ATIVIDADES NO GEOGEBRA SOBRE DEMONSTRAÇÕES DE ARQUIMEDES E BARROW

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1 ATIVIDADES NO GEOGEBRA SOBRE DEMONSTRAÇÕES DE ARQUIMEDES E BARROW Luiz Antônio Jacyntho (UNEMAT e mestrando da UNICAMP) Luiz Mariano Carvalho (UERJ) Através de um programa de Geometria Dinâmica, Geogebra, é possível obter visualizações e, conseqüentemente, uma melhor compreensão de uma demonstração elaborada por Arquimedes para provar que a área de qualquer círculo é equivalente a de um determinado triângulo retângulo. Também é possível entender casos particulares do Teorema Fundamental do Cálculo, explorados por Barrow. INTRODUÇÃO Na primeira parte deste trabalho serão apresentadas as demonstrações de Arquimedes de Siracusa (287 a.c a.c, Grécia) para a área do círculo e de Isaac Barrow ( , Inglaterra) para casos particulares do Teorema Fundamental do Cálculo. Seguir-se-ão roteiros de atividades para a utilização de um programa de geometria dinâmica, Geogebra, que permitem uma melhor compreensão do que Arquimedes e Barrow realizaram especificamente nestes casos e como tais demonstrações contêm conceitos de infinito e de convergência de seqüências que só mais tarde foram formalizados. O principal objetivo dessas atividades é servir de apoio a aulas de Cálculo Diferencial e Integral. PROPOSIÇÃO DE ARQUIMEDES A área de qualquer círculo é igual à área de um triângulo reto, no qual um dos lados sobre o ângulo reto é igual ao raio, e o outro à circunferência, do círculo. (em A medida de um círculo, Heath, 2002) Figura 1

2 Demonstração: Sejam o círculo ABCD de área igual a C e o triângulo K de área igual a T, descritos na proposição, então, se C não for igual a T, ela deve ser maior ou menor do que T. Suponha que C é maior do que T. Assim, inscreva em ABCD um quadrado com os vértices em ABCD, conforme a Figura 2. Figura 2 Figura 3 Dividindo ao meio os arcos AB, AC, CD, DA, marcando os pontos médios na circunferência e unindo os pontos adjacentes tem-se agora um novo polígono regular, mas agora com oito lados, (ver Figura 3). Então divida as metades novamente, conforme foi feito anteriormente e assim por diante, até encontrar um polígono regular inscrito tal que a diferença de C com a sua área seja menor que a diferença de C com T. Então a área deste polígono é maior que T (aqui é usado o Método da Exaustão 1, proposição 1 do livro X dos Elementos de Euclides, Heath, 1956). Figura 4 Figura 5 1 Sejam duas grandezas diferentes, se da maior é subtraída uma grandeza maior que sua metade, e do que sobrar, uma grandeza maior que sua metade, e se este processo for repetido continuamente, então sobrará uma grandeza menor do que a menor das grandezas dadas. E o teorema pode ser provado de forma semelhante mesmo se as partes subtraídas forem iguais às metades. (tradução dos autores)

3 Daí, seja AE qualquer lado do polígono e ON a perpendicular sobre AE, onde O é o centro de ABCD, conforme Figura 5. Então ON é menor que o raio de ABCD e, portanto, menor que um dos lados de K. O perímetro do polígono também é menor que a circunferência do círculo e conseqüentemente menor que outro lado de K, ambos os lados que formam o ângulo reto de K. Portanto a área do polígono é menor que T; o que contraria a hipótese inicial, logo C é menor ou igual a T. De forma análoga Arquimedes desenvolveu a demonstração para um círculo inscrito em um quadrado chegando à conclusão da necessidade das áreas do círculo e do triângulo retângulo proposto serem iguais. PROPOSIÇÃO DE BARROW Nessa proposição, ao contrário do que estamos acostumados atualmente, apenas o eixo vertical não é utilizado, sendo assim os valores abaixo do eixo horizontal (que contém o segmento AD) não são considerados negativos. Seja ZGE qualquer curva na qual o eixo é AD; e seja as ordenadas aplicadas a este eixo, AZ, PG, DE, crescendo continuamente em relação à ordenada inicial AZ; também seja AIF uma curva tal que, se qualquer segmento de reta EDF é traçado perpendicular a AD, cortando as curvas nos pontos E, F, e AD em D, o retângulo contido por DF e um dado comprimento R é igual ao espaço interceptado ADEZ ; seja também DE/DF = R/DT, e una DT. Então TF é tangente à curva AIF no ponto F. (Conferencia 10, proposição 11, pág. 116, Child, 1916). Figura 6

4 Demonstração: Seja qualquer ponto I é tomado na curva AIF (primeiro entre de F e A), e através dele, IG é traçado paralelo a AZ, e KL é paralelo a AD, cortando as retas dadas como é mostrado na Figura 7; Figura 7 Figura 8 então por semelhança de triângulos conclui-se que LF/ LK = DF/ DT (1). Como por hipótese DE/ R = R/DT, daí vem que DF/DT = DE/R (2). Agora de (1) e de (2), temos que LF/LK = DE/R ou que LF.R = LK.DE. (3). Novamente da hipótese temos que DF.R = área ADEZ e que PI.R = área APGZ (4). Como LF = DF DL, IL foi traçado paralelo a VD e PI paralelo a DL então DL = PI e também LF = DF PI (5), isso pode ser visto na Figura 8. Daí por (3), (4) e (5), temos que: DE.LK = LF.R = ( DF PI ).R = área ADEZ área APGZ = área PDEG (na Figura 9 pode-se conferir esta igualdade).: Figura 9 Figura10 Como a área PDEG < DP.DE, (ver figura 10) pois novamente usando a hipótese temos que as ordenadas são continuamente crescentes, então DE.LK<DP.DE e conseqüentemente LK <DP. Assim como DP = LI ( ver figura 7), conclui-se que K não pode ser um ponto da curva AIF; logo a

5 reta em questão é tangente no ponto F. De forma análoga, se o ponto I é tomado depois de F, e a mesma construção é feita como antes, podendo ser mostrado que LK> DP. Assim ficou demonstrado que a reta TF tangencia a curva AIF no ponto F. GRÁFICOS DINÂMICOS NO PROGRAMA GEOGEBRA Estamos desenvolvendo um conjunto de atividades para apoio a aulas de Cálculo Diferencial e Integral, em particular, para o ensino do conceito de Integral e do Teorema Fundamental do Cálculo. Nessas duas atividades propomos passos que levem o estudante a experimentar conflitos (Giraldo, 2004) entre os conceitos que ele terá aprendido nas aulas teóricas e as respostas do computador aos comandos do Geogebra. Essas atividades ainda não foram testadas em sala de aula, mas pretendemos fazer experimentos em breve. Atividade sobre a proposição de Arquimedes Figura Calcule a área do circulo e depois a área do polígono regular inscrito contendo 64 lados. Depois diminua ambas as áreas na posição mover e observe o que acontece. 2. Vá em opções e aumente para 5 o número de casas decimais e observe o resultado 3. Use a função zoom e aumente em cima de um lado do polígono até que a figura fique do tamanho de sua tela. 4. Aumente o número de lados do polígono, será que para qualquer polígono vai existir diferença entre sua área e a área da circunferência? 5. Se existir diferença o que deve acontecer para que ela não apareça? 6. Qual é a sua conclusão após realizar as etapas acima?

6 Objetivo da atividade Nesse caso o estudante deverá experimentar uma contradição entre a informação dada pelo computador de que as áreas do círculo e do polígono são iguais, por um lado, e a demonstração de que elas são diferentes. Através de atividades de magnificação e de variação do número das casas decimais, queremos colocar o estudante diante do fato de que a informação do computador é limitada à precisão utilizada e de que a justificativa de a área do círculo ser maior pode se dar através do conceito de limite de uma seqüência infinita de números reais (áreas dos polígonos). Atividade sobre a proposição de Barrow Uma limitação importante da demonstração de Barrow é que ela só é válida para funções estritamente crescentes ou decrescentes, apesar desse ponto não será enfocado nesse momento, ele será visto em outras atividades. Figura 12

7 1. Coloque o ponto F de tal forma que à distância DF seja um número entre 7 e Clique em cima do ponto A e mexa a reta que passa pelos pontos A e F e observe o que acontece com a distância DH 3. Qual é o valor da inclinação da reta quando o ponto H se localiza em cima do ponto E? 4. Quando o ponto H fica sobre o ponto E, sobre que ponto vai ficar o ponto A 5. Vá em opções e aumente o número de casas decimais para 5 e observe o que acontece 6. Qual é o valor da divisão de DF por DE? 7. Escolha a função ampliar e selecione o ponto F, amplie e relate o que aconteceu. 8. Coloque agora o ponto F de tal forma que à distância DF seja um número entre 1 e 2 e faça os procedimentos de 1 até 7 novamente. Objetivo da atividade Essa atividade faz parte de um conjunto de outras que já terão trabalhado vários aspectos da demonstração geométrica de Barrow para o Teorema Fundamental do Cálculo. A idéia central é desenvolver a relação entre a inclinação da reta tangente ao gráfico da função integral (na parte superior do gráfico) e a ordenada da função para a qual se está calculando a integral (na parte inferior). Através de processos de magnificação e mudança da quantidade de casas decimais, o objetivo é que o estudante possa refletir sobre a relação entre o conceito de derivada (inclinação da reta tangente) e integral (nesse caso igual, a menos de sinal, à área definida por uma curva, um eixo e retas perpendiculares ao eixo). Com a utilização de diferentes pontos na curva pretendemos mostrar que o comportamento do programa pode variar muito, pois em um dos casos a reta tangente e a curva serão indistinguíveis e em outro elas sempre serão diferentes. Novamente nesse caso, a limitação da precisão utilizada, poderá levar aos estudantes a refletirem sobre os conceitos envolvidos. O objetivo central dessa atividade é fortalecer a idéia de que a reta tangente é a única que atende à condição de corresponder à ordenada da função que se está calculando a integral. Ao mesmo tempo será vivenciada a limitação do programa em confirmar essa informação por causa da limitação na precisão da representação dos números reais. OBSERVAÇÕES FINAIS Apresentamos um extrato de atividades que temos desenvolvido para apoio a aulas de Cálculo Diferencial e Integral. Ao nos apoiarmos em textos históricos e utilizarmos a Geometria Dinâmica, visamos aumentar o interesse dos alunos pelo desenvolvimento da matemática, acentuando diferenças, similaridades, limitações entre várias épocas do desenvolvimento do pensamento

8 matemático e reforçamos a necessidade da construção de conceitos sólidos para fundamentação do Cálculo Diferencial e Integral. Referências Child, J. M. (1916). The Geometrical Lectures of Isaac Barrow. The Open Court Publishing Company. Giraldo, V. (2004). Descrições e Conflitos Computacionais: O Caso da Derivada, Tese de Doutorado, COPPE-UFRJ. Heath, T. L. (1956) Euclid, The Thirteen Books of The Elements, Dover. Heath, T. L. (2002) The Works of Archimedes. Dover.