Geometria Uma breve introdução
Etimologia Geometria, em grego antigo γεωμετρία, geo- "terra", -metria "medida Origem (lazer ou necessidade?)
Geometria Euclidiana Euclides de Alexandria, matemático grego dos séculos IV e III a.c. é um dos mais importantes da antiguidade. A maior de todas as contribuições de Euclides à Matemática, bem como à ciência em geral, foi o tratado Elementos, obra na qual expôs, sistematicamente, os conhecimentos de Geometria Plana de seu tempo doravante rotulada de Euclidiana, alguns dos quais frutos de seu próprio trabalho. A importância dos Elementos se deve ao fato deste ser a primeira obra em que se considera um corpo de conhecimento matemático como parte de um sistema lógico dedutivo bem definido.
Conceitos Primitivos PONTO São representados por letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C,... RETA São representadas por letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c,... PLANO São representados por letras minúsculas do alfabeto grego: α, β, γ,...
Axiomas ou postulados São proposições primitivas aceitas sem demonstração. São elas: Em uma reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. Em um plano há infinitos pontos. Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles. Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles. Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse mesmo plano.
Julgue os itens abaixo: 1) Por um ponto passam infinitas retas. 2) Por dois pontos distintos passa uma reta. 3) Uma reta contém dois pontos distintos. 4) Dois pontos distintos determinam uma e só uma reta. 5) Por três pontos dados passa uma só reta. 6) Três pontos distintos são sempre colineares. 7) Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares. 8) Quatro pontos distintos determinam um único plano.
RETA, SEMIRRETA E SEGMENTO DE RETA Segmento de reta AAAA. Semirreta AAAA. Reta AAAA.
Medida de um segmento de reta Denotamos a medida do segmento AAAA, ou a distância do ponto A ao ponto B, por AAAA (ou mmmmmm(aaaa)). Um ponto M é ponto médio do segmento AAAA se, e somente se, M está entre A e B, de tal forma que AAAA MMMM.
1) Determine o número de retas, semirretas e segmentos de reta que podem ser formados com três pontos A, B e C, não colineares. 2) Os segmentos AAAA e BBCC, BBCC e CCCC são adjacentes, de tal maneira que AAAA é o triplo de BBCC, BBCC é o dobro de CCCC e AAAA = 36 cccc. Determine as medidas dos segmentos AAAA, BBCC e CCCC. 3) Cinco pontos pertencem a uma circunferência. Quantas retas, semirretas e segmentos de reta são determinados ligando esses pontos dois a dois?
4) Determine a medida de cada uma das partes de um segmento de 136 cm que foi dividido em partes diretamente proporcionais a 3 e 14. 5) Determine a medida de cada uma das partes de um segmento de 80 cm que foi dividido em partes inversamente proporcionais a 4 e 6. 6) Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situase entre A e C e a distância de B e C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as cidades B e C e à distância de 210 km de A. Sabendo que P está 20 km mais próximo de C do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de encontro.
Ângulos Uma breve revisão
Classificação quanto à medida Considere um ângulo AA BBCC de medida xx. Se a) xx = 00, então AA BBCC é nulo. b) 00 < xx < 99999, então AA BBCC é agudo. c) xx = 99999, então AA BBCC é reto. d) 99999 < xx < 1111111, então AA BBCC é obtuso. e) xx = 1111111, então AA BBCC é raso.
Ângulos complementares, suplementares e replementares Dois ângulos são a) COMPLEMENTARES se a soma de suas medidas é igual a 90. b) SUPLEMENTARES se a soma de suas medidas é igual a 180. c) REPLEMENTARES se a soma de suas medidas é igual a 360. Um ângulo Seu complemento Seu suplemento Seu replemento xx 90 xx 180 xx 360 xx
Ângulos congruentes e OPV Dois ângulos, AA BBCC e PP OOQQ, são denominados CONGRUENTES se as suas medidas são iguais. Ou seja, mmmmmm AA BBCC = mmmmmm(pp OOQQ) AA BBCC PP OOQQ Dois ângulos são Opostos Pelo Vértice (OPV) se os lados de um são semirretas opostas aos lados do outro. a b c OBS.: Ângulos OPV são sempre congruentes, assim a = c e b = d d
Bissetriz de um ângulo A bissetriz de um ângulo é a semirreta, com origem no vértice do ângulo, que o divide em dois ângulos congruentes. A C O B Se AA OOCC CC OOBB, então OOOO é a bissetriz de AA OOBB.
EXERCÍCIOS Resolvidos: p.32 e p.33, números 1, 3 e 6. Exercícios de aula: p.45, nº 2 (b, d, e) e 4. Tarefão: p.47 a p.51, nº 1, 2, 11, 12 e 22.
Paralelismo Considere duas retas, r e s, paralelas e t uma reta transversal. Ficam determinados os oito ângulos assinalados a seguir a d b c r e h f g t s Dois a dois, dizemos que os ângulos a e e, b e f, c e g, d e h são correspondentes.
Propriedade fundamental do paralelismo e suas consequências Pela propriedade fundamental do paralelismo, ângulos correspondentes são congruentes, então: a d b c a d b c t r s a b b a a b b a t r s Já que ângulos OPV são congruentes
EXERCÍCIOS Resolvidos: p.32, nº 2. Exercícios de aula: p.46 e p.47, nº 5, 6, 7 e 8. Tarefão: p.47 a p.51, nº 3 a 10.