Uma abordagem geométrica da cinemática da partícula

Transcrição

1 Uma abordagem geométrica da cinemática da partícula André da Silva Ramos de Faria MPEF Orientador: Professor Vitorvani Soares

2 Objetivos

3 Objetivos Discussão geométrica dos conceitos físicos relevantes para a descrição do movimento:

4 Objetivos Discussão geométrica dos conceitos físicos relevantes para a descrição do movimento: Partícula, Referencial, deslocamento, intervalo de tempo;

5 Objetivos Discussão geométrica dos conceitos físicos relevantes para a descrição do movimento: Partícula, Referencial, deslocamento, intervalo de tempo; Geometria do MRU;

6 Objetivos Discussão geométrica dos conceitos físicos relevantes para a descrição do movimento: Partícula, Referencial, deslocamento, intervalo de tempo; Geometria do MRU; Geometria do MRUV;

7 Objetivos Discussão geométrica dos conceitos físicos relevantes para a descrição do movimento: Partícula, Referencial, deslocamento, intervalo de tempo; Geometria do MRU; Geometria do MRUV; Descrever o movimento parabólico utilizando a geometria como ferramenta.

8 Vantagens da Geometria

9 Vantagens da Geometria Exploração visual do movimento da partícula;

10 Vantagens da Geometria Exploração visual do movimento da partícula; Utilização da geometria plana elementar, não sendo necessário usar contas sofisticadas.

11 Euclides de Alexandria (360 a.c. 295 a.c)

12 Geometria Euclidiana Em sua obra Os elementos, o filósofo e matemático grego Euclides, introduziu definições básicas de geometria. No livro I são definidos os objetos geométricos cujas propriedades desejamos estudar. São 23 definições, entre as quais são definidos ponto, reta, círculo, triângulo, retas paralelas e ângulos. Acrescenta-se ainda cinco axiomas e nove noções comuns que são afirmações admitidas como verdades óbvias. (EUCLIDES, Os elementos. Tr. pt. de Bicudo 2009 )

13 Geometria Euclidiana Tomaremos como início algumas das definições dadas por Euclides, em sua obra.

14 Geometria Euclidiana Tomaremos como início algumas das definições dadas por Euclides, em sua obra. 1. Um ponto é aquilo de que nada é parte.

15 Geometria Euclidiana Tomaremos como início algumas das definições dadas por Euclides, em sua obra. 1. Um ponto é aquilo de que nada é parte.

16 Geometria Euclidiana 2. E linha é comprimento sem largura.

17 Geometria Euclidiana 2. E linha é comprimento sem largura. 3. E linha reta é a que está posta por igual com os pontos sobre si mesma.

18 Geometria Euclidiana 2. E linha é comprimento sem largura. 3. E linha reta é a que está posta por igual com os pontos sobre si mesma.

19 Geometria Euclidiana 6. E superfície é aquilo que tem somente comprimento e largura.

20 Geometria Euclidiana 6. E superfície é aquilo que tem somente comprimento e largura. 7. Superfície plana é a que está posta por igual com as retas sobre si mesma.

21 Geometria Euclidiana 6. E superfície é aquilo que tem somente comprimento e largura. 7. Superfície plana é a que está posta por igual com as retas sobre si mesma.

22 Geometria Euclidiana 8. E ângulo plano é a inclinação, entre elas, de duas linhas no plano, que se tocam e não estão postas sobre uma reta.

23 Geometria Euclidiana 8. E ângulo plano é a inclinação, entre elas, de duas linhas no plano, que se tocam e não estão postas sobre uma reta.

24 Geometria Euclidiana 15. Círculo é uma figura plana contida por uma linha [que é chamada circunferência], em relação à qual todas as retas que se encontram [até a circunferência do círculo], a partir de um ponto dos postos no interior da figura, são iguais entre si.

25 Geometria Euclidiana

26 Geometria Euclidiana

27 Geometria Euclidiana Ângulo Reto

28 Geometria Euclidiana

29 Geometria Euclidiana

30 Geometria Euclidiana

31 Geometria Euclidiana

32 Geometria Euclidiana

33 Geometria Euclidiana

34 O teorema de Pitágoras

35 O teorema de Pitágoras

36 O teorema de Pitágoras

37 O teorema de Pitágoras

38 O teorema de Pitágoras (a +b)² = a² + 2ab + b²

39 O teorema de Pitágoras

40 O teorema de Pitágoras

41 O teorema de Pitágoras (a +b)² = a² + 2ab + b²

42 O teorema de Pitágoras (a +b)² = a² + 2ab + b² c = a + b

43 O teorema de Pitágoras (a +b)² = a² + 2ab + b² c = a + b c² = d² + 4(ab/2) c² = (a + b)² = a² +2ab + b²

44 O teorema de Pitágoras (a +b)² = a² + 2ab + b² c = a + b c² = d² + 4(ab/2) c² = (a + b)² = a² +2ab + b² Logo:

45 O teorema de Pitágoras (a +b)² = a² + 2ab + b² c = a + b c² = d² + 4(ab/2) c² = (a + b)² = a² +2ab + b² Logo: a² + 2ab + b² = d² + 2ab

46 O teorema de Pitágoras (a +b)² = a² + 2ab + b² c = a + b c² = d² + 4(ab/2) c² = (a + b)² = a² +2ab + b² Logo: a² + 2ab + b² = d² + 2ab Podemos concluir então que:

47 O teorema de Pitágoras (a +b)² = a² + 2ab + b² c = a + b c² = d² + 4(ab/2) c² = (a + b)² = a² +2ab + b² Logo: a² + 2ab + b² = d² + 2ab Podemos concluir então que: d² = a² + b²

48 Médias da Grécia antiga

49 Médias da Grécia antiga Aritmética; Geométrica; Harmônica.

50 Médias da Grécia antiga

51 Médias da Grécia antiga

52 Médias da Grécia antiga

53 Médias da Grécia antiga

54 Médias da Grécia antiga

55 Médias da Grécia antiga

56 Médias da Grécia antiga

57 Médias da Grécia antiga

58 Médias da Grécia antiga

59 Médias da Grécia antiga

60 Médias da Grécia antiga

61 Médias da Grécia antiga a + b 2 2 = x 2 + b a 2 2

62 Médias da Grécia antiga a + b 2 2 = x 2 + b a 2 2 x 2 = a + b 2 2 b a 2 2

63 Médias da Grécia antiga a + b 2 2 = x 2 + b a 2 2 x 2 = a + b 2 2 b a 2 2 x = ab

64 Médias da Grécia antiga a + b 2 2 = x 2 + b a 2 2 x 2 = a + b 2 2 b a 2 2 x = ab Média Geométrica

65 Médias da Grécia antiga Aritmética; z = a + b 2

66 Médias da Grécia antiga Aritmética; a + b z = 2 2z = a + b

67 Médias da Grécia antiga Aritmética; a + b z = 2 2z = a + b z + z = a + b

68 Médias da Grécia antiga Aritmética; a + b z = 2 2z = a + b z + z = a + b z a = b z

69 Médias da Grécia antiga Aritmética; a + b z = 2 2z = a + b z + z = a + b z a = b z z a b z = 1

70 Médias da Grécia antiga Harmônica 1 a + 1 b = 2 z

71 Médias da Grécia antiga Harmônica 1 a + 1 b = 2 z z = 2 ab a + b

72 Médias da Grécia antiga Harmônica 1 a + 1 b = 2 z z = 2 z = ab a + b ab ab a + b 2

73 Médias da Grécia antiga Harmônica 1 a + 1 b = 2 z z = 2 z = ab a + b ab ab a + b 2 z ab = ab a + b 2

74 Constante de Arquimedes Descobrindo a área da Circunferência

75 Constante de Arquimedes

76 Constante de Arquimedes

77 Constante de Arquimedes

78 Constante de Arquimedes A/4 < R²

79 Constante de Arquimedes

80 Constante de Arquimedes

81 Constante de Arquimedes

82 Constante de Arquimedes

83 Constante de Arquimedes

84 Constante de Arquimedes

85 Constante de Arquimedes

86 Constante de Arquimedes

87 Constante de Arquimedes

88 Constante de Arquimedes

89 Constante de Arquimedes

90 Constante de Arquimedes

91 Constante de Arquimedes Se chamarmos essa constante de π, ficaremos com o seguinte resultado:

92 Constante de Arquimedes Se chamarmos essa constante de π, ficaremos com o seguinte resultado: A = πr²

93 Constante de Arquimedes Descobrindo o comprimento da Circunferência

94 Constante de Arquimedes Descobrindo o comprimento da Circunferência 17. E diâmetro do círculo é alguma reta traçada através do centro, e terminando, em cada um dos lados, pela circunferência do círculo e que corta o círculo em dois.

95 Constante de Arquimedes R

96 Constante de Arquimedes Representação de um dodecágono regular inscrito no círculo de raio R.

97 Constante de Arquimedes Unindo os pontos do polígono até o centro do círculo formamos doze triângulos semelhantes entre si.

98 Constante de Arquimedes Recorte dos triângulos semelhantes

99 Constante de Arquimedes Agrupamento dos seis triângulos recortados

100 Constante de Arquimedes Recorte de um dos triângulos da extremidade

101 Constante de Arquimedes Acoplamento do triângulo recortado na outra extremidade, formando uma figura que se assemelha à um retângulo.

102 Constante de Arquimedes Retângulo de altura semelhante ao raio da circunferência e de comprimento semelhante à um quarto do perímetro do polígono.

103 Constante de Arquimedes Podemos escrever então uma relação entre a área do retângulo e a área da metade circunferência, recortada no inicio do procedimento.

104 Constante de Arquimedes Podemos escrever então uma relação entre a área do retângulo e a área da metade circunferência, recortada no inicio do procedimento. (P/4) R = A/2

105 Constante de Arquimedes Podemos escrever então uma relação entre a área do retângulo e a área da metade circunferência, recortada no inicio do procedimento. (P/4) R = A/2 P = 2A/R

106 Constante de Arquimedes Podemos escrever então uma relação entre a área do retângulo e a área da metade circunferência, recortada no inicio do procedimento. (P/4) R = A/2 P = 2A/R P = 2 π R

107 Próximos passos Referencial Medir posições e duração de tempo MRU MRUV Movimento Parabólico

108 Obrigado.