Todo material contido nesta lista foi desenvolvida pelo professor Lucas Octavio de Souza e não passou por nenhuma alteração
|
|
- Brian Tomé Fontes
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Todo mteril contido nest list foi desenvolvid pelo professor Lucs Octvio de Souz e não pssou por nenum lterção
2 Geometri de Posição e Geometri Espcil Métric esumo teórico e exercícios. º olegil / urso Extensivo. utor - Lucs Octvio de Souz (Jec)
3 Geometri de Posição e Geometri Espcil Métric. elção ds uls. Págin ul 01 - onceitos fundmentis de Geometri de Posição... ul 0 - Poliedros convexos... ul 0 - Prisms... ul 04 - Pirâmides... ul 05 - ilindro de revolução... ul 06 - one de revolução... ul 07 - Esfers... ul 08 - Sólidos semelntes... ul 09 - Exercícios diversos sobre sólidos compostos onsiderções geris. Este estudo de Geometride Posição e de Geometri Espcil Métric tem como objetivo complementr o curso que desenvolvo com os lunos de º olegil e de curso pré-vestibulr. Não tem pretensão de ser um obr cbd e, muito menos, perfeit. Os exercícios cujos números estão relçdos com um círculo representm os exercícios que considero necessários à compreensão de cd ul. Nd impede que mis, ou outros exercícios sejm feitos, critério do professor. utorizo o uso pelos cursinos comunitários que se interessrem pelo mteril, desde que mntenm min utori e não tenm lucro finnceiro com o mteril. Peço, entretnto que me comuniquem sobre o uso. Ess comunicção me drá sensção de estr contribuindo pr judr lguém. Peço todos, que perdoem eventuis erros de digitção ou de resolução e que me comuniquem sobre esses erros, pr que poss corrigí-los e melorr este trblo. Meu e-mil - jecjec@uol.com.br Um brço. Jec (Lucs Octvio de Souz) Edição de 014 Jec 01
4 Estudos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs Octvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri de Posição ul 01 onceitos fundmentis d Geometri de Posição. GEOMETI E POSIÇÃO. Geometri de Posição é prte d Geometri que estud determinção dos elementos geométricos, bem como s posições reltivs e s interseções desses elementos no espço. ) Ponto -,, P, b) et -, b, r, c) Plno -, b, g, 1) Elementos d Geometri. c) eterminção de plno. Um plno fic determindo : I - Por três pontos distintos não colineres. II - Por um ret e um ponto for del. ) eterminção dos elementos. P r ) eterminção de ponto. Um ponto fic determindo : I - Pelo cruzmento de dus rets concorrentes. III - Por dus rets prlels distints. P r s r s II - Pelo cruzmento de um ret com um plno. r P IV - Por dus rets concorrentes. ) ombinções dos elementos. (dois dois) s r b) eterminção de ret. Um ret fic determind : I - Por dois pontos distintos. r ) Ponto - ponto. b) Ponto - ret. c) Ponto - plno. d) et - ret. e) et - plno. f) Plno - plno. II - Por um ponto e um direção. 4) Posições reltivs e interseções dos elementos dois dois. direção P 4) Ponto - ponto. s posições reltivs que dois pontos podem ssumir são : I - Os dois pontos são coincidentes. III - Pelo cruzmento de dois plnos. b r = ( ou ) II - Os dois pontos são distintos. = O Jec 0 4
5 4b) Ponto - ret. s posições reltivs que um ponto e um ret podem ssumir são : I - O ponto está contido n ret. P r P r = P ets perpendiculres. (cso prticulr de rets concorrentes) us rets concorrentes são dits perpendiculres se fzem entre si ângulos de 90º. (no plno) II - O ponto está for d ret. P r P r = O ) ets reverss (ou não coplnres) us rets são dits reverss ou não coplnres se não existe um plno que s contém. 4c) Ponto - plno. s posições reltivs que um ponto e um plno podem ssumir são : ets ortogonis. (cso prticulr de rets reverss) us rets reverss são dits ortogonis se fzem entre si ângulos de 90º. (no espço) I - O ponto está contido no plno. P s P P = P r P s r s = O II - O ponto está for do plno. P 4e) et - plno. P P = O s posições reltivs que um ret e um plno podem ssumir são : I - ret está contid no plno. 4d) et - ret. 1) ets coplnres. us rets são dits coplnres se existe um plno que s contém. r r = r s posições reltivs que dus rets coplnres podem ssumir são : I - us rets prlels coincidentes. II - ret é prlel o plno. r r s r s = r (ou s) r r = O II - us rets prlels distints. s r r s = O III - ret é secnte ou concorrente com o plno. r P é cmdo de trço de r em. III - us rets concorrentes. P s r r s = P P r = P Jec 0 5
6 et perpendiculr o plno. (cso prticulr de ret secnte o plno) Teorem. Um ret é perpendiculr um plno se é perpendiculr ou ortogonl dus rets concorrentes do plno. 4f) Plno - plno. s posições reltivs que dois plnos podem ssumir são : I - ois plnos prlelos coincidentes. t s b r b = (ou b) r Projeções ortogonis ( Sombr ) P s Projeções ortogonis em r. t - Projeção ortogonl de P em r. - Projeção ortogonl de P em s. - Projeção ortogonl de P em t. istânci. E E = istânci entre dus rets reverss. distânci entre dus rets reverss é medid do segmento que tem extremiddes ns dus rets e que é simultnemente perpendiculr esss rets. r II - ois plnos prlelos distintos. d s r b b = O Ângulo. Ângulo entre ret e plno. É o ângulo formdo entre ret e projeção ortogonl d ret sobre o plno. P III - ois plnos secntes (ou concorrentes) P q b r b = r Ângulo entre dois plnos. É o ângulo formdo por dus rets, um de cd plno, perpendiculres à intersecção dos dois plnos num mesmo ponto. Plnos perpendiculres. (cso prticulr de plnos secntes ou concorrentes) q Teorem. ois plnos são perpendiculres entre si se um deles contém um ret perpendiculr o outro. t b Jec 04 Intersecção Onde se lê etermin Existe um Um único oincidentes istintos Existe e é único Entende-se Existe pelo menos um. Um e somente um. oncorrentes Se cruzm. olineres oplnres eversos Têm todos os pontos em comum. Têm pelo menos um ponto diferente. Existe um ret que os contém. Existe um plno que os contém. Não existe um plno que os contém. 6
7 01) ( ) 0) ( ) 0) ( ) 04) ( ) 05) ( ) 06) ( ) 07) ( ) 08) ( ) 09) ( ) 10) ( ) 11) ( ) 1) ( ) 1) ( ) 14) ( ) 15) ( ) 16) ( ) 17) ( ) 18) ( ) 19) ( ) 0) ( ) 1) ( ) ) ( ) ) ( ) 4) ( ) 5) ( ) 6) ( ) 7) ( ) 8) ( ) 9) ( ) 0) ( ) 1) ( ) ) ( ) ) ( ) 4) ( ) 5) ( ) 6) ( ) 7) ( ) esponder V se verddeir ou se fls ns firmções bixo. O ponto não tem dimensão. Um ret contém infinitos pontos. Um plno contém infinitos pontos. Por um ponto sempre pss um ret. dos dois pontos distintos, existe e é único o plno que os contém. Três pontos distintos determinm um plno. Três pontos distintos e não colineres determinm um plno. Três pontos colineres são coplnres. Por um ret pssm infinitos plnos. Todo plno contém infinits rets. Um ponto sepr um ret em dus semirrets. Um ponto pertencente um ret, sepr ess ret em dus semirrets. Um ret divide um plno em dois semiplnos. Um ret pertencente um plno, divide esse plno em dois semiplnos. Qulquer plno divide o espço em dois semiespços. ois semiplnos são sempre coplnres. ois semiplnos opostos são sempre coplnres. Se dois pontos pertencem semiplnos opostos, então o segmento que os une intercept origem dos dois semiplnos. Existem infinitos semiplnos de mesm origem. Três pontos distintos não são colineres. us rets que têm um ponto comum são concorrentes. us rets que têm um único ponto comum são concorrentes. us rets distints que têm um ponto comum são concorrentes. Um ret e um ponto determinm um plno. Um ret e um ponto for del determinm um plno. us rets distints determinm um plno. us rets prlels determinm um plno. Três rets, dus dus prlels distints, determinm três plnos. Três rets, dus dus prlels distints, determinm um único ou três plnos. Três rets, dus dus concorrentes em pontos distintos, são coplnres. O espço contém infinitos pontos, infinits rets e infinitos plnos. Qutro pontos coplnres, distintos e não colineres, são vértices de um qudrilátero. Qutro pontos coplnres, distintos e não colineres três três, são vértices de um qudrilátero. Qutro pontos distintos e não coplnres, três três determinm qutro plnos distintos. us rets prlels distints e um ponto for dels, determinm um único ou três plnos. us rets concorrentes e um ponto for dels determinm três plnos. Se dus rets não têm ponto em comum, então els são reverss. Jec 05 8) ( ) 9) ( ) 40) ( ) 41) ( ) 4) ( ) 4) ( ) 44) ( ) 45) ( ) 46) ( ) 47) ( ) 48) ( ) 49) ( ) 50) ( ) 51) ( ) 5) ( ) 5) ( ) 54) ( ) 55) ( ) 56) ( ) 57) ( ) 58) ( ) 59) ( ) 60) ( ) 61) ( ) 6) ( ) 6) ( ) 64) ( ) 65) ( ) 66) ( ) 67) ( ) 68) ( ) Um ponto contido num plno divide esse plno em dois semiplnos. Um ret secnte um plno divide ess plno em dois semiplnos. Se dus rets são prlels, então els não têm ponto em comum. us rets prlels um terceir são prlels entre si. us rets ortogonis formm ângulo reto. Se dus rets distints não são prlels, então são concorrentes. Se três rets são prlels, então existe um plno que s contém. Um ret e um plno secntes têm um ponto comum. Três pontos não colineres são sempre distintos. Um ret e um plno prlelo não têm ponto comum. Um ret está contid num plno qundo eles coincidem. Se um ret é prlel um plno, então el é prlel um ret do plno. Se um ret é prlel um plno, então el é prlel tods s rets do plno. Se um ret é prlel um plno, então el é revers um ret do plno. Se um ret é prlel um plno, então el é ortogonl um únic ret do plno. Se um ret é secnte um plno, então ess ret é concorrente com infinits rets desse plno. Se um ret é prlel um plno, então existe no plno um ret concorrente com el. Se dus rets são reverss, então qulquer ret que concorre com um dels concorre com outr. Se dus rets distints são prlels, então todo plno que contém um é prlelo ou contém outr. Se dus rets são reverss, então qulquer plno que contém um intercept outr. Se dus rets distints são prlels um plno, então são prlels entre si. do um ret e um plno quisquer, existe no plno um ret prlel à ret dd. ds dus rets distints quisquer, existe um plno que contém um e é prlelo à outr. ois plnos secntes têm como interseção um ret. Se dois plnos distintos têm um ponto comum então eles são secntes. ois plnos que têm um ret comum são secntes. ois plnos que têm um únic ret comum são secntes. ds dus rets reverss, existe um plno que s contém. ois plnos distintos são secntes. Se dois plnos distintos são prlelos entre si, então um ret de um deles e um ret do outro são prlels entre si ou reverss. Se dois plnos são prlelos um ret, então são prlelos entre si. 7
8 69) ( ) 70) ( ) 71) ( ) 7) ( ) 7) ( ) 74) ( ) 75) ( ) 76) ( ) 77) ( ) 78) ( ) 79) ( ) 80) ( ) 81) ( ) 8) ( ) 8) ( ) 84) ( ) 85) ( ) 86) ( ) 87) ( ) 88) ( ) 89) ( ) 90) ( ) 91) ( ) 9) ( ) Se um ret é prlel dois plnos secntes, então el é prlel à interseção desses plnos. Se dois plnos distintos são prlelos, então tod ret prlel um deles é prlel o outro. Se dois plnos distintos são prlelos um terceiro, então são prlelos entre si. Se um ret é perpendiculr um plno, então el é perpendiculr um ret do plno. Se um ret é perpendiculr um plno, então el é perpendiculr tods s rets desse plno. Se um ret é perpendiculr um plno, então el é perpendiculr infinits rets desse plno. Se um ret é perpendiculr um plno, então el é perpendiculr ou ortogonl tods s rets do plno. Um ret é perpendiculr um plno se é perpendiculr dus rets desse plno. Um ret é perpendiculr um plno se é perpendiculr dus rets concorrentes desse plno. Se um ret e um plno são prlelos, então tod ret perpendiculr à ret dd é perpendiculr o plno. Por um ponto ddo pode-se conduzir um únic ret perpendiculr um plno ddo. ois plnos perpendiculres um terceiro, podem ser perpendiculres entre si. Se dois plnos são perpendiculres um mesm ret, então são prlelos entre si. Se um ret é ortogonl dus rets prlels distints, então el é prlel o plno que s contém. Se um ret é perpendiculr um plno, então tod ret perpendiculr el é prlel o plno. Se um ret é prlel um ret do plno, então el é prlel o plno. ds dus rets reverss, existe um plno que contém um e é perpendiculr à outr. s intersecções de dois plnos prlelos com um terceiro plno, são rets prlels. Se um plno contém dus rets concorrentes e mbs prlels um outro plno, então esses plnos são prlelos entre si. projeção ortogonl de um ponto sobre um plno é um ponto. projeção ortogonl de um ret sobre um plno é um ret. projeção ortogonl de um ret sobre um plno é um ponto ou um ret. projeção ortogonl de um qudrilátero plno sobre um plno é um qudrilátero. projeção ortogonl de um plno sobre outro plno é um plno ou um ret V 0 - V 0 - V 04 - V V 08 - V 09 - V 10 - V V V 15 - V V 18 - V 19 - V V - V V V 0 - V 1 - V - - V 4 - V 5 - V GITO 41 - V 4 - V V 46 - V 47 - V V V V V V 6 - V V V V V 7 - V V 75 - V V V 80 - V 81 - V V 87 - V 88 - V V V Jec 06 8
9 Estudos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs Octvio de Souz) (São João d o Vist - SP) 01) (UVEST) Um formig resolveu ndr de um vértice outro do prism reto de bses tringulres e EG, seguindo um trjeto especil. El prtiu do vértice G, percorreu tod rest perpendiculr à bse, pr em seguid cminr tod digonl d fce G e, finlmente completou seu psseio percorrendo rest revers G. formig cegou o vértice : ) b) c) d) e) E E G Geometri de Posição ul 01 Exercícios complementres. (Geometri de Posição) 0) (P-SP) O glpão d figur seguir está no prumo e cumeeir está "bem no meio" d prede. t s 4 m v cumeeir u 4 m m r s rets ssinlds, podemos firmr que: ) t e u são reverss. b) s e u são reverss. c) t e u são concorrentes. d) s e r são concorrentes. e) t e u são perpendiculres. 0) (Unifesp-SP) ois segmentos dizem-se reversos qundo não são coplnres. Nesse cso, o número de pres de rests reverss num tetredro, como o d figur, é: ) 6 b) c) d) 1 e) 0 04) (Vunesp-SP) N figur seguir o segmento é perpendiculr o plno, e estão contidos nesse plno e é perpendiculr. Se = cm, = 4 cm e = cm, ce distânci de. 05) (Unimontes-MG) "m-se projeção ortogonl de um figur sobre um plno o conjunto de tods s projeções ortogonis dos pontos d figur sobre esse plno." N figur bixo, determine medid d projeção ortogonl do segmento sobre o plno. t 60º p e p são plnos secntes p e t t e t = 10 cm T T Jec 07 06) (tec-sp) N figur expost tem-se: o plno definido pels rets c e d, perpendiculres entre si; ret b, perpendiculr em, com c, o ponto, intersecção de c e d. Se X é um ponto de b, X, então ret s, definid por X e : ) é prlel à ret c. b) é prlel à ret b c) está contid no plno. d) é perpendiculr à ret d. e) é perpendiculr à ret b. b d c 9
10 Estudos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs Octvio de Souz) (São João d o Vist - SP) 01) (UVEST) Um formig resolveu ndr de um vértice outro do prism reto de bses tringulres e EG, seguindo um trjeto especil. El prtiu do vértice G, percorreu tod rest perpendiculr à bse, pr em seguid cminr tod digonl d fce G e, finlmente completou seu psseio percorrendo rest revers G. formig cegou o vértice : ) b) c) d) e) E G síd esp e) 0) (Unifesp-SP) ois segmentos dizem-se reversos qundo não são coplnres. Nesse cso, o número de pres de rests reverss num tetredro, como o d figur, é: ) 6 b) c) d) 1 e) 0 é revers. é revers. é revers. Três pres de rets reverss. (resp. b) E cegd Geometri de Posição ul 01 Exercícios complementres. (Geometri de Posição) 0) (P-SP) O glpão d figur seguir está no prumo e cumeeir está "bem no meio" d prede. t s 4 m v cumeeir u 4 m m r s rets ssinlds, podemos firmr que: ) t e u são reverss. b) s e u são reverss. c) t e u são concorrentes. d) s e r são concorrentes. e) t e u são perpendiculres. t e u são rets reverss pois não são prlels entre si e pertencem plnos prlelos distintos. ) 04) (Vunesp-SP) N figur seguir o segmento é perpendiculr o plno, e estão contidos nesse plno e é perpendiculr. Se = cm, = 4 cm e = cm, ce distânci de. 4 x x = + 4 x = 5 cm d x d = + 5 d = 9 cm 05) (Unimontes-MG) "m-se projeção ortogonl de um figur sobre um plno o conjunto de tods s projeções ortogonis dos pontos d figur sobre esse plno." N figur bixo, determine medid d projeção ortogonl do segmento sobre o plno. t 60º p e p são plnos secntes p e t t e t = 10 cm 10 60º X T T cos 60º = x / 10 x = 10 cos 60º x = / x = 5 cm Jec 07 06) (tec-sp) N figur expost tem-se: o plno definido pels rets c e d, perpendiculres entre si; ret b, perpendiculr em, com c, o ponto, intersecção de c e d. Se X é um ponto de b, X, então ret s, definid por X e : ) é prlel à ret c. b) é prlel à ret b c) está contid no plno. d) é perpendiculr à ret d. e) é perpendiculr à ret b. X b d c ret d é perpendiculr à ret X porque ret d é perpendiculr o plno X. (resp. d) 10
11 07) (P-SP) figur bixo mostr um port entrebert e o cnto de um sl: x 08) (uvest-sp) São ddos um plno, um ret r contid em e um ret s perpendiculr r, ms não. emonstre que projeção ortogonl de s sobre é perpendiculr r. r t z s y s rets r e s; s e t; x e r têm, respectivmente, s posições reltivs: ) prlels, prlels e perpendiculres. b) prlels, perpendiculres e reverss. c) prlels, perpendiculres e perpendiculres. d) reverss, prlels e perpendiculres. e) perpendiculres, reverss e prlels. 09) (Vunesp-SP) Sobre perpendiculridde não se pode firmr: ) Se um ret é perpendiculr dus rets concorrentes de um plno, então é perpendiculr esse plno. b) Existem 4 rets pssndo por um ponto, tis que sejm perpendiculres dus dus. c) Se um ret é perpendiculr um plno, existem infinits rets desse plno perpendiculres el. d) ets distints perpendiculres o mesmo plno são prlels. e) dos um ret e um ponto distintos, podemos pssr um e pens um plno perpendiculr à ret e pssndo pelo ponto. 10) (tec-sp) O ponto pertence à ret r, contid no plno. ret s, perpendiculr, o intercept no ponto. O ponto pertence s e dist 5 cm de. Se projeção ortogonl de em r mede 5 cm e o ponto dist 6 cm de r, então distânci de, em centímetros, é igul : ) 9 5 b) 9 c) 7 d) 4 e) 5 11) (uvest-sp) O segmento é um diâmetro de um circunferênci e, um ponto del, distinto de e de. ret V, V =, é perpendiculr o plno d circunferênci. O número de fces do tetredro V que são triângulos retângulos é: ) 0 b) 1 c) d) e) 4 1) (uvest-sp) São ddos 5 pontos não-coplnres,,,, E. Sbe-se que é um retângulo, E perpendiculr e E perpendiculr. Pode-se concluir que são perpendiculres s rets: ) E e E b) E e c) E e d) E e e) e E Jec 08 11
12 07) (P-SP) figur bixo mostr um port entrebert e o cnto de um sl: x r e s são prles s e t são perpendiculres x e r são reverss r (resp. b) s y s rets r e s; s e t; x e r têm, respectivmente, s posições reltivs: ) prlels, prlels e perpendiculres. b) prlels, perpendiculres e reverss. c) prlels, perpendiculres e perpendiculres. d) reverss, prlels e perpendiculres. e) perpendiculres, reverss e prlels. t z 08) (uvest-sp) São ddos um plno, um ret r contid em e um ret s perpendiculr r, ms não. emonstre que projeção ortogonl de s sobre é perpendiculr r. r s r é perpendiculr s (do enuncido). ' é perpendiculr porque é projeção ortogonl. ret r é perpendiculr ou ortogonl dus rets concorrentes do plno '. Portnto ret r é perpendiculr o plno '. Se ret ' está contid no plno ', então ret r é perpendiculr à ret '. (Q) ' 09) (Vunesp-SP) Sobre perpendiculridde não se pode firmr: ) Se um ret é perpendiculr dus rets concorrentes de um plno, então é perpendiculr esse plno. b) Existem 4 rets pssndo por um ponto, tis que sejm perpendiculres dus dus. c) Se um ret é perpendiculr um plno, existem infinits rets desse plno perpendiculres el. d) ets distints perpendiculres o mesmo plno são prlels. e) dos um ret e um ponto distintos, podemos pssr um e pens um plno perpendiculr à ret e pssndo pelo ponto. ) V b) c) V s d) V e) V É possível pssr rets perpendiculres entre si num mesmo ponto. 11) (uvest-sp) O segmento é um diâmetro de um circunferênci e, um ponto del, distinto de e de. ret V, V =, é perpendiculr o plno d circunferênci. O número de fces do tetredro V que são triângulos retângulos é: ) 0 b) 1 c) d) e) 4 V t r cubo V e V são retos pois V é perpendiculr o plno. é reto porque é um triângulo inscrito num semicircunferênci. V é reto porque é perpendiculr o plno V. ( é perpendiculr e é ortogonl V) Teorem - Um ret é perpendiculr um plno se é perpendiculr ou ortoggonl dus rets concorrentes desse plno. resp. e) Jec 08 10) (tec-sp) O ponto pertence à ret r, contid no plno. ret s, perpendiculr, o intercept no ponto. O ponto pertence s e dist 5 cm de. Se projeção ortogonl de em r mede 5 cm e o ponto dist 6 cm de r, então distânci de, em centímetros, é igul : ) 9 5 b) 9 c) 7 d) 4 e) 5 x = x = 61 x = 61 cm = 5 cm = 5 cm (proj. ortogonl) = 6 cm 1) (uvest-sp) São ddos 5 pontos não-coplnres,,,, E. Sbe-se que é um retângulo, E perpendiculr e E perpendiculr. Pode-se concluir que são perpendiculres s rets: ) E e E b) E e E c) E e d) E e e) e E d x s d = ( 5 ) + x d = = 81 d = 9 cm (resp. b) São perpendiculres s rets E e. (resp. d) r ret E é perpendiculr o plno porque é perpendiculr às rets e, que pertencem. Portnto ret E é perpendiculr qulquer ret de que psse por. 1
13 1) (uvest-sp) São ddos um plno p, um ponto P do mesmo e um ret r oblíqu p que o fur num ponto distinto de P. Mostre que existe um únic ret por P, contid em p, e ortogonl r. 14) (IT-SP) Qul ds firmções bixo é verddeir? ) Três pontos, distintos dois dois, determinm um plno. b) Um ponto e um ret determinm um plno. c) Se dois plnos distintos têm um ponto em comum, tl ponto é único. d) Se um ret é prlel um plno e não está contid neste plno, então el é prlel qulquer ret desse plno. e) Se é o plno determindo por dus rets concorrentes r e s, então tod ret m desse plno, que é prlel à r, não será prlel à ret s. 15) (Uminontes-MG) Sejm r, s e t três rets no espço. nlise s seguintes firmções: ( ) Se r e s são prlels, então existe um plno que s contém. ( ) Se intersecção de r e s é o conjunto vzio, então r é prlel s. ( ) Se r, s e t são dus dus prlels, então existe um plno que s contém. ( ) Se r s = O e r não é prlel s, então r e s são reverss. U onsiderndo V pr sentenç verddeir e pr sentenç fls, sequênci corret que clssific esss firmções é: ) V, V, V, V. b), V, V,. c) V,,, V. d) V, V,,. 16) (PU-SP) Qul ds firmções bixo é verddeir? ) Se dus rets distints não são prlels, então els são concorrentes. b) us rets não coplnres são reverss. c) Se intersecção de dus rets é o conjunto vzio, então els são prlels. d) Se três rets são prlels, existe um plno que s contém. e) Se três rets distints são dus dus concorrentes, então els determinm um e um só plno. 17) (Mckenzie-SP) ssinle únic proposição verddeir. ) Um ret é perpendiculr um plno, qundo el é perpendiculr tods s rets do plno. b) ois plnos distintos perpendiculres um terceiro são prlelos entre si. c) projeção ortogonl de um ret num plno é sempre um ret. d) Um plno prlelo dus rets de um plno é prlelo o plno. e) us rets perpendiculres, respectivmente, três plnos prlelos, são prlels. 18) (EI-SP) ssinle proposição fls. ) Por um ret perpendiculr um plno pss pelo menos um plno perpendiculr. b) projeção ortogonl sobre um plno de um segmento oblíquo é menor do que o segmento. c) Um ret ortogonl dus rets concorrentes de um plno é perpendiculr o plno. d) Um plno perpendiculr à dois plnos concorrentes é perpendiculr à intersecção deles. e) No espço, dus rets perpendiculres um terceir ret são prlels. Jec 09 1
14 1) (uvest-sp) São ddos um plno p, um ponto P do mesmo e um ret r oblíqu p que o fur num ponto distinto de P. Mostre que existe um únic ret por P, contid em p, e ortogonl r. emonstrção 15) (Uminontes-MG) Sejm r, s e t três rets no espço. nlise s seguintes firmções: ( V) Se r e s são prlels, então existe um plno que s contém. ( ) Se intersecção de r e s é o conjunto vzio, então r é prlel s. ( ) Se r, s e t são dus dus prlels, então existe um plno que s contém. ( V) Se r s = O e r não é prlel s, então r e s são reverss. U p Sejm e dois pontos d ret r e ' e ' sus projeções ortogonis sobre o plno p. ret de p ortogonl r é únic ret de p que pss por P e é perpendiculr à ret ''. Portnto é únic. (Q) onsiderndo V pr sentenç verddeir e pr sentenç fls, sequênci corret que clssific esss firmções é: ) V, V, V, V. b), V, V,. c) V,,, V. d) V, V,,. ' P ' r 14) (IT-SP) Qul ds firmções bixo é verddeir? ) Três pontos, distintos dois dois, determinm um plno. b) Um ponto e um ret determinm um plno. c) Se dois plnos distintos têm um ponto em comum, tl ponto é único. d) Se um ret é prlel um plno e não está contid neste plno, então el é prlel qulquer ret desse plno. e) Se é o plno determindo por dus rets concorrentes r e s, então tod ret m desse plno, que é prlel à r, não será prlel à ret s. ) b) c) d) e) V 16) (PU-SP) Qul ds firmções bixo é verddeir? ) Se dus rets distints não são prlels, então els são concorrentes. b) us rets não coplnres são reverss. c) Se intersecção de dus rets é o conjunto vzio, então els são prlels. d) Se três rets são prlels, existe um plno que s contém. e) Se três rets distints são dus dus concorrentes, então els determinm um e um só plno. esp. b) r s m // r evers é sinônimo de não coplnr. m us rets são reverss se não existe um plno que s contém. resp. c) 17) (Mckenzie-SP) ssinle únic proposição verddeir. ) Um ret é perpendiculr um plno, qundo el é perpendiculr tods s rets do plno. b) ois plnos distintos perpendiculres um terceiro são prlelos entre si. c) projeção ortogonl de um ret num plno é sempre um ret. d) Um plno prlelo dus rets de um plno é prlelo o plno. e) us rets perpendiculres, respectivmente, três plnos prlelos, são prlels. ) b) c) d) e) V resp. e) 18) (EI-SP) ssinle proposição fls. ) Por um ret perpendiculr um plno pss pelo menos um plno perpendiculr. b) projeção ortogonl sobre um plno de um segmento oblíquo é menor do que o segmento. c) Um ret ortogonl dus rets concorrentes de um plno é perpendiculr o plno. d) Um plno perpendiculr à dois plnos concorrentes é perpendiculr à intersecção deles. e) No espço, dus rets perpendiculres um terceir ret são prlels. ) V b) V c) V d) V e) resp. e) s t r cubo ret r é perpendiculr à ret s. ret r é perpendiculr à ret t. s rets s e t não são prlels entre si. Jec 09 14
15 19) figur o ldo represent um cubo de vértices,,,, E,, G e H. om bse ness figur e utilizndo os vértices como pontos, s rests como rets suportes ds rets (entende-se: é um ret ms não contém nenum rest) e s fces como plnos, respond s solicitções bixo. Observção - N correção, s resposts ds solicitções serão considerds certs ou errds (não existe meio cert), levndose em considerção o rigor mtemático dos termos próprios d Geometri de Posição. H G ) ite um ret que sej prlel distint com ret. esp. E b) ite um ret que sej perpendiculr à ret H. esp. l) etermine tods s rests do cubo que são ortogonis à ret E. esp. c) ite um ret que sej ortogonl com ret EH. esp. d) ite um ret que sej concorrente com ret. esp. e) ite um plno que sej prlelo distinto com o plno E. esp. f) ite um plno que sej perpendiculr o plno EHG. esp. g) ite um plno que sej secnte ou concorrente com o plno. esp. ) O que é e qul é intersecção entre s rets HG e EH? esp. i) O que é e qul é intersecção entre ret H e o plno? esp. m) etermine tods s rests do cubo que são concorrentes com ret H. esp. n) etermine tods s rests do cubo que são prlels o plno G. esp. o) etermine tods s rests do cubo que são prlels o plno H. esp. p) etermine tods s fces do cubo que são prlels à rest G. esp. q) etermine tods s fces do cubo que são perpendiculres à fce E. esp. r) etermine todos os vértices do cubo que não estão contidos no plno GH. esp. j) O que é e qul é intersecção entre o plno E e o plno GH? esp. s) etermine tods s rests do cubo que são prlels distints à rest. esp. k) etermine tods s rests do cubo que são perpendiculres à ret. esp. t) etermine todos os vértices do cubo que não estão contidos no plno EG. esp. Jec 10 15
16 19) figur o ldo represent um cubo de vértices,,,, E,, G e H. om bse ness figur e utilizndo os vértices como pontos, s rests como rets suportes ds rets (entende-se: é um ret ms não contém nenum rest) e s fces como plnos, respond s solicitções bixo. Observção - N correção, s resposts ds solicitções serão considerds certs ou errds (não existe meio cert), levndose em considerção o rigor mtemático dos termos próprios d Geometri de Posição. H G ) ite um ret que sej prlel distint com ret. Podem ser citds s rets esp., GH ou E b) ite um ret que sej perpendiculr à ret H. esp. Podem ser citds s rets,, EH ou GH c) ite um ret que sej ortogonl com ret EH. esp. Podem ser citds s rets,, ou G d) ite um ret que sej concorrente com ret. Podem ser citds s rets esp., E, ou H e) ite um plno que sej prlelo distinto com o plno E. esp. HG f) ite um plno que sej perpendiculr o plno EHG. esp. Podem ser citdos os plnos E, G, HG ou EH g) ite um plno que sej secnte ou concorrente com o plno. esp. Podem ser citdos os plnos E, G, HG ou EH ) O que é e qul é intersecção entre s rets HG e EH? esp. intersecção entre s rets HG e EH é um ponto. O ponto H. i) O que é e qul é intersecção entre ret H e o plno? esp. ret H é prlel o plno. Não existe intersecção entre H e. j) O que é e qul é intersecção entre o plno E e o plno GH? esp. É um ret. intersecção entre o plno E e o plno GH é ret E. k) etermine tods s rests do cubo que são perpendiculres à ret. esp.,, e G. E l) etermine tods s rests do cubo que são ortogonis à ret E. esp., H, e G m) etermine tods s rests do cubo que são concorrentes com ret H. esp.,, EH e GH n) etermine tods s rests do cubo que são prlels o plno G. esp., H, HE e E o) etermine tods s rests do cubo que são prlels o plno H. esp. E e G p) etermine tods s fces do cubo que são prlels à rest G. esp. E e HE q) etermine tods s fces do cubo que são perpendiculres à fce E. esp., G, GHE e HE r) etermine todos os vértices do cubo que não estão contidos no plno GH. esp.,, e s) etermine tods s rests do cubo que são prlels distints à rest. esp., GH e E t) etermine todos os vértices do cubo que não estão contidos no plno EG. esp.,,, e H Jec 10 16
17 0) figur o ldo é um prlelepípedo retorretngulr de dimensões E = 6 cm, = 8 cm e = 10 cm. Os pontos, S, T e U são os centros ds fces HE, HG, G e EGH, respectivmente. Sendo,,,, E,, G e H os vértices desse prlelepípedo, determinr o que se pede em cd questão seguir : ) Quis rests do prlelepípedo são prlels distints à rest? esp. E H U S T G b) Qul posição reltiv entre s rets HG e? esp. m) Quis rests do prlelepípedo são prlels o plno G? esp c) O que é e qul é intersecção entre os plnos e EH? esp. n) Quis fces do prlelepípedo são prlels o plno H? esp. d) Qul distânci entre o ponto T e o plno GH? esp. e) Quis rests do prlepepípedo são perpendiculres à rest E? esp. f) Quis rests do prlelepípedo são ortogonis à rest? esp. g) Quis fces do prlelepípedo são perpendiculres o plno EH? esp. ) Qul distânci entre o ponto e o plno? esp. i) O que é e qul é intersecção entre os plnos GH e H? esp. j) Qul posição reltiv entre s rets e H? esp. l) Qul distânci entre os pontos S e? esp. o) Qul tngente do ângulo formdo entre os plnos e H? esp. p) O que é e qul é intersecção entre s rets H e EG? esp. q) Quis vértices do prlelepípedo distm 10 cm do vértice E? esp r) Quis fces do prlelepípedo contêm o vértice? esp. s) Quis rests do prlelepípedo são ortogonis à ret? esp. t) O que é e qul é intersecção entre os plnos HG e E? esp. u) Qul medid d som dos comprimentos de tods s rests do prlelepípedo? esp. Jec 11 17
18 0) figur o ldo é um prlelepípedo retorretngulr de dimensões E = 6 cm, = 8 cm e = 10 cm. Os pontos, S, T e U são os centros ds fces HE, HG, G e EGH, respectivmente. Sendo,,,, E,, G e H os vértices desse prlelepípedo, determinr o que se pede em cd questão seguir : ) Quis rests do prlelepípedo são prlels distints à rest? esp. EH, G e E H U S T G b) Qul posição reltiv entre s rets HG e? esp. São rets reverss e ortogonis. c) O que é e qul é intersecção entre os plnos e EH? esp. É um conjunto vzio. Não existe intersecção. d) Qul distânci entre o ponto T e o plno GH? esp. d = 4 cm e) Quis rests do prlepepípedo são perpendiculres à rest E? esp. E, EH, e G m) Quis rests do prlelepípedo são prlels o plno G? esp, H, HE e E n) Quis fces do prlelepípedo são prlels o plno H? esp. E o) Qul tngente do ângulo formdo entre os plnos e H? esp. tg q = 8 / 10 = 4 / 5 p) O que é e qul é intersecção entre s rets H e EG? esp. É um ponto. O ponto U. f) Quis rests do prlelepípedo são ortogonis à rest? esp. E, EH, e G g) Quis fces do prlelepípedo são perpendiculres o plno EH? esp., GH, EGH e E ) Qul distânci entre o ponto e o plno? esp. d = 6 cm i) O que é e qul é intersecção entre os plnos GH e H? esp. É um ret. ret H. j) Qul posição reltiv entre s rets e H? esp. São rets reverss. l) Qul distânci entre os pontos S e? esp. d = = 41 d = 41 cm Jec 11 q) Quis vértices do prlelepípedo distm 10 cm do vértice E? esp e r) Quis fces do prlelepípedo contêm o vértice? esp., HG e EH s) Quis rests do prlelepípedo são ortogonis à ret? esp. e HG t) O que é e qul é intersecção entre os plnos HG e E? esp. É um ret. ret T. u) Qul medid d som dos comprimentos de tods s rests do prlelepípedo? esp. S = = S = 96 cm 18
19 1) figur 01 o ldo represent um prism exgonl regulr de vértices,,,, E,, G, H, I, J, L e M visto em perspectiv, e figur 0 su bse vist por cim. om bse nesss figurs e utilizndo os vértices como pontos, s rets suportes ds rests como rets e s fces como plnos, respond s solicitções bixo. pens usr como resposts s rets que contenm um rest. Por exemplo: E é um ret ms não contém nenum rest. figur 01 H I G J M L Observção - N correção, s resposts ds solicitções serão considerds certs ou errds (não existe meio cert), levndose em considerção o rigor mtemático dos termos próprios d Geometri de Posição. E ) ite um ret que sej prlel distint com ret. esp. figur 0 E b) ite um ret que sej perpendiculr à ret J. esp. c) ite um ret que sej ortogonl com ret E. esp. d) ite um ret que sej concorrente com ret. esp. e) ite um plno que sej prlelo distinto com o plno GM. esp. f) ite um plno que sej perpendiculr o plno JLE. esp. g) ite um plno que sej secnte ou concorrente com o plno H. esp. ) O que é e qul é intersecção entre s rets HG e GM? esp. i) O que é e qul é intersecção entre ret e o plno HI? esp. j) O que é e qul é intersecção entre o plno E e o plno J? esp. k) etermine tods s rets do prism que são perpendiculres à ret G. esp. l) etermine tods s rets do prism que são ortogonis à ret E. esp. m) etermine tods s rets do prism que são concorrentes com ret. esp. n) etermine tods s rets do prism que são prlels o plno E. esp. o) etermine tods s rets do prism que são prlels o plno H. esp. p) etermine tods s fces do prism que são prlels à ret J. esp. q) etermine tods s fces do prism que são perpendiculres à fce E. esp. r) etermine todos os vértices do prism que não estão contidos no plno JL. esp. s) etermine tods s rets do prism que são perpendiculres à ret. esp. t) etermine tods s rets do prism contids no plno GM. esp. Jec 1 19
20 1) figur 01 o ldo represent um prism exgonl regulr de vértices,,,, E,, G, H, I, J, L e M visto em perspectiv, e figur 0 su bse vist por cim. om bse nesss figurs e utilizndo os vértices como pontos, s rets suportes ds rests como rets e s fces como plnos, respond s solicitções bixo. pens usr como resposts s rets que contenm um rest. Por exemplo: E é um ret ms não contém nenum rest. figur 01 H I G J M L Observção - N correção, s resposts ds solicitções serão considerds certs ou errds (não existe meio cert), levndose em considerção o rigor mtemático dos termos próprios d Geometri de Posição. E ) ite um ret que sej prlel distint com ret. esp. E, JL ou GH figur 0 E b) ite um ret que sej perpendiculr à ret J. esp. JL, JI, E ou c) ite um ret que sej ortogonl com ret E. esp. M, G, H ou I d) ite um ret que sej concorrente com ret., E, E., M ou G esp. e) ite um plno que sej prlelo distinto com o plno GM. esp. JI f) ite um plno que sej perpendiculr o plno JLE. esp. GHIJLM ou E g) ite um plno que sej secnte ou concorrente com o plno H. esp. GHIJLM, E, HI, MG, EML ou JI ) O que é e qul é intersecção entre s rets HG e GM? esp. É um ponto. O ponto G. i) O que é e qul é intersecção entre ret e o plno HI? esp. É um ponto. O ponto. j) O que é e qul é intersecção entre o plno E e o plno J? esp. É um ret. ret. k) etermine tods s rets do prism que são perpendiculres à ret G. esp. GM, GH, e l) etermine tods s rets do prism que são ortogonis à ret E. esp. G, H, I e J Jec 1 m) etermine tods s rets do prism que são concorrentes com ret. esp. E, E,,, I e J n) etermine tods s rets do prism que são prlels o plno E. esp. IJ, JL, LM, MG, GH e HI o) etermine tods s rets do prism que são prlels o plno H. esp. ML, E, J, LE, M e G p) etermine tods s fces do prism que são prlels à ret J. esp. ELM, MG, GH e HI q) etermine tods s fces do prism que são perpendiculres à fce E. esp. HG, IH, JI, ELJ, EML e GM r) etermine todos os vértices do prism que não estão contidos no plno JL. esp. M, G, H, I,,, e s) etermine tods s rets do prism que são perpendiculres à ret. esp. H e G t) etermine tods s rets do prism contids no plno GM. esp. GM, M, e G 0
21 ) s questões bixo referem-se o prlelepípedo retorretngulr EGH o ldo, cujs dimensões são: = 9 cm, = 1 cm e E = 6 cm. E H G ) Qul é distânci, em cm, entre o ponto E e o plno G? ) 6 b) 1 c) 9 d) 8 e) 10 b) Qul é distânci, em cm, entre ret e ret GH? ) 7 5 b) 5 7 c) 5 6 d) 6 5 e) 7 6 c) Qul é distânci, em cm, entre s rets e H? ) 9 b) 6 c) 8 d) 1 e) 10 d) Qul é distânci, em cm, entre o ponto G e ret H? ) 6/5 b) 4/5 c) 18/5 d) 7/5 e) 1/5 e) Qul é distânci, em cm, entre o ponto H e o ponto? ) 7 b) 47 c) 57 d) 61 e) 5 f) Qul é distânci, em cm, entre ret G e ret? ) 109 b) 117 c) 1 d) 11 e) 17 g) Qul é tngente do ângulo formdo entre ret H e fce EGH? ) /5 b) / c) / d) /4 e) 4/ ) Qul é tngente do ângulo formdo entre os plnos G e H? ) / b) 5/ c) / d) /4 e) 4/ Jec 1 1
22 ) s questões bixo referem-se o prlelepípedo retorretngulr EGH o ldo, cujs dimensões são: = 9 cm, = 1 cm e E = 6 cm. E H G ) Qul é distânci, em cm, entre o ponto E e o plno G? ) 6 b) 1 c) 9 d) 8 e) 10 b) Qul é distânci, em cm, entre ret e ret GH? ) 7 5 b) 5 7 c) 5 6 d) 6 5 e) 7 6 E G H E = 9 cm E G H (H) = (E) + (EH) (H) = (H) = 180 H = 6 5 cm c) Qul é distânci, em cm, entre s rets e H? ) 9 b) 6 c) 8 d) 1 e) 10 d) Qul é distânci, em cm, entre o ponto G e ret H? ) 6/5 b) 4/5 c) 18/5 d) 7/5 e) 1/5 elções métrics no triângulo retângulo. = b. c E G H d = = 6 cm E N G H H. GN = HG. G (H) = = 5 H = 15 cm 15. GN = 9. 1 GN = 108 / 15 GN = 6 / 5 cm e) Qul é distânci, em cm, entre o ponto H e o ponto? ) 7 5 b) 1 c) 5 11 d) 9 e) 4 17 f) Qul é distânci, em cm, entre ret G e ret? ) 4 7 b) 1 c) 7 d) 8 e) 1 H = 15 cm (clculdo no ítem d) (H) = (H) + () (H) = = 61 H = 61 = 9 cm (G) = (H) + (HG) (G) = = 117 G = 117 = 1 cm E H E H G G g) Qul é tngente do ângulo formdo entre ret H e fce EGH? ) /5 b) / c) / d) /4 e) 4/ ) Qul é tngente do ângulo formdo entre os plnos G e H? ) / b) 5/ c) / d) /4 e) 4/ tg q = / H tg q = 6 /15 tg q = / 5 tg q = HG / G tg q = 9 / 6 tg q = / E q H E q H G Jec 1 G
23 ) s peçs 1 e são mciçs e se fossem dividids, junts formrim 8 cubos idênticos. Mntendo-se peç 1 n mesm posição e juntndo-se s peçs 1 e, form-se um sólido composto n form de um cubo mior. Utilizndo os esboços bixo, represente trvés de um deseno visão que você teri olndo frontlmente s fces,,, e E do cubo composto. fce fce E fce fce fce peç 1 peç esboços fce fce fce fce fce fce E 4) s peçs 1 e são mciçs e se fossem dividids, junts formrim 8 cubos idênticos. Mntendo-se peç 1 n mesm posição e juntndo-se s peçs 1 e, form-se um sólido composto n form de um cubo mior. Utilizndo os esboços bixo, represente trvés de um deseno visão que você teri olndo frontlmente s fces,,, e E do cubo composto. fce fce E fce fce fce peç 1 peç esboços fce fce fce fce fce fce E 5) figur 1 mostr um cubo, que se fosse dividido em 7 cubos menores e idênticos, formrim figur, com s sus respectivs fces,, e. figur mostr um prte retird do cubo originl. Mntendo-se bse do cubo n mesm posição, desene nos esboços bixo como você visuliz s fces,, e pós retird do corpo d figur. figur 1 figur figur esboços fce fce fce fce Jec 14
24 ) s peçs 1 e são mciçs e se fossem dividids, junts formrim 8 cubos idênticos. Mntendo-se peç 1 n mesm posição e juntndo-se s peçs 1 e, form-se um sólido composto n form de um cubo mior. Utilizndo os esboços bixo, represente trvés de um deseno visão que você teri olndo frontlmente s fces,,, e E do cubo composto. fce fce E fce fce fce peç 1 peç esboços fce fce fce fce fce fce E 4) s peçs 1 e são mciçs e se fossem dividids, junts formrim 8 cubos idênticos. Mntendo-se peç 1 n mesm posição e juntndo-se s peçs 1 e, form-se um sólido composto n form de um cubo mior. Utilizndo os esboços bixo, represente trvés de um deseno visão que você teri olndo frontlmente s fces,,, e E do cubo composto. fce fce E fce fce fce peç 1 peç esboços fce fce fce fce fce fce E 5) figur 1 mostr um cubo, que se fosse dividido em 7 cubos menores e idênticos, formrim figur, com s sus respectivs fces,, e. figur mostr um prte retird do cubo originl. Mntendo-se bse do cubo n mesm posição, desene nos esboços bixo como você visuliz s fces,, e pós retird do corpo d figur. figur 1 figur figur esboços fce fce fce fce Jec 14 4
25 J P geometri espcil 6) Um cubo é composto pels fces J,, P, L, G e. figur 1 bixo, mostr o cubo, figur mostr plnificção do cubo com s sus respectivs fces e figur mostr dois observdores, e, olndo frontlmente, e sempre d mesm posição, um ds fces do cubo. Em cd cso bixo, desene form que cd observdor visuliz fce observd. J figur 1 figur G L Observdor J Observdor figur Observdor Observdor J (exemplo) P L figur 1 ) Observdor Observdor P L figur 1 b) Observdor Observdor L G J figur 1 c) Observdor Observdor G P figur 1 d) Observdor Observdor G J J figur 1 e) Observdor Observdor L figur 1 Jec 15 5
26 J P G geometri espcil 6) Um cubo é composto pels fces J,, P, L, G e. figur 1 bixo, mostr o cubo, figur mostr plnificção do cubo com s sus respectivs fces e figur mostr dois observdores, e, olndo frontlmente, e sempre d mesm posição, um ds fces do cubo. Em cd cso bixo, desene form que cd observdor visuliz fce observd. J figur 1 figur G L Observdor J Observdor figur Observdor Observdor J (exemplo) P L figur 1 ) Observdor Observdor P L J figur 1 b) Observdor Observdor G L figur 1 J P c) Observdor Observdor G P J figur 1 d) Observdor Observdor G J L P J figur 1 e) Observdor Observdor L figur 1 Jec 15 6
27 G geometri espcil esposts d ul 01 s resposts ds firmções Verddeirs ou lss ds págins 05 e 06 estão n págin 06. esposts d ul 01 - Exercícios complementres. 01) e 0) 0) b 04) = 9 cm 05) 5 cm 06) d 07) b 08) emonstrção r r é perpendiculr s (do enuncido). ' é perpendiculr porque é projeção ortogonl. ret r é perpendiculr ou ortogonl dus rets concorrentes do plno '. Portnto ret r é perpendiculr o plno '. Se ret ' está contid no plno ', então ret r é perpendiculr à ret '. (Q) 09) b r 10) b 11) e 1) d 1) emonstrção p Sejm e dois pontos d ret r e ' e ' sus projeções ortogonis sobre o plno p. ret de p ortogonl r é únic ret de p que pss por P e é perpendiculr à ret ''. Portnto é únic. (Q) 14) e 15) c 16) b 17) e 18) e 19) ), HG ou E b),, EH ou GH c),, ou G d), H, E ou e) H f) E, H, G ou E g) E, H, G ou E ) o ponto H i) não existe intersecção j) ret E k),, e G l), G, e H m),, EH e GH n), H, HE e E o) E e G p) E e H q), G, EG e EH r),, e s), GH e E t),,, H e 0) ), G e EH b) rets reverss e ortogonis c) não existe intersecção d) 4 cm e) E, EH, e G f) E, EH, e G g), HG, HE e E ) 6 cm s ' ' P esposts d ul 01. ' Jec 16 0) i) ret H j) rets reverss l) 41 cm m), H, HE e E n) o) 4/5 p) o ponto U q) e r), H e H s) e HG t) ret T u) 96 cm 1) ) E, JL ou HG b) JI, JL, ou E c) I, H, G ou M d),, G, M, E ou E e) J f) JLM ou E g) GHI,, I, I, M ou EM ) o ponto G i) o ponto j) ret k) GH, GM, e l) J, I, H e G m) E, E, J, I, e n) HI, IJ, JL, LM, MG e GH o) ML, E, J, LE, M e G p) H, HG, GM e ML q) GH, MG, LME, JL, IJ e HI r) M, G, H, I,,, e s) H e G t) GM, M, G e ) ) c b) d c) b d) e) d f) b g) ) c ) 4) 5) 6) ) b) c) d) e) fce fce fce fce fce E fce fce fce fce fce E fce fce fce fce Obs. J L Obs. P J P vor comunicr eventuis erros deste trblo trvés do e-mil jecjec@uol.com.br Obrigdo. 7
28 Estudos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs Octvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri Espcil Métric ul 0 Poliedros convexos. I - Elementos dos poliedros. Poliedro - É região do espço limitd por qutro ou mis polígonos plnos. ce do poliedro - É qulquer polígono plno que limit o poliedro. ângulo poliédrico rest fce rest do poliedro - É o segmento obtido d intersecção de dus fces. Vértice do poliedro - É o ponto obtido d intersecção de três ou mis rests. Ângulo poliédrico - É região do espço constituíd por um vértice e três ou mis rests. Poliedro convexo - Um poliedro é dito convexo se, ddos dois pontos quisquer do poliedro, o segmento que os une está inteirmente contido nele. vértice poliedro convexo poliedro não convexo lssificção dos poliedros. 4 fces - tetredro 5 fces - pentedro 6 fces - exedro 7 fces - eptedro 8 fces - octedro 9 fces - eneedro 10 fces - decedro 11 fces - undecedro 1 fces - dodecedro 1 fces - tridecedro 14 fces - qudridecedro 15 fces - pentdecedro 16 fces - exdecedro 17 fces - eptdecedro 18 fces - octodecedro 19 fces - enedecedro 0 fces - icosedro lssificção dos ângulos poliédricos. rests - ângulo triédrico 4 rests - ângulo tetrédrico 5 rests - ângulo pentédrico 6 rests - ângulo exédrico etc Poliedros de Pltão. Um poliedro é dito de Pltão se: - é convexo e fecdo; - tem tods s fces do mesmo tipo; - tem todos os vértices do mesmo tipo. elção de Euler. Todo poliedro convexo e fecdo stisfz relção: V - + = Som ds medids dos ângulos internos de tods s fces do poliedro convexo. S = 60 (V - ) álculo do número de rests de um poliedro convexo. ) trvés ds fces. b) trvés dos vértices. = n. m. V = - número de rests do poliedro. n - número de ldos de cd fce. - número de fces do mesmo tipo. m - número de rests de cd vértice poliédrico. V - número de vértices poliédricos do mesmo tipo. V - nº de vértices - nº de rests - nº de fces S - som dos ângulos V - nº de vértices Poliedro regulr. Um poliedro é dito regulr se tem tods s fces formds por polígonos regulres e congruentes. Existem pens 5 poliedros regulres Existem pens 5 poliedros de Pltão. Tetredro Hexedro Octedro odecedro Icosedro é de Pltão não é de Pltão Jec 17 Tetredro regulr Hexedro regulr Octedro regulr odecedro regulr Icosedro regulr 4 5 nº de ldos de cd fce - Todo poliedro regulr é de Pltão ms nem todo poliedro de Pltão é regulr. - Todo poliedro regulr pode ser inscrito e circunscrito num esfer. 8
29 Poliedros regulres (T H O I) Tetredro Hexedro Octedro odecedro Icosedro 01) etermine o número de vértices de um poliedro convexo fecdo que tem 1 fce pentgonl, 5 fces tringulres e 5 fces qudrngulres. 0) etermine o número de fces de um poliedro convexo fecdo que tem 6 vértices triédricos e 14 vértices tetrédricos. Observção - figur foi colocd no exercício pr que o luno poss comprovr vercidde dos cálculos. 0) etermine o número de vértices de um poliedro convexo e fecdo que tem 1 fce exgonl, 4 fces tringulres e fces qudrngulres. Observção - figur foi colocd no exercício pr que o luno poss comprovr vercidde dos cálculos. 04) etermine o número de fces de um poliedro convexo e fecdo que tem 7 vértices tetrédricos e vértices eptédricos. 05) (UJ-MG) figur seguir represent plnificção de um poliedro convexo. O número de vértices desse poliedro é: ) 1 b) 14 c) 16 d) 0 e) 06) (UTM-MG) Um poliedro convexo, com rests e 14 vértices, possui pens fces tringulres e qudrngulres. Sendo q o número de fces qudrngulres e t o número de fces tringulres, então os vlores de q e t são, respectivmente, ) q = 6 e t = 14 b) q = 16 e t = 4 c) q = 4 e t = 14 d) q = 14 e t = 4 e) q = 4 e t = 16 Jec 18 9
30 Poliedros regulres (T H O I) Tetredro Hexedro Octedro odecedro Icosedro 01) etermine o número de vértices de um poliedro convexo fecdo que tem 1 fce pentgonl, 5 fces tringulres e 5 fces qudrngulres. 1 fce pentgonl 5 fces tringulres 5 fces qudrngulres = 11 fces = n. = = 0 rests Euler V - + = V = V = 11 fces (resp.) Observção - figur foi colocd no exercício pr que o luno poss comprovr vercidde dos cálculos. 0) etermine o número de vértices de um poliedro convexo e fecdo que tem 1 fce exgonl, 4 fces tringulres e fces qudrngulres. 1 fce exgonl 4 fces tringulres fces qudrngulres = 7 fces = n. = = 1 rests Euler V - + = V = V = 8 vértices (resp.) 0) etermine o número de fces de um poliedro convexo fecdo que tem 6 vértices triédricos e 14 vértices tetrédricos. 6 vértices triédricos 14 vértices tetrédricos V = 0 vértices m.v =. 6 = = 7 rests Euler V - + = = = 19 fces (resp.) Observção - figur foi colocd no exercício pr que o luno poss comprovr vercidde dos cálculos. 04) etermine o número de fces de um poliedro convexo e fecdo que tem 7 vértices tetrédricos e vértices eptédricos. 7 vértices tetrédricos vértices eptédricos V = 9 vértices m.v = 4. 7 = + 7. = 1 rests Euler V - + = = = 14 fces (resp.) 05) (UJ-MG) figur seguir represent plnificção de um poliedro convexo. O número de vértices desse poliedro é: ) 1 b) 14 c) 16 d) 0 e) 6 fces qudrngulres 8 fces tringulres = 14 fces = n = +. 8 = 4 rests Euler V - + = V = V = 1 fces (resp.) Jec 18 06) (UTM-MG) Um poliedro convexo, com rests e 14 vértices, possui pens fces tringulres e qudrngulres. Sendo q o número de fces qudrngulres e t o número de fces tringulres, então os vlores de q e t são, respectivmente, ) q = 6 e t = 14 b) q = 16 e t = 4 c) q = 4 e t = 14 d) q = 14 e t = 4 e) q = 4 e t = 16 q fces qudrngulres (0 - q) fces tringulres = n. 4. q = +. (0 - q) q = 4 fces qudrngulres t = 0-4 = 16 fces tringulres = rests V = 14 vértices Euler V - + = = = 0 fces 0
31 Estudos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs Octvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri Espcil Métric ul 0 Exercícios complementres. (Poliedros convexos) 07) Preenc tbel o ldo, sbendo que: n - nº de ldos de cd fce do poliedro regulr; - nº de fces do poliedro regulr; - nº de rests do poliedro regulr; m - nº de rests de cd vértice poliédrico do poliedro; V - nº de vértices poliédricos do poliedroregulr; S - som ds medids dos ângulos internos ds fces do poliedro regulr. Tetredro regulr Hexedro regulr Octedro regulr odecedro regulr Icosedro regulr n m V S 08) Qunts fces tem um poliedro convexo fecdo que tem vértices pentédricos, 10 vértices tetrédricos e 10 vértices triédricos? ) 5 b) 18 c) 16 d) 4 e) 0 09) Um poliedro convexo tem o mesmo número de fces tringulres e qudrngulres. Qul o número de vértices desse poliedro, sbendo-se que tem 1 rests e pens esses dois tipos de fce? ) 9 b) 15 c) 11 d) 1 e) 1 10) Qul é som ds medids dos ângulos internos de tods s fces de um poliedro convexo fecdo que tem 0 fces e 0 rests? ) 560º b) 160º c) 800º d) 600º e) 560º 11) Um poliedro convexo fecdo tem 1 fce decgonl, 10 fces tringulres e 6 fces pentgonis. Qul é o número de vértices desse poliedro? ) 4 b) 0 c) 18 d) 16 e) 5 Jec 19 1
4 π. 8 π Considere a função real f, definida por f(x) = 2 x e duas circunferência C 1 e C 2, centradas na origem.
EFOMM 2010 1. Anlise s firmtivs bixo. I - Sej K o conjunto dos qudriláteros plnos, seus subconjuntos são: P = {x K / x possui ldos opostos prlelos}; L = {x K / x possui 4 ldos congruentes}; R = {x K /
Leia maisUnidade 8 Geometria: circunferência
Sugestões de tividdes Unidde 8 Geometri: circunferênci 8 MTMÁTI Mtemátic. s dus circunferêncis n figur seguir são tngentes externmente. 3. N figur estão representdos um ângulo inscrito com vértice em P
Leia mais2. Prisma de base hexagonal: formado 8 faces, 2 hexágonos (bases), 6 retângulos (faces laterais).
unifmu Nome: Professor: Ricrdo Luís de Souz Curso de Design Mtemátic Aplicd Atividde Explortóri V Turm: Dt: SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: CÁLCULO DE ÁREA SUPERFICIAL E DE VOLUME Objetivo: Conecer e nomer os principis
Leia maisMatemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo
Mtemátic ásic II - Trigonometri Not 0 - Trigonometri no Triângulo Retângulo Márcio Nscimento d Silv Universidde Estdul Vle do crú - UV urso de Licencitur em Mtemátic mrcio@mtemticuv.org 18 de mrço de 014
Leia maisCurso de linguagem matemática Professor Renato Tião. b) Sua diagonal
urso de lingugem mtemátic Professor Rento Tião 1. s dimensões de um prlelepípedo reto-retângulo são m, 4m e 1m. lcule: ) Su áre totl. b) Seu volume. c) Su digonl.. s dimensões x, y, z de um prlelepípedo
Leia maisGEOMETRIA ESPACIAL. 1) O número de vértices de um dodecaedro formado por triângulos é. 2) O número de diagonais de um prisma octogonal regular é
GEOMETRIA ESPACIAL 1) O número de vértices de um dodecedro formdo por triângulos é () 6 (b) 8 (c) 10 (d) 15 (e) 0 ) O número de digonis de um prism octogonl regulr é () 0 (b) (c) 6 (d) 40 (e) 60 ) (UFRGS)
Leia maisAB AC BC. k PQ PR QR AULA 1 - GEOMETRIA PLANA CONCEITOS BÁSICOS SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS. Triângulos isósceles
AULA - GEOMETRIA PLANA Triângulos isósceles CONCEITOS BÁSICOS Rets prlels cortds por um trnsversl São queles que possuem dois ldos iguis. Ligndo o vértice A o ponto médio d bse BC, germos dois triângulos
Leia maisCONCURSO DE SELEÇÃO 2003 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
CONCURSO DE SELEÇÃO 003 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 41100 0$7(0É7,&$ RESOLUÇÃO PELA PROFESSORA MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA $ LOXVWUDomR TXH VXEVWLWXL D RULJLQDO GD TXHVWmR H DV GDV UHVROXo}HV
Leia maisResolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução
(9) - www.elitecmpins.com.br O ELITE RESOLVE MATEMÁTICA QUESTÃO Se Améli der R$, Lúci, então mbs ficrão com mesm qunti. Se Mri der um terço do que tem Lúci, então est ficrá com R$, mis do que Améli. Se
Leia maisRESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 2016 FASE 2. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA
RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 6 FASE. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA. O gráfico de brrs bixo exibe distribuição d idde de um grupo de pessos. ) Mostre que, nesse grupo,
Leia maisGeometria plana. Resumo teórico e exercícios.
Geometri pln. Resumo teórico e eercícios. 3º olegil / urso tensivo. utor - Lucs ctvio de Souz (Jec) Relção ds uls. Págin ul 01 - onceitos iniciis... 0 ul 0 - Pontos notáveis de um triângulo... 18 ul 03
Leia maisReta vertical é uma reta paralela ao eixo das ordenadas, é do tipo: Reta vertical é uma reta paralela ao eixo das ordenadas, é do tipo:
mta0 geometri nlític Referencil crtesino no plno Referencil Oxy o.n. (ortonormdo) é um referencil no plno em que os eixos são perpendiculres (referencil ortogonl) s uniddes de comprimento em cd um dos
Leia maisESTÁTICA DO SISTEMA DE SÓLIDOS.
Definições. Forçs Interns. Forçs Externs. ESTÁTIC DO SISTEM DE SÓLIDOS. (Nóbreg, 1980) o sistem de sólidos denomin-se estrutur cuj finlidde é suportr ou trnsferir forçs. São quels em que ção e reção, pertencem
Leia mais{ 2 3k > 0. Num triângulo, a medida de um lado é diminuída de 15% e a medida da altura relativa a esse lado é aumentada
MATEMÁTICA b Sbe-se que o qudrdo de um número nturl k é mior do que o seu triplo e que o quíntuplo desse número k é mior do que o seu qudrdo. Dess form, k k vle: ) 0 b) c) 6 d) 0 e) 8 k k k < 0 ou k >
Leia maisUnidade 2 Geometria: ângulos
Sugestões de tividdes Unidde 2 Geometri: ângulos 7 MTEMÁTIC 1 Mtemátic 1. Respond às questões: 5. Considere os ângulos indicdos ns rets ) Qul é medid do ângulo correspondente à metde de um ân- concorrentes.
Leia maisIME MATEMÁTICA. Questão 01. Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. Resolução:
IME MATEMÁTICA A mtemátic é o lfbeto com que Deus escreveu o mundo Glileu Glilei Questão Clcule o número nturl n que torn o determinnte bixo igul 5. log (n ) log (n + ) log (n ) log (n ) Adicionndo s três
Leia maisGEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL
GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL .. PARALELEPÍPEDOS RETÂNGULOS Um paralelepípedo retângulo é um prisma reto cujas bases são retângulos. AB CD A' B' C' D' a BC AD B' C' A' D' b COMPRIMENTO LARGURA AA' BB' CC'
Leia maisRESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE 1 DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-2007 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA
RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-7 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA Questão Sore números reis, é correto firmr: () Se é o mior número de três lgrismos divisível
Leia maisMatemática D Extensivo V. 6
Mtemátic D Extensivo V. 6 Exercícios 0) ) cm Por definição temos que digonl D vle: D = D = cm. b) 6 cm² A áre d lterl é dd pel som ds áres dos qutro ldos que compõe: =. ² =. ( cm)² = 6 cm² c) 96 cm² O
Leia maisMatemática. 2 log 2 + log 3 + log 5 log 5 ( ) 10 2 log 2 + log 3 + log. 10 log. 2 log 2 + log 3 + log 10 log 2 log 10 log 2.
Mtemátic Aotno-se os vlores log = 0,30 e log 3 = 0,48, riz equção x = 60 vle proximmente: ), b),8 c) 4 ),4 e),67 x = 60 log x = log 60 x. log = log (. 3. ) x = x = log + log 3 + log log 0 log + log 3 +
Leia maisÂngulo completo (360 ) Agora, tente responder: que ângulos são iguais quando os palitos estão na posição da figura abaixo?
N Aul 30, você já viu que dus rets concorrentes formm qutro ângulos. Você tmbém viu que, qundo os qutro ângulos são iguis, s rets são perpendiculres e cd ângulo é um ângulo reto, ou sej, mede 90 (90 grus),
Leia maisMatemática. Resolução das atividades complementares. M13 Progressões Geométricas
Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Progressões Geométrics p. 7 Qul é o o termo d PG (...)? q q? ( ) Qul é rzão d PG (...)? q ( )? ( ) 8 q 8 q 8 8 Três números reis formm um PG de som e produto
Leia maisVestibular UFRGS 2013 Resolução da Prova de Matemática
Vestibulr UFRG 0 Resolução d Prov de Mtemátic 6. Alterntiv (C) 00 bilhões 00. ( 000 000 000) 00 000 000 000 0 7. Alterntiv (B) Qundo multiplicmos dois números com o lgrismo ds uniddes igul 4, o lgrismo
Leia maisUma roda gigante tem 10m de raio e possui 12 assentos, igualmente espaçados, e gira no sentido horário.
Questão PROVA FINAL DE MATEMÁTICA - TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - OUTUBRO DE. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Um rod
Leia maisCalculando volumes. Para pensar. Para construir um cubo cuja aresta seja o dobro de a, de quantos cubos de aresta a precisaremos?
A UA UL LA 58 Clculndo volumes Pr pensr l Considere um cubo de rest : Pr construir um cubo cuj rest sej o dobro de, de quntos cubos de rest precisremos? l Pegue um cix de fósforos e um cix de sptos. Considerndo
Leia maisVestibular Comentado - UVA/2011.1
estiulr Comentdo - UA/0. Conecimentos Específicos MATEMÁTICA Comentários: Profs. Dewne, Mrcos Aurélio, Elino Bezerr. 0. Sejm A e B conjuntos. Dds s sentençs ( I ) A ( A B ) = A ( II ) A = A, somente qundo
Leia maisColegio Naval ) O algoritmo acima foi utilizado para o cálculo do máximo divisor comum entre os números A e B. Logo A + B + C vale
Colegio Nvl 005 01) O lgoritmo cim foi utilizdo pr o cálculo do máximo divisor comum entre os números A e B. Logo A + B + C vle (A) 400 (B) 300 (C) 00 (D) 180 (E) 160 Resolvendo: Temos que E 40 C E C 40
Leia maisRelações em triângulos retângulos semelhantes
Observe figur o ldo. Um escd com seis degrus está poid em num muro de m de ltur. distânci entre dois degrus vizinhos é 40 cm. Logo o comprimento d escd é 80 m. distânci d bse d escd () à bse do muro ()
Leia maisUNITAU APOSTILA DETERMINANTES PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: Bibliografia: Curso de Matemática Volume Único
ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA DETERMINANTES PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: Bibliogrfi: Curso de Mtemátic Volume Único Autores: Binchini&Pccol Ed. Modern Mtemátic
Leia maisSólidos semelhantes. Segmentos proporcionais Área Volume
Sólios semelntes Segmentos proporcionis Áre olume Sólios semelntes Consiere um pirâmie cuj se é um polígono qulquer: Se seccionrmos ess pirâmie por um plno prlelo à se, iiiremos pirâmie em ois outros sólios:
Leia maisAULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática
1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Lingugem Mtemátic AULA 1 1 1.2 Conjuntos Numéricos Chm-se conjunto o grupmento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de noss percepção ou de nosso entendimento, chmdos
Leia mais1 As grandezas A, B e C são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional a C.
As grndezs A, B e C são tis que A é diretmente proporcionl B e inversmente proporcionl C. Qundo B = 00 e C = 4 tem-se A = 5. Qul será o vlor de A qundo tivermos B = 0 e C = 5? B AC Temos, pelo enuncido,
Leia maisApostila De Matemática GEOMETRIA: REVISÃO DO ENSINO FUNDAMENTAL, PRISMAS E PIRÂMIDES
posti De Mtemátic GEOMETRI: REVISÃO DO ENSINO FUNDMENTL, PRISMS E PIRÂMIDES posti de Mtemátic (por Sérgio Le Jr.) GEOMETRI 1. REVISÃO DO ENSINO FUNDMENTL 1. 1. Reções métrics de um triânguo retânguo. Pr
Leia maisx n NOTA Tipo de Avaliação: Material de Apoio Disciplina: Matemática Turma: Aulão + Professor (a): Jefferson Cruz Data: 24/05/2014 DICAS do Jeff
NOTA Tipo de Avlição: Mteril de Apoio Disciplin: Mtemátic Turm: Aulão + Professor (): Jefferson Cruz Dt: 24/05/2014 DICAS do Jeff Olhr s lterntivs ntes de resolver s questões, principlmente em questões
Leia maisÂngulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou duas semiretas orientadas) a partir de um ponto comum.
O conceito de ângulo Ângulo é reunião de dois segmentos de ret orientdos (ou dus semirets orientds) prtir de um ponto comum. A interseção entre os dois segmentos (ou semi-rets) é denomind vértice do ângulo
Leia maisCOLÉGIO NAVAL 2016 (1º dia)
COLÉGIO NAVAL 016 (1º di) MATEMÁTICA PROVA AMARELA Nº 01 PROVA ROSA Nº 0 ( 5 40) 01) Sej S som dos vlores inteiros que stisfzem inequção 10 1 0. Sendo ssim, pode-se firmr que + ) S é um número divisíel
Leia maisTRIGONOMETRIA/GEOMETRIA 1 Arcos e ângulos
Nome: n o : Ensino: Médio érie: ª. Turm: Dt: rofessor: Márcio esumo TIGNMETI/GEMETI rcos e ângulos. Elementos: C: centro d circunferênci CB = C = : rio d circunferênci CB ˆ : ângulo centrl B : rco. Medid
Leia maisCurso Básico de Fotogrametria Digital e Sistema LIDAR. Irineu da Silva EESC - USP
Curso Básico de Fotogrmetri Digitl e Sistem LIDAR Irineu d Silv EESC - USP Bses Fundmentis d Fotogrmetri Divisão d fotogrmetri: A fotogrmetri pode ser dividid em 4 áres: Fotogrmetri Geométric; Fotogrmetri
Leia maistem-se: Logo, x é racional. ALTERNATIVA B AB : segmento de reta unindo os pontos A e B. m (AB) : medida (comprimento) de AB.
MÚLTIPL ESCOLH NOTÇÕES C : conjunto dos números compleos. Q : conjunto dos números rcionis. R : conjunto dos números reis. Z : conjunto dos números inteiros. N {0,,,,...}. N* {,,,...}. : conjunto vzio.
Leia maisMatemática UNICAMP ETAPA. Resposta. Resposta QUESTÃO 14 QUESTÃO 13
Mtemátic UNICAMP QUESTÃO 1 Em 1 de outubro de 01, Felix Bumgrtner quebrou o recorde de velocidde em qued livre. O slto foi monitordo oficilmente e os vlores obtidos estão expressos de modo proximdo n tbel
Leia maisAprender o conceito de vetor e suas propriedades como instrumento apropriado para estudar movimentos não-retilíneos;
Aul 5 Objetivos dest Aul Aprender o conceito de vetor e sus proprieddes como instrumento proprido pr estudr movimentos não-retilíneos; Entender operção de dição de vetores e multiplicção de um vetor por
Leia maisSomos o que repetidamente fazemos. A excelência portanto, não é um feito, mas um hábito. Aristóteles
c L I S T A DE E X E R C Í C I O S CÁLCULO INTEGRAL Prof. ADRIANO PEDREIRA CATTAI Somos o que repetidmente fzemos. A ecelênci portnto, não é um feito, ms um hábito. Aristóteles Integrl Definid e Cálculo
Leia maisSeu pé direito nas melhores faculdades
Seu pé direito ns melhores fculddes IBMEC 03/junho/007 ANÁLISE QUANTITATIVA E LÓGICA DISCUSIVA 01. O dministrdor de um boliche pretende umentr os gnhos com sus pists. Atulmente, cobr $ 6,00 por um hor
Leia maisMódulo de Leis dos Senos e dos Cossenos. Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 a série E.M.
Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 série E.M. Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 Eercícios Introdutórios Eercício 10. Três ilhs
Leia maism 2 m 1 V o d) 7 m/s 2 e) 8 m/s 2 m 1
Prof Questão 1 Um homem em um lnch deve sir do ponto A o ponto B, que se encontr n mrgem opost do rio. A distânci BC é igul = 30 m. A lrgur do rio AC é igul b = 40 m. Com que velocidde mínim u, reltiv
Leia maisFaculdade de Computação
UNIVERIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA Fculdde de Computção Disciplin : Teori d Computção Professor : ndr de Amo Revisão de Grmátics Livres do Contexto (1) 1. Fzer o exercicio 2.3 d págin 128 do livro texto
Leia maisMatemática. Prova: 05/08/12. Questão 1. Questão 2. Considere os seguintes conjuntos numéricos,,,, = e considere também os seguintes conjuntos:
Prov: 05/08/ Mtemátic Questão Considere os seguintes conjuntos numéricos,,,, = e considere tmbém os seguintes conjuntos: A= ( ) ( ) B= ( ) D= ( ) ( ) Ds lterntivs bixo, que present elementos que pertencem
Leia maisCPV O cursinho que mais aprova na GV
O cursinho que mis prov n GV FGV Administrção 04/junho/006 MATEMÁTICA 0. Pulo comprou um utomóvel fle que pode ser bstecido com álcool ou com gsolin. O mnul d montdor inform que o consumo médio do veículo
Leia maisEXERCÍCIOS DE REVISÃO ENSINO MÉDIO 4º. BIMESTRE
EXERCÍCIOS DE REVISÃO ENSINO MÉDIO 4º. BIMESTRE 1ª. SÉRIE Exercícios de PA e PG 1. Determinar o 61º termo da PA ( 9,13,17,21,...) Resp. 249 2. Determinar a razão da PA ( a 1,a 2, a 3,...) em que o primeiro
Leia maisGeometria Espacial: Sólidos Geométricos
Aluno(a): POLIEDROS E PRISMA (1º BIM) Noções Sobre Poliedros Denominam-se sólidos geométricos as figuras geométricas do espaço. Entre os sólidos geométricos, destacamos os poliedros e os corpos redondos.
Leia mais1 Áreas de figuras planas
Nome: n o : Ensino: Médio érie: ª. Turm: Dt: Professor: Mário esumo 1 Áres de figurs plns 1.1 etângulo h. h 1. Qudrdo 1. Prlelogrmo h. h 1.4 Trpézio h B h B 1.5 Losngo d Dd. D 1.6 Triângulos 1.6.1 Triângulo
Leia maisGabarito CN Solução: 1ª Solução: 2ª Solução:
) Sejm P e 5 9 Q 5 9 Qul é o resto de (A) (B) (C) 5 (D) (E) 5 P? Q GABARITO: B 6 8 0 5 9 P 5 9 6 8 0 5 9 Q 5 9 P Q P Q Dí, ) Sbendo que ABC é um triângulo retângulo de hipotenus BC =, qul é o vlor máximo
Leia maisDESAFIOS. π e. π <y < π, satisfazendo seny = 8 x
DESAFIOS ENZO MATEMÁTICA 01-(FUVEST) Sejm x e y dois números reis, com 0
Leia maisUniversidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES DETERMINANTES
Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl - APES DETERMINANTES Prof Antônio Murício Medeiros Alves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez Mtemátic Básic pr iêncis
Leia maisUNITAU APOSTILA. SUCESSÃO, PA e PG PROF. CARLINHOS
ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA SUCESSÃO, PA e PG PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: blog.portlpositivo.com.br/cpitcr 1 SUCESSÃO OU SEQUENCIA NUMÉRICA Sucessão ou seqüênci
Leia maisb 2 = 1: (resp. R2 e ab) 8.1B Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp
8.1 Áres Plns Suponh que cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região D é
Leia maisB ) 2 = ( x + y ) 2 ( 31 + 8 15 + 31 8 ( 31 + 8 15 ) 2 + 2( 31 + 8 15 )( 31 8 MÓDULO 17. Radiciações e Equações
Ciêncis d Nturez, Mtemátic e sus Tecnologis MATEMÁTICA. Mostre que Rdicições e Equções + 8 5 + 8 + 8 5 + 8 ( + 8 5 + 8 5 é múltiplo de 4. 5 = x, com x > 0 5 ) = x ( + 8 5 ) + ( + 8 5 )( 8 + ( 8 5 ) = x
Leia maisResumo de Geometria Espacial Métrica
1) s. esumo de Geometria Espacial Métrica Extensivo - São João da Boa Vista Matemática - Base Base Base Base Base oblíquo reto quadrangular regular exagonal regular triangular regular Base Fórmulas dos
Leia mais70 Quantos litros de água cabem em um cubo de aresta 8 dm? 71 Determine o volume de um cubo cuja diagonal é D 5 2 3 m.
p. 70 Quntos litros de águ cbem em um cubo de rest 8 dm? 8 dm,, 7 etermine o volume de um cubo cuj digonl é m. m m 8 m 8 m 7 Um piscin tem s seguintes dimensões: m de lrgur, 7 m de comprimento e m de profundidde.
Leia maisRELAÇÕES MÉTRICAS E TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Mtemáti RELÇÕES MÉTRIS E TRIGONOMETRI NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 1. RELÇÕES MÉTRIS Ddo o triângulo retângulo io:. RELÇÕES TRIGONOMÉTRIS Sej o triângulo retângulo io: n m Temos: e são os tetos; é ipotenus;
Leia maisINTEGRAL DEFINIDO. O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana.
INTEGRAL DEFINIDO O oneito de integrl definido está reliondo om um prolem geométrio: o álulo d áre de um figur pln. Vmos omeçr por determinr áre de um figur delimitd por dus rets vertiis, o semi-eio positivo
Leia maisDesigualdades - Parte II. n (a1 b 1 +a 2 b a n b n ) 2.
Polos Olímpicos de Treinmento Curso de Álgebr - Nível Prof. Mrcelo Mendes Aul 9 Desigulddes - Prte II A Desiguldde de Cuchy-Schwrz Sejm,,..., n,b,b,...,b n números reis. Então: + +...+ ) n b +b +...+b
Leia maisPROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST VESTIBULAR 2010 1 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVET VETIBULAR 00 Fse Prof. Mri Antôni Gouvei. Q-7 Um utomóvel, modelo flex, consome litros de gsolin pr percorrer 7km. Qundo se opt pelo uso do álcool, o utomóvel consome 7 litros
Leia maisMódulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Poĺıgonos Regulares. 9 o ano E.F.
Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e ossenos, Poĺıgonos Regulares. Relações Métricas em Poĺıgonos Regulares 9 o ano.. Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e ossenos, Polígonos Regulares. Relações
Leia maisINTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?
Cálculo II Prof. Adrin Cherri 1 INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região
Leia maisApostila de Matemática II 3º bimestre/2016. Professora : Cristiane Fernandes
Apostila de Matemática II 3º bimestre/2016 Professora : Cristiane Fernandes Pirâmide A pirâmide é uma figura geométrica espacial, um poliedro composto por uma base (triangular, pentagonal, quadrada, retangular,
Leia maisBateria de Exercícios Matemática II. 1 Determine os valores de x e y, sabendo que os triângulos ABC e DEF são semelhantes:
Colégio: Nome: nº Sem limite pr reser Professor(): Série: 1ª EM Turm: Dt: / /2013 Desonto Ortográfio: Not: Bteri de Exeríios Mtemáti II 1 Determine os vlores de x e y, sendo que os triângulos ABC e DEF
Leia maisQuestão 1 No plano cartesiano, considere uma haste metálica rígida, de espessura desprezível, com extremidades nos pontos A (3,3) e B (5,1).
UJ OURSO VSTIULR 0- RITO PROV ISURSIV TÁTI Questão o plno crtesino, considere u hste etálic rígid, de espessur desprezível, co extreiddes nos pontos (,) e (5,) ) eterine equção d circunferênci de centro
Leia maisMatemática. Resolução das atividades complementares. M13 Determinantes. 1 (Unifor-CE) Sejam os determinantes A 5. 2 (UFRJ) Dada a matriz A 5 (a ij
Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Determinntes p. (Unifor-CE) Sejm os determinntes A, B e C. Nests condições, é verdde que AB C é igul : ) c) e) b) d) A?? A B?? B C?? C AB C ()? AB C, se i,
Leia mais3.18 EXERCÍCIOS pg. 112
89 8 EXERCÍCIOS pg Investigue continuidde nos pontos indicdos sen, 0 em 0 0, 0 sen 0 0 0 Portnto não é contínu em 0 b em 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Portnto é contínu em 0 8, em, c 8 Portnto, unção é contínu
Leia maisMatemática Aplicada. A Mostre que a combinação dos movimentos N e S, em qualquer ordem, é nula, isto é,
Mtemátic Aplicd Considere, no espço crtesino idimensionl, os movimentos unitários N, S, L e O definidos seguir, onde (, ) R é um ponto qulquer: N(, ) (, ) S(, ) (, ) L(, ) (, ) O(, ) (, ) Considere ind
Leia maisTRIGONOMETRIA. A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações trigonométricas num triângulo retângulo.
TRIGONOMETRIA A trigonometri é um prte importnte d Mtemátic. Começremos lembrndo s relções trigonométrics num triângulo retângulo. Num triângulo ABC, retângulo em A, indicremos por Bˆ e por Ĉ s medids
Leia mais- Operações com vetores:
TEXTO DE EVISÃO 0 - VETOES Cro Aluno(): Este texto de revisão deve ser estuddo ntes de pssr pr o cp. 03 do do Hllid. 1- Vetores: As grndezs vetoriis são quels que envolvem os conceitos de direção e sentido
Leia maisVETORES. Com as noções apresentadas, é possível, de maneira simplificada, conceituar-se o
VETORES INTRODUÇÃO No módulo nterior vimos que s grndezs físics podem ser esclres e vetoriis. Esclres são quels que ficm perfeitmente definids qundo expresss por um número e um significdo físico: mss (2
Leia maisProjecções Cotadas. Luís Miguel Cotrim Mateus, Assistente (2006)
1 Projecções Cotds Luís Miguel Cotrim Mteus, Assistente (2006) 2 Nestes pontmentos não se fz o desenvolvimento exustivo de tods s mtéris, focndo-se pens lguns items. Pelo indicdo, estes pontmentos não
Leia maisSoluções do Capítulo 9 (Volume 2)
Soluções do pítulo 9 (Volume ) 1. onsidee s ests oposts e do tetedo. omo e, os pontos e estão, mbos, no plno medido de, que é pependicul. Logo, et é otogonl, po est contid em um plno pependicul.. Tomemos,
Leia maisSistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes n n nn n n n n n n b... b... b...
Cálculo Numérico Módulo V Resolução Numéric de Sistems Lineres Prte I Profs.: Bruno Correi d Nóbreg Queiroz José Eustáquio Rngel de Queiroz Mrcelo Alves de Brros Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes
Leia maisPOLINÔMIOS. Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma. n em que cada a i é um número complexo (ou
POLINÔMIOS Definição: Um polinômio de gru n é um função que pode ser escrit n form P() n n i 0... n i em que cd i é um número compleo (ou i 0 rel) tl que n é um número nturl e n 0. Os números i são denomindos
Leia maisSemelhança e áreas 1,5
A UA UL LA Semelhnç e áres Introdução N Aul 17, estudmos o Teorem de Tles e semelhnç de triângulos. Nest ul, vmos tornr mis gerl o conceito de semelhnç e ver como se comportm s áres de figurs semelhntes.
Leia maisAv. João Pessoa, 100 Magalhães Laguna / Santa Catarina CEP
Disciplina: Matemática Curso: Ensino Médio Professor(a): Flávio Calônico Júnior Turma: 3ª Série E M E N T A II Trimestre 2013 Conteúdos Programáticos Data 21/maio 28/maio Conteúdo FUNÇÃO MODULAR Interpretação
Leia maisMatemática Régis Cortes FUNÇÃO DO 2 0 GRAU
FUNÇÃO DO 2 0 GRAU 1 Fórmul de Bháskr: x 2 x 2 4 2 Utilizndo fórmul de Bháskr, vmos resolver lguns exeríios: 1) 3x²-7x+2=0 =3, =-7 e =2 2 4 49 4.3.2 49 24 25 Sustituindo n fórmul: x 2 7 25 2.3 7 5 7 5
Leia mais3ª Ficha de Trabalho
SOL SUNÁRI LRTO SMPIO 3ª icha de Trabalho MTMÁTI - 10º no 01/013 1ª. Parte : ( Questões Múltiplas ) 1. O perímetro do retângulo é igual a: ( ) 0 8 ( ) 10 8 ( ) 5 3 10 ( ) 100 15 15 75. diagonal de um quadrado
Leia maisCPV conquista 70% das vagas do ibmec (junho/2007)
conquist 70% ds vgs do ibmec (junho/007) IBME 08/Junho /008 NÁLISE QUNTITTIV E LÓGI DISURSIV 0. Num lv-rápido de crros trblhm três funcionários. tbel bio mostr qunto tempo cd um deles lev sozinho pr lvr
Leia maisCDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 12) y x 2 + y, 2. x x 2 + y 2), F 1 y = F 2
Instituto Superior Técnico eprtmento de Mtemátic Secção de Álgebr e Análise Prof. Gbriel Pires CI-II Resumo ds Auls Teórics (Semn 12) 1 Teorem de Green no Plno O cmpo vectoril F : R 2 \ {(, )} R 2 definido
Leia maisFísica. , penetra numa lâmina de vidro. e sua velocidade é reduzida para v vidro = 3
Questão 6 Um torre de ço, usd pr trnsmissão de televisão, tem ltur de 50 m qundo tempertur mbiente é de 40 0 C. Considere que o ço dilt-se, linermente, em médi, n proporção de /00.000, pr cd vrição de
Leia maisGeometria Espacial - AFA
Geometria Espacial - AFA 1. (AFA) O produto da maior diagonal pela menor diagonal de um prisma hexagonal regular de área lateral igual a 1 cm e volume igual a 1 cm é: 10 7. 0 7. 10 1. (D) 0 1.. (AFA) Qual
Leia maisProfessores Edu Vicente e Marcos José Colégio Pedro II Departamento de Matemática Potências e Radicais
POTÊNCIAS A potênci de epoente n ( n nturl mior que ) do número, representd por n, é o produto de n ftores iguis. n =...... ( n ftores) é chmdo de bse n é chmdo de epoente Eemplos =... = 8 =... = PROPRIEDADES
Leia maisLinhas 1 2 Colunas 1 2. (*) Linhas 1 2 (**) Colunas 2 1.
Resumos ds uls teórics -------------------- Cp 5 -------------------------------------- Cpítulo 5 Determinntes Definição Consideremos mtriz do tipo x A Formemos todos os produtos de pres de elementos de
Leia maisMATEMÁTICA PARA REFLETIR! EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES OPERAÇÕES COM MATRIZES PARA REFLETIR!...437
ÍNICE MATEMÁTICA... PARA REFLETIR!... EXERCÍCIOS... EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES... OPERAÇÕES COM MATRIZES... PARA REFLETIR!...7 EXERCÍCIOS E APLICAÇÃO...8 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES...8...9 PARA REFLETIR!...
Leia maisO Teorema de Tales. A massa de um bloco de gelo é de 13 kg. Se 10% do gelo derreter, de quanto passará a ser a sua massa?
Acesse: http://fuvestibur.com.br/ A UUL AL A O Teorem de Tes A estc tem 1,50 m e su sombr 2,20 m. A sombr do poste mede 4,90 m. Qu é tur do poste? Pr pensr A mss de um boco de geo é de 13 kg. Se 10% do
Leia maisTeoremas de Green e Stokes
Análise Mtemátic III Teorems de Green e Stokes Mnuel Guerr Conteúdo 1 Teorem de Green 2 2 Teorem de Stokes 8 ibliogrfi 12 Índice remissivo 13 1 Os Teorems de Green e Stokes relcionm o vlor de integris
Leia maisFICHA DE TRABALHO N.º 3 MATEMÁTICA A - 10.º ANO RADICAIS E POTÊNCIAS DE EXPOENTE RACIONAL
Rdicis e Potêcis de Expoete Rciol Site: http://recursos-pr-mtemtic.webode.pt/ FIH E TRLHO N.º MTEMÁTI - 0.º NO RIIS E POTÊNIS E EXPOENTE RIONL ohece Mtemátic e domirás o Mudo. Glileu Glilei GRUPO I ITENS
Leia maisO plano e a esfera têm em comum infinitos pontos que formam um círculo chamado de secção plana da esfera.
COLÉGIO MILITA DO IO E JANEIO LISTA DE EXECÍCIOS COMPLEMENTAES GEOMETIA ESPACIAL º ANO DO ENSINO MÉDIO Equipe: Prof. Cap Boente, Prof Magda, Prof Fernando e Prof Zamboti 4º BIMESTE DE 015 ESFEA 1- Conceito
Leia mais1. Conceito de logaritmo
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Logritmos Prof.: Rogério
Leia maisCURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO AULA DEZESSETE: GEOMETRIA BÁSICA
1 Olá, migos! UL DEZESSETE: GEOMETRI ÁSI Novmente pedimos desculps por não ter sido possível presentrmos est ul 17 n semn pssd. Dremos hoje início um novo ssunto: GEOMETRI! omo de prxe, presentremos muits
Leia maisDefinição 1 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 é por definição a aplicação. det
5 DETERMINANTES 5 Definição e Proprieddes Definição O erminnte de um mtriz qudrd A de ordem é por definição plicção ( ) : M IR IR A Eemplo : 5 A ( A ) ( ) ( ) 5 7 5 Definição O erminnte de um mtriz qudrd
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA PRIMEIRO SEMESTRE DE 2015 13 de Fevereiro de 2015 Prte I Álgebr Liner 1 Questão: Sejm
Leia maisUm disco rígido de 300Gb foi dividido em quatro partições. O conselho directivo ficou. 24, os alunos ficaram com 3 8
GUIÃO REVISÕES Simplificção de expressões Um disco rígido de 00Gb foi dividido em qutro prtições. O conselho directivo ficou com 1 4, os docentes ficrm com 1 4, os lunos ficrm com 8 e o restnte ficou pr
Leia maisTRIÂNGULO 1 - CONCEITO 2 - CLASSIFICAÇÃO. acutângulo 2º) Quanto aos ângulos retângulo obtusângulo. Sejam, não colineares, os pontos A, B, e C A.
TRIÂNGULO 1 - ONITO Sejm, não olineres, os pontos,, e utângulo 2º Qunto os ângulos retângulo otusângulo I é utângulo é união dos segmentos, e. m ( = Ldos: m ( = Vérties: m ( = II, e são gudos 2 - LSSIFIÇÃO
Leia mais