Geometria plana. Resumo teórico e exercícios.

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1 Geometria plana. Resumo teórico e eercícios. 3º olegial / urso tensivo. utor - Lucas ctavio de Souza (Jeca)

2 Relação das aulas. Página ula 01 - onceitos iniciais... 0 ula 0 - Pontos notáveis de um triângulo ula 03 - ongruência de triângulos... 7 ula 04 - Quadriláteros notáveis ula 05 - Polígonos conveos ula 06 - Ângulos na circunferência ula 07 - Segmentos proporcionais ula 08 - Semelhança de triângulos ula 09 - Relações métricas no triângulo retângulo ula 10 - Relações métricas num triângulo qualquer ula 11 - ircunferência e círculo ula 1 - Inscrição e circunscrição de polígonos regulares ula 13 - Áreas das figuras planas utor - Lucas ctavio de Souza (Jeca) Jeca 01

3 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 01 onceitos iniciais de Geometria Plana. I) Reta, semirreta e segmento de reta. II) Ângulo. - lado - lado - vértice ângulo ou ângulo reta semirreta segmento semirreta efinições. a) Segmentos congruentes. ois segmentos são congruentes se têm a mesma medida. b) Ponto médio de um segmento. Um ponto P é ponto médio do segmento se pertence ao segmento e divide em dois segmentos congruentes. c) Mediatriz de um segmento. É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio efinições. a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de mesma origem. b) Ângulos congruentes. ois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma medida. c) issetriz de um ângulo. É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes. IIa) Unidades de medida de ângulo. a) Grau. medida de uma volta completa é 360º. 1º = 60' 1' = 60" º - grau ' - minuto " - segundo IIb) lassificação dos ângulos. = 0º - ângulo nulo. 0º < < 90º - ângulo agudo. = 90º - ângulo reto. 90º < < 180º - ângulo obtuso. = 180º - ângulo raso. b) Radiano. medida de uma volta completa é radianos. Um radiano é a medida do ângulo central de uma circunferência cuja medida do arco correspondente é igual à medida do raio da circunferência. efinições. a) Ângulos complementares. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 90º. b) Ângulos suplementares. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 180º. IIc) Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal. r r // s b a c d t a) Ângulos correspondentes (mesma posição). eemplo - b e f. Propriedade - são congruentes. b) Ângulos colaterais (mesmo lado). eemplo de colaterais internos - h e c. eemplo de colaterais eternos - d e g. Propriedade - são suplementares (soma = 180º) s f e g h c) Ângulos alternos (lados alternados). eemplo de alternos internos - b e h. eemplo de alternos eternos - a e g. Propriedade - são congruentes. Jeca 0

4 III) Triângulos. vértice lado e i i - ângulo interno e - ângulo eterno Num mesmo vértice, tem-se i + e = 180º Ângulo eterno. ângulo eterno de qualquer polígono conveo é o ângulo formado entre um lado e o prolongamento do outro lado. lassificação dos triângulos. a) quanto aos lados: - triângulo equilátero. - triângulo isósceles. - triângulo escaleno. b) quanto aos ângulos: - triângulo retângulo. - triângulo obtusângulo. - triângulo acutângulo. Propriedades dos triângulos. 1) m todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos internos é 180º. ) m todo triângulo, a medida de um ângulo eterno é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes. + + = 180º e e = + e 3 e 1 e 3) m todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos eternos é 360º. e + e + e = 360º 1 3 4) m todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. bservação - base de um triângulo isósceles é o seu lado diferente. ercícios. 01) fetue as operações com graus abaio solicitadas. a) 48º 7' 39" + 17º 51' 4" c) 90º - 61º 14' 44" e) 4 (68º 3' 54") b) 106º 18' 5" + 17º 46' 39" d) 136º 14' - 89º 6' 1" f) 3 (71º 3' 5") Jeca 03

5 g) 15º 39' 46" 4 h) 118º 14' 5" 3 i) 15º 1' 5" 5 j) 90º 13 0) etermine o ângulo que é o dobro do seu complemento. 03) etermine o ângulo que ecede o seu suplemento em 54º 04) etermine o ângulo cuja diferença entre o seu suplemento e o triplo do seu complemento é igual a 54º. 05) ois ângulos são suplementares. menor é o complemento da quarta parte do maior. etermine as medidas desses ângulos. 06) s medidas de dois ângulos somam 14º. etermine esses ângulos sabendo que o suplemento do maior é igual ao complemento do menor. 07) etermine um ângulo sabendo que o suplemento da sua quinta parte é igual ao triplo do seu complemento. Jeca 04

6 08) m cada figura abaio, determine a medida do ângulo. a) b) r 116º r // s s 41º c) d) (Tente fazer de outra maneira) r r 53º r // s 53º r // s 39º s 39º s e) f) r 55º r // s r 35º 6º s 40º 38º s 47º g) h) r 8º r // s 54º s 88º 1º 16º i) j) = 73º 11º 143º k) = l) 46º 158º 38º 67º Jeca 05

7 09) figura abaio mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de + y, em graus? 10) Na figura abaio, estão representados um triângulo equilátero e um retângulo. Sendo e y as medidas dos ângulos assinalados, determine a soma + y. y y 11) Na figura abaio, determinar + y + z + t. 1) Na figura abaio, determinar o valor da soma das medidas dos ângulos, y, z, t e u. 30º y y z t u z t 13) Na figura abaio, calcule o valor de em função de m. m 4m 3m 14) (IM-SP) Sejam,,, e as medidas em graus dos ângulos,,, e da figura, respectivamente. soma é igual a: a) 10º b) 150º c) 180º d) 10º e) 40º 15) (IT-SP) m um triângulo de papel fazemos uma dobra PT de modo que o vértice coincida com o vértice, e uma dobra PQ de modo que o vértice coincida com o ponto R de P. Sabemos que o triângulo QR formado é isósceles com RQ = 100º; calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo. 16) etermine, sabendo-se que é um retângulo e que e são pontos médios dos lados e, respectivamente. Q R T 5º P Jeca 06

8 Respostas desta aula. 01) a) 176º 19' 1" b) 14º 05' 04" c) 8º 45' 16" d) 46º 47' 48" e) 73º 35' 36" f) 14º 11' 36" g) 31º 4' 56" h) 39º 4' 57" i) 5º 0' 34" j) 06º 55' 3" 0) 60º 03) 117º 04) 7º 05) 60º e 10º 06) 17º e 107º 07) 5º / 7 08) a) 41º b) 64º c) 14º d) 14º e) 47º f) 36º g) 6º h) 33º i ) 75º j) 34º k) 113º l) 53º 09) 70º 10) 40º 11) 10º 1) 180º 13) m 14) c 15) 70º, 80º e 30º 16) 5º Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 07

9 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana onceitos iniciais de Geometria Plana. ercícios complementares da aula ) Nas figuras abaio, determinar o valor de. a) b) r r 43º r //s r // s s s 57º c) 45º r d) 45º r r // s r // s 6º s 6º s e) r 147º f) (Resolver de forma diferente da letra c)) r // s 8º 16º r s 80º s r // s g) r h) r (Resolver de forma diferente da letra g)) r // s 140º 65º r // s 140º 65º s s i) 4º 150º r j) 48º 150º r 5-1º r // s s 43º 40º r // s s k) 55º l) r r // s s 85º 135º Jeca 08

10 m) r r // s t // u n) r r // s t // u s 43º t 58º s u t u o) p) 6º 5º 79º 67º q) r) 5º 1 81º s) (Triângulo isósceles) = t) (Triângulo isósceles) = 38º 138º u) = v) 15º y y 6º 98º ) = = z) = = 98º y y Jeca 09

11 0) Nas figuras abaio, determinar o valor de. a) b) 37º 73º 116º 148º 4º 31º c) d) 34º 101º 38º bissetriz 18º 36º e) é o ponto de encontro das 3 bissetrizes. f) e são bissetrizes. 40º 7º 4º g) h) 68º r r // s 60º s 5y 3y + 30º i) j) 9 43º 6 1 6º 60º k) é um quadrado. l) 30º 118º Jeca 10

12 m) = n) = = = e = 38º o) = = = = e = p) =, = e =. 44º q) é um triângulo equilátero r) e G é um quadrado. é um triângulo equilátero e é um quadrado. G s) é um triângulo equilátero t) e é um quadrado. é um triângulo equilátero, G e são quadrados. G u) e são triângulos v) equiláteros. = e =. 70º 65º ) z) = = = e =. = é bissetriz de  é bissetriz de Â. 38º Jeca 11

13 03) Na figura abaio, determine, y e z. 04) Na figura abaio, determinar, y e z. 37º z y 4 z y 05) Na figura abaio, determinar, y, z e t. 06) Na figura abaio, sendo a bissetriz do ângulo, determinar + y. 40º t 4 z y y 4 07) Na figura abaio, determinar o valor de. 08) Na figura abaio, determinar o valor do ângulo, sabendo-se que é bissetriz de, é bissetriz de e é bissetriz de. 57º 8º 09) Na figura abaio, determine os valores de, y e z. z + 6º z - 84º y 10) eterminar os valores de, y e z, sabendo que os mesmos formam uma progressão aritmética de razão 10º. z y Jeca 1

14 11) (UVST) Na figura abaio, determine o valor de. t t // s s 10º 1) Na figura abaio, determinar o valor da soma + y + z + t + u + v, sabendo-se que é um triângulo inscrito no quadrado. y z v 140º u t 13) Na figura abaio, = = =. etermine o valor de. 14) Na figura abaio, = = e é a bissetriz do ângulo. etermine o valor de. 15) Na figura abaio, determine a medida do ângulo em função de y. 16) (UVST) Na figura, = =. etermine y em função de. 5y y y y 17) Na figura abaio mostre que vale a relação : a + b = c + d. r a c b r // s 18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100º. eterminar a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos internos. d s 19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos eternos de um triângulo é 360º. 0) Na figura abaio, determinar em função de y e de z. e y r r // s e 1 z s e 3 Jeca 13

15 1) Na figura abaio, o quadrado é cortado por duas retas paralelas, r e s. om relação aos ângulos e y podemos afirmar que : a) = y b) = -y c) + y = 90º d) - y = 90º e) + y = 180º r s ) Na figura abaio, determinar o valor da soma das medidas dos ângulos, y, z, t e u. y z y u t 3) Na figura abaio, calcule o ângulo, sendo y o triplo de z e t o sêtuplo de z. 4) (UVST-SP) No retângulo abaio, qual o valor em graus de + y? z 40º y y 80º t 5) Na figura abaio, sendo a bissetriz do ângulo Â, demonstre que vale a relação z - y = - t. y z t 6) Na figura abaio, o ângulo mede 38º, é um retângulo e é congruente a. medida do ângulo é : a) 38º b) 7º c) 18º d) 19º e) 71º 7) Na figura abaio, sendo //, determinar a soma das medidas dos ângulos, y e z. z y 8) eterminar a medida do ângulo, sabendo-se que os triângulos e são isósceles e que o triângulo é equilátero. Jeca 14

16 9) Na figura abaio, determine a soma das medidas dos ângulos, y, z, t, u e v. 30) Na figura abaio, determine a soma das medidas dos ângulos, y, z e t. v r y u r // s y z t s t z 31) Na figura abaio, determine a soma das medidas dos ângulos, y, z e t. y 3) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o vértice pertença ao lado, conforme a figura. Sendo a dobra feita, calcule a medida do ângulo, conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado. z 140º t 33) Na figura, M = N, > y e as reta MN e interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MP é igual a 34) Na figura abaio, os ângulos, e medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo uma dobra de tal forma que o lado é simétrico do lado em relação a, determine a medida do ângulo. - y. M N P y 35) Na figura, sendo congruente a, congruente a, calcule a medida do ângulo, sabendo-se que = 48º. Jeca 15

17 Respostas desta aula. 01) a) 43º b) 13º c) 107º d) 107º e) 49º f) 46º g) 55º h) 55º i) 30º j) 49º k) 55º l) 130º m) 43º n) 1º o) 39º p) 119º q) 133º r) 10º/3 s) 71º t) 96º u) 104º v) 46º ) 13º z) 108º 0) a) 48º b) 51º c) 9º d) 11º e) 18º f) 111º g) 4º h) 70º i) 40º/3 j) 45º k) 90º l) 43º m) 14º n) 180º/7 o) 0º p) 68º q) 30º r) 15º s) 75º t) 60º u) 10º v) 60º ) 150º z) 116º 03) 143º, 37º e 143º 04) 36º, 18º e 144º 05) 0º, 60º, 80º e 60º 06) 100º 07) 33º 08) 19º 09) º, 44º e 110º 10) 50º, 60º e 70º 1) c ) 540º 3) 50º 4) 130º 5) demonstração 6) d 7) 360º 8) 45º 9) 360º 30) 180º 31) 540º 3) 65º 33) demonstração 34) 130º 35) 4º 11) 70º 1) 70º 13) 10º 14) 36º 15) = 8y 16) y = 3 17) demonstração 18) 40º 19) demonstração 0) = y - z Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 16

18 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 0 Pontos notáveis de um triângulo. altura Segmentos notáveis do triângulo. mediana mediatriz Mediana - É o segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto. Mediatriz - É a reta perpendicular ao lado do triângulo pelo seu ponto médio. issetriz - É a semi-reta de origem no vértice que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. bissetriz M ponto médio ltura - É a distância entre o vértice e a reta suporte do lado oposto. Todo triângulo tem: 3 medianas 3 mediatrizes 3 bissetrizes 3 alturas aricentro (G). É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo. Propriedade. baricentro divide cada mediana em segmentos. segmento que contém o vértice é o dobro do segmento que contém o ponto médio do lado oposto. (razão : 1) bservação - s três medianas dividem o triângulo original em seis triângulos de mesma área. S Área de cada triângulo P S S S S G M S S N G =.GM G =.GN G =.GP ircuncentro (). É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo. Propriedade. circuncentro é o centro da circunferência circunscrita (eterna) ao triângulo. circuncentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 vértices do triângulo. Pontos notáveis do triângulo - baricentro I - incentro - circuncentro - ortocentro Incentro (I). É o ponto de encontro das 3 bissetrizes do triângulo. Propriedade. incentro é o centro da circunferência inscrita (interna) no triângulo. incentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 lados do triângulo. I r r - raio da circunferência inscrita. rtocentro (). É o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo. Propriedade. Não tem. h h mediatriz h h h ponto médio h h R h R - raio da circunferência circunscrita. Jeca 17 ortocentro h

19 bservações. 1) baricentro e o incentro sempre estão localizados no interior do triângulo. ) circuncentro e o ortocentro podem estar localizados no eterior do triângulo. 3) Num triângulo isósceles, os quatro ponto notáveis (I: baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão alinhados. mediatriz mediana bissetriz G I mediana mediatriz bissetriz altura altura 4) No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa. ortocentro R R hipotenusa circuncentro Triângulo eqüilátero. (importante) m todo triângulo eqüilátero, os quatro pontos notáveis (baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão localizados num único ponto. l - lado do triângulo eqüilátero. r - raio da circunferência inscrita. R - raio da circunferência circunscrita. h - altura do triângulo. I l r r r l l R r h R = r e h = 3r 01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar : a) a altura do triângulo. b) o raio da circunferência inscrita no triângulo. c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. d) o que o ponto é do triângulo. l l R r h l 0) Na figura abaio, a circunferência de centro está inscrita no triângulo. Sabendo que o ângulo mede 33º e que o ângulo mede 56º, determine a medida do ângulo. 03) Na figura abaio, a circunferência de centro está inscrita no triângulo. Sabendo que o ângulo mede 16º, encontre a medida do ângulo. Jeca 18

20 04) Na figura abaio, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do triângulo. I 05) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar : a) o raio da circunferência inscrita no triângulo. b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. c) o lado do triângulo. R l l r h l 06) Na figura abaio, os pontos, e G são os pontos médios dos lados do triângulo. Se =, = y, = z, G = 3w, = 3k e = 3n, determine o perímetro do triângulo G, em função de, y, z, w, k e n. 07) Na figura abaio, é o ortocentro do triângulo. etermine a medida do ângulo sabendo que os ângulos e medem, respectivamente, 58º e 70º. G Jeca 19

21 Rua 08) Na figura abaio, é o ortocentro do triângulo equilátero. Sabendo que = k, determine, em função de k, as medidas dos segmentos, e. 09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o mapa da localização faz menção a três grandes árvores do local. tesouro foi enterrado no terceiro vértice de um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. omo é possível localizar o tesouro no local? Sibipiruna Peroba Jatobá 10) triângulo da figura tem área 10 cm. Sendo = = e = G = G, avalie se as afirmações abaio são verdadeiras (V) ou falsas (). G 11) No triângulo abaio,, e são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do ângulo, = 14 cm e = 1 cm, determine: a) a área do triângulo ; b) a área do triângulo G; c) a área do quadrilátero G. G ( ) G é o baricentro do triângulo. ( ) área do triângulo é 40 cm. ( ) área do triângulo G é 40 cm. 1) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas casas, sendo que as casa não são colineares e estão localizadas na mesma fazenda. les desejam abrir um poço de modo que ele fique à mesma distância das três casas. Supondo que a fazenda é plana, com seus conhecimentos de geometria, que sugestão poderia das a eles? Justifique o seu raciocínio. 13) prefeitura de uma cidade mandou colocar, na praça central, uma estátua em homenagem a Tiradentes. escubra, na planta a seguir, em que local essa estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá ficar a uma mesma distância das três ruas que determinam a praça. Rua 1 Rua 3 Jeca 0

22 Respostas desta aula. 01) a) (5 3 / ) cm b) (5 3 / 6) cm c) (5 3 / 3) cm d) aricentro, Incentro, ircuncentro e rtocentro. 0) 118º 03) 7º 04) 04) esenho ao lado. I G 05) a) 1 cm b) cm c) 3 cm 06) k + w + z 07) 18º 08) k / 3, k / 3 e k / 3 09) esenho ao lado. 09) Sibipiruna Peroba 10), V e 11) a) 4 cm b) 7 cm c) 8 cm 1) poço deve localizar-se no circuncentro do triângulo cujos vértices são as três casas. 13) estátua deve ser colocada no incentro do triângulo formado pelas três ruas. Jatobá tesouro Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 1

23 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana Pontos notáveis de um triângulo. ercícios complementares da aula 0. 01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar : a) a altura do triângulo; b) o raio da circunferência inscrita no triângulo; c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo; d) o que o ponto é do triângulo. k k R r h k 0) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita de um triângulo eqüilátero mede 5 cm, determinar : a) o raio da circunferência inscrita no triângulo; b) a altura do triângulo; c) o lado do triângulo; d) o perímetro do triângulo; e) o que o ponto é do triângulo. l l l R r h 03) Na figura, G e, dividem o ângulo em três ângulos congruentes. a mesma forma, e, dividem o ângulo em três ângulos congruentes. ssinale a alternativa correta. 04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e centro consideram-se, como na figura, os triângulos equiláteros T 1, inscrito, e T, circunscrito. etermine a razão entre a altura de T e a altura de T 1. S P T R Q T 1 G a) P é incentro de algum triângulo construído na figura. b) Q é incentro de algum triângulo construído na figura. c) R é incentro de algum triângulo construído na figura. d) S é incentro de algum triângulo construído na figura. e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira. R Jeca

24 05) Na figura abaio, os pontos M, N e P são médios dos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro do triângulo e que G =.GN. 06) Na figura abaio, o ponto I é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Sendo paralelo a, = 8 cm e = 11 cm, determinar o perímetro do triângulo. M G N I P 07) No triângulo da figura, = 10 cm e M é o ponto médio de. Sabendo que e são os pés das alturas e, determine o valor de M + M. 08) Na figura, o triângulo é retângulo em, os segmentos e são congruentes e o ângulo mede 65º. etermine a medida do ângulo. M RSLUÇÃ - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semi-circunferência. 09) No triângulo abaio, = 70º e = 40º. etermine a medida do ângulo, sabendo-se que o ponto é o ortocentro do triângulo. 10) No triângulo abaio, é ponto médio do lado e é a bissetriz do ângulo. etermine a medida do ângulo. 40º 11) Na figura abaio, é o centro da circunferência inscrita no triângulo retângulo. etermine a medida do ângulo. 1) (uvest) Um triângulo, tem ângulos = 40º e = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices e desse triângulo? a) 30º b) 45º c) 60º d) 90º e) 10º Jeca 3

25 13) onsidere o triângulo da figura e assinale a afirmativa falsa. 14) No triângulo da figura abaio, as medianas e são perpendiculares entre si. Sabendo que = 6 e = 8, determine a medida de. a) é o ortocentro do. b) é o ortocentro do. c) s circuncentros do e do coincidem. d) =.. e) é acutângulo. 15) Na figura abaio, o círculo inscrito no triângulo tem área S e os ângulos e medem 50º e 70º, respectivamente. etermine as áreas dos setores circulares S 1, S e S 3, em função de S. 16) etermine as medidas dos ângulos, e, no triângulo abaio, sabendo que é o incentro do triângulo. S 3 S 1 10º 110º 130º S 17) etermine as medidas dos ângulos, e, no triângulo abaio, sabendo que é o circuncentro do triângulo. 18) Na figura, a circunferência de centro está inscrita no setor circular de centro, raio = 15 cm e ângulo central = 60º. etermine o raio da circunferência. 10º 130º 110º 19) triângulo da figura é retângulo em e os triângulos, e são equivalentes (têm a mesma área). Sendo = 18 cm, determine a medida do segmento. 0) No triângulo da figura, = 50º. Se P for o incentro do triângulo, a medida do ângulo P é ; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo, a medida do ângulo P é y. etermine a razão entre e y. P P Jeca 4

26 1) Na figura, é um retângulo, M é ponto médio de e o triângulo M é equilátero. etermine a medida do segmento PM, sabendo que = 1 cm. M ) (UMG) Na figura abaio, =, = 60º e o ângulo é o dobro do ângulo. etermine a razão /. P 3) No triângulo ao lado, sendo M, N e P pontos médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm e R = 10 cm, determinar : a) que são os segmentos P, N e M para o triângulo. b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R. c) Quais as medidas dos segmentos R, R e PR. 4) Na figura ao lado, é o centro da circunferência inscrita no triângulo que é retângulo em. Sendo m() = 30º, determinar as medidas dos ângulos,, e e dizer o que a semirreta significa para o ângulo. M R N P 5) Na figura abaio, as retas, e G encontram-se no ponto, e os pontos, e G são os pontos médios dos lados do triângulo. Para o triângulo, dizer como se denomina o ponto e o que é a reta. G 6) (UM-PR) m um plano, a mediatriz de um segmeno de reta é a reta r que passa pelo ponto médio do segmento de reta e é perpendicular a esse segmento. ssinale a alternativa incorreta. a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância de P ao ponto é igual à distância de P ao ponto. b) intersecção das mediatrizes de dois lados de um triângulo qualquer em é o circuncentro do triângulo. c) Qualquer ponto do plano que não pertença à reta r não equidista dos etremos do segmento. d) s mediatrizes dos lados de um triângulo podem se interceptar em três pontos distintos. e) reta r é a única mediatriz do segmento de reta em. Jeca 5

27 Respostas desta aula. 01) a) k 3 / b) k 3 / 6 c) k 3 / 3 d) I 0) a) (5 / ) cm b) (15 / ) cm c) 5 3 cm d) 15 3 cm e) I 03) d 04) 17) 55º, 65º e 60º 18) 5 cm 19) 6 cm 0) 3 / 6 1) 4 cm ) 1 / 3) a) medianas b) baricentro c) 14 cm, 1 cm e 5 cm 05) M G N S é ponto médio de G R é ponto médio de G MNRS é um paralelogramo Portando, SG = GN = S Razão : 1 4) 15º, 45º, 10º, 30º e bissetriz 5) circuncentro e mediatriz 6) d S P R 06) 19 cm 07) 10 cm 08) 130º 09) 110º 10) 105º 11) 135º 1) d 13) d 14) 5 15) 3 S / 7 16) 80º, 40º e 60º Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 6

28 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 03 ongruência de triângulos. ois triângulos são congruentes se têm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ângulos dois a dois ordenadamente congruentes. asos de congruência. 1) L..L. ).L.. 3)L.L.L. 4) L.. 5) aso especial () nde: L - lado. - ângulo junto ao lado. - ângulo oposto ao lado. aso especial (). ois triângulos retângulos são congruentes se têm as hipotenusas congruentes e um cateto de um triângulo é congruente a um cateto do outro triângulo bservação. posição de cada elemento do triângulo (lado ou ângulo) no desenho é muito importante na caracterização do caso de congruência. L..L. - dois lados e o ângulo entre eles..l.. - dois ângulos e o lado entre eles. 01) Na figura ao lado, e são ângulos retos e os segmentos e são congruentes. Prove que os triângulos e são congruentes. 0) Na figura ao lado, e são ângulos retos e é a bissetriz do ângulo. Prove que os ângulos e são congruentes. 03) Na figura ao lado, os segmentos e são congruentes e os segmentos e também. Prove que os ângulos e são congruentes. Jeca 7

29 04) (importante) Na figura abaio, é uma corda da circunferência de centro. Provar que se o raio é perpendicular à corda, então é ponto médio de. 05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e mediatriz. H 06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio, provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das etremidades e do segmento. P M mediatriz 07) adas as retas r e s, e os pontos, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento P, determine os pontos pertencente a r e pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do segmento. r M P s Jeca 8

30 08) Na figura abaio, os segmentos e são congruentes. Sabendo-se que o triângulo é isósceles de base, prove que os segmentos e são congruentes. 09) (UMG) bserve a figura: r P R Nessa figura, os segmentos e são perpendiculares, respectivamente, às retas r e s. lém disso, P = P, R = R e a medida do ângulo PR é. etermine, em função de, a medida do ângulo interno do quadrilátero. s 10) Na figura, é um paralelogramo e os segmentos e são congruentes. Prove que os segmentos e são congruentes e paralelos entre si. 11) Na figura abaio, o quadrado GH está inscrito no quadrado. Prove que os triângulos H,, G e GH são congruentes entre si. H G 1) Na figura abaio, é um retângulo e os segmentos e são perpendiculares ao segmento. Prove que os segmentos e são congruentes entre si. 13) Provar que se é um paralelogramo e e são as diagonais, então o ponto de intersecção das diagonais é o ponto médio da diagonal. Jeca 9

31 Teorema do ponto eterior. ada uma circunferência e um ponto P, P eterior a, se e são os pontos de tangência das retas tangentes a por P, então P = P. onsequência do Teorema do ponto eterior. m todo quadrilátero circunscrito numa circunferência a soma das medidas dos lados opostos é constante. P P = P + = + 14) Prove o Teorema do ponto eterior. P 15) Na figura abaio, a circunferência está inscrita no triângulo, = 10, = 1 e = 14. etermine a medida do segmento T. R S T 16) Na figura abaio,, e são pontos de tangência. eterminar o perímetro do triângulo P, sabendo que a distância P mede 17 cm. P 17) etermine o valor de na figura abaio, sabendose que = +, = 4-3, = 3 - e = ) eterminar a medida da base média de um trapézio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos desse trapézio medem 15 cm cada. 19) etermine a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm, 15 cm e 17 cm. Jeca 30

32 Respostas desta aula. bservação - ependendo dos dados, um eercício pode ser provado por mais de um caso de congruência. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi considerado o caso de congruência mais evidente. 07) Resolução r Seja P // M = MP (L) - por hipótese 01) aso especial () 0) L... 03) L.L.L. 04) aso especial M P s M = PM () - PV M = PM () - alternos internos Pelo caso.l.., temos M = PM Portanto M = M Q 05) É possível provar por vários casos. 06) L..L. 07) emonstração ao lado. 08) L..L. 09) Pelo caso L..L. prova-se que os triângulos P e P são congruentes. Pelo mesmo caso, prova-se que os triângulos R e R também são congruentes. P = P = e R = R = Portanto = 10) L..L. 11).L.. 1) L... 13) L... 14) aso especial (Una o ponto P ao centro) 15) 8 16) 34 cm 17) S = { R > 3 / 4 } 18) 15 cm 19) 3 cm Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 31

33 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ongruência de triângulos. ercícios complementares da aula ) Na figura abaio, M é ponto médio de e de. Provar que o triângulo M é congruente ao triângulo M. M 0) Na figura abaio, M é ponto médio do segmento e os ângulos e são congruentes. Provar que M também é ponto médio do segmento. M 03) Na figura abaio, M é ponto médio do segmento e os ângulos e são congruentes. Provar que os segmentos e são congruentes. M 04) Na figura abaio, M é ponto médio dos segmentos e. Provar que as retas e são paralelas. M 05) Na figura abaio, é bissetriz do ângulo e os ângulos e são congruentes. Provar que os segmentos e são congruentes. Jeca 3

34 06) Na figura abaio, e. Provar que o triângulo G é isósceles. G 07) Na figura abaio, é um triângulo isósceles de base. Sabendo-se que, provar que também é um triângulo isósceles. 08) Na figura abaio,, e. Provar que os triângulos e são congruentes. 09) Na figura abaio, é um triângulo eqüilátero e os pontos, e pertencem aos lados, e, respectivamente. Sabendo-se que os segmentos, e são congruentes, provar que o triângulo é eqüilátero. Jeca 33

35 10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos desse losango. k k M k k 11) Na figura, e GH são quadrados. centro do quadrado localiza-se no vértice do outro quadrado. Prove que os triângulos JL e KM são congruentes. L J G K M H 1) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e vale a metade desse terceiro lado. 13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às bases e vale a semi-soma dessas bases. Jeca 34

36 Respostas desta aula. bservação - ependendo dos dados, um eercício pode ser provado por mais de um caso de congruência. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi considerado o caso de congruência mais evidente. 01) LL 0) L 03) L 04) LL 05) L 06) aso especial 07) LL 08) L 09) LL emonstração do eercício nº 13. G G () (opostos pelo vértice) (L) ( é ponto médio de ) G () (alternos internos) Pelo caso L, temos: G > G e G onsiderando apenas o triângulo G, temos: 10) LLL 11) L emonstração do eercício nº 1. G = + G = + G Seja // (por construção) > (alternos internos) > ( é ponto médio) (opostos pelo vértice) Pelo caso L, temos: > Mas é ponto médio de > Se // e > é um paralelogramo > > // e Mas > = e // (Q) Pelo teorema demonstrado no eercício 1, temos: // // e = + (Q) Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 35

37 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 04 Quadriláteros notáveis. I) Trapézio. É o quadrilátero que tem dois lados paralelos. altura de um trapézio é a distância entre as retas suporte de suas bases. h + = 180º Trapézio retângulo Trapézio isósceles base menor Trapézio escaleno base maior II) Paralelogramo. É o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. // e // III) Retângulo. É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes e iguais a 90º. h b h b IV) Losango. É o quadrilátero que tem os lados congruentes. // e // V) Quadrado. É o quadrilátero que tem os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes (90º). 45º Propriedades dos quadriláteros notáveis. 1) m todo paralelogramo as diagonais cortam-se nos respectivos pontos médios. M M é ponto médio de e M é ponto médio de. ) m todo losango as diagonais são: a) perpendiculares entre si; b) bissetrizes dos ângulos internos. y y y y 3) ase média de trapézio. m todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos dois lados não paralelos, é paralelo às bases e vale a média aritmética dessas bases. 4) ase média de triângulo. m todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao 3º lado e vale a metade desse 3º lado. M base média N MN // // e MN = + MN // e MN = M N base média Jeca 36

38 01) No paralelogramo abaio, determinar o valor de e a medida da diagonal. 7 cm 7 cm 1 cm 0) No paralelogramo abaio, determinar o valor de e a medida da diagonal. k k 03) No paralelogramo abaio, determinar o valor de, o valor de y, a medida da diagonal e a medida da diagonal. 04) No losango abaio, conhecendo-se a medida do ângulo, determinar as medidas dos ângulos a, b, c e d cm 3y 1 cm a d c 58º b 05) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pontos médios dos lados,, e do quadrilátero tos médios dos lados,, e do quadrilátero 06) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-. eterminar o perímetro do quadrilátero LMNP. Provar que LMNP é um paralelogramo. sabendo-se que = 6 cm e = 10 cm. L P L P M N M N 07) (Unifesp) etermine a medida do menor ângulo interno de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos consecutivos desse paralelogramo estão na razão 1 : 3. 08) (URJ) Se um polígono tem todos os lados com medidas iguais, então todos os seus ângulos internos têm medidas iguais. Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como eemplo a figura denominada: a) triângulo equilátero; b) losango; c) trapézio; d) retângulo; e) quadrado. Jeca 37

39 09) No triângulo abaio, = 8 cm, = 1 cm e = 10 cm. Sendo e pontos médios dos lados e, respectivamente, determine a medida do perímetro do trapézio. 10) No triângulo abaio, = 16 cm, = 14 cm e = 18 cm. Sendo, e os pontosmédios dos lados, e, respectivamente, determinar as medidas dos segmentos, e. 11) No triângulo abaio, =, = y e = z. Sendo, e os pontos médios dos lados, e, respectivamente, determinar o perímetro do quadrilátero. 1) No trapézio abaio, a base menor mede 8 cm, a base maior mede 0 cm e os pontos e são os pontos médios dos lados e, respectivamente. etermine a medida da base média. 13) No trapézio retângulo abaio, a base menor mede 1 cm e a base maior mede 18 cm. Sendo = 10 cm, e os pontos médios dos lados e, respectivamente, determinar os perímetros dos trapézios e. 14) No trapézio abaio, a base média mede 17 cm e a base maior mede cm. etermine a medida da base menor. 15) No trapézio abaio, = 8 cm e GH = 11 cm. Sendo = G = G e = H = H, determine as medidas da base menor e da base maior. 16) No trapézio abaio, = 1 cm, = 6 cm e os pontos e H são pontos médios dos lados e, respectivamente. eterminar as medidas dos segmentos H,, GH e G. G H G H Jeca 38

40 17) Na figura, MNLP é um quadrilátero,,, e são os pontos médios dos lados MN, NL, LP e PM. etermine o perímetro do quadrilátero sabendo-se que ML = 14 cm e NP = 8 cm. M 18) etermine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos opostos medem 3-18º e + 7º. P N L 19) No triângulo abaio, e são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo o perímetro do triângulo igual a 3 cm, determinar : a) o que é o ponto para o triângulo. b) a medida do perímetro do triângulo. 0) No triângulo abaio, sendo o baricentro, =, = y, = z, = t e = w, determinar o perímetro do quadrilátero. 1) No triângulo abaio, e G são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo =, = y, = z e G = k, determinar o perímetro do triângulo G e dizer o que o ponto é do triângulo. ) emosntre que o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos de um paralelogramo é um ângulo reto. G 3) (uvest) m um trapézio isósceles, a medida da altura é igual à da base média. etermine o ângulo que a diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio. Jeca 39

41 Respostas desta aula. 01) 6 cm 0) 4 03) 11 cm e 4 cm 04) 3º, 64º, 90º e 116º 05) 16 cm 06) Propriedade da base média do triângulo. // LP // MN e // LM // PN Portanto LMNP é um paralelogramo. 07) 45º 08) b 09) 5 cm 10) 7 cm, 9 cm, e 8 cm 11) + z 1) 14 cm 13) 36 cm e 4 cm 14) 1 cm 15) 5 cm e 14 cm 16) 19 cm, 6 cm, 6 cm e 7 cm 17) cm 18) 117º e 63º 19) aricentro e 46 cm 0) ( + y + w + t) / 1) (y + z + 6k) / e baricentro ) + = 180 (alternos internos) Portanto + = 90º 3) 45º Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 40

42 01) ado o losango abaio e o ângulo de 58º, determine as medidas dos ângulos assinalados. z studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) y t 58º Geometria plana Quadriláteros notáveis. ercícios complementares da aula 04. 0) (URJ-RJ) Se um polígono tem todos os lados com medidas iguais, então todos os seus ângulos internos têm medidas iguais. Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como eemplo a figura denominada: a) losango b) trapézio c) retângulo d) quadrado e) paralelogramo 03) No retângulo abaio, e são as diagonais. etermine as medidas dos ângulos e y. y 04) (PUamp-SP) Na figura a seguir, tem-se representado o losango, cuja diagonal menor mede 4 cm. etermine a medida da diagonal maior e do lado desse losango. 3º 05) Na figura abaio, é um retângulo e é um triângulo equilátero, onde o ponto pertence ao lado do retângulo. Sendo a diagonal do retângulo, o ponto de intersecção entre a diagonal e o lado do triângulo e = 9 cm, determine a medida do segmento. 06) (VUNSP-SP) onsidere as seguintes proposições. I. Todo quadrado é um losango. II. Todo quadrado é um retângulo. III. Todo retângulo é um paralelogramo. IV. Todo triângulo equilátero é isósceles. Pde-se afirmar que: a) só uma é verdadeira. b) todas são verdadeiras. c) só uma é falsa. d) duas são verdadeiras e duas são falsas. e) todas são falsas. Jeca 41

43 07) (PU-SP) Sendo: = { / é quadrilátero} = { / é quadrado} = { / é retângulo} = { / é losango} = { / é trapézio} = { / é paralelogramo} ntão vale a relação: a) b) c) d) e) 08) (UP-MG) ssinale a alternativa incorreta: a) m todo paralelogramo não retângulo, a diagonal oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra. b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo. c) s bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelogramo são paralelas entre si. d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo, este fica decomposto em quatro triângulos congruentes. e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas. 09)(U) Na figura, o retângulo GHI, o triângulo e- quilátero e o quadrado I, têm todos, perímetro igual a 4 cm. Se é o ponto médio de I, o perímetro da figura fechada GHI é igual a: 10) etermine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo que a diferença entre as medidas de dois ângulos internos consecutivos é 5º. a) 48 m b) 49 m c) 50 m d) 51 m e) 5 m G H I 11) (GV-SP) diagonal menor de um losango decompõe esse losango em dois triângulos congruentes. Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º, quais são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois triângulos considerados? 1) (IT-SP) adas as afirmações: I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares. III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então esse paralelogramo é um losango. a) Todas são verdadeiras. b) penas I e II são verdadeiras. c) penas II e III são verdadeiras. d) penas II é verdadeira. e) penas III é verdadeira. Jeca 4

44 13) (UV-MG) Num trapézio isósceles de bases diferentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângulo adjacente à base maior. Isso significa que: a) a base menor tem medida igual à dos lados oblíquos. b) os ângulos adjacentes à base menor não são congruentes. c) a base maior tem medida igual à dos lados oblíquos. d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto médio. e) as diagonais se interceptam, formando ângulo reto. 14) (UVST-SP) No quadrilátero, temos = = e os prolongamentos desses lados formam um ângulo de 60º. a) Indicando por,, e, respectivamente, as medidas dos ângulos internos dos vértices,, e, calcule b) Sejam J o ponto médio de, M o ponto médio de e N o ponto médio de. alcule JM e JN. c) alcule a medida do ângulo MJN. 15) Na figura, = 4 cm, é ponto médio de, é ponto médio de, é ponto médio de e I é ponto médio de. etermine as medidas dos segmentos G e GH. 16) (IT-SP) onsidere um quadrilátero cujas diagonais e medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU vale: a) cm b) 5,5 cm c) 8,5 cm d) 11 cm e) 1 cm G H I 17) No trapézio J abaio, G = e I = y. Se = = = e G = GH = HI = IJ, determine e J em função de e de y. G 18) Na figura abaio, o triângulo é retângulo em, o ponto é ponto médio do lado e o segmento é paralelo ao cateto. Sendo = 4 cm, determine a medida do segmento. H I J Jeca 43

45 Respostas desta aula. 01) = 3º, y = 116º, z = 64º, t = 90º 0) a 03) = 64º, y = 116º 04) = 4 3 cm, = 4 cm 05) 6 cm 06) b 07) b 08) e 09) c 10) 64º e 116º 11) 50º, 65º e 65º 1) c 13) a 14) a) 360º b) 1 e 1 c) 60º 15) G = 6 cm e GH = 6 cm 16) d 17) = 3 - y J 18) 4cm = 3y - Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 44

46 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 05 Polígonos conveos. I) Polígonos conveos. lassificação dos polígonos (quanto ao nº de lados). e i d d - diagonal i - ângulo interno e - ângulo eterno i + e = 180º lado vértice 3 lados - triângulo 4 lados - quadrilátero 5 lados - pentágono 6 lados - heágono 7 lados - heptágono 8 lados - octógono 9 lados - eneágono 10 lados - decágono 11 lados - undecágono 1 lados - dodecágono 13 lados - tridecágono 14 lados - quadridecágono 15 lados - pentadecágono 16 lados - headecágono 17 lados - heptadecágono 18 lados - octodecágono 19 lados - eneadecágono 0 lados - icoságono II) Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono conveo. (S ) i III) Soma das medidas dos ângulos eternos de um polígono conveo. (S ) e e 3 e 4 IV) Número de diagonais de um polígono conveo. (d) i 3 i 4 i n i i 1 e e n S = i + i + i i i 1 3 n S = 180 (n - ) i n - nº de lados do polígono e 1 S = e + e + e e e 1 3 n S = 360º e Para qualquer polígono conveo iagonal é o segmento que une dois vértices não consecutivos. d n (n - 3) = n - nº de lados do polígono V) Polígono regular. e i e i e i i i e Um polígono é regular se tem: a) todos os lados congruentes entre si; b) todos os ângulos internos congruentes entre si; c) todos os ângulos eternos congruentes entre si. lassificação dos polígonos regulares 3 lados - triângulo equilátero 4 lados - quadrado 5 lados - pentágono regular 6 lados - heágono regular etc e Medida de cada ângulo interno de um polígono regular. i = S i n > 180 (n - ) i = n Medida de cada ângulo eterno de um polígono regular. ângulo central e = S e n > 360 e = n (importante) bservação - Todo polígono regular pode ser inscrito e circunscrito numa circunferência. Jeca 45

47 01) eterminar a soma das medidas dos ângulos internos e o número de diagonais de um pentadecágono conveo. 0) eterminar a soma das medidas dos ângulos eternos e o número de diagonais de um octodecágono conveo. 03) eterminar a medida de cada ângulo interno e de cada ângulo eterno de um eneágono regular. 04) eterminar a medida de cada ângulo interno e o nº de diagonais de um octógono regular. 05) eterminar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono conveo que tem 65 diagonais. 06) eterminar o nº de diagonais de um polígono regular cuja medida de cada ângulo eterno é 30º. 07) eterminar o nº de diagonais de um polígono regular sabendo-se que a medida de um ângulo interno ecede a medida do ângulo eterno em 13º. 08) eterminar a medida do ângulo eterno de um polígono regular que tem 14 diagonais. Jeca 46

48 09) ados dois polígonos conveos, e, sabe-se que tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que. etermine quais são os polígonos e. 10) ados dois polígonos regulares, e, sabe-se que tem 6 lados a mais do que e a diferença das medidas de seus ângulos eternos é 16º. etermine quais são esses polígonos. 11) etermine a medida do ângulo agudo formado entre a diagonal e lado de um dodecágono regular... KL. 1) etermine a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos das diagonais e G de um dodecágono regular...kl. Jeca 47

49 13) (UNISP-SP) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura. Nestas condições, o ângulo mede: a) 108º b) 7º c) 54º d) 36º e) 18º 14) (UVST-SP) ois ângulos internos de um polígono conveo medem 130º cada um e os demais ângulos internos medem 18º cada um. nº de lados desse polígono é: a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17 15) (SGRNRI-RJ) No quadrilátero da figura abaio, são traçadas as bissetrizes M e N, que formam entre si o ângulo. soma dos ângulos internos e desse quadrilátero corresponde a: a) /4 b) / c) d) e) 3 M N 16) (MK-SP) s lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são prolongados para formar uma estrela. medida, em graus, de cada vértice da estrela é: a) b) c) d) e) 360º n (n - 4). 180º n (n - ). 180º n 180º _ 90º n 180º n Jeca 48

50 Respostas desta aula. 01) 340º e 90 diagonais 0) 360º e 135 diagonais 03) 140º e 40º 04) 135º e 0 diagonais 05) 1980º 06) 54 diagonais 07) 90 diagonais 08) 360º / 7 09) Heptágono e undecágono 10) neágono e pentadecágono 11) 60º 1) 75º 13) d 14) b 15) d 16) b Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 49

51 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana Polígonos conveos. ercícios complementares da aula ) ado um polígono conveo de 17 lados, determinar: a) a soma das medidas dos ângulos internos. b) a soma das medidas dos ângulos eternos. c) o número de diagonais desse polígono. 0) ado um undecágono conveo, determinar: a) a soma das medidas dos ângulos internos. b) a soma das medidas dos ângulos eternos. c) o número de diagonais desse polígono. 03) eterminar o número de lados e o número de diagonais de um polígono conveo cuja soma das medidas dos ângulos internos é 160º. 04) eterminar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono conveo que tem 44 diagonais. Jeca 50

52 05) No pentágono ao lado, //. eterminar a soma das medidas dos ângulos internos assinalados. 06) eterminar os polígonos conveos e, sabendo-se que tem lados e 3 diagonais a mais que o polígono. 07) ado um eneágono regular, determinar : a) o número de lados do eneágono. b) a soma das medidas dos ângulos internos. c) a medida de cada ângulo interno. d) a soma das medidas dos ângulos eternos. e) a medida de cada ângulo eterno. f) o número de diagonais do eneágono. 08) eterminar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo eterno é igual a /7 da medida de um ângulo interno. Jeca 51

53 09) ado um pentadecágono regular, determinar : a) o número de lados do pentadecágono. b) a soma das medidas dos ângulos internos. c) a medida de cada ângulo interno. d) a soma das medidas dos ângulos eternos. e) a medida de cada ângulo eterno. f) o número de diagonais do pentadecágono. 10) eterminar dois polígonos regulares, e, sabendo-se que tem 3 lados a mais que e que a diferença entre as medidas dos seus ângulos eternos é 6º. 11) ado um decágono regular, determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado e a diagonal. 1) ado um dodecágono regular, sendo o centro do dodecágono, determinar a medida do ângulo. L K G Jeca 5 J I H

54 13) ado um decágono regular, sendo o centro do polígono, determinar : J I H G a) a soma das medidas dos ângulos eternos do decágono. b) a medida de cada ângulo eterno. c) a soma das medidas dos ângulos internos do decágono. d) a medida de cada ângulo interno. e) a medida do ângulo obtuso formado pelos prolongamentos dos lados e. f) a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos dos lados e. g) a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais I e G. h) a medida do ângulo G. i) a medida do ângulo. Jeca 53

55 G H I J K L M N P G H I J K L M N P Q R S T U 14) No pentadecágono regular abaio, determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais N e J. y z 15) No icoságono regular abaio, determinar as medidas dos ângulos, y e z. G G H H I I J J K K L L y z t 16) No dodecágono regular de centro abaio, determinar as medidas dos ângulos, y, z e t. y z t 17) figura abaio representa um quadrilátero IK inscrito em um dodecágono regular.... eterminar as medidas dos ângulos, y, z e t. G H y z t 18) figura abaio representa um octógono regular de centro. Sendo H a bissetriz do ângulo HG e a mediatriz do segmento, determinar as medidas dos ângulos, y, z e t. G H I 19) No eneágono regular, determinar a medida do ângulo formado pelas retas G e. I - plique ângulos inscritos I - plique ângulos inscritos I - plique ângulos inscritos I - plique ângulos inscritos I - plique ângulos inscritos I - plique ângulos inscritos Jeca 54

56 0) Na figura ao lado, determinar o valor de + y. 93º y 1) ado um polígono conveo... com n lados, n > 3, o número de diagonais do polígono que não passam pelo vértice é dado por: a) 5n - 4 b) n - 11n c) n - 5n + 6 d) n(n-3) 105º 88º e) n - 4 ) Se a soma dos ângulos internos de um polígono regular é 160º, sendo a medida de cada ângulo eterno então: a) = 18º b) 30º < < 35º c) = 45º d) < 7º e) 40º < < 45º 3) Três polígonos têm o número de lados epressos por números inteiros consecutivos. Sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 8, determine a polígono com maior número de diagonais. 4) Na figura ao lado, é um triângulo eqüilátero e GH é um pentágono regular. Sabendo-se que pertence ao lado, pertence ao lado, G e H pertencem ao lado, determinar as medidas dos ângulos e H. 5) ado o eneágono regular ao lado, determinar a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados e. I H X G H G Jeca 55

57 6) s lados de um polígono regular de n lados, com n > 4, são prolongados para formar uma estrela. ar a epressão que fornece a medida de cada um dos ân- 7) (MK-SP) Num quadrilátero conveo, a soma de dois ângulos internos consecutivos mede 190º. maior ângulo formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ângulos mede: a) 105º b) 100º c) 90º d) 95º e) 85º 8) (IT-SP) número de diagonais de um polígono regular de n lados, que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a esse polígono, é dado por: a) n(n - ) 9) (I) menor ângulo interno de um polígono conveo mede 139º, e os outros ângulos formam com o primeiro uma progressão aritmética de razão. etermine o número de lados do polígono. b) n(n - 1) c) n(n - 3) d) n(n - 5) e) n.d.a. Jeca 56

58 Respostas desta aula 01) a) 700º b) 360º c) 119 0) a) 160º b) 360º c) 44 03) 14 lados e 77 diagonais 04) 160º 05) 360º 06) Quadridecágono e dodecágono 07) a) 9 b) 160º c) 140º d) 360º e) 40º f) 7 08) neágono 09) a) 15 b) 340º c) 156º d) 360º e) 4º f) 90 10) Pentadecágono e dodecágono 11) 18º 16) = 75º, y = 45º, z = 30º e t = 10º 17) = 105º, y = 90º, z = 75º e t = 90º 18) = 135º, y = 135º, z = 67,5º e t = 11,5º 19) 40º 0) 74º 1) c ) b 3) heptágono 4) 4º e 48º 5) 60º 6) 180 (n - 4) n 7) d 8) a 9) 1 1) 10º 13) a) 360º b) 36º c) 1440º d) 144º e) 108º f) 7º g) 54º h) 7º i) 36º 14) 7º 15) = 7º, y = 108º e z = 45º Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 57

59 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 06 Ângulos na circunferência. I) lementos da circunferência. r r r P - centro da circunferência = r - raio da circunferência = r - diâmetro da circunferência = - ângulo central P - arco da circunferência - corda da circunferência II) Posições relativas entre ponto e circunferência. - ponto eterior - ponto da circunferência - ponto interior - centro da circunferência III) Posições relativas entre reta e circunferência. ponto de tangência reta tangente reta secante reta eterior IV) Propriedades da circunferência. 1) m toda circunferência, a medida do ângulo central é igual à medida do arco correspondente. ) m toda circunferência, o raio é perpendicular à reta tangente no ponto de tangência. 3) m toda circunferência, o raio, quando perpendicular à corda, divide essa corda ao meio. P = P M M = M V) Ângulos na circunferência. a) Ângulo inscrito na circunferência. b) Ângulo de segmento. É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunferência e os dois lados secantes a essa rência, um lado secante e um lado tangente a essa É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunfe- circunferência. circunferência. Propriedade - ângulo inscrito vale a metade do Propriedade - ângulo de segmento vale a metade ângulo central ou a metade do arco correspondente. do ângulo central ou a metade do arco correspondente. vértice - ângulo central - ângulo inscrito = Jeca 58 vértice secante tangente - ângulo central - ângulo de segmento =

60 IV) onsequências do ângulo inscrito. 1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência onde a hipotenusa coincide com o diâmetro. ângulo inscrito ) m todo triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale a metade dessa hipotenusa. R R R mediana relativa à hipotenusa 3) Todos os ângulos de uma circunferência inscritos no mesmo arco são congruentes. arco de medida hipotenusa e diâmetro hipotenusa 4) m todo quadrilátero inscrito numa circunferência os ângulos internos opostos são suplementares. + = 180º e + = 180º 5) Ângulo ecêntrico de vértice interno. a vértice = a + b b 6) Ângulo ecêntrico de vértice eterno. a b = a - b vértice ercícios - 01) Nas circunferências abaio, sendo o centro, determine a medida do ângulo ou do arco. a) b) c) 118º 41º 46º d) e) f) 39º 6º g) h) i) 6º 104º 87º Jeca 59

61 165º 0) Nas figuras abaio, sendo o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco. a) b) c) 3 14º 55º d) e) f) 50º 5º 35º g) h) Tente fazer por outro método. i) 88º 37º 37º 56º j) k) l) 87º 14º 33º 118º 34º 34º m) n) o) 146º 54º tangente Jeca 60 77º

62 03) Na circunferência abaio pode-se afirmar que: G H 70º a) as medidas dos arcos HG e G são iguais. b) a soma dos arcos HG e é 180º. c) a soma dos arcos G e é 140º. d) o arco G é maior que o arco. e) a soma dos arcos G e é 0º. 04) (J) ada uma circunferência de diâmetro, seja P um ponto da circunferência distinto de e de. Pode-se afirmar que : a) P = P b) P + P = constante c) P > P d) (P) + (P) = constante e) (P) - (P) = constante 05) Na figura abaio, a circunferência de centro tangencia o triângulo nos pontos e. Sabendose que a medida do ângulo interno é 40º e que a medida do arco G é 75º, determinar a medida do ângulo. 06) Na figura abaio, os pontos, e são pontos da circunferência de centro. valor de + y é : a) 4º b) 11º c) 118º d) 59º e) 6º 118º y G 07) Na figura abaio, as duas circunferências têm o mesmo raio e centros nos pontos R e S. s pontos, P, e S estão na circunferência de centro R e os pontos M, N, R e K estão na circunferência de centro S. Se o arco P mede 86º, então o ângulo MKN, mede : a) 3º b) 1º 30 M c) º d) º 30 e) 43º P R S 08) ado um pentágono regular, constói-se uma circunferência pelos vértices e de tal forma que e sejam tangentes a essa circunferência, em e em, respectivamente. etermine a medida, em graus, do menor arco dessa circunferência. N K 09) Na figura abaio, é o diâmetro e, e são pontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo mede 38º, determine a medida do ângulo. 10) (MK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ medem,respectivamente, 170º e 130º. ntão, o arco MSN mede: a) 60º b) 70º c) 80º d) 100º e) 110º P S M N T Q Jeca 61

63 G H I J K L M N P G H I J K L M N P Q R S T U 11) No pentadecágono regular abaio, determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais N e J. y z 1) No icoságono regular abaio, K, N e HN são diagonais. etermine as medidas dos ângulos, y e z. G G H H I I J J K K L L y z t 13) No dodecágono regular de centro abaio, determinar as medidas dos ângulos, y, z e t. y z t 14) figura abaio representa um quadrilátero K inscrito em um dodecágono regular.... eterminar as medidas dos ângulos, y, z e t. 15) figura abaio representa um eneágono regular de centro. Sendo I a bissetriz do ângulo IH e P a mediatriz do segmento, determinar as medidas dos ângulos, y, z e t. G H I 16) No eneágono regular, determinar a medida do ângulo formado pelas retas I e. I - plique ângulos inscritos I - plique ângulos inscritos I - plique ângulos inscritos I - plique ângulos inscritos I - plique ângulos inscritos I - plique ângulos inscritos G H I P y z t Jeca 6

64 Respostas desta aula. 01) a) 59º b) 8º c) 9º d) 39º e) 90º f) 8º g) 8º h) 76º i) 87º 0) a) 8º b) º 30' c) 110º d) 0º e) 40º f) 38º g) 53º h) 53º i) 7º j) 10º k) 4º l) 9º m) 107º n) 54º o) 59º 03) e 04) d 05) 35º 06) d 07) b 08) 144º 09) 108º 10) a 11) 84º 1) 45º, 99º e 36º 13) 75º, 30º, 45º e 60º 14) 60º, 90º, 10º e 90º 15) 140º, 140º, 70º e 140º 16) 40º Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 63

65 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana Ângulos na circunferência. ercícios complementares da aula ) Nas figuras abaio, sendo o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco. a) b) c) 86º V 46º V 76º V d) e) f) 136º 88º 9º g) h) i) 94º 10º 70º 3º 68º 87º j) l) m) 33º 106º 38º n) 51º o) p) 196º 56º Jeca 64

66 0) Nas figuras abaio, sendo o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco. a) b) c) 78º 98º d) e) f) 58º 88º 57º 4º g) h) i) 140º 56º 6º 94º 40º 36º j) l) m) 8º 55º 10º 115º 100º 68º n) o) p) 56º 48º 44º Jeca 65

67 03) Na circunferência de centro abaio, é um diâmetro e a medida do segmento é a metade da medida de. etermine a medida dos ângulos, e. 04) Na figura abaio, as retas P e P são tangentes à circunferência de centro nos pontos e. Sabendo-se que o ângulo P mede 48º, determinar a medida do arco. P 05) Na figura abaio,,, e são pontos da circunferência de diâmetro e centro. etermine a medida do ângulo. 06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de centro, tais que P e Q estão do mesmo lado do diâmetro que passa por R. Sabendo que RP = 0º e RQ = 80º, calcule o ângulo PQ. 7º 8º R 07) Na figura abaio, é o diâmetro e, e são pontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo mede 35º, determine a medida do ângulo. 08) Na figura abaio, = 1 cm é um diâmetro da circunferência de centro. Sendo um ponto da circunferência diferente de e de, determine : a) a medida do ângulo. b) o tipo do triângulo. c) o que é o segmento no triângulo. d) a medida do segmento. Jeca 66

68 09) figura abaio representa um eneágono regular inscrito em uma circunferência de centro. eterminar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais G e H. I 10) figura abaio representa um decágono regular inscrito em uma circunferência de centro. Sendo J e as bissetrizes dos ângulos JI e respectivamente, determinar a medida do ângulo J. J H I G H G I - plique ângulos inscritos 11) figura abaio representa um heptágono regular inscrito numa circunferência de centro. eterminar a medida do ângulo G. G I - plique ângulos inscritos 1) figura abaio representa um pentadecágono regular inscrito numa circunferência de centro. eterminar o ângulo obtuso formado entre as diagonais M e I. N P M L K J G I H I - plique ângulos inscritos Jeca 67 I - plique ângulos inscritos

69 13) Na figura abaio, os pontos,,, M, N e P estão na circunferência de centro. Se o arco P mede 160º e o ângulo mede 63º, qual é a medida do ângulo? a) 51º b) 43º c) 33º d) 47º M P e) 37º N 14) Na figura abaio, os pontos,,, M, N e P estão na circunferência de centro. Se o arco M mede 110º e o ângulo mede 63º, qual é a medida do ângulo? a) 6º b) 64º c) 58º d) 63º e) 59º M P N 15) Na figura abaio, é o diâmetro da circunferência de centro. eterminar a medida do ângulo sabendo que o ângulo mede 35º. 16) (UVST-SP) hipotenusa de um triângulo retângulo mede 0 cm e um dos ângulos mede 0º. a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa? b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto? 35º 17) No triângulo abaio,, e são as alturas relativas aos vértices, e. Sendo as medidas dos ângulos = 48º e = 64º,determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo. esafio Jeca 68

70 Respostas desta aula. 01) a) 43º b) 13º c) 15º d) 136º e) 44º f) 9º g) 16º h) 18º i) 95º j) 57º l) 34º m) 90º n) 39º o) 14º p) 8º 0) a) 60º b) 98º c) 04º d) 33º e) 48º f) 156º g) 4º h) 4º i) 11º j) 96º l) 65º m) 70º n) 11º o) 46º p) 48º 03) 90º, 60º e 60º 04) 8º 05) º 06) 60º 07) 55º 08) a) 90º b) triângulo retângulo c) mediana d) 6 cm 09) 60º 10) 108º 11) 360º / 7 1) 108º 13) e 14) a 15) 15º 16) a) 10 cm b) 5º Resolução do eercício 17) (esafio) quadrilátero é inscrito numa circunferência, pois os os ângulos opostos e são suplementares. esenhando-se a circunferência percebe-se que os ângulos e são congruentes pois estâo inscritos no mesmo arco da mesma circunferência. nálogamente provam-se os demais ângulos. 6º 6º 64º = 84º = 5º = 44º Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 69

71 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 07 Segmentos proporcionais. I) Teorema de Tales. m todo feie de retas paralelas, cortado por uma reta transversal, a razão entre dois segmento quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal. b a c d r s t Teorema de Tales a b = c d II) Teorema da bissetriz interna. m todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno divide internamente o lado oposto em dois segmentos que são proporcionais aos lados adjacentes. c bissetriz y b Teorema da bissetriz interna c = y b r // s // t ercícios. 01) etermine o valor de na figura abaio. 0) etermine o valor de na figura abaio. r // s // t r r // s // t r 8 8 s 5 6 s t 18 4 t 03) etermine o valor de na figura abaio. 04) etermine o valor de na figura abaio. r s r s t r // s // t r // s 05) etermine o valor de na figura abaio. 06) etermine o valor de na figura abaio. r s r t 7 8 s r // s // t r // s Jeca 70

72 07) (MPI 76) Três terrenos têm frente para a Rua e para a Rua, como mostra a figura. s divisas laterais são perpendiculares à Rua. Qual a medida de frente para a Rua de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m. Rua y 40 m 30 m 0 m Rua z 08) Na figura abaio, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que = 3, = 4, = 5, = 6, = 7 e JL = 8, determine a medida de GJ e de HM. G H I J L m n p q r u M v s 09) Na figura abaio, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que = 3, = 4, = 5, = 6, = 7 e JM =15, determine as medidas de HL e GM. G H I J m n p q 10) (UNIMP) figura a seguir mostra um segmento dividido em três partes: = cm, = 3 cm e = 5 cm. segmento ' mede 13 cm e as retas ' e ' são paralelas a '. etermine os comprimentos dos segmentos ', '' e '' em centímetros. ' ' L r ' u M v s Jeca 71

73 11) No triângulo abaio, sendo a bissetriz do ângulo interno do vértice, determine a medida do segmento. 1 cm 6 cm 9 cm 1) No triângulo abaio, sendo a bissetriz do ângulo interno do vértice, determine a medida do segmento. 16 cm 0 cm 10 cm 13) Na figura, é bissetriz interna do ângulo. alcule a medida do segmento. 14) eterminar o valor de sabendo-se que na figura abaio é a bissetriz interna do ângulo. 30 cm 16 cm cm 1 cm 9 cm 15) quadrado da figura abaio tem lado 4 cm. etermine a medida do segmento. 3 16) Na figura abaio, o ponto é o incentro do triângulo. Sendo = 3 cm, = 5 cm e = 10 cm, determine o valor da razão /. 10 cm 3 cm 5 cm 17) Na figura abaio, sendo a bissetriz do ângulo, determine a em função de b, c e d. a d b c 18) ado um triângulo de lados = c, = b e = a, sendo c < b < a. Se a bissetriz do ângulo divide o lado em dois segmentos, qual é a medida do menor desses segmentos? a) b. c a + c b) b. c a + b c) a. b b + c d) a. c b + c e) a. b b - c Jeca 7

74 19) (uvest-sp) Um triângulo tem lados = 5, = 4 e =. Sejam M e N os pontos de tais que M é a bissetriz relativa ao ângulo e N é a altura relativa ao lado. etermine o comprimento de MN. 0) Na figura abaio, é um triângulo retângulo e o segmento é a bissetriz interna do ângulo. etermine a medida de sabendo que = 5 cm e que = 7 cm. 1) Na figura abaio, o triângulo é retângulo em ; M é a mediana relativa à hipotenusa e é a bissetriz do ângulo. eterminar a medida do segmento M. ) (MPI-SP) perímetro de um triângulo é 100 m. bissetriz do ângulo interno divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 4 m. etermine as medidas dos lados desse triângulo. 8 cm 6 cm 5 cm M Jeca 73

75 Respostas desta aula. 01) 48 / 5 0) 3 / 3 03) 108 / 5 04) 3 / 5 05) 96 / 5 06) 88 / 7 07) 80 m, 60 m, e 40 m 08) 16 e 88 / 3 09) 5 / 13 e 375 / 13 10) 13 / 5, 39 / 10 e 13 / 11) 18 cm 1) (160 / 13) cm 13) (11 / 15) cm 14) 5 cm 15) 4( - 1) cm 16) 1 / 17) b.d / c 18) d 19) 11 / 30 0) (35 / 4) cm 1) (5 / 7) cm ) 4 cm, 40 cm e 36 cm Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 74

76 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) 01) Na figura abaio, sendo a // b // c //d, determinar e y. a 5 b 8 10 y 7 c d Geometria plana Teorema de Tales e Teorema da bissetriz interna. ercícios complementares da aula 07. 0) Na figura abaio, sendo a // b // c //d, determinar e y. a y 4 b c d 03) Na figura abaio, determine z em função de y. r // s // t r y s 3 z 04) Na figura abaio, sendo + y = 9, determinar o valor de e de y. r // s // t r s 3 y t t 05) Na figura abaio, determinar, y e z. 06) Na figura abaio, determine o valor de. r s t y cm 7 cm 6 cm 11 9 u v z r // s // t // u // v 07) Na figura abaio, determine o valor de em função de a, b e c. r r // s a b 08) Num triângulo, o lado mede 3 cm e o lado, 36 cm. Por um ponto M situado sobre, a 10 cm do vértice, traçamos a paralela ao lado, a qual divide em dois segmentos N e N. etermine a medida de N. s c Jeca 75

77 09) Na figura abaio, as retas r, s e t são paralelas entre si. Se + y = 1, então o valor que mais se aproima de - y, é : a) 1,03 b) 1,33 c) 1,57 d) 1,75 e),00 y 4 5 r s t 10) Na figura abaio, as retas a, b, c, d, e e f são paralelas entre si. etermine o valor da soma das medidas dos segmentos, y, z e t. f e a b c d y z t 11) Na figura abaio, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que = 3, = 4, = 5, = 6, = 7 e LM = 8, qual é a medida de HJ? a) 83 / 9 b) 81 / 7 c) 93 / 9 d) 7 / 7 e) 89 / 8 G H I J m n p q 1) Na figura abaio, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que = 3, = 4, = 5, = 6, = 7 e HJ = 10, qual é a medida de HM? a) 198 / 7 b) 3 / 9 c) 0 / 9 d) 41 / 10 e) 41 / 11 G H I J m n p q L r L r u M v s u M v s 13) Na figura abaio, é a bissetriz do ângulo. etermine a medida do segmento e o valor do perímetro do triângulo. 14) Na figura abaio, é a bissetriz do ângulo. etermine a medida dos segmentos e. 18 cm a a 1 cm a a 16 cm 1 cm 8 cm 0 cm Jeca 76

78 15) Num triângulo, é a bissetriz do ângulo interno. Sabendo que = 7 cm, = 4 cm e = 15 cm, determine a medida do lado. 16) bserve a figura abaio. e acordo com essa figura, qual das relações abaio é verdadeira. a) a = b.d / c b) a = b.c / d b c) a = c.d / b d) a = c / (b.d) c e) a = b.c.d d a 17) No triângulo abaio, é a bissetriz do ângulo, = 18 cm e = 15 cm. etermine a razão entre as medidas dos segmentos e. 18) (J) No triângulo abaio, = 1, = 8 e = 10. eterminar a medida de, sabendo que é paralelo a e é a bissetriz do ângulo interno do vértice. 19) (J) Na figura abaio, determinar e y em função de a, b, c, d e e. 0) (J) Na figura abaio, determinar, y e z em função de a, b, c, d, e e f. b y 15º 15º 15º 15º d a e f y z a b c d c e Jeca 77

79 1) (J) Na figura abaio, as retas a, b, c, d e e são paralelas entre si. etermine o valor da epressão =. y + t. a b c d 6 5 y 9 t 7 ) (J) No triângulo abaio, = 6, = 9 e = 8. Sabendo que é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo, determine a razão entre e T. T S R e 3) (J) No triângulo abaio, = 6, = 9 e = 8. Sabendo que é o incentro do triângulo e que V é o ponto onde a circunferência de centro em tangencia o lado, determine a distância VR. 4) (J) etermine a medida de uma diagonal de um pentágono regular de lado K. K T S d V R Jeca 78

80 Respostas desta aula. 01) 5 / 4 e 8 / 5 0) 8 / 5 e 0 / 7 03) 3y 04) 18 / 5 e 7 / 5 05) 63 / 11, 7 / 11 e / 9 06) (1 / ) cm 07) a.c / b 08) (45 / 4) cm 09) b 10) 7 11) d 1) c 13) 1 cm e 50 cm 14) (60 / 7) cm e (80 / 7) cm 15) (60 / 7) cm 16) a 17) 6 / 5 18) 7 / 11 19) a.c / b e a.c.d / b.e 0) b.e / a, c.f / b e e(c + d) / (a + b) 1) 887 / 18 ) 17 / 6 3) 7 / 10 4) K(1 + 5 ) / Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 79

81 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 08 Semelhança de triângulos. I) Semelhança de triângulos. efinição. ois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais. efinição mais "popular". ois triângulos são semelhantes se um deles é a redução ou a ampliação do outro. semelhante ~ e = = = k K - razão da semelhança ou constante de proporcionalidade. Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios das circunferências circunscritas, perímetros, etc. II) asos de semelhança. (omo reconhecer a semelhança de triângulos) 1) aso (importantíssimo). ) aso LLL. 3) aso LL. ois triângulos são semelhantes se dois ângulos () de um deles são congruentes a dois ângulos do outro. ois triângulos são semelhantes se têm os três lados dois a dois ordenadamente proporcionais. a b ois triângulos são semelhantes se têm um ângulo congruente e os dois lados de um triângulo adjacentes ao ângulo são proporcionais aos dois lados adjacentes ao ângulo do outro triângulo. c d e f a b c = d e = = f k a d f c a d c = = f k III) omo aplicar a semelhança de triângulos. a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança". b) esenhar os dois triângulos separados. c) hamar de, e os três ângulos de cada triângulo. d) scolher um triângulo para ser o numerador da proporção. e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no numerador da proporção. ercício 01 - Utilizando a técnica de aplicação da semelhança de triângulos acima descrita, determine o valor de na figura abaio. 1 4 Jeca 80

82 0) Na figura abaio o segmento é paralelo à base, = 9 cm, = 13 cm, = 1 cm e a medida de é 8 cm. etermine as medidas dos segmentos e. 03) Na figura abaio, = 7 cm, = 5 cm, = 6 cm e mede 10 cm e é paralelo a. etermine a medida dos segmentos e. 04) Na figura, = 5 cm, = 3 cm e = 7 cm. etermine a medida dos segmentos e, sabendo que é paralelo a e que o perímetro do triângulo mede 45 cm. 05) Na figura, o trapézio tem bases = 8 cm, = 18 cm e altura 1 cm. s diagonais e interceptam-se no ponto. etermine a distância entre o ponto e a base. d 06) Na figura, o trapézio tem bases = 8 cm, = 18 cm e altura 1 cm. Sendo o ponto de intersecção dos prolongamentos dos lados e, determine a altura relativa à base do triângulo. 07) Na figura, //, = 8 cm, = 4 cm e mede 14 cm. etermine a medida do segmento. Jeca 81

83 08) Na figura, = 8, = 1 e é um losango inscrito no triângulo. etermine a medida do lado desse losango. 09) Na figura abaio, é um triângulo de base mede 1 cm e a altura 6 cm. G é um quadrado com o lado sobre o segmento. etermine a medida do lado desse quadrado. h = 6 cm G 10) Na figura abaio, o triângulo tem base = e altura h. Sabendo-se que o triângulo tem base = y e as bases e são paralelas, determine a medida da altura H do trapézio em função de, y e h. 11) s quadrados representados na figura abaio têm lados 9 cm, 6 cm e cm. eterminar a medida do perímetro do menor quadrado. h H 9 cm 6 cm y 1) Na figura abaio, = 8 cm, = 0 cm e = 5 cm. etermine a medida de. 13) (SPM) Um mastro vertical é mantido nessa posição por 3 cabos esticados que partem da etremidade P e são fiados no chão nos pontos, e, conforme a figura abaio. Sendo, y e z as distâncias respectivas desses pontos ao pé do mastro, determine o valor de z em função de e y. P 50º y 40º z 45º Jeca 8

84 IV) Potência de um ponto em relação a uma circunferência. ada uma circunferência e um ponto P, P não pertencente a, se e são os pontos de intersecção entre e a reta secante a por P, define-se potência de P em relação a o produto P P. P Propriedade. ados e P, a potência de P em relação a é constante, qualquer que seja a reta secante a por P. Potência = P P 1º caso: ponto P é interior a. º caso: ponto P é eterior a. H P G P T é ponto de tangência T P P = P P = P P = PG PH = cte P P = P P = ( PT ) = cte 14) Na figura abaio, os pontos,, e pertencem à circunferência. Sabendo que P = 6, P = 8 e que P = 1, determine a medida do segmento P. 15) Na figura abaio, os pontos, e pertencem à circunferência. Sabendo que P = 4, = 1, determine a medida do segmento P. P P 16) Na figura abaio, os pontos,, e pertencem à circunferência. Sabendo que P = 6, = 8 e = 5, determine a medida do segmento P. 17) Na figura abaio, os pontos e pertencem à circunferência de centro. etermine a medida do raio da circunferência sabendo que P = 6, P = 10 e P = 4. P P Jeca 83

85 18) Na figura, = 5 cm, = 1 cm e = 3 cm. etermine a medida do segmento. 19) (UL-PR) pós um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abalados. s moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figura abaio. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam? espreze as espessuras das barras. 9 m h 3 m 0) Na figura abaio, os segmentos, e medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e é a bissetriz do ângulo. etermine a medida do segmento. 1) No triângulo, = 8, = 7, = 6 e o lado foi prolongado, como mostra a figura, até o ponto P, formando-se o triângulo P, semelhante ao triângulo P. etermine o comprimento do segmento P. P Jeca 84

86 ) (Ibmec) Na figura, é o diâmetro da circunferência de raio 10 cm e a reta P é tangente a essa circunferência. etermine a medida do segmento Q, sabendo que o segmento PQ mede 3 cm. P Q 3) (UVST-SP) Na figura, o triângulo é retângulo com catetos = 3 e = 4. lém disso, o ponto pertence ao cateto, o ponto pertence ao catero e o ponto pertence à hipotenusa, de tal forma que seja um paralelogramo. Se = 3/, então a área do paralelogramo vale a) b) c) d) e) ) (IT-SP) Na figura, a reta t é tangente à circunferência no ponto e paralela ao segmento. Se = 6, = 5 e = 7, a medida do segmento será: a) b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 t 5) (IT-SP) Seja um ponto eterno a uma circunferência. s segmentos e interceptam essa circunferência nos pontos e, e, e respectivamente. corda da circunferência intercepta o segmento no ponto G. Se = 5, = 7, = 4, G = 3 e G = 6, então G vale: a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 Jeca 85

87 Respostas desta aula. 01) 8 0) 6 cm e (6 / 3) cm 03) (4 / 5) cm e (10 / 7) cm 04) 15 cm e 9 cm 05) (108 / 13) cm 06) (48 / 5) cm 07) (14 / 3) cm 08) 4 / 5 09) 4 cm 10 ) h(y - ) / 11) 4 cm 1) (10-15 ) cm 13). y 14) 16 15) 8 16) 7 17) 6 18) (39 / 5) cm 19) (9 / 4) m 0) (100 / 7) cm 1) 9 ) 5 cm 3) a 4) c 5) d Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 86

88 6 cm studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana Semelhança de triângulos e Potência de ponto. ercícios complementares da aula ) Na figura abaio, o segmento é paralelo ao segmento. Provar que os triângulos e são semelhantes e calcular as medidas dos segmentos e. 9 cm y 11 cm 8 cm 1 cm 0) Na figura abaio, = 8 cm, = 5 cm, = 10 cm. Provar que os triângulos e são semelhantes e calcular as medidas dos segmentos, e. 03) Na figura abaio, o ponto é o ponto de intersecção das diagonais do trapézio. Sendo = 8 cm, = 14 cm e tendo o trapézio 6 cm de altura, provar que os triângulos e são semelhantes e determinar a distância d entre o ponto e a base maior. 8 cm d 14 cm 04) Na figura abaio, determinar o valor de. 4 cm 3 cm 5 cm Jeca 87

89 05) Na figura abaio, é um retângulo de lados = 4 cm e = 3 cm. Provar que os triângulos, e são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos e. 4 cm 3 cm 06) Na figura abaio, = 10 cm e = 4 cm. Provar que os triângulos e são semelhantes e determinar a medida do segmento. a a 07) Na figura abaio, os pontos,, e pertencem à circunferência de centro. Provar que os triângulos P e P são semelhantes e que vale a relação P P = P P. P 08) Na figura abaio, é um triângulo de base = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os triângulos e G são semelhantes e determinar a área do quadrado G inscrito no triângulo. h = 8 cm G 09) Na figura abaio, provar que os triângulos e são semelhantes e determinar uma epressão que forneça t como função de, y e z. t y z Jeca 88

90 10) Na figura abaio, = 1 cm, = 8 cm, = 9 cm e = 5 cm. Sabendo-se que os ângulos e são congruentes, provar que os triângulos e são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos e. 11) Na figura abaio, é um triângulo retângulo cujos catetos e medem respectivamente 3 cm e 4 cm. Sendo igual a 1 cm, provar que os triângulos e são semelhantes e determinar a medida do segmento. 1) Sabendo-se que = 5 cm e = 4 cm são duas alturas de um triângulo de lado = 6 cm, determinar a medida do lado desse triângulo. 13) triângulo da figura abaio é eqüilátero de lado 10 cm e M é o ponto médio do lado. Sendo = 6 cm, determinar a medida do segmento N. M N 14) onsidere a circunferência circunscrita a um triângulo. Seja um diâmetro desta circunferência e altura do triângulo. Sendo = 6 cm, = 10 cm e = 30 cm, calcule a altura. h Jeca 89

91 15) Na figura abaio, determinar o valor de sabendo-se que os dois quadrados representados têm lados 5 cm e 8 cm. 8 cm 5 cm 16) s quadrados representados na figura abaio têm lados t e y. eterminar a medida de em função de t e de y. t y 17) s quadrados representados na figura abaio têm lados 1 cm, 8 cm e cm. eterminar a medida do perímetro do menor quadrado. 1 cm 8 cm 18) Na figura abaio, é um retângulo cujo lado mede 9 cm. Sendo M o ponto médio do lado, provar que os triângulos P e MP são semelhantes e determinar a altura h do triângulo MP. P M h 19) No triângulo acutângulo, a base mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado, P pertence ao lado e Q, ao lado. eterminar o perímetro desse retângulo. 4 cm Q P M N 0) trapézio abaio tem base menor = 8 cm, base maior = 14 cm e altura igual a 6 cm. Sendo P a intersecção dos prolongamentos dos lados não paralelos do trapézio, determine a distância entre o ponto P e a base maior de. Jeca 90

92 1) onsidere as três circunferências da figura, de mesmo raio R, tangentes eternamente. alcular a medida da corda em função de R, sabendo que a reta r é tangente à circunferência de centro. 3 r 1 3 ) Na figura abaio, determine o valor de. 10 cm 1 cm a 14 cm a 15 cm 3) Na figura, é um retângulo tal que a base é o dobro da altura. etermine a medida do perímetro desse retângulo. 1 cm 16 cm 4) No triângulo abaio, sendo //, determine as medidas de e. 5 cm 9 cm 11 cm 16 cm 5) Na figura abaio, determinar o valor de. 5 cm 7 cm 6 cm a a 6) Na figura abaio, sendo = 16 cm, = 9 cm, = 15 cm e = 7 cm, determinar e. Jeca 91

93 7) Na figura abaio, os pontos,, e pertencem à circunferência de centro. Sabendo-se que P = 4 cm, P = 6 cm e P = 8 cm, determine a medida do segmento P e cite a propriedade utilizada na solução do eercício. P 8) Na figura abaio, os pontos,, e pertencem à circunferência de centro. Sendo M ponto médio do segmento, M = 9 cm e M = 4 cm, determine a medida do segmento e cite a propriedade utilizada na solução do eercício. M 9) Na figura abaio, os pontos,, e pertencem à circunferência de centro. Sendo P = 5 cm, = 9 cm e = 10 cm, determine a medida do segmento P e cite a propriedade utilizada na solução do eercício. P 30) s pontos e pertencem à circunferência de centro e raio 6 cm. reta P é tangente à circunferência no ponto. Sendo P = 5 cm, determine a medida de P e cite a propriedade utilizada na solução do eercício. P 31) s pontos,, e pertencem à circunferência de centro. Sendo =, = y, = z e = t, determine t em função de, y e z. Jeca 9

94 Respostas desta aula. 01) 6 cm e ( / 3) cm 0) 41 cm, (5 / 4) cm e (5 41 / 4) cm 03) (4 / 11) cm 04) 6 cm 05) (16 / 5) cm e (1 / 5) cm 06) 14 cm 07) demonstração - Utilizando ângulos inscritos prova-se que os triângulos são semelhantes. 6) (1 / 5) cm e (11 / 15) cm 7) 3 cm - potência de ponto. 8) 1 cm - potência de ponto. 9) ( 95-5) cm - potência de ponto. 30) 85 cm - potência de ponto. 31) [( + y) - z ] / z 08) (56 / 9) cm 09) y. z / 10) (15 / ) cm e (3 / ) cm 11) (9 / 5) cm 1) (4 / 5) cm 13) (30 / 11) cm 14) cm 15) (5 / 3) cm 16) y / (t - y) 17) (16 / 3) cm 18) 3 cm 19) 8 cm 0) 14 cm 1) 8R / 5 ) (15 / ) cm 3) (144 / 5) cm 4) (45 / 11) cm e 5 cm 5) 4 cm Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 93

95 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 09 Relações métricas no triângulo retângulo. Teorema de Pitágoras. I) Relações métricas no triângulo retângulo. Teorema. m todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo original em dois triângulos menores, que são semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo original. c = a. m b = a. n h = m. n a. h = b. c c m H h a b n II) Teorema de PItágoras. m todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. c b a = b + c a III) ercícios. 01) Na figura abaio, sabendo-se que = 5 cm e = 9 cm, determine as medidas de, H, H e H. 0) Na figura abaio, sabendo-se que H = 3 cm e H = 9 cm, determine as medidas de,, e H. 03) Na figura abaio, sabendo-se que H = 3 cm e = 5 cm, determine as medidas de H, H, e. H H H Jeca 94

96 04) etermine o valor de no triângulo retângulo abaio. 13 cm 10 cm 05) Qual é o perímetro, em cm, de um losango cujas diagonais medem 1 cm e 6 cm? a) 4 39 b) 4 45 c) 4 48 d) 4 5 e) ) No retângulo abaio tem-se = 15 cm e = 8 cm. Sobre o lado, marca-se um ponto P tal que P =1 cm e sobre o lado, marca-se um ponto Q tal que Q = 7 cm. Qual é, em cm, a distância entre os pontos P e Q? a) 83 b) 80 07) No retângulo abaio tem-se = 15 cm e = 8 cm. Sobre o lado, marca-se um ponto P tal que P = 1 cm e sobre o lado, marca-se um ponto Q tal que Q = cm. Qual é, em cm, a distância entre os pontos P e Q? a) 74 b) 69 c) 78 c) 4 d) 76 d) 50 e) 89 e) 46 08) Qual é o raio de uma circunferência, se uma reta secante que dista 5 cm do centro da mesma, determina nessa circunferência uma corda de comprimento 4 cm? a) 8 cm b) 13 cm c) 15 cm d) 17 cm e) 19 cm 09) Na figura abaio, medida de a, em função de b, c, e d, é : a) a = b + c + d b) a = b + c - d c) a = b - c - d d) a = d - b - c a b d c e) a = d - b + c Jeca 95

97 10) (UVST-SP) Um triângulo retângulo tem catetos = 3 e = 4. No cateto toma-se um ponto P equidistante do ponto e da reta. Qual é a distância P? 11) (UVST-SP) Na figura abaio, o quadrado GH tem lado a, e é obtido através de uma rotação de 45º do quadrado em torno do centro. Se P = 1, então a mede: a) - 1 b) P G c) d) H e) - 1 1) Na figura, o quadrado tem lado 16 cm. etermine a distância d entre P e sabendo que o ponto P é equidistante de, de e da reta. d d P d 13) (UVST-SP) Na figura abaio, M é o ponto médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. segmento RM é perpendicular a PQ e RM = 4 3. alcule: 3 a) o raio da circunferência; b) a medida do ângulo PQ, onde é o centro da circunferência. R Q P M 14) figura abaio representa um retângulo e três circunferências, sendo duas idênticas maiores e uma menor destacada. etermine o raio da circunferência menor, sabendo que,,, e são pontos de tangência. 1 cm 15) (SPM-MG) Um tubo de aço foi fiado a uma parede por meio de uma presilha retangular, como mostra a figura abaio. distância, da presilha até a parede, vale: a) 16 cm b) 17 cm c) 18 cm d) 19 cm e) 0 cm parede tubo parafuso presilha 4 cm 8 cm 16 cm Jeca 96

98 16) (UVST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de madeira num caminhão de largura,5 m, conforme a figura abaio. ada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros é: 17) Na figura abaio, determine o raio da circunferência sabendo que e tangenciam a circunferência nos pontos e, respectivamente, e que = cm, e = 9 cm. a) b) h c) d) ,5 e) ) Na figura, o triângulo isósceles está inscrito na circunferência de centro. base mede 6 cm e = 3 10 cm. etermine o raio da circunferência. 19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferência de centro, os pontos P, e estão alinhados e as distâncias PT e P valem, respectivamente 15 cm e 9 cm. etermine a medida do raio da circunferência. T P Jeca 97

99 0) triângulo abaio é retângulo em, tem catetos = 1 cm, = 16 cm. arco H tem centro no vértice e tangencia a hipotenusa no ponto H. etermine a área da região sombreada na figura. 1) triângulo abaio tem lados, e que medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm. etermine a medida da altura do triângulo. H ) figura abaio representa um quadrado de lado 16 cm, um arco de circunferência com centro em e raio e uma circunferência de centro em, que tangencia o arco e os lados do quadrado. etermine a medida do raio da circunferência. 3) Na figura abaio, os pontos, e pertencem à circunferência de centro. s pontos,, e estão alinhados. etermine a medida do raio da circunferência, sabendo que = 9 cm, = 8 cm e = 15 cm. Jeca 98

100 Respostas desta aula. 01) 106 cm, (5 106 / 106) cm, ( / 106) cm e ( / 106) cm 3) 5 cm 0) 1 cm, 6 3 cm, 6 cm e 3 3 cm 03) 4 cm, (9 / 4) cm, (15 / 4) cm e (5 / 4) cm 04) 69 cm 05) b 06) b 07) d 08) b 09) d 10) 4 / 3 11) e 1) 10 cm 13) a) 8 3 / 3 b) 10º 14) (8 / 3) cm 15) c 16) e 17) 5 cm 18) 5 cm 19) 8 cm 0) (108 - (576 / 5)) cm 1) ( 66 / 5) cm ) 16(3 - ) cm Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 99

101 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana Relações métricas num triângulo retângulo. Teorema de Pitágoras. ercícios complementares da aula ) No triângulo retângulo abaio, determine a, m, n e h. 6 cm h 8 cm m a n 0) No triângulo retângulo abaio, determine o valor de, y, z e t. t 9 cm y z 3 cm 03) Na figura, é um triângulo retângulo em. Sendo = 9 cm e = 1 cm, determine, y, z e t. y z t 04) etermine o valor de nos triângulos retângulos abaio. a) b) 1 cm c) 7 cm 9 cm 13 cm 1 cm 9 cm Jeca 100

102 05) No triângulo retângulo abaio, determinar em função de y e z. y z 06) eterminar a medida da diagonal de um quadrado de lado a. a a d a a 07) eterminar a altura de um triângulo eqüilátero de lado a. a h a a 08) etermine, y e z na figura abaio. z 1 cm y 1 cm 1 cm 1 cm 09)( SN) Na figura abaio, determine o valor de e y y 10 10) (UVST-GV) Queremos desenhar no interior de um retângulo, um losango IJ com vértice I sobre o lado do retângulo e vértice J sobre o lado. Se as dimensões dos lados do retângulo são = 5 cm e = 15 cm, calcule a medida do lado do losango. Jeca 101

103 11) (VST-P) Na figura abaio, o triângulo é eqüilátero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se é uma altura do triângulo e M é o ponto médio de, calcule a medida de M em centímetros. 1) Na figura abaio, o ponto é o ponto de tangência da reta com a circunferência de centro. Sendo e iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente, determine a medida do raio da circunferência. M 13) (uvest) No quadrilátero da figura abaio, é um ponto sobre o lado tal que o ângulo mede 60º e os ângulos e são retos. Sabe-se também que = = 3 e = 1. etermine a medida de. 14) (Jeca) Na figura ao lado,,, e são os pontos médios dos lados de um quadrado de perímetro 4. etermine o raio da circunferência inscrita no quadrado º 1 15) No trapézio retângulo da figura abaio, determine a medida da diagonal sabendo-se que = 10 cm, = 5 cm e = 6 cm. 16) figura abaio representa um quadrado de lado k e duas circunferências interiores tangentes entre si e tangentes ao quadrado. etermine o raio da circunferência menor em função de k. Jeca 10

104 17) s bases de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo medem 8 cm e cm. alcular a altura desse trapézio. cm 18) s raios das circunferências de centros e medem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distância entre os centros, 13 cm. alcule a medida de PQ, sendo P e Q pontos de tangência. h 8 cm P Q 19) s raios das circunferências de centros e medem 5 cm e cm, respectivamente e a distância entre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos de tangência, calcule a distância PQ. 0) Na figura abaio, o lado do quadrado mede 8 cm. alcule o raio da circunferência da figura, sendo T ponto de tangência. Q P T 1) Na figura abaio, determine o valor de. 6 1 ) Na figura abaio, as quatro circunferências são tangentes entre si. Sendo o centro da circunferência maior,, e os centros das demais e = =, determine o raio da circunferência menor. 8 Jeca 103

105 3) Na figura abaio, determine e. 4) (Jeca) Na figura, estão representados dois círculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si e tangentes aos lados do retângulo. etermine a medida do lado do retângulo. 10 cm 3 cm 3 cm 0 cm 5) uas circunferências de raios 6 cm e 8 cm são tangentes eternamente. etermine a medida de um segmento, sendo e os pontos de tangência da reta com as circunferências. 6) Na figura abaio, determine o valor de, y e h. 7 cm h 8 cm y 8 6 7) Uma circunferência de raio 3 cm é inscrita num triângulo isósceles. Sabendo-se que a altura do triângulo é 8 cm, determinar as medidas dos lados desse triângulo e o seu perímetro. 8) Na circunferência de centro, = = 6 cm e = cm. etermine a medida do segmento. 6 6 Jeca 104

106 9) No triângulo abaio, determine a altura h. 5 cm h 13 cm 30) figura abaio representa 4 circunferências de raio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunferência menor tangente às quatro maiores. eterminar o raio da circunferência menor. 9 cm 31) retângulo da figura abaio tem lados = 40 cm e = 30 cm. Sendo = 10 cm, determinar a medida do segmento. 3) (UL-PR) Tome uma folha de papel em forma de um quadrado de lado igual a 1 cm e nomeie os seus vértices,,,, conforme figura 1. seguir, dobre-a de maneira que o vértice fique sobre o lado (figura ). Seja esta nova posição do vértice e a distância de a. figura 1 figura etermine a função que epressa a área do triângulo sombreado em função de. (azer a resolução em outro espaço) 33) Na figura abaio, as circunferências têm raio 10 cm, tangenciam a reta nos pontos e, são tangentes entre si e tangentes ao quadrado que tem base na reta. etermine a medida do lado desse 34) (UVST) Uma folha retangular de papel com dimensões 6 8 é dobrada de modo que dois vértices diagonalmente opostos coincidam. etermine o comprimento do vinco (dobra). 8 6 Jeca 105

107 Respostas desta aula. 01) a = 10 m = 3,6 n = 6,4 h = 4,8 0) = 1 y = 3 3 z = 6 t = ) = 15 y = 7 / 5 z = 48 / 5 t = 36 / 5 04) a) = 130 b) = 5 c) = 63 05) = y - z 06) d = a 07) h = 08) = y = 3 z = 09) = 3 3 y = 3 10) = 17 a 3 11) M = 7 1) r = 16 / 3 13) = 7 14) r = / 4 1) = 11 / 4 ) r = 4 / 3 3) = 8 = 73 4) = ( ) 5) = 8 3 6) = / 113 y = / 113 7) = = 10 = 1 8) = 8 9) h = 4 30) r = 8( - 1 ) 31) = 00 / 7 3) = 33) = 4 34) d = 15 / ) = ) r 17) h = 4 18) d = 1 19) d = 4 0) R = 5 = k(3 - ) Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 106

108 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 10 Relações métricas num triângulo qualquer. I) Lei dos senos. II) Lei dos cossenos. m todo triângulo, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante e vale o dobro do raio da circunferência circunscrita ao triângulo. m todo triângulo, a medida de qualquer lado depende das medidas dos outros dois lados e do ângulo entre eles. a R Lei dos senos b Lei dos cossenos a sen = b sen = c sen = R = a + b -.a.b.cos III) Propriedades dos triângulos. 1) m todo triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado opõe-se o menor ângulo. a a < b < c c b < < onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo. ) ondição de eistência de um triângulo. m todo triângulo, a medida de qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença das medidas dos outros dois lados. ondição de eistência. b - c < a < b + c onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo. 3) Natureza de um triângulo. Quanto à natureza um triângulo pode ser: a) triângulo retângulo; b) triângulo obtusângulo; c) triângulo acutângulo. Reconhecimento da natureza de um triângulo. Seja a o maior lado de um triângulo de lados a, b e c. - Se a = b + c triângulo retângulo. - Se a > b + c triângulo obtusângulo. - Se a < b + c triângulo acutângulo. IV) Pré-requisitos de trigonometria. (Poderão ser usados em eercícios mais compleos deste capítulo) sen (a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a cos (a + b) = cos a. cos b - sena. sen b sen a =. sen a. cos a cos a = cos a - sen a ercícios. 01) ados três segmentos de medidas 1 cm, 8 cm e 15 cm, verificar a possibilidade de se construir um triângulo com esses segmentos. Se for possível, determinar a natureza desse triângulo. Jeca 107

109 0) adas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e determinar a natureza desse triângulo, se o mesmo eistir. a) 8 cm, 15 cm e 17 cm. b) 8 cm, 15 cm e 16 cm. istência Natureza istência Natureza c) 8 cm, 15 cm e 13 cm. d) cm, 4 cm e 7 cm. istência Natureza istência Natureza e) 5 cm, 8 cm e 13 cm. f) 10 cm, 11 cm e 1 cm. istência Natureza istência Natureza g) 5 cm, 9 cm e 1 cm. h) 4 cm, 9 cm e 9 cm. istência Natureza istência Natureza Jeca 108

110 03) ados os segmentos a = 7 cm, b = 9 cm e c, determine o intervalo de valores que c pode assumir para que eista o triângulo de lados a, b e c. 04) ados os segmentos a = 6 cm, b = 9 cm e c, determine o intervalo de valores que c pode assumir para que o triângulo de lados a, b e c eista e seja um triângulo acutângulo. 05) No triângulo abaio os ângulos e medem, respectivamente, 45º e 30º. etermine a medida do lado, sabendo que a medida de é 8 cm. 06) No triângulo abaio os ângulos e medem, respectivamente, 60º e 45º. etermine a medida do lado, sabendo que a medida de é 4 cm. 07) No triângulo abaio os ângulos e medem, respectivamente, 45º e 30º. etermine a medida do lado, sabendo que a medida de é 8 cm. 08) Na figura abaio, os ângulos e medem, respectivamente 75º e 45º. raio da circunferência circunscrita ao triângulo mede 6 cm. etermine as medidas dos lados e. Jeca 109

111 09) Na figura, os ângulos e medem, respectivamente, 45º e 15º. Sabendo que = 1 cm, determine a medida do lado e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. 10) Um triângulo tem lados e que medem, respectivamente, 5 cm e 7 cm. etermine a medida do lado, sabendo que o ângulo mede 60º. 11) Um triângulo tem lados e que medem, respectivamente, 6 cm e 8 cm. etermine a medida do lado, sabendo que o ângulo mede 10º. 1) ado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do cosseno do menor ângulo interno desse triângulo. 13) ado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do cosseno do maior ângulo interno desse triângulo. 14) ado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do seno do maior ângulo interno desse triângulo. Jeca 110

112 15) Na figura, o triângulo tem lados, e que medem, respectivamente, 5 cm, 10 cm e 9 cm. etermine a medida da mediana relativa ao lado. 16) etermine o raio da circunferência circunscrita ao triângulo de lados que medem 4 cm, 5 cm e 6 cm. 17) Utilizando a lei dos cossenos, determine a natureza de um triângulo de lados 10 cm, 1 cm e 16 cm. 18) (uvest) s páginas de um livro medem 1 dm de base e dm de altura. livro é parcialmente aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas é 60º. eterminar o ângulo formado pelas diagonais das duas páginas. 60º Jeca 111

113 19) ado um triângulo de lados 4 cm, 5 cm e 6 cm, determine a altura desse triângulo relativa ao maior lado. 0) m um triângulo acutângulo de lados = 5 cm e = 7 cm, a projeção ortogonal do lado sobre o lado mede 1 cm. etermine a medida do lado desse triângulo. 1) Um navio, deslocando-se em linha reta, visa um farol e obtém a leitura de 30º para o ângulo formado entre a sua trajetória e a linha de visada do farol. pós navegar 0 milhas, através de uma nova visada ao farol, obtém a leitura de 75º. etermine a distância entre o farol e o navio no instante em que fez a ª leitura. ) Para medir a distância entre dois pontos, e, em margens distintas de um precipício, um engenheiro, que estava na mesma margem que o ponto, adotou um segmento = 300 m. través de um teodolito, obteve os ângulos = 58º e = 67º. om uma calculadora científica obteve os valores de sen 67º = 0,905 e sen 55º = 0,819. om base nesses valores, determine a distância, calculada pelo engenheiro. margem precipício 58º 67º 300 m margem Jeca 11

114 Respostas desta aula. 01) eiste e é obtusângulo 0) a) triângulo retângulo b) triângulo acutângulo c) triângulo acutângulo d) não eiste o triângulo e) não eiste o triângulo f) triângulo acutângulo g) triângulo obtusângulo h) triângulo acutângulo 1) 10 milhas ) 337 metros 03) S = {c c R I < c < 16 } 04) S = { c c R I 3 < c < 117 } 05) 4 cm 06) 6 cm 07) 4( 3 + 1) cm 08) 3 3 cm e 3 cm 09) 6 6 cm e 6 cm 10) 39 cm 11) 37 cm 1) 11 / 14 13) 1 / 7 14) 4 3 / 7 15) 7 cm 16) (8 7 / 7) cm 17) triângulo obtusângulo 18) 30º 19) (5 7 / 4) cm 0) 8 cm Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 113

115 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana Relações métricas num triângulo qualquer. ercícios complementares da aula ) adas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e determinar a natureza desse triângulo, se o mesmo eistir. a) 6 cm, 8 cm e 10 cm. b) 6 cm, 8 cm e 9 cm. istência Natureza istência Natureza c) 6 cm, 8 cm e 1 cm. d) 6 cm, 8 cm e 15 cm. istência Natureza istência Natureza e) 9 cm, 5 cm e 1 cm. f) 1 cm, 5 cm e 13 cm. istência Natureza istência Natureza g) 3 cm, 4 cm e 7 cm. h) 14 cm, 1 cm e 13 cm. istência Natureza istência Natureza Jeca 114

116 0) Na figura abaio, encontre o valor de e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do eercício. 03) Na figura abaio, encontre o valor de e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do eercício. 30º 8 cm 10 cm 45º 8 cm 9 cm 04) Na figura abaio, encontre o valor de e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do eercício. 05) Na figura abaio, encontre o valor de e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do eercício. 9 cm 60º 6 cm 14 cm 9 cm 06) Na figura abaio, encontre o valor de e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do eercício. 07) Na figura abaio, encontre o valor de e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do eercício. 8 cm 6 cm 135º 10 cm 10º 9 cm 08) Na figura abaio, encontre o valor de e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do eercício. 8 cm 150º 8 cm 09) No triângulo abaio, determine o valor de cos 6 cm 11 cm 8 cm Jeca 115

117 M 10) No triângulo abaio, determinar o cos e cos. 5 cm 8 cm 11) No triângulo abaio, sendo = 7 cm, = 8 cm e = 9 cm, determinar a medida da mediana M, relativa ao lado. 10 cm M 1) No triângulo abaio, determinar o valor de cos, sen e tg. 6 cm 1 cm 13) No triângulo abaio, o ponto M é medio do segmento. Sa bendo que = 6 cm, = 10 cm e = 13 cm, determine : a) o cosseno do ângulo. b) a medida da mediana M. 8 cm 14) Na figura abaio, determine : a) o cosseno do ângulo. b) a medida do segmento. 15) (Jeca) Na figura ao lado, as três circunferências maiores têm raio 1 cm, tangenciam-se entre si e tangenciam uma circunferência menor. etermine o raio da circunferência menor. 5 cm 8 cm 6 cm 4 cm Jeca 116

118 16) Na figura abaio, encontre o valor de. ite a propriedade geométrica utilizada na solução do eercício. 10º 14 cm 17) Na figura abaio, encontre o valor de. ite a propriedade geométrica utilizada na solução do eercício. 10 cm 60º 10 cm 79 cm 18) No triângulo abaio, determine o valor de e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do eercício. 19) No triângulo abaio, determine o valor de e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do eercício. 30º 8 cm 45º 60º 75º 1 cm 0) No triângulo abaio, determine o valor de e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do eercício. 1) No triângulo abaio, determine o valor de e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do eercício. 16 cm R = 8 cm 45º 10º 45º ) No triângulo abaio, determine o valor de e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do eercício. 3) No triângulo abaio, determine o valor de e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do eercício. 1 cm 1 cm 6 6 cm 45º 45º 6 6 cm Jeca 117

119 4) Na figura abaio, determine o valor de e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. 5) Na figura abaio, determine o valor de e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. 30º 10º 8 cm 1 cm 60º 45º 6) No triângulo abaio, determine o valor de e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do eercício. 7) No triângulo abaio, determine o valor de e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do eercício. 30º 30º 15º 18 cm 1 cm 8) Na figura abaio, determine o valor de e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. 105º 0 cm 30º 9) Na figura abaio, determine o valor de e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. sen 118º = 0,88 30º 0 cm 118º 30) Na figura abaio, determine as medidas de, y e z. 30º 135º z 7 cm y 3 cm 10º 5 cm Jeca 118

120 31) (UVST-SP) Na figura abaio, = = = = e = = / 3 e = /. alcule a distância entre os pontos e. 3) ado um triângulo de lados 4, 5 e 6, com ângulos internos a, b e c, prove que a = b. 4 c a 6 5 b 33) (Ibmec- SP) Na figura abaio, suponha que as medidas dos segmentos,,, G e G sejam todas iguais a e que e sejam, respectivamente, as bissetrizes dos ângulos e G. a) etermine a medida do segmento. b) alcule sen 75º (Sugestão: 75º = 45º + 30º) c) etermine a medida do segmento. 34) (IT-SP) No quadrilátero da figura abaio, temos =. ntão podemos garantir que: a) sen sen = b). =. c) tg = tg sen sen d) () =. e) tg. tg = tg. tg G H L J Jeca 119

121 Respostas desta aula. 01) a) triângulo retângulo b) triângulo acutângulo c) triângulo obtusângulo d) não eiste e) triângulo obtusângulo f) triângulo retângulo g) não eiste h) triângulo acutângulo ) cm 3) cm 4) 151 cm 5) 117 cm 6) 171 cm 7) cm 8) cm 9) 7 / 3 10) cos = 61 / 100cos -11 / 80 11) 7 cm 455 1) cos = -11 / 4sen =tg = 4 13) a) -11/ 40 b) ) a) 61 / 100 b) 610 cm ) ( 3-3 / 3) cm 16) 6 cm 17) 3 cm ou 7 cm 18) 8 cm 19) 4 6 cm 0) 8 6 cm 1) 8 cm ) 60º ou 10º 3) 15º ou 105º 4) 4 cm 5) 4 3 cm 6) 1 cm 7) 18 cm 8) 10 cm 9) 11,36 cm 30) = 10 cm y = 109 cm z = 18 cm 31) 5-3 3) demonstração abaio 33) a) 6 b) ( + 6 ) / 4 c) 6-34) a 3) Resolução. Lei dos cossenos = a + b - a b cos 4 a 5 6 = cos a > cos a = = cos b cos b = 3 4 sen b + cos b = 1 sen b = 7 > 4 > c 6 b cos b = cos b - sen b = = = 8 cos a = cos b = 1 8 Portanto a = b Jeca 10

122 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 11 ircunferência e círculo. I) lementos da circunferência. r r r P - centro da circunferência = r - raio da circunferência = r - diâmetro da circunferência = - ângulo central P - arco da circunferência - corda da circunferência ados sobre a circunferência (ou sobre o círculo) c = r - perímetro ou comprimento da circunferência. S = r - área do círculo. 360º - abertura, em graus, de uma volta completa na circunferência. rad - abertura, em radianos, de uma volta completa na circunferência. II) ercícios. 01) eterminar o perímetro e a área de um círculo de raio 7 m. 0) eterminar o diâmetro e a área de um círculo cujo perímetro mede 36 cm. 03) roda de um automóvel tem um diâmetro que mede 50 cm. etermine a distância percorrida por esse veículo após uma de suas rodas completar 1750 voltas. dotar = 3,14 e supor que a roda não deslize durante a rolagem. 04) etermine quantas voltas por segundo deve dar cada roda de um automóvel na velocidade linear constante de 31,4 m/s, sabendo que o raio de cada roda é 5 cm e que a roda não desliza durante a rolagem. (adotar = 3,14) Jeca 11

123 05) (URJ-RJ) Precorrendo uma distância de 450 m, as rodas de um automóvel dão 50 voltas. alcule o raio das rodas. 06) (UNISP-SP) figura mostra duas roldanas circulares ligadas por uma correia. roldana maior, com raio de 1 cm, gira fazendo 100 rotações por minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor girar. dmita que a correia não escorregue. Para que a roldana menor faça 150 rotações por minuto, seu raio, em centímetros, deve ser: a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 07) (VUNSP-SP) m um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular com raio de 1 cm, como mostra a figura. "monstro" 1 cm 1 rad parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1 radiano. perímetro do "monstro", em cm, é: a) - 1 b) + 1 c) - 1 d) e) ) (UJ-MG) Testes efetuados em um pneu de corrida constataram que, a partir de voltas, ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto, aproimadamente: a) 93 km b) 196 km c) 366 km d) 59 km e) 91 km 09) (J) figura abaio representa um setor circular de centro e ângulo central. s arcos e têm comprimentos 4 e 4,8, respectivamente. Sendo os segmentos e congruentes e iguais a cm, determine a medida do segmento. 10) (Mack-SP) ponteiro dos minutos de um relógio mede 4 cm. Supondo = 3, a distância, em centímetros, que a etremidade desse ponteiro percorre em 5 minutos é: a) 15 b) 1 c) 0 d) 5 e) 10 Jeca 1

124 11) (atec-sp) m um motor há duas polias ligadas por uma correia, de acordo com o esquema abaio. Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre seus centros é de 30 cm, qual das medidas abaio mais se aproima do comprimento da correia? 1) (ULa-MG) s raios das rodas traseiras de um trator medem 75 cm e dão 30 voltas, ao mesmo tempo em que as rodas dianteiras dão 90 voltas. raio de cada uma das rodas dianteiras é: a) 0 cm b) 30 cm c) 5 cm d) 15 cm e) cm. a) 1,8 cm b) 10,4 cm c) 9,8 cm d) 50 cm e) 3,4 cm 13) (Unisa-SP) Um heágono regular de lado 3 cm está inscrito numa circunferência. Nessa circunferência, um arco de medida 100º, em centímetros, tem comprimento: a) 3 / 5 b) 5 / 6 c) d) 5 / 3 e) 10 / 3 14) (UPI-PI) Numa circunferência na qual está inscrito um quadrado de lado 10 cm, o comprimento, em cm, de um arco dessa circunferência, medindo 10º é: a) 10 / 3 b) 5 / 3 c) 5 7 / 3 d) 10 3 / e) 5 / 3 15) (UG-G) Na figura abaio, os segmentos e correspondem, respectivamente, aos lados de um heágono regular e de um quadrado, ambos inscritos na circunferência que tem raio 6 cm. etermine o comprimento do arco. 16) (Unifesp-SP) Um inseto vai se deslocar sobre uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um ponto até um ponto, diametralmente opostos, conforme a figura abaio. menor trajeto possível que o inseto pode percorrer tem comprimento, em metros, igual a: a) / b) c) 3 / d) e) 3 Jeca 13

125 17) (USR-SP) sequência de figuras mostra um único giro do ponto, marcado em uma roda circular, quando ela rola, no plano, sobre a rampa formada pelos segmentos RQ e QP. 18) (J) Três polias de raio 10 cm têm os seus centros equidistantes 50 cm, como representado na figura abaio. dotando = 3, determine o comprimento da correia que envolve as três polias. figura 1 figura P P polia R 10º Q R Q correia 50 cm figura 3 P 10º R Q lém do que indicam as figuras, sabe-se que o raio da roda mede 3 m e que ela gira sobre a rampa sem deslizar em falso. Sendo assim, o comprimento da rampa RQ + QP, em cm, é igual a: a) b) c) d) 7-3 e) ) (J) Uma pista de automobilismo tem comprimento de 1 milha (1640 m) e é composta por uma semicircunferência maior e três semicircunferências menores congruentes. eterminar os raios das semicircunferências sabendo que, e são os centros das semicircunferências e os pontos,,, e são colineares. (dotar = 3,14) 0) (UVST-SP) figura representa duas polias circulares 1 e de raios R 1 = 4 cm e R = 1 cm, apoiadas em uma superfície plana em P e P, 1 respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P 1 e P é 3 3 cm, determine o comprimento da correia. correia P cm P Jeca 14

126 Respostas desta aula. 01) 14 m e 49 m 0) 36 cm e 34 cm 03) 747,5 m 04) 0 voltas 05) (0,90 / ) m 06) 8 cm 07) e 08) e 09) 1 cm 10) e 11) a 1) c 13) d 14) a 15) 5 cm 16) a 17) a 18) 10 cm 19) 87,05 cm e 61,15 cm 0) 6( 3 + ) cm Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 15

127 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) 01) (UP-P) Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 50,4 km sobre uma pista circular de raio 00m. onsiderando = 3,14, o número de voltas que ele deve dar é: a) 500 b) 350 c) 450 d) 400 e) 300 Geometria plana ircunferência e círculo. ercícios complementares da aula 11. 0) (US-RS) razão entre os comprimentos da Linha do quador e do diâmetro da Terra é igual à razão entre os comprimentos de uma circunferência qualquer e de seu diâmetro. ssa afirmação é: a) verdadeira, e a razão referida vale /. b) verdadeira, e a razão referida vale. c) verdadeira, e a razão referida vale 3 /. d) verdadeira, e a razão referida vale. e) falsa. 03) (URJ-RJ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal. etermine o menor número de voltas completas para a roda percorrer uma distância maior que 10 m. 04) (J) figura abaio representa um setor circular de centro e ângulo central. s arcos e têm comprimentos 4 e 4,8, respectivamente. Sendo os segmentos e congruentes e iguais a cm, determine a medida do ângulo. 05) (J) Na figura abaio, e são os pontos médios de dois lados de um pentágono regular de perímetro 60 m. Sendo um vértice do pentágono e o centro do setor circular, determine o perímetro da região sombreada. (dote = 3) 06) (J) Uma pessoa dispõe de uma corda com 46 m de comprimento e pretende fazer duas circunferências concêntricas com ela; uma circunferência menor de raio 10 m e outra maior, conforme a figura abaio. etermine a distância d entre as circunferências. d Jeca 16

128 07) (J) Uma mesa circular deve acomodar 8 pessoas, de tal forma que cada pessoa tenha disponível um arco de circunferência de comprimento 60 cm. dotando = 3, determine o raio da mesa. 08) (J) Na figura abaio, o arco é 1 cm mais comprido que a corda. etermine a medida do raio da circunferência. 60º 09) Uma circunferência tem raio R. umentando-se o raio para R + d, determine: a) o comprimento da circunferência original; b) o comprimento da circunferência após o raio ter sido aumentado; c) o aumento do comprimento da segunda circunferência em relação à circunferência original. 10) (J) figura abaio representa duas polias de raios 30 cm e 0 cm. Um motor aclopado à polia maior trabalha com 1750 rotações por minuto. Supondo que a correia que une as polias não escorregue, determine o nº de rotações por minuto da polia menor. 11) alcule o comprimento de um arco de radianos numa circunferência de raio 40 cm. 1) alcule o raio de uma circunferência, sabendo que um arco de 3 / radianos mede 50 cm. Jeca 17

129 13) (USar-SP) Uma pizza circular será fatiada, a partir do centro, em setores circulares. Se o arco de cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número máimo de N fatias idênticas, sobrando, no final, uma fatia menor que é indicada na figura por fatia N + 1. fatia 3 fatia fatia 1 fatia N + 1 fatia N onsiderando = 3,14, o arco da fatia N + 1, em radiano, é a) 0,74 b) 0,7 c) 0,68 d) 0,56 e) 0,34 14) (GV-SP) Na figura estão representados dois quadrados de lado d e dois setores circulares de 90º e raio d. Sabendo que os pontos, e estão alinhados, a soma dos comprimentos do segmento e do arco de circunferência, em função de d, é igual a d d a) ( 3 + ) d 6 b) (3 + ) d 6 c) (4 3 + ) d 1 d) (1 + ) d 4 e) ( 3 + ) d 1 d d/ d/ 15) (US-) setor de 60º destacado na figura abaio, corresponde à superfície de um canteiro circular plano, no qual pretende-se plantar duas roseiras por metro quadrado. Se o canteiro tem 4 m de diâmetro, quantas roseiras deverão ser plantadas? (Use = /7) a) b) 88 c) 31 d) 46 e) 94 60º 16) (J) figura abaio representa duas polias que têm raios 58 cm e 18 cm e a distância entre os seus centros é de 80 cm. a) etermine o comprimento da correia que envolve as duas polias. ( = 3) b) etermine o nº de voltas da polia menor quando a polia maior dá uma volta. correia Jeca 18

130 17) (ULa-MG) marre um barbante, bem ajustado, em volta de uma bola de futebol. gora amarre um barbante, bem ajustado, em volta de uma bola de gude. Se você aumentar 1 m no comprimento de cada um dos dois barbantes e fizer uma circunferência com cada um deles, haverá uma folga d entre a bola de futebol e o primeiro barbante e uma 1 folga d entre a bola de gude e o segundo barbante. ssinale a alternativa correta. 18) (J) ado um círculo de área S, determinar qual o aumento necessário no raio desse círculo para se obter um segundo círculo de área 3S. a) d > d 1 b) d < d 1 c) d = d d) d = d 1 e) (d - d ) = 1 1 futebol d 1 gude d 19) (J) studos aerodinâmicos recomendam que a velocidade escalar da ponta de uma hélice de avião seja inferior à velocidade do som no ar (340 m/s). etermine a máima rotação por minuto que uma hélice de diâmetro 1,70 m pode atingir para obedecer o recomendado pela aerodinâmica. (dote = 3,14) 0) (J) Uma pista automobilística foi traçada tendo como base um pentágono regular e cinco círculos congruentes, cujos centros estão sobre os vértices do pentágono e se tangenciam. Sabendo que a pista tem milhas de comprimento, determine o raio de cada círculo e o comprimento da única reta dessa pista. ados: 1 milha = 1640 m e = 3,14. Jeca 19

131 Respostas desta aula. 01) d 0) b 03) 16 voltas 04) 7º 05) 58,8 m 06) 3 m 07) 80 cm 08) (3 / - 3) cm 09) a) r b) (r + d) c) d 10) 65 rpm 11) 80 cm 1) (100 / 3) cm 13) c 14) a 15) d 16) a) ( ) cm b) 3, voltas 17) d) 18) r( 3-1) 19) 381 rpm 0) 07,38 m e 414,76 m Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 130

132 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 1 Inscrição e circunscrição de polígonos regulares. I) Polígono regular. e i e i e i i i e Um polígono é regular se tem: a) todos os lados congruentes entre si; b) todos os ângulos internos congruentes entre si; c) todos os ângulos eternos congruentes entre si. lassificação dos polígonos regulares 3 lados - triângulo equilátero 4 lados - quadrado 5 lados - pentágono regular 6 lados - heágono regular etc e Medida de cada ângulo interno de um polígono regular. i = S i n > 180 (n - ) i = n Medida de cada ângulo eterno de um polígono regular. ângulo central e = S e n > 360 e = n (importante) bservação - Todo polígono regular pode ser inscrito e circunscrito numa circunferência. II) Principais polígonos regulares. 1) Triângulo equilátero. ) Quadrado. 3) Heágono regular. l R 30º l r l I m todo triângulo equilátero os quatro pontos notáveis (I) coincidem num mesmo ponto. l l l R 45º r l - lado do polígono regular l l l R = l r 60º Todo heágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros. l l l r = l 3 R = l 3 r = l R = 6 3 l r = l 3 R = l III) pótema de um polígono regular. apótema de um polígono regular é a distância entre o centro do polígono e o ponto médio de qualquer lado. apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono. ercício 01 - eterminar o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência circunscrita em um quadrado de lado 1 cm. 1 cm Jeca 131

133 0) etermine o raio da circunferência inscrita num triângulo equilátero de lado 4 cm. 03) etermine o raio da circunferência circunscrita num triângulo equilátero de lado 8 cm. 04) etermine o raio da circunferência circunscrita num quadrado de lado 14 cm. 05) etermine o lado de um heágono regular circunscrito em uma circunferência de raio 3 cm. 06) etermine o lado de um quadrado inscrito num círculo de raio k. 07) etermine o raio de um círculo inscrito num heágono regular de lado k. Jeca 13

134 08) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 8 cm, determine: a) a altura do triângulo; b) o raio da circunferência inscrita no triângulo; c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. 09) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 1 cm, determine: a) o lado do triângulo; b) o raio da circunferência inscrita no triângulo; c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. R R 8 cm 8 cm h h r r 8 cm 10) etermine a medida do lado de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio 5 cm. 11) etermine o raio da circunferência inscrita num heágono regular inscrito numa circunferência de raio 7 cm. Jeca 133

135 1) Qual é a razão entre o lado de um triângulo equilátero e o lado de um quadrado circunscritos à mesma circunferência? 13) Qual é a razão entre o lado de um heágono regular e o lado de um quadrado circunscritos à mesma circunferência? 14) Qual é a razão entre o perímetro do heágono regular circunscrito e o perímetro do triângulo equilátero inscrito numa mesma circunferência? 15) Qual é a razão entre o lado do heágono regular circunscrito e o perímetro do quadrado inscrito numa mesma circunferência? Jeca 134

136 Respostas desta aula. 01) 6 cm e 6 cm 0) ( 3 / 3) cm 03) (8 3 / 3) cm 04) 7 cm 05) 3 cm 06) k / 07) k 3 08) a) 4 3 cm b) (4 3 / 3) cm c) (8 3 / 3) cm 09) a) 8 3 cm b) 4 cm c) 8 cm 10) 5 3 cm 11) (7 3 / ) cm 1) 3 13) 3 / 3 14) 4 / 3 15) 6 / 1 Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 135

137 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana Inscrição e circunscrição de polígonos regulares. ercícios complementares da aula 1. 1) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar : a) o raio da circunferência inscrita no triângulo. b) o apótema do triângulo. c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. d) o lado do triângulo. l l R h r l ) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 5k, determinar em função de k : a) a altura do triângulo. b) o raio da circunferência inscrita e o apótema. c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. R 5k 5k h r 5k 3) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita a um quadrado é 8 cm, determinar : a) o apótema e o raio da inscrita. b) o lado do quadrado. c) o perímetro do quadrado. l R l r l l Jeca 136

138 4) Sabendo-se que um quadrado tem lado k, determinar em função de k : a) o perímetro do quadrado. k b) o apótema e o raio da circunferência inscrita no triângulo. c) a diagonal do quadrado e o raio da circunscrita. r k R k k 5) Sabendo-se que um heágono regular tem lado 7 cm, determinar : a) o raio da circunferência circunscrita ao heágono. b) o apótema e o raio da circunferência inscrita no heágono. c) o perímetro do heágono. 6) Sabendo-se que o apótema de um heágono regular é 3k, determinar em função de k : a) o raio da circunferência inscrita no heágono. b) o raio da circunferência circunscrita no heágono. c) o lado e o perímetro do heágono. Jeca 137

139 7) eterminar a razão entre o perímetro de um triângulo equilátero e o perímetro de um heágono regular inscritos numa mesma circunferência. 8) Na figura abaio, o quadrado e o triângulo equilátero estão inscritos numa mesma circunferência. eterminar a razão entre o raio da circunferência inscrita no quadrado e o raio da circunferência inscrita no triângulo. 9) Um quadrado e um heágono regular são circunscritos a uma mesma circunferência. eterminar a razão entre o raio da circunferência circunscrita ao heágono e o raio da circunferência circunscrita ao quadrado. Jeca 138

140 10) Um octógono regular está inscrito numa circunferência de raio 1 cm. eterminar : a) o lado e o perímetro desse octógono. b) o raio da circunferência inscrita nesse octógono. 11) Um dodecágono regular está inscrito numa circunferência de raio 7 cm. eterminar : a) o lado e o perímetro desse dodecágono. b) o raio da circunferência inscrita nesse dodecágono. Jeca 139

141 Respostas desta aula. 01) a) 1 cm b) 1 cm c) cm d) 3 cm 0) a) 5k 3 / b) 5k 3 / 6 c) 5k 3 / 3 03) a) 4 cm b) 8 cm c) 3 cm 04) a) 4k b) k / c) k d) k / 05) a) 7 cm b) (7 3 / ) cm c) 4 cm 06) a) 3k b) k 3 c) k 3 d) 1k 3 07) 3 / 08) 09) 6 / 10) a) 1 - cm e 96 - cm b) 6 + cm 11) a) 7-3 cm e 84-3 cm b) (7 + 3 / ) cm Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 140

142 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 13 Áreas das figuras planas. I) Áreas das figuras planas. Área é a medida de superfície. II) Áreas das figuras poligonais. 1) Área do retângulo. ) Área do quadrado. 3) Área do paralelogramo. h l b S = b. h l S = l 4) Área do trapézio. 5) Área do losango. 6) Área do triângulo. b h b S = b. h h h S= ( b + ). h d S = d. b S = b. h III) utras fórmulas para o cálculo da área de um triângulo. 1) m função de dois lados e do ângulo entre eles. ) m função dos 3 lados (órmula de Hierão) a b S = (Importantíssima) 1 a. b. sen a b c S = p - semiperímetro p = a + b + c p.(p - a)(p - b)(p - c) 3) m função do raio da circunferência inscrita. 4) m função do raio da circunferência circunscrita. p - semiperímetro a r c p = a + b + c a R c b S = p. r b S = a. b. c 4 R IV) Áreas das figuras circulares. 1) Área do círculo. 1) Área da coroa circular. Área do círculo r S = r R r R - raio do círculo maior r - raio do círculo menor r - raio do círculo. Perímetro do círculo c = r Jeca 141 S = R - r

143 3) Área do setor circular. 4) Área do segmento circular. r r Regra de três 360º r S setor r r Lembrar que a área do triângulo é dada por S 1 triângulo = a. b. sen r - raio do círculo. S setor =. r 360 S segmento circular = S setor - Striângulo V) Áreas das figura semelhantes. uas figuras planas são ditas semelhantes se uma delas é a redução ou a ampliação da outra. l 1 l Se duas figuras planas são semelhantes, então vale a relação: S l 1 S = 1 S S 1 ( ) l l - comprimento S - área ercício 01 - figura abaio é um quadriculado onde cada quadradinho tem lado 1 cm. Todos os pontos,,,,,,, G, H, I, J, K, L, M, N, e P estão eatamente sobre os cruzamentos das linhas que compõem o quadriculado. om base no desenho e nestas informações, calcule a área de cada polígono (S 1, S, S 3, S 4, S 5, S 6, S 7 e S 8). aça os cálculos dentro do próprio desenho. 1 cm S 1 S S3 G H S 4 S 5 I J K S 6 S7 L S 8 M N P Jeca 14

144 0) eterminar a área de um triângulo equilátero de lado 16 cm. 03) eterminar a área de um heágono regular de lado 4 cm. 04) eterminar a área de um dodecágono regular inscrito numa circunferência de raio 8 cm. 05) eterminar a área de um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm. 06) ado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm, determinar o raio da circunferência inscrita no triângulo e a altura relativa ao lado que mede 6 cm. 07) ado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm, determinar o raio da circunferência circunscrita nesse triângulo. 08) eterminar a área do paralelogramo abaio. 6 cm10º 15 cm 09) eterminar a área do trapézio abaio. 1 cm 5 cm 15 cm Jeca 143

145 10) Na figura abaio, é um quadrado, dividido em 16 quadradinhos de lado cm. Sendo e os centros dos dois semicírculos e o centro do setor circular e sabendo que as figuras circulares tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a área da região sombreada. (deiar em função de ) cm 11) Na figura abaio, é um quadrado, dividido em 36 quadradinhos de lado cm. Sendo o centro do semicírculo, o centro do círculo e o centro do setor circular e sabendo que as figuras circulares tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a área da região sombreada. (deiar em função de ) cm 1) Na figura abaio, é um quadrado, dividido em 36 quadradinhos de lado 3 cm. Sendo o centro do semicírculo e e os centros dos setores circular e sabendo que as figuras circulares tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a área da região sombreada. (deiar em função de ) 13) Na figura abaio,, e são pontos de tangência e o círculo está inscrito no setor circular de centro, raio 3 cm e ângulo central 60º. eterminar a área do círculo. 60º 3 cm 14) Um trapézio tem base maior 5k, base menor k e altura 4k. área do trapézio, em função de k, é : 3 a) 7k b) 11k c) 7k d) 14k e) 1k 15) Na figura abaio, é um quadrado de lado k. Sendo P um ponto que dista a de e b de, a área do quadrilátero P, em função de k, de a e de b, é : a) k(k a b ) b) k(k a b + ) c) k(k a b + + ) k P a d) k(k a b + ) b e) k ( a b + ) Jeca 144

146 16) (UV-MG) s circunferências da figura abaio são concêntricas e têm raios de 1 cm e cm. etermine a área da região hachurada. 17) Na figura abaio, estão representados quatro círculos congruentes tangentes entre si e um quadrado de lado 5 cm, cujos vértices são os centros dos quatro círculos. área da região sombreada, em cm, é : a) b) c) 75 / d) 50 / 3 e) 75 / 4 18) figura abaio representa uma semi-circunferência de centro, onde eiste um retângulo inscrito. eterminar a área da região sombreada. 19) eterminar a área da coroa circular abaio, sabendo-se que mede 10 cm e tangencia o círculo interno. 6 cm 3 cm 0) Na figura abaio, o diâmetro coincide com a altura do triângulo equilátero de lado 1 cm. Sendo o centro da circunferência, determine a área da região eterna ao triângulo e interna à circunferência. 1) Na figura abaio estão representados dois octógonos regulares. medida do lado do maior é 8 cm e o octógono menor tem os seus lados apoiados sobre as diagonais do maior. etermine a área da região sombreada. Jeca 145

147 ) (uvest-sp) Na figura, é paralelo a, = 4 e = 5. etermine a razão entre as áreas do triângulo e do trapézio. 3) Na figura abaio, o triângulo tem área K. Sabendo-se que // e que = = e que = G = G, pode-se afirmar que a área do triângulo vale : a) 9K b) 9K c) 3K d) 3K G e) 6K 4) (uvest-sp) No papel quadriculado da figura abaio, adota-se como unidade de comprimento o lado do quadrado sombreado. é paralelo a. eterminar a medida de na unidade adotada para que a área do triângulo seja a metade da área do triângulo. 5) (Unifesp) Você tem dois pedaços de arame de mesmo comprimento e pequena espessura. Um deles você usa para formar o círculo da figura 1, e o outro você corta em 3 partes iguais para formar os três círculos da figura. figura 1 figura Se S é a área do círculo maior e s é a área de um dos círculos menores, a relação entre S e s é dada por: a) S = 3s b) S = 4s c) S = 6s d) S = 8s e) S = 9s 6) Na figura abaio, o triângulo tem altura h = 1 cm. Sabendo-se que é paralelo a, determinar o valor de para que a área do triângulo seja o dobro da área do trapézio. 7) Na figura abaio, o triângulo tem altura h = 1 cm. Sabendo-se que é paralelo a, determinar o valor de para que a área do triângulo seja um terço da área do trapézio. h h Jeca 146

148 Respostas desta aula S 8= 70 cm 01) S = 56 cm S = 140 cm S = (91/) cm S = 7 cm S = 11 cm S = 18 cm S = 7 cm 0) 64 3 cm 03) 4 3 cm 4) 4 uc 5) e 6) 4 6 cm 7) 6 cm 04) 19 cm 05) 6 6 cm 06) 6 cm 07) (35 6 / 4) cm 08) 45 3 cm 09) 54 cm 10) (3-7) cm 11) 4(36-7) cm 1) 9(36-31 / 4) cm 13) cm 14) d 15) a 16) (( 3 + 1) - ) cm 17) e 18) 18( - ) cm 19) 5 cm 0) 18( / 4) cm 1) 18( - ) cm ) 16 / 65 3) a Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 147

149 studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana Áreas das figuras planas. ercícios complementares da aula ) eterminar a área de cada figura abaio. a) b) c) 7 cm 8 cm 7 cm 1 cm 8 cm 11 cm // // d) 10 cm e) f) 10 cm 8 cm 7 cm 15 cm 11 cm 6 cm 16 cm g) h) i) 1 cm 14 cm 6 cm 0 cm 1 cm 14 cm j) k) l) 10 cm 30º 1 cm 8 cm 10º 8 cm 8 cm 13 cm 8 cm Jeca 148

150 0) eterminar a área e o perímetro de um círculo de raio 13 cm. 03) eterminar a área e o raio de um círculo de perímetro c = 14 cm. 04) eterminar o raio e o perímetro de um círculo de área = 64 cm. 05) eterminar a área da coroa circular abaio. R r R = 11 cm r = 9 cm 06) eterminar a área da coroa circular abaio, sabendo-se que mede 10 cm e tangencia o círculo interno. 07) eterminar o perímetro do círculo maior da coroa circular de área 39 cm, sabendo-se que a diferença entre os raios é igual a 3 cm. 08) eterminar a área do setor circular de raio 9 cm e ângulo central igual a 135º. 09) eterminar a área do setor circular de raio 8 cm e ângulo central radianos. 10) eterminar a área de um setor circular de raio 1 cm cujo arco correspondente tem comprimento c = 30 cm. 11) eterminar a área da região sombreada. c = 30 cm r = 7 cm Jeca 149

151 1) eterminar a área do segmento circular de raio 9 cm e ângulo central 10º 13) Na figura abaio, o heágono é regular e tem lado 4 cm. eterminar a área da região hachurada. 14) eterminar a área de um octógono regular inscrito numa circunferência de raio 14 cm. 15) eterminar a área de um dodecágono regular inscrito numa circunferência de raio 7 cm. 16) eterminar a área de um polígono regular com 40 lados inscrito numa circunferência de raio 7 cm. (ado sen 9º = 0,1564) 17) Sendo S a área do retângulo J, = = = e J // I // H // G //, determinar a área do triângulo em função de S. J I H G Jeca 150

152 18) Na figura abaio, é um retângulo de lados k e k onde as regiões circulares tangenciam os lados de. eterminar a área das regiões sombreadas em função de k. 19) Na figura abaio, as partes circulares tangenciam os lados do quadrado de perímetro 16 cm. eterminar a área da região sombreada. 0) Na figura abaio, e são os centros dos semi-círculos. Sendo = = = 8 cm, determinar a área da região sombreada. 1) s três semi-círculos abaio têm centros, e. Sendo = = = = cm e = 4 cm, determinar a área da região sombreada. ) triângulo abaio é equilátero de lado 16 cm e está inscrito em um círculo. eterminar a área da região sombreada. 3) triângulo abaio é equilátero de lado k e é um arco de circunferência tangente ao lado do triângulo. eterminar a área da região sombreada. Jeca 151

153 4) (MKNZI - SP 000) eterminar a área do setor assinalado no círculo de raio 1 e centro. 110º 5) (uvest - SP 000) Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semi-circunferência de raio. eterminar a área da região hachurada. 6) (Unicamp - SP) No canto de uma casa de forma quadrada, de 4 metros de lado, prende-se uma corda fleível e inetensível, em cuja etremidade livre é amarrada uma pequena estaca que serve para riscar o chão, o qual se supõe que seja plano. corda tem 6 metros de comprimento, do ponto em que está presa até sua etremidade livre. Mantendo-se a corda sempre esticada de tal forma que inicialmente sua etremidade livre esteja encostada à parede, riscase um contorno no chão, em volta da casa, até que a etremidade livre toque a parede. a) aça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) alcule a área da região eterior à casa, delimitada pelo traçado da estaca. 7) (esgranrio - RJ) Na figura, os três círculos são concêntricos e as áreas das duas regiões hachuradas são iguais. eterminar o raio do círculo intermediário sabendo-se que o raio do círculo menor é 5 m e o do maior é 13 m. 8) (Vunesp - SP) ângulo central Ô referente ao círculo da figura adiante, mede 60º e X é sua bissetriz. Se M é o ponto médio do raio que mede 5 cm, calcular a área da figura hachurada. 9) alcular a área da região hachurada. a M a Jeca 15

154 30) bandeira retangular representada na figura mede 4 m de comprimento por 3 m de largura. faia escura cobre 50% da superfície da bandeira. eterminar a medida de. 31) (uvest-sp) Um trapézio isósceles está circunscrito a uma circunferência de raio cm e tem um ângulo interno de 60º. eterminar a área desse trapézio. 3) (uvest-sp) Um losango está circunscrito a uma circunferência de cm de raio. alcule a área desse losango, sabendo que um de seus ângulos mede 60º. 33) (UVST-SP) Na figura abaio, a reta r é paralela ao segmento, sendo o ponto de intersecção de r com a reta determinada por e. Se as áreas dos triângulos e são 4 e 10, respectivamente, e a área do quadrilátero é 1, então a área do triângulo é: r a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 34) (uvest-sp) ortando-se os cantos de um quadrado, como mostra a figura, obtém-se um octógono regular de lados iguais a 10 cm. a) Qual a área total dos quatro triângulos cortados? b) alcule a área do octógono. 35) eterminar a área da região sombreada. 70º 40º r = cm Jeca 153

155 36) (UVST-SP) Na figura seguinte, é o ponto de intersecção das diagonais do quadrilátero e é o ângulo agudo Ê. Se = 1, = 4, = 3 e =, então a área do quadrilátero será : a) 1sen b) 8sen c) 6sen d) 10cos e) 8cos 37) (UVST-SP) s quadrados da figura têm lados medindo 10 cm e 0 cm, respectivamente. Se é o centro do quadrado de menor lado, qual o valor da área hachurada? 38) (UL-PR) Na figura, é um quadrado cujo lado mede k. Um dos arcos está contido na circunferência de centro e raio k, e o outro é uma semicircunferência de centro no ponto médio de e de diâmetro k. eterminar a área da região hachurada. 39) (UL-PR) Na figura abaio, o quadrado está inscrito na circunferência. Sabendo que a medida do lado do quadrado é 4 m, determinar a área da parte sombreada. 40) (UVST-SP) onsidere o triângulo representado na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a 1 cm. etermine a área desse triângulo. 41) (UVST-SP) onsidere o quadrado inscrito na semi-circunferência de centro na origem. Se (, y) são as coordenadas do ponto, determinar a área da região eterior ao quadrado e interior à semicircunferência em função de e y. y (, y) Jeca 154

156 4) (uvest) circunferência dada pela figura abaio tem centro em, raio igual a cm e é tangente aos eios coordenados e y nos pontos e. eterminar a área da região hachurada. N 43) (USR-SP) onsidere a região R sombreada, eibida a seguir, construída no interior de um quadrado de lado medindo 4 cm. Sabendo-se que os arcos de circunferência que aparecem nos cantos do quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada raio mede 1 cm, pedem-se : a) a área não sombreada do quadrado; b) a área da região sombreada R. 1 cm M cm 1 cm 44) (UL-PR) Tome uma folha de papel em forma de um quadrado de lado igual a 1 cm e nomeie os seus vértices,,,, conforme figura 1. seguir, dobre-a de maneira que o vértice fique sobre o lado (figura ). Seja esta nova posição do vértice e a distânde a. eterminar a função que epressa a área do triângulo retângulo sombreado, em função de. 45) (uvest) Na figura, é um quadrado de lado 1, e são arcos de circunferências de raio 1, centrados em e, respectivamente. eterminar a área da região hachurada. 46) (UVST) trapézio abaio é tal que = 10, M é médio de, N = N e as áreas dos quadriláteros NM e MN são iguais. eterminar a medida de. 47) (Jeca) Na figura abaio, a coroa circular tem a mesma área que o círculo menor. eterminar o raio do círculo menor, sabendo-se que o raio do círculo maior é R. (iguras semelhantes) M P N Jeca 155

157 Respostas desta aula. 01) a) 84 cm b) 64 cm c) 77 cm d) 100 cm e) 11 cm f) 56 cm g) 10 cm h) 84 cm i) 4 cm j) 30 cm k) 6 3 cm l) 16 3 cm 18) k (4 - ) / 19) 8( - ) cm 0) (16(4-3 3 ) / 3) cm 1) 8 cm ) (64(4-3 3 ) / 3) cm 3) k ( 3 - ) / 8 4) 7 / 18 5) + 39) ( + ) m 40) cm 41) (( + y ) / ) - y 4) ( + ) cm 43) a) ( + 8) cm b) (8 - ) cm 3 44) (441 - ) / 84) cm 45) 1 - ( 3 / 4) - ( / 6) 0) 169 cm e 6 cm 03) 49 cm e 7 cm 04) 8 cm e 16 cm 6) a) desenho b) 9 m 46) 0 47) R / 05) 40 cm 7) 1 m 06) 5 cm 07) 16 cm 08) (43 / 8) cm 09) 64 cm 10) 180 cm 11) (49 / 4) cm 1) (7(4-3 3 ) / 4 ) cm 13) 8( ) cm 14) 39 cm 15) 147 cm 16) 153,7 cm 17) S / 8 8) (5( - 3) / 1) cm 9) a 30) 1 m 31) (3 3 / 3) cm 3) (3 3 / 3) cm 33) b 34) a) 100 cm b) 00( + 1) cm 35) (4 / 9) cm 36) a 37) 5 cm 38) k / 8 Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 156

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