Mais derivadas. 1 Derivada de logaritmos. Notas: Rodrigo Ramos. 1 o. sem Versão 1.0

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1 Mais derivadas Notas: Rodrigo Ramos o. sem. 205 Versão.0 Obs: Esse é um teto de matemática, você deve acompanhá-lo com atenção, com lápis e papel, e ir fazendo as coisas que são pedidas ao longo do teto. Essa demonstração que vou deiar é absolutamente tradicional e pode ser encontrada em qualquer dos livros de cálculo indicados na bibliografia do curso. Importante: Esse teto é de conteúdo considerado hard level, demonstrações não são fundamentais para dominar as aplicações das técnicas. Essas provas eu coloquei aqui apenas para poder acelerar a aula (não é interessante ficar demonstrando tudo isso na lousa). Assim os detalhes deste teto são particularmente interessante para os rebeldes que querem ver as coisas provadas. De modo geral: você pode se fiar apenas nos resultados (que são regras de derivação, como era a regra do tombo). Os resultados também são sempre resumidos na tabela de fórmulas. Derivada de logaritmos Essa conta foi feita, mas eu disse não se desgastem anotando a lousa que eu coloco lá na página, apenas sigam com atenção. Fiz essa para chamar atenção ao fato de que o número e é muito especial e para mostrar como as coisas correm por aqui. y = ln, vamos mostrar que d = = lim 0 + ) + ) ( ln ( = lim ln 0 Com a mudança de variável (de para z): z = d = lim ln( + ) ln() 0 ln ( ) + = lim 0 Então: = z ; e se 0 então: z Dessa maneira: Caso encontre erros ou coisas do tipo, por favor me avise. rodrigo.ramos.dr@gmail.com, ou pessoalmente.

2 d = lim = ln ( ln + z z [ lim z ( + z ) z ) z ] Em suma: d = Se em vez de y = ln, fosse y = log a, note que toda a demonstração seria a mesma e, no final sobraria: = ln e = ln e = d =... = log a e 2 Funções mistas Vamos chamar de funções mistas, funções resultantes das misturas de funções simples (retas, parábolas, cúbicas,... enfim, polinômios, com logaritmos, eponenciais...) por meio de somas, subtrações, produtos e razões, etc... s() = f() ± () p() = f() (2) q() = f() (3) (4) Vamos usar uma forma simplificada de escrever a derivada d = y ou y (). A primeira mistura (soma e subtração), a(), já dominamos desde as primeiras aulas com derivadas, e já usamos bastante. s () = f () ± g () As duas seguintes definem as regras tradicionalmente chamadas derivada do produto e derivada do quociente A notação de d é chamada notação de Leibniz, a notação com y é chamada notação de Lagrange.

3 p () = f () + f() g () q () = f () f() g () g 2 () A demonstração de ambas também pode ser encontrada em qualquer dos livros de cálculo sugeridos. Deiarei as duas demonstrações no final deste teto. Alguns Eemplos: ) y = 2 ( ) = y = f() f() = 2 = f () = 2 = = g () = Substituindo na derivada do produto: d = f () + f()g () = 2( ) + 2 (3 2 + ) 2) y = = y = f() f() = então: f () = = 2 3 então g () = 6 2 Substituindo na derivada da divisão: d = f () f()g () g 2 () = (2 + 2)23 ( )6 2 (2 3 ) 2 = (2 + 2)23 ( ) funções compostas Por fim a última forma de mistura de funções é a função composta. Já havíamos trabalhado a idéia de colocar uma função dentro de outra, quando com as funções inversas escrevemos: f(f ()) =.

4 Uma função composta é, então, substituir no argumento de uma função (ou seja em sua variável independente) em outra função. Por eemplo: f() = ( + ) 2 A mesma função pode ser escrita a partir da função = +, e da função h() = 2. Simbolicamente: f() = h(): Note: h() = 2, portanto: h(g) = g 2. Mas então, substituindo g em termos de : h() = ( + ) 2, ou seja: f() = h(). Ou seja, está dentro de g, que está dentro de h... e isso é f. A derivada de uma função composta segue a chamada regra da cadeia. ou df d = dh dg dg d f (h()) = h (g) g () O primeiro termo: dh dg (ou h (g)): é a derivada da função h(g) em termos de g (isso, tratado como se fosse uma variável); dg O segundo termo: d (oug ()) é a derivada da função em termos de. No eemplo acima: f() = ( + ) 2, com f() = h(), desde que h(g) = g 2, = +. dh dg Mas tanto h (uma parábola) quanto g (uma reta) são simples de derivar. Assim: = 2g, dg d =. Substituindo: df d = dh dg dg d = 2g = 2( + ) Noves fora, dividimos a função em camadas, e vamos derivando camada por camada. Uma infinidade de eercícios pode ser realizada com essas regras, já que uma infinidade de funções pode ser criada com as misturas e com a função composta. Assim, além de podermos criar essas funções a partir das que estudamos, também, como se vê, podemos estudar suas variações por meio de suas derivadas, por métodos absolutamente gerais. Vocês podem encontrar diversos materiais na rede sobre o assunto, de tetos, eercícios, videoaulas... O fato é que apenas a prática conduz à segurança. A demonstração desta regra, também é padrão, mas não envolve técnicas apenas de álgebra, como

5 as que eu coloquei neste teto. É preciso pensar de modo mais geral, pelo que não vou colocá-la (por também uma questão de praticidade). Aos interessados sugiro o livro do Guidorizzi indicado na bibliografia. 4 Derivada da eponencial Um bônus de havermos estudado funções inversas, e a derivada da função composta é a derivada da eponencial. Novamente usaremos o logaritmo como ferramenta: Considere a igualdade: ln e = Note: ln e = ln h, com h() = e. Então: De modo que, se h() = e, então: dh d = e. ln e = d d (ln h()) = d d d(ln h) dh dh d = h h () = 4. Para uma base qualquer: y = a h () = h h () = e y = a (ln a) = e Então usando a regra da cadeia: De maneira que: y = a = d = (ln a)a. y = e (ln a) ln a

6 4.2 y = e a Essa função acima é muito comum, mas para derivar você precisa da regra da cadeia. A resposta é y = ae a, mas não confunda isso com regra do tombo. Aqui o que temos é, novamente, uma função encadeada: y = e a = y = f() f(g) = e g = f (g) = e g = a = g () = a Então: d = df dg dg d = e g a = e a a 5 Generalização da regra do tombo Nós já sabemos que se y = n = y = n n Mas isso era sempre para n sendo um número inteiro. Entretanto a regra do tombo é mais geral que isso. Na verdade: y = a = y = a a Para qualquer número a. Ou seja tanto faz se positivo, negativo, fracionário (racional), ou irracional. Essa generalização é demonstrada abaio, utilizaremos a eponencial, cuja regra já foi demonstrada acima, e a regra da cadeia. y = a = e ln a = e a ln (5) Agora basta derivar: y = ( e a ln ) (6) = e a ln (a ln ) (7) = e a ln a (8) = a a (9) = a a (0) ()

7 6 Demonstrações produto e divisão. 6. Derivada do Produto, y = f() d = lim f( + )g( + ) f() 0 Introduzindo dois termos: +f( + ) f( + ) no denominador e juntando fatores comuns, o denominador fica: f( + )g( + ) f() + f( + ) f( + ) = f( + )(g( + ) ) + (f( + ) f()) Com a divisão por d = lim f( + )g( + ) f() 0 = lim 0 = lim 0 f( + )(g( + ) ) + (f( + ) f()) f( + )(g( + ) ) (f( + ) f()) + lim 0 g( + ) f( + ) f() + lim 0 = lim f( + ) lim 0 0 = f()g () + f () 6.2 Derivada da divisão, y = f() Aqui é mais prático interpretar em termos da função composta, e usar a regra do produto, que já foi demonstrada ser válida. Derivando pela regra do produto: y = f() = f()

8 ( f() ) = f () + f() ( ) ( ) A derivada, pode ser obtida pela regra da cadeia. Veja: = h(), com h(g) = g = g, cuidado que isso não é a inversa, mas sim a divisão por g. A derivada dessa função de h(g) (regra da cadeia): Então: dh dg = g 2 = g 2 Agora é só juntar tudo ( ) = dh dg dg d = g 2 () g () ( ) f() = ( ) ( f() = f () + f() = f ( ) () + f() g () g 2 () = f () f()g () g 2 () = f () f()g () g 2 () ) A última passagem foi apenas subtração das duas frações.