Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco

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1 Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco TV Analógica e Digital Introdução Codificação de Canal Prof. Márcio Lima marcio.lima@poli.br

2 Introdução Visão Geral Introdução Motivação Crescente demanda por eficientes e confiáveis sistemas de transmissão de dados digital e sistemas de armazenagem (Uma das principais preocupações do pesquisador é o controle de erros para que a reprodução segura de dados possa ser obtida). Desenvolvimentos recentes têm contribuído para alcançar a confiabilidade necessária para sistemas digitais de alta velocidade (utilização de códigos de controlo de erros tornou-se parte integrante da concepção dos modernos sistemas de comunicação digitais e computadores). 2

3 Introdução Visão Geral Introdução Motivação Seqüência de Informação (bits) Palavra-código Modulador Fonte de Informação Codificador de Fonte Codificador de Canal RUÍDO Decodificador de Fonte Decodificador de Canal Demodulador Seqüência estimada Palavra recebida 3

4 Introdução Visão Geral Introdução Motivação Existem dois tipos diferentes de códigos: códigos de bloco códigos convolucionais. Código de Bloco O codificador de um código de bloco divide as seqüências de informações em blocos de mensagem de k bits de informação cada. Um blocos de mensagem é representada por chamada mensagem. Há um total de 2 k possíveis mensagens diferentes. O codificador transforma cada mensagem u independente num de símbolos discretos chamado de palavra-código. 4

5 Introdução Visão Geral Introdução Motivação Código de Bloco Um exemplo de um código de bloco binário com k = 4 e n = 7 é mostrado na tabela ao lado. 5

6 Introdução Visão Geral Introdução Motivação A relação R = k/n é chamado de taxa do código, e pode ser interpretado como o número de bits de informação que entram no codificador por símbolo transmitido. Considerando que os n símbolos de saída depende somente da palavracódigo correspondente a k mensagens de entrada, o codificador é sem memória (memory-less), e podem ser implementados por uma combinações de circuitos lógicos. Código Convolucional Também aceita k blocos de bits de seqüências de informação u e produz uma seqüência codificado (palavra-código) n blocos de símbolos. No entanto, cada bloco codificado depende não apenas blocos de mensagem de k bits correspondente, mas também de m blocos mensagem anteriores. Assim, o codificador tem uma memória de ordem m. 6

7 Introdução a Códigos de Bloco Considerações: Assume-se que a saída de uma fonte de informação é uma seqüência de dígitos binários ou. Fonte de Informação ( ou ) Definição: A seqüência de informação é segmentada em blocos de mensagens de comprimento fixo (determinado). Cada bloco de mensagem, denotado por u, consiste de k dígitos e informação. 7

8 Introdução a Códigos de Bloco Existem um total de 2 k mensagens distintas. u Codificador v Definição: O codificador, de acordo com certas regras, transforma cada mensagem de entrada u em uma n-upla binária v com n > k. Essa n-upla binária v é chamada de palavra-código (ou vetor código) da mensagem u, correspondendo a 2 k mensagens possíveis, existem 2 k palavras-código. Esse conjunto de 2 k palavras-código é chamado de código de blocos. 8

9 Introdução a Códigos de Bloco u Codificador v Para um código de bloco ser prático, as 2 k palavras-código precisam ser distintas. Portanto, deve haver uma correspondência única entre a mensagem u e a palavracódigo v. Para um código de bloco com 2 k palavras-código e comprimento n, a menos que haja uma estrutura especial, o aparato de codificação seria complexo para um k e n grande, visto que é preciso armazenar 2 k palavras- código de comprimento n em um dicionário. Uma estrutura desejável para um código de bloco é a linearidade Transmissão de Dados Prof. Márcio Lima 9

10 Introdução a Códigos de Bloco Definição.: Código de Bloco Linear Um código de comprimento n e 2 k palavras-código é chamado de código linear (n, k) se e somente se suas 2 k palavrascódigo formam um subespaço de k dimensões de um vetor espaço de todas as n -uplas sobre o corpo GF(2). u Codificador v De fato, um código de bloco binário é linear se e somente se o adição módulo 2 de duas palavra-código é também uma palavra-código. Transmissão de Dados Prof. Márcio Lima

11 Introdução a Códigos de Bloco Tabela. Código de Bloco Linear com k = 4 e n = 7. O código de bloco dado na Tabela. é um código linear (7, 4). Qualquer um pode, facilmente, checar que a adição de quaisquer duas palavras-código nesse código é também uma palavracódigo.

12 Matriz Geradora (G) Como um código linear (n, k) C é um subespaço de k dimensões de um vetor espaço V n de todas as n-uplas binárias, é possível encontrar k palavras-código linearmente independente, em C tal que cada palavra-código v em C é uma combinação linear de todas essas k palavra-código, isto é em que u i = ou para i < k. Fazendo um arranjo dessas k palavras-código linearmente independentes em linhas de uma matriz k n como segue: 2

13 Matriz Geradora (G) em que, para Se \ é a mensagem a ser codificada, a palavracódigo correspondente pode ser dada como segue: 3

14 Matriz Geradora (G) Conclusões: As linhas de G geram o código linear (n, k) C. Por esta razão, a matriz G é chamada de uma matriz geradora de C. Quaisquer k palavras-código linearmente independente de um código linear (n, k) podem ser usadas para formar a matriz geradora do código. Um código linear (n, k) é completamente especificado pelas k linhas da matriz geradora G. O codificador só precisa armazenar as k linhas de G e formar a combinação linear dessas k linhas baseadas na mensagem de entrada 4

15 Matriz Geradora (G) Exemplo. O código linear (7, 4) dado na Tabela tem a seguinte matriz como geradora, Tabela. Código de Bloco Linear com k = 4 e n = 7. Se u = ( ) é a mensagem a ser codificada, sua palavra-código, seria 5

16 Códigos de Bloco Linear Sistemático Código de bloco linear sistemático: Uma palavra-código é dividida em duas partes, a parte de mensagem e a parte da redundância de checagem. A parte da mensagem consiste em k dígitos de informação inalterados (ou mensagem) e a parte da redundância de checagem consistem de n k dígitos de paridade (parity-check digits), os quais são somas lineares dos dígitos de informação. Um código de bloco linear com essa estrutura é referido como um código de bloco sistemático. 6

17 Códigos de Bloco Linear Sistemático O código (7, 4) dado na Tabela é um código de bloco sistemático, os quatro dígitos mais a direita de cada palavra-código são idênticos aos dígitos de informação correspondentes. Tabela. Código de Bloco Linear com k = 4 e n = 7. 7

18 Códigos de Bloco Linear Sistemático Um código linear sistemático (n, k) é especificado completamente por uma matriz G k n da seguinte forma: em que p i j = ou. Faça com que Ikdenote a matriz identidade k k. Então G = [P I k ]. Faça ser a mensagem a ser codifi-cada. A palavra-código correspondente é 8

19 Códigos de Bloco Linear Sistemático As componentes de v são k dígitos mais a direita da palavra-código v são idênticos aos dígitos de informação u, u,..., u k a serem codificados, e para j < n k, mostra que os n k dígitos redundantes mais a esquerda são a somas linear dos dígitos de informação. As n k equações são chamadas de equações de paridade do código. 9

20 Códigos de Bloco Linear Sistemático Exemplo 2. A matriz G dada no Exemplo em sua forma sistemática. Faça com que u = (u, u, u 2, u 3 ) seja a mensagem a ser codificada e v = (v, v, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) ser a palavra-código correspondente. Então Pela multiplicação da matriz, obtém-se os seguintes dígitos da palavracódigo v : 2

21 Matriz Paridade (H) Há outra matriz útil associada com cada código de bloco linear. Para qualquer matriz G, k n, com k linhas linearmente independentes, existe uma matriz H, (n k) n, com n k linhas linearmente independentes tal que qualquer vetor no espaço vetorial de G é ortogonal as linhas de H e qualquer vetor que é ortogonal as linhas de H esta no espaço vetorial de G. Por isso, pode-se descrever o código linear (n, k) gerado por G de uma forma alternativa como segue: Uma n -tupla v é uma palavra-código no código gerado por G se e somente se Essa matriz H é chamada de matriz de paridade do código. 2

22 Matriz Paridade (H) As 2 n-k combinações lineares das linhas da matriz H formam um código linear dual (n, n k) C d. Esse código é o espaço nulo do código linear (n, k) C gerado pela matriz G (i.e., para qualquer v Î C e qualquer w Î C d, v w = ). C d é chamado de código dual de C. Conseqüentemente, uma matriz de paridade para um código linear C é uma matriz geradora para seu código dual C d. 22

23 Matriz Paridade (H) Se a matriz geradora de um código linear (n, k) esta na forma sistemática da, a matriz de paridade deve ter a seguinte forma: em que P T é a transposta da matriz P. 23

24 Matriz Paridade (H) Faça h j ser a j-ésima linha de H. Pode-se checar facilmente que o produto interno da i-ésima linha de G e a j-ésima linha de H é para i < k e j < n k. Isso implica que As equações de paridade também podem ser obtidas pela matriz de paridade H. Faça ser a mensagem a ser codificada. Em uma forma sistemática a palavra-código correspondente seria Usando o fato de que,obtém-se 24

25 Matriz Paridade (H) Exemplo 3. Encontrar a matriz de paridade do código dado no Exemplo. Sabe-se que a matriz geradora do Exemplo é logo 25

26 Matriz Geradora (G) Resumo: Para qualquer código de bloco linear (n, k) C, há uma matriz G, k n, cujo espaço vetorial dá C. Há uma matriz H, (n, n k) n, tal que uma n-tupla v é uma palavra-código em C se e somente se v H T =. Se G é da forma então H deve ter a forma e vice versa. Televisão Analógica e Digital Prof. Márcio Lima 26

27 Síndrome e Detecção de Erro Considere um código linear (n, k) com a matriz geradora G e a matriz de paridade H. Seja v = (v, v,..., v n ) a palavra-código transmitida por um canal ruidoso. Seja r = (r, r,..., r n ) o vetor recebido na saída do canal. Por causa do canal ruidoso, r deve ser diferente de v. O vetor soma é uma n-upla em que e i = para r i v i e e i = para r i = v i. Essa n-upla é chamada de vetor erro ou erro padrão. Os 's em e são os erros de transmissão causados pelo canal ruidoso. 27

28 Síndrome e Detecção de Erro O vetor recebido r é o vetor soma da palavra-código transmitida e o vetor erro, isto é, É evidente, que o receptor desconhece v ou e. Ao receber r, o decodificador deve determinar primeiro se r contém erros de transmissão. Se a presença de erros é detectada, o decodificador fará ações para localizar e corrigir os erros então (FEC- forward error correction ) ou requisitará uma retransmissão de v (ARQ - automatic repeat request ). 28

29 Síndrome e Detecção de Erro Quando r é recebido, o decodificador calcula a seguinte (n k)-upla: a qual é chamada de síndrome de r. Então: s = se e somente se r é uma palavra-código, s se e somente se r não é uma palavra-código. Conseqüentemente, quando s, sabe-se que r não é uma palavracódigo e a presença de erros é detectada. Quando s =, r é uma palavra-código e o receptor aceita r como a palavra-código transmitida. 29

30 Síndrome e Detecção de Erro É possível que erros em certos vetores erros não sejam detectáveis (i.e., r contem erros, mas s = r H T = )? Isso acontece quando o comportamento do erro padrão e é idêntico ao de uma palavra código não nula. Nesse evento, r é a soma de duas palavras-código que é uma palavra-código, e conseqüentemente r H T =. Erros padrões desse tipo são chamados de erros padrão indetectáveis. Uma vez que há 2 k palavras-código não nulas (diferentes de zero), há 2 k erros padrão indetectáveis. Quando um erro padrão indetectável ocorre, o decodificador faz uma decodificação do erro. 3

31 Síndrome e Detecção de Erro É possível que erros em certos vetores erros não sejam detectáveis (i.e., r contem erros, mas s = r H T = )? Isso acontece quando o comportamento do erro padrão e é idêntico ao de uma palavra código não nula. Nesse evento, r é a soma de duas palavras-código que é uma palavra-código, e conseqüentemente r H T =. Erros padrões desse tipo são chamados de erros padrão indetectáveis. Uma vez que há 2 k palavras-código não nulas (diferentes de zero), há 2 k erros padrão indetectáveis. Quando um erro padrão indetectável ocorre, o decodificador faz uma decodificação do erro. 3

32 Síndrome e Detecção de Erro Exemplo 4. Considere que o código linear (7, 4) cuja matriz de paridade é Faça r = (r, r, r 2, r 3, r 4, r 5, r 6 ) o vetor recebido. Então a síndrome é dada por 32

33 Síndrome e Detecção de Erro Os dígitos da síndrome são O circuito da síndrome para esse código é mostrado na Figura Figura Circuito da síndrome para o código (7, 4) 33

34 Síndrome e Detecção de Erro A síndrome s calculada a partir do vetor recebido r de fato depende somente do comportamento do erro e, e não da palavra-código transmitida v. Desde que r seja o vetor soma de v e e, segue No entanto, v H T =. Conseqüentemente, se obtém a seguinte relação entre a síndrome e o erro padrão: Os dígitos da síndrome são simplesmente combinações lineares dos dígitos de erro. A idéia de usar a síndrome para a correção de erros pode ser esclarecida por um exemplo. 34

35 Síndrome e Detecção de Erro Exemplo 5. Novamente, considera-se o código (7, 4) cuja matriz de paridade é dada Seja v = ( ) ser a palavra-código a ser transmitida e r = ( ) ser o vetor recebido. Ao receber r, o receptor calcula a síndrome: Depois, o receptor determina o verdadeiro vetor erro e = (e, e, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6 ), o qual resulta na síndrome acima. A partir de 35

36 Síndrome e Detecção de Erro A partir de os dígitos de erro estão relacionados aos da síndrome pelas seguintes equações lineares: Existem 2 4 = 6 erros padrão que satisfazem as equações acima. Eles são 36

37 Síndrome e Detecção de Erro O vetor erro e = ( ) tem o menor número de componentes diferentes de zero. Se o canal é um BSC, e = ( ) é o vetor erro mais provável que satisfaz a equação acima. Tomando o vetor r = ( ) como o vetor erro verdadeiro, o receptor decodifica o vetor recebido r = ( ) na seguinte palavra-código: Vê-se que v é a verdadeira palavra código. Conseqüentemente, o receptor fez uma correta decodificação. 37

38 Distância Mínima de um Código de Bloco Este parâmetro determina a detecção de erros aleatórios e a capacidade de correção de erros aleatórios de um código. Faça v = (v, v,..., v n ) ser uma n-upla binária. O peso de Hamming (ou simplesmente peso) de v, denotado por ω(v). É definido como o número de componentes não nulas de v. Por exemplo, o peso de Hamming de v = ( ) é 4. Faça v e w ser duas n-uplas. A distância de Hamming (ou Simplesmente distância) entre v e w, denotada por d(v, w), é definida como o número de lugares em que diferem. Por exemplo, a distância de Hamming entre v = ( ) w = ( ) é 3; elas diferem no zero, primeiro, e no terceiro lugar. 38

39 Distância Mínima de um Código de Bloco Decorre da definição da distância de Hamming e a definição da adição módulo 2 que a distância de Hamming entre duas n-upias, v e w, é igual ao peso de Hamming da soma de v e w, isto é, Por exemplo, a distância de Hamming entre v = ( ) e w = ( ) é de 4 e o peso de v + w = ( ) também é 4. 39

40 Código de Hamming A matriz de paridade H desse código consiste de todas as m-uplas não nulas como suas colunas. Na forma sistemática, as colunas de H são ordenadas da seguinte forma: em que I m é uma matriz identidade m n e a submatriz Q consiste de 2m m colunas as quais são as m-tuplas de peso 2, ou maior. Por exemplo, seja m = 3. A matriz paridade do código de Hamming de comprimento 7 pode ser colocada da seguinte forma é a matriz de paridade do código linear (7, 4) dado na Tabela. 4

41 Arranjo Padrão e Decodificação por Síndrome Um esquema para decodificação de códigos de bloco linear será apresentado. Inicialmente: Faça C ser um código linear (n, k). Seja ser o vetor código de C. Não importa que vetor código seja transmitido pelo canal ruidoso, o vetor recebido r deve ser qualquer uma das 2 n n-uplas sobre corpo binário GF(2). Qualquer esquema de decodificação usado no receptor é uma regra para dividir (particionar) os 2 n possíveis vetores recebidos em 2 k subconjuntos disjuntos: tal que o vetor código vi esta contido no subconjunto D i para i 2 k. 4

42 Arranjo Padrão e Decodificação por Síndrome Conseqüentemente, cada subconjunto D i tem uma correspondência biunívoca a um vetor v i. Caso o vetor recebido r seja encontrado no subconjunto D i, r é decodificado em v i. A correta decodificação é feita se e somente se o vetor recebido r está no subconjunto D i que corresponde ao verdadeiro vetor código transmitido. Arranjo Padrão 42

43 Capacidade de Detecção e Correção Exemplo 6. Considere o código linear (6, 3) gerado pela seguinte matriz: O arranjo padrão do código é 43

44 Arranjo Padrão e Decodificação por Síndrome Algoritmo de decodificação O esquema de decodificação descrito acima é chamado de decodificação por síndrome (syndrome decoding ) 44

45 Capacidade de Detecção e Correção Exemplo 7. Considere o código linear (7, 4) dado na Tabela. A matriz de paridade, como dada Tabela de decodificação para o código linear (7, 4) dado na Tabela. 45

46 Capacidade de Detecção e Correção O circuito da síndrome para esse código é exibido na Figura. A tabela de decodificação é dada pela Tabela. A partir dessa tabela forma-se a tabela verdade Tabela verdade para os dígitos de erro dos erros padrão corrigíveis do código linear (7, 4) dado na Tabela.. 46

47 Capacidade de Detecção e Correção A construção da Matriz Verdade é simples, basta associar os possíveis erros com as linhas da matriz H T. Para provar esse fato, lembrese de que Logo, para o exemplo podemos calcular para síndrome possível, associada a ao erro, assim: 47

48 Capacidade de Detecção e Correção 48

49 Capacidade de Detecção e Correção Logo, no caso em que o código corrige só um erro, obter a matriz verdade é muito simples. Contudo, quando é capaz de corrigir mais erros é necessário um cuidado maior. 49

50 Capacidade de Detecção e Correção Circuito de decodificação para o código (7, 4) dado na Tabela. 5

51 Código de Hamming Códigos de Hamming são a primeira classe de códigos lineares desenvolvidos para correção de erros. Para qualquer inteiro positivo m 3, existe um código de Hamming com os seguintes parâmetros: Comprimento do código: n = 2m ; Número de símbolos de informação: k = 2m m ; Número de símbolos de paridade: n k = m; Capacidade de correção de erro: t = (d min = 3). 5

52 Matriz Geradora (G) Exemplo. Suponha na Transmissão de TV Digital esta usando o código linear (7, 4) dado na Tabela tem atabela seguinte. Código de matriz Bloco Linear como k = 4 e n = 7. geradora, Deseja-se transmitir a seuqencia u = ( ) é a mensagem a ser codificada, sua palavracódigo, seria 52

53 Códigos de Bloco Linear Sistemático A matriz G dada no Exemplo em sua forma sistemática. Faça com que u = (u, u, u 2, u 3 ) seja a mensagem a ser codificada e v = (v, v, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) ser a palavra-código correspondente. Então Pela multiplicação da matriz, obtém-se os seguintes dígitos da palavracódigo v : 53

54 Matriz Paridade (H) Na recepção é necessário encontrar a matriz de paridade do código dado. Sabe-se que a matriz geradora do Exemplo é logo 54

55 Síndrome e Detecção de Erro Na recepção, para o código linear (7, 4) cuja matriz de paridade é É necessário o calculo da síndrome para sabermos se existe erro ou não na palavra-código recebida. Dessa forma é necessário calcular a síndrome. 55

56 Síndrome e Detecção de Erro Faça r = (r, r, r 2, r 3, r 4, r 5, r 6 ) o vetor recebido. Então a síndrome é dada por Os dígitos da síndrome são O circuito da síndrome para esse código é mostrado na Figura 56

57 Síndrome e Detecção de Erro O circuito da síndrome para esse código é mostrado na Figura Figura Circuito da síndrome para o código (7, 4) 57

58 Síndrome e Detecção de Erro O vetor erro e = ( ) tem o menor número de componentes diferentes de zero. Se o canal é um BSC, e = ( ) é o vetor erro mais provável que satisfaz a equação acima. Tomando o vetor r = ( ) como o vetor erro verdadeiro, o receptor decodifica o vetor recebido r = ( ) na seguinte palavra-código: Vê-se que v é a verdadeira palavra código. Conseqüentemente, o receptor fez uma correta decodificação. Contudo é necessário definir uma implementação para o calcula da síndrome. 58

59 Capacidade de Detecção e Correção Considere o código linear (6, 3) gerado pela seguinte matriz: O arranjo padrão do código é 59

60 Capacidade de Detecção e Correção A construção da Matriz Verdade é simples, basta associar os possíveis erros com as linhas da matriz H T. Para provar esse fato, lembrese de que Logo, para o exemplo podemos calcular para síndrome possível, associada a ao erro, assim: 6

61 Capacidade de Detecção e Correção 6

62 Capacidade de Detecção e Correção Logo, no caso em que o código corrige só um erro, obter a matriz verdade é muito simples. Contudo, quando é capaz de corrigir mais erros é necessário um cuidado maior. 62

63 Capacidade de Detecção e Correção Circuito de decodificação para o código (7, 4) dado na Tabela. 63

64 Códigos Cíclicos Introdução Os códigos cíclicos formam uma importante subclasse de códigos lineares. Estes códigos são atrativos por duas razões: primeiro, a codificação e o cálculo da síndrome são facilmente implementadas usando registradores de deslocamento com realimentação (ou circuito seqüencial linear); segundo, como eles têm considerável estrutura algébrica inerente, é possível encontrar vários métodos práticos para decodificá-los. Os códigos cíclicos foram primeiro estudados por Prange, em 957. Daí então, progressos no estudos dos códigos cíclicos para ambas correções de erros aleatórios e correções de erros em surto tem sido feito por muito teóricos de codificação algébrica. 64

65 Códigos Cíclicos Deslocamento cíclico Se as componentes de uma n-upla v = (v, v,..., v n ) são deslocadas ciclicamente uma coordenada (posição) para direita, obtém-se uma outra n-upla que é chamada um deslocamento cíclico de v. Se as componentes de v são deslocadas i coordenadas para a direita, a n-upla resultante será Pode-se observar que deslocando cíclico de v em i coordenadas para a direita é equivalente à deslocar ciclicamente v em n i coordenadas para a esquerda. 65

66 Códigos Cíclicos Definição Um código linear (n, k) C é chamado código cíclico se todo deslocamento cíclico de uma palavra do código C é também uma palavra do código. O código linear (7, 4) dado na Tabela é um código cíclico. Os códigos cíclicos formam uma importante subclasse dos códigos lineares e possuem muitas propriedades algébricas que simplificama implementação da codificação e decodificação. Para desenvolver as propriedades algébricas de um código cíclico, trata-se as palavras código v = (v, v,..., v n ) como os coeficientes de um polinômio, como segue: 66

67 Códigos Cíclicos Definição 67

68 Códigos Cíclicos Exemplo de Codificação O polinômio X 7 + pode ser fatorado como segue: Há dois fatores de grau 3; cada um gera um código cíclico (7, 4). O código cíclico (7, 4) gerado por g(x) = X 3 + X + tem distância mínima igual a 3 e é um código corretor de erros simples. Cada polinômio código é o produto de um polinômio mensagem de grau menor ou igual a 3 e o polinômio gerador g (X) = + X + X 3. Por exemplo, seja u = ( ) a mensagem a ser codificada. O polinômio mensagem correspondente é u(x) = + X 2. Multiplicando u(x) por g(x) resulta no seguinte polinômio código: ou a palavra código ( ). 68

69 Códigos Cíclicos Matriz Geradora Considere um código cíclico (n, k) C com polinômio gerador Se as k n-uplas correspondendo a estes k polinômios código são usadas como as linhas de uma matriz k n, obtém-se a seguinte matriz geradora para C: 69

70 Códigos Cíclicos Matriz Geradora Em geral, G não está na forma sistemática. Contudo, pode-se colocála na forma sistemática c Por exemplo, o código cíclico (7, 4) dado na Tabela 4., com polinômio gerador g(x) = X 3 + X +, tem a seguinte matriz como uma matriz geradora: 7

71 Códigos Convolucionais Introdução A Codificação dos Códigos Convolucionais pode ser estudados de várias pontos de vista diferentes, em que serão apresentadas três definições: Matriz Polinomial; Matriz Escalar; Registrador de Deslocamento. Outras duas definições serão apresentados Diagrama de Estado; Treliça. Contudo, serão usadas mais especificamente para a decodificação. 7

72 Códigos Convolucionais Descrição pela Matriz Polinomial Código de Bloco Linear (n, k) pode ser caracterizada por uma matriz geradora G = (g ij ), k x n, sobre o corpo finito GF(q), em que q é uma potência de um número primo, e.g., q = 2 3. Um código convolucional (CC) é caracterizado por uma matriz geradora G, k x n, contudo defere em que para os códigos convolucionais os elementos g ij são polinômios sobre GF(q), em particular, sobre GF(2). Exemplo: CC(2,) G x 2, x 2 x 72

73 Códigos Convolucionais Definições: Descrição pela Matriz Polinomial i. Memória M max[ grau( g ij )] ii. Comprimento de Restrição K M iii. Taxa R k / n 73

74 Códigos Convolucionais Descrição pela Matriz Polinomial Exemplo: CC(2,) G x 2, x 2 x Exemplo: CC2(3,2) M = 2, K = 3 e R = /2 x G x Códigos de Bloco são um caso particular dos códigos convolucionais? M =, K = 2 e R = 2/3 74

75 Códigos Convolucionais Descrição pela Matriz Polinomial Codificação: Informação: I = (I (x), I (x),..., I k- (x)) - k-upla Palavra-código: C = (C (x), C (x),..., C n- (x)) - n-upla Definição: C IG Exemplo: CC(2,) G x 2, x 2 x Informação: I = (x 3 +x+) - -upla Palavra-código: C = (x 5 +x 2 +x+, x 5 +x 4 +) - 2-upla 75

76 Códigos Convolucionais Descrição pela Matriz Polinomial Exemplo: CC2(3,2) C IG G Informação: I = (x 2 +x, x 3 +) - 2-upla x x Palavra-código: C = (x 2 +x, x 3 +, x 4 +x 3 ) - 3-upla 76

77 Códigos Convolucionais Descrição pela Matriz Escalar A representação escalar é mais natural. Seja C = (C (x), C (x),..., C n- (x)) - n-upla, assim cada polinômio, j- ésimo polinômio, é da forma C j x C C x C 2 j j j2x E a representação escalar da palavra-código C pode ser da forma C C, C n, n,,, C, C,, C, Exemplo: CC(2,) Informação: I = (x 3 +x+) - -upla Palavra-código: C = (x 5 +x 2 +x+, x 5 +x 4 +) - 2-upla C = ( ) 77

78 G Códigos Convolucionais Descrição pela Matriz Escalar Pode-se definir a Matriz Geradora Escalar, da mesma forma que a palavra-código Exemplo: CC(2,) x = n G G 2 x, x 2 x Bloco Básico 78

79 Códigos Convolucionais Descrição pela Matriz Escalar Por questões práticas, o grau do polinômio informação é I limitado, dessa forma, defini-se grau ( x) L I i em que i =,,..., K. L é o L-ésimo truncamento. Assim, o grau do polinômio código é limitado da seguinte forma grau ( x) M L C i 79

80 Códigos Convolucionais 8 Descrição pela Matriz Escalar Pode-se definir a Matriz Geradora Escalar, da mesma forma que a palavra-código G, 2 2 G G x x x Exemplo: CC(2,) Bloco Básico L = 4 KL x n(m+l) = 4 x 2

81 Códigos Convolucionais 8 Descrição pela Matriz Escalar Pode-se definir a Matriz Geradora Escalar, da mesma forma que a palavra-código G G G x x Exemplo: CC2(3,2) Bloco Básico

82 Códigos Convolucionais Descrição por Registradores de Deslocamento Suponha que se deseja construir um codificador para o CC, que aceite a informação I = (I (x), I (x),..., I k- (x)) como entrada e produzirá a palavra-código: C = (C (x), C (x),..., C n- (x)) = (C, C, C, C,...) como saída, em I e C que são relacionadas da forma e C C ( x C C 2 x )( I ) ( I ( x 2 ) I( x) ( x C C 2 x x )( I ) ( I ( x 2 x ) I( x) x ) x ) 82

83 Códigos Convolucionais Descrição por Registradores de Deslocamento A multiplicação pode ser realizada através de Registradores de deslocamento, para o código CC, da seguinte forma: Multiplicando por x 2 + saída entrada e multiplicando por x 2 + x + x x 2 saída C C j j ( x) I ( x) I j j I j I I j2 j2 j =,,... entrada x x 2 83

84 Códigos Convolucionais Descrição por Registradores de Deslocamento Logo, para obter a palavra-código C i pela convolução da entrada I, para o CC, faça C C j j ( x) I ( x) I j j I j I I j2 j2 Memória do Código (M) I j e I j 2 entrada j =,,... I j I j I j 2 saída C C C saída C C C 84

85 Códigos Convolucionais Diagrama de Estados Logo, / C C j j ( x) I ( x) I j j I j I I j2 j2 entrada I j I j I j 2 saída saída / / / / / j =,,... / I j I j- I j-2 C j C j / Entrada: Saída: 85

86 Códigos Convolucionais Diagrama de Estados Diagrama em Treliça / / a / / b / c / / d / Transmissão de Dados Prof. Márcio Lima 86

87 / Códigos Convolucionais Diagrama de Estados Diagrama em Treliça b / / / / a / / c d / 87

88 / Códigos Convolucionais Diagrama de Estados b / / / a / c Diagrama em Treliça / d / / Transmissão de Dados Prof. Márcio Lima 88