Módulo 1 Limites 1. Introdução Nesta disciplina você vai estudar o cálculo diferencial e integral e suas aplicações em diversos problemas relacionados à Economia. O conceito de limite é conceito mais básico do cálculo e, portanto, é o seu ponto de partida. Uma boa compreensão desse conceito vai ajudar você a entender os demais assuntos com os quais trabalharemos nesta disciplina. A ideia de limite de uma função é de grande importância quando queremos estudar o comportamento da função nas vizinhanças de um ponto fora do seu domínio. Vejamos então a definição matemática de limite de uma função: Dada uma função f() e um ponto a do seu domínio, dizemos que o limite da função é L se e somente se, quando tende a a, isto é, se aproima de a, os valores de f() se aproimam de L. Simbolicamente, escrevemos: Vejamos agora um eemplo: Considere a função f() = 2 + 5. Vamos estudar o comportamento dessa função quando se aproima de 1. Primeiro, considerando valores menores que 1 (à esquerda de 1): 0 0,5 0,8 0,9 0,99 0,999 f() 5 6 6,6 6,8 6,98 6,998 1 Agora, considerando valores maiores que 1 (à direita de 1): 2 1,5 1,2 1,1 1,01 1,001 f() 9 8 7,4 7,2 7,02 7,002 1 Como podemos ver, à medida que se aproima de 1 tanto à direita (valores maiores que 1) quanto à esquerda (valores menores que 1), f() se aproima de 7. Logo, podemos escrever: 2. Definição formal de limite Limite de uma função é: Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a. Seja f uma função definida para pertencente a I { a }. Dizemos que o limite de f(), quando tende a a é L e escrevemos Se para todo ε > 0 eistir um δ > 0 tal que 0 < a < δ então f() L < ε. UNIP Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 Limites pág. 1
Em símbolos temos: Observe que nessa definição nada é mencionado sobre o valor da função quando = a. Isso quer dizer que não é necessário que a função esteja definida em a. É também importante observar que no cálculo do limite de f() quando tende a a o que nos interessa é o comportamento de f() nas cercanias do a (quando se aproima de a) e não o que ocorre com f() quando =a. Veja esse outro eemplo: Veja que a função acima não está definida para = 2, pois se substituirmos por 2 encontraremos 0 no denominador, o que invalida a epressão. Entretanto, como tende a 2 e não é 2, podemos fazer uma simplificação dessa epressão, obtendo outra epressão equivalente: Agora fica mais fácil verificar que esse limite é igual a 5. 3. Um limite importante: o limite eponencial fundamental Considere a função: Essa função é muito comum para designar curvas de crescimento. Uma aplicação típica dela é no cálculo do montante na Matemática Financeira. Vamos estudar o que acontece com essa função quando cresce, ou seja, quando assume valores cada vez maiores, tendendo ao infinito. A primeira constatação é que a fração tende a 0. Entretanto, embora tenda a 0, seu valor não é eatamente 0, o que faz com que a soma não seja igual a 1, mas sim um pouco maior que 1. Como aparece também no epoente, à medida que aumenta de valor, o epoente fica cada vez maior, tendendo ao infinito. Essa função foi estudada pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler (1707 1783), que demonstrou que o limite dessa função quando tende ao infinito é converge para um número irracional. Esse número ficou depois conhecido como número de Euler (e). UNIP Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 Limites pág. 2
Veja na tabela abaio alguns valores de f() para cada vez maior: f() 1 2 5 2,48832 10 2,593742 50 2,691588 100 2,704814 1.000 2,716925 10.000 2,718149 100.000 2,718268 1.000.000 2,718280 Observe que embora vá aumentando sempre cada vez mais, o valor de f() aumenta cada vez menos, convergindo para um valor que, com 9 casas decimais, é 2,718281828. Assim, podemos escrever: Esse número e é muito usado como base de logaritmos. Tão usado que o logaritmo de base e recebe um nome e um símbolo específicos: logaritmo neperiano, símbolo LN. As funções financeiras costumam usar esse tipo de logaritmo, tanto que a calculadora financeira HP 12C não tem uma tecla para o logaritmo decimal, mas sim uma tecla para o logaritmo neperiano. 4. Formulário: Limites Para facilitar o cálculo dos limites, vamos resumir as definições, propriedades e teoremas numa tabela prática, que poderá auiliar você em seus estudos: 4.1. Produtos notáveis Quadrado da soma Quadrado da diferença Produto da soma pela diferença Cubo da soma Cubo da diferença 4.2. Fatorações Fator comum Diferença de quadrados Trinômio do 2 grau Soma de cubos Diferença de cubos Conjugado de é UNIP Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 Limites pág. 3
4.3. Propriedades de limites I. II. III. IV. V. VI., desde que quando n for par. VII. Seja L um intervalo aberto que contém a e seja f uma função definida em L. Temos que: Seja f e g funções tais que: 4.4. Limites no infinito 4.5. Função eponencial UNIP Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 Limites pág. 4
4.6. Função logarítmica 5. Eercícios resolvidos Eercício 1 Considerando a função, que está definida para todo, isto é, não podemos calcular a imagem quando assume o valor 2 (2 não está no domínio de f). Como a variável não pode assumir o valor 2 então vamos estudar o comportamento de f quando assume valores muito próimos de 2 (vizinhança) mas diferente de 2, através das tabelas de aproimações: 1 ) Aproimando do =2 pela direita (maiores que 2) 3 5 2,5 4,5 2,2 4,2 2,1 4,1 2,01 4,01 2,001 4,001 2,0001 4,0001 2,00001 4,00001 2,000001 4,000001 Limite lateral 2 Quando tende a 2 por valores maiores do que 2, dizemos que tende a 2 pela direita e denotamos por 2 ) Aproimando do =2 pela esquerda (menores que 2): 1 3 1,5 3,5 1,9 3,9 1,99 3,99 1,999 3,999 1,9999 3,9999 1,99999 3,99999 1,999999 3,999999 1,9999999 3,9999999 Limite lateral 2 Quando tende a 2 por valores menores do que 2, dizemos que tende a 2 pela esquerda e denotamos por Observe que podemos aproimar f() de 2 o quando quisermos, basta tornarmos suficientemente próimo de 2. Formalizando: O limite da função quando se aproima de 2 é igual a 4. Simbolicamente: ou UNIP Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 Limites pág. 5
Uma outra maneira de calcular o é encontrar uma função simplificada da função na qual =2 faça parte do domínio, então calcular o limite dessa função simplificada para tendendo a 2, como no eemplo a seguir: Então é uma função simplificada da função Calcular o limite da função simplificada equivale calcular o limite da função completa: Portanto o limite de f() é Eercício 2 Calcule o seguinte limite: Solução: Primeiro, fatoramos o numerador: (² 16) = ( + 4).( 4) Em seguida, simplificamos o fator ( 4) do numerador com o denominador ( 4). A epressão fica equivalente ao limite de ( + 4) quando tende a 4. De acordo com o teorema do limite da função polinomial, podemos substituir o por 4 e aí teremos: Eercício 3 Determine os seguintes limites, caso eles eistam: a) é um polinômio assim, b) Observe que esse limite tem a forma, onde f() e g() são polinômios e Consequentemente, temos Eercício 4 Determine, caso eista: Solução: Substituindo por 1 na função, resultará em 6/0; assim, esse limite tem a forma a/0, com, e todo limite da forma a/0 não eiste. Verifique essa afirmação a seguir: Como o numerador é não-nulo quando = 1 sabemos que 1 não é um fator do numerador, e não poderemos dividir o numerador e o denominador como fizemos no eemplo anterior. UNIP Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 Limites pág. 6
Fazendo a tabela por aproimação podemos confirmar que este limite não eiste, os valores de f()/g() são ilimitados próimos de = 1. À esquerda de À direita de 0-2 2 12 0,5-7,5 1,5 17,5 0,7-15,3 1,2 35,2 0,9-55,1 1,1 65,1 0,99-595,01 1,01 605,01 0,999-5.995,001 1,001 6.005,001 0,9999-59.999,0001 1,0001 60.005,0001 Eercício 5 Encontre o limite e, se eles eistirem, para Solução: Calculando os limites laterais temos: Como então não eiste Graficamente: UNIP Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 Limites pág. 7