GRITO Mtemátic tensivo V. ecícios 1) β 5 7º ) Note que.. o 8 o. Logo o. omo Δ é isósceles, 8 o ; po som dos ângulos intenos do, temos que α o. 18º Note que 7 o e 18 o. otnto o meno co 5 o. Logo β 5 15o. ) o F º º 1º 8 omo são conhecidos os ios ds cicunfeêncis, é possível encont s ptes que fltm dos ldos e do tiângulo, confome figu. + + 6 + 6 + 8 5) ) Note que F 1 o. Logo F e F o, pois ΔF é isósceles. otnto o. 5' 66 15' O co. 5' 7 '. omo 18, temos que o co meno 18 7 ' 1 '. 1 otnto 66 15'. Mtemátic 1
GRITO 6) Q 1º 66º 7º º 1º 19º t 1 18 19 Q 9 Obseve que os cos menoes e vlem: 19 18 1 6 ( + ) 6 9 66 otnto os ângulos e vlem: 1 66 7 e omo Q 9 e 7, então Q 8. o som dos ângulos intenos ΔQ, temos que: 18 ( + Q) 18 116 6 7) α 18 β β α α onsidee α e β. omo, então α. omo α e são opostos o mesmo co, temos que: α o som dos ângulos intenos Δ e Δ, temos espectivmente que: α+ β 18 α 6 α 6, e α+ β 9 α 1 α 8) 16º 5º 16º O 9º 11º omo 5, temos que 9. como 11, o co (meno) é igul 6 16. Se considemos O o cento d cicunfeênci, O 16. omo e tngencim cicunfeênci, O O 9 Os ângulos intenos do qudiláteo O somm 6. ntão: O + O + O + 6 9 + 16 + 9 + 6 6 Mtemátic
GRITO 9) O co oposto o ângulo de 5 mede:. 5 9 O co oposto o ângulo de 65 mede:. 65 1 otnto o co mede: 6 9 1 1 ess fom m + n 1 7. 1) O 18º 18º Tome-se O como o cento d cicunfeênci. omo e são tngentes à cicunfeênci, então: OÊ O 9 omo o pentágono é egul, os ângulos intenos medem 18. Sbendo-se que som dos ângulos intenos do pentágono O vle 5, então: O 5 18 16 1 11) O 15 otnto 15. 75 5 1) omo é diâmeto, 9. el som dos ângulos intenos do tiângulos : 18 9 5 otnto. 5 1. Mtemátic
GRITO 1) 5 5º onfome o desenho, o co meno vle:. 5 9 ntão o ângulo 9 5 O 5º 5 om o mesmo ciocínio, 5. el som dos ângulos intenos do tiângulo O: O 18 5 5 1 ess fom: 18 1 8 o 1) ) cm b) N cm y N y ) Note que e M são tngentes à cicunfeênci; potnto, M 1. elo mesmo ciocínio, M N 8. Logo: M + M 1 + 8 cm 1 M 8 b) omo N. (tome N y), então: y + + 1 + 8 6 N y 15) 7 o Note que, como O O, o ângulo O 5. ssim o ângulo O 7. om isso, o co 7. otnto α 7 7. 16) Sbendo-se que O 11, então: O 18 11 7, pois é diâmeto. otnto 7 5. omo O e O são ios, 5. omo é diâmeto, 9. otnto: + y 9 y 9 (. 5 ) y Mtemátic
GRITO 17) 5 α 7º st tç s ets O e O confome o desenho. ess fom:. 7 omo é diâmeto d cicunfeênci, o co mede: 18 7 11 otnto α vle metde do co coespondente. α 11 55 11º 18) 5º 7 15º 5 5º Sbendo-se que o co coespondente 7, temos: Ê 5 e Ê 18 5 15 o ângulos opostos pelo vétice, temos que: 6 15 15 5 5 19) O co coespondente.. omo é diâmeto, 18 1. otnto: 1 7 o ângulos opostos pelo vétice, temos: Ê 85 e α 18 85 7 5 ) α Q onsidee o ângulo β. Sbendo-se que 18 α, temos: (18 α) + β + 18 β α (I) omo β + α, então: α + β 8 (II) Substituindo (I) em (II), temos: α + (α ) 8 α 1 α 6 Mtemátic 5
GRITO 1) 1 Tenh-se o co. α elo desenho 1, concluímos que: α 9 (I) tvés do desenho, concluímos que: 18 6 (II) Substituindo (II) em (I), temos: α 9 6 α 6 ) ) 8 m b) R$ 96, ) omo é diâmeto, então 9. o itágos e tomndo-se : 1 8 6 m Áe d egião etngul (): 8. 6 8 m b) st substitui áe do quddo d áe do cículo e multiplic o esultdo pelo peço do meto quddo d gm. Áe do cículo (c): c π.,. 5 8 m Áe sombed (s): s c 8 8 m Vlo gsto (V): V. 96 ) 6 1. Flso. um tiângulo se isósceles, bst que pens dois de seus ldos sejm iguis, enqunto que, p se equiláteo, todos os seus ldos devem se iguis.. Veddeio. O suplemento de um ângulo α é: 18 α. otnto nesse cso: 18 1 6. Flso. som dos ldos que medem 17 e 1 é igul, que coesponde o teceio ldo. 8. Veddeio. O númeo de vétices de um polígono é ddo po: nn ( ) 1. 7 5. 16. Veddeio. 6 18 c. π. π π π 6 Mtemátic
GRITO ) R q R R st veific que s únics mneis de um cicunfeênci tngenci s dus cicunfeênci concêntics o mesmo tempo são: 1. Um cicunfeênci de io R com cento em.. Um cicunfeênci de io R com cento em q. 5) Q t Obseve que os tiângulos R e Q são semelhntes. otnto podemos cheg à seguinte elção: + 8 + 8 + 16 + 8 otnto: s Q + + 1 6) el figu vemos que o io d cicunfeênci inscit é. o itágos, temos: R + R R otnto zão seá: 1. 7) Tçndo-se et, tem-se o tiângulo. 6º º omo é tngente, o ângulo 9. omo, é possível us função tigonométic tg( ). ssim: Mtemátic 7
GRITO 8) l l st coloc o io () em função do ldo (l) do quddo. o itágos: l + l l l eímeto do quddo (): l ompimento d cicunfeênci (): π. l πl Rzão: πl l π 9) áe d figu coesponde à som ds áes ds cicunfeêncis mio e intemediái dividid po dois. f π. 6 π. 6 π 9 + + π,5 π cm O peímeto é igul à som d metde dos peímetos ds quto cicunfeêncis. f π., 15 π., 15 π. π. 6 + + + f π + π + 6π 1π ) Sbendo-se que o ângulo π coesponde um co de 5 8π m, então mei cicunfeênci tem compimento: m 5. 8π m m π m omo mei cicunfeênci é m π π, então: π πm m 1) onfome figu, é possível pecebe que + 6 + + + 6 7 6 1 o 5 otnto medid do ângulo mede: + 7 7 8 Mtemátic
GRITO ) imeio encontmos o vlo de, sbendo que o compimento d cicunfeênci meno é π: π π 16 9 R ess fom podemos ch R: R 9 R 5 go, po itágos, é possível encont : (R + ) 9 + () ) onfome figu, bst utiliz itágos p descobi : 5 + 5 9 otnto cod tem compimento igul 8. ) el eção métic ente dus cods, temos que.... 6. 8 8 8 (I) omo 1, então (II). Igulndo (I) e (II) temos: 8 1 1 1, 1 + 16 5) 6 cm,5 T O,5. (T) (5 + ) 6 + 5 6 ' 9 ou " Logo Mtemátic 9
GRITO 6) 9) 7) (). (). 9. 9 1 6 7 el elção métic ente secnte e tngente, temos. 8. () 6 ) 8).. 1. 6 ( + 7). 7 6 7 + 9 7 11 11 7 1cm cm 8cm α α α α o potênci de um ponto eteio, concluímos que:.. 8. 18. ( + ) 8 + 16 1 16 otnto 16 + 16 + + 18 5. 1) imeimente dotemos o ângulo α. osteiomente, tocndo O O, concluímos que O O α. o último tem-se que O 18 α e O 18 α. omo O O O, temos: O 18 α (18 α) O α 8 6 1 Mtemátic
GRITO el figu note que os ldos do tpézio vlem 1 cm. otnto, p descobi o io, bst esolve itágos no tiângulo : 1 () + 6 1 6 6 ) b) el elção de potênci de um ponto eteio, temos: 7. 16 8(8 + ) 8 11 6 6 Obs: Note que o gbito está edo. c) st tç et e encont os ângulos e Ê: 9 + 6 6 Ê 1 + 6 8 otnto: 18 8 6 7 ) ) 1 b) 6 c) 5 ) o potênci de um ponto eteno, temos: 6 ( + ) 6 16 5 6 ) o potênci de um ponto inteio, temos:. 6. 6 1 Note pel figu que, tomndo-se e Q y; F + y 6 e + y 5. onclui-se que: F + y 5 ( + y 6) F Mtemátic 11
GRITO 5) + b Tçndo-se et O fom-se o tiângulo etângulo O. o cosseno do ângulo O : cos b 8) o potênci de um ponto inteio:. b ( + b) b b b b,5,5,5 6 d Q 6) S 9) el elção de potênci de um ponto eteio, temos: 6 (d + 5). d d + 5d 6 S 5 e 6 ou d ou d 9 omo d é distânci, então ecluímos d 9. st som s metdes dos compimentos ds quto cicunfeêncis. π+ π+ 6 π+ 8 π π 1π m Sbendo-se o compimento totl d espil (), bst dividi-lo pelo tmnho do tijolo. N 1 tijolos, 7) O compimento d semi cicunfeênci () é ddo po: π π. 67 Tome π,1; então 1,8 km omo o vião fz 8 km em um ho, bst dividi "" pel velocidde: T 1, 8 5 8 / º 6º 5) o enuncido veific-se que o tiângulo O é equiláteo; logo O 18 6. otnto o co 6 e o ângulo. 1 Mtemátic
GRITO 51) ) d. F é som do compimento do cículo fomdo pel som dos dois semicículos com et. F. π. R + 1 1 m b) d. é som do semicículo +. πr + 1 5 m c) d. πr 5. 15 d) et. volt complet () é som: + F + + F, ( πr) + 1 m o potênci de um ponto inteio, temos: 7(7 + ) 6. 1 9 + 7 6 5) 6 9 7 11 7 18 elo desenho é possível ve que e 18 o. 56 o omo 6 o 1. ntão: 1 5 5) o potênci de um ponto inteio, temos: 1 6,6 5) 55) Idem o eecício. o potênci de um ponto eteio, temos: () ( + 18) 18 6 6 6 Mtemátic 1
GRITO 56) + 1 st tç s ets M, e. omo é diâmeto, então o tiângulo é etângulo e ptilh o ângulo com o tiângulo etângulo M. otnto, po semelhnç de tiângulos, o ângulo M M. omo os tiângulos M e M são etângulos e ptilhm o ângulo M e o ldo M, po semelhnç de tiângulos, temos: M M 57) 6 + 1 Sbendo-se que médi itimétic ente os ldos opostos de um tpézio são iguis, então: + 1+ + 1 + + 5 otnto:. + + 1 +. +. + 1. F otnto po semelhnç de tiângulos: 8 59) Logo, o io (): 1 5 O compimento ():. π. R 1π Idem o eecício 7. 9 6). ( + π) 5 9 el figu note que F 9 e F H G o itágos, no tiângulo etângulo F, temos: () 1 5 169 5 1 6 F 58) M el figu note que o compimento d coei é 8. +. π, ou sej, oito vezes o io mis quto vezes um quto do compimento d cicunfeênci. 8 8 +. π 8 + π. ( + π) 1 Mtemátic
GRITO 61) 6) O 16 16 el figu notemos que N e QM QN. otnto o peímeto do tiângulo é:. 16 N Q M elo desenho temos: + ( ) + ( ) + 1 1 + 1 1 + 1 + ' 1 e " 6) Note que não podemos te, pois os ldos do jdim ficim com medids negtivs. ntão 1 1 7 F 1 st us itágos p ch. 1 st cont s digonis. Ms note que F e. F F 6) Sej d digonl de cd quddo. ntão, po itágos, temos: d ( ) + ( ) 16. + 16. d 6 d 8 Logo: d. d 6. 6 8 Logo ( + + F) + + 6 e F + F + + + + + + + + + 6 otnto som dos compimentos ds digonis é igul 6 + 6. 65) Os ângulos intenos de um pentágono medem 18. omo o pentágono é egul, s ets e estão dividindo em tês. otnto: α 18 6 Mtemátic 15
GRITO 66) 6 º omo o heágono é egul, os ângulos intenos medem 1. otnto o ângulo 1 6. Tome. ntão pode se encontdo po tg( ). tg( ) 5 5 5 otnto o peímeto () é: 1. 5. 5 el figu temos que pode se encontdo usndo função cosseno em. cos 69) V F V V V 5º 67) 68) R º elo desenho note que e R podem se encontdos pel tg ( ) e cos ( ) espectivmente. tg ( ) cos ( ) R R. R 6 otnto zão R é: R 6 6º 6º 6º º 5cm ) Veddeio. pode se clculdo usndo. otnto o ldo do qud- cos 5 do vle:. b) Flso. elo desenho note que o ldo do quddo cicunscito vle. otnto zão (R) vle: R. c) Veddeio. elo desenho temos que o pótem do quddo cicunscito é e o do inscito é. otnto difeenç (d) vle: d 1 d) Veddeio. eímeto dos quddos: c. 8 i. Rzão dos peímetos (Rp): 8 Rp. Rzão dos pótems (R): R e) Veddeio. Áe dos quddos: c. i. Rzão ente s áes (R): R 16 Mtemátic
GRITO 7) 5º 6º st fom os tiângulos Q, e R. omo o heágono é equiângulo, os tiângulos são equiláteos e, po consequênci, o tiângulo RQ tmbém é equiláteo. otnto: + + 15 + 1 + 15 1 1 + + y 8 y 18 Logo: 18 + 1 + + 15 + 1 + 99 el figu concluímos que o ldo do quddo é ddo po: cos 5 R, l. R e do heágono po: 71) cos 6 y R y R, L y R difeenç é dd po: d 1R 7) 1 º el figu note que, como é equiláteo, o ângulo O vle. otnto po cosseno de é possível encont : cos 6 6 otnto o ldo (l) vle: l. 6 1 7) F Sendo os pentágonos egules, então α 18. otnto: θ 6. α 6 6 7) 99 F y Q 1 15 15 1 H el figu note que o tiângulo O é isósceles e Ê O O 5. otnto: cos 5 O O G 15 R Mtemátic 17
GRITO 75) Logo 1. 1 77) L l 5º º o el figu vemos que O é um tiângulo etângulo, com ângulo O. otnto: cos el figu note que o ldo do quddo cicunscito pode se encontdo po: cos 5 l l l. otnto zão (R): 78) R l L 76) 5º el figu vemos que o pótem é igul à metde do ldo do quddo. otnto: cos 5 6 Logo o ldo do quddo vle 6 e o pótem vle. 79) omo o heágono é egul, temos que: w 1 v 9 y 6 z 9 Sejm e o io d cicunfeênci e o ldo do quddo espectivmente, então: () +. 18 Mtemátic
GRITO otnto, o peímeto... Logo compimento peímeto π 8) 5 5º π. Sej F F. ntão: 1 + Note que são semelhntes os tiângulos ΔF e ΔF. ntão temos que: F F 1 + 1 1 ( + 1) 1 + 1 8) 1± 1+ 1+ 5 eceb que tem de se mio que zeo, pois tt-se de um distânci, que é sempe positiv. Logo 1+ 5. otnto: 1 + 1 + 1+ 5 1+ 5, e ess é íz positiv d equção 1. Note que. (áe ) Sej. el lei dos cossenos plicd o tiângulo Δ, temos que: +.. cos 5 + ( )... + 16. 8. + 16( 1) 5 81) 1 p + b+ c p 1 8) Semipeímeto p 8+ 7+ 9 ntão: S pp ( )( p b)( p c) S 1( 5.. ) ( 95... ) S... 5 1 5 1 F 1 1 R 5 + 5 5 Mtemátic 19
GRITO R 5. 55. 5 cm π π 5 π. 5 5 π cm áe hchud ( ) é difeenç ente áe do quddo ( ) e áe d cicunfeênci ( ) dividid po : 5 5 π 1 5π 5. ( π) 8 8) 1+ + 1+ 1 1 1 + +. 8 1 π 87) I. 85) π() π. 1 p + b+ c 1 + 1 + 1 p 16 S 1 pp ( )( p b)( p c) S 1 16. 66... 6. 8 86) Note que F 9. ssim: F S. S.. 6 II. p + b+ c p S pp ( )( p b)( p c) 1 + 1 + 16 S 18 88..... 8 S 1 S 18 Mtemátic
GRITO 88) 5 6 ~ 9) 5 α 6 5 15 5 6 5 S.. 15 89) Note que se, 9. ntão: 9... 6 o fto de que O 6, Δ é equiláteo, pois é pependicul. Logo.. Vmos dei em função de α. Note que + + α + + 8 + α + α ( ) 8+ 91) α + + α α α 8+ +. +. Logo α ( ) ( + ) ( ). + α demis: cos 6. 1. 6 sen 6. otnto: Q.. ssim: 9 Q 9 9 1 1 1. 6 Δ é equiláteo. 1 1 6 Mtemátic 1
GRITO 9) 95) Note que 1 (imgine folh dobd). Logo, do tiângulo pitgóico Δbc, temos que 8. Fç h. ntão 8 h. Logo h (8 h) + (itágos no Δ) h 6 16h + h + 16 h 5 otnto 51. 5 cm 1. 7. h 1( h+ ) 7h h + 18 h 96) º 6º 6º 1 º 9) 6 6º 1 8 9 1 9 15 cos tg I I ntão ( + ) + ( ). 15 Note que: + + +. 97) 9) otnto: 15. 1. 9 18 19 96 (h + h) 6 h h 1 ntão 1.. Note que são tiângulos conguentes. ntão S' 5. Logo S S 5 S 5 1. 5. Mtemátic
GRITO 98) 5 5 8 8 5 11 ( ) 8 16 11) 99) 6. 1. 8 1 O tiângulo é pitgóico. Logo 8. 68. 1) F G Note que G G. ssim o ΔF é dividido em quto tiângulos com áes iguis (mesm bse e mesm ltu). Logo áe pocud é: F 96. 6 ( ) 56 8 + 16 56 8 5 59.,5 1) 1) 1 F 1 G 5 1 Sej F F F. ntão, do F G, temos: 1 + (1 ). 1 + 1 + 8 e G F: G F Mtemátic
GRITO 5 1 6 e : 1 5 8 Logo: 1 8. 9 1) 15) 1 16 O tiângulo é pitgóico. Logo 16. 1. 16 ssim 96 cm. 16) 7 6 6 omo 8 e O, temos que O 5 e, ssim, os tiângulos O e FO são os pitgóicos ( 5). o outo ldo, OF. ssim 8 1. Logo F 6. 5 F 6 1 1. Flso. ltu é 8.. Veddeio.. Veddeio. 8. Flso. bse mede 1. 16. Flso. O cento dist mis que 6.. Flso. O cento dist 6,5. 6. Veddeio. 1. 8 8 cm. 17) 6 18 1 7 7 9 1 y 5 Note que y 5 y e + y. 5 ntão: + 5 8 5,5 y 1,5 Logo: 1 5., 5. 15, R 9 + + 7 + 18 6 + 5 1 18) Mtemátic
GRITO ( + ) ( + ) + 6 11) 16 + 8 + + + + 6 6 Logo: 6.( + 6 ) 8 R 19) 1 1 1 F b + h π π. 8 16 + + 8 π + 8 1 bh. 1 1. 6. 1 cm Mtemátic 5