Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix Cálculo Fiaceiro Comercial e suas aplicações. Método Algébrico Parte 0 Professor Rikey Felix Edição 0/03
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix Matemática Fiaceira Itrodução a Matemática Fiaceira Comercial e suas aplicações. Rikey Paulo Pires Felix, Liceciado em Matemática pela Uiversidade Estadual de Goiás, Pós Graduado em Gestão Empresarial pela Faculdade Motes Belos Goiás, fucioário cocursado em exercício do Baco do Brasil, istrutor do SENAC da uidade Sorriso M desde 0. Objetivos: Cohecer assutos itrodutórios de Matemática Fiaceira Comercial, apresetado coceitos teóricos, resolução de exercícios, bem como suas respectivas aplicações a cotabilidade, admiistração, com o auxílio da calculadora cietífica fiaceira HP C, trazedo uma didática e proposta pedagógica voltada para um curso profissioalizate preparatório para o mercado de trabalho.
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix Coteúdos abordados: Radiciação e poteciação Multiplicação de potêcia de mesma base Divisão de potêcia de mesma base Potêcia de potêcia Percetagem taxa uitária, fórmula para cálculo percetual Operação sobre Mercadorias Vedas com lucro (sobre o preço de custo) e (sobre o preço da veda) Vedas com prejuízo (sobre o preço de custo) e (sobre o preço da veda) Juros simples Juro, capital e taxa Regimes de capitalização Cálculos de Juros simples axas proporcioais axas equivaletes Juro comercial e juro exato Motate Descoto Simples ítulos de crédito Descoto comercial, valor do descoto comercial, valor atual, taxa de juro efetiva Equivalêcia de capitais Descoto racioal, valor do descoto racioal, valor atual racioal Juros composto, Cálculo de motate Determiação do fator de capitalização Calculadoras cietíficas, fiaceiras e logaritmos 3
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix Cálculo do capital o juro composto axas proporcioais, taxas equivaletes axa omial axa efetiva axa Real e taxa aparete, axa uificada Coceito de iflação Descoto Composto (Comercial e racioal) Capitalização e amortização composta Reda certa Empréstimos Sistema Fracês de amortização (Price) e coceitos Calculo do saldo devedor, valor atual e amortização abela Price o Excel Price com prazo de carêcia Sistema de Amortização (SAC) e coceitos. Calculo do saldo devedor, valor atual e amortização abela SAC o Excel SAC com prazo de carêcia. Uso de calculadora cietifica e fiaceira HP C. 4
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix. Poteciação Imagie a seguite situação 3 60???. Para resolvermos este problema utilizamos o coceito de poteciação, (estudo da potêcia), Vejam só: 3x3x3x3x3x3x... por 60 vezes. A potêcia idica quatas vezes o elemeto (base) está sedo multiplicado por ele mesmo. Potecia é a multiplicação de um úmero a quatas vezes estiverem idicado em seu expoete R. a R, por ele mesmo, Calcule as seguites potêcias: a) 3 b) 0,0 0 c) 0,0075 3 d),8. Potêcia de potêcia. Podemos aplicar uma potêcia sobre uma potêcia que já está estabelecida, este caso para resolvermos este problema, multiplicamos os ídices das potêcias, trasformado em apeas uma potêcia. Vejamos o exemplo (() 4 ) 4 4x4 6 Calcule as seguites potêcias: 0 a) ( 0,08 3 ) 5
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix 5 4 b) ( ) 4 X c) ( X 3 ) 3. Multiplicação de potêcia de mesma base. Observe o seguite caso: x y ( a b).( a b) 35. Para resolvermos multiplicação de potêcia de mesma, basta coservamos a 5 4 5 4 base e somarmos os expoetes... 4. Estudo de Percetagem Imagie a seguite situação. Um vededor recebeu R$ 4.000,00 de comissão de uma veda de R$ 0.000,00. Qual foi o percetual para o vededor desta veda. Percetual Percetual valorparcial valortotal 4000.00 0000.00 Percetual,90% 5. Operações sobre mercadoria. O que vamos ver este tópico são problemas de percetagem ligados às operações de compra e veda de mercadorias, isto é, vamos apreder a 6
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix fazer cálculos de lucro ou prejuízo sobre os preços e de veda de mercadorias. Legeda: Lucro Custo L C Pr ejuízo P Veda V axa Uitária do Lucro = i. Sempre utilizar a taxa em uidades decimais. Por exemplo: %, utiliza se 0,0. 6. Vedas com Lucro sobre o preço de custo Lucro i. C V C L V C i. C V (. C Neste caso, para facilitar o raciocíio, basta cosiderarmos o custo da mercadoria como equivalete a 00%. Ex: Um comerciate vedeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determie o preço de veda, sabedo que essas mercadorias custaram R$ 500,00 V (. C V ( 0,08).500 V V (,08).500 540 7
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix 7. Vedas com Lucro sobre o preço de Veda V C L L iv. V C iv. V iv. C Etão temos: C V i Ex: Um comerciate comprou um objeto por R$ 480,00. Desejado gahar 0% sobre o preço de custo, qual deve ser o preço de veda? C V i V 480 0, V 600 Neste caso, para facilitar o raciocíio, basta cosiderarmos o valor da veda como equivalete a 00%. 8. Vedas com Prejuízo sobre o preço de custo. V=C-P P=i.C V=C-P V=C-i.C V C( 8
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix 9. Vedas com Prejuizo sobre o preço de veda V=C-P P=iV V=C-P V=C-iV V+iV=C C V ( 0. Abatimetos e aumetos sucessivos. Legeda: M Valor do motate resultate dos aumetos sucessivos. L Valor líquido, N Valor omial do título a taxa qualquer de descoto aplicada defiida pelo exercício b taxa qualquer de descoto aplicada defiida pelo exercício. c taxa qualquer de descoto aplicada defiida pelo exercício.. Abatimetos sucessivos 9
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix L N.( a).( b).( c) Ex: Um trator que custa R$ 00.000,00 é vedido com descotos sucessivos de % e 3 %. Qual o preço líquido fial desta máquia? L 00000.( 0,0).( 0,03) L 00000.(0,98).(0,97) L 900R$ Aumeto sucessivo M N.( a).( b).( c) Ex: Um trator que custa R$ 00.000,00 é vedido com acréscimos sucessivos de % e 3 %. Qual o preço líquido fial desta máquia? M M M 00000.( 0,0).( 00000.(,0).(,03) 00R$ 0,03). Juro simples e motate J N. i. Legeda J juro N Valor omial do título 0
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix i taxa de juros períodos da aplicação. axa proporcioal, modelo simples. axa equivalete, quado aplicadas a um mesmo capital, durate o mesmo período, produzem o mesmo juro Em juro simples taxa proporcioal = taxa equivalete. 3. Cálculo do Motate (Juros simples) M C M N N. i. J Etão temos a seguite fórmula: M N.( i. ) Ex: a) omou emprestado a importâcia de R$ 00,00, pelo prazo de dois aos, à taxas de 30% ao ao. Qual será o valor do juro a ser pago? b) Aplicou se a importâcia de R$ 3000,00, pelo prazo de três meses, à taxa de,% ao mês. Qual o valor do juro a receber? c) Um capital de R$ 56800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durate,5 meses. Calcule o juro? d) Calcule a taxa aual proporcioal a 8% ao trimestre (cosiderado juros simples)? e) A que taxa foi empregado o capital de R$ 000,00 que, o prazo de aos, redeu R$ 8400,00 de juro? f) Determie o período fiaceiro relativo à aplicação do capital de R$ 800 que, à taxa de % ao mês, redeu R$ 896?
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix 4. Juro comercial e juro exato A técica que estamos empregado o cálculo do juro simples ( ao = 360 dias) os dá o que deomiamos juro simples comercial. Etretato, podemos obter o juro fazedo uso de úmero exato de dias do ao (365 dias ou 366, caso o ao seja bissexto. Neste caso o resultado é deomidado de juro simples exato. Além disso, temos que levar em cosideração o modo de obteção do úmero de dias. Admitido que cada mês teha 30 dias, obtemos o tempo aproximado, fazedo a cotagem o caledário, obtemos o tempo exato. 5. Descoto simples comercial (ou descoto por fora) ) Descoto comercial (cosidera se como referêcia de cálculo o valor omial). O descoto comercial só deve ser empregado para períodos curtos, pois para períodos logos o valor do descoto pode até ultrapassar o valor omial do título. Dcomercial N. i. 6. Cálculo do valor atual de um descoto comercial simples Legeda: A Valor atual, valor já com o descoto (valor líquido) N Valor do título D descoto comercial ( Dcomercial N. i. ) quatidade de períodos da operação.
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix A N D A N N. i A N( Exercícios a) Um título de R$ 6000,00 vai ser descotado à taxa de,% ao mês. Faltado 45 dias para o vecimeto. Calcule o valor do descoto comercial simples e o valor atual? b) Uma duplicata de R$ 6900 foi resgatada ates de seu vecimeto por R$ 607, Calcule o tempo de atecipação, sabedo que a taxa de seu descoto comercial foi de 4% ao mês? 7. axa de juro efetiva simples. É a taxa que ao capitalizar (simples) o valor atual, obtém se o valor omial. (taxa efetiva represetada por if. M N N( i. ) A( if. ) Daí temos N A Aif.. : 3
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix A. if. N A N A if A. if dcomercial A. Exemplo de cálculo de taxa efetiva: a) Um título de R$ 6.000,00 foi descotado a taxa de,% ao mês, faltado 45 dias para o seu vecimeto. Sabedo que o descoto comercial foi de R$ 89,00, calcule a taxa efetiva. 8. Descoto racioal simples (cosidera se o valor atual, cohecido como descoto por detro) Na prática, o descoto comercial é mais usado, por referir exatamete ao valor omial a base dos cálculos. ambém cohecido por valor (por detro) Idéia de raciocíio, A + X/00A = N, Ode o valor iicial correspode a 00% O valor do descoto é meor que o valor do descoto comercial Pode ser calculado através da fórmula dr Ai.. Esse descoto ão é muito usado o dia a dia.. A maioria dos exercícios traz em seu cotexto o valor omial, e ão o valor atual, sedo assim, é importate elaborarmos uma outra fórmula equivalete que utiliza o valor omial N 4
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix dr Ai.. dr ( N dr). i. dr N. i. dr. i. dr dr. i. N. i. dr ( i. ) N. i. N. i. dr ( i. ) a) Um título de R$ 6.000 vai ser descotado à taxa de,% ao mês. Faltado 45 dias para o vecimeto do título, determie o valor descotado racioal, e o valor atual racioal resposta: dr = R$ 83,00 9. Equivalêcia de capitais (simples) Usamos o coceito de capital diferido: títulos de crédito com vecimetos diferetes. A referêcia é feita baseado o título, ou valor omial. Igualamos os valores atuais das respectivas datas. Sempre voltamos para uma data igual à zero. ' A A, A N( i. ) d N. i. a) Quero substituir um título de R$ 5.000, vecível em 3 meses, por outro com vecimeto em 5 meses. Sabedo que esses títulos podem ser descotados à taxa de 3,5 ao mês, qual o valor omial comercial do ovo título? resposta: R$ 6.559,00 5
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix b) Queremos substituir dois títulos, um de R$ 5.000 para 90 dias e outro de R$.000 para 60 dias, por outros três títulos, com o mesmo valor omial, vecíveis, respectivamete, em 30, 60 e 90 dias. Calcule o valor omial comum, sabedo que a taxa de descoto comercial da trasação é de 3% ao mês. resposta: R$ 5.63 0. Juros composto Chamado de capitalização composta. M C( M C( M M( M 3 M ( Substituido de forma regressiva, chegamos à fórmula geérica. M C( (, fator de capitalização. (, fator de descapitalização. É ecessária tábua fiaceira, logaritmo, calculadora cietífica ou fiaceira. axas proporcioais ão são equivaletes. axas equivaletes: quado aplicadas a capitais iguais, por prazos iguais, produzem juros também iguais. 360 ( id ) ( im ) ( ib ) 6 ( it ) 4 ( i s ) ( i a ) Cálculo do capital iicial da aplicação: Lembrado que ( é o fator de descapitalização. 6
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix C ( M i ). axa omial axa omial é quado o período de capitalização ão coicide com aquele a que ela se refere, cosidera a taxa omial proporcioal a execução dos cálculos. a) Qual o motate (composto) de um capital de R$ 5.000, o fim de aos, com juros de 4% ao ao capitalizado trimestralmete? resposta: R$ 7.969,5. axa efetiva axa efetiva é a taxa verdadeira da operação. a) Quado oferecemos 6% ao ao e capitalizamos semestralmete a 3%, a taxa de 6% é, como vimos ateriormete, represeta a taxa omial. A taxa efetiva e a taxa aual equivalete a 3% semestrais. Logo, sedo i f a taxa efetiva, temos. ( i s ) ( a ) ( 0.03) ) i ou seja ( a i = 0,06090 b) Uma taxa omial de 8% ao ao é capitalizada semestralmete. Calcule a taxa efetiva. resposta:8.8% a.a 7
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix 3. Relação etre taxa real, taxa aparete e taxa da iflação. (taxa uificada) Cosidere a seguite situação: Jorge aplicou o seu diheiro o Baco Costa e Silva SA em uma aplicação que rede % ao ao. Nesse mesmo período a iflação foi de exatamete 8%. Qual foi a taxa real de retabilidade desta aplicação? Legeda ia, taxa aparete = % ir, taxa real =? ii taxa da iflação = 8% C.( ia) C.( ii).( ir) ( ia ) ( ii).( ir) 4. Descoto composto comercial A N( Legeda: A Valor atual (valor já com o descoto N Valor do título i axa aplicada 8
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix Quatidade de períodos. Esse descoto ão muito usado em matemática fiaceira, pois em pouco tempo o valor do descoto ultrapassa o valor do título N. A base de cálculo é o valor omial do título N. Mesmo raciocíio do Abatimeto sucessivo. 5. Descoto racioal composto. Cálculo do valor atual: Valor atual, em regime de juro composto, de um capital N dispoível o fim de períodos, à taxa i relativa a esse período, é o capital A que colocado a juros compostos a taxa i, produz o fim dos períodos o Motate N. Legeda: A Valor atual (valor já com o descoto) N Valor do título i axa aplicada Quatidade de períodos. A.( N A N i ( ) ou A N.( Lembrado que ( é o fator de descapitalização. 9
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix a) Um título de valor omial de R$.500,00 foi resgatado 3 meses ates de seu vecimeto. edo sido cotratado a taxa de 30% ao ao, capitalizado mesalmete. Qual foi o descoto composto racioal cocedido? 6. Equivalêcia de capitais compostos. (capitais diferidos) A N( A A ' Mesmo coceito de equivalêcia de capitais simples, mas cosiderado a descapitalização do valor omial composta. a) Um título o valor omial de R$ 7000,00 com vecimeto para 5 meses, é trocado por outro com vecimeto para 3 meses. Sabedo que a taxa de juro correte o mercado é de 3% ao mês, qual o valor omial do ovo título? (cosiderar juros compostos) b) Um comerciate, devedor de um título de R$ 40.000 para três aos, deseja resgatar essa dívida com dois pagametos auais e iguais: um o fim do ao e outro o fim do aos. Sabedo que a taxa é de 40% ao ao, calcule o valor desses pagametos. (cosiderar juros compostos) 0
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix 7. Capitalização e amortização compostas Quado queremos fazer um ivestimeto, podemos depositar todos os meses certa quatia em uma cadereta de poupaça; quado queremos comprar um bem qualquer, podemos fazê lo em prestações, a serem pagas mesalmete. Podemos, portato, costituir um capital ou resgatar uma dívida depositado ou pagado certa quatia em épocas distitas. No primeiro caso temos uma capitalização e o segudo, uma amortização. Redas: A sucessão de depósitos ou de prestações, em épocas diferetes, destiados a formar um capital ou pagar uma dívida é deomiada Reda. As redas podem ser certas ou aleatórias, periódicas ou ão periódicas, costates ou variáveis ou diferidas (carêcia de prazo). 8. Capitalização POSECIPADA (fial do mês) a) Uma pessoa deposita em uma fiaceira, o fim de cada mês, durate 5 meses a quatia de R$ 00,00. Calcule o motate da reda, sabedo que essa fiaceira paga juros compostos de % ao mês, capitalizados mesalmete. Podemos eteder que o depósito é realizado o fial do mês, sedo que o último mês ão rede juros.
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix M C( 00 + 00 ( 0,0) + 00 ( 0,0) + 3 00 ( 0,0) + 4 00 ( 0,0) + Somatório = R$ 50,40 Cosiderado o coceito de fórmula Geérica. Sf ( (... ( Sf ( (...( Observe que detro do colchete, temos uma Progressão Geométrica. a, a (, q ( a. q a SPG Fórmula da soma da PG. q SPG (.( i ( SPG i Voltado a expressão aterior abaixo,
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix Sf ( i emos a fórmula para a capitalização postecipada. O fator também pode ser obtido através de tabelas, tábuas fiaceiras e etc. a) Uma pessoa deposita em um baco, o fim de cada mês, durate 5 meses, a quatia de R$ 350,00. Calcule o motate da reda, sabedo que esta fiaceira paga juros compostos de % ao mês, capitalizados mesalmete. b) Uma pessoa deposita em um baco, o fim de cada mês, durate 5 meses, a quatia de R$ 500,00. Calcule o motate da reda, sabedo que esta fiaceira paga juros compostos de,5% ao mês, capitalizados mesalmete. 9. Capitalização Atecipada (o iício do mês) Podemos eteder que o valor é depositado o iício do período, sedo que a última parcela também rede juros. a) Uma pessoa deposita em uma fiaceira, o iício de cada mês, durate 5 meses a quatia de R$ 00,00. Calcule o motate da reda, sabedo que essa fiaceira paga juros compostos de % ao mês, capitalizados mesalmete. M C.( 00 ( 0,0) + 3
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix 00 ( 0,0) + 3 00 ( 0,0) + 4 00 ( 0,0) + 00 ( 5 0,0) Somatório = R$ 530,8 Cosiderado o coceito de fórmula Geérica. Si ( ( (... ( Si ( (... ( Si ( (... ( Si ( (... ( Observe que detro do colchete, temos uma Progressão Geométrica. a, a (, q ( a. q a SPG Fórmula da soma da PG. q SPG (.( i ( SPG i Voltado a expressão aterior abaixo, 4
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix Si ( i Si ( i a) Qual o motate de uma reda atecipada (o iicio do mês) de 0 termos mesais de R$ 500,00 a taxa de,5% ao mês? 30. Amortização composta Vamos, agora, apreder a calcular o valor de uma dívida (ou de um empréstimo, ou o valor à vista de uma mercadoria) que será paga em prestações periódicas de quatias costates, sobre as quais icide a mesma taxa. 3. Amortização (postecipada) Cosideremos o seguite problema: a) Que dívida pode ser amortizada por 5 prestações mesais (o fim do mês) de R$ 00,00, sedo de % ao mês a taxa de juros. O objetivo deste exercício é calcular o valor atual da dívida, ou seja, saber o preço a vista desta compra. Lembrado que para trazer cada parcela para a data zero, devemos aplicar o descoto racioal composto em cada uma das parcelas. A N.( A fórmula que os dá o valor atual seria a seguite: 5
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix 00 ( 0,0) + 00 ( 0,0) + 3 00 ( 0,0) + 4 00 ( 0,0) + 5 00 ( 0,0) + Valor atual = R$ 47,34 Af ( (... ( Af ( (... ( A expressão que se ecotra detro dos colchetes é a soma dos termos de uma PG, a qual temos: a (, a (, q ( a. q a SPG Fórmula da soma da PG. q ( SPG ( SPG i.( ( i Multiplicado toda a expressão por dos termos. ( para facilitar a visualização 6
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix SPG ( ( i.(.)( SPG ( i.( Este termo é cohecido como fator de amortização. Voltado a expressão aterior, Af ( i.( a) Qual o valor atual de uma reda aual imediata de termos iguais a R$ 5.000,00 cada um, à taxa de 6% ao ao? b) Qual dívida pode ser amortizada por 5 prestações mesais de R$ 8.000,00 cada uma, sedo % ao mês a taxa de juro? 3. Amortização atecipada Neste caso, a primeira parcela da amortização é feita o ato do cotrato (data zero). Para exemplificar vamos refazer o exemplo da explicação aterior cosiderado o pagameto o ato do cotrato. a) Que dívida pode ser amortizada por 5 prestações mesais (o íicio do mês) de R$ 00,00, sedo de % ao mês a taxa de juros. 7
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix Resolução: A N ) 00+.( i Ou seja, 00.(,0) + 00.(,0) + 3 00.(,0) + 4 00.(,0) = Valor atual = R$ 480,77 Vamos à fórmula geérica Ai ( (... ( ( ) Ai ( (... ( ( ) A expressão que se ecotra detro dos colchetes é a soma dos termos de uma PG, a qual temos: ( ) a (, a, q ( a. q a SPG Fórmula da soma da PG. q SPG SPG.( ( i ( ( i Voltado a expressão aterior, ( ( ) 8 )
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix Ai ( ( i ( ) a) Calcule o valor atual de uma auidade atecipada de termos mesais de R$ 50,00, à taxa de 3% ao mês. b) Qual o valor de uma prestação mesal atecipada para amortizar, com 6 pagametos, uma compra de R$ 6.500, com juro de,5% ao mês. 33. Empréstimos (Sistema Fracês de amortização) abela Price. O mutuário se compromete a amortizar o empréstimo com prestações costates, periódicas e imediatas. Como essas prestações são costates, à medida que vão sedo paga, a dívida dimiui e os juros toram se meores, equato que as quotas de amortização toram se automaticamete maiores. A tabela price amplamete usado em crédito veículo, eletrôicos, CDC e etc. Características: As prestações são costates em todos os períodos A prestação é composta por (Juro + amortização) de forma que a prestação permaeça costate. Os juros vão dimiuido ao logo do tempo, A amortização vai aumetado ao logo do tempo. No cálculo é utilizada a taxa proporcioal. 9
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix Vamos voltar ao coceito de amortização composta postecipada. Af ( i.(.podemos eteder que o termo Af é o valor atual, e ao mesmo tempo o valor a vista D 0 D 0 ( i.( Isolado o temos, 34. Esta é a formula para fiaciametos gerais, pelo método PRICE. D i.( 0 ( Vamos aos exemplos: a) Uma istituição fiaceira faz um empréstimo de R$ 00.000,00 para ser pago pelo SISEMA FRANCÊS DE AMORIZAÇÃO (PRICE) em 4 prestações auais, à taxa de 5% ao ao. Calcule o valor da prestação e mote a plailha de amortização. Utilizado a fórmula descrita (tabela price) calculamos o valor da parcela, R$ 35.07,00 30
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix ABELA PRICE PERÍODOS PRESAÇÃO JURO AMORIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 0 R$ 00.000,00 R$ 35.07,00 R$ 5.000,00 R$ 0.07,00 R$ 79.973,00 R$ 35.07,00 R$.995,95 R$ 3.03,05 R$ 56.94,95 3 R$ 35.07,00 R$ 8.54,9 R$ 6.485,7 R$ 30.456,4 4 R$ 35.07,00 R$ 4.568,44 R$ 30.458,56 -R$,3 Podemos tirar algumas coclusões escrevedo as fórmulas geéricas:. Dk O valor do juro é k J i O valor da amortização é A k J k O saldo devedor é Dk Dk A k b) Uma moto Hoda custa R$ 6.000,00 à vista. Fiaciado em 4 parcelas com a taxa de,5% a. m. Calcule o valor da parcela e costrua a tabela PRICE correspodete. ABELA PRICE PERÍODOS PRESAÇÃO JURO AMORIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 0 R$ 6.000,00 R$ 99,55 R$ 90,00 R$ 09,55 R$ 5.790,45 R$ 99,55 R$ 86,86 R$,69 R$ 5.577,76 3 R$ 99,55 R$ 83,67 R$ 5,88 R$ 5.36,87 4 R$ 99,55 R$ 80,43 R$ 9, R$ 5.4,75 5 R$ 99,55 R$ 77,4 R$,4 R$ 4.90,34 6 R$ 99,55 R$ 73,8 R$ 5,74 R$ 4.694,60 7 R$ 99,55 R$ 70,4 R$ 9,3 R$ 4.465,47 8 R$ 99,55 R$ 66,98 R$ 3,57 R$ 4.3,90 9 R$ 99,55 R$ 63,49 R$ 36,06 R$ 3.996,84 0 R$ 99,55 R$ 59,95 R$ 39,60 R$ 3.757,4 3
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix R$ 99,55 R$ 56,36 R$ 43,9 R$ 3.54,05 R$ 99,55 R$ 5,7 R$ 46,84 R$ 3.67, 3 R$ 99,55 R$ 49,0 R$ 50,54 R$ 3.06,67 4 R$ 99,55 R$ 45,5 R$ 54,30 R$.76,37 5 R$ 99,55 R$ 4,44 R$ 58, R$.504,6 6 R$ 99,55 R$ 37,56 R$ 6,99 R$.4,7 7 R$ 99,55 R$ 33,63 R$ 65,9 R$.976,36 8 R$ 99,55 R$ 9,65 R$ 69,90 R$.706,45 9 R$ 99,55 R$ 5,60 R$ 73,95 R$.43,50 0 R$ 99,55 R$,49 R$ 78,06 R$.54,44 R$ 99,55 R$ 7,3 R$ 8,3 R$ 87,0 R$ 99,55 R$ 3,08 R$ 86,47 R$ 585,74 3 R$ 99,55 R$ 8,79 R$ 90,76 R$ 94,97 4 R$ 99,55 R$ 4,4 R$ 95,3 -R$ 0,5 35. Determiação do saldo devedor (Sistema Price) Vamos imagiar uma maeira de calcular o saldo devedor após ma certa quatia sem costruir a tabela price e sem calcular maualmete dos saldos ateriores. D Quado calculamos o 0, a verdade estamos amortizado todas as parcelas para a data zero, etão com isso estamos obtedo o saldo devedor que é igual ao valor iicial do fiaciameto. Podemos eteder que D, D, D, D, 3 k segue o cálculo do saldo devedor à medida que vamos quitado as respectivas parcelas. Etão temos. 3
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix D 0 ( i.( D k ( i.( k k, ode k é quatidade de parcelas já quitadas (pagas) a) Uma dívida de R$ 50.000,00 vai ser amortizada, através do Sistema Fracês de Amortização, em 8 prestações auais à taxa de 0% ao ao. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a terceira parcela. b) Um baco empresta R$ 00.000,00 para ser pago pelo Sistema Fracês de Amortização em 0 prestações auais à taxa de 5% ao ao. Calcule o saldo devedor após o pagameto da décima seguda prestação. 36. Empréstimos (Sistema Fracês de amortização) abela Price. COM CARÊNCIA. Um fiaciameto pode ser oferecido ao mutuário com um prazo de carêcia. Quado isso acotece, devemos cosiderar três casos: ) Durate a carêcia o mutuário paga apeas os juros da dívida, ão havedo, portato, amortização desta. 33
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix ) Durate a carêcia o mutuário ão paga os juros da dívida, estes serão capitalizados e icorporados à dívida, para serem amortizados as prestações. 3) A carêcia é apeas um icetivo para o mutuário a egociação, ão havedo cobraça por isso. (Não coheço ehum caso a prática. Vamos estudar o primeiro caso (mutuário paga somete os juros o período da carêcia). a) Uma istituição fiaceira faz um empréstimo de R$ 00.000,00 para ser pago pelo SISEMA FRANCÊS DE AMORIZAÇÃO (PRICE) em 4 prestações auais, à taxa de 5% ao ao e aos de carêcia. Calcule o valor da prestação e mote a plailha de amortização. Utilizado a fórmula descrita (tabela price) calculamos o valor da parcela, R$ 35.07,00 ABELA PRICE ( Com carêcia) PERÍODOS PRESAÇÃO JURO AMORIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 0 R$ 00.000,00 CARÊNCIA R$ 5.000,00 Carêcia R$ 00.000,00 CARÊNCIA R$ 5.000,00 Carêcia R$ 00.000,00 3 R$ 35.07,00 R$ 5.000,00 R$ 0.07,00 R$ 79.973,00 4 R$ 35.07,00 R$.995,95 R$ 3.03,05 R$ 56.94,95 5 R$ 35.07,00 R$ 8.54,9 R$ 6.485,7 R$ 30.456,4 6 R$ 35.07,00 R$ 4.568,44 R$ 30.458,56 -R$,3 34
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix Vamos estudar o segudo caso (mutuário ão paga ada durate a carêcia e estes juros serão capitalizados e icorporados à dívida). b) Uma istituição fiaceira faz um empréstimo de R$ 00.000,00 para ser pago pelo SISEMA FRANCÊS DE AMORIZAÇÃO (PRICE) em 4 prestações auais, à taxa de 5% ao ao e aos de carêcia. Calcule o valor da prestação e mote a plailha de amortização. Vamos capitalizar a dívida. M C( M 00000 ( 0,5) 5000 ------------------------------------------------------------------------------ M 00000 ( 0,5) 350 ------------------------------------------------------------------------------- ABELA PRICE COM CARENCIA PERÍODOS PRESAÇÃO JURO AMORIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 0 R$ 00.000,00 R$ 5.000,00 R$ 3.50,00 3 R$ 46.3,56 R$ 9.837,50 R$ 6.485,06 R$ 05.764,94 4 R$ 46.3,56 R$ 5.864,74 R$ 30.457,8 R$ 75.307, 5 R$ 46.3,56 R$.96,07 R$ 35.06,49 R$ 40.80,63 6 R$ 46.3,56 R$ 6.04,09 R$ 40.80,47 R$ 0,6 35
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix 37. SISEMA DE AMORIZAÇÃO CONSANE (ABELA SAC) O Sistema de amortização costate (SAC), também chamado de sistema hamburguês, foi itroduzido o Brasil, a partir de 97, pelo sistema fiaceiro da habitação. O SAC Possui as seguites características: A amortização é costate O mutuário paga a dívida em prestações periódicas e imediatas decrescetes, que eglobam juros e amortizações. Os juros são cobrados sobre o saldo devedor e a amortização é costate, etão as prestações são decrescetes.. Dk O valor do juro é k J O valor da amortização é O saldo devedor é i D0 A Dk Dk A k a) Uma fiaceira faz um empréstimo de R$ 00.000,00 para ser pago pelo Sistema de Amortização Costate em 4 prestações auais, à taxa de 5% ao ao. Mote a plailha de amortização. D 0 4 00000 i 5 % a. a 36
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix D A 0 = A 00000 4 5000 ABELA SAC / AXA 5% PERÍODOS PRESAÇÃO JURO AMORIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 0 R$ 00.000,00 R$ 40.000,00 R$ 5.000,00 R$ 5.000,00 R$ 75.000,00 R$ 36.50,00 R$.50,00 R$ 5.000,00 R$ 50.000,00 3 R$ 3.500,00 R$ 7.500,00 R$ 5.000,00 R$ 5.000,00 4 R$ 8.750,00 R$ 3.750,00 R$ 5.000,00 R$ 0,00 38. Determiação do saldo devedor. Por aalogia aos modelos apresetados, temos a fórmula geérica do saldo devedor de um sistema de amortização costate: D k D k. A 0 a) Uma dívida de R$ 600.000,00 vai ser amortizada, através do sistema de amortização costate, em prestações auais, à taxa de 0% ao ao. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a oitava prestação. A D0 600000 D k D k. A 0 50000 D 8 600000 8.50000 00000 37
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix Comprovado o cálculo aterior através da tabela SAC. ABELA SAC / AXA 0% PERÍODOS PRESAÇÃO JURO AMORIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 0 R$ 600.000,00 R$ 70.000,00 R$ 0.000,00 R$ 50.000,00 R$ 550.000,00 R$ 60.000,00 R$ 0.000,00 R$ 50.000,00 R$ 500.000,00 3 R$ 50.000,00 R$ 00.000,00 R$ 50.000,00 R$ 450.000,00 4 R$ 40.000,00 R$ 90.000,00 R$ 50.000,00 R$ 400.000,00 5 R$ 30.000,00 R$ 80.000,00 R$ 50.000,00 R$ 350.000,00 6 R$ 0.000,00 R$ 70.000,00 R$ 50.000,00 R$ 300.000,00 7 R$ 0.000,00 R$ 60.000,00 R$ 50.000,00 R$ 50.000,00 8 R$ 00.000,00 R$ 50.000,00 R$ 50.000,00 R$ 00.000,00 9 R$ 90.000,00 R$ 40.000,00 R$ 50.000,00 R$ 50.000,00 0 R$ 80.000,00 R$ 30.000,00 R$ 50.000,00 R$ 00.000,00 R$ 70.000,00 R$ 0.000,00 R$ 50.000,00 R$ 50.000,00 R$ 60.000,00 R$ 0.000,00 R$ 50.000,00 R$ 0,00 R$.380.000,00 R$ 780.000,00 R$ 600.000,00 39. Sistema de SAC com prazo de carêcia Da mesma forma que acotece a tabela price, podemos cosiderar três casos. Quado isso acotece, devemos cosiderar três casos:. Durate a carêcia o mutuário paga apeas os juros da dívida, ão havedo, portato, amortização desta.. Durate a carêcia o mutuário ão paga os juros da dívida, estes serão capitalizados e icorporados à dívida, para serem amortizados as prestações. 3. A carêcia é apeas um icetivo para o mutuário a egociação, ão havedo cobraça por isso. coheço ehum caso a prática. (Não 38
Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix a) Refaça o exercício aterior atribuido a carêcia de dois aos os dois casos previstos pricipais (cosiderado o juro e capitalizado e motado um ovo capital. Parte 0 Referêcias Bibliográficas: Matemática Comercial e Fiaceira Atôio Arot Crespo Matemática Fiaceira com uso do Excel e Hp C Lúcio Mago Pires Matemática Elemetar Coleção vol Gelso Iezzi Matemática Elemetar Coleção vol Gelso Iezzi Guia do Usuário Hp c 5º edição Hp do Brasil. RIKEY PAULO PIRES FELIX 39
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