CODIFICAÇÃO DE CANAL PARA SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO DIGITAL

CODIFICAÇÃO DE CANAL PARA SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO DIGITAL CÓDIGOS CÍCLICOS Eelio M. G. Ferádez -

Códios Cíclicos: Defiição Um códio de bloco liear é um códio cíclico se cada deslocameto cíclico das palaras-códio é também uma palara-códio. Vataes: Descrição alébrica eleate c() = m()() () poliômio erador c()h() = mod ( ) h() poliômio de erificação de paridade c(β ) =... c(β t ) = ode β i GF(p m ) Codificação e cálculo de sídromes utilizado reistradores de deslocameto Correção de surtos de erros Correção de erros aleatórios atraés da solução de equações de poliômios

C: ( k) C: SubEsp V Se C : códio cíclico etão deslocametos cíclicos de também pertecem a C isto é: C 3 Represetação Poliomial: ode: = ariáel auiliar i GF(q); q primo. Deslocametos Cíclicos de -uplas e Poliômios

(): deslocameto cíclico o tempo ou rotação à direita sujeita à codição ou C multiplicação módulo Cíclico :Códio 3 3 3 3 C C mod Isto é para i o poliômio C i mod. Deslocametos Cíclicos de -uplas e Poliômios

Corpos Fiitos Um corpo fiito com q elemetos é chamado de GF(q) (Galois Field) GF(p) = iteiros com aritmética módulo um úmero primo p GF(p m ) = poliômios sobre GF(p) com aritmética módulo um poliômio primo de rau m (etesio field) Todo corpo fiito é o espaço etorial de m-uplas sobre o corpo GF(p) de iteiros com aritmética módulo um úmero primo p. Portato GF(q) = GF(p m )

Corpos Fiitos Teorema: A característica λ de um corpo fiito é um úmero primo Teorema: Seja a um elemeto diferete de zero em GF(q). Etão a (q) = Teorema: Seja a um elemeto diferete de zero em GF(q). Seja a ordem de a. Etão diide q Resultado: Se a ordem de a for q etão a é um elemeto primitio de GF(q)

Aritmética de Corpos Fiitos Poliômios com uma ariáel X e coeficietes em um corpo F (deotados por F[]) são epressões da forma f X f f X f X f X O rau de f(x) é a maior potêcia de X (com coeficiete de X ) Poliômio môico: O coeficiete da maior potêcia de X é Todos os poliômios diferetes de zero sobre GF() são môicos Para qualquer diidedo f(x) F[] e diisor diferete de zero (X) F[] eistirão um par de poliômios úicos q(x) cociete e r(x) resto tal que f X qx X rx ode de rx de X

Defiição: Seja p(x) um poliômio de rau m sobre GF(). Se p(x) ão for diisíel por ehum poliômio sobre GF() de rau m ou meos etão p(x) é irredutíel sobre GF(). Resultado: Aritmética de Corpos Fiitos Qualquer poliômio irredutíel sobre GF() de rau m diide X m

Aritmética de Corpos Fiitos Defiição: Seja p(x) um poliômio irredutíel de rau m sobre GF(); etão p(x) diide X + para = m. Se este alor de for o meor iteiro positio para o qual p(x) diide + etão p(x) é um poliômio primitio de rau m sobre GF()

Soma Módulo-8 + 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 3 4 5 6 7 4 4 5 6 7 3 5 5 6 7 3 4 6 6 7 3 4 5 7 7 3 4 5 6 Produto Módulo-8 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 4 6 4 6 3 3 6 3 6 4 4 4 4 4 5 5 7 4 6 3 6 6 4 6 4 7 7 6 5 4 3

Soma Módulo- (Bit-a-Bit)

Operação de Multiplicação das 3-uplas

Represetação

Costrução de GF( m ) Defiição: Um elemeto de GF( m ) de ordem m é um elemeto primitio. se é um elemeto primitio em GF( m ) etão as potêcias distitas de eram todos os elemetos (diferetes de zero) de GF( m ). Defiição: Um poliômio irredutíel p() de rau m sobre GF() é um poliômio primitio se tier como raiz um elemeto primitio de GF( m )

Elemetos de GF( 4 ) costruído a partir de p( ) 4

Propriedades de GF( m ) Teorema: Seja f(x) um poliômio com coeficietes em GF(). Seja um elemeto de GF( m ). Se é uma raiz de f(x) etão para qualquer l l é também uma raiz de f(x) l O elemeto é chamado de cojuado de.

Propriedades de GF( m ) Teorema: Os m elemetos diferetes de zero de GF( m ) compõem todas as raízes de O elemeto de GF( m ) é a raiz de X. Portato Corolário: Os elemetos de GF( m ) compõem todas as raízes de β pode ser uma raiz de um poliômio sobre GF() de rau meor que m X m X m X

Propriedades de GF( m ) Defiição: Seja um elemeto de GF( m ). O poliômio miimal (X) de é o poliômio de meor rau com coeficietes em GF() tal que () =. Teorema: Sejam (X) o poliômio miimal de um elemeto em GF( m e ) e e o meor iteiro tal que. Etão: e X X i i

Poliômios miimais dos elemetos de GF( 4 )

Poliômio Gerador Seja C um códio cíclico ( k) sobre GF(q) Eiste um poliômio môico () chamado de poliômio erador tal que uma -upla c() é uma palara-códio se e somete se () for um diisor de c(). O poliômio erador é úico. O rau do poliômio erador é k. () é o poliômio códio de meor rau etre todos os poliômios códio. O poliômio erador é um diisor de.

k k ) :( )mod ( ) ( ) ( k C a c ode: Grau [c()]. Grau [()] = k. Grau [a()] k. a(): poliômio em associado à mesaem a ser codificada em c(). Seja ) ( k a k a a a a C k k C C a a a a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Portato: a()() = combiação liear de palaras códio que resulta em uma outra palara códio de C. Poliômio Gerador

Matriz Geradora ão Sistemática Códio cíclico C: ( k) erado por () de rau r = k r r r r k k G

mesaem k bitsde k paridade de k bitsdecheque k m m m b b b Seja m(): poliômio-mesaem ) ( k m k m m m (): poliômio códio de códio sistemático. ) ( ) ( ) ( m k k k k b k k k m m m b b b Se () = a()() ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( b a k m Códio Cíclico Sistemático

Procedimeto para Codificação Sistemática k. m ( )? k m( ). Resto da diisão b( )? ( ) k 3. b( ) m( ) ( ) EXEMPLO: m( ) 3 ( ) 3 códio cíclico C: (7 4). Palara códio correspodete à m()? a() tal que a()() = ()?

Poliômio de Verificação de Paridade h( ) ( ) ou: h ( ) ( )mod (): poliômio erador de C: ( k) h(): poliômio de erificação de paridade de C: ( k) Grau [()] = k Grau [h()] = k Teorema 4.7 (Li & Costelo pá. 94): Seja C: ( k) um códio cíclico q-ário com poliômio erador () em GF(q). O códio dual de C é também cíclico e é erado pelo poliômio h k k ( ) h ode () erificação de paridade do códio C. h k é o poliômio recíproco do poliômio de

Codificador de um Códio Cíclico ( k) b b b b -k- b -k- k m

Codificador do Códio Cíclico (7 4)

Circuito de Cálculo das Sídromes r() s s s -k-

Cálculo de Sídromes Códio (7 4)

Capacidade de Detecção de Erros Um códio cíclico ( k) é capaz de detectar qualquer surto de erros de comprimeto k ou meor icluido surtos do tipo ed-aroud. A fração de surtos ão detectáeis de comprimeto k + ( k ) é Para l > k + a fração de surtos ão detectáeis de ( k) comprimeto l é

Decodificação de Códios Cíclicos

Decodificação de Códios Cíclicos Passo : Calcular a sídrome de r() e armazear r() o reistrador Passo : Determiar padrão de erro. A saída do detector é se e somete se a sídrome o reistrador correspode a um padrão de erro corriíel cotedo um erro a posição Passo 3: O buffer e o reistrador de sídrome são deslocados uma posição à direita. A saída do detector faz a correção do primeiro símbolo (se e = ) e também é realimetada o reistrador de sídrome. Noa sídrome correspode à r() deslocado Passo 4: Detectar se (aora a última posição) é um símbolo errado. Repetir passos e 3. O seudo símbolo é corriido da mesma forma que o aterior. Passo 5: Decodificar o etor recebido símbolo a símbolo da forma descrita ateriormete

Decodificador de Meitt para o Códio Cíclico (7 4)

Processo de Correção de Erros

Códios Cíclicos Biários istos a partir de GF( m ) Teorema: Seja () o poliômio erador de um códio cíclico biário de comprimeto = m com zeros... r em GF( m ). O poliômio c() sobre GF() é um poliômio códio se e somete se c( ) = c( ) = = c( r ) = ode c( i ) é aaliado em GF( m )

BCH boud Se um códio cíclico liear é costruído de forma que: Cada palara-códio tem bits; é um elemeto de ordem em GF( m ); O poliômio erador do códio () iclui etre suas raízes ( - ) potêcias cosecutias de. Etão É aratido que o códio tem distâcia míima iual a ou maior.

Costrução de Códios BCH Para cada raiz r icluída em () eiste um poliômio miimal f (r) () que tem r como raiz [i.e. f (r) ( r ) = ] e com coeficietes em GF(). O poliômio erador com coeficietes biários que cotém todas as raízes ecessárias pode ser obtido como sedo o míimo comum múltiplo (LCM) de todos os poliômios miimais correspodetes às raízes utilizadas: () = LCM{f (b+) () f (b+) ()... f (b+-) ()}

Tipos de Códios BCH Se é um elemeto primitio de GF( m ) o códio BCH resultate é chamado de códio BCH primitio e as suas palaras-códio têm comprimeto m bits. Se ão é um elemeto primitio de GF( m ) o códio BCH resultate é chamado de códio BCH ão primitio e as suas palaras-códio têm comprimeto iual à ordem de. Se b = a primeira das ( - ) potêcias de será = códio BCH o setido estrito. Se b códio BCH o setido amplo.

Códios BCH Biários Primitios Para qualquer m 3 e t m eiste um códio BCH com os seuite parâmetros: = m k mt d mi t + O poliômio erador do códio () é o poliômio de meor rau sobre GF() cotedo 3 t como raízes ode α é um elemeto primitio de GF( m )

Elemetos de GF( 4 )

Decodificação de Códios BCH. Computar as sídromes S = (S S... S t ) a partir de r(). Determiar σ() a partir de S S... S t 3. Determiar as localizações dos erros... υ ecotrado as raízes de σ() e corriir os erros em r()

Códios BCH Primitios sobre GF(q) Seja α um elemeto primitio em GF(q m ). O poliômio erador () de um códio BCH q- ário primitio corretor de t erros é o poliômio de 3 meor rau sobre GF(q) cotedo como raízes. Seja i () o poliômio miimal de α i i t. Etão () = LCM{ () ()... t ()} t

Códios de Reed-Solomo Um códio de Reed-Solomo (ou códio RS) é um códio BCH primitio (ão biário) de comprimeto = q sobre GF(q). O poliômio erador desse códio tem a forma ode é um elemeto primitio de GF(q) d é a distâcia míima do códio e i GF(q) t t t t

Desempeho de Códios RS sobre GF( 6 ) com = 3 cosiderado modulação 3-FSK

Desempeho de Códios RS sobre GF( 6 ) com = 3 cosiderado modulação 3-FSK

Desempeho de Códios RS com R = 7/8

Desempeho de Códios RS com = 64

Desempeho de Códios RS com = 3 e Modulação BPSK

Decodificador de Códios BCH q-ários

Desempeho de Códios de Reed-Solomo