APOSTILA DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL

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1 APOSTILA DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL Professora: Elisandra Bar de Figueiredo Elaboração da apostila: Elisandra Bar de Figueiredo Home-page: Joinville, fevereiro de 2011

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3 PLANO DE ENSINO DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL Departamento: Matemática Disciplina: Geometria Plana e Espacial Sigla: GPE0001 Semestre/Ano: 01/2011 Carga Horária Total: 72 horas Teórica: 72 horas Prática: 0 Curso: Licenciatura em Matemática. Professora: Elisandra Bar de Figueiredo. Objetivo Geral da Disciplina: Capacitar o aluno para a compreensão dos teoremas relacionados à geometria e para as aplicações de propriedades de guras e sólidos geométricos. Ementa: Ângulos, Teorema de Tales, Polígonos, Pirâmides, Prismas, Poliedros, Teorema de Euler, Cilindros, Cone, Esfera. Objetivos Especícos da Disciplina: Desenvolver a capacidades do aluno de observação e representação dos objetos geométricos e físicos. Identicar os diversos tipos de guras planas e sólidos geométricos. Fornecer ao aluno, uma bagagem de conhecimento que lhes permita resolver problemas práticos e abstratos encontrados no dia a dia ou em outras disciplinas. Iniciar o aluno a utilizar o rigor lógico nos pensamentos dedutivo e indutivo. Cronograma de Atividades: 1. Noções primitivas e Postulados 1.1. Noções primitivas 1.2. Postulados: existência, determinação e inclusão 1.3. Segmentos de reta 1.4. Posições relativas entre retas e planos 2. Ângulos 2.1. Denição 2.2. Medida de ângulos 2.3. Ângulos internos de guras geométricas planas 3. Triângulos e Quadriláteros 3.1. Congruência de triângulos i

4 3.2. Paralelismo e perpendicularidade 3.3. Pontos notáveis no triângulo 3.4. Quadriláteros notáveis 4. Circunferência e círculo 4.1. Ângulos na circunferência 4.2. Quadriláteros inscritos e circunscritos 5. Semelhança de Triângulos 5.1. Teorema de Tales 5.2. Triângulos semelhantes 5.3. Relações métricas no triângulo retângulo 5.4. Triângulos quaisquer 6. Figuras planas 6.1. Polígonos regulares 6.2. Polígonos inscritos e circunscritos em circunferências 6.3. Perímetros e comprimento de circunferência 7. Área de guras planas 7.1. Área de regiões poligonais 7.2. Área do círculo e de suas partes 8. Poliedros 8.1. Conceitos gerais de poliedros 8.2. Poliedros convexos 8.3. Teorema de Euler 9. Prismas 9.1. Denição, elementos e classicação 9.2. Área da base, da superfície lateral e total 9.3. Volume 9.4. Princípio de Cavalieri 10. Pirâmides Denição, elementos e classicação ii

5 10.2. Área da base, da superfície lateral e total Volume Tetraedro Tronco de pirâmide 11. Cilindros Denição, elementos e classicação Seção meridiana Área da base, da superfície lateral e total Volume 12. Cones Denição, elementos e classicação Seção meridiana Área da base, da superfície lateral e total Volume 12.5 Tronco de cone 13. Esfera Denição e elementos Área da superfície esférica Volume Seções 14.5 Fuso esférico 14.6 Cunha esférica Avaliações: Serão realizadas 4 avaliações escritas individuais, com a seguinte distribuição de conteúdos: 1 a P rova: referente ao Capítulos 1, 2 e 3: nota x 2 a P rova: referente ao Capítulos 4, 5 e 6: nota y 3 a P rova: referente aos Capítulos 7, 8, 9 e 10: nota z 4 a P rova: referente ao Capítulo 11, 12 e 13: nota w Média Semestral: A nota semestral será calculada pela média aritmética das notas das quatro avaliações, ou seja Média= x + y + z + w. 2 iii

6 Datas das Avaliações: 1 a P rova: 29/03/2011 (terça-feira, entre 9h20min e 11h50min) 2 a P rova: 03/05/2011 (terça-feira, entre 9h20min e 11h50min) 3 a P rova: 02/06/2011 (quinta-feira, entre 7h e 9h20min) 4 a P rova: 28/06/2011 (terça-feira, entre 9h20min e 11h50min) EXAME: 05/07/2011 (terça-feira, entre 9h20min e 11h50min) Segunda chamada das provas Caso o acadêmico não possa comparecer a qualquer uma das avaliações, deverá entrar com pedido ocial de solicitação de segunda chamada desta prova, no prazo de cinco dias úteis, de acordo com a Resolução 018/2004 Consepe. As provas de segunda chamada, quando deferidas, ocorrerão sempre antes da realização da próxima avaliação programada, em data, horário e local a serem divulgados no mural do DMAT e na página da disciplina. É de responsabilidade do acadêmico acompanhar os trâmites do seu processo de segunda chamada. BIBLIOGRAFIA IEZZI, G. et all. Geometria Plana. Coleção Fundamentos da Matemática Elementar. Volume 09, 8 a edição, Editora Atual, IEZZI, G. et all. Geometria Espacial. Coleção Fundamentos da Matemática Elementar. Volume 10, 6 a edição, Editora Atual, KALEFF, A. M. Vendo e entendendo poliedros: do desenho ao cálculo do volume através de quebra-cabeças geométricos e outros materiais concretos. 2 a edição, EDUFF, Rio de Janeiro, BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR BARBOSA, J.L.M. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de Matemática, SBM, CARVALHO, P.C.P. Introdução à Geometria Espacial. Coleção do Professor de Matemática, SBM, GARBI, G. G.. C.Q.D.. 1 a edição, Livraria da Física, LIMA, E.L., CARVALHO, P.C.P., WAGNER, E. e MORGADO, A.C. A Matemática do Ensino Médio. Volume 2. Coleção do Professor de Matemática, SBM, LIMA, E.L. Medida e Forma em Geometria. Coleção do Professor de Matemática, SBM, MORGADO, A.C., WAGNER, E. e JORGE, M. Geometria I. Editora VestSeller, MORGADO, A.C., WAGNER, E. e JORGE, M. Geometria II. Editora VestSeller, iv

7 Horário de Monitoria Monitor: Início Final Segunda Terça Quarta Quinta Sexta 07:30 08:20 08:20 09:10 09:20 10:10 10:10 11:00 11:00 11:50 13:30 14:20 14:20 15:10 15:20 16:10 16:10 17:00 17:00 17:50 18:10 19:00 19:00 19:50 19:50 20:40 Horário de Atendimento da Professora Início Final Segunda Terça Quarta Quinta Sexta 07:30 08:20 08:20 09:10 09:20 10:10 10:10 11:00 11:00 11:50 13:30 14:20 14:20 15:10 15:20 16:10 16:10 17:00 17:00 17:50 18:10 19:00 19:00 19:50 19:50 20:40 v

8 Conteúdo 1 Noções primitivas e postulados Estrutura Matemática Noções primitivas, postulados e denições Noções primitivas Proposições primitivas Denições Posições relativas entre pontos, retas e planos Determinação de um plano Exercícios Elementos do espaço, do plano e da reta Conceitos Exercícios Triângulos Conceitos - Elementos - Classicação Elementos do ABC Classicação Congruência de triângulos Exercícios Paralelismo e Perpendicularismo Ângulos das paralelas Desigualdades nos triângulos Perpendicularidade Exercícios Quadriláteros Quadriláteros - denição e elementos Quadriláteros notáveis - denições Propriedades dos trapézios Propriedades dos paralelogramos Propriedades dos retângulos Propriedades dos losangos Resumo Base média do triângulo Base média do trapézio Exercícios vi

9 6 Pontos notáveis do triângulo Incentro Circuncentro Ortocentro Baricentro Exercícios Polígonos Denições e elementos Diagonais - Ângulos internos - Ângulos externos Exercícios Circunferência e círculo Denições e elementos Interior e exterior de uma circunferência Posições relativas entre duas circunferências Posições relativas entre uma reta e uma circunferência Quadriláteros circunscritíveis Exercícios Ângulos na circunferência Congruência Ângulo central Ângulo inscrito Quadrilátero inscritível Ângulo de segmento Ângulo excêntrico Exercícios Teorema de Tales e Semelhança de triângulos Feixe de retas paralelas Teorema das bissetrizes Semelhança de triângulos Casos de semelhança de triângulos Exercícios Relações métricas nos triângulos Triângulos retângulos Aplicações do teorema de Pitágoras Triângulos quaisquer Exercícios Polígonos regulares Conceitos e propriedades Medida do lado e do apótema de polígonos regulares Exercícios vii

10 13 Comprimento da circunferência Conceitos e propriedades Comprimento de um arco de circunferência Exercícios Áreas de superfícies planas Equivalência plana Área Exercícios Poliedros convexos Superfície poliédrica e poliedros Poliedros de Platão Exercícios Prismas Denições e elementos Paralelepípedos e romboedros Volume de um sólido Volume de um paralelepípedo retângulo Princípio de Cavalieri Volume de um prisma Exercícios Cilindro Denições e elementos Área lateral e total Volume do cilindro Exercícios Pirâmide Denições e elementos Volume da pirâmide Tronco de pirâmide Exercícios Cone Denições e elementos Áreas lateral e total Volume do cone Tronco de cone Exercícios Esfera Denições Área e volume Exercícios viii

11 Capítulo 1 Noções primitivas e postulados 1.1 Estrutura Matemática 1. Noções primitivas - estabelecidas sem denição; 2. Proposições primitivas (postulados ou axiomas) - são armações aceitas sem demonstração; 3. Denição - caracterização de elementos; 4. Propriedades, proposições, teoremas, corolários, lemas - são armações que devem ser provadas 1

12 1.2 Noções primitivas, postulados e denições Noções primitivas Adotaremos sem denir os conceitos de NOTAÇÕES: Ponto, Reta e Plano. Ponto: letras latinas maiúsculas - A, B, C, Reta: letras latinas minúsculas - r, s, t, Plano: letras gregas minúsculas - α, β, γ, Proposições primitivas 1. Postulado da existência (a) Existe reta e numa reta, bem como fora dela, existem innitos pontos. (b) Existe plano e num plano, bem como fora dele, há innitos pontos. 2. Postulados da determinação (a) Da reta: dois pontos distintos, A e B, determinam uma única reta que passa por eles. Denotaremos esta reta por AB. (b) Do plano: três pontos, A, B e C, não colineares (pontos que não pertencem a uma mesma reta) determinam um único plano que passa por eles. Denotaremos este plano por (A, B, C). 3. Postulado da inclusão: Se uma reta tem dois pontos distintos contidos num plano, então esta reta está contida nesse mesmo plano Denições Denimos: 1. Pontos coplanares são pontos que pertencem a um mesmo plano. 2. Duas retas, r e s, são paralelas se ou são coincidentes ou são coplanares e não possuem nenhum ponto em comum. Notação: r s. 3. Duas retas são concorrentes se elas tem um único ponto de interseção. 4. Duas retas são reversas se não existe um plano que contém as duas retas. 2

13 1.2.4 Posições relativas entre pontos, retas e planos { P = Q 1. Pontos P e Q : P Q 2. Ponto P e reta r : { P r P / r { P α 3. Ponto P e plano α : P / α { r = s paralelas: r s = coplanares: 4. Retas r e s : concorrentes: r s = {P } 5. Reta r e plano α : 6. Planos α e β : { não coplanares: reversas: r s = r α r α = r r α r α = r concorrente com α r α = {P } α β α β = α e β secantes α β = r OBSERVAÇÃO Se a interseção de dois planos não é vazia, então é sempre uma reta. 1.3 Determinação de um plano Existem quatro maneiras de determinar um plano: 1. Três pontos não colineares - Postulado da determinação. 2. Uma reta e um ponto fora dela - Teorema: TEOREMA Se uma reta e um ponto são tais que o ponto não pertence à reta, então eles determinam um único plano que os contém. 3. duas retas concorrentes - Teorema: TEOREMA Se duas retas são concorrentes, então elas determinam um único plano que as contém. 4. duas retas paralelas distintas - Teorema: TEOREMA Se duas retas são paralelas entre si e distintas, então elas determinam um único plano que as contém. 3

14 1.4 Exercícios 1. Retas reversas podem ser paralelas? 2. Quantos são os planos determinados por quatro pontos distintos? 3. Prove que: três retas, duas a duas concorrentes, não passando pelo mesmo ponto, estão contidas no mesmo plano. 4. Três retas, duas a duas concorrentes, passando pelo mesmo ponto, estão contidas no mesmo plano? 5. Na gura abaixo temos um sólido cujas faces estão contidas em seis planos distintos (o sólido é um paralelepípedo). Determine a interseção dos planos α e β, sendo α o plano determinado pelas retas AB e HG e β o plano determinado pelas retas BC e EH. 6. Classique em V (verdadeiro) ou F (falso) justicando a resposta. (a) Por um ponto passam innitas retas. (b) Uma reta contém dois pontos distintos. (c) Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta. (d) Por três pontos dados passa uma só reta. (e) Três pontos distintos são sempre colineares. (f) Três pontos distintos são sempre coplanares. (g) Quatro pontos todos distintos determinam duas retas. (h) Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares. (i) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A é distinto de B, então existe uma reta a tal que A a e B a. (j) Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas r e s, se P é distinto de Q, e P e Q pertencem às retas r e s, então r = s. (k) Três pontos distintos determinam um plano. (l) Um ponto e uma reta determinam um único plano. (m) Duas retas distintas paralelas e uma reta concorrente com as duas determinam dois planos distintos. (n) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos. (o) Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos. 7. Usando quatro pontos todos distintos, sendo três deles colineares, quantas retas podemos construir? 4

15 8. Quantas e quais são as retas determinadas por pares de pontos A, B, C e D, dois a dois distintos, se eles não são coplanares. 9. Quais são os planos determinados por quatro pontos distintos A, B, C e D? 10. Prove que: duas retas paralelas distintas e uma concorrente com as duas são coplanares. 11. Quantos são os planos que passam por uma reta? Justique. 12. Prove que: se duas retas são paralelas e distintas, todo plano que contém uma delas e um ponto da outra, contém a outra. 13. Num plano α há uma reta r e um ponto P não pertencente a r. Prove que: se conduzirmos por P uma reta s, paralela a r, então s está contida em α. 14. Duas retas distintas r e s, reversas a uma terceira reta t, são reversas entre si? Justi- que. 15. Prove que: Duas retas reversas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos. 16. Classique em V (verdadeiro) ou F (falso) justicando a resposta. (a) Duas retas distintas determinam um plano. (b) Duas retas concorrentes são coplanares. (c) Duas retas coplanares são concorrentes. (d) Duas retas distintas não paralelas são reversas. (e) Duas retas que não tem um ponto em comum são paralelas. (f) Duas retas coplanares ou são paralelas ou são concorrentes. (g) r s = r e s são reversas. (h) r e s são reversas r s =. (i) A condição r s = é necessária para que r e s sejam reversas. (j) A condição r s = é suciente para que r e s sejam reversas. (k) A condição r s = é necessária para que duas retas distintas r e s sejam paralelas. (l) A condição r s = é suciente para que duas retas r e s sejam paralelas. (m) Dois planos secantes tem innitos pontos em comum. 17. Num plano α há duas retas AB e CD concorrentes num ponto O. Fora de α há um ponto P. Qual a interseção dos planos β = (P, A, B) e γ = (P, C, D)? 18. Duas retas r e s são reversas. Em r há um ponto R e em s há um ponto S. Qual é a interseção dos planos α = (r, S) e β = (s, R)? 5

16 Capítulo 2 Elementos do espaço, do plano e da reta 2.1 Conceitos 1. Um ponto de uma reta divide a mesma em dois conjuntos de pontos chamado semirretas, sendo o ponto de divisão chamado origem de cada semirreta. Notação: AB 2. Dados dois pontos A e B em uma reta r chama-se segmento AB ao conjunto de pontos de r que estão entre A e B, que são os extremos do segmento. 3. Dois segmentos de reta são consecutivos se uma extremidade de um deles é também extremidade do outro. 4. Dois segmentos de reta são colineares se pertencem a mesma reta. 5. Dois segmentos de reta colineares e consecutivos são adjacentes se possuem apenas uma extremidade em comum. 6. Uma reta r de um plano α divide α em dois conjuntos de pontos chamados semiplanos, sendo a reta de divisão chamada origem de cada semiplano. 7. Um plano qualquer divide o espaço em dois conjuntos de pontos chamados semiespaços, sendo o plano de divisão chamado origem de cada semiespaço. 6

17 8. Um conjunto de pontos é convexo se, para todo par de pontos A e B do conjunto, o segmento AB está inteiramente contido no conjunto. Quando o conjunto não é convexo ele é dito côncavo. 9. Ângulo é a união de duas semirretas com mesma origem. 10. Se as duas semirretas que determinam um ângulo não são opostas então este ângulo determina dois setores angulares, um convexo e um côncavo. O setor convexo é chamado interior do ângulo. 11. Ângulo entre duas retas é o menor ângulo formado por elas. 12. Ângulo entre duas retas reversas é o ângulo formado por duas retas concorrentes paralelas as duas primeiras. 13. Congruência (a) Dois segmentos são congruentes quando podem ser levados a coincidir por superposição, mediante um deslocamento rígido de um deles. (b) Duas guras são congruentes quando podem ser levadas a coincidir por superposição, mediante um deslocamento rígido de uma delas. 7

18 14. Bissetriz de um ângulo é a semirreta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. 15. Duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e formam quatro ângulos congruentes. Notação: r s. 16. Qualquer um dos ângulos formados pelas retas perpendiculares chama-se ângulo reto. 17. Dois ângulos são adjacentes quando possuem o mesmo vértice e um lado em comum. 18. (a) α é um ângulo agudo se α < 1R; (b) α é um ângulo obtuso se α > 1R; (c) α é um ângulo raso se α = 2R. 19. Dois ângulos α e β são: (a) complementares se α + β = 1R; (b) suplementares se α + β = 2R; (c) replementares se α + β = 4R. 20. Dois ângulos são opostos pelo vértice, (opv), quando os lados de um são as semirretas opostas dos lados do outro. 21. Medida de um segmento: Medir um segmento é compará-lo com um outro tomado como unidade. Notação: m(ab), AB ou simplesmente AB. 8

19 Consequência: Dois segmentos são congruentes quando possuem a mesma medida. 22. Medida de ângulos: Medir um ângulo é compará-lo com outro ângulo tomado como unidade. (a) Sistema sexagesimal: Unidade - grau - 1 = 1 90 R. Múltiplos - subunidades minuto: 1 = 1 60, segundo: 1 = (b) Sistema decimal: Unidade - grado - 1gr = R. Múltiplos - subunidades decígrado: centígrado: 1dgr = 0, 1gr, 1cgr = 0, 01gr. TEOREMA Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles são congruentes. 2.2 Exercícios 1. As bissetrizes de dois ângulos adjacentes suplementares são perpendiculares. 2. As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas. 3. Sendo AB e BC segmentos colineares e consecutivos, AB o quádruplo de BC e AC = 45u.c., determine AB e BC. 4. O segmento AB de uma reta é igual ao quíntuplo do segmento CD dessa mesma reta. Determine a medida do segmento AB, considerando como unidade de medida a quinta parte do segmento CD. Capítulo 2 do livro texto volume 9: 17, 22 e 23 Capítulo 3 do livro texto volume 9: 30-33, 44, 62, 67, 72, 77 e 78. 9

20 Capítulo 3 Triângulos 3.1 Conceitos - Elementos - Classicação DEFINIÇÃO Dados três pontos A, B e C não colineares a união dos segmentos AB, BC e AC chama-se triângulo ABC. Notação: Triângulo ABC = ABC Elementos do ABC Vértices: os pontos A, B e C; Lados: os segmentos AB, BC e AC; Ângulos (ou ângulos internos): BÂC ou Â, A ˆBC ou ˆB e AĈB ou Ĉ. Dizemos que os lados AB, BC e AC e os ângulos Ĉ, Â e ˆB são, respectivamente opostos Classicação Quanto aos lados: 1. Equilátero - os três lados congruentes. 2. Isósceles - dois lados congruentes. Num triângulo isósceles o lado não congruente é chamado base e o ângulo oposto à base é o ângulo do vértice. 3. Escaleno - quaisquer dois lados não são congruentes. Quanto aos ângulos: 1. Acutângulo - os três ângulos agudos. 2. Retângulo - um ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto num triângulo retângulo é chamado hipotenusa e os outros dois são catetos. 3. Obtusângulo - um ângulo obtuso. 4. Equiângulo - os três ângulos congruentes. 10

21 DEFINIÇÃO Altura de um triângulo é o segmento de reta perpendicular à reta suporte de um lado do triângulo com extremidades nesta reta e no vértice oposto ao lado considerado. DEFINIÇÃO Bissetriz interna de um triângulo é o segmento, com extremidades num vértice e no lado oposto, que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes. DEFINIÇÃO Dado um ABC e sendo CX a semirreta oposta à semirreta CB, o ângulo ê = eˆ C = AĈX é o ângulo externo do ABC adjacente a Ĉ e não adjacente aos ângulos  e ˆB. DEFINIÇÃO Mediana de um triângulo é o segmento com extremidades num vértice e no ponto médio do lado oposto. DEFINIÇÃO Um triângulo é congruente a outro se é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que: seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro; seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro. 3.2 Congruência de triângulos 1. Lado-Ângulo-Lado (LAL): dois lados e o ângulo compreendido respectivamente congruentes; 11

22 2. Ângulo-Lado-Ângulo (ALA): um lado e seus dois ângulos adjacentes respectivamente congruentes; 3. Lado-Lado-Lado (LLL): três lados respectivamente congruentes; 4. Lado-Ângulo-Ângulo oposto (LAA O ): um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto ao lado respectivamente congruentes; 5. Caso especial de triângulos retângulos - a hipotenusa e um dos catetos respectivamente congruentes. TEOREMA Um triângulo é isósceles se, e somente se, seus ângulos da base são congruentes. COROLÁRIO Um triângulo equilátero possui os três ângulos congruentes. 3.3 Exercícios 1. Prove que a mediana relativa à base de um triângulo isósceles é também bissetriz. Capítulo 4 do livro texto volume 9: 80, 91, 93-96,

23 Capítulo 4 Paralelismo e Perpendicularismo 4.1 Ângulos das paralelas Sejam r e s retas paralelas e t uma reta concorrente com r e s (t é dita transversal às paralelas r e s). Os oito ângulos determinados por estas retas e indicados na gura abaixo são classicados como: alternos: α 1 e α 7, α 2 e α 8, α 3 e α 5, α 4 e α 6 ; correspondentes: α 1 e α 5, α 2 e α 6, α 3 e α 7, α 4 e α 8 ; colaterais: α 1 e α 8, α 2 e α 7, α 3 e α 6, α 4 e α 5. PROPRIEDADES 1. Os ângulos alternos são congruentes. 2. Os ângulos correspondentes são congruentes. 3. Os ângulos colaterais são suplementares. 13

24 PROPOSIÇÃO Um ângulo externo de um triângulo é a soma dos dois ângulos internos não adjacentes. COROLÁRIO A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180. COROLÁRIO Num triângulo equilátero cada ângulo interno mede Desigualdades nos triângulos 1. Ao maior lado opõe-se o maior ângulo. 14

25 2. Ao maior ângulo opõe-se o maior lado. 3. DESIGUALDADE TRIANGULAR. Em cada triângulo cada lado é menor que a soma dos outros dois. E consequentemente cada lado é maior que a diferença dos outros dois. 4.3 Perpendicularidade DEFINIÇÃO Duas retas são perpendiculares se são concorrentes e formam um ângulo de 90. DEFINIÇÃO A projeção de um ponto P sobre uma reta r é o ponto P r obtido pela interseção de r com a reta perpendicular a r e passando por P. DEFINIÇÃO A distância do ponto P até a reta r é a distância de P até a sua projeção P. 15

26 DEFINIÇÃO A distância entre duas retas paralelas é a distância entre um ponto qualquer de uma delas até a outra reta. DEFINIÇÃO A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio. PROPRIEDADE DOS PONTOS DA MEDIATRIZ. Todo ponto da mediatriz é equidistante das extremidades do segmento. PROPOSIÇÃO As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto que está a igual distância dos vértices do triângulo. 16

27 DEFINIÇÃO O ponto de interseção das mediatrizes de um triângulo é chamado circuncentro e é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. PROPRIEDADE DOS PONTOS DA BISSETRIZ. Todo ponto da bissetriz de um ângulo é equidistante dos lados deste ângulo. PROPOSIÇÃO As bissetrizes de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto que está a igual distância dos lados deste triângulo. DEFINIÇÃO O ponto de interseção das bissetrizes de um triângulo é chamado incentro e é o centro da circunferência inscrita ao triângulo. 17

28 4.4 Exercícios 1. Com três segmentos cujos comprimentos são 9 cm, 13 cm e 23 cm é possível construir um triângulo? Justique sua resposta. 2. Na gura abaixo sabe-se que: AB//P Q; AB AM; BM MQ; m(bâc) =70 e m(p ˆQM) =55. Determine a medida de β. 3. No triângulo ABC da gura abaixo tem-se CD perpendicular a AB, BE perpendicular a AC e CD BE. Mostre que ABC é um triângulo isósceles. 4. O triângulo ABC abaixo é um triângulo retângulo com ângulo reto em  e não é isósceles. Além disso, AD é bissetriz do ângulo BÂH, AE é bissetriz do ângulo CÂH e AH é uma altura do triângulo ABC. Com os dados acima classique em V (verdadeiro) ou F (falso) as armações abaixo justicando sua resposta. (a) m(dâe) = 45. (b) O triângulo ADE é isósceles. (c) O triângulo BAE é isósceles. (d) O triângulo CAD é isósceles. Capítulo 4 do livro texto volume 9: 114, 115, 116; Capítulo 5 do livro texto volume 9: 135, 139, 140, 146, 147, 154, 155, 156, 167, 169, 185; Capítulo 6 do livro texto volume 9: 191, 198, 199, 200, 202, 203, 221,

29 Capítulo 5 Quadriláteros 5.1 Quadriláteros - denição e elementos DEFINIÇÃO Sejam A, B, C e D quatro pontos de um mesmo plano, todos distintos e três não colineares. Se os segmentos AB, BC, CD e DA interceptam-se apenas nas extremidades, a união destes quatro segmentos é um quadrilátero. Notação: Quadrilátero ABCD = ABCD = AB BC CD DA. OBSERVAÇÃO Um quadrilátero é um polígono simples de quatro lados. ELEMENTOS DO QUADRILÁTERO ABCD Vértices: os pontos A, B, C e D; Lados: os segmentos AB, BC, CD e DA; Ângulos (ou ângulos internos): DÂB ou Â, A ˆBC ou ˆB, BĈD ou Ĉ e C ˆDA ou ˆD; Diagonais: os segmentos AC e BD. PROPOSIÇÃO A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360 graus e a soma dos ângulos externos de um quadrilátero convexo é também 360 graus. 19

30 5.2 Quadriláteros notáveis - denições 1. TRAPÉZIO - é o quadrilátero plano convexo que possui um par de lados paralelos, que são chamados de bases do trapézio. Classicação: Trapézio isósceles - se os lados não paralelos são congruentes; Trapézio escaleno - se os lados não paralelos não são congruentes; Trapézio retângulo - se possui dois ângulos retos. 2. PARALELOGRAMO - é o quadrilátero plano convexo que possui os lados opostos para-lelos. ABCD é paralelogramo AB//CD e BC//AD. 3. RETÂNGULO - é o quadrilátero plano convexo que possui os quatro ângulos congruentes. ABCD é retângulo  ˆB Ĉ ˆD. 4. LOSANGO - é o quadrilátero plano convexo que possui os quatro lados congruentes. ABCD é losango AB BC CD DA. 5. QUADRADO é o quadrilátero plano convexo que possui os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes. ABCD é quadrado AB BC CD DA e  ˆB Ĉ ˆD. PROPOSIÇÃO Todo quadrado é losango e retângulo. 20

31 5.3 Propriedades dos trapézios 1. Em qualquer trapézio ABCD com bases AB e CD temos que Â+ ˆD = ˆB +Ĉ = Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes. 3. As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes. 5.4 Propriedades dos paralelogramos 1. Um quadrilátero convexo ABCD é um paralelogramo se, e somente se, possui os ângulos opostos congruentes. 21

32 2. Um quadrilátero convexo ABCD é um paralelogramo se, e somente se, possui os lados opostos congruentes. 3. Um quadrilátero convexo ABCD é um paralelogramo se, e somente se, as diagonais se interceptam nos respectivos pontos médios. 4. Todo quadrilátero convexo que tem dois lados paralelos e congruentes é um paralelogramo. 5.5 Propriedades dos retângulos 1. Um paralelogramo ABCD é um retângulo se, e somente se, tem as diagonais congruentes. 22

33 5.6 Propriedades dos losangos 1. Um paralelogramo ABCD é um losango se, e somente se, tem as diagonais perpendiculares. 5.7 Resumo Note que se um quadrilátero convexo tem diagonais que se cortam ao meio, então ele é um paralelogramo; tem diagonais que se cortam ao meio e são congruentes, então ele é um retângulo; tem diagonais que se cortam ao meio e são perpendiculares, então ele é um losango; tem diagonais que se cortam ao meio, são congruentes e são perpendiculares, então ele é um quadrado. 5.8 Base média do triângulo 1. Se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo, então ele é paralelo ao terceiro lado e mede metade do terceiro lado. 23

34 2. Se um segmento paralelo a um lado de um triângulo tem uma extremidade no ponto médio de um lado e a outra extremidade no terceiro lado, então esta extremidade é ponto médio do terceiro lado. 5.9 Base média do trapézio 1. Se um segmento tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio, então ele é paralelo às bases e é igual a semissoma das bases. 2. Se um segmento paralelo às bases de um trapézio tem uma extremidade no ponto médio de um dos outros lados e a outra extremidade no quarto lado, então esta extremidade é ponto médio deste lado. 24

35 5.10 Exercícios 1. Prove que as bissetrizes dos ângulos formados pelas diagonais de um retângulo são paralelas aos lados do retângulo. 2. Sejam AB e P Q dois segmentos que interceptam-se num ponto X. Prove que se X é ponto médio dos dois segmentos, então o quadrilátero formado pelos pontos A, P, B e Q é um paralelogramo. 3. Demonstre que unindo-se, consecutivamente, os pontos médios dos lados de um retângulo obtém-se um losango. 4. Considere um losango ABCD se o ângulo formado pela mediana BX com um dos lados do losango mede 50 (veja a gura abaixo), determine a medida de todos os ângulos internos e externos deste losango. 5. No trapézio abaixo sabe-se que AD DC CB e BD BA. Determine a medida do ângulo Â. Na gura abaixo temos que D é ponto médio de AB, E é ponto médio de BC e a reta r é paralela a reta AB. Prove que ADHC é um paralelogramo e que DE = AC Considere um trapézio isósceles ABCD com bases AB e CD. Seja O o ponto de interseção das suas diagonais. (a) Prove que os triângulos BOC e AOD são congruentes. (b) Se a razão entre a medida dos ângulos  e ˆD é 2, determine a medida de todos 7 os ângulos internos desse trapézio. Capítulo 7 do livro texto volume 9: 227, 229, 231, 234, 235, 254, 256,

36 Capítulo 6 Pontos notáveis do triângulo 6.1 Incentro DEFINIÇÃO Num triângulo ABC incentro é o centro da circunferência inscrita nesse triângulo. PROPRIEDADE. O incentro é o ponto de interseção das três bissetrizes de um triângulo. Para provar isto usamos o propriedade dos pontos da bissetriz. Visto no resumo de Perpendicularismo. 6.2 Circuncentro DEFINIÇÃO Num triângulo ABC circuncentro é o centro da circunferência circunscrita a este triângulo. PROPRIEDADE. O circuncentro é o ponto de interseção das três mediatrizes de um triângulo. Para provar isto usamos o propriedade dos pontos da mediatriz. Visto no resumo de Perpendicularismo. 6.3 Ortocentro DEFINIÇÃO Ortocentro é o ponto de interseção das três alturas de um triângulo. A prova que as três alturas de um triângulo se interceptam num mesmo ponto pode ser encontrada no livro texto no capítulo Baricentro PROPOSIÇÃO As três medianas de um triângulo de interceptam-se num mesmo ponto, chamado baricentro do triângulo, que divide a mediana em duas partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra. DEMONSTRAÇÃO: 26

37 27

38 6.5 Exercícios 1. O triângulo ABC abaixo é um triângulo equilátero com incentro no ponto O. Prove que O é também circuncentro e ortocentro deste triângulo. 2. Considere o trapézio ABCD com AB//CD, AB = 8u.c. e CD = 5u.c., representado na gura abaixo. Se G é o baricentro do triângulo ABC qual a medida de ZY? 3. Se o quadrilátero ABCD é um paralelogramo e M é o ponto médio da AB. Determine m(p M), sendo m(dp ) = 16 cm. 4. Na Figura abaixo P é o ponto médio de AC e P Q é paralelo a BC. Sendo BC = 40 u.c. e AC = 50 u.c., determine P Q e P O. Capítulo 8 do livro texto volume 9: 277, 278, 280, 281, 282, 285, 288, 289,

39 Capítulo 7 Polígonos 7.1 Denições e elementos DEFINIÇÃO Dada uma sequência de pontos distintos (A 1, A 2, A 3,, A n ), com n 3, em um plano α, sendo que três pontos consecutivos não são colineares, considerando A n, A 1 e A 2 consecutivos, chama-se polígono de n lados a união dos segmentos A 1 A 2, A 2 A 3,, A n 1 A n, A n A 1. Notação: Polígono A 1 A 2 A n 1 A n = A 1 A 2 A 2 A 3 A n 1 A n A n A 1. EXEMPLO Identique quais casos abaixo são polígonos. TIPOS DE POLÍGONOS Um polígono é simples se a interseção de quaisquer dois lados não consecutivos é vazia. Um polígono é complexo quando não é simples. Um polígono é convexo se a reta determinada por dois vértices consecutivos quaisquer deixa os demais vértices num mesmo semiplano dos dois que ela determina. Um polígono que não é convexo é chamado de polígono côncavo. OBSERVAÇÃO Por denição, um quadrilátero é sempre um polígono simples. 29

40 EXEMPLO Classique os polígonos dados no Exemplo 1. ELEMENTOS DE UM POLÍGONO Considerando o polígono A 1 A 2 A n 1 A n, temos: Vértices - Lados - Ângulos (internos) - Ângulos externos de um polígono convexo - Lados Consecutivos - Ângulos Consecutivos - Perímetro - Diagonais - NOME DOS POLÍGONOS De acordo com o número de lados os polígonos recebem nomes especiais. Veja a seguir a correspondência, sendo n o número de lados. n = 3 triângulo ou trilátero n = 4 quadrângulo ou quadrilátero n = 5 pentágono n = 6 hexágono n = 7 heptágono n = 8 octógono n = 9 eneágono n = 10 decágono 30

41 n = 11 undecágono n = 12 dodecágono n = 15 pentadecágono n = 20 icoságono DEFINIÇÃO Um polígono convexo é regular se tem todos os lados congruentes (equilátero) e todos os ângulos congruentes (equiângulo). EXEMPLO O triângulo regular é o triângulo equilátero. O quadrilátero regular é o quadrado. Para os demais polígonos usamos a notação regular. Exemplo: pentágono regular, icoságono regular. 7.2 Diagonais - Ângulos internos - Ângulos externos PROPOSIÇÃO O número de diagonais de um polígono convexo de n lados, n 3, é n(n 3) dado por d =. 2 PROPOSIÇÃO A soma S i dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados, n 3, é S i = (n 2)

42 PROPOSIÇÃO A soma S e dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados, n 3, é S e = 360. COROLÁRIO Num polígono convexo regular de n lados, n 3, cada ângulo interno e (n 2) 180 externo medem, respectivamente, a i = e a e = 360 n n. 7.3 Exercícios 1. Na gura abaixo temos um hexágono e um pentágono regular. Determine a medida de α, β, θ e δ. 2. Três polígonos convexos têm o número de lados expresso pelos números inteiros n, n+1 e n+2. Sabendo que a soma dos ângulos internos dos três polígonos é 2700, determine o número de diagonais de cada um destes polígonos. 3. Considere um polígono convexo de 6 lados. Sabendo que as medidas dos ângulos internos desse polígono formam uma progressão aritmética e a proporção entre o menor ângulo e a razão desta progressão é 15, determine a medida de todos os ângulos internos 2 deste polígono. Capítulo 9 do livro texto volume 9: 294, 295, 298, 311, 320, 322, 324, 326,

43 Capítulo 8 Circunferência e círculo 8.1 Denições e elementos DEFINIÇÃO Circunferência é o conjunto de pontos de um plano α cuja distância de um ponto O α é igual a uma distância r > 0 xa dada. O ponto O é chamado centro e r é o raio da circunferência. Notação: Circunferência de centro O e raio r : λ(o, r), assim, λ(o, r) = {p α/d(p, O) = r} Interior e exterior de uma circunferência Dado um ponto X α e uma circunferência λ(o, r) α, podemos ter: 1. X interno a λ d(x, O) < r; 2. P pertence a λ d(p, O) = r; 3. Y externo a λ d(y, O) > r; O conjunto de todos os pontos interiores a λ(o, r) é o interior da circunferência e o conjunto dos pontos exteriores é o seu exterior. ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA λ(o, r): Centro - Raio - Corda - Diâmetro - Arco de circunferência - Arco menor - 33

44 Arco maior - Semicircunferência - DEFINIÇÃO Círculo ou disco é o conjunto de pontos de um plano α cuja distância de um ponto O α é menor ou igual a uma distância r > 0 xa dada. O ponto O é chamado centro e r é o raio do círculo. Notação: Circulo de centro O e raio r : c(o, r), assim, c(o, r) = {p α/d(p, O) r}. OBSERVAÇÃO O círculo c(o, r) é a união da circunferência λ(o, r) com o seu interior. ELEMENTOS DO CÍRCULO c(o, r): Setor circular - Segmento circular - Semicírculo Posições relativas entre duas circunferências Sejam λ 1 (O 1, r 1 ) e λ 2 (O 2, r 2 ) duas circunferências, com r 1 > r 2 e d = d(o 1, O 2 ). Podemos ter, 1. λ 2 λ 1 não tangentes, então d < r 1 r 2 ; 2. λ 2 λ 1 tangentes, então d = r 1 r 2 ; 3. λ 2 e λ 1 tangentes externas, então d = r 1 + r 2 ; 4. λ 2 e λ 1 secantes, então r 1 r 2 < d < r 1 + r 2 ; 5. λ 2 externa a λ 1, então d > r 1 + r 2. 34

45 8.3 Posições relativas entre uma reta e uma circunferência 1. t tangente a λ(o, r), então d(o, t) = r; 2. s secante a λ(o, r), então d(o, s) < r; 3. l exterior a λ(o, r), então d(o, l) > r. PROPRIEDADES DA RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA Seja s uma reta secante à circunferência λ(o, r), não passando por O, com s λ = {A, B}. Então, temos (a) Se M é ponto médio da corda AB, então OM s. (b) Se l é uma reta perpendicular à reta s, passando por O e P s l, então P é ponto médio de AB. PROPRIEDADES DA RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA 1. Toda reta perpendicular a um raio na sua extremidade da circunferência é tangente à circunferência. 35

46 2. Seja t uma reta tangente à circunferência λ(o, r) no ponto T. Então, OT t. PROPOSIÇÃO Se de um ponto P conduzirmos os segmentos P A e P B tangentes a circunferência λ(o, r), com A, B λ, então P A P B. 8.4 Quadriláteros circunscritíveis DEFINIÇÃO Um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência se seus quatro lados são tangentes à circunferência. PROPOSIÇÃO Um quadrilátero convexo ABCD é circunscrito a uma circunferência λ se, e somente se, AB + CD = AD + BC. 36

47 8.5 Exercícios 1. Determine os raios das circunferências centradas em A, B e C, sendo m(ab) = 12, m(bc) = 13 e m(ac) = 17. Capítulo 10 do livro texto volume 9: 337, 339, 342, 343, 353, 357, 358, 361, 364, 370,

48 Capítulo 9 Ângulos na circunferência 9.1 Congruência DEFINIÇÃO Duas circunferências são congruentes se possuem o mesmo raio. DEFINIÇÃO Dois arcos são congruentes se são arcos de circunferências de mesmo raio e possuem o mesmo ângulo de abertura. 9.2 Ângulo central DEFINIÇÃO Ângulo central relativo a circunferência λ(o, r) é o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência. Todo ângulo central determina na circunferência um arco AB correspondente, sendo A e B os pontos onde o ângulo intercepta a circunferência. Na gura abaixo α = AÔB é um ângulo central com arco AB correspondente. DEFINIÇÃO A medida de uma arco de circunferência é igual a medida do ângulo central correspondente. 9.3 Ângulo inscrito DEFINIÇÃO Ângulo inscrito na circunferência λ(o, r) é um ângulo que tem o vértice na circunferência e os lados são secantes a circunferência. Na gura abaixo α é ângulo inscrito com ângulo AÔB como ângulo central correspondente. 38

49 PROPOSIÇÃO A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do ângulo central correspondente. PROPOSIÇÃO Todo ângulo reto é inscritível numa semicircunferência. Reciprocamente, todo ângulo inscrito numa semicircunferência, com os lados passando pelas extremidades da semicircunferência é um ângulo reto. 9.4 Quadrilátero inscritível DEFINIÇÃO Um quadrilátero que tem os vértices numa circunferência é um quadrilátero inscrito nesta circunferência. 39

50 PROPOSIÇÃO Um quadrilátero convexo é inscritível numa circunferência se, e somente se, os ângulos opostos são suplementares. 9.5 Ângulo de segmento DEFINIÇÃO Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito relativo a uma circunferência é um ângulo que tem o vértice na circunferência, um lado secante e o outro lado tangente à circunferência. Na gura abaixo α é o ângulo do segmento circular AB. PROPOSIÇÃO A medida do ângulo de segmento é metade da medida do ângulo central correspondente. 40

51 9.6 Ângulo excêntrico DEFINIÇÃO Se duas cordas se interceptam num ponto no interior a uma circunferência, distinto do centro, então qualquer um dos ângulos que elas formam é chamado ângulo excêntrico interior. Na gura abaixo β e θ são ângulos excêntricos interiores. DEFINIÇÃO Se com origem num ponto exterior a uma circunferência traçarmos duas semirretas, ambas secantes à circunferência, ou ambas tangentes, ou uma secante e a outra tangente, estas semirretas formam um ângulo que é chamado ângulo excêntrico exterior. Nas guras abaixo α é sempre um ângulo excêntrico exterior. 9.7 Exercícios 1. Demonstre que: se duas cordas de uma mesma circunferência são congruentes, então os arcos correspondentes às cordas são congruentes. 2. Seja AB o diâmetro de uma circunferência e C um ponto sobre a circunferência tal que a medida do arco BC seja igual a 32. Calcule a medida dos ângulos A ˆBC e AĈB. 3. Prove que um trapézio inscrito em uma circunferência é isósceles. 4. Determine a medida de um ângulo excêntrico interior, em relação à medida dos arcos que ele compreende. 5. Determine a medida de um ângulo excêntrico exterior, em relação à medida dos arcos que ele compreende. 6. Determine a medida do ângulo α representado abaixo, sabendo que CD = R, sendo R o raio da circunferência. Capítulo 11 do livro texto volume 9: 378, 382, 383, 385, 386, 389, 390, 392, 393, 394, 395,

52 Capítulo 10 Teorema de Tales e Semelhança de triângulos 10.1 Feixe de retas paralelas DEFINIÇÃO Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas coplanares paralelas entre si. DEFINIÇÃO Reta transversal a um feixe de retas paralelas é uma reta concorrente com as retas do feixe. DEFINIÇÃO Pontos correspondentes de duas retas transversais a um feixe de retas paralelas são os pontos destas transversais que estão numa mesma reta do feixe. DEFINIÇÃO Segmentos correspondentes de duas retas transversais são os segmentos cujas extremidades são os respectivos pontos correspondentes. Na gura abaixo são segmentos correspondentes AB e EF ; BC e F G; CD e GH e ainda, AC e EG entre outros. TEOREMA (Teorema de Tales) Se duas retas são transversais de um feixe de para-lelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. Na gura acima temos, AB BC = EF F G ; BC CD = F G GH ; AB CD = EF GH ; entre outros. 42

53 EXEMPLO Determine o valor das incógnitas nas guras abaixo. EXEMPLO Na gura abaixo, onde r//s//t, temos que m(ac) + m(ae) = 20 cm; m(ad) m(ab) = 5 3 e as medidas dos segmentos AB e BC são proporcionais a 1 e 3, respectivamente. Calcule as medidas de AB, BC, AD, e DE. 43

54 10.2 Teorema das bissetrizes TEOREMA (Teorema da bissetriz interna) Considere o triângulo ABC e seja AD bissetriz interna do ângulo A. Então, BD AB = CD, como na gura. AC TEOREMA (Teorema da bissetriz externa) Considere o triângulo ABC e seja AD bissetriz externa do ângulo A. Se AD intercepta BC no ponto D, então, BD AB = CD AC, como na gura. 44

55 EXEMPLO Considere o triângulo ABC na gura abaixo. Sendo AS bissetriz de  AD bissetriz externa de Â. Determine CD, dados BS = 8u.c. e SC = 6u.c.. e 10.3 Semelhança de triângulos DEFINIÇÃO Dois triângulos são semelhantes se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais (dois lados são homólogos se cada um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes). Na gura abaixo, se ABC é semelhante ao EF G, então  Ê; ˆB ˆF ; Ĉ Ĝ k = AB EF = BC F G = AC EG. e Notação: ABC EF G, Se a constante de proporção k for igual a 1 temos que os triângulos são congruentes. TEOREMA (Teorema fundamental) Se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro. 45

56 10.4 Casos de semelhança de triângulos 1. Primeiro caso (Ângulo-Ângulo): Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes. 2. Segundo caso (Lado-Ângulo-Lado): Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes. 3. Terceiro caso (Lado-Lado-Lado): Se dois triângulos tem os lados homólogos proporcionais, então os triângulos são semelhantes Exercícios 1. Considere o triângulo ABC representado na gura abaixo. Calcule o perímetro do quadrilátero EF CG sabendo que: a circunferência inscrita é tangente ao lado AB no ponto E; AB = 12u.c., AC = 8u.c., BC = 16u.c. e os lados EG e EF são paralelos a BC e AC, respectivamente. 46

57 2. Sabendo que a razão de semelhança entre dois triângulos semelhante é k, Determine: (a) a razão de semelhança entre os perímetros destes triângulos; (b) a razão de semelhança entre as alturas homólogas destes triângulos; (c) a razão de semelhança entre os raios dos círculos inscritos nestes triângulos; 3. Na gura abaixo considere AB = 8 u.c., BC = 12 u.c. e BF DE um losango inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado deste losango. 4. Na gura abaixo o triângulo ABC é equilátero, as três retas ligando os lados AB a AC são paralelas a BC e dividem o lado AB em quatro segmentos congruentes. Se DG + EH + F I = 18 u.c., determine o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC. 5. Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC, conforme a gura abaixo. Seja AE um diâmetro dessa circunferência e BD a altura do triângulo ABC relativa ao vértice B. (a) Mostre que os triângulos ABE e BCD são semelhantes. (b) Sendo AE = 15 u.c., AB = 5 u.c. e BC = 7 u.c., calcule a altura BD. Capítulo 12 do livro texto volume 9: 416, 418, 421, 422, 424, 430, 435, 441, 443, 444 Capítulo 13 do livro texto volume 9: 450, 455, 458, 461, 471, 472, 478,

58 Capítulo 11 Relações métricas nos triângulos 11.1 Triângulos retângulos Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto em A e AD altura deste triângulo relativa ao lado BC, conforme a gura abaixo. Elementos: BC - AB - AC - AD - BD - CD - PROPOSIÇÃO Na gura acima temos que DBA ABC DAC. 48

59 TEOREMA (Teorema de Pitágoras) A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. TEOREMA (Recíproca do teorema de Pitágoras) Se num triângulo o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, então o triângulo é retângulo Aplicações do teorema de Pitágoras 1. Medida da diagonal de um quadrado de lado a : 2. Medida da altura de um triângulo equilátero de lado a : 3. Seja α a medida de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo. Dena cateto oposto seno de α por: sin α = hipotenusa cateto adjacente cosseno de α por: cos α = hipotenusa cateto oposto tangente de α por: tan α = cateto adjacente Com isto temos, 49

60 do quadrado: sin(45 ) = cos(45 ) = tan(45 ) = do triângulo equilátero: sin(30 ) = cos(30 ) = tan(30 ) = sin(60 ) = cos(60 ) = tan(60 ) = EXEMPLO No triângulo ABC da gura abaixo tem-se que: AH é altura; DE//AB; DF //AC; m(ĉ) = 30 ; AC = 6u.c.; AB = 5u.c. e DH = 3 u.c.. Determine o 2 perímetro do triângulo DEF. 50

61 11.3 Triângulos quaisquer TEOREMA (Lei dos cossenos) Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois menos duas vezes o produtos destes dois lados pelo cosseno do ângulo por eles formado. TEOREMA (Lei dos senos) Os lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos ângulos opostos e a constante de proporcionalidade é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo. 51

62 11.4 Exercícios 1. Na Figura 11.1, determine a medida do ângulo Ĉ. 2. Na Figura 11.2, o triângulo ABC é equilátero de lado 4 u.c., M é o ponto médio do lado AC e P B = 1 u.c.. Calcule o perímetro do triângulo AP M. 3. Na Figura 11.3, Â = 45 e BC = 4 2 u.c., determine o determine o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC. 4. Na Figura 11.4, AB é igual ao raio do círculo de centro O, BC = 26u.c. e BH é perpendicular a AC. Calcule HC. Figura 11.1: Ex.2 Figura 11.2: Ex. 3 Figura 11.3: Ex. 4 Figura 11.4: Ex. 5 Capítulo 14 do livro texto volume 9: 509, 512, 516, 523, 527, 530, 534, 538, 556, 576, 598, 617, 618 Capítulo 15 do livro texto volume 9: 626, 627, 629, 632, 637, 640, 641, 653, 655, 656,

63 Capítulo 12 Polígonos regulares 12.1 Conceitos e propriedades DEFINIÇÃO Um polígono convexo é regular se tem todos os lados congruentes e todos os seus ângulos internos congruentes ou seja, um polígono é regular se é equilátero e equiângulo. PROPRIEDADE 1. Dividindo-se uma circunferência λ(o, r) em n (n 3) arcos congruentes, temos: (a) todas as cordas determinadas por dois pontos de divisão consecutivos, reunidas, formam um polígono regular de n lados inscrito em λ(o, r); (b) as tangentes a λ(o, r) traçadas pelos pontos de divisão determinam um polígono regular de n lados circunscrito a esta circunferência. PROPRIEDADE 2. Dado um polígono convexo regular P de n lados (n 3), temos: (a) P é inscritível numa circunferência, isto é, existe uma única circunferência que passa pelos seus vértices. (b) P é circunscritível a uma circunferência, isto é, existe uma única circunferência inscrita em P. 53

64 ELEMENTOS NOTÁVEIS DE UM POLÍGONO REGULAR. 1. Centro: 2. Ângulo cêntrico: 3. Apótema: 12.2 Medida do lado e do apótema de polígonos regulares Indicaremos por l n a medida do lado e por a n a medida do apótema do polígono regular de n lados. EXEMPLO Calcule o lado e o apótema do polígono regular abaixo conhecendo o raio R da circunferência circunscrita. 1. Quadrado: 54

65 2. Triângulo equilátero: 3. Hexágono regular: 4. Octógono regular: 5. Dodecágono regular: 55

66 EXEMPLO Calcule o apótema de um polígono regular dados R e l n. EXEMPLO Calcule l 2n dados R e l n. 56

67 12.3 Exercícios 1. Determine a razão entre os raios de dois círculos, sabendo que o primeiro está circunscrito a um triângulo regular e no segundo está inscrito um quadrilátero regular. Além disso, o perímetro do triângulo e do quadrilátero é o mesmo. 2. Na gura abaixo temos inscritos na circunferência, de raio 4u.c., um polígono de 5 lados e um de 10 lados e circunscrito à circunferência um de 10 lados. Sendo AB = u.c. o lado do polígono de 5 lados, determine sem usar senos e cossenos de ângulos que não sejam os conhecidos: (a) cos 72 ; (b) o apótema do polígono de 5 lados inscrito na circunferência; (c) o lado (BP) do polígono de 10 lados inscrito na circunferência; (d) o apótema do polígono de 10 lados inscrito na circunferência; (e) o lado (UV ) do polígono de 10 lados circunscrito à circunferência; (f) a aproximação para π usando o polígono de 10 inscrito e o de 10 lados circunscrito a circunferência. Capítulo 16 do livro texto volume 9: 688, 700, 701, 703, 704, 705, 711, 717, 718, 719, 721, 722,

68 Capítulo 13 Comprimento da circunferência 13.1 Conceitos e propriedades Seja λ(o, R) uma circunferência e considere o polígono regular A 1 B 1 C 1 D 1 N 1 de n lados inscrito em λ e ABCD N o polígono regular de n lados circunscrito a λ. Na gura acima temos: OP = R = A n - apótema do polígono circunscrito; OP 1 = r = a n - apótema do polígono inscrito; AB = L n - lado do polígono circunscrito; A 1 B 1 = l n - lado do polígono inscrito; Note que os triângulos AOB e A 1 OB 1 são semelhantes. 58

69 Logo, AB A 1 B 1 = OP OP 1 L n l n = R r n L n n l n = R r P n p n = R r, onde P n é o perímetro do polígono circunscrito e p n é o perímetro do polígono inscrito. Como R > r, segue que, P n > p n. Além disso, conforme aumenta o número de lados do polígono, temos que p n aumenta, enquanto P n diminui. EXEMPLO Verique que p 3 < p 4 < p 6 < p 12 < P 12 < P 6 < P 4 < P 3, sendo p n o perímetro do polígono regular de n lados inscrito numa circunferência de raio R e P n o perímetro do polígono regular de n lados circunscrito numa circunferência de raio R. 59

70 DEFINIÇÃO Dada uma circunferência λ(o, R), o segmento maior que o perímetro de todos os polígonos convexos inscritos e menor que o perímetro de todos os polígonos convexos circunscritos é chamado segmento reticante da circunferência ou perímetro do círculo denido pela circunferência. DEFINIÇÃO O comprimento do segmento reticante da circunferência ou do perímetro do círculo é chamado comprimento da circunferência. Notação: C. OBSERVAÇÃO Os perímetros dos polígonos inscritos e circunscritos em λ aproximam o comprimento da circunferência. PROPOSIÇÃO A razão entre o perímetro do círculo e seu diâmetro é um número constante representado por π, isto é, C 2R = π. DEMONSTRAÇÃO: Considere duas circunferências λ 1 (O 1, R 1 ) e λ 2 (O 2, R 2 ) com comprimento C 1 e C 2, respectivamente. Sejam p 1 e P 1 os perímetros de um polígono regular de n lados inscrito e circunscrito em λ 1 (O 1, R 1 ); p 2 e P 2 os perímetros de um polígono regular de n lados inscrito e circunscrito em λ 2 (O 2, R 2 ). Temos que p 1 < C 1 < P 1 e p 2 < C 2 < P 2, donde p 1 < C 1 < P 1 p e 2 < C 2 < P 2. 2R 1 2R 1 2R 1 2R 2 2R 2 2R 2 Além disso, por semelhança de triângulos temos que Logo, Portanto, p 1 p 2 = R 1 R 2 = P 1 P 2. p 2 2R 2 < C 1 2R 1 < P 2 2R 2. C 1 = C 2, 2R 1 2R 2 ou seja, a razão entre o perímetro do círculo e seu diâmetro é um número constante. EXEMPLO Use o perímetro de polígonos, de n lados, inscritos e circunscritos a uma circunferência de raio R para aproximar o valor de π. Considere n = 3, 4, 6,

71 13.2 Comprimento de um arco de circunferência O comprimento de um arco de circunferência l é proporcional à sua medida α. Para α em graus: Para α em radianos: OBSERVAÇÃO Chama-se radiano todo arco de circunferência cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência que o contém. Assim, numa circunferência há 2π radianos e consequentemente 13.3 Exercícios 1 rad = 360 2π = 180 π. 1. Uma pista circular está limitada por duas circunferências concêntricas cujos comprimentos valem, respectivamente, 3km e 2,4km. Determine a largura da pista. 2. Determine o perímetro da região sombreada sendo ABCD um quadrado de lado 48u.c. e os arcos são centrados em A, B, C e D. D C A B 3. Calcule o comprimento da circunferência inscrita no trapézio retângulo ABCD com bases m(ad) = 10 e m(bc) = 15. Capítulo 17 do livro texto volume 9: , , 762,

72 Capítulo 14 Áreas de superfícies planas 14.1 Equivalência plana DEFINIÇÃO Dois polígonos são equivalentes se podem ser decompostos em igual número de polígonos dois a dois congruentes entre si. Notação: P 1 P 2. EXEMPLO Um retângulo de dimensões b e h e um paralelogramo com um lado medindo b e altura relativa a este lado medindo h são equivalentes. Notação: R(b, h) P (b, h) Área DEFINIÇÃO Área de uma superfície plana é um número real positivo associado a superfície de forma que: (i) superfícies equivalentes possuem a mesma área; (ii) a uma soma de superfícies está associada uma área que é a soma das áreas das superfícies parcelas; (iii) se uma superfície R 1 está contida em uma outra R 2, então a área de R 1 é menor ou igual que a área de R 2. UNIDADE DE MEDIDA DE ÁREA. Considere o quadrado Q(1, 1) de lado 1u.c.. Este quadrado é a unidade de medida de área, isto é, 1 u.a. = Q(1, 1). 62

73 Retângulo R(b, h) : A = b h u.a. ÁREAS DE POLÍGONOS Quadrado Q(a, a) : A = a 2 u.a. Paralelogramo P (b, h) : A = b h u.a. Triângulo T (b, h) : A = b h 2 u.a. Triângulo Equilátero de lado a A = a2 3 4 u.a. Trapézio T ra (b 1, b 2, h) : A = (b 1 + b 2 ) h 2 u.a. Losango L(d 1, d 2 ) sendo d 1 e d 2 as medidas de suas diagonais: A = d 1 d 2 2 u.a. Polígono regular com medidas: n = número de lados a = medida do apótema l = medida do lado p = semiperímetro, então A = p a u.a. 63

74 ÁREA DO CÍRCULO E DE SUAS PARTES Círculo de raio R : A = semiperímetro apótema = 2πR 2 R = πr 2 u.a. setor circular de abertura α : A = παr2 360 u.a. Segmento circular: A = (área do setor) - (área do triângulo). RAZÃO ENTRE ÁREAS Razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes. Suponha que ABC DEF com AB DE = AC DF = BC = k, então EF A ABC A DEF = k 2. Razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes. Dizemos que dois polígonos são semelhantes se podem ser decompostos em triângulos semelhantes, consequentemente seus ângulos são ordenadamente congruentes e seus lados homólogos proporcionais. Se a proporção de semelhança entre dois polígonos for k, então a razão entre as suas áreas será k 2. 64

75 14.3 Exercícios 1. A gura 1 representa um determinado encaixe no plano de 7 ladrilhos poligonais regulares (1 hexágono, 2 triângulos, 4 quadrados), sem sobreposições e cortes. Sabe-se que o lado do hexágono mede 1u.c.. (a) Determine a área dos ladrilhos que compõe a gura 1. (b) Classique (quanto a lados e ângulos) e determine a área dos 6 ladrilhos triangulares colocados perfeitamente nos espaços da gura 1, como indicado na gura Determine a área de um octógono regular de lado medindo 4 u.c.. 3. Determine a área do triângulo abaixo. 4. Um agrimensor desejava encontrar a área de um lote de terra ABCDE, cujo diagrama está abaixo. Para determinar a área ele traçou uma reta passando por E na direção norte-sul e as retas passando por A, B, C e D na direção leste-oeste e descobriu que AO = 37m, BR = 47m, CQ = 42m, DP = 28m, P Q = 13m, QE = 7m, ER = 19m e RO = 18m. Com esses dados, ele encontrou a área que queria. Calcule-a, agora, você. Norte Oeste Leste Sul 65

76 5. Prove que a área de um triângulo de lados medindo a, b e c é dada por A = p(p a)(p b)(p c), sendo p o semiperímetro. Dica: xe um dos lados como base e determine a altura relativa a este lado em função da medida dos lados e do semiperímetro e use a lei dos cossenos. 6. Considere um hexágono regular de apótema 5 3 u.c. inscrito numa circunferência de raio R. Determine a área interior a circunferência e exterior ao hexágono. 7. O perímetro do triângulo equilátero ABC é 12 cm, onde A, B e C são os centros das circunferências ilustradas na gura abaixo. Calcule a área da região hachurada, delimitada pelas circunferências. 8. A gura representa três semicírculos, mutuamente tangentes dois a dois, de diâmetros AD, AC e CD. Sendo CB perpendicular a AD, e sabendo-se que AB = 4 e DB = 3, determine a área da região sombreada na gura. 9. Determine a área sombreada na gura abaixo sabendo que AC é diâmetro de uma circunferência com centro em O, B é um ponto desta circunferência, m(côb) =30 e OA = 2 cm. Capítulo 19 do livro texto volume 9: 795, 799, 800, 807, 813, 819, 820, 824, 832, 840, 846, 858, 859, 903, 904, 906, 913,

77 Capítulo 15 Poliedros convexos 15.1 Superfície poliédrica e poliedros DEFINIÇÃO Superfície Poliédrica limitada convexa é um número nito de polígonos planos e convexos, tais que (i) dois polígonos não estão num mesmo plano; (ii) cada lado de cada polígono não está em mais que dois polígonos; (iii) havendo lados de polígonos que estão em apenas um polígono eles devem formar uma única poligonal fechada, plana ou não, chamada contorno; (iv) o plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semiespaço (condição de convexidade). As superfícies poliédricas limitadas convexas que tem contorno são chamadas abertas. As que não possuem contorno são chamadas fechadas. OBSERVAÇÕES Uma superfície poliédrica limitada convexa aberta ou fechada não é uma região convexa EXEMPLO

78 ELEMENTOS. Faces - Arestas - Vértices - Ângulos das faces - Ângulos poliédricos - DEFINIÇÃO Considere um nito n (n 4) de polígono convexos tais que: (i) dois polígonos não estão num mesmo plano; (ii) cada lado de cada polígono é comum a dois e somente dois polígonos; (iii) o plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semiespaço (condição de convexidade). Nestas condições cam determinados n semiespaços, cada um tendo origem no plano do polígono e contendo os demais. A interseção destes semiespaços é chamado poliedro convexo. OBSERVAÇÃO Um poliedro possui faces, arestas e vértices; A união das faces é a superfície do poliedro; Um poliedro convexo é uma região convexa. 68

79 TEOREMA (Relação de Euler) Para todo poliedro convexo vale a relação V A + F = 2, sendo V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces do poliedro. 69

80 DEFINIÇÃO Os poliedros para os quais vale a relação de Euler são chamados Poliedros eulerianos. OBSERVAÇÃO odo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo. EXEMPLO Determine o número de arestas e faces dos poliedros do Exemplo Poliedros de Platão DEFINIÇÃO Um poliedro é chamado Poliedro de Platão se satisfaz as seguintes condições: (i) todas as faces tem o mesmo número de arestas; (ii) todos os ângulos poliédricos tem o mesmo número de arestas; (iii) vale a relação de Euler (V + F A = 2). TEOREMA Existem cinco, e somente cinco, classes de poliedros de Platão. 70

81 DEFINIÇÃO Um poliedro convexo é regular quando: (i) suas faces são polígonos regulares; (ii) seus ângulos poliédricos são congruentes. TEOREMA Existem cinco, e somente cinco, tipos de poliedros de regulares. OBSERVAÇÃO Todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é regular Exercícios 1. Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem três faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais. 2. Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais (7 lados). Quantas faces tem de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 64 ângulos retos? 3. Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. Sabe-se que o número de faces triangulares excede o que faces pentagonais em duas unidades. Calcule o número de faces de cada tipo sabendo que o poliedro tem 7 vértices. 4. Da superfície de um poliedro regular de faces pentagonais tiram-se as três faces adjacentes a um vértice comum. Calcule o número de arestas, faces e vértices da superfície poliédrica que resta. 5. Um poliedro convexo possui 21 faces, 1 ângulo pentaédrico, 10 ângulos tetraédricos e os demais ângulos triédricos. (a) Calcule o número de vértices e de arestas deste poliedro. (b) Sabendo que o poliedro possui apenas faces triangulares, quadrangulares e pentagonais, e que o número de faces triangulares é igual ao número de faces quadrangulares. Determine o número de faces de cada tipo. Capítulo 7 do livro texto volume 10: 182, 184, 185, 186, 191, 192, 194, 196, 201,

82 Capítulo 16 Prismas 16.1 Denições e elementos DEFINIÇÃO Considere um polígono convexo de n lados (n 3) contido num plano α e um segmento de reta P Q cuja reta suporta intercepta α. Prima ou prisma convexo limitado é a união de todos os segmentos congruentes e paralelos a P Q com uma extremidade nos pontos do polígono. ELEMENTOS. Duas bases congruentes - n faces laterais - 2n arestas das bases - n arestas laterais - 2n vértices - 2n ângulos triedros - OBSERVAÇÃO Nos prismas vale a relação de Euler. DEFINIÇÃO A altura de um prisma é a distância h entre os planos das bases. 72

83 DEFINIÇÃO Seção de um prisma é a interseção do prisma com um plano que intercepta todas suas arestas laterais. Uma seção de um prisma é um polígono com o mesmo número de lados que as bases do prisma e com vértices em cada aresta lateral do prisma. OBSERVAÇÕES Seção reta ou seção normal é uma seção cujo plano é perpendicular às arestas laterais. DEFINIÇÃO Superfície lateral de um prisma é a união das faces laterais. A área desta superfície é chamada área lateral do prisma e indicada por A l. DEFINIÇÃO Superfície total de um prisma é a união da superfície lateral e das bases deste prisma. A área desta superfície é chamada área total do prisma e indicada por A t. CLASSIFICAÇÃO DOS PRISMAS. Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Suas faces laterais são retângulos e sua altura é igual ao comprimento das arestas laterais. Prisma oblíquo é aquele cujas arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. Prisma regular é um prisma reto cujas bases são polígonos regulares. NATUREZA DOS PRISMAS. Um prisma será triangular, quadrangular, pentagonal etc, conforme a base for um triângulo, quadrilátero, pentágono etc Paralelepípedos e romboedros Paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos. Sua superfície total é composta por seis paralelogramos. Paralelepípedo reto é um prisma reto cujas bases são paralelogramos. Sua superfície total é composta por dois parale-logramos e quatro retângulos. Paralelepípedo reto retângulo ou paralelepípedo retângulo ou ortoedro é um prisma reto cujas bases são retângulos. Sua superfície total é composta por seis retângulos. Cubo é paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes. Romboedro é um paralelepípedo que possui as doze arestas congruentes entre si. Sua superfície total é composta por seis losangos. Romboedro reto é um paralelepípedo reto que possui as doze arestas congruentes entre si. Sua superfície total é composta por quatro quadrados e dois losangos. Romboedro reto-retângulo ou cubo é um romboedro reto cujas bases são quadrados. Sua superfície total é composta por seis quadrados. 73

84 16.3 Volume de um sólido DEFINIÇÃO Volume de um sólido é um número real positivo associado ao sólido de forma que (i) sólidos congruentes tem volumes iguais; (ii) se um sólido S é a união de dois sólidos S 1 e S 2 que não tem pontos interiores em comum então o volume de S é a soma dos volumes de S 1 e S 2. UNIDADE DE MEDIDA. A unidade de medida de volume é o cubo de aresta 1u.c. Assim, o volume desse cubo é 1u.v. (1 unidade de volume). Se a unidade de comprimento for cm, então seu volume será 1cm 3. DEFINIÇÃO Dois sólidos são equivalentes se tem volumes iguais na mesma unidade de volume Volume de um paralelepípedo retângulo Considere um paralelepípedo retângulo com dimensões a, b e c. Comparando este paralelepípedo com o cubo de aresta 1, temos que este cubo encaixa a b c vezes no paralelepípedo, ou seja, o volume deste paralelepípedo é V = abc. OBSERVAÇÃO Se considerarmos no paralelepípedo acima como base a face de dimensões a e b e como altura a dimensão c podemos escrever o volume de um paralelepípedo retângulo como V = A b h, ou seja, o volume é o produto a área da base pela altura do paralelepípedo. OBSERVAÇÃO O volume de um cubo de aresta medindo a é V = a Princípio de Cavalieri Considere um número nito de chapas retangulares (paralelepípedos retângulos) de mesmas dimensões e, consequentemente, de mesmo volume. Considere a formação de dois sólidos diferentes, A e B, com esta coleção de chapas, como na gura abaixo. 74

85 O Volume ocupado por estas chapas nos sólidos A e B é o mesmo. Se estes sólidos são colocados sobre um mesmo plano α e situados num mesmo semiespaço dos determinados por α, qualquer plano β secante aos sólidos A e B e paralelo a α determina em A e B superfícies de mesma área (superfícies equivalentes). A mesma ideia pode ser estendida para duas pilhas com o mesmo número de moedas congruentes. O fato que acabamos de caracterizar intuitivamente é formalizado pelo princípio de Cavalieri ou postulado de Cavalieri (Francesco Bonaventura Cavalieri, ) que segue: "Dois sólidos que tem a mesma altura e, sempre que seccionados por um mesmo plano geram áreas iguais, tem o mesmo volume." 16.6 Volume de um prisma A 1 = A 2 V S1 = V S2. Consideremos um prisma P 1 com altura h e área da base B 1 = A e um paralelepípedo retângulo P 2 com altura h e área da base B 2 = A (o prisma e o paralelepípedo tem alturas congruentes e bases equivalentes). Se posicionarmos as bases do prisma e do paralelepípedo em um mesmo plano α de modo a deixá-los num mesmo semiespaço, determinado por este plano, qualquer plano β, paralelo a α, que seccionar P 1 também secciona P 2 e as seções (B 1 e B 2, respectivamente) tem áreas iguais, pois são congruentes às respectivas bases. Então, pelo princípio de Cavalieri o prisma P 1 e o paralelepípedo P 2 tem o mesmo volume, ou seja, V = A h = área da base altura. 75

86 16.7 Exercícios 1. Determine a natureza do prisma cuja soma dos ângulos das faces é 72 retos. 2. O apótema da base de um prisma triangular regular mede 3cm e a área lateral é 72cm 2. Determine a altura deste prisma. 3. Determine a área de superfície total de um cubo com aresta medindo au.c. 4. Determine o número de diagonais de um prisma cuja base é um polígono convexo de n lados. 5. Mostre que as diagonais de um paralelepípedo retângulo são congruentes. 6. Determine a medida da diagonal de um cubo com aresta medindo au.c. 7. Determine a área de superfície total de um paralelepípedo retângulo com dimensões a, b e c. 8. Determine a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo com dimensões a, b e c. 9. Determine a área total de um prisma triangular regular cuja base é um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa medindo 6cm e altura do prisma é 10 cm. 10. Uma barra de chocolate tem a forma de um prisma reto de 12cm de altura. A base tem a forma de um trapézio isósceles na qual os lados paralelos medem 2,5cm e 1,5cm e os lados não paralelos medem, cada um, 2cm. Determine a quantidade necessária de papel para embrulhar esta barra e a quantidade de chocolate. 11. Um tanque em forma de paralelepípedo retângulo cuja base tem lados medindo 80u.c. e 120u.c. e está parcialmente cheio de água. Um objeto maciço, de formato indeterminado, ao ser mergulhado completamente no tanque, faz o nível da água subir 7,5u.c.. Determine o volume desse objeto. 12. As dimensões a, b e c de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 2, 4 e 7, sabendo que a área total desse sólido é 900u.a.. Determine: (a) as dimensões do paralelepípedo; (b) o volume do paralelepípedo; 76

87 (c) o comprimento das diagonais. 13. Considere um recipiente sem tampa, na forma de um prisma reto com base quadrada, com altura igual a 15 u.c. e aresta da base igual a 10 u.c.. Esse recipiente, que está com 4 de seu volume preenchidos com água, é inclinado numa posição em que uma 5 inclinação adicional fará a água derramar. Com base nestes dados e considerando a gura abaixo, em que θ é o ângulo de inclinação do prisma em relação ao plano horizontal, determine AB e tg θ. 14. Considere um prisma hexagonal regular e um prisma triangular regular cujas bases estão como na gura abaixo. Determine o volume interior ao prisma hexagonal e exterior ao prisma triangular sabendo que o apótema do prisma hexagonal mede a = 3 3 u.c. e a altura dos dois prismas é igual ao perímetro da base do prisma triangular. 15. Determine o volume de um paralelepípedo oblíquo cuja base é um polígono equivalente a uma circunferência de raio 3 cm, a aresta lateral mede 6 cm e o ângulo entre a aresta lateral e o plano da base é 60. Capítulo 8 do livro texto volume 10: 213, 217, 218, 220, 221, 223, 229, 230, 233, 235, 236, 238, 241, 243,

88 Capítulo 17 Cilindro 17.1 Denições e elementos DEFINIÇÃO Superfície cilíndrica é toda superfície gerada por uma reta geratriz, paralela a uma reta xa r, que se move sobre uma curva plana chamada diretriz. EXEMPLO São superfícies cilíndricas: Se a curva diretriz é uma reta, então a superfície cilíndrica gerada é um plano; Se a curva diretriz é um polígono fechado contido num plano que é concorrente com a reta geratriz, então a superfície cilíndrica é uma superfície prismática ilimitada; Se a curva diretriz é uma circunferência que está contida num plano que é concorrente com a reta geratriz, então a superfície cilíndrica gerada é uma superfície cilíndrica circular. E, ainda, se o plano que contém a circunferência é perpendicular a reta geratriz, temos uma superfície cilíndrica circular reta; etc. DEFINIÇÃO Superfície cilíndrica de rotação ou revolução é a superfície gerada pela rotação de uma reta g (geratriz) em torno de uma reta e (eixo) xa, sendo g paralela e distinta de e. DEFINIÇÃO Considere um círculo de centro O e raio r, situado num plano α, e um segmento de reta P Q, não nulo, não paralelo e não contido em α. Chama-se cilindro circular ou (apenas) cilindro a união dos segmentos congruentes e paralelos a P Q, com extremidade nos pontos do círculo e situados num mesmo semiespaço dos determinados por α. 78

89 ELEMENTOS. Bases - dois círculos congruentes c 1 (O, r) e c 2 (O, r); Geratrizes - segmentos com uma extremidade em c 1 e a outra no ponto correspondente em c 2 ; Eixo - segmento OO ; Raio - raio r dos círculos das bases Altura - distância entre os planos das bases; Superfície lateral - união de todas geratrizes. A área dessa superfície é chamada área lateral e indicada por A l ; Superfície total - união da superfície lateral com os dois círculos da base. A área dessa superfície é chamada área total e indicada por A t. CLASSIFICAÇÃO. Cilindro circular oblíquo se as geratrizes são oblíquas aos planos das bases; Cilindro circular reto se as geratrizes são perpendiculares aos planos das bases; OBSERVAÇÕES. 1. O cilindro circular reto também é chamado cilindro de revolução pois é gerado pela rotação de um retângulo em torno de um eixo que contém um de seus lados. 2. A superfície lateral de um cilindro circular reto é um retângulo de dimensões 2πr h. DEFINIÇÃO Seção meridiana de um cilindro é a interseção do cilindro com um plano que contém o segmento OO. OBSERVAÇÕES. 1. A seção meridiana de um cilindro circular reto é um retângulo de dimensões 2rπ h; 2. A seção meridiana de um cilindro circular oblíquo é um paralelogramo de lados 2r g; DEFINIÇÃO Cilindro equilátero é um cilindro cuja seção meridiana é um quadrado. Logo, g = h = 2r. 79

90 17.2 Área lateral e total A área lateral de um cilindro circular reto é dada por A l = 2πrh, pois sua superfície lateral é um retângulo de dimensões 2rπ h. A área total de um cilindro circular reto é dada por 17.3 Volume do cilindro A t = A l + 2A b = 2πrh + 2πr 2. Consideremos um cilindro de altura h e área da base B 1 = A e um prisma de altura h e área da base B 2 = A (o cilindro e o prisma tem alturas congruentes e bases equivalentes). Suponha que os dois sólidos tem as bases num mesmo plano α e estão num dos semiespaços determinados por α. Qualquer plano β, paralelo a α, que secciona o cilindro também secciona o prisma e as seções tem áreas iguais, pois são congruentes às respectivas bases. Então, pelo princípio de Cavalieri, o cilindro e o prisma tem o mesmo volume, donde 17.4 Exercícios V cilindro = A h = πr 2 h. 1. Determine a área da superfície total de um cilindro equilátero cuja altura é igual a altura de um prisma regular de base quadrada com lado 2u.c. e a diagonal do prisma tem comprimento 4u.c.. 2. Dados dois cilindros com altura 5u.c., a diferença entre seus volumes é igual a 400πu.v. e a diferença entre os raios é igual a 8u.c.. Determine a área de superfície destes cilindros. 3. Determine o raio da base de um cilindro equilátero sabendo que a área lateral excede em 4πu.a. a área da seção meridiana. Capítulo 10 do livro texto volume 10: 496, 505, 507, 509, 512, 516, 518, 522, 528, 553, 569,

91 Capítulo 18 Pirâmide 18.1 Denições e elementos DEFINIÇÃO Considere um polígono convexo de n lados (n 3), ABC MN, situado num plano α. Chamamos pirâmide ou pirâmide convexa à união dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do polígono. ELEMENTOS: base - polígono ABC MN; vértice - ponto V ; n + 1 faces no total; n arestas laterais e n arestas da base; n + 1 vértices; n + 1 ângulos poliédricos; altura h - distância entre o vértice e o plano que contém a base; superfície lateral - união das faces laterais que são n triângulos. A área desta superfície é chamada área lateral da pirâmide e indicada por A l ; 81

92 superfície total - união da superfície lateral e o polígono da base. A área desta superfície é chamada área total da pirâmide e indicada por A t ; OBSERVAÇÃO Toda pirâmide é um poliedro euleriano. NATUREZA DE UMA PIRÂMIDE. Uma pirâmide é triangular, quadrangular, pentagonal etc, se a base for, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, etc. DEFINIÇÃO Pirâmide regular é a pirâmide cuja base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro do polígono da base. OBSERVAÇÃO Numa pirâmide regular as arestas laterais são congruentes e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. DEFINIÇÃO Chame-se apótema da pirâmide (regular) à altura das faces laterais relativas ao lado da base. DEFINIÇÃO Tetraedro é uma pirâmide triangular. Consequentemente, tetraedro regular é um tetraedro que tem seis arestas congruentes entre si, ou seja, é a pirâmide composta por quatro triângulos equiláteros. 82

93 18.2 Volume da pirâmide SEÇÃO PARALELA À BASE DE UM TETRAEDRO. Quando seccionamos um tetraedro por um plano paralelo à base obtemos: (i) As arestas laterais e a altura cam divididas na mesma razão. (ii) A seção e a base são triângulos semelhantes. (iii) A razão entre às áreas da seção e da base é igual ao quadrado da razão de suas distâncias ao vértice 83

94 EQUIVALÊNCIA DE TETRAEDROS. Dois tetraedros de bases de áreas iguais e alturas congruentes tem volumes iguais. DECOMPOSIÇÃO DE UM PRISMA TRIANGULAR. Todo prisma triangular é a soma de três pirâmides triangulares equivalentes entre si. 84

95 VOLUME DO TETRAEDRO. O volume de um tetraedro com área da base A e altura h é um terço da área do prisma triangular com a mesma base e a mesma altura, ou seja, V = A h 3 u.v.. VOLUME DE UMA PIRÂMIDE QUALQUER. Considere uma pirâmide de área da base igual a A e altura h, então seu volume é dado por V = A h 3 u.v Tronco de pirâmide SEÇÃO DE UMA PIRÂMIDE POR UM PLANO PARALELO À BASE. Seccionando uma pirâmide por um plano paralelo à base separamos esta pirâmide em dois sólidos: uma nova pirâmide - sólido que contém o vértice; um tronco de pirâmide (de bases paralelas) - sólido que contém a base da pirâmide original. A nova pirâmide e a pirâmide original tem a mesma natureza, os ângulos ordenadamente congruentes e os elementos lineares (arestas das bases, arestas laterais, alturas etc) são proporcionais. Dizemos que elas são semelhantes. RAZÃO DE SEMELHANÇA. Considere duas pirâmides semelhantes e seja k a razão de semelhança dos segmentos lineares homólogos, isto é, sendo a i A i = l i L i = h H = k, a i e A i as arestas laterais homólogas da pirâmide nova e da original, respectivamente; l i e L i as arestas da base homólogas da pirâmide nova e da original, respectivamente; 85

96 h e H as alturas da pirâmide nova e da original, respectivamente. PROPRIEDADES. (i) A razão entre as áreas das bases é igual a k 2 ; (ii) A razão entre as áreas laterais é igual a k 2 ; (iii) A razão entre as áreas totais é igual a k 2 ; (iv) A razão entre os volumes é igual a k 3. VOLUME DE TRONCO DE PIRÂMIDE (de bases paralelas) Considere um tronco de pirâmide com altura H T e áreas das bases B e b, seu volume é obtido como sendo o volume da pirâmide original menos o volume da pirâmide nova: V T = V O V N = BH 3 bh 3 = B(h + H T ) 3 bh 3 = = (B + Bb + b) H T 3 86

97 SUPERFÍCIE LATERAL E TOTAL DE TRONCO DE PIRÂMIDE (de bases paralelas) Tronco de pirâmide qualquer: A l = somas das áreas das faces laterais que são trapézios A t = A l + B + b. Tronco de pirâmide regular é o tronco obtido da seção de uma pirâmide regular. Características deste tronco: (i) as arestas laterais são congruentes; (ii) as bases são polígonos regulares; (iii) as faces laterais são trapézios isósceles, congruentes entre si. A altura destes trapézios chama-se apótema do tronco Exercícios 1. Sabendo que a aresta de tetraedro regular mede 3cm, calcule a medida de sua altura, seu apótema e sua área total. 2. Determine a medida da aresta de um tetraedro regular, sabendo que sua superfície total tem área 9 3cm Uma pirâmide regular hexagonal de 12 cm de altura tem aresta da base medindo 10 3 cm. Calcule: Apótema da base; apótema da pirâmide; aresta lateral, área da 3 base, área lateral e a área total. 4. Considere a pirâmide, representada na gura abaixo, cuja base é um retângulo de perímetro 28cm e diagonal 10cm, as arestas laterais medem 13cm e a projeção V do vértice V sobre a base é o ponto de interseção das diagonais do polígono da base. Determine: (a) o volume; (b) a área da superfície total; 87

98 (c) a distância do vértice B ao plano determinado pelos pontos A, V e C. 5. Considere um prisma triangular reto e um tetraedro de mesma base, a qual é um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa medindo 3 2cm. Sabendo que a altura do tetraedro é igual a um terço da altura do prisma, e que a diferença entre o volume do tetraedro e o volume do prisma é igual a 8 cm 3, determine a altura do prisma. 6. Considere uma pirâmide regular cuja base é um hexágono; a área lateral dessa pirâmide é igual a 18cm 2 e o comprimento da menor diagonal do polígono da base é 2 3cm. Determine: (a) o volume dessa pirâmide; (b) a altura do prisma com mesma base e mesmo volume que a pirâmide. 7. Determine o volume de uma pirâmide de 8cm de altura sabendo que o plano formado pelos pontos médios de suas arestas laterais determina na pirâmide uma seção de 3cm 2 de área. 8. Determine o volume de um tronco de pirâmide de 4cm de altura e cujas bases tem áreas 36cm 2 e 144cm Considere um tronco de bases paralelas de uma pirâmide hexagonal regular. Sabendo que a altura do tronco é 3cm e as arestas das bases medem 8cm e 6cm, determine: (a) o volume do tronco; (b) a área lateral do tronco. 10. Determine a medida do apótema de um tronco de pirâmide regular cujas bases são triângulos equiláteros de lados 8cm e 12cm e a área lateral do tronco é 180cm Duas pirâmides tem alturas iguais a 14 m cada uma. A primeira tem por base um quadrado de lado 9 m e a segunda um hexágono de 7 m de lado. Um plano secciona as duas pirâmides a 6 m do vértice. Obtenha a área das seções determinadas na primeira e na segunda pirâmide. 12. A gura indica um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 2 2 7, sendo A, B, C e D quatro de seus vértices. Determine a distância de B até o plano que contém A, D e C. Capítulo 9 do livro texto volume 10: 377, 383, 384, 385, 390, 395, 402, 405, 412, 447, 469. Capítulo 13 do livro texto volume 10: 745, 747, 749, 754, 760, 764, 771, 793, 828, 844,

99 Capítulo 19 Cone 19.1 Denições e elementos DEFINIÇÃO Superfície cônica é uma superfície gerada por uma reta geratriz g que passa por um ponto xo V (vértice) e percorre os pontos de uma curva d dada chamada diretriz, com V / d. EXEMPLOS: se a diretriz é um segmento de reta a superfície gerada é a união de dois setores circulares innitos opostos pelo vértice; se a diretriz é um polígono cujo plano não contém V a superfície cônica gerada é a união de duas superfícies de pirâmides ilimitadas opostas pelo vértice; se a diretriz é uma circunferência, temos uma superfície cônica circular de duas folhas; se a diretriz é uma circunferência de centro O, e a reta que passa por OV é perpendicular ao plano que contém a circunferência, então a superfície cônica é chamada circular reta de duas folhas; etc 89

100 OBSERVAÇÃO A superfície cônica circular reta também é conhecida como superfície cônica de revolução e pode ser obtida pela rotação de uma reta g (geratriz) em trono de uma reta xa e (eixo), sendo g oblíqua ao eixo e. O vértice é o ponto de interseção das duas retas. OBSERVAÇÃO Se a geratriz for uma semirreta oblíqua ao eixo e obtemos uma superfície cônica de uma folha. DEFINIÇÃO Cone circular (limitado de uma folha) é o sólido obtido pela união de todos segmentos de reta que tem uma extremidade em V e a outro num círculo que está num plano que não contém o vértice V. ELEMENTOS: Base - Vértice - Geratrizes - Raio (da base) - Altura - Superfície lateral - Superfície total - CLASSIFICAÇÃO: Cone circular oblíquo - quando OV é oblíqua ao plano que contém a base. Cone circular reto ou de revolução - quando OV é perpendicular ao plano que contém a base. Num cone circular reto a geratriz também é chamada apótema do cone. E neste cone temos a relação: g 2 = r 2 + h 2. 90

101 SEÇÃO MERIDIANA DEFINIÇÃO A seção meridiana de um cone é a interseção de um plano que contém o segmento V O com o cone. Se o cone for reto a seção meridiana é um triângulo isósceles com base 2r e lados congruentes medindo g. DEFINIÇÃO Um cone é dito equilátero se sua seção meridiana é um triângulo equilátero Áreas lateral e total A superfície lateral de cone circular reto é um setor circular com raio g e comprimento 2πr. Logo, sua área lateral é dada por A l = πrg. A área total de um cone circular reto é dada por 19.3 Volume do cone A t = A l + A b = πrg + πr 2. O volume de um cone é obtido usando o princípio de Cavalieri comparando o cone com uma pirâmide com base equivalente e mesma altura. Logo, seu volume é 19.4 Tronco de cone V = πr2 h 3. Seccionando um cone por um plano paralelo a base separamos este cone em dois sólidos: o sólido que contém o vértice que é um nono cone, semelhante ao original (ideia análoga de semelhança de pirâmides); 91

102 o sólido que contém a base do cone dado que é um tronco de cone de bases paralelas. VOLUME DO TRONCO DE CONE Considere um tronco de cone com altura h T e raios das bases R e r, seu volume é obtido como sendo o volume do cone original menos o volume do cone novo (lembre que estes cones são semelhantes): V T = V 2 V 1 = = πh T 3 (R2 + Rr + r 2 ). ÁREA LATERAL E TOTAL DO TRONCO DE CONE A área lateral do tronco de cone reto é dada pela diferença entre a área do cone original e do cone novo e área total é a área lateral mais a área das bases do tronco que são duas circunferências: A l = π(r + r)g T e A t = π(r + r)g T + πr 2 + πr Exercícios 1. Prove a fórmula para o volume do cone. 2. Prove a fórmula do volume do tronco de cone. 3. Obtenha a fórmula para área lateral de um tronco de cone de raios R e r e altura h T. 4. Determine a área total e o volume de um cone reto de raio 6cm e cuja superfície lateral é um setor circular de A gura representa um galheteiro para a colocação de azeite e vinagre em compartimentos diferentes, sendo um cone no interior de um cilindro equilátero. 92

103 Considerando h como a altura máxima de líquido que o galheteiro comporta e a razão entre a capacidade total de azeite e vinagre igual ao raio do cone, determine o valor de h. 6. Considere um cone reto cuja superfície lateral é um setor circular com área 36π cm 2 e ângulo de abertura igual a 160. Determine o comprimento do raio, da altura e da geratriz deste cone. 7. A que distância do vértice devemos traçar um plano paralelo à base de um cone circular cujo raio é 7cm e a altura é 24cm, de modo que o cone que dividido em dois sólidos equivalentes. 8. Um cone equilátero é seccionado por um plano paralelo à base a uma distância h do vértice de tal forma que é dividido em dois sólidos sendo que o sólido que contém a base tem volume 7 vezes maior que o outro sólido. Sabendo que o raio do cone é 6 cm, determine: (a) o volume do cone original; (b) o valor de h; (c) o comprimento da geratriz do tronco de cone obtido pela seção. 9. Um cone reto com base de raio 4 u.c. e seção meridiana de perímetro 18 u.c. é seccionado por um plano paralelo à base a 1 u.c. do vértice. Determine: (a) o volume do tronco de cone obtido pela seção; (b) a área total da superfície cone obtido pela seção; (c) o ângulo de abertura do setor circular que é obtido da planicação da superfície lateral do cone original; (d) as dimensões de um cilindro circular reto que tem mesmo volume do cone original e altura do cone seccionado. 10. Uma ampola de vidro tem o formato de um cone cuja altura mede 5 u.c.. Quando a ampola é posta sobre uma superfície horizontal (com a base sobre a superfície), a altura do líquido em seu interior é de 2 u.c.. Determine a altura h do líquido quando a ampola é virada de cabeça para baixo conforme na gura abaixo. Capítulo 13 do livro texto volume 10: 831,

104 Capítulo 20 Esfera 20.1 Denições DEFINIÇÃO Considere um ponto O e um segmento de medida r. Chama-se esfera de centro O e raio r ao conjuntos de ponto P do espaço tais que a distância de O até P é menor ou igual a r. OBSERVAÇÃO A esfera é também o sólido obtido pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro (deste círculo). DEFINIÇÃO Superfície da esfera de centro O e raio r é o conjunto de pontos P tais que d(o, P ) = r. Ou ainda a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no eixo de rotação. Seção Toda seção plana de uma esfera é um círculo. Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como seção um círculo máximo da esfera. Sendo r o raio da esfera, d a distância do plano secante ao centro da esfera e s o raia da seção, pelo teorema de Pitágoras, temos que: r 2 = d 2 + s 2. 94

105 Elementos Considerando a superfície de uma esfera de eixo e, temos: 1. pólos: 2. equador: 3. paralelo: 4. meridiano: DEFINIÇÃO Distância polar é a distância de um ponto qualquer de um paralelo ao pólo. Um ponto A da superfície de uma esfera tem duas distâncias polares: d(a, P 1 ) e d(a, P 2 ) Área e volume Área da esfera A área da superfície da esfera de raio r é 4πr 2. Para obter esta fórmula precisamos de conceitos que não são abordados neste momento no curso. Volume da esfera Para obter o volume de uma esfera de raio r usaremos o princípio de Cavalieri comparando a esfera com a anticlépsidra. 95

106 Anticlépsidra Considere um cilindro equilátero com raio da base r e seja S o ponto médio do eixo do cilindro. Construa dois cones (ou um cone de duas folhas) tendo como base as bases do cilindro e S como vértice comum. A união destes dois cones é um sólido chamado clépsidra. O sólido que está dentro do cilindro e fora da clépsidra é chamado anticlépsidra Exercícios 1. Obtenha o volume da esfera de raio r. 2. Um plano secciona uma esfera de raio 5 u.c. a uma distância de 4 u.c. do centro da esfera, dividindo esta esfera em dois sólidos. Use o Princípio de Cavalieri para determinar o volume do maior sólido denido por esta seção. Capítulo 12 do livro texto volume 10: 671, 674, 679, 691, 697, 699, 723,