Respostas da Série de Exercícios Funções Multivariadas e outras Problema 1 Lista 3A Observar que N1 e N2 são números inteiros de tal forma que N1+N2 5 isto é: N1=1,...4 e N2=1,..5-N1. Cada par de valores de N1 e N2 são igualmente prováveis e existem dez pares de valores possíveis. Portanto, P{N1=i, N2=j} = 1/10 para i=1,...4 e j=1,..5-i Problema 2 a) Achar o valor de C, integrando a função bivariada e igualando a 1 chega-se a c=1/8 b) =, = = = +1 e = c) =, = = 0 Pois a função x(y 2 -x 2 )e -y é uma função ímpar em x Problema 3 a) P(X<Y) = = b) < =! # " # dx = 1-e -a Problema 4 a) Mostre que 1/c=área da região R Seja R 2 o plano bidimensional, observe que para &
',( *= +, = +, =,.. & 0 0 1 Desde que f(x,y) é uma distribuição densidade bivariada temos que sua integral no domínio das variáveis x e y é igual a um, ou seja: 1 = ',( & * =,.. & &=,.. & 23.4 543 & = 1 6 b) No intervalo -1 +1 o quadrado tem área igual a 4 (de lado igual a 2), portanto podemos escrever que: ' 7 ( 8* = 9 9, = 9 9 = ; =,< ;,< 1 4 = 1,3>2.?>543!7 1,+1.,3>2.?>5438 1,+1" 4 Por outro lado temos que: ' 7* = 9 9,. ; = 1,3>2.?>543!7 1,+1" 2 Idem para a função marginal de y Portanto a bivariada é igual ao produto das marginais e, portanto, x e y são independentes e uniformemente distrbuídas no intevalo -1 e +1 c) Seja C o interior do círculo de raio igual a 1, centrado na origem. Desejamos calcular ',( 6*=. 6 &=. 6 = A
Problema 5 B( > D 3 F = +, GH/ H/ H = 9 9 LMN ' H,H < 4 D = 7 9 Outra opção é desenhar a região no plano e comparar esta região com o retângulo mais largo dado por 0 X L/2 e L/2 y L, esta relação é igual a 7/9 Problema 6 a) Calcular ' 7* =6 1 ; e '( 8* =2 = Ou seja, ' 7,( 8*=' 7*.'( 8* =61 =2 b)!" =1/2 c) E[Y] = 2/3 d) E[X 2 ] = 1/20 e) E[Y 2 ] = ½ e portanto, Var [Y] = E[Y 2 ] (E[Y]) 2 = 1/18 Problema 7 a,b e c são independentes com distribuição uniforme entre (0,1) para cada variável a),p,,= ;. = P. Q,=' = 1 R 0<,P,, <1 =0 53R >?R, R3R
b) As raízes de Ax 2 +Bx+C são se Reais se B 2-4AC 0, portanto a probabilidade é dada por: 9 9 9 1.P, LST ', V LST ', * = 9 9 9 1P, / V =9 9 9 1P, V +9 9 9 1P, = / V 5 36 + 1 log 4 12 Problema 8 a) Verificar que a integral no domínio de x e y é igual a 1 b) = [ 2 + c) >(= [ \ + ^ ] = d) > /X<1/2) = _ c/_ \_ <`a c/_ d _ ]bb e) =. = ^ Problema 9 c/ <b d [ a) = < = 2. >0 =e = 02. 3R >?R f g3.r =9 >0 = e =0 2. 3R >?R f g3.r Fazendo o produto dessas funções marginais verifica-se a independência de x e y b) No segundo caso: 21 2. 0< <1 = 9 2 = e = 02. 3R >?R 2 2. 0< <1 = 9 2 = e 0 2. 3R >?R
Verifica-se que f(x,y) fx(x). fy(y), portanto não são independentes!!!! Problema 10 a) Se a o então Fz(a)=0 P(X+Y a) = h = 1+ 0< <1 = 1 1 >1 b) \( j ] = = B1 \ c k ] ` F k Problema 11 a) Usar a fórmula: E[g(XYZ)] = m,,n.2,,o,,n,,o X,Y,Z : S {1,...27} g(x,y,z) = xyz E[X,Y,Z] = 1.2.3.p(1,2,3) + 2.1.1 p(2,1,1) + 2.2.1.p(2,2,1) + 2.3.2 p(2,3,2) = 6 b) g(x,y,z) = xy+xz+yz E[XY+XZ+YZ] = (1.2+1.3+2.3) p(1,2,3)+... = 10 Problema 12 a) P(X>2) = 1 P(X 2) = 1 c _ =
b) \ 10 p >9] = c cd_ qr s c _` b s c c _ qr _`b t = c _ Problema 13 A palavra adicional pode parecer confusa porque não sabemos por quanto tempo o rádio está vivo. Seja t o número de anos que o rádio viveu, deseja-se calcular: >8 p >4) Mas t não tem importância! Esta é a propriedade do modelo sem memória da Distribuição Exponencial, ou seja, para qualquer t e qualquer valor s, tem -se: \ >R+4 p >4]= >R No caso do problema, t é desconhecido mas s = 8, portanto: P(X>8) = c v = 1/ Problema 14 Seja X o número de milhas do carro antes de ser jogado fora a) Seja X ~ Exponencial (1/2) O carro já rodou 10,000 milhas e desejamos calcular a probabilixdade que ele ainda vai rodar mais 20 mil milhas. Usando a propriedade sem memória onde t=10,000 e s=20,000 milhas, tem-se: \ 30,000 p >10,000]= 20,000=1/ b) Seja X~Uniforme(0,40), queremos calcular \ >30 p >10]. = wdc xdwd b wdc cd wd b = 1/3
Problema 15 Vamos calcular a distribuição acumulada de y (F(y): y = ( = j R { ( = isolando X, tem-se: y = g5 =y g5 Que é a FDP em relação a X, calculando a derivada para obter fx(x): = y, g5 = g5.} 5 }= ln } 1 } Mas ln =1 23.{ é 0,1. 3>í5?3 é 1< < 23R?4?f3 23.{ 3 3>í5?3 é 0< <1 ( =. 3.4 543: 1 2. 1< < = 02. 3R >?R f g3.r Problema 16 A mediana é o percentil 50%, calculado pela Função Acumulada: Que resulta em x = 2 ln 2 1 2 =9 1 2 Problema 17 =1 Para cx temos: \ V ] = 1 ` Derivando obtemos a resposta: f(x/c) = Exp [(c/λ)]
Problema 18 a) X1, X2 Considere x igual a zero bola vermelha; x igual a 1 bola branca, portanto P(x1;x2) P(0,0) = 14/39; p(0,1) = 10/39 ; p(1,1) = 5/39 e p(1,0) = 10/39 b) X1,X2 e X3 p(0,0,0)=28/143 p(1,0,1)=40/429 p(0,0,1) = 70/429 p(1,1,0) = 40/429 p(0,1,0) = 70/429 p(1,1,1) = 5/143 p(1,0,0) = 70/429 p(0,1,1) = 40/429 Problema 19 a) X1+X2 possui distribuição Normal com média 80 e desvio=padrão ˆ6 +6 +20.666=ˆ115,2 10.733 Portanto: P(X1+X2>90) = P(Z>(90-80)/(115,2)**1/2)=(PZ>0.932) 0.176 b) Se a correlação for 0,2 e não 0,6 a resposta seria descrescer (diminuir)! Observe que uma correlação menor resulta num desviopadrão menor para X1+X2 c) A probabilidade recalculada resulta em 0,141 Problema 20 a) Xa e Xb denotam respectivamente o número de jogos vencidos contra os times classe A e classe B. Sendo independentes, temos: E(Xa) = 26 (0,4) = 10,4 Var(Xa) = 26 (0,4) (0,6) = 6,24 E(Xb)= 18 (0,7) = 12,6 Var (Xb) = 18.(0,7).(0,3) = 3,78 P(Xa+Xb 25) = P(Xa+Xb 24,5) = P(Z (1,5)/(10.02)**1/2) = 1-P(Z<0.4739) 0,3178
Observar a correção de continuidade quando se passa da Distribuição discreta para a Distribuição Contiínua (Normal) (25 para 24,5) b) A distribuição de Xa-Xb pode ser aproximada por uma Normal com média -2,2 e variância igual a 10,02. Portanto: P(Xa-Xb 1) 0,1968 Problema 21 P(X1+X2+X3...X100 120 minutos) A soma tem média 150 e variância igual a 400, portanto: P(soma 120) = P(soma (120-150)/20)=0.067 Problema 22 A soma é uma Normal com média zero e variância 4, portanto: + 4=B 4 2 4 2 F=0.954