3, 2, 1 -Mistério. Série Matemática na Escola

Transcrição

1 3, 2, 1 -Mistério Série Matemática na Escola Objetivos 1. Apresentar o Princípio de Cavalieri para figuras planas; 2. Apresentar o Princípio de Cavalieri para sólidos; 3. Apresentar a relação 3:2:1 entre os volumes do cilindro, da semi-esfera e do cone.

2 3,2,1 - Mistério Série Matemática na Escola Conteúdo Áreas e volumes usando o Princípio de Cavalieri. Duração Aprox. 10 minutos. Objetivos 1. Apresentar o Princípio de Cavalieri para figuras planas; 2. Apresentar o Princípio de Cavalieri para sólidos; 3. Apresentar a relação 3:2:1 entre os volumes do cilindro, da semi-esfera e do cone. Sinopse O programa aborda o denominado Princípio de Cavalieri que é utilizado no cálculo de áreas de figuras planas e volumes de sólidos. A estudante Carol recebe misteriosas instruções para resolver três enigmas. Ela dialoga com a aluna de arquitetura Rita para resolver os enigmas. Material relacionado Experimentos: Volume de pirâmides, Cilindro=cone+esfera/2?, Princípio de Cavalieri, Qual o cone de maior volume?;

3 Introdução Sobre a série A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do ensino médio através de situações, ficções e contextualizações. Os programas desta série usualmente são informativos e introdutórios de um assunto a ser desenvolvido em sala de aula pelo professor. Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte ao conteúdo mais matemático e pequenos documentários trazem informações interdisciplinares. Sobre o programa O programa aborda o denominado Princípio de Cavalieri que é utilizado no cálculo de áreas de figuras planas e volumes de sólidos. A estudante Carol recebe misteriosas instruções para resolver três enigmas. Ela dialoga com a aluna de arquitetura Rita para resolver os enigmas. O primeiro enigma apresentado é sobre o Princípio de Cavalieri para figuras planas e Carol deve descobrir, usando os canudinhos, que o retângulo e o paralelogramo recebidos têm a mesma área. Figura 1: Princípio de Cavalieri para figuras planas 3, 2, 1 - Mistério 3/13

4 O segundo enigma recebido por Carol, na mesma linha do primeiro, é sobre o Princípio de Cavalieri para sólidos. Figura 2 : Princípio de Cavalieri para sólidos A inserção Olha o Curta resume este princípio para figuras planas e sólidos e acrescenta também informações históricas sobre Boaventura Cavalieri. O terceiro enigma é sobre uso do Princípio de Cavalieri para obter a relação 3:2:1 entre os volumes do cilindro, da semi-esfera e do cone de mesma base e de mesma altura. No programa é assumido como conhecido que o volume do cone é igual a um terço do volume do cilindro de mesma base e mesma altura. Este resultado pode ser obtido a partir do volume de pirâmides ([Rodrigues e Costa, 2010] e [Lima, 2000]) e da aproximação do cone por pirâmides que tem por base polígonos regulares com um número cada vez maior de lados. Figura 3 : Princípio de Cavalieri na comparação dos volumes do cilindro, do cone e da semi-esfera. 3, 2, 1 - Mistério 4/13

5 Figura 4 :Comparação experimental dos volumes do cilindro, da semi-esfera e do cone Figura 5 : A proporção 3:2:1 entre os volumes do cilindro, da semi-esfera e do cone de mesma base e altura. O Princípio de Cavalieri Figura 6 : Boaventura Cavalieri Professor da Universidade de Bolonha O resultado conhecido como Princípio de Cavalieri, está nas origens do chamado Cálculo Infinitesimal e já era utilizado por Arquimedes no 3, 2, 1 - Mistério 5/13

6 século III a.c. como método para a descoberta de resultados, como, por exemplo, o da relação entre os volumes de uma semi-esfera, de um cone e um cilindro de mesma base e mesma altura [Costa, 2008]. A denominação de Cavalieri é uma homenagem a Boaventura Cavalieri ( ) que foi discípulo de Galileu e um dos precursores do advento do Cálculo Integral no século XVI. Este princípio é de certa forma intuitivo, tem muitas aplicações e costuma ser assumido como um axioma para se apresentar com certo rigor o cálculo de áreas e volumes sem o formalismo do Cálculo Integral. Figura 7 : Representação de regiões planas que, pelo Princípio de Cavalieri, têm mesma área. Para regiões planas este princípio estabelece que se estas tiverem mesma altura e em cada nível correspondente segmentos de mesmo tamanho, ambas terão a mesma área. Ou, dito de outra forma: Princípio de Cavalieri para regiões planas Se todas as secções transversais de duas regiões planas por retas paralelas forem segmentos de mesmo comprimento, estas regiões terão a mesma área. A figura acima ilustra um triângulo e uma deformação deste, sendo que ambos têm a mesma área, segundo o Princípio de Cavalieri para regiões planas. 3, 2, 1 - Mistério 6/13

7 De forma análoga, sólidos no espaço de mesma altura e tais que as seções planas correspondentes a cada nível tiverem a mesma área, ambos terão o mesmo volume, como ilustrado na figura. Ou, dito de outra forma: Princípio de Cavalieri para sólidos Se todas as secções transversais de dois sólidos por planos paralelos tiverem a mesma área, ambos terão o mesmo volume. Figura 8 : Representação de sólidos que, pelo Princípio de Cavalieri, têm mesmo volume. É este princípio que permite concluir, por exemplo, que uma pirâmide de base poligonal e um cone, ambos com altura e área da base iguais, têm o mesmo volume. Este fato é explorado no experimento Volume de Pirâmides deste Projeto M 3. Da bibliografia constam, além das referências utilizadas, sugestões para leitura sobre o princípio de Cavalieri. 3, 2, 1 - Mistério 7/13

8 Sugestões de atividades Antes da execução Como é assumido que o volume do cone é igual a um terço do volume do cilindro de mesma base e altura, sugerimos atividades que relacionadas ao cálculo do volume de pirâmides e do cone. Uma sugestão é o experimento Volume de Pirâmides deste Projeto M 3. Verificação experimental: A verificação experimental da comparação entre o volume do cone e do cilindro também é recomendada antes da execução deste programa. Será um desafio inicial muito interessante para os alunos construir um cilindro e um cone com mesma base e mesma altura utilizando, por exemplo, materiais recicláveis como a embalagem de leite longa-vida. Para a comparação dos volumes os recipientes podem ser preenchidos com areia, por exemplo. Depois da execução Sugestão de atividades para os alunos Áreas de figuras planas Considerando o triângulo de vértices O=(0, 0), A=(3,0) e B=(0,3), como na figura, solicitar aos alunos que encontrem a equação da curva 2 c que junto com o gráfico da função y = f ( x) = x, 0 x 3, e o segmento ligando os pontos O=(0,0) e A=(3,0) delimitam uma região de área igual à área do triângulo. (Sugestão: se necessário, lembrar aos alunos para usar o Princípio de Cavalieri para figuras planas e que a parábola em questão também pode ser descrita por x = y, 0 y 3 ). 3, 2, 1 - Mistério 8/13

9 Figura 9 : regiões descritas na atividade Volumes de figuras sólidas 1. Considere o prisma reto P que tem por base o triângulo da atividade anterior e altura h, e o sólido S com base na região plana F de lados curvos da atividade anterior e altura h. Isto é, S é construído como reunião de todos os segmentos de comprimento h perpendiculares ao plano da região e com uma extremidade nesta, como indicado na figura. Figura 10 : sólido que tem por base a região plana F 3, 2, 1 - Mistério 9/13

10 Solicitar aos alunos para a partir do Princípio de Cavalieri para sólidos descobrir a relação entre o volume do prisma reto P e o volume do sólido S. Figura 11 : sólidos descritos na atividade 1 2. Os sólidos ilustrados abaixo são construídos novamente a partir do triângulo e da região plana F dadas anteriormente. A diferença é que ao invés de segmentos verticais, os sólidos são formados por segmentos que ligam os pontos das regiões planas a um único ponto O no espaço localizado a uma altura h num segmento vertical a partir do canto da base de cada sólido. (O canto corresponde ao ponto O das figuras planas). 3, 2, 1 - Mistério 10/13

11 Figura 12 : sólidos descritos na atividade 2 Propor aos alunos discutir o porquê destes dois sólidos terem o mesmo volume e pedir para eles dizerem qual é este quando h é igual a 3. Nesta discussão o argumento de que as secções transversais têm a mesma área é baseado na razão de semelhança destas com as regiões da base ([Lima, 2000]). Um desafio extra será propor para eles desenharem as secções transversais da pirâmide de base curva correspondentes às alturas de medidas 3 1 e 2 1 da altura total do sólido. Referências Bibliográficas e Sugestões de leitura LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio, Vol 2, Coleção do Professor de Matemática, (3 a Edição). Rio de Janeiro: SBM, , 2, 1 - Mistério 11/13

12 LIMA, Elon Lages. Medida e Forma em Geometria, Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. 4ª. ed. Campinas: Editora da Unicamp, COSTA, Sueli I. R.. O Método de Arquimedes em História e Tecnologia no Ensino da Matemática Volume II, p Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, COSTA, Sueli I. R.; GROU, Alice; Passos, Fernando. Programa de vídeo: Pela Trilha de Arquimedes, Editora da Unicamp, PATERLINI, Roberto R.. Os Teoremas de Cavalieri. Revista do Professor de Matemática (RPM). São Paulo, n o 72, p , RODRIGUES, Claudina I.; COSTA, Sueli I. R.. Guia do Experimento Volume de Pirâmides. Projeto de desenvolvimento de conteúdo digital para o Ensino Médio Projeto M3, MEC/UNICAMP/GR/GGPE/FNDE. Campinas, RODRIGUES, Claudina I.; REZENDE, Eliane Q. F.; QUEIROZ, Maria Lúcia B. de. I. R.. Guia do Experimento Cilindro=cone+esfera/2? Projeto de desenvolvimento de conteúdo digital para o Ensino Médio Projeto M3, MEC/UNICAMP/GR/GGPE/FNDE. Campinas, Ficha técnica Autores do Guia: Sueli Costa e Claudina Izepe Rodrigues Revisão do Guia: Roberto Limberger Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira 3, 2, 1 - Mistério 12/13

13 Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira 3, 2, 1 - Mistério 13/13