Matemática Complementos de Funções Professor Marcelo Gonsalez Badin
Paridade Função PAR f (x) é chamada FUNÇÃO PAR se f ( x) = f (x) Exemplo: f (x) = x 4 f ( x) = ( x) 4 = x 4 = f (x) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y
Paridade Função ÍMPAR f (x) é chamada FUNÇÃO ÍMPAR se f ( x) = f (x) Exemplo: f (x) = senx f ( x) = sen( x) = senx = f (x) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem
f (x) = x 2 f (x) = x 3 Gráfico simétrico em relação ao eixo das ordenadas (eixo y) Gráfico simétrico em relação à origem (ponto (0; 0))
Classifique as funções a seguir em ( I ) Par ( II ) Ímpar ( III ) Nem par nem ímpar a) f (x) = x 3 f ( x) =( x) 3 = x 3 = f (x) f ( x) = f (x) Logo, f (x) é ímpar Classificação ( II ) c) f (x) = x 2 5x b) f (x) = cosx f ( x) = cos( x) = cosx = f (x) f ( x) = f (x) f (x) é par Classificação ( I ) d) f (x) = x 4 + 7x 2 f ( x) =( x) 2 5( x) f ( x) f ( x) e f ( x) f ( x) f (x) não tem paridade Classificação ( III ) = x 2 + 5x f ( x) =( x) 4 + 7( x) 2 = x 4 + 7x 2 f ( x) = f (x) f (x) é par Classificação ( I )
Função Composta É apenas uma notação: f Og(x) significa f (g(x)), isto é: f Og(x) = f (g(x)) Por exemplo: Sendo f (x) = 2x+1 e g(x) = x 2, temos: f Og(2) = f (g(2)) = f (4) = 2.4+1 = 9 gof (2) = g(f (2)) = g(5) = 5 2 = 25
Sendo f (x) = 2x+1 e g(x) = x 2 f Og(x) = f (g(x)) = f (x 2 ) = 2x 2 +1 gof (x) = g(f (x)) = g(2x+1)= (2x+1) 2 = 4x 2 +4x+1 Em geral, f Og gof f g 3 7 49 gof
h g f f OgOh
f (x) = 2x+1 f Of (x) f Of (x) = f (f (x)) = f (2x + 1) = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 3 f Of Of (x) f Of Of (x) = f(f(f(x))) = f (4x + 3)= 2(4x + 3)+1= 8x + 7
1. Sendo f (x) = 3x +1 e g(x) = x 2 + 2x, obtenha: a) f Og(3) f Og(3) = f (g(3)) = f (15) = 46 b) gof (3) gof (3) = g(f (3)) = g(10) = 120 c) f Og(x) f Og(x) = f (g(x)) = f (x 2 +2x) = 3(x 2 + 2x) + 1 = 3x 2 + 6x + 1 d) gof (x) gof (x) = g(f (x)) = g(3x+1) = (3x + 1) 2 +2(3x + 1) = 9x 2 + 12x + 3 e) f Of (x) f Of(x) = f (f (x)) = f (3x + 1) = 3(3x + 1) + 1 = 9x + 4
2.(Unifor-CE) Sejam f e g funções de IR em IR definidas por f (x) = kx + 3 e g(x) = 2x. Se f (g( 3)) = 9, então a função gof é definida por: a) 4x + 3 f (g( 3)) = 9 b) 4x 3 f ( 6) = 9 c) 4x + 9 d) 4x 6 k( 6) + 3 = 9 e) 4x + 6 6k = 12 k = 2 \ f (x) = 2x + 3 gof = g(f (x)) = g(2x + 3) = 2(2x + 3) = 4x + 6
Função Domínio f : A B A f Contradomínio B Imagem A Função Injetora x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 f : A B f B Im Função Sobrejetora Contradomínio = Imagem A f : A B f B Im Toda função estritamente crescente ou estritamente decrescente é injetora A Função Bijetora Injetora e Sobrejetora f : A B f B Im Qualquer função pode ser sobrejetora, basta restringir o contradomínio
Função Injetora Elementos distintos do domínio possuem imagens distintas x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 Função Sobrejetora Contradomínio = Imagem Função Bijetora É simultaneamente Injetora e Sobrejetora f: {x/x é aluno desta sala} {y/y é carteira desta sala} f associa cada aluno a uma carteira desta sala f: {x/x é aluno desta sala} {y/y é um mês do ano} f associa cada aluno ao mês de seu aniversário f: {x/x é aluno desta sala} {y/y é um dia do ano} f associa cada aluno ao dia de seu aniversário
Função A f : A B f B Im A Função Injetora x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 f : A B f B Im É função de A em B Não é função de B em A Função Sobrejetora Contradomínio = Imagem A f : A B f B Im É função de A em B Não é função de B em A Função Bijetora Injetora e Sobrejetora f : A B A f B Im É função de A em B Não é função de B em A É função de A em B É função de B em A
Dada uma Função Bijetora f (x), a função que faz a volta é chamada função inversa de f (x) e denotada por f 1 (x) 1 f : A B f : B A A f B É função de A em B É função de B em A f 1 Toda função do 1º grau é bijetora de IR em IR. Assim, toda função do 1º grau admite inversa.
3. A função inversa de f (x) = 5x + 13 é: 1 1 a) f ( x) = 5x + 13 1 b) f ( x) = 5x 13 1 x 13 c) f ( x) = 5 1 x 5 d) f ( x) = 13 e f x x 1 ) ( ) = 13 + 5 2 f 23 I ) Isolar o x: y = 5x + 13 5x = y 13 y 13 x = 5 II ) Trocar y por x e x por y x 13 y = 5 O novo y é f 1 (x) 1 x 13 f ( x) = 5 Se f (a) = b Então f 1 (b) = a f 1
Se f (x) = 5x + 13 f O f 1 (x) = Então f ( f 1 (x)) = f f x 1 x 13 ( x) = 5 13 5 f O f 1 (x) = f 1 O f (x) = x f 1 x 13 = 5 + 13 5 f = x 28 3 28 f Of 1
4. Considere a função f (x) = 2x 1. a) Obtenha f 1 (x) y = 2x 1 2x = y + 1 y + 1 x = 2 1 x + 1 f ( x) = 2
b) Faça, num mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções f (x) e f 1 (x). f (x) = 2x 1 x y = 2x 1 0 1 (0; 1) ½ 0 ( ½; 0) y f f 1 f 1 x + 1 ( x) = 2 x + 1 x y = 2 0 ½ (0; ½) 1 0 ( 1; 0) 1 ½ 1 ½ x
Observe que os gráficos de f e f 1 são simétricos em relação à reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares)
1 5. Considere a função bijetora f : IR 3 7 2x definida por f ( x) = 3x 1. Determine f 1 (x) 7 2x y = 3x 1 y(3x 1) = 7 2x 2 IR 3 Observe que o domínio da função f é igual a imagem da função inversa f 1 e vice-versa 3yx y = 7 2x 3yx + 2x = 7 + y x(3y + 2) = 7 + y 7 + y x = 3y + 2 1 f : A B f : B A f ( x) = x 3x + 2 1 7 +
f : IR IR f (x) = x 2 y f : IR IR + f (x) = x 2 y x x Im = IR + Nem injetora nem sobrejetora Não admite inversa Im = IR + Somente sobrejetora Não admite inversa
f : IR + f (x) = x 2 y IR f : IR + IR + f (x) = x 2 y x x Im = IR + Somente injetora Não admite inversa Im = IR + Bijetora Admite inversa
f : IR + IR + f (x) = x 2 y = x 2 y = x 2 y = x x = ± y Como x 0 y = x x = y f 1 ( x) = x
Dada a função composta f(g(x)) e uma das funções (f ou g) determinar a outra função. Versão mais fácil: São dadas a composta e a de fora, determinar a de dentro. Exemplo: Sendo f(x) = 2x + 3 e f(g(x)) = 4x 2 6x + 5 determine g(x) f(g(x)) = 4x 2 6x + 5 2g(x) + 3 = 4x 2 6x + 5 2g(x) = 4x 2 6x + 2 g(x) = 2x 2 3x + 1
Versão mais difícil: São dadas a composta e a de dentro, determinar a de fora. Lembrando... Sendo f(x + 3) = x 2 3x então f(7) é igual a: a) 28 b) 18 c) 10 d) 4 e) 0 x + 3 = 7 x = 4 f(4 + 3) = 4 2 3.4 f (7) = 4 Sendo f(g(x)) = x 2 3x e g(x) = x + 3, determine f(x) f(g(x)) = x 2 3x f(t) = (t 3) 2 3(t 3) f(x + 3) = x 2 3x f(t) = t 2 6t + 9 3t + 9 x + 3 = t x = t 3 f(t) = t 2 9t + 18 Observações: f(x) = x 2 9x + 18 I. Ao determinar f(t) encontramos f de uma letra sozinha, e essa letra pode ser qualquer uma, inclusive x II. Se depois de obter f(t) você substituir t por x + 3 voltará ao início III. f(t) = t 2 9t + 18 fi f(7) = 7 2 9.7 + 18 = 4
(Mack) No esquema a seguir, f e g são funções, respectivamente, c) g(x) = 3x + 2 x d) f(x) = 8x + 6 de A em B e de B em C. Então: a) g(x) = 6x + 5 b) f(x) = 6x + 5 A f B 2x + 1 g C 6x + 5 g(x) =? e) g(x) = (x 1) 2 f(x) = 2x + 1 g(2x + 1) = 6x + 5 t 1 2x + 1 = t x = 2 g(2x + 1) = 6x + 5 t 1 g(t) = 6 + 5 2 g(t) = 3(t 1) + 5 g(t) = 3t + 2 g(x) = 3x + 2
Sendo f(g(x)) = 3x + 5 e g(x) = 2x 7, determine f(x) f(g(x)) = 3x + 5 t + 7 f(t) = 3 + 5 f(2x 7) = 3x + 5 2 t + 7 2x 7 = t x = 2 f(t) = 3t + 21 3t + 21+ 10 + 5 = 2 2 3t + 31 f (t) = 2 3x + 11 f (x) = 2