Um criério para a avaliação da formação de laços em umbilicais submarinos Waldir Terra Pino Deparameno de Maeriais e Consruções FURG, Rio Grande, RS waldir.pino@gmail.com RESUMO: O uso de cabos e umbilicais submersos para ransmissão de sinais e poência é inenso no coneo de engenharia oceânica. Cabos e umbilicais são esruuras que apresenam ala fleibilidade e, em geral, esão sujeias a esforços raivos pequenos. Essa combinação fa com que a capacidade da esruura de resisir cargas ransversais seja muio pequena, o que orna a esruura suscepível a insabilidades locais do ipo de formação de laço. Nese coneo, esse rabalho apresena um esudo analíico que visa a esabelecimeno de um criério de esabilidade para esruuras submarinas esbelas de baia ração baseada no méodo proposo por Wi e Tan. Os resulados mosram que a curvaura críica é, freqüenemene, inferior a máima curvaura recomendada pelo fabricane do umbilical. PALAVRAS-CHAVE: Laços, umbilicais submarinos INTRODUÇÃO Nos úlimos anos, a indúsria de peróleo no Brasil em seguido uma endência de eploração de hidrocarboneos no mar em águas cada ve mais profundas. Ese fao em levado uma mudança de plaaformas fias para plaaformas fluuanes (FPU), noadamene os sisemas semisubmersíveis e FPSO. A uiliação desas plaaformas fluuanes requer sisemas submarinos conecando insalações de opo com insalações de fundo para ranspore de massa, ransmissão de força e ransmissão de sinais. Nese coneo, os umbilicais são componenes imporanes das insalações submarinas e são uiliados para a ransmissão de sinais eléricos e pneumáicos e poência para as insalações de fundo. Um aspeco imporane desas esruuras di respeio a sua insalação no mar. Como são esruuras submarinas esbelas, os umbilicais precisam ser manipulados com cuidado quando esão sendo insalados, especialmene em águas profundas. Um modo de falha comum em umbilicais submarinos consise na formação de laços como resulado dos esforços de insalação e/ou operação. Esses laços podem causar deformações plásicas na esruura ornando o seu reparo eremamene caro ou aé impossível. Porano, a minimiação do poencial para a formação de laços é um alamene desejável do pono de visa do operador. O objeivo dese rabalho é apresenar um criério para avaliar a possibilidade de formação de laços em umbilicais submarinos durane as operações de insalação. A formação de laços esá normalmene associada com condições de baia ração na esruura que podem ocorrer de maneira ransiene. Baia ração em umbilicais é ineviável em regiões próimas ao fundo do mar com a agravane de que, nesas regiões, a curvaura da esruura é ala. Sob condições de baia ração, a ração esáica e a ração dinâmica podem apresenar a mesma ordem de grandea. Além
disso, a rigide geomérica da esruura é baia. Conseqüenemene, essas esruuras podem sofrer deslocamenos de grandes ampliudes ainda que os esforços hidrodinâmicos sejam pequenos. Uma oura caracerísica dos umbilicais é o poencial para insabilidades que podem levar a grandes deslocamenos ridimensionais, formação de laços, e kinking [,7,8]. O comporameno esruural dos umbilicais é compleo pois eles eibem resposa de orção quando submeidos a carregamenos aiais. Ese fao é conseqüência das armaduras em forma de hélice, da não-linearidade da relação momeno curvaura e do acoplameno enre fleão, orção e esforço aial. Ese comporameno esruural em sido alvo de inúmeras pesquisas [,4,5,7,8]. A formação de laços é um problema eremamene compleo ano do pono de visa esruural quano do pono de visa da análise dinâmica global. Por essa raão, a alernaiva é esimar a possibilidade de ocorrência de laços para siuações nas quais a relação consiuiva é linear, para condições de conorno bem comporadas e para carregamenos simples, deerminar os casos críicos para formação de laço nesas condições e adoar um coeficiene de segurança alo para que as insabilidades não ocorram. Noe-se que as condições críicas de carregameno são obidas aravés da analise dinâmica global da esruura. Eisem alguns modelos numéricos que faem essa arefa [6]. O rabalho apresena primeiramene uma discussão de um modelo analíico proposo por Wi e Tan [7], suas condições de conorno, comporameno pós-flambagem e apresena um criério para a formação de laços em esruuras sujeias a momenos erminais. - DESCRIÇÃO DO MODELO DE WITZ E TAN Na invesigação da formação de laços apresenada nese rabalho considera que os umbilicais submarinos podem ser idealiados como esruuras cilíndricas longas, com seção ransversal circular. A esruura é considerada elásica-linear, porém com rigide aial muio grande de maneira que a mesma pode ser considerada ineensível. O carregameno sobre a esruura consise de momenos erminais conforme mosra a Figura. O equilíbrio de momenos de acordo com a eoria de viga de Euler Bernoulli pode ser epresso por: onde EI é a rigide à fleão, κ é a curvaura, Μ é o momeno fleor erminal, M é o módulo do momeno orsor numa posição cuja angene à linha elásica é paralela ao veor uniário e, M é módulo do momeno orsor erminal onde o veor uniário angene à linha elásica é e. As definições recém apresenadas deiam claro que o momeno orsor e o momeno fleor são orogonais e que as incógnias do problema se resumem à curvaura e ao momeno orsor. A deerminação dessas incógnias é feia a parir da hipóese de que a linha elásica pode ser represenada por uma curva de velocidade uniária, ou seja, uma curva cuja forma paramérica uilia o comprimeno de arco S como parâmero. Como resulado, o veor angene uniário à linha elásica é fornecido por: ()
Figura :Esquema de um Elemeno do Umbilical dr e r () d A derivada do produo escalar dese veor angene por ele mesmo é; produ: e e r r r r () Ou seja, o veor r é normal ao veor r. Iso significa que o veor normal uniário pode ser definido como: r en (4) κ onde κ é o módulo do veor curvaura. Um erceiro veor pode ser obido via o produo veorial enre o veor angene uniário e veor normal uniário. Esse veor é ambém uniário e perpendicular aos dois primeiros e é chamado de veor binormal. eb e e n (5) O comprimeno de arco S pode ser subsiuído por um parâmero arbirário sem perda de generalidade na formulação. O veor curvaura pode ser epresso em função do novo parâmero aravés dos passos descrios a seguir. Primeiramene, a derivada do veor posição em relação a pode ser escria como: r& S& r S& e (6) onde o pono significa derivada em relação à. Noa-se que o veor e é uniário e, porano, o módulo da derivada (6) é:
r & S& (7) A seguir, calcula-se a segunda derivada da posição em relação a, iso é: && && & κ (8) r Se + S e n Assim como o produo veorial da primeira derivada pela segunda derivada do veor posição em relação à. ( ) ( ) r& && r SS &&& e e + S& κ e e S& κ e (9) n b Como resulado o veor curvaura pode ser escrio como: b ( YZ &&& YZ &&& ) + ( XZ &&& XZ &&& ) + ( XY &&& XY &&& ) ( ) X& + Y& + Z& i j k κ κ e () As coordenadas X, Y e Z e o comprimeno de arco S podem ser ornadas adimensionais pelas relações. X L Y L Z L S s L Como resulado, o veor curvaura fica: ( &&& &&& ) + (&&& &&& ) + (&&& &&& ) i j k κ L () ( ) & + & + & De maneira similar à equação de equilíbrio () pode ser adimensionaliada a parir da muliplicação pelo comprimeno da viga e dividida pela rigide à fleão, ou seja. L κ + µ + e + e () onde: e M L M L M L µ µ i + µ j+ µ k i + j+ k, EI EI EI M L M L M ol e i + j + k i + j+ k EI EI EI M, M, M são os componenes do momeno fleor aplicado.
Sem perda de generalidade, a coordenada é escolhida como sendo o parâmero. Conseqüenemene, a Equação pode ser decomposa nas direções, e o que resula nas seguines epressões: && & + + m & + & + & + & + onde: ( ) && ( & + & + ) &&& &&& ( & + & + ) ( ) ( ) & + (, a, b, c) ( ) ( & + & + ) + + m ( ) ( & + & + ) ( µ ) ( µ ) ( µ ) m m i + m j+ m k + i + + j + + k Noe-se que o momeno ransversal m foi considerado nulo na Equação. Iso se jusifica pelo fao de escolha da orienação do sisema de coordenadas de al forma que a resulane do momeno fleor e do momeno orsos aplicados eseja no plano principal. As Equações podem ser ransformadas nas seguines formas diferenciais eaas. && & && + &&&& m & d & + + m ( ) d r& r& & + & + && + & && &&&& m & m& d & + + m ( ) m d r& r& & + & + ( &&& + &&& ) m & d + + m ( ) d r& r& & + & + (4, a, b, c) A inegração das Equações 4 leva às seguines epressões: & + m C ( ) & + & + & ( ) & + & + ( ) & + & + + m m C + m C (5, a, b, c)
onde C, C e C são consanes de inegração a deerminar. Anes de resolver as Equações 5, considere-se a subsiuição do parâmero pelo comprimeno de arco adimensional s. Aplicando-se a regra da cadeia chega-se a seguine epressão: Subsiuindo a Equação 6 na Equação 5 chega-se a:. & s& & s& r& s& (6, a, b, c) m C + m m C + m C (7, a, b, c) A escolha do sisema de coordenadas que force ao momeno m ser nulo implica em: ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) (8, a, b, c) Iso é, as coordenadas e são funções ímpares enquano que a coordenada é uma função par do comprimeno de arco s. Ese resulado é conseqüência das propriedades de simeria e anisimeria da configuração deformada da viga sujeia aos momenos erminais. Em função desas propriedades, apenas meade da viga precisa ser analisada. Pode-se mosrar facilmene que a consane de inegração C em que ser ero. Como resulado, a derivada da Equação 7b em relação ao comprimeno de arco é: + m m (9) As derivadas das coordenadas e podem ser subsiuídas pelas suas respecivas epressões (7) resulando em: cuja solução é: ( ) + m + m C m C m () Cm Cm ( s) C4 sin ( s) + C5 cos( s) + ( a) onde m + m
As epressões para ( s) e ( ) s são obidas pela subsiuição da Equação nas Equações 7 seguida da inegração em relação ao comprimeno de arco s. Porano: mc4 m C m C m C ( s) cos ( s) + sin ( s) + C s + m s + C 5 6 m C m C m C m C ( s) cos ( s) sin ( s) + C s + m s + C 4 5 7 ( b) ( c) onde C 6 e C 7 são consanes de inegração. As consanes C 4, C6 e C 7 são nulas para saisfaer a Equação 8. Conseqüenemene a solução geral do problema é: mc5 ( s) sin ( s) + Cs s C s ( ) cos( ) 5 mc5 ( s) sin ( s) + Cs () onde as consanes C e C possuem a seguine relação: m C mc () A Equação define a posição do eio, o que não causa qualquer perda de generalidade da solução. A configuração da viga é obida a parir da aplicação das condições de conorno na solução geral. CONDIÇÕES DE CONTORNO As condições de conorno consideradas nese rabalho correspondem as que podem levar a formação de laço. Nesas condições, as resrições erminais da viga são ais que os veores uniários nas eremidades são paralelos ao plano principal e são consanes. Os eremos da viga podem se deslocar livremene. As epressões paraméricas para essas condições de conorno são: ( ) ( ) ( ) (4) Como conseqüência da Equação 8 apenas meade da viga precisa ser considerada. As Equações indicam que, as direções das duas eremidades permanecem consanes à medida que a esruura forma um laço. A subsiuição das Equações nas Equações 4 resula em:
mc5 cos + C C5 sin o mc5 cos + C o (5) As consanes de inegração podem ser epressas em ermos dos momenos aplicados, onde se eplora a condição de orogonalidade enre o momeno fleor e o momeno orsor. Enão a seguine relação é válida: C m + C m (6) Usando as Equações e 6, chega-se as seguines epressões para as consanes C e C. m C m C (7) A parir da Equação 5, pode-se escrever que a consane C 5. C 5 µ (8) O parâmero pode ser escrio em função dos módulos dos momenos erminais: µ + (9) A combinação das Equações 5, 7 e 8 leva a epressão das condições de conorno em ermos dos momenos auanes nas eremidades e dos módulos dos momenos fleor e ensor. mµ m cos + µ sin mµ m cos + () Usando a Equação, as componenes do momeno fleor auane podem ser escrias como:
µ µ ( ) ( ) cos µ + µ cos µ sin ( ) ( ) µ sin µ µ + cos (a,b,c) onde: + µ cos () e a componene do momeno fleor µ é obida direamene da Equação b a parir da imposição de um valor nulo m. A configuração deformada da viga pode agora ser epressa em ermos do módulo do momeno fleor e do módulo do momeno orsor e a componene do veor. A epressão é: µ ( s) sin ( ) cos cos ( s s + µ ) µ ( s) cos ( s) µ cos ( ) ( s) sin ( s) + s + µ cos ( ) () Claramene, a configuração deformada da viga pode ser compleamene deerminada desde que o módulo do momeno orsor auane,, e uma das componenes do veor uniário, ( ou ) sejam conhecidas, pois o módulo do momeno fleor auane pode ser obido por ( b). 4 - COMPORTAMENTO PÓS-FLAMBAGEM O comporameno pós-flambagem é deerminado com base na relação enre o momeno orsor aplicado e perurbações sofridas pela configuração. As insabilidades decorrenes desa relação são invesigadas a lu da eoria da bifurcação. A parir da solução apresenada na seção anerior, é possível esabelecer uma função que relaciona o momeno orsor auane com o deslocameno perurbaivo sofrido pela configuração da esruura ano no comporameno durane a flambagem quano para o comporameno pós-flambagem, para condições de conorno especificadas. O pono de parida para análise é uma viga perfeiamene rea, iso é, sem curvaura. Se al viga é submeida à aplicação de momenos erminais, sua configuração reilínea orna-se insável quando o memeno orsor aplicado ainge um deerminado valor críico. De acordo com as
condições de conorno discuidas na seção anerior, as eremidades da viga maném as suas orienações longiudinais durane o deslocameno, ou, seja, e. A perurbação nese caso é o deslocameno causado pelo momeno fleor na eremidade da viga. Como o problema é ridimensional, o deslocameno deve ser descrio por sua magniude e sua direção. Se a viga é perurbada de forma ani-simérica por um veor curvaura κ nas duas eremidades, enão: κ µ (4) Como demonsrado aneriormene, a configuração deformada é compleamene e unicamene deerminada a parir da Equação considerando a Equação 4, pode-se concluir que o conhecimeno ao módulo da perurbação é suficiene para a deerminação complea da configuração deformada. Conseqüenemene, a viga pode ser considerada um sisema de grau de liberdade sendo que a Equação b fornece a relação enre o momeno orsor auane e o deslocameno para o comporameno durane a flambagem e a pós-flambagem. A Equação b se redu a forma (5) desde que : + κ π,,... k k (5) onde κ κ é o módulo do veor curvaura. A Equação 5 fornece a solução eaa para descrição do comporameno durane a flambagem e a pós-flambagem para uma viga com configuração inicial perfeiamene reilínea, o momeno orsor críico corresponde ao menor auovalor, ou seja k. Na práica da engenharia submarina a eisência de uma curvaura inicial é ineviável especialmene para esruuras alamene fleíveis. A presença de uma curvaura inicial redu de maneira significaiva o momeno orsor críico. Para uma insalação ípica de umbilical pode ser descria por uma configuração em forma de caenária, com valores alos de curvaura para uma região próima ao fundo do mar. Como conseqüência desa curvaura inicial esruuras submarinas esbelas podem facilmene formar um laço. A seção da esruura que forma um laço será referenciada como a seção caracerísica, sendo que a esruura foi idealiada como um longo cilindro circular elásico. As implicações da curvaura inicial e do comprimeno caracerísico do cabo serão discuidas nas próimas seções. Se não houver momeno orsor ao longo da viga a configuração da mesma é plana. As orienações dos eremos são obidas a parir das Equações, ou seja: κ κ i sin i cos (6)
onde κ i é a curvaura média ao longo o comprimeno caracerísico da viga A configuração corresponde a um arco circular definido pela Equação. Se um momeno orsor é aplicado, a viga apresena uma configuração ridimensional. Nese caso a epressão para a flambagem e a pós-flambagem é dada pela forma complea da Equação b, que pode ser escria como: + κ + κ κ sin (7) A componene do veor pode ser encarada como uma imperfeição. A bifurcação fornecida pela Equação 7 é mosrada na Figura. Observa-se que aé um valor de curvaura inicial críico em aumeno no deslocameno causa um aumeno no momeno orsor, porano a configuração é esável. Enreano, após um valor críico κ um aumeno no deslocameno provoca uma diminuição no momeno orsor, ou seja, a esruura é insável. Assim, a carga correspondene de flambagem é dada pelo pono limie da bifurcação. A perda de esabilidade dese ipo de bifurcação é chamada de snap buckling. Após a ocorrência da flambagem a viga assume uma nova configuração de equilíbrio, uma ve que o π κ. Essa nova i momeno orsor se redu a ero e a curvaura correspondene orna-se ( ) configuração corresponde a um laço. A relação enre o momeno orsor críico e a curvaura inicial pode ser obida aravés do pono máimo da curva. Esse pono é calculado aravés da condição de máimo, iso é, resolvendo d / d κ chega-se a: cr + κ cr cr + κ cr cos (8) A solução do sisema de equações formado por 7 e 8 corresponde a esses ponos críicos. 5 CRITÉRIO DE FORMAÇÃO DE LAÇO Os rês problemas principais da formação de laço em umbilicais submarinos são (i) se o umbilical pode formar um laço, (ii) no eveno da formação de laço a curvaura resulane é maior que a curvaura máima permiida é (iii). Quando o umbilical for racionado novamene o laço se desfa ou não. A obenção da resposa à erceira perguna não é arefa fácil e esá além do escopo dese rabalho. As resposas para as duas primeiras quesões podem ser obidas mediane a análise do comporameno do momeno orsor em função da curvaura e da imperfeição inicial. Para responder a primeira quesão usa-se o pono de máimo das curvas mosradas na Figura, onde as diferenes curvas são obidas para diferenes valores de. Como viso aneriormene, esses valores máimos correspondem aos momenos críicos, que na sua forma dimensional pode ser escrio como:
GJ cr L φ cr (9) EI onde GJ é a rigide à orção, EI é a rigide à fleão; L é o comprimeno caracerísico e φ é o ângulo de orção por unidade de comprimeno. Como conseqüência, rês parâmeros governam a esabilidade da viga: (i) relação enre a rigide à orção e a rigide `fleão, o comprimeno caracerísico e o ângulo de orção críico. Para uma esruura for um cilindro longo de circular e homogênea é consiuído de um maerial elásico linear, o momeno orsor críico pode ser calculado pela fórmula: cr Lφ cr + ν (4) onde ν é o coeficiene de Poisson. Figura Gráfico para deerminação do Momeno Torsor Críico em função da Curvaura Inicial Para deerminar se a inegridade esruural do umbilical é afeada no eveno da formação de um laço considera-se a curvaura do laço, que pode ser obida a parir da Figura. Se essa curvaura for maior do que a curvaura máima admissível pelo fabricane da esruura enão a inegridade da esruura foi violada.
Em resumo, em-se a seguine seqüência: (i) Se o momeno orsor críico for aingido a esruura forma o laço. Se o laço possui um raio de curvaura inferior e o raio de curvaura mínimo recomendado pelo fabricane enão a esruura sofreu dano. Em caso conrário deve-se esudar uma maneira de desfaer o laço sem que esse raio mínimo seja aingido, de forma que a esruura não sofra danos. Figura Momeno Torsor Críico versus Curvaura Críica Figura 4 Curvaura Inicial e Curvaura de primeiro Modo versus Imperfeição Inicial
A Figura mosra a variação do momeno orsor críico em função da curvaura críica enquano que a Figura 4 mosra a variação da curvaura inicial e a variação da curvaura do primeiro modo de insabilidade com função da imperfeição inicial. 6 CONCLUSÃO Ese rabalho apresenou um criério simples, baseado numa formulação analíica, para esabelecer a endência de umbilicais submarinos formação de laços. Apesar das limiações inerenes às hipóeses simplificadoras adoadas, o criério apresenado apresena muias vanagens como a sua simplicidade de aplicação e sua capacidade de prever a formação de laços com precisão suficiene para evia-los mediane a adoção de precauções que garanam que o raio de curvaura críico não ocorra durane a insalação e a operação da esruura. Os parâmeros de enrada do modelo apresenado são relaivos às propriedades mecânicas do umbilical. Essas propriedades podem ser deerminadas eperimenalmene ou simuladas por meio de modelos que levem em consideração a ineração das diversas camadas consiuines do umbilical. Os resulados do modelo aponam para uma redução significaiva do momeno orsor críico com a curvaura inicial da esruura. No caso de operações offshore as grandes curvauras esão associadas às regiões próimas do fundo do mar, onde ambém a ração efeiva no umbilical é pequena. Essa combinação orna as regiões próimas ao fundo críicas em ermos da formação de insabilidades em umbilicais e é nelas que se deve concenrar as aenções. 8 REFERENCES.COSTELLO, G. A. (99), Theor of Wire Rope, Springer-Verlag, New York, 6 p..coyne, J. (99), Analsis of he formaion and eliminaion of loops in wised cable", IEEE Journal of Ocean Engineering, Vol. 5, No, pp. 7-8..FELD G., OWEN D. G., REUBEN R. L. AND CROCKETT A. E. (99), Mechanical behaviour of he meallic elemens of submarine cables as a funcion of cable loading, Marinfle 9, Proc. of he Firs European Conference on Fleible Pipes., Umbilicals & Marine Cables, London. 4.JOLICOEUR, C AND CARDOU, A. (99), A numerical comparison of curren mahemaical models of wised wire cables under aismmeric loads, Journal of Energ Resources Technolog, Vol., p4-49. 5.KNAPP R. H., LE T. T. AND CRUICKSHANK M. J. (99), Design mehodolog for undersea umbilical cables, Ocean's 9, Ocean Technolog & Opporuniies in he Pacific for he '9s, Proc. IEEE., Vol., Ocober, Honolulu, Hawaii. 6.PINTO, W. T. (995), On he dnamics of low ension marine cables, PhD. Thesis, Universi College London. 7.WITZ, J. A. AND TAN, Z. (99a), On he Aial-Torsional Srucural Behaviour of Fleible Pipes, Umbilicals and Marine Cables, Journal of Marine Srucures, Vol. 5. 8.WITZ, J. A. AND TAN, Z. (99b), On he fleural srucural behaviour of fleible pipes, umbilicals and marine cables, Journal of Marine Srucures, Vol. 5, Nos &, p9-49.