre é mrrd um pequen estc que serve pr riscr o chão, o qul se supõe que sej plno. cord tem 6 metros de comprimento, do ponto em que está pres té su etremidde livre. Mntendo-se cord sempre esticd de tl form que inicilmente su etremidde livre estej encostd à prede, riscse um contorno no chão, em volt d cs, té que etremidde livre toque prede. ) ç um figur ilustrtiv d situção descrit. b) lcule áre d região eterior à cs, delimitd pelo trçdo d estc. 7) (esgrnrio - RJ) N figur, os três círculos são concêntricos e s áres ds dus regiões hchurds são iguis. eterminr o rio do círculo intermediário sbendo-se que o rio do círculo menor é 5 m e o do mior é 13 m. 8) (Vunesp - SP) ângulo centrl Ô referente o círculo d figur dinte, mede 60º e X é su bissetriz. Se M é o ponto médio do rio que mede 5 cm, clculr áre d figur hchurd. 9) lculr áre d região hchurd. M Jec 155

157 30) bndeir retngulr representd n figur mede 4 m de comprimento por 3 m de lrgur. fi escur cobre 50% d superfície d bndeir. eterminr medid de. 31) (uvest-sp) Um trpézio isósceles está circunscrito um circunferênci de rio cm e tem um ângulo interno de 60º. eterminr áre desse trpézio. 3) (uvest-sp) Um losngo está circunscrito um circunferênci de cm de rio. lcule áre desse losngo, sbendo que um de seus ângulos mede 60º. 33) (UVST-SP) N figur bio, ret r é prlel o segmento, sendo o ponto de intersecção de r com ret determind por e. Se s áres dos triângulos e são 4 e 10, respectivmente, e áre do qudrilátero é 1, então áre do triângulo é: r ) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 34) (uvest-sp) ortndo-se os cntos de um qudrdo, como mostr figur, obtém-se um octógono regulr de ldos iguis 10 cm. ) Qul áre totl dos qutro triângulos cortdos? b) lcule áre do octógono. 35) eterminr áre d região sombred. 70º 40º r = cm Jec 156

158 36) (UVST-SP) N figur seguinte, é o ponto de intersecção ds digonis do qudrilátero e q é o ângulo gudo Ê. Se = 1, = 4, = 3 e =, então áre do qudrilátero será : ) 1sen q b) 8sen q c) 6sen q d) 10cos q e) 8cos q 37) (UVST-SP) s qudrdos d figur têm ldos medindo 10 cm e 0 cm, respectivmente. Se é o centro do qudrdo de menor ldo, qul o vlor d áre hchurd? q 38) (UL-PR) N figur, é um qudrdo cujo ldo mede k. Um dos rcos está contido n circunferênci de centro e rio k, e o outro é um semicircunferênci de centro no ponto médio de e de diâmetro k. eterminr áre d região hchurd. 39) (UL-PR) N figur bio, o qudrdo está inscrito n circunferênci. Sbendo que medid do ldo do qudrdo é 4 m, determinr áre d prte sombred. 40) (UVST-SP) onsidere o triângulo representdo n mlh pontilhd com qudrdos de ldos iguis 1 cm. etermine áre desse triângulo. 41) (UVST-SP) onsidere o qudrdo inscrito n semi-circunferênci de centro n origem. Se (, y) são s coordends do ponto, determinr áre d região eterior o qudrdo e interior à semicircunferênci em função de e y. y (, y) Jec 157

159 4) (uvest) circunferênci dd pel figur bio tem centro em, rio igul cm e é tngente os eios coordendos e y nos pontos e. eterminr áre d região hchurd. N 43) (USR-SP) onsidere região R sombred, eibid seguir, construíd no interior de um qudrdo de ldo medindo 4 cm. Sbendo-se que os rcos de circunferênci que precem nos cntos do qudrdo têm seus centros nos vértices do qudrdo e que cd rio mede 1 cm, pedem-se : ) áre não sombred do qudrdo; b) áre d região sombred R. 1 cm M cm 1 cm 44) (UL-PR) Tome um folh de ppel em form de um qudrdo de ldo igul 1 cm e nomeie os seus vértices,,,, conforme figur 1. seguir, dobre- de mneir que o vértice fique sobre o ldo (figur ). Sej est nov posição do vértice e distânde. eterminr função que epress áre do triângulo retângulo sombredo, em função de. 45) (uvest) N figur, é um qudrdo de ldo 1, e são rcos de circunferêncis de rio 1, centrdos em e, respectivmente. eterminr áre d região hchurd. 46) (UVST) trpézio bio é tl que = 10, M é médio de, N = N e s áres dos qudriláteros NM e MN são iguis. eterminr medid de. 47) (Jec) N figur bio, coro circulr tem mesm áre que o círculo menor. eterminr o rio do círculo menor, sbendo-se que o rio do círculo mior é R. (igurs semelhntes) M P N Jec 158

160 Resposts dos eercícios d ul S 8 = 70 cm 01) S = 56 cm S = 119 cm S = (91/) cm S = 7 cm S = 11 cm S = 18 cm S = 7 cm 0) 64 3 cm 03) 4 3 cm 4) 4 uc 5) e 6) 4 6 cm 7) 6 cm 04) 19 cm 05) 6 6 cm 06) 6 / 3 cm, 6 cm 07) (35 6 / 4) cm 08) 45 3 cm 09) 54 cm 10) (3-7p) cm 11) 4(36-7p) cm 1) 9(36-31p / 4) cm 13) p cm 14) d 15) 16) (( 3 + 1) - p) cm 17) e 18) 18(p - ) cm 19) 5p cm 0) 18(p / 4) cm 1) 18( + ) cm ) 16 / 65 3) Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 159

161 Resposts dos eercícios complementres d ul ) ) 84 cm b) 64 cm c) 77 cm d) 100 cm e) 11 cm f) 56 cm g) 10 cm h) 84 cm i) 4 cm j) 30 cm k) 6 3 cm l) 16 3 cm 18) k (4 - p) / 19) 8(p - ) cm 0) (16(4p ) / 3) cm 1) 8p cm ) (64(4p ) / 3) cm 3) k ( 3 - p) / 8 4) 7p / 18 5) + p 39) (p + ) m 40) cm 41) (p( + y ) / ) - y 4) (p + ) cm 43) ) (p + 8) cm b) (8 - p) cm 3 44) (441 - ) / 84) cm 45) 1 - ( 3 / 4) - (p / 6) 0) 169p cm e 6p cm 03) 49p cm e 7 cm 04) 8 cm e 16p cm 6) ) desenho b) 9p m 46) 0 47) R / 05) 40p cm 7) 1 m 06) 5p cm 07) 16p cm 08) (43p / 8) cm 09) 64 cm 10) 180 cm 11) (49p / 4) cm 1) (7(4p ) / 4 ) cm 13) 8(p ) cm 14) 39 cm 15) 147 cm 16) 153,7 cm 17) S / 8 8) (5(p - 3) / 1) cm 9) 30) 1 m 31) (3 3 / 3) cm 3) (3 3 / 3) cm 33) b 34) ) 100 cm b) 00( + 1) cm 35) (4p / 9) cm 36) 37) 5 cm 38) pk / 8 Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil [email protected] Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 160

162 Ilusões d vid. Quem pssou pel vid em brnc nuvem em plácido repouso dormeceu; Quem não sentiu o frio d desgrç, Quem pssou pel vid e não sofreu, oi espectro de homem - não foi homem, Só pssou pel vid - não viveu. rncisco tvino de lmeid Ros ( ) Poet rsileiro im Jec 161

163 emonstrção d fórmul de Herão. 4h c 16 = h c / 4 = (p - b).(p - c).(p - ).p b h h = 4.[p.(p - ).(p - b).(p - c)] / c m c Teorem de Pitágors h = b - m Lei dos cossenos = b + c - bc cos Ms cos = m/b Portnto = b + c - bc m/b = b + c - mc mc = b + c - Portnto m = (b + c - ) / c Teorem de Pitágors h = b - [(b + c - ) / c] h = [4b c - (b + c - ) ] / 4c h = p.(p - ).(p - b).(p - c) c S triângulo = bse ltur c. h = c S triângulo = c c p.(p - ).(p - b).(p - c) órmul de Herão S triângulo = p.(p - ).(p - b).(p - c) onde p = ( + b + c) / (semiperímetro) Q 4h c = 4b c - (b + c - ) Lembrr que - y = ( - y)( + y) torndo diferenç dos qudrdos, tem-se: proveitndo est demonstrção, temos tmbém que s lturs de um triângulo podem ser obtids por 4h c = [bc - (b + c - )] [bc + (b + c - )] h = p.(p - ).(p - b).(p - c) 4h c = (bc - b - c + ) (bc + b + c - ) grupndo como o qudrdo d diferenç, tem-se 4h c = [ - (b - c) ] [(b + c) - ] Lembrr que - y = ( - y) ( + y) 4h c = [ - (b - c)] [ + (b - c)] [ (b + c) - ] [(b + c) + ] zendo p = ( + b + c) / semiperímetro 1 / [ - (b - c)] / = ( - b + c) / = ( + b + c - b) / = p - b / [ + (b - c)] / = ( + b - c) / = ( + b + c - c) / = p - c 3 / [(b + c) - ] / = (b + c - ) / = ( + b + c - ) / = p - 4 / [(b + c) + ] / = ( + b + c) / = p h b = p.(p - ).(p - b).(p - c) b h c = p.(p - ).(p - b).(p - c) c onde p é o semiperímetro, b e c são os ldos do triângulo